流体力学总复习第一章 流体及其物理性质重点内容,流体的易流动性,压缩性,粘滞性；
牛顿内摩擦定律；连续介质概念重点公式：
V
V
pp
1
p
pK?
1?流体的压缩性流体的膨胀性
V
V
TT
1?
气体的压缩系数和膨胀系数
pp
1
TT
1
第一章 流体及其物理性质重点公式：
流体的粘性
dyduAF
重要概念或结论：
定义,流体是能流动的物质。
力学特征,施与微小剪切力就能使流体发生 连续变形 。
易流动性是流体的特性之一。分子结构特点及分子间作用力小决定了它的这一特性。
流体的易流动性
流体在一定温度下，体积随压强增大而缩小的特性称为 流体的压缩性。
一定温度下,压强越高，气体体积压缩系数越小；随着压强的增大，气体的可压缩性减弱。
流体体积模量值小，表明流体的可压缩性越大。
液体压缩性很小；气体压缩性很大。
流体的压缩性
流体在一定压强下，体积随温度升高而增大的特性称为 流体的膨胀性。
一定压强下,温度越高，气体的膨胀系数越小，随着温度的增大，气体的膨胀性减弱。
流体的膨胀性
流体层间发生相对运动时会产生切向阻力的特性 是流体粘性的表现 。
温度上升，气体粘度增大而液体粘度则下降。
动力粘度与密度之比称为运动粘度。
流体的粘滞性
理想 流体没有粘性。
实际流体不管处于静止还是流动态，其粘性都存在。
粘性使流体具有抗拒剪切变形，阻碍流体流动的能力。
克服粘性阻力维持流动必然导致能量的消耗。
流体的粘滞性
作用在流层上的切向应力与相邻两层间的速度梯度成正比。
凡遵循牛顿粘性定律的流体称为牛顿型流体。
流体流动时任意相邻两层流体间是相互抵抗的，相互抵抗的作用力是剪切力，
也称之为内摩擦力、粘滞力、粘性摩擦力。
牛顿粘性定律流体的连续介质假设
体积无穷小的微量流体称为,流体质点”。
流体质点的尺寸远大于分子间距离，质点间的距离不大于分子间距离，即认为质点间没间隙。
流体是由无数连续分布的流体质点所组成的连续介质。
练习题
1、下列命题中正确的有（ ）。
A、易流动的物质称为流体
B、液体和气体均为流体
C、液体与气体的主要区别是气体易于压缩，而液体不能压缩
D、在低温、低压、低速条件下的运动流体，一般可视为不可压缩流体练习题
2、下列命题中正确的有（ ）。
A、粘性是流体的故有属性
B、粘性是运动流体抵抗剪切变形的能力
C、液体的粘性随温度的升高而减小
D、气体的粘性随温度的升高而增大练习题
3、流体的动力粘度与（ ）有关。
4、理想流体的特征为（ ）。
5、已知某液体的体积变化率,则其密度变化率
6、已知某液体的粘性切应力,动力粘度,则其剪切变形速率为：
（ ）。
%10VV?
2/0.5 mN
sPa 1.0?
第二章 流体静力学重点内容：
作用在流体上的力与静压强
流体平衡微分方程
流体静力学基本方程式基本概念或结论：
表面力 －作用在流体体积 表面 上的力
（包括法向力和切向力）
质量力（体积力） －作用在流体 内部 质点上的力，大小与流体质量成正比。
静压力 －为流体所受的 法向应力。两特性：
1) 方向总是垂直指向压力的作用面（即为内法向线方向）。
2) 流体内任意点处的压强只与该点空间位置有关，而与作用面方位无关。
基本概念或结论：
绝对压
－以绝对零压（绝对真空）为起点所计算的压强。
相对压强（表压）
－以大气压为起点所计算的压强。
真空度
－大气压与绝对压之差。
基本概念或结论：
静止态不可压缩流体内部任一处流体的
,位势能,与,压强势能,可以相互转换，但,总势能,不变。
压强随深度作线性增加。
压强可传递，内部压强随自由表面上压强的变化作等额增加。
等压面为水平面。
第二章 流体静力学重要公式：
1、流体平衡微分方程
0 ;0 ;0 zpfypfxpf zyx
0)(1)( zpypxpfff zyx?
欧拉平衡微分方程
)( dzfdyfdxfdp zyx
压差公式第二章 流体静力学重要公式：
2、势函数
)()(?
ddpdzfdyfdxf zyx
zfyfxf zyx?
,,
重力场的势函数
),,( zyx
gz
第二章 流体静力学重要公式：
3,流体静力学基本方程式常数 gzp?
常数
g
pz
ghpp 0
练习题
1,1.0kgf/cm2为（ ）。
A,98kPa
B,10mH2O
C,101.33kPa
D,760mmHg
练习题
2、下列命题中正确的有（ ）。
A、绝对压强不能为负数
B、相对压强可正可负
C,真空度可正可负
D、真空度不能为负数练习题
3、静止流场中的压强分布规律（ ）。
A、仅适合于不可压缩流体
B、仅适合于理想流体
C、仅适合于粘性流体
D、既适合于理想流体也适合于粘性流体练习题
4、流体静压强 p的作用方向为（ ）。
5、重力作用下的 流体静压强微分方程为：
6、相对压强的起量点为：
7,静止流体的等压面方程为：
8、绝对压强的起量点为：
9、在平衡流体中，质量力恒与等压面（ ）
第三章 流体流动特性重点内容：
流场研究的两种方法：
拉格朗日法和欧拉法欧拉法分析速度场，将流体质点物理量随时间的变化率表示为由不稳定性引起的当地变化率和由不均匀性引起的迁移变化率两部分。
第三章 流体流动特性重点内容：
流体质点运动的加速度
流线与迹线
流线微分方程
流管与流束
粘性流体的流动形态
雷诺准则第三章 流体流动特性重点公式,,
流体质点运动的加速度
流线微分方程
V)V(VVVVVVa tzwyvxutDtD
),,,(),,,(),,,( tzyxw
dz
tzyxv
dy
tzyxu
dx
基本概念或结论：
流场中各点流速的大小与方向是变化的；
流线上任一点的切线方向代表流经该处流体质点的速度方向，即垂直于流线的速度分量为零；
流线互不相交；
流体质点流动时不可能穿越流线；
恒定流中，流线与迹线在几何上重合。
流线属性基本概念或结论：
流管特性
流体不可能从流管侧面流入或流出；
对于稳定流动，流管的形状与位置不随时间而变。
润湿周长 －流体流动所润湿的固体壁面的周边长度，
水力半径 － 有效流通截面积与润湿周长之比。
x
AR
h
0?
当量直径 － 四倍的水力半径。
x
he RD 4?
基本概念或结论：
平均流速 －单位时间内单位流通截面所通过的流体体积量。
0Av V d AQ
雷诺数是惯性力与粘滞力之比
层流与湍流的本质区别湍流时，流体质点除了有主运动还存在随机的脉动。
层流时，流体在管内的速度分布呈抛物状。
基本概念或结论：
练习题
1、当流体为恒定流动时必有（ ）为零。
A、当地加速度
B、迁移加速度
C、向心加速度
D、合加速度练习题
2、已知不可压缩流体的流速场为则流动为（ ）。
A、一维流动
B、二维流动
C、三维流动
D、均匀流动
0 ),( ),,( wxfzyfu?
练习题
3、当流体为恒定流动时，流线与流迹在几何上（ ）。
A、相交
B、正交
C、平行
D、重合练习题
4、已知不可压缩流体作平面流动的流速分布为则常数（ ）
A,B,C,D、
ybxxyaxu )(,22
2
1?a 1?a
2
1?b 1?b
第四章 流体动力学分析基础流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。
本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程,连续性方程、柏努利方程、动量方程和能量方程等，这些方程是分析流体流动问题的基础 。
控制体 －流场中某个确定的空间区域，其界面为控制面，其大小形状可任意选定。控制体一经选定，其位置就相对固定了下来。
控制体分析着眼有限体积内流体的总体运动。由此建立的守恒方程更具有实用价值。
4.1系统与控制体第四章 流体动力学分析基础第四章 流体动力学分析基础系统 －一定质量的流体质点的集合。
在流动过程中，系统表面通常在不断变形，
而其中的流体质量是确定的。流体系统位置随运动而改变。
4.1系统与控制体
雷诺运输方程 － 揭示系统内流体参数变化与控制体内流体参数变化之间关系。
4.2雷诺运输定理第四章 流体动力学分析基础
系统与控制体的对比与关联系统 控制体系统 系统 系 统系统位置随运动而改变,可能与控制位置重叠
雷诺运输方程 － 揭示系统内流体参数变化与控制体内流体参数变化之间关系。
4.2雷诺运输定理第四章 流体动力学分析基础
系统与控制体的对比与关联系统 控制体系统 系统 系 统第四章 流体动力学分析基础
系统内与控制体内物理量随时间变化率之关系的推导
I II III 4.2雷诺运输定理设 B为物理量,B的质量变化率为
dm
dB
dVdmdmdm
dBB)(
(4-1)
I系统第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理设 时刻，系统处于右图状态时刻，系统处于上图状态
t
tt
则有：
tvcts BB )()(,?
)))(()()(,ttIIIIvcttIIIIItts BBBBBB
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理则系统内物理量随时间变化率为：
t
B
t
B
t
BB
t
BBBB
t
BB
dt
dB
ttI
t
ttIII
t
tvcttvc
t
tvcttIIIIvc
t
tstts
t
s
)()()()(
)()(
)()(
)(
l i ml i ml i m
l i m
l i m
00
,,
0
,,
0
0↙ 定义式
←关联控制体
（ 4-2）、（ 4-3）、（ 4-4)
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理逐项分析下式各项：
t
B
t
B
t
BB
dt
dB ttI
t
ttIII
t
tvcttvc
t
s
)()()()()( limlimlim
00
,,
0
↑控制体内 B的时间变化率
↙ B的流出率
↑B的流入率第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理逐项分析下式各项：
t
B
t
B
t
BB
dt
dB ttI
t
ttIII
t
tvcttvc
t
s
)()()()()( limlimlim
00
,,
0
vcvcvc
vc
tvcttvc
t
dV
t
dV
t
dV
dt
d
dt
dB
t
BB
,,,
,
,,
0
)(
)()(
l i m
控制体位置不变 ↘
（ 4-5）、（ 4-6）
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理逐项分析下式各项：
t
B
t
B
t
BB
dt
dB ttI
t
ttIII
t
tvcttvc
t
s
)()()()()( limlimlim
00
,,
0
←B通过控制面的流出率与流入率之差 tBtB ttItttIIIt )()( l i ml i m 00
由（ 4-1）式知，
B是 体积量 的函数 dVB
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理
B通过控制面的流出量：
B通过控制面的流入量：
dtdAdVB 00000 )nV(
dtdAdVB iii )nV( ii
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理
B通过控制面的流出率：
B通过控制面的流入率：
000
0
00
)nV(lim)(lim dA
t
B
t
B
t
ttIII
t
i
i
t
ttI
t
dA
t
B
t
B )nV(lim)(lim
ii00
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理
B通过控制面的净流出率：
sc
ttI
t
ttIII
t
dA
dAdA
t
B
t
B
,
0ii000
00
)nV(
))nV(()nV(
)(
lim
)(
lim
（ 4-7）
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理综上所述，得：
scvcs
dAdV
tdt
dB
,,
)nV()(
（ 4-8）
上式表明,系统内 B随时间的变化率，等于控制体内 B随时间的变化率加上 B通过控制面的净流率。
第四章 流体动力学分析基础
4.2雷诺运输定理
雷诺运输方程的意义
scvcs
dAdV
tdt
dB
,,
)nV()(
（ 4-8）
上式等号右边第一项相当于当地导数，第二项相当于迁移导数。
雷诺运输方程着眼有限体积内流体的总体运动，适用于控制体分析。而流体质点随体导数适用于微分分析。
第四章 流体动力学分析基础
4.2雷诺运输定理定常态下：
scs dAdt
dB
,
)nV()(
（ 4-9）
结论,在 定常态下,系统内 B随时间的变化率，仅与 B通过控制面的流率有关，与内部流动过程无关。
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。
流体是连续介质，它在流动时充满整个流场。
当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，在某一定时间内，如果流出的流体质量和流入的流体质量不相等，则表明封闭曲面内流体密度是变化的；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成方程，
称为连续性方程。
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
连续性方程在流动系统应用质量守恒定律,由雷诺运输方程推导出连续性方程。
scvcs
dAdV
tdt
dB
,,
)nV()(
在流动系统应用质量守恒定律,此时的流体参数 B是质量，即：
mB? 1
dm
dB?
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
连续性方程
scvcs dAdVtdtdB,,)nV()(
↓
scvcs dAdVtdtdm,,)nV()(
系统内质量不变，即,0)nV(,, scvc dAdVt
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
连续性方程
vcsc dVtdA,,)nV(
上式就是积分形式的连续性方程，可见：
通过控制面的质量净流率，等于控制体内质量的减少率。
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
（ 4-11）
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
定常态下不可压缩流体的连续性方程
0)nV(, sc dA
（ 4-12）
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
（ 4-11）
上式为积分形式的连续性方程定常态：
不可压缩流体：
0
,
vc
dVt?
为常数?
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
定常态下不可压缩流体的连续性方程
0)nV(, sc dA
考虑微元流管内的流动，
流体流入截面 1，从截面 2流出，侧面无流体通过。故：
01122 dAVdAV
（ 4-13）
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
定常态下不可压缩流体的连续性方程对任意有限截面流管
1122 AVAV?
（ 4-14）
式（ 4-14）为不可压缩流体在定常态下作一维流动的连续性方程。
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
定常态下不可压缩流体的连续性方程
1122 AVAV?
（ 4-14）
式（ 4-14）说明一维流动在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比。
第四章 流体动力学分析基础
4.4理想流体的能量方程在流动系统应用能量守恒定律,由雷诺运输方程推导出能量方程。
scvcs
dAdV
tdt
dB
,,
)nV()(
在流动系统应用能量守恒定律,此时的流体参数 B是能量，即：
EB? e
dm
dE
第四章 流体动力学分析基础
scvcs dAdVtdtdB,,)nV()(
↓
scvcs dAedVetdtdE,,)nV()(
结合热力学第一定律：
4.4理想流体的能量方程
WQdtdE
（ 4-16）
（ 4-15）
第四章 流体动力学分析基础
WQdAedVet
scvc
,,
)nV(
4.4理想流体的能量方程
（ 4-17）
式（ 4-17）表示,控制体内能量随时间的变化率与通过控制面的能量净流率之和，等于输入系统的热量与环境对系统所做功之和。
第四章 流体动力学分析基础
WQdAedVet
scvc
,,
)nV(
4.4理想流体的能量方程
（ 4-17）
在重力场，系统单位质量的能量包括内能、势能和动能：
2
2V
gzee u
（ 4-18）
第四章 流体动力学分析基础
4.4理想流体的能量方程环境对系统所做的功，为单位时间作用在控制体的表面应力所作的功：
（ 4-19）
dAW
sc?
,
)V(?
理想流体只有法向应力，且指向作用面，故：
dApW sc,)nV(
（ 4-21）
第四章 流体动力学分析基础
WQdAedVet
scvc
,,
)nV(
4.4理想流体的能量方程
（ 4-17）
↓
QdApedVet
scvc
,,
)nV)((
（ 4-22）
第四章 流体动力学分析基础
4.4理想流体的能量方程
重力场理想流体在绝热定常态下的能量方程
QdApedVet
scvc
,,
)nV)((
（ 4-22）
↓
0)nV)((, sc dApe? （ 4-23）
↓
0V)
2
(
,n
2
sc u
dApVgze
（ 4-24）
上节要点
（ 4-8）
雷诺运输方程
（ 4-9）
scvcs dAdVtdtdB,,)nV()(
scs dAdtdB,)nV()(
定常态下雷诺运输方程上节要点
（ 4-11）
积分形式的连续性方程
（ 4-14）
不可压缩流体在定常态下作一维流动的连续性方程
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
1122 AVAV?
上节要点
（ 4-17）
理想流体的能量方程（通式）
0V)
2
(
,n
2
sc u
dApVgze
（ 4-24）
重力场理想流体在绝热定常态下的能量方程
WQdAedVet
scvc
,,
)nV(
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利（ Bernouli）方程绝热，定常态，在一微元流管上应用式（ 4-24）
（ 4-25）
0V)2(,n
2
sc u dApVgze
0)2()2(
12
22
A uA u
dApVgzeVdApVgzeV
↓
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程
（ 4-25） 0)
2()2( 12
22
A uA u
dApVgzeVdApVgzeV
微元面积 A1,A2上的能量视为常数，得：
)2(
2
pVgze
u
0)
2
()
2
(
12 1
1
2
1
11
2
2
2
2
22 AuAu V dA
pVgzeV dApVgze?
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程由连续性方程：
得：
（ 4-27）
（ 4-26）
与外界没有热交换，内能不变；又密度不变，故有：
0)2()2(
12 1
1
2
1
11
2
2
2
2
22 AuAu V dA
pVgzeV dApVgze?
12 AA V d AV d A
1
1
2
1
11
2
2
2
2
22 22
pVgzepVgze
uu
1
2
1
1
2
2
2
2 22
pVgzpVgz
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程
（ 4-27）
（ 4-28）
上两式为伯努利方程。式中三项分别表示单位质量流体所具有的位势能、动能和压强势能，单位为 J/kg。位势能、压强势能和动能均为机械能。
或写成：
1
2
1
1
2
2
2
2 22
pVgzpVgz
常数pVgz 2
2
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的意义方程表明：不可压缩的理想流体在重力场作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的 单位质量 流体所具有的位势能、动能和压强势能之和保持不变（即机械能是一常数），但位势能、动能和压强势能三种能量之间可以相互转换。
1
2
1
1
2
2
2
2 22
pVgzpVgz 常数
pVgz
2
2
伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的表现形式。
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的意义对单位重量的流体而言，伯努利方程中各项分别称为位置水头、速度水头和压强水头，三项和为总水头。
g
p
g
Vz
g
p
g
Vz
1
2
1
1
2
2
2
2 22 Hg
pVz
2
2
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的意义此时的伯努利方程可表述为：不可压缩的理想流体在重力场作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的 单位重量 流体所具有位置水头、速度水头和压强水头之和保持不变。
g
p
g
Vz
g
p
g
Vz
1
2
1
1
2
2
2
2 22 Hg
pVz
2
2
图 4-5理想流体沿流线的总水头和静水头第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用条件
1)不可压缩的理想流体；
2)在重力场作定常流动；
3)沿流线作一维流动。
g
p
g
Vz
g
p
g
Vz cc
c 22
2
1
2
1
1
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
1)确定有自由水面的薄壁容器侧壁小孔出水速度与水面高度的关系
（ 自由水面高度维持不变,忽略流动时粘滞力造成的摩擦损失。）
在 1,c两截面间应用伯努利方程 。
图 4-6
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
1)确定有自由水面的薄壁容器侧壁小孔出水速度与水面高度的关系代入图示数据：
整理得：
g
p
g
V
g
pH aca
2
2
gHV c 2?
（ 4-30c）
上式表明,小孔出流的速度，等于流体质点从自由水面处无摩擦自由下落到小孔处的速度。
图 4-6
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
1)皮托（ Pitot）管工程上测量管道中流体的流速，
可采用皮托管来进行。
皮托管主要结构如上图。
使用时，常与压差管连接使用（见右图）。
皮托管结构示意图
1p 2p
1p? 1p?
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
1)皮托（ Pitot）管工程上测量管道中流体的流速，
可采用皮托管来进行。
皮托管使用时，常与压差管连接使用。
皮托管结构示意图
VB A
Z Z
A,B点很接近，流体在 B点流速为 VB，流至 A点受阻流速将为 0，速度水头转为压强水头 h。
皮托管测量原理
VB A
Z Z
在 A,B点间应用 伯努利方程
皮托管测量原理
g
p
g
p
g
V AB
2
2
VB A
Z Z
整理得：
皮托管测量原理
gh
g
ppgV BA 2)(2
（ 4-31b）
1p 2p
1p? 1p?
内管,测速内管口正对流过来的流体，流体流至该处受阻，速度降为零，动能转化为静压能，
即内管测得管口处流体的动能和静压能。
g
p
g
p
g
V
g
p
2
2
外管,外管壁沿周边所开的孔很靠近内管口，用以测该处的静压能。
g
p
皮托管测量原理实际应用上皮托管 常与压差管连接使用。
1p 2p
1p? 1p?
g
p
g
V
g
p
g
p
g
p
2
)(
2
得内、外管所测的压差，可由静力学方程求得：
gRpppp o )()(
g
p
g
p
g
V
g
p
2
2
由
)(
2
2?
oRgpgV所以
)(2 oRgV即
皮托管测量原理
称压强水头和速度水头之和 称 为冲压水头。
测速管测的是点速度。
测速管应置于稳定段。
几点说明第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
3)文丘里（ Venturi）管文丘里管主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，主要用于管道中流体流量的测量，。
文丘里管利用收缩段造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压强差，应用伯努利方程求出管道中流体的体积流量。
22
2
22
2
11 VpVp
22
1
2
2
1 Vd
dV?
文丘里 管测量原理由一维流动连续性方程以文丘里管的水平轴线作为基准面。在截面
1-1,2-2间列伯努利方程（忽略阻力损失）
整理得：
])/(1[
)(2
4
12
21
2 dd
ppV
])/(1[
)(2
4 412
212
222 dd
ppdVAQ
流量为：
（ 4-32e）
（ 4-32d）
为流量系数，通过实验测定。
当文丘里管的压差用 U形差压计测量时，
则有：
])/(1[
)(2
4 412
02
2 dd
Rg
dQ
实考虑到 1-2截面间实际存在阻力损失的情况
])/(1[
)(2
4 412
212
2 dd
ppdQ
实
（ 4-32）
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理
定常流动的动量方程许多工程问题，只需求解流体与固体的相互作用，不必考虑流体内部的详细流动过程，这时应用动量定理直接求解十分方便。例如求弯管中流体对弯管的作用力，
以及计算射流冲击力等。不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理
定常流动的动量方程根据动量定理，流动系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即,
动量方程是动量守恒定律在流动系统的应用
F)V( smdtd
（ 4-33）
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理? 定常流动的动量方程运用雷诺运输方程,此时,VB m?
VB dmd?
scvcss dAdVtmdtddtdB,,)nV(VV)V()(
对定常流动：
scs dAmdtd,)nV(V)V(?
（ 4-34）
F)V( smdtd
（ 4-33）
故得：
sc dA,)nV(VF?
（ 4-35）
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理? 定常流动的动量方程是作用在控制体质量上的质量力和作用在被控制体切割的流体和固体上的表面力。
vcm dV,mfF?
为单位质量的质量力。在重力场为：
sc dA,)nV(VF?
（ 4-35）
F?
)FF(F sm
mf
（ 4-37）
（ 4-37a）
kf m g
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理? 定常流动的动量方程表面力 包括两部分：
1) 控制面外固体对控制面内流体的力
2) 周围流体的压强力和粘性应力所产生的力
scp dAp,)n(F
其中压强力：
（ 4-37）
)FF(F sm
（ 4-37b）
sF
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理? 定常流动的动量方程上式等号右边项为净动量流率，若控制面上流速和密度均匀，则有：
QAV n?
其中：
（ 4-38a）
sc dA,)nV(VF?
（ 4-35）
ino utsc AVAVdA )(V)(V)nV(V nn,
inoutsc QVQVdA )()()nV(V,
动量方程应用举例
【 例 4-1】 水平放置的变直径弯管，弯管断面 1-1上压力表读数 p1=17.6× 104Pa，管中流量 Q=0.1m3/s，直径 d1=300㎜,d2=200㎜,
转角 Θ=600，如图所示。求水对弯管作用力
F的大小解,水流经弯管动量发生变化，必然产生作用力 F。
而 F与管壁对水的反作用力 R平衡。管道水平放置在 xoy面上，将 R分解成 Rx和 Ry两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。
1.根据流量公式可求得：
sm
d
QV /42.1
3.0785.0
1.0
4
2
2
1
1
sm
d
QV /18.3
2.0785.0
1.0
4
2
2
2
2
2.列管道进、出口的伯努利方程
22
2
22
2
11 VpVp
Pa
VV
pp
3
22
3
2
2
2
1
12
102.17
2
)18.342.1(1 0 0 0
106.17
2
)(
则得：
3.对所取控制体受力分析,得进、出口控制面上总压力：
kNApP 43.123.04106.17 23111
kNApP 40.52.0
4
102.17 23222
壁面对控制体内水的反力 Rx,Ry，
其方向先假定如图所示。
4.写出动量方程选定坐标系后，作用力与坐标轴方向一致的，
在方程中取正值；反之，为负值。
沿 x轴方向
)c o s(c o s 1221 VVQRPP x
c o s)c o s( 1212 PPVVQR x
kN568.060c o s43.1240.5)60c o s42.118.3(1.0
沿 y轴方向,
)s i n0(s i n 11 VQRP y
s i ns i n 11 QVPR y
kN88.1060s i n42.11.060s i n43.12
kNRRR yx 89.1088.10)56 8.0( 2222
水流对弯管的作用力 F与 R大小相等，方向相反。
管壁对水的反作用力,
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程前述连续性方程、能量方程和动量方程是基于控制体分析，应用雷诺运输方程和相应的守恒定律推导得到的。
控制体分析法不深究流体内流动细节，
当需对流动细节细究时，应运用微分形式的守恒方程。
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程由控制体分析法已导出了积分形式的连续性方程，式（ 4-11）,
前已述，连续性方程是质量守恒定律在流动系统的应用结果。即连续性方程讨论的物理量是质量。
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程由控制体分析法已导出了积分形式的连续性方程，式（ 4-11）,
是单位面积质量通过控制面的面积积分，根据高斯定理，该积分等于单位面积质量的散度在控制体内的体积分。即：
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
sc dA,)nV(?
vcsc dVdA,,)V()nV(
（ 4-52）
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程又：
所以：
vcvc dVtdVt,,
（ 4-53）
0V)()nV(
,,,,
vcvcscvc
dVdVtdAdVt
即：
0V)(
,
dV
tvc
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程反映控制体内流体密度的变化反映控制体内流体质量的总变化
（ 4-53）
由于流体是由连续介质组成的，所以控制体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为控制体内流体密度的变化而引起的。
0V)(
,
dV
tvc
t
V)(
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程所以,（ 4-54）
0V)(t
上式即为微分形式的连续性方程方程表明,若控制体内流体质量发生了变化，
必然引起控制体内流体密度的变化。或者说，
如果控制体内流体的密度有变化，则意味着控制体内流体质量发生了变化。
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程
0V)(t
0?
z
w
yx
u
t
（ 4-55）
微分式连续性方程在直角坐标系上的表达形式将上式在直角坐标上表示，则有,
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程展开上式并归项，得,
0?
z
w
yx
u
t
（ 4-55）
0)()(?
z
w
yx
u
z
w
yx
u
t
微分式连续性方程在直角坐标系上的表达形式第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程上式的矢量形式,
0)( zwyxuDtD （ 4-56）
0)()(?
z
w
yx
u
zwyvxut
↓
0VDtD
（ 4-57）
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程其中,
)(V zwyxu
（ 4-57）
0VDtD
微分式连续性方程的矢量表达形式第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程
（ 4-58）0V)(
定常流动下的微分式连续性方程矢量表达形式
→
对不可压缩流体
0V)(t
（ 4-60）0V
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程
（ 4-59）
定常流动下的微分式连续性方程直角坐标表达形式
0?
z
w
yx
u
（ 4-61）
对不可压缩流体
0 zwyxu?
【 例 4-2】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为：
2,4,3?
z
w
yx
u?
9 zwyxu?
问该流动是否连续？
解：
故此流动不连续
zyxwzyvyxu 2,4),(3 23
若流动连续，应满足（ 4-61）式 0?
z
w
yx
u?
【 例 4-3】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为
yxxu s in2 yxy s in2
0)s i n2(s i n2 yxyxyxu?
yxyxu c o s2,s i n2
问该流动是否连续？
解：
故此流动连续第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
纳维－斯托克斯方程若对流场中的微元流体运用牛顿第二定律，可得到微分形式的动量方程，称为纳维
－斯托克斯方程。
前面已导出定常流动的动量方程（ 4-38a）
ino u tsc QVQVdAF )()()nV(V,
dy
dz
dyd zxx?
dxdyzx?
dzdxyx?
d y d zdxxxxxx )(
d z d xdyyyxyx )(
d x d ydzxzxzx )(
设在流场中任取一个微元平行六面体，
其边长分别为 dx,dy和 dz，应用牛顿第二定律。
Dt
Dd x d y d z
Dt
Ddm VVF （ 4-63）
dy
dz
dyd zxx?
dxdyzx?
dzdxyx?
d y d zdxxxxxx )(
d z d xdyyyxyx )(
d x d ydzxzxzx )(
X方向的动量平衡，有
Dt
Dud x d y dzdFdF
xsxmx )()(F
（ 4-64）
表面力（法向力和切向力）
质量力 x分力对粘性流体，表面力包括静压力和粘性力，分析它们在 x,y,z的分量，可得到：
（ 4-67）
d xd yd zzyxdF zxyxxxxs )()(
zxzxyxyxxxxx p,,
X方向
d xd yd z
zyxx
pdF zxyxxx
xs )()(?
（ 4-65）
代入上式得 X方向的净表面力：
整理得到 X方向的运动微分方程
（ 4-68）
代入（ 4-64）
d xd yd z
zyxx
pdF zxyxxx
xs )()(?
（ 4-67）
X方向的质量力,d x d y d zfdF
xxm)(
得到：
Dt
Dud x d y dzdFdF
xsxmx )()(F
d xd yd zzyxxpd xd yd zfDtDud xd yd z zxyxxxx )(
zyxx
pf
Dt
Du zxyxxx
x?
上式表明,流体的加速运动是质量力、压强力和粘性力共同作用的结果。
（ 4-71）
同理可得到 y,z方向的运动微分方程。
运动微分方程的矢量表达式：
ijpDt
D fV
zyxx
pf
Dt
Du zxyxxx
x?
