*预期学时,16学时第二部分 振动和波第一章 振动第二章 波动
*第三章 非线性振动与混沌第一章 振 动 (Vibration)
振动有各种不同的形式,
振动的分类,
机械振动 ; 电磁振动 ;?
广义振动,
任一物理量 (如位移、电 流等 )在某一数值附近反复变化,
自由振动受迫振动振动 {
无阻尼自由振动有阻尼自由振动{ 无阻尼自由非简谐振动
{无阻尼自由简谐振动主要内容,§ 1.1 简谐振动运动学
§ 1.2 简谐振动动力学
§ 1.3 阻尼振动 受迫振动和共振
§ 1.4~§ 1.5 简谐振动的合成自然界各种复杂的振动都可表示为简谐振动的合成
*预期学时：
8学时
§ 1.1 简谐振动运动学一,简谐振动表达式,x(t)=Acos(?t+?)
特点,1.等幅振动 ; 2.周期振动 x(t)=x(t+T )
(二 )简谐振动 的三个特征量
1,振幅 (amplitude) A---最大位移量,A>0;
2.频率 (frequency) v---单位时间内完成的全振动的次数 ;
(1) t 时刻的相位?=(? t +?0 );
(2)初相位 (initial phase)?0:t =0时刻的相位,
(一 )定义,相对平衡位置的位移随时间按余弦 (或正弦 )规律变化,?
O x
X
X
2?圆频率 （ angular frequency）
/1?T周期 (period) T---完成一次全振动需要的时间,
3.相位 (phase),
二,简谐振动 的描述方法
(二 )曲线法
o
A
-A
t
x
T
(一 ) 解析法 )c o s ( tAx
已知表达式? A,T,?
已知 A,T, 表达式已知曲线? A,T,?
已知 A,T, 曲线
(三 )旋转矢量法
t = 0xo
t+? t = t
A?
x = A cos (? t +?)
用旋转矢量图方法来解题简明、直观,应优先采用此方法,
= -? /2
O x
X
X
三,两个简谐振动步调的比较
(二 )同相和反相
)c o s ( 1111 tAx
)c o s( 2222 tAx
)()( 1122 tt(一 )相位差 (phase difference):
当两个振动频率相同时,12 与时间无关
),2,1,0(,2 kk 两振动步调相同,称为同相 (in phase)
),2,1,0(,)12( kk 两振动步调相反,称为反相 (antiphase)
t
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1x
2
T
同相
x2
T
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1
t
反相
(三 )超前和落后
)(,,0 2112 xxxx 落后或超前
)(,,0 2112 xxxx 超前或落后
x2
To
A1
-A1
A2 x1
超前和落后是相对的,通常限制,
四,简谐振动的速度和加速度
(一 )简谐振动的速度 );s i n( tAtddx
);co s ( 2 tA 速度也作简谐振动，;,m a x A振幅 2,?超前比相位 x
> 0 < 0 < 0 > 0a < 0 < 0 > 0 > 0
减速 加速 减速 加速
A
-?A
-? 2A
a? 2A x,?,a
o T tx
A
-A
)c o s( tAx
);c o s(222 tAa dt xd(二 )简谐振动的加速度;2 xa );c o s (2 tAa
他与位移成正比而反向,
加速度也作简谐振动,;,2m a x Aa振幅
超前比超前比相位 xv,,2
xo
sT 61?
[例 ]:已知一个振动的振动曲线如图,根据图中标示的数据,(1)求出该振动的三个特征量 ;(2)振动的解析表达式 ;(3)图中 a,b点对应时刻的振动相位 ;(4)t=1/12秒时刻的振动速度和加速度,
)()4/12c o s (01.0 SItx
a
)(mx
)(st
01.0?
48/1 48/9
01.0
0
b
解,(1)A=0.01 m;T=1/6 s;ν=6 Hz;ω=12π s-1
);c o s (,0481120100
4248112 00 //
(2)解析表达式,
(3) ;2/3a,4/7b
(4)
)(27.0
)4/si n ()12(01.0
1
ms
v
)(05.10
)4/c o s ()12(01.0
2
2
ms
a
0?tTt 8
1?