或：
（ 4-71）
理想流体的欧拉运动微分方程理想流体无粘性，故粘性应力张量等于零
ijpDt
D fV
0?ij?
pDtD fV （ 4-72）
z
p
f
Dt
Dw
y
p
f
Dt
Dv
x
p
f
Dt
Du
z
y
x
（ 4-73）
斯托克斯提出了广义牛顿摩擦定律，即给出了应力与流体变形的关系式，代入上式整理出粘性流体的运动微分方程。
（ 4-71）
粘性流体的纳维－斯托克斯微分方程对于粘性流体
ijpDt
D fV
0?ij?
（ 4-71）
粘性流体的纳维－斯托克斯微分方程
ijpDt
D fV
粘性流体运动微分方程的矢量表达式：
VfV pDtD （ 4-80）
△ 称为拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
zyx?
4-80式称为 纳维－斯托克斯微分方程。
（ 4-71）
粘性流体的纳维－斯托克斯微分方程
ijpDt
D fV
粘性流体各方向的运动微分方程
)(
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
p
f
Dt
Dw
zyxy
p
f
Dt
Dv
z
u
y
u
x
u
x
p
f
Dt
Du
z
y
x
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
基本微分方程组的定解条件
1)初始条件
0tt?
),,(
),,(
),,(
),,(
0
0
0
0
zyxpp
zyxww
zyxvv
zyxuu
2)边界条件
固体壁面
进口出口
相界面因某些研究问题过于复杂，以至 不能建立数学表达式 或 难以用数学方法求解 。转而用实验方法。
引入 量纲分析方法 可使实验变量减少、
实验数据关联过程得以简化。
第五章 量纲分析与相似原理量纲是代表被测物理量单位种类的一种符号。
如国际单位制中长度单位的量纲是
量纲分析的基础知识流体力学中的基本单位是质量、长度、时间，它们的量纲分别为：
5.1量纲分析第五章 量纲分析与相似原理
1)什么是量纲？
L
tLM
量纲分析的基础知识非基本物理量的量纲，依物理量定义或物理方程，由基本物理量量纲推导出。如速度的量纲为：
5.1量纲分析第五章 量纲分析与相似原理
1)什么是量纲？
1?Lt
量纲分析的基础知识
5.1量纲分析第五章 量纲分析与相似原理
1)什么是量纲？
当 a,b,c均为零时，称物理量 B为无量纲的量
cba tMLB?
流体力学中任一物理量 B的量纲公式可表示为：
依据 一定的原则,将几个变量组合成一个 无量纲数组 。用无量纲数组代替原来若干变量进行实验，以得到可应用的公式。这一方法称为 量纲分析方法。
2)什么是量纲分析方法？
量纲分析法 是工程实验研究中常使用的方法之一
5.1量纲分析第五章 量纲分析与相似原理
量纲分析的基础知识量纲分析法的基础是,量纲齐次原理
（也称因次一致性的原则）和 π定理。
量纲齐次原理,一个能合理反映物理现象的方程，其等号两边不仅数值相等，
而且每一项都应具有相同的因次。
3)量纲分析方法的原理第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
量纲分析的基础知识
4)量纲分析方法的原理第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析白金汉（ Buckingham） π定理,任何因次一致的物理方程，都可以表示为一组无量纲数的幂函数。 无量纲数 的数目等于变量数 n与基本量纲数 m之差。
量纲分析的基础知识设影响某现象的物理量为 n 个，这些物理量的基本量纲为 m个，则该物理现象可用（ n-m）个独立的无量纲数组成的关系式表示,此即为 π定理。
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
π定理称为重复变量，每个无量纲数都是重复变量与剩余变量中的其中一个变量的组合无量纲数的组成第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
π定理
（ n-m）个无量纲数的组成结构如下
321,,xxx
n
cba
mn
cba
cba
xxxx
xxxx
xxxx
mnmnmn
221
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
52
41
以 摩擦系数的无量纲数方程推导为例摩擦系数的幂指数形表达式：
)(,、、,Vdf?
edcba VKd
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析π定理的具体应用摩擦系数的一般表达式：
edcba VKd
式中六个物理量的量纲分别为：
000 tML
Ld?
1 LtV
3 ML?
11 LMt?
L
整理，得：
（ 1）
将上面六个式代入 （ 1） 式，得：
000 tML
Ld?
3 ML?
11 LMt?
L
edcba LLMtMLLtLKtML 1131000
dcdbedcba MtKLtML 3000
edcba VKd
1 LtV
解方程组，得：
根据量纲齐次原则，得：
dcdbedcba MtKLtML 3000
03 edcbaL,
0 dcM,
0 dbt，
bd
bc?
ebebbba 3
将方程解代入原方程 （ 1） 整理，得：
bd
bc?
eba
ebbbeb VKd
eb
d
VdK?
（ 1）
edcba VKd
上式表明：在无量纲数组方程中，
只与两个无量纲数组有关,做实验时只须确定 b,e两个指数,实验工作量大为简少！
e
b
eb
d
K
d
VdK
Re
edcba VKd
（ 1）
↓
量纲分析法必须依靠实验才能得到确定无量纲数之间的定量关系。
漏了必要的物理量，则得到的无量纲数组方程无法通过实验建立确定的关系 。
1) 无量纲数组的形式
2) 作用在流体上力
惯性力
粘性力第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
关于 π定理的几点说明
22
2
3 lV
l
VlmaF
ine r
VlllVAdyduAF v is 2
1) 无量纲数组的形式
2) 作用在流体上力
压力
重力还有表面张力、弹性力第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
关于 π定理的几点说明
22 plplpAF p r e 或
glmgF g r a 3
3) 流体力学中常见的无量纲数组
雷诺数湍流时雷诺数大，表明是惯性力起主要作用；层流时雷诺数小，表明是粘滞力起主要作用。
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
关于 π定理的几点说明
v is
in e r
F
F
Vl
lVVl
22Re
3) 流体力学中常见的无量纲数组
欧拉数与压力有关的现象由欧拉数反映。
此外，常见的无量纲数组还有弗雷德（ Froude）数、韦伯（ Weber）数、
马赫（ Mach）数。
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
关于 π定理的几点说明
in e r
p r e
F
F
lV
pl
V
pEu
22
2
2
1) 可使实验变量减少、实验数据关联过程得以简化。
2) 可用于物理量量纲的推导。
3) 通过核对由理论导出的数学方程的判断方程的正确性。
4) 确定模型实验的相似条件。
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
量纲分析的意义
1) 几何相似流动边界几何相似，即对应的线性尺寸成比例第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似概念
3
3
3
2
2
2
,,lVlAl CllCCllCllC
2) 时间相似对应的时间间隔成比例。
第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似概念
s
s
t t
t
t
t
t
tC
2
2
1
1
3) 运动相似速度或加速度的方向一致，大小成比例。这称为速度或加速度几何相似。
第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似概念
Vl
t
l
Q
l
V
t
V
a
V
CC
C
C
tl
tl
Q
Q
C
C
C
C
C
tV
tV
a
a
C
V
V
C
2
3
3
3
2
/
/
/
/
4) 力相似作用在流体上的各种力的方向对应一致，
大小互成比例。这称为力场的几何相似。
力相似中涉及到的比例常数有：力比例常数、
密度比例常数、质量比例常数、力比例常数、
压强比例常数、运动粘度比例常数和动力粘度比例常数等。
第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似概念相似原理要点：
相似的现象遵循同一客观规律
相似现象的单值条件相似
由单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似原理单值条件指,几何条件、物性条件、边界条件、初始条件等。
判断所推导的相似准则中的主次准则
设计实验
确定实验需测物理量及数据整理
实现将实验结果应用到实物系统的换算第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似原理的应用
相似理论从微分方程出发导出相似准则
相似理论导出的无量纲数组是面向两对应系统的
相似理论仅适用于物理现象相似的系统
相似理论偏重于现象的物理方面第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似原理与量纲分析的比较
由于粘性的影响，使流层之间出现切向应力，形成阻力；
流动形成层流、湍流两种形态。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动不可压缩粘性流体内部流动的特点：
对理想流体运动基本规律的讨论，得到了伯努利方程。
研究实际流体在管道或渠道中的流动，
需考虑粘性的影响，粘性导致流动过程产生摩擦阻力，维持流动需克服流动阻力，故流体中将有一部分机械能不可逆地损失掉。
讨论粘性流体流动的重点就是讨论由于粘性在流动中所造成的阻力问题，
即讨论阻力的性质、产生阻力的原因和计算阻力的方法。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动由无数微元流束（或流线）组成的 有效截面为有限 的流束称为总流。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力何为总流？
不可压缩粘性流体在管道或渠道中的流动属总流流动。
微元流束与总流的区别第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力微元流束在同一截面上流体质点的位置高度、压强和流速可认为是相同的。而总流在同一有效截面上的流体质点的位置高度、压强和流速则是不同的 。
即,
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力对不可压缩理想流体沿同一流线（或同一微元流束）流动有伯努利方程（式 4-29）：
HgpzgV2
2
g
pz
g
V
g
pz
g
V
2
2
2
21
1
2
1
22
(6-2)
或写成：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力对于粘性流体，由于克服粘性阻力要消耗机械能，故粘性流体微元流束的伯努利方程为：
(6-3)
22
1 1 2 2
1222
V p V pzz
g g g g
22
1 1 2 2
1222 wl
V p V pz z h
g g g g
(6-4)
粘性流体 微元流束 的伯努利方程
1) 使用平均流速，并乘以动能修正系数第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力由于微元流束与总流的区别，伯努利方程
（ 6-4）不可直接应用于总流，须作以下调整：
粘性流体 总流 的伯努利方程
whg
pz
g
V
g
pz
g
V
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1 22
(6-6)
2）方程只能在任意两缓变流有效截面上应用急变流 缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流图 6-1 缓变流和急变流示意图关于缓变流和急变流上式即 粘性流体总流的伯努利方程。
适用于重力作用下不可压缩粘性流体定常流动的任意两个缓变流的有效截面。
为了克服流动阻力，总流的总机械能沿流线方向逐渐减少，以 表示总流从有效截面 1至有效截面 2之间的平均单位重量流体的能量损失。
Wh
whg
pz
g
V
g
pz
g
V
22
2
2
2
1
1
2
1
1 22
(6-6)
图 6-2 总流总水头线
动能修正系数 是由于截面上速度分布不均匀而引起的；
是个大于 1的数，有效截面上的流速越均匀,值越趋近于 1。
在实际工业管道中，通常都近似地取
对于圆管层流流动
0.1
2
whg
pz
g
V
g
pz
g
V
22
2
2
2
1
1
2
1
1 22
关于 动能修正系数第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
流动阻力损失
6.1流动阻力由流动阻力引起的能量损失称为流动阻力损失，简称阻力损失，包括沿缓变流流动的总沿程阻力损失和在急变流处产生的总局部阻力两部分。
(6-8)
jfw hhh
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
流动阻力损失
6.1流动阻力
1)沿程阻力损失 (简称沿程阻力或沿程损失 )。
流体流动克服沿程阻力而损失的能量称为沿程损失，其大小与流过的管道长度成正比，
还与流体的流动状态有密切关系。
单位重量流体的沿程损失称为沿程水头损失，以 表示，单位体积流体的沿程损失，
又称为沿程压强损失，以 表示 。fh
fp?
在管道流动中的沿程损失可用下式求得
g
V
d
lh
f 2
2
2
2V
d
lp
f
－ 沿程阻力系数，是一个无量纲的系数，
与雷诺数和管壁粗糙度有关。
式（ 6-9）称为达西 -威斯巴赫
（ Darcy-Weisbach）公式。
(6-9a)
(6-9)
2)局部阻力损失管道中通常装有阀门、弯管、变截面管等局部装置。流体流经这些局部装置时流速将重新分布，流体质点与质点及与局部装置之间发生碰撞、产生漩涡，使流体的流动受到阻碍，
由于这种阻碍是发生在局部的急变流动区段，
所以称为局部阻力。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.1流动阻力流体为克服局部阻力所损失的能量，
称为局部损失。
单位重量流体的局部损失称为局部水头损失，以 表示，单位体积流体的局部损失，又称为局部压强损失，以 表示。jh
jp? jj ghp
局部损失可用下式求得：
g
Vh
j 2
2
局部阻力系数 是一个无量纲的系数，由实验测定。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.1流动阻力
2)局部阻力损失
(6-10)
流动阻力损失例 6-1 输油管的直径 d＝ 0.1m，长 l＝ 6000m，
出口端比入口端高 h＝ 12m，输送油的流量 G
＝ 8000kg/h，油的密度＝ 860kg/m3,入口端的油压 pi＝ 4.9× 105Pa,沿程阻力损失系数＝
0.03，求出口端的油压 p。
解：油的平均流速
23600
4
GV
d
2
8000
3 6 0 0 0,1 8 6 04
= ＝ 0.329（ m/s）
m
g
V
d
lhh
fw 94.981.92
329.0
1.0
6 0 0 003.0
2
22
代入已知数据，解得：
例 6-1 输油管的直径 d＝ 0.1m，长 l＝ 6000m，
出口端比入口端高 h＝ 12m，输送油的流量 G
＝ 8000kg/h，油的密度＝ 860kg/m3,入口端的油压 pi＝ 4.9× 105Pa,沿程阻力损失系数＝
0.03，求出口端的油压 po
在入、出口截面附近建立总流的伯努利方程
22
1 1 2 2
12 22 w
p V p Vz z h
g g g g
02 305090p p P a
管内任取一流体柱分析其受力推动力：净压力
2221 )( rprpp
阻力：内摩擦力
rlS 2?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的微分方程
r
l
p
dr
du
2
得 圆管内层流流动的微分方程：
合力为零，即：
022 rlrp
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的微分方程
dr
du
(6-11)
)(
4
22 rR
l
pu
r
R
u
r d r
l
pdu
20
得管内 层流流动的速度分布式：
积分上式：
上式表明：圆管内层流时任一点的速度在圆管的有效截面积上呈抛物面分布。
管内层流流动的速度分布和流量表达式第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
rlpdrdu?2
(6-12)
在 的管轴上，流速达到最大值：
式（ 6-12）表明在有效截面上各点的流速与点所在的半径 成二次抛物线关系。u r
0?r
2
m a x 4 Rl
pu
代入上式得：
当 时，
上式反映圆管内任一点的速度与管中心最大点速度的关系。
0?r
22
m a x
m a x
164
d
l
p
R
l
p
u
uu
)(4 22 rRlpu
2
m a x )(1 R
ruu
(6-13)
)(4 22 rRlpu f
r d ruudAQ RR
00
2?
代入上式，有：
R r d rrRlpQ 0 22 )(2
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
管内层流流动的速度分布和流量表达式流量表达式即平均流速为：
2328
m a x22
2
ud
l
pR
l
p
R
QV
积分，得：
44
0
4
0
2
2
1288
)
4
1
2
(
2
d
l
p
R
l
p
rr
R
l
p
Q
RR
(6-14)
(6-15)
2
m a xuV?
4
1 2 8 dl
pQ
上式称为哈根－泊肃叶（ Hagen-
Poiseuille）公式。表明,层流流动时，流量与单位长度的压强降和管半径的四次方成正比。上式 也是管流法测量流体动力粘度 μ
的公式依据。
上式表明,对圆管层流而言,管内平均流速是轴线处最大流速的一半。 即管内平均流速可通过测取轴线处的流速而求得。
由牛顿内摩擦定律和 层流流动速度分布式：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的沿程阻力公式切应力分布
du
dr 22()4
pu R r
l?
可得到切应力在有效截面上的分布规律：
l
pr
2
l
pr
2
(6-16)
l
Rp f
w 2m a x
R
r
m a x
式（ 6-16）表明，切应力在管壁处最大、
在轴线处为 0；在圆管的有效截面上，切应力与管径的一次方成比例，为直线关系。
圆管有效截面上的切应力分布由哈根－泊肃叶公式，得到 层流流动时,
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的沿程阻力公式沿程阻力公式单位重量流体的沿程阻力损失则为
4
128 lQp
d
g
V
d
l
g
ph
f 2Re
64 2
(6-18)
(6-17)
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的沿程阻力公式沿程阻力公式可见，不可压缩粘性流体在圆管内作层流流动时，沿程阻力损失与平均流速的一次方成正比，沿程阻力系数 λ 仅与雷诺数有关，而与管道壁面粗糙度无关。
2
2 32
2Re
64
gd
lV
g
V
d
l
g
ph
f?
比较哈根－泊肃叶公式和 达西公式,
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的沿程阻力公式沿程阻力系数得到圆管内层流，沿程阻力系数为：
g
V
d
l
g
ph
f 2Re
64 2
(6-19)
g
V
d
lh
f 2
2
Re
64
在湍流流动时，其有效截面上的切应力、
流速分布等与层流时有很大的不同。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流流动的脉动现象与时均速度湍流是随机的三维非定常流动湍流运动中的流体质点，因不断互相掺混，
引起质点间的碰撞和摩擦，产生了无数旋涡，造成速度等流动参数随时间和空间作随机脉动。即湍流是一种不规则的流动状态。
图 6-10 脉动速度
T
i tuTtu
0
d1)(
对某个时间间隔内的瞬时速度取平均值，该平均值具有统计规律，称为时均速度，定义为：
湍流时，用高精度的测速仪来测量流场中某一空间点的流体质点流速，可发现速度是随时间作随机脉动的，如图所示。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
u
T?
(6-47)
瞬时速度与时均速度之差称为脉动速度：
uuu i
其中,称为脉动速度。 对定常流动,时均速度 不随时间变化，而 还是随时间变化的。
脉动速度有正有负，但是在一段时间内，其平均值为零。
u u?
u?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流流动的脉动现象与时均速度时均速度与脉动速度
(6-48)
湍流中的压强和密度也有脉动现象，同理有,
i
i ppp
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流流动的脉动现象与时均速度其它脉动参数
(6-51)
(6-50)
湍流中的切向应力由摩擦切向应力和附加切应力两部分组成。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
流体的脉动速度会引起动量交换，从而产生能量损失，其效果等同于切应力的作用，将这种虚在的切应力称为附加 切应力（也称雷诺应力）,其计算式可由普朗特混合长度理论推导出来。
摩擦切向应力可由牛顿内摩擦定律式求得 tl
y
u
l d
d
普朗特混合长度理论推导过程的要点：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
普朗特假定：脉动速度使流体质点从流层 1运动到另一流层 2的距离 相当于气体分子的平均自由行程 。
假设流体质点在流层间的速度变化等于质点的纵向脉动速度 udu
l?
普朗特混合长度理论推导过程的要点：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
内脉动质点引起动量变化为
dt
lyutAlyumulyuum
d
d)dd(
d
dd
d
dd
普朗特混合长度理论推导过程的要点：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
根据动量定理，动量变化等于作用在流体上外力的冲量。
于是得,
dAdF t
tFlyutA dddd)dd(
这个外力就是附加应力，即：
l
y
u
A
F
t d
d
d
d
普朗特混合长度理论推导过程的要点：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
假设：
于是得,
y
ulk
d
d
22 )
d
d()
d
d(
y
ulkl
y
uv
t
22 lkl
令,
则,22
)dd( yult
普朗特将 称为混合长度，并认为：
kyl?
l
湍流中的总切向应力：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
湍流粘度 不是流体的物性，它取决于流体的密度、时均速度梯度以及普朗特混合长度。
其中：
y
u
y
ul
y
u
ttl d
d)(
d
d
d
d
2
2
y
ul
t d
d2
t?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
y
u
ttl d
d)(
在接近管壁的地方粘性摩擦切应力起主要作用；在管道中心处，流体质点之间混杂强烈，附加切应力起主要作用。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑
层流底层 －受粘性影响，湍流时，贴壁处流体速度为零，壁面附近流体的脉动减弱，紧贴壁面处存在一个很薄的层流流，这一流层称为层流底层，其厚度用 δ表示 。
管内湍流结构分析,
1—层流底层第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑
过渡层 －距管壁稍远处，存在一个由层流到湍流的过渡区域，域内粘性摩擦切应力和湍流附加切应力同样起作用。
管内湍流结构分析,
2—过渡区第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑
湍流核心－ 湍流区以雷诺应力为主 。
管内湍流结构分析,
3—紊流核心第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑层流底层的厚度 δ 与 Re数、沿程阻力系数 λ 有关。对圆管有：
层流底层厚度,
Re
d8.32?
层流底层的厚度取决于流速的大小，流速越高，层流底层的厚度越薄，反之越厚。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑层流底层厚度,
层流底层对湍流流动的能量损失以及流体与管壁之间的热交换起着重要的影响。
层流底层的厚度越薄，换热就越强，但流动阻力也越大。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑水力粗糙与水力光滑层流底层对流动阻力损失及流体热交换的影响作用与 管道壁面的粗糙度有关。
d
u
绝对粗糙度 — 壁面凸出部分的平均高度
相对粗糙度 — 绝对粗糙度与管道直径的比值
d/?
管壁粗糙度对摩擦系数的影响
d
u
流体流过管壁面的情况 1b
b?
管壁粗糙度对摩擦系数的影响管壁的粗糙凸出部分淹没在层流区中，粗糙度对湍流流动无影响，流体如同在光滑管中流动。这种情况称为,水力光滑,,这时的管道称为,水力光滑管,。
d
u
流体流过管壁面的情况 2
b
b?
管壁粗糙度对摩擦系数的影响湍流流体流过凸出部分，粗糙度对流动发生影响，
产生碰撞、冲击,在凸出部分后面 形成漩涡，增加能量损失，这种情况称为,水力粗糙,,这时的管道称为,水力粗糙管,。
层流底层的厚度随着 的减小而增厚，因此，对同一绝对粗糙度的管道，
流速较低时，可能是光滑管，随流速增大则有可能变为粗糙管。
Re
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑水力粗糙与水力光滑第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
圆管内湍流流动的速度分布层流底层内速度分布－呈线性规律
yu w
光滑管湍流区的速度分布
(6-59b)
5.5lg75.5
yu
u
u
(6-63)
n
R
y
u
u )(
m a x
(6-66)
指数 n随雷诺数变化第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
圆管内湍流流动的速度分布
n
R
y
u
u )(
m a x
当 Re=1.1× 105时,n=1/7，即著名的冯卡曼（ Von Karman）七分之一次方规律。随着雷诺数增大，速度分布曲线中湍流核心区的速度分布更为平坦，层流底层更薄，
壁面附近速度变化更快。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
圆管内湍流流动的速度分布粗糙管湍流区的速度分布
(6-55)48.8lg75.5
y
u
u
图 6-15 莫迪图第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
1)层流区沿程阻力系数与管道的相对粗糙度 ε/d
无关,λ 随 Re数增长线性下降。
Re
64
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
2)临界区 2000＜ Re＜ 4000
可能是层流，可能是湍流，很不稳定，
总趋势是沿程阻力系数 λ 随 Re数增长而增长。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
3)湍流光滑管区沿程阻力系数 λ 只与 Re数有关，在 4× 103＜ Re
＜ 106这一区间内，有布拉修斯（ Blasius）式
78)(2.22Re4 0 0 0
d
25.0Re
3 1 6 4.0 75.1Vh
f?
湍流光滑管区又称为 1.75次方阻力区。
→
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
4)过渡流区
Re数和壁面相对粗糙度 ε/d 均对沿程阻力系数有影响。
8978 )(589Re)(2.22
dd
)( R e,df
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
5)湍流粗糙管区
λ 只与 ε/d 有关，与 Re数无关，对应在穆迪图上，则为一根根水平直线。流动的沿程阻力损失与流速平方成正比，故该区域又称为平方阻力区。
89)(5 8 9Re
d?
)( df 2Vh f?→
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
局部阻力系数局部阻力系数大多由实验得出。表 6－ 3
给出各种常用管道的局部阻力系数 ζ 。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
流体在等径无分岔圆管内流动的能量损失
1)计算公式
g
V
g
V
d
lhhh
jfw 22
22
(6-71)
写成一般式
),,,,( Vldfh w
已知 L,d，规定流量 Q,求能量损失 hf或损失压降 ；
已知 L,d,规定允许的能量损失或推动力，
求流体的输送量 Q或流速 V；
已知 L,规定输送任务和推动力，选择适宜的管径 d。
常见待求问题：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
流体在等径无分岔圆管内流动的能量损失
fp?
公式求解问题的公式及图表：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
流体在等径无分岔圆管内流动的能量损失
jfw hhh
g
V
d
lh
f 2
2
2
2V
d
lp
f
g
Vh
j 2
2
Re
64
25.0Re
3 1 6 4.0 )( R e,
df
)(
df
图表－穆迪图求解问题的公式及图表：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
流体在等径无分岔圆管内流动的能量损失求解问题的方式：
直接计算法和试差法例 6-2 输送石油的管道长 5000m，直径为 250mm的旧无缝钢管，通过的质量流量 100t/h，运动粘度在冬季,夏季,密度为 885kg/m3，试求沿程水头损失各为多少？
ml 5 0 0 0? mmd 2 5 0? htG /100?
sm /1009.1 24冬?
3/885 mkg
sm /1036.0 24夏?
sm /1009.1 24冬? sm /1036.0 24夏?
解：已知沿程水头损失计算式：
g
V
d
lh
f 2
2
体积流量平均流速雷诺数
hmGQ /113885 10100 3
3
smdQV /64.025.014.33 6 0 0 1 1 344 22
9.14671009.1 25.064.0 4
冬冬?
VdRe
4.44441036.0 25.064.0 4
夏夏?
VdRe
层流湍流判别流动类型与所处的区域
2.8 1 4 9 6)19.02 5 0(2.22)(2.22 7878d
进一步判断夏季流动状态处于湍流的具体区域查得旧无缝钢管 mm19.0
8 1 4 9 6,2)(2.224 4 4 4,4Re4 0 0 0 78 ＝＝夏?d
（夏季石油在管道中流动状态处于湍流光滑管区，故沿程阻力系数用布拉修斯（ Blasius）公式计算）
冬季层流，所以：
油柱mgVdlh f 2.1881.92 64.025.050000436.02
22
0388.04.4444 3164.03164.0 25.025.0 Re?
油柱m
g
V
d
lh
f 2.1681.92
64.0
25.0
50000388.0
2
22
夏季湍流光滑管区
0436.09.1467 6464 Re?
例 6-3 输送空气（ t=20℃ ）的旧钢管道，取管壁绝对粗糙度,管道长,管径
，管道两端的静压强差为,
试求该管道通过的空气流量 Q为多少?（ 管道水平放置 ）
mm1 ml 400?
mmd 2 5 0? Pap 9 8 0 6
解：
g
V
d
lh
f 2
2
根据已知条件，由沿程水头损失计算式求 流速，且要用试差法。
VdAVQ 4
2?
),,,,( Vldfh f
对等直径的管道，列伯努利方程为：
fhg
p
g
p
21
又：
g
ph f
f?
所以：
得,pppppp
f )( 1221
g
V
d
l
g
p
g
ph f
f 2
2
2
2V
d
lp即：
查 t= 20℃ 空气的密度和粘度,
2
2V
d
lp
3/2.1 mkg sPa,1081.1 5
004.02501d?
0027.0
l
pdV )(2
假定流动在平方阻力区，根据 由穆迪图试取
0 0 4.0?d?
得：
sml pdV /45.192.1400027.0 980625.022 f
根据 值和,由穆迪图查得：
与假定值相符合。
3 2 4 1 6 71081.1 2.125.045.19 5VdRe
Re 027.0
smVdQ /95 4.045.1925.0414.34 322
检验假定的正确性
d
管道通过的空气流量为：
工程上常见的非圆形截面管道第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
非圆形管内流动的能量损失长方形截面 环形截面 列管管束截面第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
非圆形管内流动的能量损失
非圆形管道中沿程阻力的计算式
g
V
D
lh
e
f 2
2
ee VDVDRe
(6-75)
(6-76)
正方形管道
常见非圆形截面管道的当量直径计算第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
非圆形管内流动的能量损失
aaaD e 44
2
长方形管道
bh
hb
bh
hbD
e
2
)(2
4
应用上式时，为避免计算时误差过大，
长方形的长边最大不超过短边的 8倍。
常见非圆形截面管道的当量直径计算第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
非圆形管内流动的能量损失圆环形管道
oi
oi
oi
e dDdD
dD
D
22
44
4
应用上式时，为避免计算时误差过大，
环形截面的大直径至少要大于小直径 3倍。
长方（或正方）形排列的列管管束外当量直径
o
oo
o
e d
d
ss
d
dss
D
21
2
21 4
4
4
例 6-4 有一长方形风道长,截面积Ａ＝
0.5× 0.8m2，管壁绝对粗糙度,输送
t=20℃ 的空气，流量 。
试求在此段风道中的沿程损失。
解：平均流速当量直径
20℃ 空气的运动黏度密度
mbh hbD e 615.08.05.0 8.05.022
ml 40?
m19.0
smQ /21600 3?
sm /1063.1 25
3/2.1 mkg
smAQV /158.05.03 60 02 16 00
雷诺数相对粗糙度查穆迪曲线图得沿程损失沿程压强损失
5659501063.1 615.015 5 eVDRe
0 0 0 3 1.06 1 519.0
eD
0 1 6 5.0
空气柱mgVD lh
e
f 3.1281.92
15
61 5.0
4001 65.0
2
22
Paghp ff 8.1 4 481.92.13.12
1,构造（如图）
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失孔板流量计是常用的流量测量装置,其结构和工作原理如下：
孔板流量计测量元件是一块中间开圆孔的板
1,构造（如图）
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失孔板流量计是常用的流量测量装置,其结构和工作原理如下：
孔板流量计在孔板前与板后流连接
U形差压管。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计
2,测量原理流体通过孔板时，流速增大，且有局部阻力损失，使静压头减少，通过测量孔板前后压力差，由静压头的减少值依据伯努利方程及连续性方程算出流速。
d 0d
1 2
p
g
V
g
p
g
V
g
p
g
V
222
2
22
2
21
2
1?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计
2,测量原理
g
V
g
p
g
V
g
p
g
V
222
2
22
2
21
2
1?
d 0d
1 2
p
2
2
1
2
1 )( Vd
dV?将连续性方程代入上式整理得：
21
2
1
2
2
2
1
1 pp
A
A
V?
3,流量计算公式是流体脉缩面积，难以得知，再考虑到孔板入口边缘不尖锐度的影响等，以孔的截面积乘以系数修正之。
2A
202
4 dCACA DoD
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计
21
2
1
2
2
22
2
1
pp
A
A
A
VAQ
21
2
1
0
021
2
1
0
0 2
1
2
1
pp
d
dC
ACpp
A
AC
ACQ
D
D
D
D?
1
2
1
2
d
dC
C
D
D
令
210 2 ppV
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
3,流量计算公式
孔板流量计
21
0
2 ppAQ则有：
4,几点说明
称为孔流系数,对于标准孔板,是雷诺数和面积比 的函数。
当雷诺数大于某极限值 Re1后，不随 Re变化，
仅与 有关，以 表示。
1
0
A
A
1?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计
1
0
A
A
4,几点说明
孔板安装 应与管轴垂直，孔板孔与管道同心，并置于稳定段。
尽量使流量计在 孔流系数为常数的范围内工作 。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计当 Re< Re1时,可以由下式求孔流系数?
1K?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
管路计算的主要任务
(1)根据给定的流量和允许的压强损失确定管道直径和管道布置；
(2)根据给定的管道直径、管道布置和流量来验算压强损失；
(3)根据给定的管道直径、管道布置和允许的压强损失，校核流量。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
管路计算的基本公式连续性方程常数 222111 AVAVG
常数 2211 AVAVQ
伯努利方程
w
2
22
2
2
11
1 22 hg
V
g
pz
g
V
g
pz
能量损失计算式
jfw hhh
其中：
g
V
d
lh
f 2
2
g
Vh
j 2
2
串联管道,由数段内径或粗糙度不同的管子串联组成的管道系统。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
串联管路第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
串联管路
不可压缩流体在串联管道各管段中的体积流量相等
nQQQ21
2222211 nn dVdVdV
w3w2w1w hhhh
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
串联管路串联管道的特点对圆管：
串联管路的能量损失等于各管段能量损失之和
（ 6-81）
已知流过串联管路的流量 Q，求所需总水头 H；
已知总水头 H，求通过的流量 Q。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
串联管路串联管道计算问题的常见类型并联管道,几条简单管路的入口端与出口端都是汇合在一起的,称为并联管路。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
并联管路
不可压缩流体流经 并联管路的总流量等于各分管道流量的总和
nQQQQ21
22222112 nn dVdVdVVd
w3w2w1w hhhh
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
并联管路并联管道的特点对圆管：
并联管道的能量损失等于各分管道的能量损失
（ 6-85）
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
并联管路并联管道的特点即：
（ 6-86）
g
V
d
l
g
V
d
l
g
V
d
l n
n
n
nn 222
22
2
2
2
22
2
1
1
1
11
已知并联管道的允许压力损失，求总流量 Q
已知总流量 Q，求各分管道流量和能量损失。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
并联管路并联管道计算问题的常见类型第七章 不可压缩粘性流体的外部流动伯努利方程用于解决粘性流体的内部流动问题。对于流体绕流固体物面的外部流动问题，
则通过纳维－斯托克斯（ N-S）方程解决。
二阶、非线性、偏微分使得 N-S方程不易得到解析解。不过，对于 Re数很小或很大两极端情况，
斯托克斯和普朗特分别得出了方程的解析解。
)(
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dz
w
dy
w
dx
w
z
p
f
Dt
Dw
dzdydxy
p
f
Dt
D
dz
u
dy
u
dx
u
x
p
f
Dt
Du
z
y
x
具体研究：
1)平板流动边界层的近似计算
2)曲面流动边界层的分离现象
3)粘性流体绕流固体物面时产生阻力的原因及减小这类阻力的措施。
第七章 不可压缩粘性流体的外部流动所谓外部流动是指流体绕流固体物面的流动。
本章着重讨论：
大 Re数下绕流固体物面的边界层流动；
小 Re数下的小圆球的蠕流流动。
流体流过固体壁面时，在靠近壁面附近存在较大速度梯度的流体层，称之为边界层。
一般以流速达到主流速度的 0.99倍的所在处作为边界层外缘。
何为边界层？
边界层的基本概念和基本特征第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征在边界层理论出现前，流体力学的研究分为两个分支：一是数学理论分析法，另一个实验研究法。
20世纪初,普朗特提出了边界层理论。边界层理论具有广泛的理论和实用意义，成为粘性流体动力学的一个重要领域。
普朗特的边界层理论第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征普朗特 认为对于粘度很小的流体，粘性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外，粘性影响可以忽略不计，这一薄层称为边界层。
普朗特的边界层理论第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层边界层内，粘性力作用显著，与惯性力有相同数量级的影响力；边界层外，流体的速度梯度很小，流动不受固体壁面的影响，即使粘度较大的流体，粘性力也很小，主要是惯性力。
一般将壁面流速为零与流速达到流速的 99
％处之间的距离定义为边界层厚度。边界层厚度沿着流体流动方向逐渐增厚。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层边界层内也存在着层流和湍流两种流动状态，若全部边界层内部都是层流，
称为层流边界层。 仅在边界层的起始部分是层流，而在其他部分为湍流的，称为混合边界层。 在湍流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层。
对平板边界层，层流转变为湍流的临界雷诺数为
65 10~103
xRe
边界层外边界边界层外边界
I边界层
II尾部流区域翼型上的边界层沿平壁面流动的层流边界层边界条件为,y=0,u=v=0,y=δ,u=Ue
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
1)与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小；
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
2)边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度；
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
3)边界层厚度沿流体流动方向是增加的。
4)由于边界层很薄，近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值；
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
5)边界层内也有层流与湍流之分，以 Rex判断 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
Re ex Uxv?
特征尺寸取离前缘点的距离 表示之，特征速度取边界层外边界上的速度 。
xU
x
6)边界层内，粘性力与惯性力同一数量级,即边界层内是有旋流动；边界层外的流动，速度梯度很小，粘性力影响可以忽略，流动是无旋有势的，称为外部势流 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征以边界层的基本特征为依托，运用,数量级比较”的分析思路,简化 N-S方程。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
普朗特边界层微分方程以流体在平壁作定常二维流动为例：
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
yxy
p
f
Dt
D
y
u
x
u
x
p
f
Dt
Du
y
x
N-S方程对于层流边界层，质量力可忽略，故,
二维流动连续性方程
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
yxy
p
Dt
D
y
u
x
u
x
p
Dt
Du
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
yxy
p
f
Dt
D
y
u
x
u
x
p
f
Dt
Du
y
x
0 yxu?
层流边界层 N-S方程和连续性方程的无量纲形式,
式中,
0
)(
Re
1
)(
Re
1
*
*
*
*
2
*
*2
2
*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
2
*
*2
2
*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
yx
u
yxx
p
yx
u
y
u
x
u
x
p
y
u
x
u
u
L
L
LU
U
pp
UU
uu
L
yy
L
xx e
L
eee
Re,,,,,2*****
(7- 4)
根据边界层的基本特征（ 1）,
及不等式,
分析得到,
L
0 y 0 xL 0 euU
等为同数量级与与与?yLxUu e,,
的数量级为小量，的数量级为、即,*** 1 yxu
同理可得式（ 7－ 4）中各相关项的数量级，将上述各项的数量级列在式（ 7－ 4）相应项下面，得式（ 7－ 5）,
比较得：第二式中的惯性项可忽略,粘性项的四项中，仅应保留数量级最大的一项：
(7- 5)
* * * 2 * 2 *
**
* * * * 2 * 2
*
* * 2
* * * 2 * 2 *
**
* * * * 2 * 2
**
1
Re
11
1 1 1
1
Re
11
L
L
u u p u u
uv
x y x x y
v v p v v
uv
x y y x y
*
*
**
**
1
0
11
uv
xy
2*
*2
u
y
压强项中 数量级为 1，与惯性力、黏性力同数量级,应保留； 数量级为,
第二式 保留 。
*
*
p
x
*
*
p
y
*1/?
0
0
)(
Re
1
*
*
*
*
*
*
2
*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
yx
u
x
p
y
u
x
p
y
u
x
u
u
L
经过数量级比较，将简化得到的无量纲形式的普朗特边界层方程还原为：
(7- 7)
边界条件为,y=0,u=v=0,y=δ,u=Ue
0
0
)(
2
2
yx
u
x
p
y
u
x
p
y
u
x
u
u
根据边界层的基本特征（ 4）,,边界层很薄，认为边界层各截面压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值,,故可引用 势流流动的伯努利方程,
(7-8a)得：
常数 2
2
eUp
dx
dUU
x
p e
e
根据牛顿切应力公式 得：u
y
2
2
1uv
yy
(7-8b)
普朗特边界层方程进一步简化为,
(7-8)
0
)(
1
yx
u
ydx
dU
U
y
u
x
uu e
e
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算边界层内的流体是粘性流体的运动，理论上可以用 N-S方程来研究其运动规律。但由此得到的边界层微分方程，非线性项仍存在，求解比较困难，目前只能对平板、楔形体绕流层流边界层进行理论计算求得其解析解。
对工程上遇到的很多问题，常采用近似解法，
其中，边界层动量积分方程解法是应用的较为广泛的一种。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式边界层动量积分方程解法，是描述粘性流体运动的 N-S方程的近似求解法。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式取控制体如图，根据质量守恒定理，对定常流动，有：
bdcdac GGG
21 0 20 1 dyuGdyuG bdac?
12
0 10 2
dyudyu
GGG acbdcd
(7-9)
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式
cd段流入的动量为：
10 21 dyuK ac
) ( 12 0 10 2 dyudyuUK ecd
bd段流出的动量为：
20 22 dyuK bd
ac段流入的动量为,(7-11)
(7-12)
(7-10)
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式所以单位时间内该控制体内流体沿 x方向的动量的变化为,
(7-13)
1 2 1
1
1
22
2 1 2 1
0 0 0
22
2 2 1 1
00
22
2 2 2 1 1
00
( ) ( )
b d a c c d
e
ee
e
e e e e
K K K K
u dy u dy U u dy u dy
u U u dy u U u dy
u u u u
U dy dy
U U U U
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式动量定理：单位时间控制体内流体动量的变化等于外力冲量之和。
冲量等于外力与时间的乘积，即单位时间的冲量就是外力之和。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式作用在 ac,bd,cd诸面上的总压力沿 x
方向的分量分别为,
1acPp 2bd dpP p d x
dx?
21
1 ()
2cd
dpP p dx
dx
作用在 ab段流体上的切向应力的合力为：
0abF d x
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式单位时间内作用在该控制体上沿 x方向诸外力的冲量之和为：
1 2 1 2 0
1 2 0 0
1
()
2
1
()
2
dp dp
p p dx p dx dx
dx dx
dp dp
dx dx dx dx
dx dx
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式根据动量定理,得：
21
22
2 2 2 1 1
0 00e
e e e e
u u u udp
d x d x U d y d y
d x U U U U
2
2
22
2 0
ee
uu
f d y
UU
令界面 bd和 ac处的积分值分别为,
1
2
11
1 0
ee
uu
f d y
UU
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式当这两个界面间的距离 时,
或,
0dx? 21f f d f
2
2
0 0e
ee
d p d u uU d y
d x d x U U
得：
2
0 0 1e
ee
d p d u uU d y
d x d x U U
上式为冯卡曼边界层动量积分关系式。
层流和湍流边界层均适用。
(7-20)
其中 可由主流区的势流方程求得，要求解边界层动量积分方程，还需要补充两个方程。
(1) 速度分布
(2) 切应力
uUp e,,,,0
）（ yuu?
)(00
冯卡曼式 中含有五个未知量
2
0 0 1e
ee
d p d u uU d y
d x d x U U
eUp,
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
平板层流边界层的近似计算流体定常流过一块极薄的平板，来速为根据伯努利方程,
边界层厚度很薄，故势流区流速可认为不变：
U?
常数 eUxU )(
常数 2
2
eUp
0dpdx?得,
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
平板层流边界层的近似计算故，冯卡曼边界层动量积分关系式：
写为：
2
00 1
d u uU d y
d x U U
2
0 0 1e
ee
d p d u uU d y
d x d x U U
将速度分布式和切应力表达式代入上式就能求得边界层的厚度 δ。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
平板层流边界层的近似计算
速度分布式：
假定速度分布用 y的幂级数表示，结合层流边界层内的边界条件解得：
2
( ) 2 yyu y U U
切应力,
0 2
00
2 2 2
yy
U U y Udu
dy
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
平板层流边界层的近似计算求得边界层的厚度 δ：
此外，还可求出平板层流流动的 摩擦阻力系数
1
230 5,4 8 R e
x
vx x
U
(7-24)
1
2
2
1,4 6 Re1
2
D
DL
FC
UA?
(7-28)
平板层流流动的布拉修斯精确解是 1
21.3 28 R e
DLC
在求解边界层动量积分方程时，选取的速度分布越接近实际，则所得结果越正确。只要能大致选定速度分布形式，则可以得到误差并不很大的结果，而且解法较简单，因此在工程上用得较广泛。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
层流边界层和湍流边界层特性比较边界层的厚度
1
230 5,4 8 R e
x
vx x
U?
1
2
2
1,4 6 Re1
2
D
DL
FC
UA?
速度分布式 22u y y
U
摩擦阻力系数湍流层流
1
7uy
U
1 / 5 1
4 / 5 50,3 7 0,3 7 Re
x
v xx
U
1
50.074 R eDLC
湍流边界层沿平板壁面法向的速度增长要比表示的层流边界层的速度增长块得多。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算沿平板流动湍流边界层的厚度比层流边界层的厚度增长得块。
普朗特边界层理论的要点及意义边界层的基本特征数量级比较分析法在简化 N-S方程中的运用绕平板流动边界层的近似计算－冯卡曼动量积分法上节内容要点第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离当粘性流体绕曲面流动时，由于边界层外势流的流速 Ue沿曲面要发生变化，使势流区和边界层内的压强也沿曲面发生变化，最后将导致一种物理现象 —边界层分离。
物面上的边界层在某个位置开始脱离物面，并在物面附近出现与主流方向相反的回流，流体力学中称这种现象为 边界层分离现象 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离绕平板流动的特点：
边界层外边界上沿平板方向的速度是相同的；
整个流场和边界层内的压强都保持不变。
绕曲面流动的特点：
边界层外边界上沿曲面方向的速度是改变的；
曲面边界层内的压强也发生变化。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离对绕平板流动的讨论，着重对边界层的计算；
对绕曲面流动的讨论，着重说明曲面边界层的分离现象。
以不可压缩流体绕流圆柱体为例，从边界层内流动的物理过程说明曲面边界层的分离现象。
绕曲面流动边界层内的压强与速度的变化
随着流体沿圆柱体表面绕流，边界层厚度逐渐增大
流体在圆柱体前半部，
速度逐渐增加，压强逐渐减小，是加速流。
流体在圆柱体后半部，
速度逐减小渐，压强逐渐增加，是减速流。
即：在圆柱体边界层内，前半部的流动是降压加速，而后半部的流动是升压减速。
在边界层内的流体质点，除了受到摩擦阻力的作用外，还受到流动方向上压强差的作用。
在圆柱体前半部,降压加速流体的部分压强能转变为动能，从而抵消一部分因摩擦阻滞作用而消耗的动能，以维持流体在边界层内继续向前流动。
在圆柱体后半部,升压减速一方面，摩擦阻力使动能不断消耗，另一方面后半部处于升压减速区，更促使边界层内流体质点的减速，从而使动能消耗更大。
当达到 S点时，近壁处流体质点的动能已被耗尽，部分流体质点在 S点停滞下来，过 S
点以后，压强继续增加，在压强差的作用下，
近壁处的流体质点开始倒退。
绕曲面流动边界层的分离第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离接踵而来的流体质点在近壁处都同样被迫停滞和倒退，以致越来越多被阻滞的流体在短时间内在圆柱体表面和主流之间堆积起来。
边界层剧烈增厚，边界层内流体质点的倒流迅速扩展，而边界层外的主流继续向前流动，
两者流动方向相反，从而形成旋涡。
流体到达 S点，从表面分离出来，即出现曲面边界层分离现象,S点称为分离点。
驻点 A
流速最高点 B
分离点 S
涡流区（ D点后）
从 O点流至 M点，降压加速；
从 M点流至 F点，升压减速。
对势流区内的流动，
压强与速度的变化为：
对边界层内的流动，压强与速度的变化与势流区相仿：
从 O点流至 M点，降压加速；
从 M点流至 F点，升压减速。
边界层内有流动阻力，故 F点的压强低于
O点的压强。
根据普朗特边界层方程，在物面上（ y=0,u=v=0）有：
即在物面上，速度梯度 的变化率由 决定。
dx
dp
y
u
y?
1
0
2
2
(7-42)
y
u
dx
dp
边界层分离的形成过程及各段的压强、速度变化
边界层分离的原因和后果造成边界层分离的原因，在于逆压强梯度 作用和物面粘性滞止效应的共同影响，使物面附近的流体不断减速，最终由于惯性力不能克服上述阻力的停滞，边界层开始脱离物面。
0?dxdp
边界层分离后,形成的旋涡不断被主流带走，在圆柱体后面产生一个尾涡区，
区内的旋涡不断地消耗机械能,所以边界层分离产生很大的阻力损失。
在圆柱体前后产生了压强差，形成了压差阻力。压差阻力的大小与物体的形状有很大关系，所以又称为形状阻力。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离实验研究表明，当粘性流体绕过圆柱体发生边界层分离后，在圆柱体后面产生一对不稳定的旋转方向相反的对称旋涡，这对不稳定的对称旋涡不断增长，最后形成几乎稳定的非对称性的、旋转方向相反、上下交替脱落的旋涡，这种旋涡具有一定的脱落频率，称为冯卡门涡街。
冯卡曼涡街何为冯卡门涡街？
圆柱体后的尾迹和 冯卡门涡街第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离涡街以小于主流的速度 us向下游运动时，
单位长度圆柱体上的阻力为：
冯卡曼涡街单位长度圆柱体上的阻力
2
2 12.183.2
U
u
U
uhUF ss
D?
（ 7－ 44）
U∞为来流流速第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离
n与流体的来流速度 U∞ 成正比，而与圆柱体的直径成反比。
冯卡曼涡街冯卡门涡街的 脱落频率 n
dUStn
d
UStn （ 7－ 45）
St称为斯特劳哈尔（ Strouhal）数，与
Re数有关。当 Re数大于 1000时，斯特劳哈尔数近似等于常数 0.21。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离
冯卡曼涡街冯卡门涡街流量计
dUStn
在管道中与流体流动垂直的方向插入一段圆柱体检测棒，并测取在检测棒下游的涡街脱落频率 n，则可由式（ 7－ 45）求得流速 U∞,
进而确定流量。测定漩涡脱落频率的方法 有热敏电阻丝法、超音波束法等等 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离
冯卡曼涡街冯卡门涡街脱落引发的声学共振及其危害
dUStn
当旋涡脱落频率与设备中的声学驻波振动频率相等时，便会发生声学共振现象，产生噪音。
当声学驻波振动频率、管束的固有振动频率、
卡门涡街的脱落频率三者相合时，将使器壁在脉动压力作用下弯曲变形，甚至振裂，造成设备的严重破坏。
粘性流体绕小圆球的蠕流流动，是在小 Re数下的流动，此时惯性力远小于粘性力，斯托克斯忽略惯性项，使 N-S方程得以简化并求得解析解 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.4黏性流体绕小圆球的蠕动流动
斯托克斯阻力系数粘性流体绕小圆球的蠕流流动工程上的蠕流流动应用：除尘、粉末物料的流态化输送斯托克斯阻力系数公式第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.4黏性流体绕小圆球的蠕动流动
斯托克斯阻力系数球形颗粒在粘性流体中流动的阻力系数上式适用于 ＜ 1 的情况。
Re
24?
DC
Re
奥森阻力系数公式
2 4 31
16DC ReRe
（ 7－ 52）
（ 7－ 53）
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.4黏性流体绕小圆球的蠕动流动实验所得到得圆球阻力系数刚好位于斯托克斯和奥森解之间。
圆球在静止流体中的自由降落过程：
将圆球置于静止流体中，开始瞬间，速度为零，加速度最大；开始降落后，圆球受到的力包括：重力、浮力和阻力，其中阻力受随速度而变。由于重力加速度的作用，速度不断增大，阻力也因速度的加大而不断增大。直到三力平衡，圆球以均速降落。若圆球没受到其他干扰，则为自由降落。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.4黏性流体绕小圆球的蠕动流动
颗粒在静止流体中的自由沉降
球形颗粒等速沉降速度公式推导
gdF B 3
6
gdW s 36?
球形颗粒受力分析重力,
浮力：
22
2
1
4
1
fDD UdCF
阻力：
根据牛顿第二运动定律，有：
dt
dUmFFW f
sDB
球形颗粒等速沉降速度公式推导等速沉降有：
0?dtdU f
2233
2
1
4
1
66 fDs DdCgdgd
即：
整理得：
D
s
f C
gdU
3
)(4
（ 7－ 55）
(1)当 时,符合斯托克斯阻力公式的条件,
球形颗粒 沉降速度实用公式
(2)当 时，圆球得阻力系数
（ 7－ 56）
1Re?
24
ReDC?
21
18
s
f
gUd
v
1 0 0 0Re1
24 6 0.4
Re ReDC
3
2 2 4 40,4 6 0
3
f s
ff
UU U g d
dd
（ 7－ 57）
(3)当 时,
球形颗粒 沉降速度实用公式
（ 7－ 58）
5102Re1 00 0 0.48DC?
2,8 sfU g d
第八章 不可压缩流体的无粘流动讨论不可压缩流体的无粘流动，即忽略流体的压缩性和粘性。
在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。
粘性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的。
第八章 不可压缩流体的无粘流动无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，其中，对无旋流动中的二维平面势流的理论研究较成熟。在特定条件下对粘性较小的流体运动进行无旋处理，对工程实践具有指导意义和应用价值。
本章首先介绍与有旋流动相关的几个概念与定理，接着介绍不可压缩流体的二维无旋流动，提供研究边界层以外的势流的方法。
有旋流动和无旋流动的定义流体在流动中，如果有流体微团具有绕其 自身轴线 的旋转运动，则称为有旋流动。如果流场各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
第八章 不可压缩流体的无粘流动判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，
仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
有旋流动 与流体微团的运动轨迹无关！无旋流动有旋流动在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：
整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动。
与此相对应的是平移速度、旋转角速度、
线变形速率和剪切变形速率。
第八章 不可压缩流体的无粘流动判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团的旋转角速度都满足：
则有：
0 zyx
,zvyw,
x
w
z
u
y
u
x
v
为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一：速度环量。
速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
速度环流
研究有旋流动中的流体微团运动，可用微团周线方向上的速度和距离乘积的总和来描述。这实际上是速度绕微团的线积分，
称为速度环量。用符号 表示。
在运动流体中取任意形状的封闭曲线
L，其速度环量为：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
速度环流
L L t dtVdlVV ),c o s (?
速度环量可分段计算,
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
速度环流
c o s (,) c o s (,) c o s (,) c o s (,) c o s (,) c o s (,) c o s (,)V V x x V y y V z z
u d x d y w d z
V d l V d l V d l
所以速度环量的计算公式 (8-1)又可以写为
L w dzdyudx )(?
沿封闭曲线的速度环量在封闭曲线 k
上的速度矢量速度 与该点上切线之间的夹角
V?
速度环量是个标量，但具有正负号。
速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为 K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
速度环流解,
例 8-1 已知二元流场的速度分布为 U=-6y，
v=8x，求绕圆 的速度环量。
因周线圆半径 r=1，有
22 1xy
L LL
x d yy d xw d zdyu d x 86)(?
c o s c o s,s i n s i nx r y r
22
00
6 si n c os 8 c os si ndd
所以,
22 2
00
22
00
6 si n 8 c os 2 si n
11
6( si n 2 ) 8 ( si n 2 ) 14
2 4 2 4
dd
沿封闭曲线Ｋ的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理与旋涡强度在有旋流动中，流体运动速度的旋度称为涡量。斯托克斯定理描述了旋涡强度的计算。
斯托克斯定理,当封闭周线内有涡束时，
沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理与旋涡强度为微小面积 dA法线方向上的旋转角速度
2 nA w dA
nw
微小封闭周线的斯托克斯定理斯托克斯定理,当封闭周线内有涡束时，
沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理与旋涡强度
2 nA w dA
微小封闭周线的斯托克斯定理可见：沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，
称之为旋涡强度。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理在封闭周线所包围的区域中的分割线上的速度环量之和等于零，而外边线上的速度环量之和就是整个封闭周线的速度环量，即平面上有限大单连通域的斯托克斯定理
L A z2 d Ad d d d内 外 外第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理斯托克斯定理说明，旋涡对流动的影响可等价地看作旋涡区域周线上的速度环量对流动的影响。从数学上看，它是线积分和面积分的关系。环量不等于零，则必然存在旋涡 ;反之，则总的旋涡强度为零。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
汤姆孙定理汤姆孙定理,正压性的理想流体在有势的质量力作用下，沿任何由流体质点所组成地封闭周线的速度环量不随时间而变化。
L FL F PVddPdVdDtD 0)2()2(
22
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
汤姆孙（ Thomson）定理汤姆孙定理和斯托克斯定理说明,
在理想流体中速度环量和旋涡不能自行产生，也不能自行消失，本质上是由于理想流体中不存在切向应力。
不能传递旋转运动。
既不能使不旋转的流体微团产生旋转，也不能使旋转得流体微团停止旋转。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
亥姆霍兹（ Helmholtz）定理亥姆霍兹定理 是研究理想流体有旋运动的三个基本定理。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
亥姆霍兹（ Helmholtz）定理
亥姆霍兹第一定理,
同一时刻涡管各截面上的旋涡强度都相等 。
亥姆霍兹第二定理,
正压性的理想流体在有势的质量力作用下 。
亥姆霍兹第三定理,
正压性的理想流体在有势的质量力作用下，
在运动过程中涡管的旋涡强度不随时间变化 。
有势流动的流体质点都要满足以下条件：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势无旋流动也称为有势流动
,,u u wy x x z z y
V u i j k i j kx y z
称为速度势函数，简称速度势。当流体做无旋流动时，不论其是否可压缩，总有速度势存在。所以无旋流动又称为有势流动。
(,,,)x y z t?
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势无旋流动也称为有势流动在有势流动中的沿曲线 AB切向速度的线积分为
( ) ( )BBAAu d x d y d z d x d y d zx y z
B
BAA d
该线积分值与曲线的形状无关。
在有势流动中沿任一封闭周线的速度环量为第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势
LL ddzdyudx )(
当速度势为单值连续函数时，沿任一封闭周线的速度环量为零。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势将速度与速度势关系代入不可压缩流体的连续性方程，得
2 2 2
2
2 2 2 0x y z
上式称为拉普拉斯（ Laplace）方程。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势
在不可压缩流体有势流动中，速度势满足拉普拉斯方程。
求解不可压缩流体的无旋流动问题，可转变为根据初始条件和边界条件求解得拉普拉斯方程的问题。
将解得的速度势代入速度与速度势关系式，
可求得速度场．再根据伯努利方程便可求得压强分布。
2 2 2
2
2 2 2 0x y z
解,
例 8-2 已知一个平面不可压缩定常有势流动得速度势函数为 22xy
求在点（ 2.0,1.5）处的速度大小。
smxxu /42
smyy /32
22 5/V u v m s
平面流动的流线方程为第八章 不可压缩流体的无粘流动
流函数对于平面不可压缩流动问题，还可引出另一个描绘流场的函数，由连续性方程得,
8.2流函数与速度势
u
xy
0u d y d x
d d x d y u d y d xxy
连续性条件式 8-11）成立是式（ 8-12） 成为某一函数 全微分的充分必要条件，即(,)xy?
（ 8-11）
（ 8-12）
被称为流函数，只要是不可压缩流体的平面流动，就必然存在流函数。
在三维流动中一般不存在流函数，
轴对称流动除外。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
流函数因此有,
8.2流函数与速度势
（ 8-13）
u x y
流函数的物理意义,平面流动中两条流线之间通过的流体总量，等于两条流线上流函数值的差，沿流线全长两流线之间的流量保持不变。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
流函数
8.2流函数与速度势第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流流体的平面有势流动是相当复杂的，但很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势流动叠加而成。
基本的平面有势流动包括平行流（均匀直线流动），点源和点汇、涡流和点涡等。
即有：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流在研究流体绕物体的流动时，距物体某一距离处的流场可近似认为是平行流。在平行流流场中，流体作等速直线运动，所有流体质点的速度 大小相等，方向相同 。
0uu?
0
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流
0uu? 0
由上述可得：
对有势流动有速度势函数,且有：(,,,)x y z t?
zwyvxu?
,,
对于平面不可压缩流动有流函数,且,),( yxf
xvyu?
,（ 8-13）
（ 8-7）
00,vxyvuyxu
有平面势流中平行流的流线微分方程为：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流由流线微分方程（ 3-10)
0
0
udx
dy
积分后有：
00x u y C
),,,(),,,(),,,( tzyxw
dz
tzyxv
dy
tzyxu
dx
（ 8-18）
由于：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流即：平行流的流线为许多平行的直线，与
x轴的夹角为得势函数：
0a r c ta n( / )ou?
0uux
0y
00d d x d y u d x d yxy
100 Cyxu
由于：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流得流函数：
00d d x d y d x d y d x u d yx y y x
以上两式中的积分常数和可以任意选取，
而不影响流体的流动图形（称为流谱）。
200 Cyux
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流若令,0
21 CC
即得平行流的速度势和流函数各为：
yxu 00
yux 00 （ 8-20）
（ 8-19）
平行流的流谱显然速度势和流函数都满足拉普拉斯方程。图中等势线簇与流线簇相互垂直。
因平行流中各点速度相同，由伯努利方程得：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流如果平行流在同水平面上进行，或流体为气体（此时重力的影响可忽略不计），则有：
即在流场中各处的压强都相同 。
g h p C
Cp?