Tt 85?
Tt 86?Tt
84?
学员练习：
P170 1.5
本次作业：
1.4 1.6
2.简谐振动的速度和加速度
);co s ( 2 tA
A
-?A
-? 2A
a? 2A x,?,a
o T tx
A
-A
)c o s( tAx
);c o s (2 tAa
上次课回顾1,简谐振动 的描述方法
(1) 解析法 )c o s ( tAx
(2) 曲线法
o
A
-A
t
x
T
(3)旋转矢量法
t = 0xo
t+? t = t
A?
，
s i n;c o s 00 AvAx;/ 22020?vxA )/(t a n 001 xv
)c o s ( tAx
xx 2
xmxm 2
kxF 解出 F(x)
已知 x(t)
求解微分方程已知 F(x)
解出 x(t)
§ 1.2 简谐振动动力学一,简谐振动的动力学方程
(一 )受力特点,线性恢复力 (F= -kx) k不一定是弹性系数,有时将 F、k称为准弹性力和准弹性系数,
(二 )固有角频率 ;/ mk
)/2;/( 2 1 kmTmk
决定于系统内在性质
(三 )确定唯一解需两个初始条件,
二,简谐振动的能量
(一 )简谐振动系统的能量特点
1.动能 );(sin 222
2
1 tAmE
k )(s i n
2221 tkAE
k
222
4
1
4
11 kAAmdtEE Tt
t kk T
2.势能 )(co s 2221 tkAE
p );(co s
22221 tAmE
p
不一定是弹性势能,而是系统各种势能的总和,统称为振动势能,
221?mE
k?
221 kxE p?
222 41411 kAAmdtEE Tt
t pp T
3.总机械能 222
2
1
2
1 kAAmE 总机械能守恒
E
kE?pEE
p
x tTo
(二 )由起始能量求振幅 )/(2/2 200?mEkEA (只与初始能量和振子性质有关,)
Ek(1/2)kA2
三,简谐振动的动力学解法及谐振子举例
受力分析法 (由牛顿定律列方程 );?能量分析法 (将能量守恒式对 t求导 ).
[例一 ]:单摆的小角度摆动
θ
mg
l ;s i n2 m g lm g lml
;0 lg 单摆作简谐摆动,;/ lg
glT /2
[例二 ]:如图所示刚性轻杆可绕过 O点的水平轴无摩擦转动,杆在水平位置保持平衡,证明该系统小角度摆动是简谐振动并求振动周期
mg
k
L;0,2 Llkm g L平衡时;)(,222 LLlkm g LMmL角时偏转;4 22 LkmL ;04 mk
k
m
k
m
m
k T 42;,4
4 系统作简谐摆动解,
解,
[例三 ](习题 1.15)某液体的密度随深度线性地增加,液体表面的密度为 ρ0,深度为 D处的密度为 2ρ0，
一密度为 2ρ0的小球在深度为 D/2处从静止释放,
忽略液体的阻力,试求小球的振动表达式,
解,)1(
0
0
0 D
hh
D
:求平衡位置
:y偏离平衡位置 ;02; yDgy;2 Dg
初始条件,;0;2/
00 vDy,2/DA
)2co s (2 tDgDy
O
y
y
D
0?
02?
D/2
DhVgDhVg 0000 ;)1(2
yVVgD yhVg0000 2)1(2
练习,横截面均匀的 U型管中有适量的液体 (如图 )，液体的总长度为 L(总体积除以横截面积 ).