流体从平面上的一点沿径向直线均匀地向各个方向流出，这种流动称为点源，出发点称为源点。相反地，如果流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，汇集点称为点汇。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇点源和点汇的流谱点源点汇第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇从源点流出和向汇点流入都只有径向速度,圆周速度为零。取点源（或点汇）
作为极坐标原点，有,
r?
rr?
0?
rr dd
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇根据流动的连续性条件，流体每秒通过任一圆柱面的流量 Q都相等。对于半径为 r
的圆柱面,Qr
r 12
则,
r
Q
r 2?
式中 Q称为点源强度或点汇强度。对于点源，
与 r 同向,Q取正号；对于点汇,Q 取负号。 r
半径越小，径向速度越大，源点（或汇点）
处速度无穷大。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇则,
r
Q
r 2?
积分后得速度势,
r
rQdr
r
d
2d
22ln
2ln2 yx
QrQ
半径越小，势越大，源点（或汇点）处势无穷大。
（ 8-22）
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇
源点和汇点都是奇点。 即速度和速度势的表达式只有在源点和汇点以外才能应用。
22ln
2ln2 yx
QrQ
由上两式可知：
等势线是圆周线，等势线簇是同心圆簇。
除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。
r
Q
r 2?
将流函数的全微分式：
d2dddd Qrrr rr
x
yQQ 1-tg
22
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇
d d x u d y d x d yyx
变换坐标系，改写为：
积分得 流函数,（ 8-23）
可见,流线是一组径向直线，与等势线相互正交如果 平面是无限大的水平面，在的远处，流速为零，该处压力表示为有伯努利方程 如下：
XOY
g
p
gg
p r
2
2
p
r
22
2 1
8 r
Qpp
rr0
0?p
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇即,
可见，压强随着半径的减少而降低。
在 处，
p
Qrr
2
2
0 8?
（ 8-24）
点汇沿半径的压强分布
22
2 1
8 r
Qpp
设有一无限长的直线涡束，像刚体一样以等角速度绕中心轴旋转，其周围的流体也将绕涡束产生与涡束同向的环形流动。在与涡束轴线垂直的每个平面内的流动情况都是一致的，这种以涡束诱导出的平面流动，称为涡流。由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡在平面内的涡束和涡流，
如图所示。坐标原点为涡束的轴心,为涡束的半径，外围区域为涡流。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡
0r
涡流流场中的速度在与轴心等距离处是相等的，当该距离增加时速度将减少。设涡束的旋涡强度为一常数，由斯托克斯定理，包围涡束的速度环量也为常数。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡斯托克斯定理,当封闭周线内有涡束时，沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡根据斯托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，
2 r
利用环量的定义，可求出涡流在不同半径的圆周线上的速度，即
rdrw d zdyudxL 2)( 2
（ 8-25）
即,在涡束外的涡流区域，速度与半径成反比，在涡束内部速度与半径成正比第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡涡流区域也可称为势流旋转区，涡束内部称为涡核区。
2 r
r
势流旋转区的压强分布第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡将涡流速度与半径关系式
2 r
代入 伯努利方程,得 势流旋转区的压强分布
22
2
2 1
82
1
rppp?
势流旋转区的压强随半径的增加而增加设涡束的半径为,涡束边缘上的速度为,压强,则有：
0r
0
0 2 rv?
0p
2
0
2
22
0
0
1
82 r
pvpp
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡得涡束的半径为,
2
0 2
0
1
8
r
pp
2
0
2
2
2
00
1
82
1
r
vpp
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡改写可见，涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。 等于涡核边缘速度所转换成的动压强 。
2
0
2
22
0
0
1
82 r
pvpp
为,
涡核内部的压强分布第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡由于涡核内部是有旋流动，可 根据欧拉运动微分方程 求流体的压强。
平面定常流动的欧拉运动微分方程为
x
p
y
u
x
uu
1
1 pu
x y y
涡核内部的压强分布
涡流和点涡将涡核内任一点的速度：
代入前两式，得：
uy
x
x
px
12
x
p
y
u
x
uu
1 1 p
u x y y
y
py
12
以上两个式子分别乘以,后相加，得：dx dy
2 1( ) ( )ppx dx y dy dx dy
xy
涡核内部的压强分布
涡流和点涡或：
积分，得：
设在涡核外缘，,,代入上式，
得积分常数,
2 1( ) ( )ppx dx y dy dx dy
xy
pyx d1d2 22
2
）（
CCrCyxp 222222 212121 ）（
0rr? 00, pp
2
0
2
0
2
00
2
00 )2
1(
2
1 vpvvpvpC
涡核内部的压强分布第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡
22
0
1
2pp
则涡核区的压强分布为涡核中心的压强比较涡核边缘的压强
2
00
1
2pp
可见：
2
0pp c
2
000 2
1
cpppp
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡由于涡核区内部压强低于势流旋转区，将会有流体从势流旋转区被抽吸到涡核区 。
可见涡核内外的压强变化幅度相等，等于涡核边缘速度所转换成的动压强。涡核内外的压强分布如图所示。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡当涡束的半径趋于无穷小时，涡束成为一条涡线，这样的涡流称为点涡．点涡的中心点是一个奇点，因该点处的角速度无穷大。
下面讨论点涡的势函数和流函数第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡点涡的速度势和流函数．
0r r 1 2rr
2d d r d dr
在圆柱坐标，势函数的全微分为：
drdrd r
二维流动势函数的全微分为,dyudxd
点涡是涡流的一种极端情况，对涡流，前述有故得：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡点涡的速度势和流函数．
2d d r d dr
积分得速度势为
a r c t a n22 yx （ 8-28）
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡点涡的速度势和流函数．
积分得流函数为 （ 8-29）
由速度势可求得流函数，由
222
x
x y x y
222
y
y x x y
得：
2 2 2
2 2 2
()
2 2( ) 2 2
d x y drd dx dy
x y x y r
ln2 r
复杂的无旋流动往往可认为是由几种简单的无旋流动叠加而成。也就是说，几个无旋流动叠加后仍是无旋流动。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.4基本平面势流的简单叠加几个势流叠加以后得到新的势流,其速度势和流函数分别为被叠加势流的速度势和流函数的代数和。
势流叠加原理流线方程为第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.4基本平面势流的简单叠加
偶极流偶极流的流函数为
2 2 2 2 2 200
22l im ( a r c ta n ) l im ( )
22aa
Q a y Q a y
x y a x y a
222
My
xy
2 2 2
11
( ) ( )44MMxy cc
等势线方程为 2 2 2
22
( ) ( )44MMxycc
可见流线是与轴在原点相切的圆周簇 ；
等势线是与 Y轴在原点相切的圆周簇第八章 不可压缩流体的无粘流动
螺旋流研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、离心式的喷油嘴、旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可看成是这种螺旋流。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
螺旋流在除尘器等设备中，流体自圆周切向进入,又从中央不断流出。这样的流动可看成是点汇和点涡的叠加 。
第八章 不可压缩流体的无粘流动螺旋流流场的速度势和流函数为
1 ( l n )
2 Qr
1 ( l n )
2 Qr
8.4基本平面势流的简单叠加点汇点涡
rQ ln2
2
Q
ln2 r 2
（ 8-29）
（ 8-23）（ 8-22）
（ 8-28）
（ 8-34）
（ 8-35）
螺旋流流场的速度势和流函数第八章 不可压缩流体的无粘流动令螺旋流流场的速度势和流函数为常数，
得等势线方程 和流线方程。
1 ( l n )
2 Qr
1 ( l n )
2 Qr
等势线方程
1
Qr C e?
流线方程为
2
Q
r C e
8.4基本平面势流的简单叠加螺旋流流场的等势线方程和流线方程等势线和流线是两组相互正交的对数螺旋线簇,称为螺旋流,如图第八章 不可压缩流体的无粘流动切向速度为径向速度代入伯努利方程,得流场中得压强分布
1
2rr?
2r
Q
rr
合速度 2 2 2 21
2rVQ r
22
12 2 2 2
12
11( ) ( )
8p p Q rr
8.4基本平面势流的简单叠加螺旋流流场的压强分布
（ 8-36）
水泵、风机等外壳中的流动是点源和点涡叠加的例子,如图是风机外壳中的流动。
当气流速度远小于音速时,通常仍可忽略密度的变化；当气流速度接近甚至超过音速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化，以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态会有根本性的变化，
这时就必须考虑压缩性的影响。
第九章 可压缩流体的流动本章讨论气体作一维定常流动时，流场中各物理量的变化规律。
由于在可压缩流体的流场中密度不均匀，
可压缩流体的运动与不可压缩流体的运动相比，具有一些特殊的性质。
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
音速音速，声音的传播速度，是判断流体可压缩性对流动影响的一个参数或一个标准。
例如,0℃ 时，声音在可压缩性小的水中的传播速度为 1450m/s，而在可压缩性大的空气中的传播速度为 332m/s。
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
音速流体的可压缩性越大，音速越小一种获得音速的方法 － 微弱扰动波在直管中的传播物体振动时会使其周围的介质相继发生振动，这种传播过程称为波。
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
音速如果气体受到扰动，扰动就会以波的形式在气体中传播开去；若该扰动是微小的，则传播速度是一定的，而这一传播速度就是声音的传播速度－音速。
考察微弱扰动波在直管中的传播，可以确定音速。
一种获得音速的方法 － 微弱扰动波在直管中的传播如图，在截面积为 A的长直管中充满静止气体，将活塞以微小速度 dV向右移动，活塞右侧附近气体受压，压强升高 dp，所产生的微弱压强扰动向右 依此 传播下去。
在直管中形成一个不连续的微弱的压强突跃－压缩波 mn，它以速度 a向右推进。压缩波面 mn是被扰动过的气体与未被扰动过的静止气体的分界面，称为扰动波面。
设在压缩波前未被扰动过的静止气体的压强为,密度为,温度为,波后已被扰动过的气体以与活塞的微小运动同样的微小速度向右运动，其压强增高到,密度和温度也相应增加到 和 。
p? T
pp d?
d? TT d?
以压缩波面的角度观察，流体是定常流动，
从右向左地流过波面，经过波面速度由 a降为
a-dV，而压强由 升高到,密度和温度由,增加到,。p? T d? TT d?
pp d?
以上分析了气体受微小扰动，扰动波面前后一些物理量的变化情况。
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
音速下面运用质量守恒定律和动量守恒定律推导出音速计算公式。
取波面左右侧为控制面，则控制面内的控制体体积为零。对控制体应用质量守恒原理，
单位时间流入和流出控制面的流量相等，有：
AVaaA )d)(d(
（ 9-1a）
d
dd
aV整理得：
压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可忽略。根据动量定理，沿流动方向，气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力之和，即：
Apppt aVatAa ])d[(d )]()d([)d(
整理得：
paV d1d
（ 9-1b）
由上两式得：
由于是微弱扰动上式与计算声音在弹性介质中传播速度的公式完全相同。可见气体中微弱扰动波的传播速度就是音速。
d
dpda
12
1d
d
dpa?即，微弱扰动波的传播速度为：
上面的结果是音速的通用表达式，适合于任何的连续介质。压缩性小的音速高，压缩性大的音速低，因此，音速值反映了流体可压缩性的大小。
d
dpa?
要确定声音在某种流体中的传播速度 a，
需确定 和 的关系。pd?d
微弱扰动波的传播很迅速，可近似认为是一种可逆绝热过程，即等熵过程 。
d
dpa?
对于理想气体，气体方程式和等熵过程关系式如下：
c o n s tpk
RTp
k R Tpk
d
dpa
得：
（ 9-1）
上式表明：对于理想气体，温度越高，音速越大。
马赫数定义式,
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
马赫数
a
VMa?
马赫数反映惯性力与弹性力的比值，是判断气体压缩性对流动影响的标准。
马赫数定义式,
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
马赫数
a
VMa?
根据马赫数的大小，可压缩流体的流动划分为：
亚音速流动 气速小于当地音速（ Ma＜ 1 ）
跨音速流动（临界流动） 气速等于当地音速 （ Ma≈1 ）
超音速流动 气速大于当地音速 （ 1＜ Ma＜ 3）
高超音速流动 （ Ma＞ 3）。
第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动对于可压缩流体的流动，由于密度的变化引起热力学状态发生相应的变化。所以必须把热力学中的状态方程和过程方程一并考虑，才能解决流动问题。
本节讨论气体的一维定常等熵流动，即：
假定气体是理想气体
流动过程与外界无热交换
摩擦影响很小可忽略
一维定常流动第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动研究气体的一维定常等熵流动，就是研究 p,V,ρ,T等随总流的变化规律。四个未知数应有四个方程，才能解决气流流动问题。
基本方程
1,连续性方程连续性方程的微分形式
c o n s tVA
AVAV
222111
0ddd
A
A
V
V
第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
（ 9-4）
0 V d AA d VVAd
或：
基本方程
→
第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
（ 9-4a）
2、运动方程对于 气体,密度很小，可以忽略质量力，则：
dx
dpf
dt
dV
x
因为一维流动的理想 流体 欧拉运动微分方程为,
dx
dp
dx
dVV
1
dx
dp
dt
dV
1
→ 0
dpV d V （ 9-5）
基本方程第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
2、运动方程上式可写为：
0)2(
2
dpVd
0dpV d V
上式表明：理想气体一维定常流动沿总流方向的压力能和动能的变化之和为零，即两种能量之和沿总流方向不变。
基本方程第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
3、能量方程得理想气体一维定常等熵流动的能量方程为：
结合等熵流动,沿流管积 分以下方程,
（ 9-7）
上式也即为可压缩流体的伯努利方程
c o n stpk
co n s tVpk k 21
2
0)2(
2
dpVd
热力学第一定律用于流体流动的能量关系式为在绝热流动的条件下这个能量方程适用于绝热过程，而不论该过程是否可逆。
V d Vdhdq
co n s tVh 2
2
积分得能量方程的另一表达式
0 V d Vdh
摩擦的存在，只是使消耗于抵抗摩擦的机械能转换为热能，该热能重又加入气流中，使气流中的熵增加。所以在绝热流动中总能量不变。
（ 9-6a）
对于理想气体，有：
pp
k
p
k
kp
cc
cp
R
cTch
vp
pp
p 1
1
1
co n s tVpp
k
21
1 2
co n s tVh 2
2 （ 9-6a）
即（ 9-6a）改写为：
（ 9-8）
上式为理想 气体一维定常等熵流动的能量方程，
与（ 9-7）式一致。
uTcpRcpcc cpk vV
vp
v
1
1
co n s tVppk 211
2
（ 9-8）
由热力学可知，对于理想气体，上式第一项是单位质量气体所具有的内能，即：
理想气体一维定常等熵流动能量方程的物理意义：
方程的物理意义,在气体一维定常等熵流动中，单位质量气体，流经任一有效截面的压强势能、动能和内能之和保持不变。
（ 9-9）
引入音速的定义式：
则能量方程又可写为,
2apk?
c o n s tVka 21
22
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
1、滞止状态设想气流的速度以无摩擦绝热过程降至零，这时气流所处的状态称为滞止状态，相应的流动参数称为滞止参数，以下标 0表示。
滞止参数比较容易测量，所以在实际工程上得到广泛的应用。
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
1、滞止状态在滞止状态下能量方程为,
co n s thVh 0
2
2
c ons tTcRTk kpk kVpk k p 00
0
0
2
1121
c o n s tk aVk a 121
2
0
22
可知，在滞止状态下，气流的动能全部转变为热能，可以用滞止焓 表示之。
00 Tch p?
co n s thVh 0
2
2
它表示单位质量的气流所具有的总能量，
称为总焓。
上式除以,得：
0
2
2 Tc
VT
p
pc
V
2
2
pc
2 0 1 0
2
0
VTTT
co n s thVh 0
2
2
上式表明，滞止温度要比气流的温度 T高出对于 0℃ 空气 kgJc p /1 0 0 5?
则：
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动设想气流的压强、温度以无摩擦绝热过程降至零，使速度达到最大值，得到最大速度状态。它相当于气体进入完全真空的空间可能达到的速度。
2、最大速度状态
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
2、最大速度状态在最大速度状态下能量方程为,
co n s tVVpk k 221
2
m a x
2
c o n s tVVk a 221
2
m a x
22 （ 9-11）
气流的热量全部转化为动能，这仅仅具有理论意义，即以动能的形式表示气体总能量。
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
3、临界状态设想气流的速度以无摩擦绝热过程降至当地音速，这时气流所处的状态称为临界状态，相应的流动参数称为临界参数，以上标 *
表示。则有：
c o n s takkVk a 21121
2*22 （ 9-12）
即：气体的总能量可以用临界音速的形式表示。
各种状态参数间的关系以滞止参数表示最大速度得（ 9-13)：
1)(11
2
0
000
0
0
0 k
aTcTcc
cc
cRT
k
kp
k
kh
pvp
vp
p
121
2
0
22
k
aV
k
a
221
2
m a x
22 VV
k
a
0
0
000m a x 1
222
1
2
p
k
kTch
kaV p
各种状态参数间的关系以滞止参数表示临界音速得（ 9-14)：
1 )(11
2
0
000
0
0
0 k
aTcTcc
cc
cRT
k
kp
k
kh
pvp
vp
p
21
1
21
2*22 a
k
kV
k
a
121
2
0
22
k
aV
k
a
1
1
1
2
1
2
1
2
m a x0
0
0
0
*
k
kVRT
k
kp
k
k
kaa?
1
2
0m a x kaV
1,密度变化率 与 速度变化率 之间的关系第九章 可压缩流体的流动
9.3喷管中的等熵流动
气体参数与截面的关系结合运动方程和音速的定义，有：
dad
d
dpdpV d V 2
V
dVMa
V
dV
a
VdV
a
Vd 2
2
2
2
喷管中的流动实际是流体在变截面管中的一种流动，要探讨其中的流速、压强随截面的规律。
或：
分析上两式，得到：
加速气流，必引起压强降低和气体膨胀；而减速气流则使压强增加和气体压缩。
（不管是亚声速气流还是超声速气流，都具有上述性质。）
V
VMa dd 2
0d1d pVV?
2） Ma<l时（亚声速） Ma>1时（超声速）
V
Vdd?
0d1d pVV?
V
VMa dd 2
V
Vdd?
即亚声速流动时,密度相对变化量是小于速度的相对变化量； 而超声速流动时,密度相对变化量是大于速度的相对变化量。 这种差别，导致了亚声速和超声速在速度与通道截面形状关系上本质的差别。
由连续性方程的微分式（ 9-4）
第九章 可压缩流体的流动
9.3喷管中的等熵流动
气体参数与截面的关系代入 整理得：
2,截面积 变化率 与 速度变化率 的关系
（ 9-20）
0ddd AAVV
V
dVMad 2
V
VMa
V
V
V
VMa
A
A d)1(ddd 22
再将运动方程 改写为：
第九章 可压缩流体的流动
9.3喷管中的等熵流动
气体参数与截面的关系
3,截面积 变化率 与 压强变化率 的关系
（ 9-20）式含 截面积变化率因子
V
dVMa
A
dA )1( 2
结合：
p
dp
k M a
Ma
A
dA
2
21?
（ 9-21）
0dpV d V 2V
p
p
dp
V
dV
得,
pka?2
a
VMa?→
k
ap 2?
→ 222 )( aMaV?
p
dp
k M aV
dV
2
1 故,
（ 1） Ma<1，亚声速流动 当压强降低时，
通道截面积随着气流速度的增加而缩小，
这就是亚声速喷管；当压强升高时，通道截面积随着气流速度的减小而扩大，这就是亚声速扩压管。这种现象与不可压缩流体的流动规律相类似。
由上两式得到三个重要结论：
V
dVMa
A
dA )1( 2
p
dp
k M a
Ma
A
dA
2
21?
（ 2） Ma>1，超声速流动 当压强降低时，
通道截面积随着气流速度的增加而扩大，
这就是超声速喷管。 这是由于超声速气体在压强下降时，密度剧烈减小、体积迅速增大,这时通道截面积必须扩大，才能使剧烈膨胀的加速气流通过。反之，当压强升高时，通道截面积随着气流速度的减小而缩小，这就是超声速扩压管。
由上两式得到三个重要结论：
V
dVMa
A
dA )1( 2
p
dp
k M a
Ma
A
dA
2
21?
（ 3） Ma =1，这时 。 从以上两种情况知道，当降压加速的气流由亚声速连续变为超声速时，通道截面先收缩后扩大，
在最小截面处速度达到声速，该最小截面称为临界截面，也称为喉部截面，简称喉部。当升压减速的气流由超声速连续地变为亚声速时，通道截面也是先收缩后扩大，
在最小截面处速度达到声速。
由上两式得到三个重要结论：
V
dVMa
A
dA )1( 2
p
dp
k M a
Ma
A
dA
2
21?
0d?A
在临界截面上的相应参数称为临界参数，分别以,和 等表示之。临界截面上气流的临界参数与滞止参数之间的关系式为：
T?p
0
*
1
2 T
kT
0
1*
2
2 p
kp
k
k
0
1
1
*
2
2
k
k
（ 9— 22）
（ 9— 23）
（ 9— 24）
喷管分渐缩喷管和缩放喷管两种。缩放喷管也称为拉伐尔（ Laval）喷灌。
第九章 可压缩流体的流动
9.3喷管中的等熵流动
喷管使用渐缩喷管可得到亚音速、音速气流，使用缩放喷管可得到超音速气流。
渐缩喷管
1,渐缩喷管假定气体从一具有很大容积的容器中从渐缩喷管流出，不计流动的损失，则容器中气体的参数可当作滞止参数。由能量方程有喷管出口的流速和流量
0
0
2
2
2
2
112
p
k
kp
k
kV
得喷管出口流速：
2
0
0
2
0
0
2 11
2
p
pp
k
kV
1,渐缩喷管将等熵过程关系式,代入得：
喷管出口的流速和流量喷管出口流速：
k
p
p
1
2
0
2
0
k
k
p
pp
k
k
V
1
0
2
0
0
2 1
1
2
（ 9— 25）
又,则出口截面上的马赫数为
2
2
2?
pka?
1
1
2
1
2
0
2
2
2
k
k
p
pp
k
Ma
222 AVG
通过喷管的质量流量将 和喷管流速式代入上式,整理得k
p
p
1
0
2
02
k
k
k
p
p
p
pp
k
k
AG
1
0
2
2
0
2
0
0
20 1
2
（ 9— 26）
存在一个最大流量，称为临界流量。
（ 9— 29）
00
)1(2
1
2m a x 1
2?kp
k
AG
k
k
达到最大流量时的出口速度为音速：
（ 9— 28）
达到最大流量时的压强为：
*1
02 1
2 p
k
pp
k
k
（ 9— 27）
0
0*
2 1
2
p
k
kaV
质量流量与出口压力的关系曲线如图所示分析一下出口压力 p2从 p0开始降低的过程。
起初流量逐渐增加，直到 p2=p*，流量达最大值
p2继续降低，因为亚音速气流在渐缩喷管不可能达到超音速，所以气流在喷管内部只能膨胀到 p*，从 p*到 p2的膨胀只能在喷管外进行。
阻塞
当 p2＜ p*时，喷管的流量保持不变，达最大流量。即出口压力一旦达到临界压力，出口截面就达到临界状态，出口压力在降低，扰动波也无法逆流传播至喷管内，流量总保持为最大值，这种流量不再变化的流动称为阻塞。
阻塞
1,缩放喷管缩放喷管可以使气流从亚声速加速到超声速。喷管收缩部分的作用与渐缩喷管完全一样，即在喷管的收缩部分，气流膨胀到最小截面处达到临界声速。而后，在扩张部分中继续膨胀，加速到超声速。
缩放喷管出口截面上的气流速度出口截面上的流速计算与渐缩喷管使用公式相同。缩放喷管的流量仍然由最小截面上的参数决定，公式与渐缩喷管相同。
1,缩放喷管缩放喷管出口截面上的气流速度为了充分利用出口压力低于临界压力的这部分可用能，得到超音速气流，可在渐缩喷管后街上一段渐扩形管，成为缩放喷管，使气流继续膨胀加速，在喷管出口得到超音速。
缩放喷管内的压强和流量变化说明在喉部已达临界状态，须采用缩放喷管。
例 9-1 已知喷管入口处过热蒸汽的滞止参数为
p0=30× 105Pa,t0=500℃,质量流量为
G=8.5kg/s，出口压强 p2=10× 105Pa。过热蒸汽的气体常数为 R=426J/（ kg·K），
p*/p0=0.546,k=1.30。设喷管内为等熵流动，
确定喷管的直径。
解：
0
*
5
5
0
2 546.0333.0
1030
1010
p
p
p
p
)/(4.8)27 350 0(42 6 1030 3
5
0
0
0 mkgRT
p?
喉部截面积：
出口速度：
喉部临界速度：
)/(6.832
30
101
4.8
1030
3.0
6.21
1
2 3.1
3.0
5
1
0
2
0
0
2 smp
pp
k
kV k
k
)/(4.6 3 54.8 103030.2 30.1212
5
0
0
2 sm
p
k
kV
)(00254.0
4.635
3.2
24.8
5.8
1
2
2
3.0
1
*1
1
0
**
* m
V
k
G
V
GA
k
出口直径：
出口截面积：
喉部直径：
)(0 0 2 8 3.06.832)30/10(4.8 5.8)/( 23.11
2
1
02022
2 mVpp
G
V
GA
k
)(056 9.0141 6.3 002 54.044
*
* mAd
)(0600.01416.3 00283.044 22 mAd
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流实际气体流动中存在摩擦，使气流发生熵增，而且气流有可能经管壁与外界发生热交换，为非绝热流动。本节讨论有摩擦的绝热管流。
如图，对一长度为 dx
的微小管段中作定常流动的气流作受力分析。
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
气体一维定常运动微分方程由动量定理，有：
)(44)(4
2
0
22
VdVVdVddxddppdp
04 0 ddxdpV d V
即：
管壁切向应力可表示为,
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
气体一维定常运动微分方程得到有摩擦绝热的气体一维定常运动微分方程,
式中第三项的意义为单位质量气体在微小管段 dx上的摩擦功。
2
0 8 V?
02
2
ddxVdpV d V （ 9－ 30）
将 dρ/ρ 用连续性方程代入，有第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响能量方程的适用条件为绝热
R
k
kc
p 1RTp?
因为：
代入能量方程有：
Tch p?
V d Vkkdpdp 1
V d VAdApVdVpkVdp
2
（ 9-32）
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响将上式代入气体一维定常运动微分方程，有因 所以有：
02
22
d
dxV
A
dAp
V
dVp
k
V?
k
ap 2?
02 2222 ddxkVAdAaVdVaV?
d
dxk M a
A
dA
V
dVMa
2)1(
2
2
（ 9-31）
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响摩擦的作用相当于使截面缩小。
在有摩擦的等截面管道中流动，相当于在渐缩管中流动，使亚音速气流加速，使超音速气流减速，不可能使气流从亚音速连续加速到超音速，也不可能使气流从超音速连续减速到亚音速，所以极限速度只能是音速。
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响摩擦的作用相当于使截面缩小。
由于摩擦的影响，缩放喷管中气流的临界截面并不在最小截面处。在临界截面 Ma=1，
故有,
d
dxk
A
dA
2
则 dA＞ 0，也就是说，不论来流是否超音速，气流总是在最小截面后的扩张段中才能达到临界速度。
将 V2=Ma2kRT微分，得第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响等截面管道中有摩擦的绝热流动 。
T
dT
kMak R TMa
dTc
aMa
dh
V
dV p
)1(
1
2222
T
dT
Ma
d M a
V
dV 22
结合上两式，得
12/)1(
/
2 kMa
Mad M a
V
dV
消去 V，有：
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响对于等截面管道,dA=0，有对上式积分，积分的上下限为：
x=0,Ma=Mai ； x=l,Ma=Ma，有
d
dxk M a
V
dVMa
2)1(
2
2
]12/)1([
12
]12/)1([
)1(2
2323
2
kMaMa
d M a
k
k
k M a
d M a
kMak M a
d M aMa
d
dx?
当 Ma=1时，管道长度达最大值，有：
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响当管长 l＜ lmax时,气流在出口处达不到临界状态 。 当管长 l＞ lmax时,则附加这部分管长所产生的摩擦阻塞作用,使原来可通过的最大质量流量降低,即进口处的马赫数要下降 。
2)1(
2)1(ln
2
1111
2
22
2
i
i
i Mak
Mak
Ma
Ma
k
k
MaMakd
l? （ 9-33）
2)1(
)1(ln
2
1111
2
2
2
m a x
i
i
i Mak
Mak
k
k
Makd
l?
（ 9-34）
牛顿内摩擦定律；连续介质概念重点公式：
V
V
pp
1
p
pK?
1?流体的压缩性流体的膨胀性
V
V
TT
1?
气体的压缩系数和膨胀系数
pp
1
TT
1
第一章 流体及其物理性质重点公式：
流体的粘性
dyduAF
重要概念或结论：
定义,流体是能流动的物质。
力学特征,施与微小剪切力就能使流体发生 连续变形 。
易流动性是流体的特性之一。分子结构特点及分子间作用力小决定了它的这一特性。
流体的易流动性
流体在一定温度下，体积随压强增大而缩小的特性称为 流体的压缩性。
一定温度下,压强越高，气体体积压缩系数越小；随着压强的增大，气体的可压缩性减弱。
流体体积模量值小，表明流体的可压缩性越大。
液体压缩性很小；气体压缩性很大。
流体的压缩性
流体在一定压强下，体积随温度升高而增大的特性称为 流体的膨胀性。
一定压强下,温度越高，气体的膨胀系数越小，随着温度的增大，气体的膨胀性减弱。
流体的膨胀性
流体层间发生相对运动时会产生切向阻力的特性 是流体粘性的表现 。
温度上升，气体粘度增大而液体粘度则下降。
动力粘度与密度之比称为运动粘度。
流体的粘滞性
理想 流体没有粘性。
实际流体不管处于静止还是流动态，其粘性都存在。
粘性使流体具有抗拒剪切变形，阻碍流体流动的能力。
克服粘性阻力维持流动必然导致能量的消耗。
流体的粘滞性
作用在流层上的切向应力与相邻两层间的速度梯度成正比。
凡遵循牛顿粘性定律的流体称为牛顿型流体。
流体流动时任意相邻两层流体间是相互抵抗的，相互抵抗的作用力是剪切力，
也称之为内摩擦力、粘滞力、粘性摩擦力。
牛顿粘性定律流体的连续介质假设
体积无穷小的微量流体称为,流体质点”。
流体质点的尺寸远大于分子间距离，质点间的距离不大于分子间距离，即认为质点间没间隙。
流体是由无数连续分布的流体质点所组成的连续介质。
练习题
1、下列命题中正确的有（ ）。
A、易流动的物质称为流体
B、液体和气体均为流体
C、液体与气体的主要区别是气体易于压缩，而液体不能压缩
D、在低温、低压、低速条件下的运动流体，一般可视为不可压缩流体练习题
2、下列命题中正确的有（ ）。
A、粘性是流体的故有属性
B、粘性是运动流体抵抗剪切变形的能力
C、液体的粘性随温度的升高而减小
D、气体的粘性随温度的升高而增大练习题
3、流体的动力粘度与（ ）有关。
4、理想流体的特征为（ ）。
5、已知某液体的体积变化率,则其密度变化率
6、已知某液体的粘性切应力,动力粘度,则其剪切变形速率为：
（ ）。
%10VV?
2/0.5 mN
sPa 1.0?
第二章 流体静力学重点内容：
作用在流体上的力与静压强
流体平衡微分方程
流体静力学基本方程式基本概念或结论：
表面力 －作用在流体体积 表面 上的力
（包括法向力和切向力）
质量力（体积力） －作用在流体 内部 质点上的力，大小与流体质量成正比。
静压力 －为流体所受的 法向应力。两特性：
1) 方向总是垂直指向压力的作用面（即为内法向线方向）。
2) 流体内任意点处的压强只与该点空间位置有关，而与作用面方位无关。
基本概念或结论：
绝对压
－以绝对零压（绝对真空）为起点所计算的压强。
相对压强（表压）
－以大气压为起点所计算的压强。
真空度
－大气压与绝对压之差。
基本概念或结论：
静止态不可压缩流体内部任一处流体的
,位势能,与,压强势能,可以相互转换，但,总势能,不变。
压强随深度作线性增加。
压强可传递，内部压强随自由表面上压强的变化作等额增加。
等压面为水平面。
第二章 流体静力学重要公式：
1、流体平衡微分方程
0 ;0 ;0 zpfypfxpf zyx
0)(1)( zpypxpfff zyx?
欧拉平衡微分方程
)( dzfdyfdxfdp zyx
压差公式第二章 流体静力学重要公式：
2、势函数
)()(?
ddpdzfdyfdxf zyx
zfyfxf zyx?
,,
重力场的势函数
),,( zyx
gz
第二章 流体静力学重要公式：
3,流体静力学基本方程式常数 gzp?
常数
g
pz
ghpp 0
练习题
1,1.0kgf/cm2为（ ）。
A,98kPa
B,10mH2O
C,101.33kPa
D,760mmHg
练习题
2、下列命题中正确的有（ ）。
A、绝对压强不能为负数
B、相对压强可正可负
C,真空度可正可负
D、真空度不能为负数练习题
3、静止流场中的压强分布规律（ ）。
A、仅适合于不可压缩流体
B、仅适合于理想流体
C、仅适合于粘性流体
D、既适合于理想流体也适合于粘性流体练习题
4、流体静压强 p的作用方向为（ ）。
5、重力作用下的 流体静压强微分方程为：
6、相对压强的起量点为：
7,静止流体的等压面方程为：
8、绝对压强的起量点为：
9、在平衡流体中，质量力恒与等压面（ ）
第三章 流体流动特性重点内容：
流场研究的两种方法：
拉格朗日法和欧拉法欧拉法分析速度场，将流体质点物理量随时间的变化率表示为由不稳定性引起的当地变化率和由不均匀性引起的迁移变化率两部分。
第三章 流体流动特性重点内容：
流体质点运动的加速度
流线与迹线
流线微分方程
流管与流束
粘性流体的流动形态
雷诺准则第三章 流体流动特性重点公式,,
流体质点运动的加速度
流线微分方程
V)V(VVVVVVa tzwyvxutDtD
),,,(),,,(),,,( tzyxw
dz
tzyxv
dy
tzyxu
dx
基本概念或结论：
流场中各点流速的大小与方向是变化的；
流线上任一点的切线方向代表流经该处流体质点的速度方向，即垂直于流线的速度分量为零；
流线互不相交；
流体质点流动时不可能穿越流线；
恒定流中，流线与迹线在几何上重合。
流线属性基本概念或结论：
流管特性
流体不可能从流管侧面流入或流出；
对于稳定流动，流管的形状与位置不随时间而变。
润湿周长 －流体流动所润湿的固体壁面的周边长度，
水力半径 － 有效流通截面积与润湿周长之比。
x
AR
h
0?
当量直径 － 四倍的水力半径。
x
he RD 4?
基本概念或结论：
平均流速 －单位时间内单位流通截面所通过的流体体积量。
0Av V d AQ
雷诺数是惯性力与粘滞力之比
层流与湍流的本质区别湍流时，流体质点除了有主运动还存在随机的脉动。
层流时，流体在管内的速度分布呈抛物状。
基本概念或结论：
练习题
1、当流体为恒定流动时必有（ ）为零。
A、当地加速度
B、迁移加速度
C、向心加速度
D、合加速度练习题
2、已知不可压缩流体的流速场为则流动为（ ）。
A、一维流动
B、二维流动
C、三维流动
D、均匀流动
0 ),( ),,( wxfzyfu?
练习题
3、当流体为恒定流动时，流线与流迹在几何上（ ）。
A、相交
B、正交
C、平行
D、重合练习题
4、已知不可压缩流体作平面流动的流速分布为则常数（ ）
A,B,C,D、
ybxxyaxu )(,22
2
1?a 1?a
2
1?b 1?b
第四章 流体动力学分析基础流体动力学研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系。
本章主要介绍流体动力学的基本知识，推导出流体动力学中的几个重要的基本方程,连续性方程、柏努利方程、动量方程和能量方程等，这些方程是分析流体流动问题的基础 。
控制体 －流场中某个确定的空间区域，其界面为控制面，其大小形状可任意选定。控制体一经选定，其位置就相对固定了下来。
控制体分析着眼有限体积内流体的总体运动。由此建立的守恒方程更具有实用价值。
4.1系统与控制体第四章 流体动力学分析基础第四章 流体动力学分析基础系统 －一定质量的流体质点的集合。
在流动过程中，系统表面通常在不断变形，
而其中的流体质量是确定的。流体系统位置随运动而改变。
4.1系统与控制体
雷诺运输方程 － 揭示系统内流体参数变化与控制体内流体参数变化之间关系。
4.2雷诺运输定理第四章 流体动力学分析基础
系统与控制体的对比与关联系统 控制体系统 系统 系 统系统位置随运动而改变,可能与控制位置重叠
雷诺运输方程 － 揭示系统内流体参数变化与控制体内流体参数变化之间关系。
4.2雷诺运输定理第四章 流体动力学分析基础
系统与控制体的对比与关联系统 控制体系统 系统 系 统第四章 流体动力学分析基础
系统内与控制体内物理量随时间变化率之关系的推导
I II III 4.2雷诺运输定理设 B为物理量,B的质量变化率为
dm
dB
dVdmdmdm
dBB)(
(4-1)
I系统第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理设 时刻，系统处于右图状态时刻，系统处于上图状态
t
tt
则有：
tvcts BB )()(,?
)))(()()(,ttIIIIvcttIIIIItts BBBBBB
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理则系统内物理量随时间变化率为：
t
B
t
B
t
BB
t
BBBB
t
BB
dt
dB
ttI
t
ttIII
t
tvcttvc
t
tvcttIIIIvc
t
tstts
t
s
)()()()(
)()(
)()(
)(
l i ml i ml i m
l i m
l i m
00
,,
0
,,
0
0↙ 定义式
←关联控制体
（ 4-2）、（ 4-3）、（ 4-4)
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理逐项分析下式各项：
t
B
t
B
t
BB
dt
dB ttI
t
ttIII
t
tvcttvc
t
s
)()()()()( limlimlim
00
,,
0
↑控制体内 B的时间变化率
↙ B的流出率
↑B的流入率第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理逐项分析下式各项：
t
B
t
B
t
BB
dt
dB ttI
t
ttIII
t
tvcttvc
t
s
)()()()()( limlimlim
00
,,
0
vcvcvc
vc
tvcttvc
t
dV
t
dV
t
dV
dt
d
dt
dB
t
BB
,,,
,
,,
0
)(
)()(
l i m
控制体位置不变 ↘
（ 4-5）、（ 4-6）
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理逐项分析下式各项：
t
B
t
B
t
BB
dt
dB ttI
t
ttIII
t
tvcttvc
t
s
)()()()()( limlimlim
00
,,
0
←B通过控制面的流出率与流入率之差 tBtB ttItttIIIt )()( l i ml i m 00
由（ 4-1）式知，
B是 体积量 的函数 dVB
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理
B通过控制面的流出量：
B通过控制面的流入量：
dtdAdVB 00000 )nV(
dtdAdVB iii )nV( ii
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理
B通过控制面的流出率：
B通过控制面的流入率：
000
0
00
)nV(lim)(lim dA
t
B
t
B
t
ttIII
t
i
i
t
ttI
t
dA
t
B
t
B )nV(lim)(lim
ii00
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理
B通过控制面的净流出率：
sc
ttI
t
ttIII
t
dA
dAdA
t
B
t
B
,
0ii000
00
)nV(
))nV(()nV(
)(
lim
)(
lim
（ 4-7）
第四章 流体动力学分析基础
I II III 4.2雷诺运输定理综上所述，得：
scvcs
dAdV
tdt
dB
,,
)nV()(
（ 4-8）
上式表明,系统内 B随时间的变化率，等于控制体内 B随时间的变化率加上 B通过控制面的净流率。
第四章 流体动力学分析基础
4.2雷诺运输定理
雷诺运输方程的意义
scvcs
dAdV
tdt
dB
,,
)nV()(
（ 4-8）
上式等号右边第一项相当于当地导数，第二项相当于迁移导数。
雷诺运输方程着眼有限体积内流体的总体运动，适用于控制体分析。而流体质点随体导数适用于微分分析。
第四章 流体动力学分析基础
4.2雷诺运输定理定常态下：
scs dAdt
dB
,
)nV()(
（ 4-9）
结论,在 定常态下,系统内 B随时间的变化率，仅与 B通过控制面的流率有关，与内部流动过程无关。
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。
流体是连续介质，它在流动时充满整个流场。
当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，在某一定时间内，如果流出的流体质量和流入的流体质量不相等，则表明封闭曲面内流体密度是变化的；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成方程，
称为连续性方程。
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
连续性方程在流动系统应用质量守恒定律,由雷诺运输方程推导出连续性方程。
scvcs
dAdV
tdt
dB
,,
)nV()(
在流动系统应用质量守恒定律,此时的流体参数 B是质量，即：
mB? 1
dm
dB?
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
连续性方程
scvcs dAdVtdtdB,,)nV()(
↓
scvcs dAdVtdtdm,,)nV()(
系统内质量不变，即,0)nV(,, scvc dAdVt
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
连续性方程
vcsc dVtdA,,)nV(
上式就是积分形式的连续性方程，可见：
通过控制面的质量净流率，等于控制体内质量的减少率。
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
（ 4-11）
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
定常态下不可压缩流体的连续性方程
0)nV(, sc dA
（ 4-12）
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
（ 4-11）
上式为积分形式的连续性方程定常态：
不可压缩流体：
0
,
vc
dVt?
为常数?
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
定常态下不可压缩流体的连续性方程
0)nV(, sc dA
考虑微元流管内的流动，
流体流入截面 1，从截面 2流出，侧面无流体通过。故：
01122 dAVdAV
（ 4-13）
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
定常态下不可压缩流体的连续性方程对任意有限截面流管
1122 AVAV?
（ 4-14）
式（ 4-14）为不可压缩流体在定常态下作一维流动的连续性方程。
第四章 流体动力学分析基础
4.3流体流动的连续性方程
定常态下不可压缩流体的连续性方程
1122 AVAV?
（ 4-14）
式（ 4-14）说明一维流动在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比。
第四章 流体动力学分析基础
4.4理想流体的能量方程在流动系统应用能量守恒定律,由雷诺运输方程推导出能量方程。
scvcs
dAdV
tdt
dB
,,
)nV()(
在流动系统应用能量守恒定律,此时的流体参数 B是能量，即：
EB? e
dm
dE
第四章 流体动力学分析基础
scvcs dAdVtdtdB,,)nV()(
↓
scvcs dAedVetdtdE,,)nV()(
结合热力学第一定律：
4.4理想流体的能量方程
WQdtdE
（ 4-16）
（ 4-15）
第四章 流体动力学分析基础
WQdAedVet
scvc
,,
)nV(
4.4理想流体的能量方程
（ 4-17）
式（ 4-17）表示,控制体内能量随时间的变化率与通过控制面的能量净流率之和，等于输入系统的热量与环境对系统所做功之和。
第四章 流体动力学分析基础
WQdAedVet
scvc
,,
)nV(
4.4理想流体的能量方程
（ 4-17）
在重力场，系统单位质量的能量包括内能、势能和动能：
2
2V
gzee u
（ 4-18）
第四章 流体动力学分析基础
4.4理想流体的能量方程环境对系统所做的功，为单位时间作用在控制体的表面应力所作的功：
（ 4-19）
dAW
sc?
,
)V(?
理想流体只有法向应力，且指向作用面，故：
dApW sc,)nV(
（ 4-21）
第四章 流体动力学分析基础
WQdAedVet
scvc
,,
)nV(
4.4理想流体的能量方程
（ 4-17）
↓
QdApedVet
scvc
,,
)nV)((
（ 4-22）
第四章 流体动力学分析基础
4.4理想流体的能量方程
重力场理想流体在绝热定常态下的能量方程
QdApedVet
scvc
,,
)nV)((
（ 4-22）
↓
0)nV)((, sc dApe? （ 4-23）
↓
0V)
2
(
,n
2
sc u
dApVgze
（ 4-24）
上节要点
（ 4-8）
雷诺运输方程
（ 4-9）
scvcs dAdVtdtdB,,)nV()(
scs dAdtdB,)nV()(
定常态下雷诺运输方程上节要点
（ 4-11）
积分形式的连续性方程
（ 4-14）
不可压缩流体在定常态下作一维流动的连续性方程
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
1122 AVAV?
上节要点
（ 4-17）
理想流体的能量方程（通式）
0V)
2
(
,n
2
sc u
dApVgze
（ 4-24）
重力场理想流体在绝热定常态下的能量方程
WQdAedVet
scvc
,,
)nV(
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利（ Bernouli）方程绝热，定常态，在一微元流管上应用式（ 4-24）
（ 4-25）
0V)2(,n
2
sc u dApVgze
0)2()2(
12
22
A uA u
dApVgzeVdApVgzeV
↓
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程
（ 4-25） 0)
2()2( 12
22
A uA u
dApVgzeVdApVgzeV
微元面积 A1,A2上的能量视为常数，得：
)2(
2
pVgze
u
0)
2
()
2
(
12 1
1
2
1
11
2
2
2
2
22 AuAu V dA
pVgzeV dApVgze?
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程由连续性方程：
得：
（ 4-27）
（ 4-26）
与外界没有热交换，内能不变；又密度不变，故有：
0)2()2(
12 1
1
2
1
11
2
2
2
2
22 AuAu V dA
pVgzeV dApVgze?
12 AA V d AV d A
1
1
2
1
11
2
2
2
2
22 22
pVgzepVgze
uu
1
2
1
1
2
2
2
2 22
pVgzpVgz
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程
（ 4-27）
（ 4-28）
上两式为伯努利方程。式中三项分别表示单位质量流体所具有的位势能、动能和压强势能，单位为 J/kg。位势能、压强势能和动能均为机械能。
或写成：
1
2
1
1
2
2
2
2 22
pVgzpVgz
常数pVgz 2
2
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的意义方程表明：不可压缩的理想流体在重力场作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的 单位质量 流体所具有的位势能、动能和压强势能之和保持不变（即机械能是一常数），但位势能、动能和压强势能三种能量之间可以相互转换。
1
2
1
1
2
2
2
2 22
pVgzpVgz 常数
pVgz
2
2
伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的表现形式。
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的意义对单位重量的流体而言，伯努利方程中各项分别称为位置水头、速度水头和压强水头，三项和为总水头。
g
p
g
Vz
g
p
g
Vz
1
2
1
1
2
2
2
2 22 Hg
pVz
2
2
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的意义此时的伯努利方程可表述为：不可压缩的理想流体在重力场作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的 单位重量 流体所具有位置水头、速度水头和压强水头之和保持不变。
g
p
g
Vz
g
p
g
Vz
1
2
1
1
2
2
2
2 22 Hg
pVz
2
2
图 4-5理想流体沿流线的总水头和静水头第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用条件
1)不可压缩的理想流体；
2)在重力场作定常流动；
3)沿流线作一维流动。
g
p
g
Vz
g
p
g
Vz cc
c 22
2
1
2
1
1
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
1)确定有自由水面的薄壁容器侧壁小孔出水速度与水面高度的关系
（ 自由水面高度维持不变,忽略流动时粘滞力造成的摩擦损失。）
在 1,c两截面间应用伯努利方程 。
图 4-6
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
1)确定有自由水面的薄壁容器侧壁小孔出水速度与水面高度的关系代入图示数据：
整理得：
g
p
g
V
g
pH aca
2
2
gHV c 2?
（ 4-30c）
上式表明,小孔出流的速度，等于流体质点从自由水面处无摩擦自由下落到小孔处的速度。
图 4-6
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
1)皮托（ Pitot）管工程上测量管道中流体的流速，
可采用皮托管来进行。
皮托管主要结构如上图。
使用时，常与压差管连接使用（见右图）。
皮托管结构示意图
1p 2p
1p? 1p?
第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
1)皮托（ Pitot）管工程上测量管道中流体的流速，
可采用皮托管来进行。
皮托管使用时，常与压差管连接使用。
皮托管结构示意图
VB A
Z Z
A,B点很接近，流体在 B点流速为 VB，流至 A点受阻流速将为 0，速度水头转为压强水头 h。
皮托管测量原理
VB A
Z Z
在 A,B点间应用 伯努利方程
皮托管测量原理
g
p
g
p
g
V AB
2
2
VB A
Z Z
整理得：
皮托管测量原理
gh
g
ppgV BA 2)(2
（ 4-31b）
1p 2p
1p? 1p?
内管,测速内管口正对流过来的流体，流体流至该处受阻，速度降为零，动能转化为静压能，
即内管测得管口处流体的动能和静压能。
g
p
g
p
g
V
g
p
2
2
外管,外管壁沿周边所开的孔很靠近内管口，用以测该处的静压能。
g
p
皮托管测量原理实际应用上皮托管 常与压差管连接使用。
1p 2p
1p? 1p?
g
p
g
V
g
p
g
p
g
p
2
)(
2
得内、外管所测的压差，可由静力学方程求得：
gRpppp o )()(
g
p
g
p
g
V
g
p
2
2
由
)(
2
2?
oRgpgV所以
)(2 oRgV即
皮托管测量原理
称压强水头和速度水头之和 称 为冲压水头。
测速管测的是点速度。
测速管应置于稳定段。
几点说明第四章 流体动力学分析基础
4.5不可压缩理想流体一维流动的伯努利方程及其应用
伯努利方程的应用
3)文丘里（ Venturi）管文丘里管主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，主要用于管道中流体流量的测量，。
文丘里管利用收缩段造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用Ｕ形管差压计测量出压强差，应用伯努利方程求出管道中流体的体积流量。
22
2
22
2
11 VpVp
22
1
2
2
1 Vd
dV?
文丘里 管测量原理由一维流动连续性方程以文丘里管的水平轴线作为基准面。在截面
1-1,2-2间列伯努利方程（忽略阻力损失）
整理得：
])/(1[
)(2
4
12
21
2 dd
ppV
])/(1[
)(2
4 412
212
222 dd
ppdVAQ
流量为：
（ 4-32e）
（ 4-32d）
为流量系数，通过实验测定。
当文丘里管的压差用 U形差压计测量时，
则有：
])/(1[
)(2
4 412
02
2 dd
Rg
dQ
实考虑到 1-2截面间实际存在阻力损失的情况
])/(1[
)(2
4 412
212
2 dd
ppdQ
实
（ 4-32）
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理
定常流动的动量方程许多工程问题，只需求解流体与固体的相互作用，不必考虑流体内部的详细流动过程，这时应用动量定理直接求解十分方便。例如求弯管中流体对弯管的作用力，
以及计算射流冲击力等。不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理
定常流动的动量方程根据动量定理，流动系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即,
动量方程是动量守恒定律在流动系统的应用
F)V( smdtd
（ 4-33）
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理? 定常流动的动量方程运用雷诺运输方程,此时,VB m?
VB dmd?
scvcss dAdVtmdtddtdB,,)nV(VV)V()(
对定常流动：
scs dAmdtd,)nV(V)V(?
（ 4-34）
F)V( smdtd
（ 4-33）
故得：
sc dA,)nV(VF?
（ 4-35）
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理? 定常流动的动量方程是作用在控制体质量上的质量力和作用在被控制体切割的流体和固体上的表面力。
vcm dV,mfF?
为单位质量的质量力。在重力场为：
sc dA,)nV(VF?
（ 4-35）
F?
)FF(F sm
mf
（ 4-37）
（ 4-37a）
kf m g
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理? 定常流动的动量方程表面力 包括两部分：
1) 控制面外固体对控制面内流体的力
2) 周围流体的压强力和粘性应力所产生的力
scp dAp,)n(F
其中压强力：
（ 4-37）
)FF(F sm
（ 4-37b）
sF
第四章 流体动力学分析基础
4.6动量定理? 定常流动的动量方程上式等号右边项为净动量流率，若控制面上流速和密度均匀，则有：
QAV n?
其中：
（ 4-38a）
sc dA,)nV(VF?
（ 4-35）
ino utsc AVAVdA )(V)(V)nV(V nn,
inoutsc QVQVdA )()()nV(V,
动量方程应用举例
【 例 4-1】 水平放置的变直径弯管，弯管断面 1-1上压力表读数 p1=17.6× 104Pa，管中流量 Q=0.1m3/s，直径 d1=300㎜,d2=200㎜,
转角 Θ=600，如图所示。求水对弯管作用力
F的大小解,水流经弯管动量发生变化，必然产生作用力 F。
而 F与管壁对水的反作用力 R平衡。管道水平放置在 xoy面上，将 R分解成 Rx和 Ry两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。
1.根据流量公式可求得：
sm
d
QV /42.1
3.0785.0
1.0
4
2
2
1
1
sm
d
QV /18.3
2.0785.0
1.0
4
2
2
2
2
2.列管道进、出口的伯努利方程
22
2
22
2
11 VpVp
Pa
VV
pp
3
22
3
2
2
2
1
12
102.17
2
)18.342.1(1 0 0 0
106.17
2
)(
则得：
3.对所取控制体受力分析,得进、出口控制面上总压力：
kNApP 43.123.04106.17 23111
kNApP 40.52.0
4
102.17 23222
壁面对控制体内水的反力 Rx,Ry，
其方向先假定如图所示。
4.写出动量方程选定坐标系后，作用力与坐标轴方向一致的，
在方程中取正值；反之，为负值。
沿 x轴方向
)c o s(c o s 1221 VVQRPP x
c o s)c o s( 1212 PPVVQR x
kN568.060c o s43.1240.5)60c o s42.118.3(1.0
沿 y轴方向,
)s i n0(s i n 11 VQRP y
s i ns i n 11 QVPR y
kN88.1060s i n42.11.060s i n43.12
kNRRR yx 89.1088.10)56 8.0( 2222
水流对弯管的作用力 F与 R大小相等，方向相反。
管壁对水的反作用力,
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程前述连续性方程、能量方程和动量方程是基于控制体分析，应用雷诺运输方程和相应的守恒定律推导得到的。
控制体分析法不深究流体内流动细节，
当需对流动细节细究时，应运用微分形式的守恒方程。
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程由控制体分析法已导出了积分形式的连续性方程，式（ 4-11）,
前已述，连续性方程是质量守恒定律在流动系统的应用结果。即连续性方程讨论的物理量是质量。
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程由控制体分析法已导出了积分形式的连续性方程，式（ 4-11）,
是单位面积质量通过控制面的面积积分，根据高斯定理，该积分等于单位面积质量的散度在控制体内的体积分。即：
0)nV(
,,
scvc
dAdVt
sc dA,)nV(?
vcsc dVdA,,)V()nV(
（ 4-52）
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程又：
所以：
vcvc dVtdVt,,
（ 4-53）
0V)()nV(
,,,,
vcvcscvc
dVdVtdAdVt
即：
0V)(
,
dV
tvc
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程反映控制体内流体密度的变化反映控制体内流体质量的总变化
（ 4-53）
由于流体是由连续介质组成的，所以控制体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为控制体内流体密度的变化而引起的。
0V)(
,
dV
tvc
t
V)(
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程所以,（ 4-54）
0V)(t
上式即为微分形式的连续性方程方程表明,若控制体内流体质量发生了变化，
必然引起控制体内流体密度的变化。或者说，
如果控制体内流体的密度有变化，则意味着控制体内流体质量发生了变化。
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程
0V)(t
0?
z
w
yx
u
t
（ 4-55）
微分式连续性方程在直角坐标系上的表达形式将上式在直角坐标上表示，则有,
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程展开上式并归项，得,
0?
z
w
yx
u
t
（ 4-55）
0)()(?
z
w
yx
u
z
w
yx
u
t
微分式连续性方程在直角坐标系上的表达形式第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程上式的矢量形式,
0)( zwyxuDtD （ 4-56）
0)()(?
z
w
yx
u
zwyvxut
↓
0VDtD
（ 4-57）
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程其中,
)(V zwyxu
（ 4-57）
0VDtD
微分式连续性方程的矢量表达形式第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程
（ 4-58）0V)(
定常流动下的微分式连续性方程矢量表达形式
→
对不可压缩流体
0V)(t
（ 4-60）0V
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
微分形式的连续性方程
（ 4-59）
定常流动下的微分式连续性方程直角坐标表达形式
0?
z
w
yx
u
（ 4-61）
对不可压缩流体
0 zwyxu?
【 例 4-2】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为：
2,4,3?
z
w
yx
u?
9 zwyxu?
问该流动是否连续？
解：
故此流动不连续
zyxwzyvyxu 2,4),(3 23
若流动连续，应满足（ 4-61）式 0?
z
w
yx
u?
【 例 4-3】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为
yxxu s in2 yxy s in2
0)s i n2(s i n2 yxyxyxu?
yxyxu c o s2,s i n2
问该流动是否连续？
解：
故此流动连续第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
纳维－斯托克斯方程若对流场中的微元流体运用牛顿第二定律，可得到微分形式的动量方程，称为纳维
－斯托克斯方程。
前面已导出定常流动的动量方程（ 4-38a）
ino u tsc QVQVdAF )()()nV(V,
dy
dz
dyd zxx?
dxdyzx?
dzdxyx?
d y d zdxxxxxx )(
d z d xdyyyxyx )(
d x d ydzxzxzx )(
设在流场中任取一个微元平行六面体，
其边长分别为 dx,dy和 dz，应用牛顿第二定律。
Dt
Dd x d y d z
Dt
Ddm VVF （ 4-63）
dy
dz
dyd zxx?
dxdyzx?
dzdxyx?
d y d zdxxxxxx )(
d z d xdyyyxyx )(
d x d ydzxzxzx )(
X方向的动量平衡，有
Dt
Dud x d y dzdFdF
xsxmx )()(F
（ 4-64）
表面力（法向力和切向力）
质量力 x分力对粘性流体，表面力包括静压力和粘性力，分析它们在 x,y,z的分量，可得到：
（ 4-67）
d xd yd zzyxdF zxyxxxxs )()(
zxzxyxyxxxxx p,,
X方向
d xd yd z
zyxx
pdF zxyxxx
xs )()(?
（ 4-65）
代入上式得 X方向的净表面力：
整理得到 X方向的运动微分方程
（ 4-68）
代入（ 4-64）
d xd yd z
zyxx
pdF zxyxxx
xs )()(?
（ 4-67）
X方向的质量力,d x d y d zfdF
xxm)(
得到：
Dt
Dud x d y dzdFdF
xsxmx )()(F
d xd yd zzyxxpd xd yd zfDtDud xd yd z zxyxxxx )(
zyxx
pf
Dt
Du zxyxxx
x?
上式表明,流体的加速运动是质量力、压强力和粘性力共同作用的结果。
（ 4-71）
同理可得到 y,z方向的运动微分方程。
运动微分方程的矢量表达式：
ijpDt
D fV
zyxx
pf
Dt
Du zxyxxx
x?
或：
（ 4-71）
理想流体的欧拉运动微分方程理想流体无粘性，故粘性应力张量等于零
ijpDt
D fV
0?ij?
pDtD fV （ 4-72）
z
p
f
Dt
Dw
y
p
f
Dt
Dv
x
p
f
Dt
Du
z
y
x
（ 4-73）
斯托克斯提出了广义牛顿摩擦定律，即给出了应力与流体变形的关系式，代入上式整理出粘性流体的运动微分方程。
（ 4-71）
粘性流体的纳维－斯托克斯微分方程对于粘性流体
ijpDt
D fV
0?ij?
（ 4-71）
粘性流体的纳维－斯托克斯微分方程
ijpDt
D fV
粘性流体运动微分方程的矢量表达式：
VfV pDtD （ 4-80）
△ 称为拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
zyx?
4-80式称为 纳维－斯托克斯微分方程。
（ 4-71）
粘性流体的纳维－斯托克斯微分方程
ijpDt
D fV
粘性流体各方向的运动微分方程
)(
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
p
f
Dt
Dw
zyxy
p
f
Dt
Dv
z
u
y
u
x
u
x
p
f
Dt
Du
z
y
x
第四章 流体动力学分析基础
4.8微分形式的守恒方程
基本微分方程组的定解条件
1)初始条件
0tt?