求,液面上下起伏的自由振动的角频率 (用能量法求 )。
在振动物体不能看作质点的情形下，用能量法更方便,
y y
Y
yo S
解：
,0?dtdE
);21()()(21 222 gyyLSgyySyLSE
,02 ygyyyL,02 yLgy
L
g2
本次作业,1.9 1.15
简谐振动的动力学特征
kMkxF,1.线性恢复力或线性恢复力矩;/ mk
3.系统的能量
);(sin 22221 tAmE k
);(co s 22221 tAmE p
222 2121 kAAmE
02 xx
02.,
2.微分方程上次课回顾数学准备,二阶常系数齐次线性微分方程
0 yqypy 为常系数）qp,(
-----和它的导数只差常数因子 ( r 为待定常数 ),
0)( 2 xre qprr 02 qrpr
其根称为特征根
042 qp① 当 时，有两个相异实根,21 r,r 方程的通解为：
xrxr eCeCy 21 21
042 qp② 当 时，有两个相同实根 2/21 prr
有一个特解 设另一特解
0)()2( 1211 uqrprupru 0u
微分方程的特征方程
xrexy 12? xrexCCy 1)( 21
③ 当 042 qp 时,特征方程有一对共轭复根
)s i nc o s( 21 xCxCey x
xrxr eCeCy 21 21实根
xrexCCy 1)( 21
)s i nc o s( 21 xCxCey x
特 征 根 通 解小结：
042 qp
042 qp
042 qp
)co s ( 00 xeAy x )/(c o s 2221110
2
2
2
10
ccc
ccA
(一 )阻尼振动的动力学方程
*§ 1.3 阻尼振动 受迫振动和共振一,阻尼振动 摩擦 阻尼、辐射阻尼,
xf阻kxF恢
γ—— 阻尼系数,由物体形状、大小以及所处介质性质决定,
xkxxm
2/,/ 20 mmk
β—— 阻尼因子 02 20 xxx
0 —— 欠阻尼 0 —— 临界阻尼 0 —— 过阻尼
02 202 XX特征方程,202X特征根,
(二 )振动表达式、振动曲线和振动特点
to
x
202X
特征根
1.欠阻尼 22
0
)co s ( 00 teAx t
准周期运动
022
0
2 TT?
2.过阻尼 tt ececx )()( 202
2
202
1
非往复运动在很粘稠液体中物体的运动
3.临界阻尼 tetccx )(
21
非往复运动在不十分粘稠液体中物体的运动趋向平衡位置的时间最短二,受迫振动
tHH?c o s0?
（一）受迫振动的动力学方程
tHxkxxm c o s0
2/,/ 20 mmk
mHh /0?
thxxx c o s2 20
周期性策动力作用下的振动
xf阻kxF恢
（二）方程的解,
)c o s()c o s( 02200 tAteAx t;)( 2ta n,)2()( 22
0
1
2222
0
hA
三,共振
0
0
0
2;
h
r
r
A?;)( 2ta n,)2()( 22
0
1
2222
0
hA
----位移共振一定条件下振幅出现 极大值的现象
220 2r1.共振频率,
0ddA 02
2?
d
Ad
22
02
hA r2.共振振幅,
(尖锐共振 )
0?o
A
1?
2?
3?
0
321
本次作业：阅读本次课内容
(一 )沿同一直线同频率的两个简谐振动的合成
x1=A1cos(? t+? 1),x2=A2cos(? t+? 2)
振动迭加原理,x = x1+ x2
x =A cos(? t+?)
合振动是简谐振动,其频率仍为?.
)co s (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s ins intg
AA
AA
§ 1.4~§ 1.5 简谐振动的合成一,沿同一直线的振动的合成振动微分方程必须是线性的
o X
1A
1?
1x
2A
2?
2x
A
x
2112 ),2,1,0(2 AAAkk
0,,
,),2,1,0()12(
21
2112
AAA
AAAkk
两分振动相互加强两分振动相互减弱
A
a
a
a
a
*(二 )n个 等振幅、同频率、沿同一直线、
相位差依次为 δ的简谐振动的合成
tax?co s1? )c o s (2 tax
])1(c o s [ ntax n.,,
)2/si n(2?nRA?
)2/si n(2?Ra? )2/s i n(
)2/s i n(
naA?
])1(21co s [)2/s i n( )2/s i n( ntnax
(1)当各分振动位相相同 时,δ=0,nanaA
)2/s i n(
)2/s i n(lim
0?