),,(
),,(
),,(
),,(
0
0
0
0
zyxpp
zyxww
zyxvv
zyxuu
2)边界条件
固体壁面
进口出口
相界面因某些研究问题过于复杂，以至 不能建立数学表达式 或 难以用数学方法求解 。转而用实验方法。
引入 量纲分析方法 可使实验变量减少、
实验数据关联过程得以简化。
第五章 量纲分析与相似原理量纲是代表被测物理量单位种类的一种符号。
如国际单位制中长度单位的量纲是
量纲分析的基础知识流体力学中的基本单位是质量、长度、时间，它们的量纲分别为：
5.1量纲分析第五章 量纲分析与相似原理
1)什么是量纲？
L
tLM
量纲分析的基础知识非基本物理量的量纲，依物理量定义或物理方程，由基本物理量量纲推导出。如速度的量纲为：
5.1量纲分析第五章 量纲分析与相似原理
1)什么是量纲？
1?Lt
量纲分析的基础知识
5.1量纲分析第五章 量纲分析与相似原理
1)什么是量纲？
当 a,b,c均为零时，称物理量 B为无量纲的量
cba tMLB?
流体力学中任一物理量 B的量纲公式可表示为：
依据 一定的原则,将几个变量组合成一个 无量纲数组 。用无量纲数组代替原来若干变量进行实验，以得到可应用的公式。这一方法称为 量纲分析方法。
2)什么是量纲分析方法？
量纲分析法 是工程实验研究中常使用的方法之一
5.1量纲分析第五章 量纲分析与相似原理
量纲分析的基础知识量纲分析法的基础是,量纲齐次原理
（也称因次一致性的原则）和 π定理。
量纲齐次原理,一个能合理反映物理现象的方程，其等号两边不仅数值相等，
而且每一项都应具有相同的因次。
3)量纲分析方法的原理第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
量纲分析的基础知识
4)量纲分析方法的原理第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析白金汉（ Buckingham） π定理,任何因次一致的物理方程，都可以表示为一组无量纲数的幂函数。 无量纲数 的数目等于变量数 n与基本量纲数 m之差。
量纲分析的基础知识设影响某现象的物理量为 n 个，这些物理量的基本量纲为 m个，则该物理现象可用（ n-m）个独立的无量纲数组成的关系式表示,此即为 π定理。
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
π定理称为重复变量，每个无量纲数都是重复变量与剩余变量中的其中一个变量的组合无量纲数的组成第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
π定理
（ n-m）个无量纲数的组成结构如下
321,,xxx
n
cba
mn
cba
cba
xxxx
xxxx
xxxx
mnmnmn
221
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
52
41
以 摩擦系数的无量纲数方程推导为例摩擦系数的幂指数形表达式：
)(,、、,Vdf?
edcba VKd
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析π定理的具体应用摩擦系数的一般表达式：
edcba VKd
式中六个物理量的量纲分别为：
000 tML
Ld?
1 LtV
3 ML?
11 LMt?
L
整理，得：
（ 1）
将上面六个式代入 （ 1） 式，得：
000 tML
Ld?
3 ML?
11 LMt?
L
edcba LLMtMLLtLKtML 1131000
dcdbedcba MtKLtML 3000
edcba VKd
1 LtV
解方程组，得：
根据量纲齐次原则，得：
dcdbedcba MtKLtML 3000
03 edcbaL,
0 dcM,
0 dbt，
bd
bc?
ebebbba 3
将方程解代入原方程 （ 1） 整理，得：
bd
bc?
eba
ebbbeb VKd
eb
d
VdK?
（ 1）
edcba VKd
上式表明：在无量纲数组方程中，
只与两个无量纲数组有关,做实验时只须确定 b,e两个指数,实验工作量大为简少！
e
b
eb
d
K
d
VdK
Re
edcba VKd
（ 1）
↓
量纲分析法必须依靠实验才能得到确定无量纲数之间的定量关系。
漏了必要的物理量，则得到的无量纲数组方程无法通过实验建立确定的关系 。
1) 无量纲数组的形式
2) 作用在流体上力
惯性力
粘性力第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
关于 π定理的几点说明
22
2
3 lV
l
VlmaF
ine r
VlllVAdyduAF v is 2
1) 无量纲数组的形式
2) 作用在流体上力
压力
重力还有表面张力、弹性力第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
关于 π定理的几点说明
22 plplpAF p r e 或
glmgF g r a 3
3) 流体力学中常见的无量纲数组
雷诺数湍流时雷诺数大，表明是惯性力起主要作用；层流时雷诺数小，表明是粘滞力起主要作用。
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
关于 π定理的几点说明
v is
in e r
F
F
Vl
lVVl
22Re
3) 流体力学中常见的无量纲数组
欧拉数与压力有关的现象由欧拉数反映。
此外，常见的无量纲数组还有弗雷德（ Froude）数、韦伯（ Weber）数、
马赫（ Mach）数。
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
关于 π定理的几点说明
in e r
p r e
F
F
lV
pl
V
pEu
22
2
2
1) 可使实验变量减少、实验数据关联过程得以简化。
2) 可用于物理量量纲的推导。
3) 通过核对由理论导出的数学方程的判断方程的正确性。
4) 确定模型实验的相似条件。
第五章 量纲分析与相似原理
5.1量纲分析
量纲分析的意义
1) 几何相似流动边界几何相似，即对应的线性尺寸成比例第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似概念
3
3
3
2
2
2
,,lVlAl CllCCllCllC
2) 时间相似对应的时间间隔成比例。
第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似概念
s
s
t t
t
t
t
t
tC
2
2
1
1
3) 运动相似速度或加速度的方向一致，大小成比例。这称为速度或加速度几何相似。
第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似概念
Vl
t
l
Q
l
V
t
V
a
V
CC
C
C
tl
tl
Q
Q
C
C
C
C
C
tV
tV
a
a
C
V
V
C
2
3
3
3
2
/
/
/
/
4) 力相似作用在流体上的各种力的方向对应一致，
大小互成比例。这称为力场的几何相似。
力相似中涉及到的比例常数有：力比例常数、
密度比例常数、质量比例常数、力比例常数、
压强比例常数、运动粘度比例常数和动力粘度比例常数等。
第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似概念相似原理要点：
相似的现象遵循同一客观规律
相似现象的单值条件相似
由单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似原理单值条件指,几何条件、物性条件、边界条件、初始条件等。
判断所推导的相似准则中的主次准则
设计实验
确定实验需测物理量及数据整理
实现将实验结果应用到实物系统的换算第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似原理的应用
相似理论从微分方程出发导出相似准则
相似理论导出的无量纲数组是面向两对应系统的
相似理论仅适用于物理现象相似的系统
相似理论偏重于现象的物理方面第五章 量纲分析与相似原理
5.2相似原理
相似原理与量纲分析的比较
由于粘性的影响，使流层之间出现切向应力，形成阻力；
流动形成层流、湍流两种形态。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动不可压缩粘性流体内部流动的特点：
对理想流体运动基本规律的讨论，得到了伯努利方程。
研究实际流体在管道或渠道中的流动，
需考虑粘性的影响，粘性导致流动过程产生摩擦阻力，维持流动需克服流动阻力，故流体中将有一部分机械能不可逆地损失掉。
讨论粘性流体流动的重点就是讨论由于粘性在流动中所造成的阻力问题，
即讨论阻力的性质、产生阻力的原因和计算阻力的方法。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动由无数微元流束（或流线）组成的 有效截面为有限 的流束称为总流。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力何为总流？
不可压缩粘性流体在管道或渠道中的流动属总流流动。
微元流束与总流的区别第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力微元流束在同一截面上流体质点的位置高度、压强和流速可认为是相同的。而总流在同一有效截面上的流体质点的位置高度、压强和流速则是不同的 。
即,
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力对不可压缩理想流体沿同一流线（或同一微元流束）流动有伯努利方程（式 4-29）：
HgpzgV2
2
g
pz
g
V
g
pz
g
V
2
2
2
21
1
2
1
22
(6-2)
或写成：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力对于粘性流体，由于克服粘性阻力要消耗机械能，故粘性流体微元流束的伯努利方程为：
(6-3)
22
1 1 2 2
1222
V p V pzz
g g g g
22
1 1 2 2
1222 wl
V p V pz z h
g g g g
(6-4)
粘性流体 微元流束 的伯努利方程
1) 使用平均流速，并乘以动能修正系数第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
不可压缩粘性流体总流的伯努利方程
6.1流动阻力由于微元流束与总流的区别，伯努利方程
（ 6-4）不可直接应用于总流，须作以下调整：
粘性流体 总流 的伯努利方程
whg
pz
g
V
g
pz
g
V
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1 22
(6-6)
2）方程只能在任意两缓变流有效截面上应用急变流 缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流图 6-1 缓变流和急变流示意图关于缓变流和急变流上式即 粘性流体总流的伯努利方程。
适用于重力作用下不可压缩粘性流体定常流动的任意两个缓变流的有效截面。
为了克服流动阻力，总流的总机械能沿流线方向逐渐减少，以 表示总流从有效截面 1至有效截面 2之间的平均单位重量流体的能量损失。
Wh
whg
pz
g
V
g
pz
g
V
22
2
2
2
1
1
2
1
1 22
(6-6)
图 6-2 总流总水头线
动能修正系数 是由于截面上速度分布不均匀而引起的；
是个大于 1的数，有效截面上的流速越均匀,值越趋近于 1。
在实际工业管道中，通常都近似地取
对于圆管层流流动
0.1
2
whg
pz
g
V
g
pz
g
V
22
2
2
2
1
1
2
1
1 22
关于 动能修正系数第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
流动阻力损失
6.1流动阻力由流动阻力引起的能量损失称为流动阻力损失，简称阻力损失，包括沿缓变流流动的总沿程阻力损失和在急变流处产生的总局部阻力两部分。
(6-8)
jfw hhh
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
流动阻力损失
6.1流动阻力
1)沿程阻力损失 (简称沿程阻力或沿程损失 )。
流体流动克服沿程阻力而损失的能量称为沿程损失，其大小与流过的管道长度成正比，
还与流体的流动状态有密切关系。
单位重量流体的沿程损失称为沿程水头损失，以 表示，单位体积流体的沿程损失，
又称为沿程压强损失，以 表示 。fh
fp?
在管道流动中的沿程损失可用下式求得
g
V
d
lh
f 2
2
2
2V
d
lp
f
－ 沿程阻力系数，是一个无量纲的系数，
与雷诺数和管壁粗糙度有关。
式（ 6-9）称为达西 -威斯巴赫
（ Darcy-Weisbach）公式。
(6-9a)
(6-9)
2)局部阻力损失管道中通常装有阀门、弯管、变截面管等局部装置。流体流经这些局部装置时流速将重新分布，流体质点与质点及与局部装置之间发生碰撞、产生漩涡，使流体的流动受到阻碍，
由于这种阻碍是发生在局部的急变流动区段，
所以称为局部阻力。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.1流动阻力流体为克服局部阻力所损失的能量，
称为局部损失。
单位重量流体的局部损失称为局部水头损失，以 表示，单位体积流体的局部损失，又称为局部压强损失，以 表示。jh
jp? jj ghp
局部损失可用下式求得：
g
Vh
j 2
2
局部阻力系数 是一个无量纲的系数，由实验测定。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.1流动阻力
2)局部阻力损失
(6-10)
流动阻力损失例 6-1 输油管的直径 d＝ 0.1m，长 l＝ 6000m，
出口端比入口端高 h＝ 12m，输送油的流量 G
＝ 8000kg/h，油的密度＝ 860kg/m3,入口端的油压 pi＝ 4.9× 105Pa,沿程阻力损失系数＝
0.03，求出口端的油压 p。
解：油的平均流速
23600
4
GV
d
2
8000
3 6 0 0 0,1 8 6 04
= ＝ 0.329（ m/s）
m
g
V
d
lhh
fw 94.981.92
329.0
1.0
6 0 0 003.0
2
22
代入已知数据，解得：
例 6-1 输油管的直径 d＝ 0.1m，长 l＝ 6000m，
出口端比入口端高 h＝ 12m，输送油的流量 G
＝ 8000kg/h，油的密度＝ 860kg/m3,入口端的油压 pi＝ 4.9× 105Pa,沿程阻力损失系数＝
0.03，求出口端的油压 po
在入、出口截面附近建立总流的伯努利方程
22
1 1 2 2
12 22 w
p V p Vz z h
g g g g
02 305090p p P a
管内任取一流体柱分析其受力推动力：净压力
2221 )( rprpp
阻力：内摩擦力
rlS 2?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的微分方程
r
l
p
dr
du
2
得 圆管内层流流动的微分方程：
合力为零，即：
022 rlrp
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的微分方程
dr
du
(6-11)
)(
4
22 rR
l
pu
r
R
u
r d r
l
pdu
20
得管内 层流流动的速度分布式：
积分上式：
上式表明：圆管内层流时任一点的速度在圆管的有效截面积上呈抛物面分布。
管内层流流动的速度分布和流量表达式第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
rlpdrdu?2
(6-12)
在 的管轴上，流速达到最大值：
式（ 6-12）表明在有效截面上各点的流速与点所在的半径 成二次抛物线关系。u r
0?r
2
m a x 4 Rl
pu
代入上式得：
当 时，
上式反映圆管内任一点的速度与管中心最大点速度的关系。
0?r
22
m a x
m a x
164
d
l
p
R
l
p
u
uu
)(4 22 rRlpu
2
m a x )(1 R
ruu
(6-13)
)(4 22 rRlpu f
r d ruudAQ RR
00
2?
代入上式，有：
R r d rrRlpQ 0 22 )(2
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
管内层流流动的速度分布和流量表达式流量表达式即平均流速为：
2328
m a x22
2
ud
l
pR
l
p
R
QV
积分，得：
44
0
4
0
2
2
1288
)
4
1
2
(
2
d
l
p
R
l
p
rr
R
l
p
Q
RR
(6-14)
(6-15)
2
m a xuV?
4
1 2 8 dl
pQ
上式称为哈根－泊肃叶（ Hagen-
Poiseuille）公式。表明,层流流动时，流量与单位长度的压强降和管半径的四次方成正比。上式 也是管流法测量流体动力粘度 μ
的公式依据。
上式表明,对圆管层流而言,管内平均流速是轴线处最大流速的一半。 即管内平均流速可通过测取轴线处的流速而求得。
由牛顿内摩擦定律和 层流流动速度分布式：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的沿程阻力公式切应力分布
du
dr 22()4
pu R r
l?
可得到切应力在有效截面上的分布规律：
l
pr
2
l
pr
2
(6-16)
l
Rp f
w 2m a x
R
r
m a x
式（ 6-16）表明，切应力在管壁处最大、
在轴线处为 0；在圆管的有效截面上，切应力与管径的一次方成比例，为直线关系。
圆管有效截面上的切应力分布由哈根－泊肃叶公式，得到 层流流动时,
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的沿程阻力公式沿程阻力公式单位重量流体的沿程阻力损失则为
4
128 lQp
d
g
V
d
l
g
ph
f 2Re
64 2
(6-18)
(6-17)
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的沿程阻力公式沿程阻力公式可见，不可压缩粘性流体在圆管内作层流流动时，沿程阻力损失与平均流速的一次方成正比，沿程阻力系数 λ 仅与雷诺数有关，而与管道壁面粗糙度无关。
2
2 32
2Re
64
gd
lV
g
V
d
l
g
ph
f?
比较哈根－泊肃叶公式和 达西公式,
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.2圆管内层流
圆管内层流流动的沿程阻力公式沿程阻力系数得到圆管内层流，沿程阻力系数为：
g
V
d
l
g
ph
f 2Re
64 2
(6-19)
g
V
d
lh
f 2
2
Re
64
在湍流流动时，其有效截面上的切应力、
流速分布等与层流时有很大的不同。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流流动的脉动现象与时均速度湍流是随机的三维非定常流动湍流运动中的流体质点，因不断互相掺混，
引起质点间的碰撞和摩擦，产生了无数旋涡，造成速度等流动参数随时间和空间作随机脉动。即湍流是一种不规则的流动状态。
图 6-10 脉动速度
T
i tuTtu
0
d1)(
对某个时间间隔内的瞬时速度取平均值，该平均值具有统计规律，称为时均速度，定义为：
湍流时，用高精度的测速仪来测量流场中某一空间点的流体质点流速，可发现速度是随时间作随机脉动的，如图所示。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
u
T?
(6-47)
瞬时速度与时均速度之差称为脉动速度：
uuu i
其中,称为脉动速度。 对定常流动,时均速度 不随时间变化，而 还是随时间变化的。
脉动速度有正有负，但是在一段时间内，其平均值为零。
u u?
u?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流流动的脉动现象与时均速度时均速度与脉动速度
(6-48)
湍流中的压强和密度也有脉动现象，同理有,
i
i ppp
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流流动的脉动现象与时均速度其它脉动参数
(6-51)
(6-50)
湍流中的切向应力由摩擦切向应力和附加切应力两部分组成。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
流体的脉动速度会引起动量交换，从而产生能量损失，其效果等同于切应力的作用，将这种虚在的切应力称为附加 切应力（也称雷诺应力）,其计算式可由普朗特混合长度理论推导出来。
摩擦切向应力可由牛顿内摩擦定律式求得 tl
y
u
l d
d
普朗特混合长度理论推导过程的要点：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
普朗特假定：脉动速度使流体质点从流层 1运动到另一流层 2的距离 相当于气体分子的平均自由行程 。
假设流体质点在流层间的速度变化等于质点的纵向脉动速度 udu
l?
普朗特混合长度理论推导过程的要点：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
内脉动质点引起动量变化为
dt
lyutAlyumulyuum
d
d)dd(
d
dd
d
dd
普朗特混合长度理论推导过程的要点：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
根据动量定理，动量变化等于作用在流体上外力的冲量。
于是得,
dAdF t
tFlyutA dddd)dd(
这个外力就是附加应力，即：
l
y
u
A
F
t d
d
d
d
普朗特混合长度理论推导过程的要点：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
假设：
于是得,
y
ulk
d
d
22 )
d
d()
d
d(
y
ulkl
y
uv
t
22 lkl
令,
则,22
)dd( yult
普朗特将 称为混合长度，并认为：
kyl?
l
湍流中的总切向应力：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
湍流粘度 不是流体的物性，它取决于流体的密度、时均速度梯度以及普朗特混合长度。
其中：
y
u
y
ul
y
u
ttl d
d)(
d
d
d
d
2
2
y
ul
t d
d2
t?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
湍流中的切向应力 (雷诺应力）
y
u
ttl d
d)(
在接近管壁的地方粘性摩擦切应力起主要作用；在管道中心处，流体质点之间混杂强烈，附加切应力起主要作用。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑
层流底层 －受粘性影响，湍流时，贴壁处流体速度为零，壁面附近流体的脉动减弱，紧贴壁面处存在一个很薄的层流流，这一流层称为层流底层，其厚度用 δ表示 。
管内湍流结构分析,
1—层流底层第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑
过渡层 －距管壁稍远处，存在一个由层流到湍流的过渡区域，域内粘性摩擦切应力和湍流附加切应力同样起作用。
管内湍流结构分析,
2—过渡区第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑
湍流核心－ 湍流区以雷诺应力为主 。
管内湍流结构分析,
3—紊流核心第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑层流底层的厚度 δ 与 Re数、沿程阻力系数 λ 有关。对圆管有：
层流底层厚度,
Re
d8.32?
层流底层的厚度取决于流速的大小，流速越高，层流底层的厚度越薄，反之越厚。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑层流底层厚度,
层流底层对湍流流动的能量损失以及流体与管壁之间的热交换起着重要的影响。
层流底层的厚度越薄，换热就越强，但流动阻力也越大。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑水力粗糙与水力光滑层流底层对流动阻力损失及流体热交换的影响作用与 管道壁面的粗糙度有关。
d
u
绝对粗糙度 — 壁面凸出部分的平均高度
相对粗糙度 — 绝对粗糙度与管道直径的比值
d/?
管壁粗糙度对摩擦系数的影响
d
u
流体流过管壁面的情况 1b
b?
管壁粗糙度对摩擦系数的影响管壁的粗糙凸出部分淹没在层流区中，粗糙度对湍流流动无影响，流体如同在光滑管中流动。这种情况称为,水力光滑,,这时的管道称为,水力光滑管,。
d
u
流体流过管壁面的情况 2
b
b?
管壁粗糙度对摩擦系数的影响湍流流体流过凸出部分，粗糙度对流动发生影响，
产生碰撞、冲击,在凸出部分后面 形成漩涡，增加能量损失，这种情况称为,水力粗糙,,这时的管道称为,水力粗糙管,。
层流底层的厚度随着 的减小而增厚，因此，对同一绝对粗糙度的管道，
流速较低时，可能是光滑管，随流速增大则有可能变为粗糙管。
Re
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
水力粗糙与水力光滑水力粗糙与水力光滑第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
圆管内湍流流动的速度分布层流底层内速度分布－呈线性规律
yu w
光滑管湍流区的速度分布
(6-59b)
5.5lg75.5
yu
u
u
(6-63)
n
R
y
u
u )(
m a x
(6-66)
指数 n随雷诺数变化第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
圆管内湍流流动的速度分布
n
R
y
u
u )(
m a x
当 Re=1.1× 105时,n=1/7，即著名的冯卡曼（ Von Karman）七分之一次方规律。随着雷诺数增大，速度分布曲线中湍流核心区的速度分布更为平坦，层流底层更薄，
壁面附近速度变化更快。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.4管内湍流
圆管内湍流流动的速度分布粗糙管湍流区的速度分布
(6-55)48.8lg75.5
y
u
u
图 6-15 莫迪图第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
1)层流区沿程阻力系数与管道的相对粗糙度 ε/d
无关,λ 随 Re数增长线性下降。
Re
64
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
2)临界区 2000＜ Re＜ 4000
可能是层流，可能是湍流，很不稳定，
总趋势是沿程阻力系数 λ 随 Re数增长而增长。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
3)湍流光滑管区沿程阻力系数 λ 只与 Re数有关，在 4× 103＜ Re
＜ 106这一区间内，有布拉修斯（ Blasius）式
78)(2.22Re4 0 0 0
d
25.0Re
3 1 6 4.0 75.1Vh
f?
湍流光滑管区又称为 1.75次方阻力区。
→
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
4)过渡流区
Re数和壁面相对粗糙度 ε/d 均对沿程阻力系数有影响。
8978 )(589Re)(2.22
dd
)( R e,df
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
沿程阻力系数与穆迪 （ F.Moody） 图
5)湍流粗糙管区
λ 只与 ε/d 有关，与 Re数无关，对应在穆迪图上，则为一根根水平直线。流动的沿程阻力损失与流速平方成正比，故该区域又称为平方阻力区。
89)(5 8 9Re
d?
)( df 2Vh f?→
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.5 沿程阻力系数和局部阻力系数
局部阻力系数局部阻力系数大多由实验得出。表 6－ 3
给出各种常用管道的局部阻力系数 ζ 。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
流体在等径无分岔圆管内流动的能量损失
1)计算公式
g
V
g
V
d
lhhh
jfw 22
22
(6-71)
写成一般式
),,,,( Vldfh w
已知 L,d，规定流量 Q,求能量损失 hf或损失压降 ；
已知 L,d,规定允许的能量损失或推动力，
求流体的输送量 Q或流速 V；
已知 L,规定输送任务和推动力，选择适宜的管径 d。
常见待求问题：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
流体在等径无分岔圆管内流动的能量损失
fp?
公式求解问题的公式及图表：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
流体在等径无分岔圆管内流动的能量损失
jfw hhh
g
V
d
lh
f 2
2
2
2V
d
lp
f
g
Vh
j 2
2
Re
64
25.0Re
3 1 6 4.0 )( R e,
df
)(
df
图表－穆迪图求解问题的公式及图表：
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
流体在等径无分岔圆管内流动的能量损失求解问题的方式：
直接计算法和试差法例 6-2 输送石油的管道长 5000m，直径为 250mm的旧无缝钢管，通过的质量流量 100t/h，运动粘度在冬季,夏季,密度为 885kg/m3，试求沿程水头损失各为多少？
ml 5 0 0 0? mmd 2 5 0? htG /100?
sm /1009.1 24冬?
3/885 mkg
sm /1036.0 24夏?
sm /1009.1 24冬? sm /1036.0 24夏?
解：已知沿程水头损失计算式：
g
V
d
lh
f 2
2
体积流量平均流速雷诺数
hmGQ /113885 10100 3
3
smdQV /64.025.014.33 6 0 0 1 1 344 22
9.14671009.1 25.064.0 4
冬冬?
VdRe
4.44441036.0 25.064.0 4
夏夏?
VdRe
层流湍流判别流动类型与所处的区域
2.8 1 4 9 6)19.02 5 0(2.22)(2.22 7878d
进一步判断夏季流动状态处于湍流的具体区域查得旧无缝钢管 mm19.0
8 1 4 9 6,2)(2.224 4 4 4,4Re4 0 0 0 78 ＝＝夏?d
（夏季石油在管道中流动状态处于湍流光滑管区，故沿程阻力系数用布拉修斯（ Blasius）公式计算）
冬季层流，所以：
油柱mgVdlh f 2.1881.92 64.025.050000436.02
22
0388.04.4444 3164.03164.0 25.025.0 Re?
油柱m
g
V
d
lh
f 2.1681.92
64.0
25.0
50000388.0
2
22
夏季湍流光滑管区
0436.09.1467 6464 Re?
例 6-3 输送空气（ t=20℃ ）的旧钢管道，取管壁绝对粗糙度,管道长,管径
，管道两端的静压强差为,
试求该管道通过的空气流量 Q为多少?（ 管道水平放置 ）
mm1 ml 400?
mmd 2 5 0? Pap 9 8 0 6
解：
g
V
d
lh
f 2
2
根据已知条件，由沿程水头损失计算式求 流速，且要用试差法。
VdAVQ 4
2?
),,,,( Vldfh f
对等直径的管道，列伯努利方程为：
fhg
p
g
p
21
又：
g
ph f
f?
所以：
得,pppppp
f )( 1221
g
V
d
l
g
p
g
ph f
f 2
2
2
2V
d
lp即：
查 t= 20℃ 空气的密度和粘度,
2
2V
d
lp
3/2.1 mkg sPa,1081.1 5
004.02501d?
0027.0
l
pdV )(2
假定流动在平方阻力区，根据 由穆迪图试取
0 0 4.0?d?
得：
sml pdV /45.192.1400027.0 980625.022 f
根据 值和,由穆迪图查得：
与假定值相符合。
3 2 4 1 6 71081.1 2.125.045.19 5VdRe
Re 027.0
smVdQ /95 4.045.1925.0414.34 322
检验假定的正确性
d
管道通过的空气流量为：
工程上常见的非圆形截面管道第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
非圆形管内流动的能量损失长方形截面 环形截面 列管管束截面第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
非圆形管内流动的能量损失
非圆形管道中沿程阻力的计算式
g
V
D
lh
e
f 2
2
ee VDVDRe
(6-75)
(6-76)
正方形管道
常见非圆形截面管道的当量直径计算第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
非圆形管内流动的能量损失
aaaD e 44
2
长方形管道
bh
hb
bh
hbD
e
2
)(2
4
应用上式时，为避免计算时误差过大，
长方形的长边最大不超过短边的 8倍。
常见非圆形截面管道的当量直径计算第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
非圆形管内流动的能量损失圆环形管道
oi
oi
oi
e dDdD
dD
D
22
44
4
应用上式时，为避免计算时误差过大，
环形截面的大直径至少要大于小直径 3倍。
长方（或正方）形排列的列管管束外当量直径
o
oo
o
e d
d
ss
d
dss
D
21
2
21 4
4
4
例 6-4 有一长方形风道长,截面积Ａ＝
0.5× 0.8m2，管壁绝对粗糙度,输送
t=20℃ 的空气，流量 。
试求在此段风道中的沿程损失。
解：平均流速当量直径
20℃ 空气的运动黏度密度
mbh hbD e 615.08.05.0 8.05.022
ml 40?
m19.0
smQ /21600 3?
sm /1063.1 25
3/2.1 mkg
smAQV /158.05.03 60 02 16 00
雷诺数相对粗糙度查穆迪曲线图得沿程损失沿程压强损失
5659501063.1 615.015 5 eVDRe
0 0 0 3 1.06 1 519.0
eD
0 1 6 5.0
空气柱mgVD lh
e
f 3.1281.92
15
61 5.0
4001 65.0
2
22
Paghp ff 8.1 4 481.92.13.12
1,构造（如图）
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失孔板流量计是常用的流量测量装置,其结构和工作原理如下：
孔板流量计测量元件是一块中间开圆孔的板
1,构造（如图）
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失孔板流量计是常用的流量测量装置,其结构和工作原理如下：
孔板流量计在孔板前与板后流连接
U形差压管。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计
2,测量原理流体通过孔板时，流速增大，且有局部阻力损失，使静压头减少，通过测量孔板前后压力差，由静压头的减少值依据伯努利方程及连续性方程算出流速。
d 0d
1 2
p
g
V
g
p
g
V
g
p
g
V
222
2
22
2
21
2
1?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计
2,测量原理
g
V
g
p
g
V
g
p
g
V
222
2
22
2
21
2
1?
d 0d
1 2
p
2
2
1
2
1 )( Vd
dV?将连续性方程代入上式整理得：
21
2
1
2
2
2
1
1 pp
A
A
V?
3,流量计算公式是流体脉缩面积，难以得知，再考虑到孔板入口边缘不尖锐度的影响等，以孔的截面积乘以系数修正之。
2A
202
4 dCACA DoD
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计
21
2
1
2
2
22
2
1
pp
A
A
A
VAQ
21
2
1
0
021
2
1
0
0 2
1
2
1
pp
d
dC
ACpp
A
AC
ACQ
D
D
D
D?