(2)当各个分振动位相差依次为 n/2 时,0)/s i n( s i n naA
这时分振动振幅矢量围成闭合多边形（当 n为偶数时，可能出现分振动两两相消的情况）
)1()()( 212121 nn
R
x
O
x1=Acos? 1 t ; x2=Acos? 2t
(三 )沿同一直线不同 频率的两个简谐振动的合成
o X
A
t1?
1x
1?
A
t2?
2x
2?
A?
x
变?;)2c o s (2 12 tAA tttt 221 12121 )(
ttAx )2c o s ()2c o s (2 1212
合振动不是简谐振动当? 2 1时,? 2-? 1 2+? 1,;缓变A? 快变t)co s ( 2 12 振幅缓变的简谐振动
x t
x2
t
x1 t
拍现象,
拍频,单位时间内强弱变化的次数? =|?2-?1|
合振动忽强忽弱的现象
Aω
3? 5?
锯齿波频谱图
A2
(四 )谐振分析
* 一个 频率为?0的 周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动 (频率为 基频?0,
二次谐频 2?0,… ),
[例一 ]:锯齿波的频谱分析,
,2,1,0;)1();( 2 122 nTntnTTtx nT A
若某物理量 f 随时间变化的周期为 T,令,
,则该物理量可以表示为函数T/2
)( tf?
)s i nco s(2)( 10 tkbtkaatf kk k
2/ 2/0 )(1 T T dttfa T?
2/ 2/ c o s)(2 T Tk t d tktfa T
2/ 2/ s i n)(2 T Tk t d tktfb T;0;00 kaa;;2k Akb tkx
k k
A?
s i n1
2
x
o t
锯齿波
A
A?
1
)12(
)12(
2
4
s i n
k
t
x
k
k
A
A
0 t
x1
t0
x3
t0
x5
0 t
x0
),2,1,0(;2/)12(0 ;2/)12()(
n
nTtTn
TntnTAtfx
[例二 ]方波的频谱分析
x
0 t
A;0;20 kaa A
.)12( 2122 ;0 k Akk bb
t0
x1+x3+x5+x0
二,互相垂直的简谐振动的合成
(一 )互相垂直的同频率的简谐振动的合成
)(sin)co s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
A
y
A
x
A
y
A
x
2.椭圆的性质 (方位,长短轴,左右旋 ):
在 A1,A2确定之后,主要决定于 =? 2-? 1
);co s (
);co s (
22
11
tAy
tAx
1.合运动一般是在 范围内的一个椭圆,21,AyAx;sinsinco sco s;sinsinco sco s
22
2
11
1
tt
tt
A
y
A
x
;s i n;c o s
2121
1
2
2
1
2121
1
2
2
1
c o ss i ns i nc o s
c o sc o s
c o ss i ns i nc o s
s i ns i n
t
t
A
y
A
x
A
y
A
x
= -?/4
1A
2A
)(sin)co s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
A yAxAyAx
= 0
1A
2A
=?
1A
2A
=?/2
1A
2A
= -?/2
1A
2A
=?/4
1A
2A
= 3?/4
1A
2A
= -3?/4
1A
2A
(二 )互相垂直不同频率的简谐振动的合成是位于上图范围内的稳定、闭合的 李萨如图形,
若两振动的频率成 简单整数比,则合运动的轨迹
)()( 1212 t?若两分振动频率 相差很小,
此时可认为两分振动频率相等而 Δ? 缓慢变化,合运动的轨迹将按同频率情形的 上图 依次缓慢变化,
本次作业,1.21 1.22(提示 )
见 P168,李萨如图形
*第三章 非线性振动与混沌第一章 振 动 (Vibration)
振动有各种不同的形式,
振动的分类,
机械振动 ; 电磁振动 ;?