1
2
1
2
d
dC
C
D
D
令
210 2 ppV
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
3,流量计算公式
孔板流量计
21
0
2 ppAQ则有：
4,几点说明
称为孔流系数,对于标准孔板,是雷诺数和面积比 的函数。
当雷诺数大于某极限值 Re1后，不随 Re变化，
仅与 有关，以 表示。
1
0
A
A
1?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计
1
0
A
A
4,几点说明
孔板安装 应与管轴垂直，孔板孔与管道同心，并置于稳定段。
尽量使流量计在 孔流系数为常数的范围内工作 。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.6管内流动的能量损失
孔板流量计当 Re< Re1时,可以由下式求孔流系数?
1K?
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
管路计算的主要任务
(1)根据给定的流量和允许的压强损失确定管道直径和管道布置；
(2)根据给定的管道直径、管道布置和流量来验算压强损失；
(3)根据给定的管道直径、管道布置和允许的压强损失，校核流量。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
管路计算的基本公式连续性方程常数 222111 AVAVG
常数 2211 AVAVQ
伯努利方程
w
2
22
2
2
11
1 22 hg
V
g
pz
g
V
g
pz
能量损失计算式
jfw hhh
其中：
g
V
d
lh
f 2
2
g
Vh
j 2
2
串联管道,由数段内径或粗糙度不同的管子串联组成的管道系统。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
串联管路第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
串联管路
不可压缩流体在串联管道各管段中的体积流量相等
nQQQ21
2222211 nn dVdVdV
w3w2w1w hhhh
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
串联管路串联管道的特点对圆管：
串联管路的能量损失等于各管段能量损失之和
（ 6-81）
已知流过串联管路的流量 Q，求所需总水头 H；
已知总水头 H，求通过的流量 Q。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
串联管路串联管道计算问题的常见类型并联管道,几条简单管路的入口端与出口端都是汇合在一起的,称为并联管路。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
并联管路
不可压缩流体流经 并联管路的总流量等于各分管道流量的总和
nQQQQ21
22222112 nn dVdVdVVd
w3w2w1w hhhh
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
并联管路并联管道的特点对圆管：
并联管道的能量损失等于各分管道的能量损失
（ 6-85）
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
并联管路并联管道的特点即：
（ 6-86）
g
V
d
l
g
V
d
l
g
V
d
l n
n
n
nn 222
22
2
2
2
22
2
1
1
1
11
已知并联管道的允许压力损失，求总流量 Q
已知总流量 Q，求各分管道流量和能量损失。
第六章 不可压缩粘性流体的内部流动
6.7 管路计算
并联管路并联管道计算问题的常见类型第七章 不可压缩粘性流体的外部流动伯努利方程用于解决粘性流体的内部流动问题。对于流体绕流固体物面的外部流动问题，
则通过纳维－斯托克斯（ N-S）方程解决。
二阶、非线性、偏微分使得 N-S方程不易得到解析解。不过，对于 Re数很小或很大两极端情况，
斯托克斯和普朗特分别得出了方程的解析解。
)(
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
dz
w
dy
w
dx
w
z
p
f
Dt
Dw
dzdydxy
p
f
Dt
D
dz
u
dy
u
dx
u
x
p
f
Dt
Du
z
y
x
具体研究：
1)平板流动边界层的近似计算
2)曲面流动边界层的分离现象
3)粘性流体绕流固体物面时产生阻力的原因及减小这类阻力的措施。
第七章 不可压缩粘性流体的外部流动所谓外部流动是指流体绕流固体物面的流动。
本章着重讨论：
大 Re数下绕流固体物面的边界层流动；
小 Re数下的小圆球的蠕流流动。
流体流过固体壁面时，在靠近壁面附近存在较大速度梯度的流体层，称之为边界层。
一般以流速达到主流速度的 0.99倍的所在处作为边界层外缘。
何为边界层？
边界层的基本概念和基本特征第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征在边界层理论出现前，流体力学的研究分为两个分支：一是数学理论分析法，另一个实验研究法。
20世纪初,普朗特提出了边界层理论。边界层理论具有广泛的理论和实用意义，成为粘性流体动力学的一个重要领域。
普朗特的边界层理论第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征普朗特 认为对于粘度很小的流体，粘性对流动的影响仅限于紧贴物体壁面的薄层中，而在这一薄层外，粘性影响可以忽略不计，这一薄层称为边界层。
普朗特的边界层理论第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层边界层内，粘性力作用显著，与惯性力有相同数量级的影响力；边界层外，流体的速度梯度很小，流动不受固体壁面的影响，即使粘度较大的流体，粘性力也很小，主要是惯性力。
一般将壁面流速为零与流速达到流速的 99
％处之间的距离定义为边界层厚度。边界层厚度沿着流体流动方向逐渐增厚。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层边界层内也存在着层流和湍流两种流动状态，若全部边界层内部都是层流，
称为层流边界层。 仅在边界层的起始部分是层流，而在其他部分为湍流的，称为混合边界层。 在湍流边界层内紧靠壁面处也有一层极薄的层流底层。
对平板边界层，层流转变为湍流的临界雷诺数为
65 10~103
xRe
边界层外边界边界层外边界
I边界层
II尾部流区域翼型上的边界层沿平壁面流动的层流边界层边界条件为,y=0,u=v=0,y=δ,u=Ue
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
1)与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小；
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
2)边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度；
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
3)边界层厚度沿流体流动方向是增加的。
4)由于边界层很薄，近似认为边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值；
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
5)边界层内也有层流与湍流之分，以 Rex判断 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征
Re ex Uxv?
特征尺寸取离前缘点的距离 表示之，特征速度取边界层外边界上的速度 。
xU
x
6)边界层内，粘性力与惯性力同一数量级,即边界层内是有旋流动；边界层外的流动，速度梯度很小，粘性力影响可以忽略，流动是无旋有势的，称为外部势流 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
边界层的基本概念和基本特征边界层的基本特征以边界层的基本特征为依托，运用,数量级比较”的分析思路,简化 N-S方程。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.1边界层
普朗特边界层微分方程以流体在平壁作定常二维流动为例：
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
yxy
p
f
Dt
D
y
u
x
u
x
p
f
Dt
Du
y
x
N-S方程对于层流边界层，质量力可忽略，故,
二维流动连续性方程
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
yxy
p
Dt
D
y
u
x
u
x
p
Dt
Du
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
yxy
p
f
Dt
D
y
u
x
u
x
p
f
Dt
Du
y
x
0 yxu?
层流边界层 N-S方程和连续性方程的无量纲形式,
式中,
0
)(
Re
1
)(
Re
1
*
*
*
*
2
*
*2
2
*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
2
*
*2
2
*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
yx
u
yxx
p
yx
u
y
u
x
u
x
p
y
u
x
u
u
L
L
LU
U
pp
UU
uu
L
yy
L
xx e
L
eee
Re,,,,,2*****
(7- 4)
根据边界层的基本特征（ 1）,
及不等式,
分析得到,
L
0 y 0 xL 0 euU
等为同数量级与与与?yLxUu e,,
的数量级为小量，的数量级为、即,*** 1 yxu
同理可得式（ 7－ 4）中各相关项的数量级，将上述各项的数量级列在式（ 7－ 4）相应项下面，得式（ 7－ 5）,
比较得：第二式中的惯性项可忽略,粘性项的四项中，仅应保留数量级最大的一项：
(7- 5)
* * * 2 * 2 *
**
* * * * 2 * 2
*
* * 2
* * * 2 * 2 *
**
* * * * 2 * 2
**
1
Re
11
1 1 1
1
Re
11
L
L
u u p u u
uv
x y x x y
v v p v v
uv
x y y x y
*
*
**
**
1
0
11
uv
xy
2*
*2
u
y
压强项中 数量级为 1，与惯性力、黏性力同数量级,应保留； 数量级为,
第二式 保留 。
*
*
p
x
*
*
p
y
*1/?
0
0
)(
Re
1
*
*
*
*
*
*
2
*
*2
*
*
*
*
*
*
*
*
yx
u
x
p
y
u
x
p
y
u
x
u
u
L
经过数量级比较，将简化得到的无量纲形式的普朗特边界层方程还原为：
(7- 7)
边界条件为,y=0,u=v=0,y=δ,u=Ue
0
0
)(
2
2
yx
u
x
p
y
u
x
p
y
u
x
u
u
根据边界层的基本特征（ 4）,,边界层很薄，认为边界层各截面压强等于同一截面上边界层外边界上的压强值,,故可引用 势流流动的伯努利方程,
(7-8a)得：
常数 2
2
eUp
dx
dUU
x
p e
e
根据牛顿切应力公式 得：u
y
2
2
1uv
yy
(7-8b)
普朗特边界层方程进一步简化为,
(7-8)
0
)(
1
yx
u
ydx
dU
U
y
u
x
uu e
e
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算边界层内的流体是粘性流体的运动，理论上可以用 N-S方程来研究其运动规律。但由此得到的边界层微分方程，非线性项仍存在，求解比较困难，目前只能对平板、楔形体绕流层流边界层进行理论计算求得其解析解。
对工程上遇到的很多问题，常采用近似解法，
其中，边界层动量积分方程解法是应用的较为广泛的一种。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式边界层动量积分方程解法，是描述粘性流体运动的 N-S方程的近似求解法。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式取控制体如图，根据质量守恒定理，对定常流动，有：
bdcdac GGG
21 0 20 1 dyuGdyuG bdac?
12
0 10 2
dyudyu
GGG acbdcd
(7-9)
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式
cd段流入的动量为：
10 21 dyuK ac
) ( 12 0 10 2 dyudyuUK ecd
bd段流出的动量为：
20 22 dyuK bd
ac段流入的动量为,(7-11)
(7-12)
(7-10)
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式所以单位时间内该控制体内流体沿 x方向的动量的变化为,
(7-13)
1 2 1
1
1
22
2 1 2 1
0 0 0
22
2 2 1 1
00
22
2 2 2 1 1
00
( ) ( )
b d a c c d
e
ee
e
e e e e
K K K K
u dy u dy U u dy u dy
u U u dy u U u dy
u u u u
U dy dy
U U U U
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式动量定理：单位时间控制体内流体动量的变化等于外力冲量之和。
冲量等于外力与时间的乘积，即单位时间的冲量就是外力之和。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式作用在 ac,bd,cd诸面上的总压力沿 x
方向的分量分别为,
1acPp 2bd dpP p d x
dx?
21
1 ()
2cd
dpP p dx
dx
作用在 ab段流体上的切向应力的合力为：
0abF d x
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式单位时间内作用在该控制体上沿 x方向诸外力的冲量之和为：
1 2 1 2 0
1 2 0 0
1
()
2
1
()
2
dp dp
p p dx p dx dx
dx dx
dp dp
dx dx dx dx
dx dx
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式根据动量定理,得：
21
22
2 2 2 1 1
0 00e
e e e e
u u u udp
d x d x U d y d y
d x U U U U
2
2
22
2 0
ee
uu
f d y
UU
令界面 bd和 ac处的积分值分别为,
1
2
11
1 0
ee
uu
f d y
UU
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
冯卡曼边界层动量积分关系式当这两个界面间的距离 时,
或,
0dx? 21f f d f
2
2
0 0e
ee
d p d u uU d y
d x d x U U
得：
2
0 0 1e
ee
d p d u uU d y
d x d x U U
上式为冯卡曼边界层动量积分关系式。
层流和湍流边界层均适用。
(7-20)
其中 可由主流区的势流方程求得，要求解边界层动量积分方程，还需要补充两个方程。
(1) 速度分布
(2) 切应力
uUp e,,,,0
）（ yuu?
)(00
冯卡曼式 中含有五个未知量
2
0 0 1e
ee
d p d u uU d y
d x d x U U
eUp,
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
平板层流边界层的近似计算流体定常流过一块极薄的平板，来速为根据伯努利方程,
边界层厚度很薄，故势流区流速可认为不变：
U?
常数 eUxU )(
常数 2
2
eUp
0dpdx?得,
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
平板层流边界层的近似计算故，冯卡曼边界层动量积分关系式：
写为：
2
00 1
d u uU d y
d x U U
2
0 0 1e
ee
d p d u uU d y
d x d x U U
将速度分布式和切应力表达式代入上式就能求得边界层的厚度 δ。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
平板层流边界层的近似计算
速度分布式：
假定速度分布用 y的幂级数表示，结合层流边界层内的边界条件解得：
2
( ) 2 yyu y U U
切应力,
0 2
00
2 2 2
yy
U U y Udu
dy
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
平板层流边界层的近似计算求得边界层的厚度 δ：
此外，还可求出平板层流流动的 摩擦阻力系数
1
230 5,4 8 R e
x
vx x
U
(7-24)
1
2
2
1,4 6 Re1
2
D
DL
FC
UA?
(7-28)
平板层流流动的布拉修斯精确解是 1
21.3 28 R e
DLC
在求解边界层动量积分方程时，选取的速度分布越接近实际，则所得结果越正确。只要能大致选定速度分布形式，则可以得到误差并不很大的结果，而且解法较简单，因此在工程上用得较广泛。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算
层流边界层和湍流边界层特性比较边界层的厚度
1
230 5,4 8 R e
x
vx x
U?
1
2
2
1,4 6 Re1
2
D
DL
FC
UA?
速度分布式 22u y y
U
摩擦阻力系数湍流层流
1
7uy
U
1 / 5 1
4 / 5 50,3 7 0,3 7 Re
x
v xx
U
1
50.074 R eDLC
湍流边界层沿平板壁面法向的速度增长要比表示的层流边界层的速度增长块得多。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.2绕平板流动边界层的近似计算沿平板流动湍流边界层的厚度比层流边界层的厚度增长得块。
普朗特边界层理论的要点及意义边界层的基本特征数量级比较分析法在简化 N-S方程中的运用绕平板流动边界层的近似计算－冯卡曼动量积分法上节内容要点第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离当粘性流体绕曲面流动时，由于边界层外势流的流速 Ue沿曲面要发生变化，使势流区和边界层内的压强也沿曲面发生变化，最后将导致一种物理现象 —边界层分离。
物面上的边界层在某个位置开始脱离物面，并在物面附近出现与主流方向相反的回流，流体力学中称这种现象为 边界层分离现象 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离绕平板流动的特点：
边界层外边界上沿平板方向的速度是相同的；
整个流场和边界层内的压强都保持不变。
绕曲面流动的特点：
边界层外边界上沿曲面方向的速度是改变的；
曲面边界层内的压强也发生变化。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离对绕平板流动的讨论，着重对边界层的计算；
对绕曲面流动的讨论，着重说明曲面边界层的分离现象。
以不可压缩流体绕流圆柱体为例，从边界层内流动的物理过程说明曲面边界层的分离现象。
绕曲面流动边界层内的压强与速度的变化
随着流体沿圆柱体表面绕流，边界层厚度逐渐增大
流体在圆柱体前半部，
速度逐渐增加，压强逐渐减小，是加速流。
流体在圆柱体后半部，
速度逐减小渐，压强逐渐增加，是减速流。
即：在圆柱体边界层内，前半部的流动是降压加速，而后半部的流动是升压减速。
在边界层内的流体质点，除了受到摩擦阻力的作用外，还受到流动方向上压强差的作用。
在圆柱体前半部,降压加速流体的部分压强能转变为动能，从而抵消一部分因摩擦阻滞作用而消耗的动能，以维持流体在边界层内继续向前流动。
在圆柱体后半部,升压减速一方面，摩擦阻力使动能不断消耗，另一方面后半部处于升压减速区，更促使边界层内流体质点的减速，从而使动能消耗更大。
当达到 S点时，近壁处流体质点的动能已被耗尽，部分流体质点在 S点停滞下来，过 S
点以后，压强继续增加，在压强差的作用下，
近壁处的流体质点开始倒退。
绕曲面流动边界层的分离第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离接踵而来的流体质点在近壁处都同样被迫停滞和倒退，以致越来越多被阻滞的流体在短时间内在圆柱体表面和主流之间堆积起来。
边界层剧烈增厚，边界层内流体质点的倒流迅速扩展，而边界层外的主流继续向前流动，
两者流动方向相反，从而形成旋涡。
流体到达 S点，从表面分离出来，即出现曲面边界层分离现象,S点称为分离点。
驻点 A
流速最高点 B
分离点 S
涡流区（ D点后）
从 O点流至 M点，降压加速；
从 M点流至 F点，升压减速。
对势流区内的流动，
压强与速度的变化为：
对边界层内的流动，压强与速度的变化与势流区相仿：
从 O点流至 M点，降压加速；
从 M点流至 F点，升压减速。
边界层内有流动阻力，故 F点的压强低于
O点的压强。
根据普朗特边界层方程，在物面上（ y=0,u=v=0）有：
即在物面上，速度梯度 的变化率由 决定。
dx
dp
y
u
y?
1
0
2
2
(7-42)
y
u
dx
dp
边界层分离的形成过程及各段的压强、速度变化
边界层分离的原因和后果造成边界层分离的原因，在于逆压强梯度 作用和物面粘性滞止效应的共同影响，使物面附近的流体不断减速，最终由于惯性力不能克服上述阻力的停滞，边界层开始脱离物面。
0?dxdp
边界层分离后,形成的旋涡不断被主流带走，在圆柱体后面产生一个尾涡区，
区内的旋涡不断地消耗机械能,所以边界层分离产生很大的阻力损失。
在圆柱体前后产生了压强差，形成了压差阻力。压差阻力的大小与物体的形状有很大关系，所以又称为形状阻力。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离实验研究表明，当粘性流体绕过圆柱体发生边界层分离后，在圆柱体后面产生一对不稳定的旋转方向相反的对称旋涡，这对不稳定的对称旋涡不断增长，最后形成几乎稳定的非对称性的、旋转方向相反、上下交替脱落的旋涡，这种旋涡具有一定的脱落频率，称为冯卡门涡街。
冯卡曼涡街何为冯卡门涡街？
圆柱体后的尾迹和 冯卡门涡街第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离涡街以小于主流的速度 us向下游运动时，
单位长度圆柱体上的阻力为：
冯卡曼涡街单位长度圆柱体上的阻力
2
2 12.183.2
U
u
U
uhUF ss
D?
（ 7－ 44）
U∞为来流流速第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离
n与流体的来流速度 U∞ 成正比，而与圆柱体的直径成反比。
冯卡曼涡街冯卡门涡街的 脱落频率 n
dUStn
d
UStn （ 7－ 45）
St称为斯特劳哈尔（ Strouhal）数，与
Re数有关。当 Re数大于 1000时，斯特劳哈尔数近似等于常数 0.21。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离
冯卡曼涡街冯卡门涡街流量计
dUStn
在管道中与流体流动垂直的方向插入一段圆柱体检测棒，并测取在检测棒下游的涡街脱落频率 n，则可由式（ 7－ 45）求得流速 U∞,
进而确定流量。测定漩涡脱落频率的方法 有热敏电阻丝法、超音波束法等等 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.3绕曲面流动及边界层的分离
冯卡曼涡街冯卡门涡街脱落引发的声学共振及其危害
dUStn
当旋涡脱落频率与设备中的声学驻波振动频率相等时，便会发生声学共振现象，产生噪音。
当声学驻波振动频率、管束的固有振动频率、
卡门涡街的脱落频率三者相合时，将使器壁在脉动压力作用下弯曲变形，甚至振裂，造成设备的严重破坏。
粘性流体绕小圆球的蠕流流动，是在小 Re数下的流动，此时惯性力远小于粘性力，斯托克斯忽略惯性项，使 N-S方程得以简化并求得解析解 。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.4黏性流体绕小圆球的蠕动流动
斯托克斯阻力系数粘性流体绕小圆球的蠕流流动工程上的蠕流流动应用：除尘、粉末物料的流态化输送斯托克斯阻力系数公式第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.4黏性流体绕小圆球的蠕动流动
斯托克斯阻力系数球形颗粒在粘性流体中流动的阻力系数上式适用于 ＜ 1 的情况。
Re
24?
DC
Re
奥森阻力系数公式
2 4 31
16DC ReRe
（ 7－ 52）
（ 7－ 53）
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.4黏性流体绕小圆球的蠕动流动实验所得到得圆球阻力系数刚好位于斯托克斯和奥森解之间。
圆球在静止流体中的自由降落过程：
将圆球置于静止流体中，开始瞬间，速度为零，加速度最大；开始降落后，圆球受到的力包括：重力、浮力和阻力，其中阻力受随速度而变。由于重力加速度的作用，速度不断增大，阻力也因速度的加大而不断增大。直到三力平衡，圆球以均速降落。若圆球没受到其他干扰，则为自由降落。
第七章 不可压缩黏性流体的外部流动
7.4黏性流体绕小圆球的蠕动流动
颗粒在静止流体中的自由沉降
球形颗粒等速沉降速度公式推导
gdF B 3
6
gdW s 36?
球形颗粒受力分析重力,
浮力：
22
2
1
4
1
fDD UdCF
阻力：
根据牛顿第二运动定律，有：
dt
dUmFFW f
sDB
球形颗粒等速沉降速度公式推导等速沉降有：
0?dtdU f
2233
2
1
4
1
66 fDs DdCgdgd
即：
整理得：
D
s
f C
gdU
3
)(4
（ 7－ 55）
(1)当 时,符合斯托克斯阻力公式的条件,
球形颗粒 沉降速度实用公式
(2)当 时，圆球得阻力系数
（ 7－ 56）
1Re?
24
ReDC?
21
18
s
f
gUd
v
1 0 0 0Re1
24 6 0.4
Re ReDC
3
2 2 4 40,4 6 0
3
f s
ff
UU U g d
dd
（ 7－ 57）
(3)当 时,
球形颗粒 沉降速度实用公式
（ 7－ 58）
5102Re1 00 0 0.48DC?
2,8 sfU g d
第八章 不可压缩流体的无粘流动讨论不可压缩流体的无粘流动，即忽略流体的压缩性和粘性。
在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。
粘性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的。
第八章 不可压缩流体的无粘流动无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，其中，对无旋流动中的二维平面势流的理论研究较成熟。在特定条件下对粘性较小的流体运动进行无旋处理，对工程实践具有指导意义和应用价值。
本章首先介绍与有旋流动相关的几个概念与定理，接着介绍不可压缩流体的二维无旋流动，提供研究边界层以外的势流的方法。
有旋流动和无旋流动的定义流体在流动中，如果有流体微团具有绕其 自身轴线 的旋转运动，则称为有旋流动。如果流场各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
第八章 不可压缩流体的无粘流动判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，
仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
有旋流动 与流体微团的运动轨迹无关！无旋流动有旋流动在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：
整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动。
与此相对应的是平移速度、旋转角速度、
线变形速率和剪切变形速率。
第八章 不可压缩流体的无粘流动判断流体微团无旋流动的条件是：流体中每一个流体微团的旋转角速度都满足：
则有：
0 zyx
,zvyw,
x
w
z
u
y
u
x
v
为了进一步了解流场的运动性质，引入流体力学中重要的基本概念之一：速度环量。
速度环量所表征的是流体质点沿封闭曲线运动的总的趋势的大小，或者说所反映的是流体的有旋性。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
速度环流
研究有旋流动中的流体微团运动，可用微团周线方向上的速度和距离乘积的总和来描述。这实际上是速度绕微团的线积分，
称为速度环量。用符号 表示。
在运动流体中取任意形状的封闭曲线
L，其速度环量为：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
速度环流
L L t dtVdlVV ),c o s (?
速度环量可分段计算,
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
速度环流
c o s (,) c o s (,) c o s (,) c o s (,) c o s (,) c o s (,) c o s (,)V V x x V y y V z z
u d x d y w d z
V d l V d l V d l
所以速度环量的计算公式 (8-1)又可以写为
L w dzdyudx )(?
沿封闭曲线的速度环量在封闭曲线 k
上的速度矢量速度 与该点上切线之间的夹角
V?
速度环量是个标量，但具有正负号。
速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为 K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
速度环流解,
例 8-1 已知二元流场的速度分布为 U=-6y，
v=8x，求绕圆 的速度环量。
因周线圆半径 r=1，有
22 1xy
L LL
x d yy d xw d zdyu d x 86)(?
c o s c o s,s i n s i nx r y r
22
00
6 si n c os 8 c os si ndd
所以,
22 2
00
22
00
6 si n 8 c os 2 si n
11
6( si n 2 ) 8 ( si n 2 ) 14
2 4 2 4
dd
沿封闭曲线Ｋ的速度环量与有旋流动之间有一个重要的关系。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理与旋涡强度在有旋流动中，流体运动速度的旋度称为涡量。斯托克斯定理描述了旋涡强度的计算。
斯托克斯定理,当封闭周线内有涡束时，
沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理与旋涡强度为微小面积 dA法线方向上的旋转角速度
2 nA w dA
nw
微小封闭周线的斯托克斯定理斯托克斯定理,当封闭周线内有涡束时，
沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理与旋涡强度
2 nA w dA
微小封闭周线的斯托克斯定理可见：沿封闭曲线的速度环量等于该封闭周线内所有的旋转角速度的面积积分的二倍，
称之为旋涡强度。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理在封闭周线所包围的区域中的分割线上的速度环量之和等于零，而外边线上的速度环量之和就是整个封闭周线的速度环量，即平面上有限大单连通域的斯托克斯定理
L A z2 d Ad d d d内 外 外第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
斯托克斯定理斯托克斯定理说明，旋涡对流动的影响可等价地看作旋涡区域周线上的速度环量对流动的影响。从数学上看，它是线积分和面积分的关系。环量不等于零，则必然存在旋涡 ;反之，则总的旋涡强度为零。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
汤姆孙定理汤姆孙定理,正压性的理想流体在有势的质量力作用下，沿任何由流体质点所组成地封闭周线的速度环量不随时间而变化。
L FL F PVddPdVdDtD 0)2()2(
22
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
汤姆孙（ Thomson）定理汤姆孙定理和斯托克斯定理说明,
在理想流体中速度环量和旋涡不能自行产生，也不能自行消失，本质上是由于理想流体中不存在切向应力。
不能传递旋转运动。
既不能使不旋转的流体微团产生旋转，也不能使旋转得流体微团停止旋转。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
亥姆霍兹（ Helmholtz）定理亥姆霍兹定理 是研究理想流体有旋运动的三个基本定理。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.1速度环流
亥姆霍兹（ Helmholtz）定理
亥姆霍兹第一定理,
同一时刻涡管各截面上的旋涡强度都相等 。
亥姆霍兹第二定理,
正压性的理想流体在有势的质量力作用下 。
亥姆霍兹第三定理,
正压性的理想流体在有势的质量力作用下，
在运动过程中涡管的旋涡强度不随时间变化 。
有势流动的流体质点都要满足以下条件：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势无旋流动也称为有势流动
,,u u wy x x z z y
V u i j k i j kx y z
称为速度势函数，简称速度势。当流体做无旋流动时，不论其是否可压缩，总有速度势存在。所以无旋流动又称为有势流动。
(,,,)x y z t?
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势无旋流动也称为有势流动在有势流动中的沿曲线 AB切向速度的线积分为
( ) ( )BBAAu d x d y d z d x d y d zx y z
B
BAA d
该线积分值与曲线的形状无关。
在有势流动中沿任一封闭周线的速度环量为第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势
LL ddzdyudx )(
当速度势为单值连续函数时，沿任一封闭周线的速度环量为零。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势将速度与速度势关系代入不可压缩流体的连续性方程，得
2 2 2
2
2 2 2 0x y z
上式称为拉普拉斯（ Laplace）方程。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.2流函数与速度势
有势流动和速度势
在不可压缩流体有势流动中，速度势满足拉普拉斯方程。
求解不可压缩流体的无旋流动问题，可转变为根据初始条件和边界条件求解得拉普拉斯方程的问题。
将解得的速度势代入速度与速度势关系式，
可求得速度场．再根据伯努利方程便可求得压强分布。
2 2 2
2
2 2 2 0x y z
解,
例 8-2 已知一个平面不可压缩定常有势流动得速度势函数为 22xy
求在点（ 2.0,1.5）处的速度大小。
smxxu /42
smyy /32
22 5/V u v m s
平面流动的流线方程为第八章 不可压缩流体的无粘流动
流函数对于平面不可压缩流动问题，还可引出另一个描绘流场的函数，由连续性方程得,
8.2流函数与速度势
u
xy
0u d y d x
d d x d y u d y d xxy
连续性条件式 8-11）成立是式（ 8-12） 成为某一函数 全微分的充分必要条件，即(,)xy?
（ 8-11）
（ 8-12）
被称为流函数，只要是不可压缩流体的平面流动，就必然存在流函数。
在三维流动中一般不存在流函数，
轴对称流动除外。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
流函数因此有,
8.2流函数与速度势
（ 8-13）
u x y
流函数的物理意义,平面流动中两条流线之间通过的流体总量，等于两条流线上流函数值的差，沿流线全长两流线之间的流量保持不变。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
流函数
8.2流函数与速度势第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流流体的平面有势流动是相当复杂的，但很多复杂的平面有势流动可以由一些简单的有势流动叠加而成。
基本的平面有势流动包括平行流（均匀直线流动），点源和点汇、涡流和点涡等。
即有：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流在研究流体绕物体的流动时，距物体某一距离处的流场可近似认为是平行流。在平行流流场中，流体作等速直线运动，所有流体质点的速度 大小相等，方向相同 。
0uu?
0
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流
0uu? 0
由上述可得：
对有势流动有速度势函数,且有：(,,,)x y z t?
zwyvxu?
,,
对于平面不可压缩流动有流函数,且,),( yxf
xvyu?
,（ 8-13）
（ 8-7）
00,vxyvuyxu
有平面势流中平行流的流线微分方程为：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流由流线微分方程（ 3-10)
0
0
udx
dy
积分后有：
00x u y C
),,,(),,,(),,,( tzyxw
dz
tzyxv
dy
tzyxu
dx
（ 8-18）
由于：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流即：平行流的流线为许多平行的直线，与
x轴的夹角为得势函数：
0a r c ta n( / )ou?