广义振动,
任一物理量 (如位移、电 流等 )在某一数值附近反复变化,
自由振动受迫振动振动 {
无阻尼自由振动有阻尼自由振动{ 无阻尼自由非简谐振动
{无阻尼自由简谐振动主要内容,§ 1.1 简谐振动运动学
§ 1.2 简谐振动动力学
§ 1.3 阻尼振动 受迫振动和共振
§ 1.4~§ 1.5 简谐振动的合成自然界各种复杂的振动都可表示为简谐振动的合成
*预期学时：
8学时
§ 1.1 简谐振动运动学一,简谐振动表达式,x(t)=Acos(?t+?)
特点,1.等幅振动 ; 2.周期振动 x(t)=x(t+T )
(二 )简谐振动 的三个特征量
1,振幅 (amplitude) A---最大位移量,A>0;
2.频率 (frequency) v---单位时间内完成的全振动的次数 ;
(1) t 时刻的相位?=(? t +?0 );
(2)初相位 (initial phase)?0:t =0时刻的相位,
(一 )定义,相对平衡位置的位移随时间按余弦 (或正弦 )规律变化,?
O x
X
X
2?圆频率 （ angular frequency）
/1?T周期 (period) T---完成一次全振动需要的时间,
3.相位 (phase),
二,简谐振动 的描述方法
(二 )曲线法
o
A
-A
t
x
T
(一 ) 解析法 )c o s ( tAx
已知表达式? A,T,?
已知 A,T, 表达式已知曲线? A,T,?
已知 A,T, 曲线
(三 )旋转矢量法
t = 0xo
t+? t = t
A?
x = A cos (? t +?)
用旋转矢量图方法来解题简明、直观,应优先采用此方法,
= -? /2
O x
X
X
三,两个简谐振动步调的比较
(二 )同相和反相
)c o s ( 1111 tAx
)c o s( 2222 tAx
)()( 1122 tt(一 )相位差 (phase difference):
当两个振动频率相同时,12 与时间无关
),2,1,0(,2 kk 两振动步调相同,称为同相 (in phase)
),2,1,0(,)12( kk 两振动步调相反,称为反相 (antiphase)
t
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1x
2
T
同相
x2
T
x
o
A1
-A1
A2
- A2
x1
t
反相
(三 )超前和落后
)(,,0 2112 xxxx 落后或超前
)(,,0 2112 xxxx 超前或落后
x2
To
A1
-A1
A2 x1
超前和落后是相对的,通常限制,
四,简谐振动的速度和加速度
(一 )简谐振动的速度 );s i n( tAtddx
);co s ( 2 tA 速度也作简谐振动，;,m a x A振幅 2,?超前比相位 x
> 0 < 0 < 0 > 0a < 0 < 0 > 0 > 0
减速 加速 减速 加速
A
-?A
-? 2A
a? 2A x,?,a
o T tx
A
-A
)c o s( tAx
);c o s(222 tAa dt xd(二 )简谐振动的加速度;2 xa );c o s (2 tAa
他与位移成正比而反向,
加速度也作简谐振动,;,2m a x Aa振幅
超前比超前比相位 xv,,2
xo
sT 61?
[例 ]:已知一个振动的振动曲线如图,根据图中标示的数据,(1)求出该振动的三个特征量 ;(2)振动的解析表达式 ;(3)图中 a,b点对应时刻的振动相位 ;(4)t=1/12秒时刻的振动速度和加速度,
)()4/12c o s (01.0 SItx
a
)(mx
)(st
01.0?
48/1 48/9
01.0
0
b
解,(1)A=0.01 m;T=1/6 s;ν=6 Hz;ω=12π s-1
);c o s (,0481120100
4248112 00 //
(2)解析表达式,
(3) ;2/3a,4/7b
(4)
)(27.0
)4/si n ()12(01.0
1
ms
v
)(05.10
)4/c o s ()12(01.0
2
2
ms
a
0?tTt 8
1?
Tt 85?
Tt 86?Tt
84?