0uux
0y
00d d x d y u d x d yxy
100 Cyxu
由于：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流得流函数：
00d d x d y d x d y d x u d yx y y x
以上两式中的积分常数和可以任意选取，
而不影响流体的流动图形（称为流谱）。
200 Cyux
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流若令,0
21 CC
即得平行流的速度势和流函数各为：
yxu 00
yux 00 （ 8-20）
（ 8-19）
平行流的流谱显然速度势和流函数都满足拉普拉斯方程。图中等势线簇与流线簇相互垂直。
因平行流中各点速度相同，由伯努利方程得：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
平行流如果平行流在同水平面上进行，或流体为气体（此时重力的影响可忽略不计），则有：
即在流场中各处的压强都相同 。
g h p C
Cp?
流体从平面上的一点沿径向直线均匀地向各个方向流出，这种流动称为点源，出发点称为源点。相反地，如果流体沿径向直线均匀地从各方流入一点，这种流动称为点汇，汇集点称为点汇。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇点源和点汇的流谱点源点汇第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇从源点流出和向汇点流入都只有径向速度,圆周速度为零。取点源（或点汇）
作为极坐标原点，有,
r?
rr?
0?
rr dd
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇根据流动的连续性条件，流体每秒通过任一圆柱面的流量 Q都相等。对于半径为 r
的圆柱面,Qr
r 12
则,
r
Q
r 2?
式中 Q称为点源强度或点汇强度。对于点源，
与 r 同向,Q取正号；对于点汇,Q 取负号。 r
半径越小，径向速度越大，源点（或汇点）
处速度无穷大。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇则,
r
Q
r 2?
积分后得速度势,
r
rQdr
r
d
2d
22ln
2ln2 yx
QrQ
半径越小，势越大，源点（或汇点）处势无穷大。
（ 8-22）
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇
源点和汇点都是奇点。 即速度和速度势的表达式只有在源点和汇点以外才能应用。
22ln
2ln2 yx
QrQ
由上两式可知：
等势线是圆周线，等势线簇是同心圆簇。
除源点或汇点外，整个平面上都是有势流动。
r
Q
r 2?
将流函数的全微分式：
d2dddd Qrrr rr
x
yQQ 1-tg
22
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇
d d x u d y d x d yyx
变换坐标系，改写为：
积分得 流函数,（ 8-23）
可见,流线是一组径向直线，与等势线相互正交如果 平面是无限大的水平面，在的远处，流速为零，该处压力表示为有伯努利方程 如下：
XOY
g
p
gg
p r
2
2
p
r
22
2 1
8 r
Qpp
rr0
0?p
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
点源和点汇即,
可见，压强随着半径的减少而降低。
在 处，
p
Qrr
2
2
0 8?
（ 8-24）
点汇沿半径的压强分布
22
2 1
8 r
Qpp
设有一无限长的直线涡束，像刚体一样以等角速度绕中心轴旋转，其周围的流体也将绕涡束产生与涡束同向的环形流动。在与涡束轴线垂直的每个平面内的流动情况都是一致的，这种以涡束诱导出的平面流动，称为涡流。由涡束所诱导出的环流的流线是许多同心圆。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡在平面内的涡束和涡流，
如图所示。坐标原点为涡束的轴心,为涡束的半径，外围区域为涡流。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡
0r
涡流流场中的速度在与轴心等距离处是相等的，当该距离增加时速度将减少。设涡束的旋涡强度为一常数，由斯托克斯定理，包围涡束的速度环量也为常数。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡斯托克斯定理,当封闭周线内有涡束时，沿封闭周线的速度环量等于该封闭周线内所有涡束的旋涡强度之和。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡根据斯托克斯定理可知，沿任一同心圆周流线的速度环量等于涡束的旋涡强度，
2 r
利用环量的定义，可求出涡流在不同半径的圆周线上的速度，即
rdrw d zdyudxL 2)( 2
（ 8-25）
即,在涡束外的涡流区域，速度与半径成反比，在涡束内部速度与半径成正比第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡涡流区域也可称为势流旋转区，涡束内部称为涡核区。
2 r
r
势流旋转区的压强分布第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡将涡流速度与半径关系式
2 r
代入 伯努利方程,得 势流旋转区的压强分布
22
2
2 1
82
1
rppp?
势流旋转区的压强随半径的增加而增加设涡束的半径为,涡束边缘上的速度为,压强,则有：
0r
0
0 2 rv?
0p
2
0
2
22
0
0
1
82 r
pvpp
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡得涡束的半径为,
2
0 2
0
1
8
r
pp
2
0
2
2
2
00
1
82
1
r
vpp
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡改写可见，涡束外区域内从涡束边缘到无穷远处的压强降是一个常数。 等于涡核边缘速度所转换成的动压强 。
2
0
2
22
0
0
1
82 r
pvpp
为,
涡核内部的压强分布第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡由于涡核内部是有旋流动，可 根据欧拉运动微分方程 求流体的压强。
平面定常流动的欧拉运动微分方程为
x
p
y
u
x
uu
1
1 pu
x y y
涡核内部的压强分布
涡流和点涡将涡核内任一点的速度：
代入前两式，得：
uy
x
x
px
12
x
p
y
u
x
uu
1 1 p
u x y y
y
py
12
以上两个式子分别乘以,后相加，得：dx dy
2 1( ) ( )ppx dx y dy dx dy
xy
涡核内部的压强分布
涡流和点涡或：
积分，得：
设在涡核外缘，,,代入上式，
得积分常数,
2 1( ) ( )ppx dx y dy dx dy
xy
pyx d1d2 22
2
）（
CCrCyxp 222222 212121 ）（
0rr? 00, pp
2
0
2
0
2
00
2
00 )2
1(
2
1 vpvvpvpC
涡核内部的压强分布第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡
22
0
1
2pp
则涡核区的压强分布为涡核中心的压强比较涡核边缘的压强
2
00
1
2pp
可见：
2
0pp c
2
000 2
1
cpppp
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡由于涡核区内部压强低于势流旋转区，将会有流体从势流旋转区被抽吸到涡核区 。
可见涡核内外的压强变化幅度相等，等于涡核边缘速度所转换成的动压强。涡核内外的压强分布如图所示。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡当涡束的半径趋于无穷小时，涡束成为一条涡线，这样的涡流称为点涡．点涡的中心点是一个奇点，因该点处的角速度无穷大。
下面讨论点涡的势函数和流函数第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡点涡的速度势和流函数．
0r r 1 2rr
2d d r d dr
在圆柱坐标，势函数的全微分为：
drdrd r
二维流动势函数的全微分为,dyudxd
点涡是涡流的一种极端情况，对涡流，前述有故得：
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡点涡的速度势和流函数．
2d d r d dr
积分得速度势为
a r c t a n22 yx （ 8-28）
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.3基本平面势流
涡流和点涡点涡的速度势和流函数．
积分得流函数为 （ 8-29）
由速度势可求得流函数，由
222
x
x y x y
222
y
y x x y
得：
2 2 2
2 2 2
()
2 2( ) 2 2
d x y drd dx dy
x y x y r
ln2 r
复杂的无旋流动往往可认为是由几种简单的无旋流动叠加而成。也就是说，几个无旋流动叠加后仍是无旋流动。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.4基本平面势流的简单叠加几个势流叠加以后得到新的势流,其速度势和流函数分别为被叠加势流的速度势和流函数的代数和。
势流叠加原理流线方程为第八章 不可压缩流体的无粘流动
8.4基本平面势流的简单叠加
偶极流偶极流的流函数为
2 2 2 2 2 200
22l im ( a r c ta n ) l im ( )
22aa
Q a y Q a y
x y a x y a
222
My
xy
2 2 2
11
( ) ( )44MMxy cc
等势线方程为 2 2 2
22
( ) ( )44MMxycc
可见流线是与轴在原点相切的圆周簇 ；
等势线是与 Y轴在原点相切的圆周簇第八章 不可压缩流体的无粘流动
螺旋流研究螺旋流在工程上有重要意义。例如旋流燃烧室、离心式的喷油嘴、旋风除尘设备及多级离心泵反导叶中的旋转气流即可看成是这种螺旋流。
第八章 不可压缩流体的无粘流动
螺旋流在除尘器等设备中，流体自圆周切向进入,又从中央不断流出。这样的流动可看成是点汇和点涡的叠加 。
第八章 不可压缩流体的无粘流动螺旋流流场的速度势和流函数为
1 ( l n )
2 Qr
1 ( l n )
2 Qr
8.4基本平面势流的简单叠加点汇点涡
rQ ln2
2
Q
ln2 r 2
（ 8-29）
（ 8-23）（ 8-22）
（ 8-28）
（ 8-34）
（ 8-35）
螺旋流流场的速度势和流函数第八章 不可压缩流体的无粘流动令螺旋流流场的速度势和流函数为常数，
得等势线方程 和流线方程。
1 ( l n )
2 Qr
1 ( l n )
2 Qr
等势线方程
1
Qr C e?
流线方程为
2
Q
r C e
8.4基本平面势流的简单叠加螺旋流流场的等势线方程和流线方程等势线和流线是两组相互正交的对数螺旋线簇,称为螺旋流,如图第八章 不可压缩流体的无粘流动切向速度为径向速度代入伯努利方程,得流场中得压强分布
1
2rr?
2r
Q
rr
合速度 2 2 2 21
2rVQ r
22
12 2 2 2
12
11( ) ( )
8p p Q rr
8.4基本平面势流的简单叠加螺旋流流场的压强分布
（ 8-36）
水泵、风机等外壳中的流动是点源和点涡叠加的例子,如图是风机外壳中的流动。
当气流速度远小于音速时,通常仍可忽略密度的变化；当气流速度接近甚至超过音速时，如果气体受到扰动，必然会引起很大的压强变化，以致密度和温度也会发生显著的变化，气体的流动状态会有根本性的变化，
这时就必须考虑压缩性的影响。
第九章 可压缩流体的流动本章讨论气体作一维定常流动时，流场中各物理量的变化规律。
由于在可压缩流体的流场中密度不均匀，
可压缩流体的运动与不可压缩流体的运动相比，具有一些特殊的性质。
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
音速音速，声音的传播速度，是判断流体可压缩性对流动影响的一个参数或一个标准。
例如,0℃ 时，声音在可压缩性小的水中的传播速度为 1450m/s，而在可压缩性大的空气中的传播速度为 332m/s。
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
音速流体的可压缩性越大，音速越小一种获得音速的方法 － 微弱扰动波在直管中的传播物体振动时会使其周围的介质相继发生振动，这种传播过程称为波。
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
音速如果气体受到扰动，扰动就会以波的形式在气体中传播开去；若该扰动是微小的，则传播速度是一定的，而这一传播速度就是声音的传播速度－音速。
考察微弱扰动波在直管中的传播，可以确定音速。
一种获得音速的方法 － 微弱扰动波在直管中的传播如图，在截面积为 A的长直管中充满静止气体，将活塞以微小速度 dV向右移动，活塞右侧附近气体受压，压强升高 dp，所产生的微弱压强扰动向右 依此 传播下去。
在直管中形成一个不连续的微弱的压强突跃－压缩波 mn，它以速度 a向右推进。压缩波面 mn是被扰动过的气体与未被扰动过的静止气体的分界面，称为扰动波面。
设在压缩波前未被扰动过的静止气体的压强为,密度为,温度为,波后已被扰动过的气体以与活塞的微小运动同样的微小速度向右运动，其压强增高到,密度和温度也相应增加到 和 。
p? T
pp d?
d? TT d?
以压缩波面的角度观察，流体是定常流动，
从右向左地流过波面，经过波面速度由 a降为
a-dV，而压强由 升高到,密度和温度由,增加到,。p? T d? TT d?
pp d?
以上分析了气体受微小扰动，扰动波面前后一些物理量的变化情况。
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
音速下面运用质量守恒定律和动量守恒定律推导出音速计算公式。
取波面左右侧为控制面，则控制面内的控制体体积为零。对控制体应用质量守恒原理，
单位时间流入和流出控制面的流量相等，有：
AVaaA )d)(d(
（ 9-1a）
d
dd
aV整理得：
压缩波很薄，作用在该波上的摩擦力可忽略。根据动量定理，沿流动方向，气体的动量变化率等于作用在该气体上的压力之和，即：
Apppt aVatAa ])d[(d )]()d([)d(
整理得：
paV d1d
（ 9-1b）
由上两式得：
由于是微弱扰动上式与计算声音在弹性介质中传播速度的公式完全相同。可见气体中微弱扰动波的传播速度就是音速。
d
dpda
12
1d
d
dpa?即，微弱扰动波的传播速度为：
上面的结果是音速的通用表达式，适合于任何的连续介质。压缩性小的音速高，压缩性大的音速低，因此，音速值反映了流体可压缩性的大小。
d
dpa?
要确定声音在某种流体中的传播速度 a，
需确定 和 的关系。pd?d
微弱扰动波的传播很迅速，可近似认为是一种可逆绝热过程，即等熵过程 。
d
dpa?
对于理想气体，气体方程式和等熵过程关系式如下：
c o n s tpk
RTp
k R Tpk
d
dpa
得：
（ 9-1）
上式表明：对于理想气体，温度越高，音速越大。
马赫数定义式,
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
马赫数
a
VMa?
马赫数反映惯性力与弹性力的比值，是判断气体压缩性对流动影响的标准。
马赫数定义式,
第九章 可压缩流体的流动
9.1音速与马赫数
马赫数
a
VMa?
根据马赫数的大小，可压缩流体的流动划分为：
亚音速流动 气速小于当地音速（ Ma＜ 1 ）
跨音速流动（临界流动） 气速等于当地音速 （ Ma≈1 ）
超音速流动 气速大于当地音速 （ 1＜ Ma＜ 3）
高超音速流动 （ Ma＞ 3）。
第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动对于可压缩流体的流动，由于密度的变化引起热力学状态发生相应的变化。所以必须把热力学中的状态方程和过程方程一并考虑，才能解决流动问题。
本节讨论气体的一维定常等熵流动，即：
假定气体是理想气体
流动过程与外界无热交换
摩擦影响很小可忽略
一维定常流动第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动研究气体的一维定常等熵流动，就是研究 p,V,ρ,T等随总流的变化规律。四个未知数应有四个方程，才能解决气流流动问题。
基本方程
1,连续性方程连续性方程的微分形式
c o n s tVA
AVAV
222111
0ddd
A
A
V
V
第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
（ 9-4）
0 V d AA d VVAd
或：
基本方程
→
第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
（ 9-4a）
2、运动方程对于 气体,密度很小，可以忽略质量力，则：
dx
dpf
dt
dV
x
因为一维流动的理想 流体 欧拉运动微分方程为,
dx
dp
dx
dVV
1
dx
dp
dt
dV
1
→ 0
dpV d V （ 9-5）
基本方程第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
2、运动方程上式可写为：
0)2(
2
dpVd
0dpV d V
上式表明：理想气体一维定常流动沿总流方向的压力能和动能的变化之和为零，即两种能量之和沿总流方向不变。
基本方程第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
3、能量方程得理想气体一维定常等熵流动的能量方程为：
结合等熵流动,沿流管积 分以下方程,
（ 9-7）
上式也即为可压缩流体的伯努利方程
c o n stpk
co n s tVpk k 21
2
0)2(
2
dpVd
热力学第一定律用于流体流动的能量关系式为在绝热流动的条件下这个能量方程适用于绝热过程，而不论该过程是否可逆。
V d Vdhdq
co n s tVh 2
2
积分得能量方程的另一表达式
0 V d Vdh
摩擦的存在，只是使消耗于抵抗摩擦的机械能转换为热能，该热能重又加入气流中，使气流中的熵增加。所以在绝热流动中总能量不变。
（ 9-6a）
对于理想气体，有：
pp
k
p
k
kp
cc
cp
R
cTch
vp
pp
p 1
1
1
co n s tVpp
k
21
1 2
co n s tVh 2
2 （ 9-6a）
即（ 9-6a）改写为：
（ 9-8）
上式为理想 气体一维定常等熵流动的能量方程，
与（ 9-7）式一致。
uTcpRcpcc cpk vV
vp
v
1
1
co n s tVppk 211
2
（ 9-8）
由热力学可知，对于理想气体，上式第一项是单位质量气体所具有的内能，即：
理想气体一维定常等熵流动能量方程的物理意义：
方程的物理意义,在气体一维定常等熵流动中，单位质量气体，流经任一有效截面的压强势能、动能和内能之和保持不变。
（ 9-9）
引入音速的定义式：
则能量方程又可写为,
2apk?
c o n s tVka 21
22
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
1、滞止状态设想气流的速度以无摩擦绝热过程降至零，这时气流所处的状态称为滞止状态，相应的流动参数称为滞止参数，以下标 0表示。
滞止参数比较容易测量，所以在实际工程上得到广泛的应用。
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
1、滞止状态在滞止状态下能量方程为,
co n s thVh 0
2
2
c ons tTcRTk kpk kVpk k p 00
0
0
2
1121
c o n s tk aVk a 121
2
0
22
可知，在滞止状态下，气流的动能全部转变为热能，可以用滞止焓 表示之。
00 Tch p?
co n s thVh 0
2
2
它表示单位质量的气流所具有的总能量，
称为总焓。
上式除以,得：
0
2
2 Tc
VT
p
pc
V
2
2
pc
2 0 1 0
2
0
VTTT
co n s thVh 0
2
2
上式表明，滞止温度要比气流的温度 T高出对于 0℃ 空气 kgJc p /1 0 0 5?
则：
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动设想气流的压强、温度以无摩擦绝热过程降至零，使速度达到最大值，得到最大速度状态。它相当于气体进入完全真空的空间可能达到的速度。
2、最大速度状态
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
2、最大速度状态在最大速度状态下能量方程为,
co n s tVVpk k 221
2
m a x
2
c o n s tVVk a 221
2
m a x
22 （ 9-11）
气流的热量全部转化为动能，这仅仅具有理论意义，即以动能的形式表示气体总能量。
气体一维定常等熵流动的三种特定状况第九章 可压缩流体的流动
9.2气体一维定常等熵流动
3、临界状态设想气流的速度以无摩擦绝热过程降至当地音速，这时气流所处的状态称为临界状态，相应的流动参数称为临界参数，以上标 *
表示。则有：
c o n s takkVk a 21121
2*22 （ 9-12）
即：气体的总能量可以用临界音速的形式表示。
各种状态参数间的关系以滞止参数表示最大速度得（ 9-13)：
1)(11
2
0
000
0
0
0 k
aTcTcc
cc
cRT
k
kp
k
kh
pvp
vp
p
121
2
0
22
k
aV
k
a
221
2
m a x
22 VV
k
a
0
0
000m a x 1
222
1
2
p
k
kTch
kaV p
各种状态参数间的关系以滞止参数表示临界音速得（ 9-14)：
1 )(11
2
0
000
0
0
0 k
aTcTcc
cc
cRT
k
kp
k
kh
pvp
vp
p
21
1
21
2*22 a
k
kV
k
a
121
2
0
22
k
aV
k
a
1
1
1
2
1
2
1
2
m a x0
0
0
0
*
k
kVRT
k
kp
k
k
kaa?
1
2
0m a x kaV
1,密度变化率 与 速度变化率 之间的关系第九章 可压缩流体的流动
9.3喷管中的等熵流动
气体参数与截面的关系结合运动方程和音速的定义，有：
dad
d
dpdpV d V 2
V
dVMa
V
dV
a
VdV
a
Vd 2
2
2
2
喷管中的流动实际是流体在变截面管中的一种流动，要探讨其中的流速、压强随截面的规律。
或：
分析上两式，得到：
加速气流，必引起压强降低和气体膨胀；而减速气流则使压强增加和气体压缩。
（不管是亚声速气流还是超声速气流，都具有上述性质。）
V
VMa dd 2
0d1d pVV?
2） Ma<l时（亚声速） Ma>1时（超声速）
V
Vdd?
0d1d pVV?
V
VMa dd 2
V
Vdd?
即亚声速流动时,密度相对变化量是小于速度的相对变化量； 而超声速流动时,密度相对变化量是大于速度的相对变化量。 这种差别，导致了亚声速和超声速在速度与通道截面形状关系上本质的差别。
由连续性方程的微分式（ 9-4）
第九章 可压缩流体的流动
9.3喷管中的等熵流动
气体参数与截面的关系代入 整理得：
2,截面积 变化率 与 速度变化率 的关系
（ 9-20）
0ddd AAVV
V
dVMad 2
V
VMa
V
V
V
VMa
A
A d)1(ddd 22
再将运动方程 改写为：
第九章 可压缩流体的流动
9.3喷管中的等熵流动
气体参数与截面的关系
3,截面积 变化率 与 压强变化率 的关系
（ 9-20）式含 截面积变化率因子
V
dVMa
A
dA )1( 2
结合：
p
dp
k M a
Ma
A
dA
2
21?
（ 9-21）
0dpV d V 2V
p
p
dp
V
dV
得,
pka?2
a
VMa?→
k
ap 2?
→ 222 )( aMaV?
p
dp
k M aV
dV
2
1 故,
（ 1） Ma<1，亚声速流动 当压强降低时，
通道截面积随着气流速度的增加而缩小，
这就是亚声速喷管；当压强升高时，通道截面积随着气流速度的减小而扩大，这就是亚声速扩压管。这种现象与不可压缩流体的流动规律相类似。
由上两式得到三个重要结论：
V
dVMa
A
dA )1( 2
p
dp
k M a
Ma
A
dA
2
21?
（ 2） Ma>1，超声速流动 当压强降低时，
通道截面积随着气流速度的增加而扩大，
这就是超声速喷管。 这是由于超声速气体在压强下降时，密度剧烈减小、体积迅速增大,这时通道截面积必须扩大，才能使剧烈膨胀的加速气流通过。反之，当压强升高时，通道截面积随着气流速度的减小而缩小，这就是超声速扩压管。
由上两式得到三个重要结论：
V
dVMa
A
dA )1( 2
p
dp
k M a
Ma
A
dA
2
21?
（ 3） Ma =1，这时 。 从以上两种情况知道，当降压加速的气流由亚声速连续变为超声速时，通道截面先收缩后扩大，
在最小截面处速度达到声速，该最小截面称为临界截面，也称为喉部截面，简称喉部。当升压减速的气流由超声速连续地变为亚声速时，通道截面也是先收缩后扩大，
在最小截面处速度达到声速。
由上两式得到三个重要结论：
V
dVMa
A
dA )1( 2
p
dp
k M a
Ma
A
dA
2
21?
0d?A
在临界截面上的相应参数称为临界参数，分别以,和 等表示之。临界截面上气流的临界参数与滞止参数之间的关系式为：
T?p
0
*
1
2 T
kT
0
1*
2
2 p
kp
k
k
0
1
1
*
2
2
k
k
（ 9— 22）
（ 9— 23）
（ 9— 24）
喷管分渐缩喷管和缩放喷管两种。缩放喷管也称为拉伐尔（ Laval）喷灌。
第九章 可压缩流体的流动
9.3喷管中的等熵流动
喷管使用渐缩喷管可得到亚音速、音速气流，使用缩放喷管可得到超音速气流。
渐缩喷管
1,渐缩喷管假定气体从一具有很大容积的容器中从渐缩喷管流出，不计流动的损失，则容器中气体的参数可当作滞止参数。由能量方程有喷管出口的流速和流量
0
0
2
2
2
2
112
p
k
kp
k
kV
得喷管出口流速：
2
0
0
2
0
0
2 11
2
p
pp
k
kV
1,渐缩喷管将等熵过程关系式,代入得：
喷管出口的流速和流量喷管出口流速：
k
p
p
1
2
0
2
0
k
k
p
pp
k
k
V
1
0
2
0
0
2 1
1
2
（ 9— 25）
又,则出口截面上的马赫数为
2
2
2?
pka?
1
1
2
1
2
0
2
2
2
k
k
p
pp
k
Ma
222 AVG
通过喷管的质量流量将 和喷管流速式代入上式,整理得k
p
p
1
0
2
02
k
k
k
p
p
p
pp
k
k
AG
1
0
2
2
0
2
0
0
20 1
2
（ 9— 26）
存在一个最大流量，称为临界流量。
（ 9— 29）
00
)1(2
1
2m a x 1
2?kp
k
AG
k
k
达到最大流量时的出口速度为音速：
（ 9— 28）
达到最大流量时的压强为：
*1
02 1
2 p
k
pp
k
k
（ 9— 27）
0
0*
2 1
2
p
k
kaV
质量流量与出口压力的关系曲线如图所示分析一下出口压力 p2从 p0开始降低的过程。
起初流量逐渐增加，直到 p2=p*，流量达最大值
p2继续降低，因为亚音速气流在渐缩喷管不可能达到超音速，所以气流在喷管内部只能膨胀到 p*，从 p*到 p2的膨胀只能在喷管外进行。
阻塞
当 p2＜ p*时，喷管的流量保持不变，达最大流量。即出口压力一旦达到临界压力，出口截面就达到临界状态，出口压力在降低，扰动波也无法逆流传播至喷管内，流量总保持为最大值，这种流量不再变化的流动称为阻塞。
阻塞
1,缩放喷管缩放喷管可以使气流从亚声速加速到超声速。喷管收缩部分的作用与渐缩喷管完全一样，即在喷管的收缩部分，气流膨胀到最小截面处达到临界声速。而后，在扩张部分中继续膨胀，加速到超声速。
缩放喷管出口截面上的气流速度出口截面上的流速计算与渐缩喷管使用公式相同。缩放喷管的流量仍然由最小截面上的参数决定，公式与渐缩喷管相同。
1,缩放喷管缩放喷管出口截面上的气流速度为了充分利用出口压力低于临界压力的这部分可用能，得到超音速气流，可在渐缩喷管后街上一段渐扩形管，成为缩放喷管，使气流继续膨胀加速，在喷管出口得到超音速。
缩放喷管内的压强和流量变化说明在喉部已达临界状态，须采用缩放喷管。
例 9-1 已知喷管入口处过热蒸汽的滞止参数为
p0=30× 105Pa,t0=500℃,质量流量为
G=8.5kg/s，出口压强 p2=10× 105Pa。过热蒸汽的气体常数为 R=426J/（ kg·K），
p*/p0=0.546,k=1.30。设喷管内为等熵流动，
确定喷管的直径。
解：
0
*
5
5
0
2 546.0333.0
1030
1010
p
p
p
p
)/(4.8)27 350 0(42 6 1030 3
5
0
0
0 mkgRT
p?
喉部截面积：
出口速度：
喉部临界速度：
)/(6.832
30
101
4.8
1030
3.0
6.21
1
2 3.1
3.0
5
1
0
2
0
0
2 smp
pp
k
kV k
k
)/(4.6 3 54.8 103030.2 30.1212
5
0
0
2 sm
p
k
kV
)(00254.0
4.635
3.2
24.8
5.8
1
2
2
3.0
1
*1
1
0
**
* m
V
k
G
V
GA
k
出口直径：
出口截面积：
喉部直径：
)(0 0 2 8 3.06.832)30/10(4.8 5.8)/( 23.11
2
1
02022
2 mVpp
G
V
GA
k
)(056 9.0141 6.3 002 54.044
*
* mAd
)(0600.01416.3 00283.044 22 mAd
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流实际气体流动中存在摩擦，使气流发生熵增，而且气流有可能经管壁与外界发生热交换，为非绝热流动。本节讨论有摩擦的绝热管流。
如图，对一长度为 dx
的微小管段中作定常流动的气流作受力分析。
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
气体一维定常运动微分方程由动量定理，有：
)(44)(4
2
0
22
VdVVdVddxddppdp
04 0 ddxdpV d V
即：
管壁切向应力可表示为,
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
气体一维定常运动微分方程得到有摩擦绝热的气体一维定常运动微分方程,
式中第三项的意义为单位质量气体在微小管段 dx上的摩擦功。
2
0 8 V?
02
2
ddxVdpV d V （ 9－ 30）
将 dρ/ρ 用连续性方程代入，有第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响能量方程的适用条件为绝热
R
k
kc
p 1RTp?
因为：
代入能量方程有：
Tch p?
V d Vkkdpdp 1
V d VAdApVdVpkVdp
2
（ 9-32）
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响将上式代入气体一维定常运动微分方程，有因 所以有：
02
22
d
dxV
A
dAp
V
dVp
k
V?
k
ap 2?
02 2222 ddxkVAdAaVdVaV?
d
dxk M a
A
dA
V
dVMa
2)1(
2
2
（ 9-31）
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响摩擦的作用相当于使截面缩小。
在有摩擦的等截面管道中流动，相当于在渐缩管中流动，使亚音速气流加速，使超音速气流减速，不可能使气流从亚音速连续加速到超音速，也不可能使气流从超音速连续减速到亚音速，所以极限速度只能是音速。
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响摩擦的作用相当于使截面缩小。
由于摩擦的影响，缩放喷管中气流的临界截面并不在最小截面处。在临界截面 Ma=1，
故有,
d
dxk
A
dA
2
则 dA＞ 0，也就是说，不论来流是否超音速，气流总是在最小截面后的扩张段中才能达到临界速度。
将 V2=Ma2kRT微分，得第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响等截面管道中有摩擦的绝热流动 。
T
dT
kMak R TMa
dTc
aMa
dh
V
dV p
)1(
1
2222
T
dT
Ma
d M a
V
dV 22
结合上两式，得
12/)1(
/
2 kMa
Mad M a
V
dV
消去 V，有：
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响对于等截面管道,dA=0，有对上式积分，积分的上下限为：
x=0,Ma=Mai ； x=l,Ma=Ma，有
d
dxk M a
V
dVMa
2)1(
2
2
]12/)1([
12
]12/)1([
)1(2
2323
2
kMaMa
d M a
k
k
k M a
d M a
kMak M a
d M aMa
d
dx?
当 Ma=1时，管道长度达最大值，有：
第九章 可压缩流体的流动
9.4有摩擦的绝热管流
摩擦的影响当管长 l＜ lmax时,气流在出口处达不到临界状态 。 当管长 l＞ lmax时,则附加这部分管长所产生的摩擦阻塞作用,使原来可通过的最大质量流量降低,即进口处的马赫数要下降 。
2)1(
2)1(ln
2
1111
2
22
2
i
i
i Mak
Mak
Ma
Ma
k
k
MaMakd
l? （ 9-33）
2)1(
)1(ln
2
1111
2
2
2
m a x
i
i
i Mak
Mak
k
k
Makd
l?
（ 9-34）