学员练习：
P170 1.5
本次作业：
1.4 1.6
2.简谐振动的速度和加速度
);co s ( 2 tA
A
-?A
-? 2A
a? 2A x,?,a
o T tx
A
-A
)c o s( tAx
);c o s (2 tAa
上次课回顾1,简谐振动 的描述方法
(1) 解析法 )c o s ( tAx
(2) 曲线法
o
A
-A
t
x
T
(3)旋转矢量法
t = 0xo
t+? t = t
A?
，
s i n;c o s 00 AvAx;/ 22020?vxA )/(t a n 001 xv
)c o s ( tAx
xx 2
xmxm 2
kxF 解出 F(x)
已知 x(t)
求解微分方程已知 F(x)
解出 x(t)
§ 1.2 简谐振动动力学一,简谐振动的动力学方程
(一 )受力特点,线性恢复力 (F= -kx) k不一定是弹性系数,有时将 F、k称为准弹性力和准弹性系数,
(二 )固有角频率 ;/ mk
)/2;/( 2 1 kmTmk
决定于系统内在性质
(三 )确定唯一解需两个初始条件,
二,简谐振动的能量
(一 )简谐振动系统的能量特点
1.动能 );(sin 222
2
1 tAmE
k )(s i n
2221 tkAE
k
222
4
1
4
11 kAAmdtEE Tt
t kk T
2.势能 )(co s 2221 tkAE
p );(co s
22221 tAmE
p
不一定是弹性势能,而是系统各种势能的总和,统称为振动势能,
221?mE
k?
221 kxE p?
222 41411 kAAmdtEE Tt
t pp T
3.总机械能 222
2
1
2
1 kAAmE 总机械能守恒
E
kE?pEE
p
x tTo
(二 )由起始能量求振幅 )/(2/2 200?mEkEA (只与初始能量和振子性质有关,)
Ek(1/2)kA2
三,简谐振动的动力学解法及谐振子举例
受力分析法 (由牛顿定律列方程 );?能量分析法 (将能量守恒式对 t求导 ).
[例一 ]:单摆的小角度摆动
θ
mg
l ;s i n2 m g lm g lml
;0 lg 单摆作简谐摆动,;/ lg
glT /2
[例二 ]:如图所示刚性轻杆可绕过 O点的水平轴无摩擦转动,杆在水平位置保持平衡,证明该系统小角度摆动是简谐振动并求振动周期
mg
k
L;0,2 Llkm g L平衡时;)(,222 LLlkm g LMmL角时偏转;4 22 LkmL ;04 mk
k
m
k
m
m
k T 42;,4
4 系统作简谐摆动解,
解,
[例三 ](习题 1.15)某液体的密度随深度线性地增加,液体表面的密度为 ρ0,深度为 D处的密度为 2ρ0，
一密度为 2ρ0的小球在深度为 D/2处从静止释放,
忽略液体的阻力,试求小球的振动表达式,
解,)1(
0
0
0 D
hh
D
:求平衡位置
:y偏离平衡位置 ;02; yDgy;2 Dg
初始条件,;0;2/
00 vDy,2/DA
)2co s (2 tDgDy
O
y
y
D
0?
02?
D/2
DhVgDhVg 0000 ;)1(2
yVVgD yhVg0000 2)1(2
练习,横截面均匀的 U型管中有适量的液体 (如图 )，液体的总长度为 L(总体积除以横截面积 ).
求,液面上下起伏的自由振动的角频率 (用能量法求 )。
在振动物体不能看作质点的情形下，用能量法更方便,
y y
Y
yo S
解：
,0?dtdE
);21()()(21 222 gyyLSgyySyLSE
,02 ygyyyL,02 yLgy
L
g2
本次作业,1.9 1.15
简谐振动的动力学特征
kMkxF,1.线性恢复力或线性恢复力矩;/ mk
3.系统的能量
);(sin 22221 tAmE k
);(co s 22221 tAmE p
222 2121 kAAmE
02 xx
02.,
2.微分方程上次课回顾数学准备,二阶常系数齐次线性微分方程
0 yqypy 为常系数）qp,(
-----和它的导数只差常数因子 ( r 为待定常数 ),
0)( 2 xre qprr 02 qrpr
其根称为特征根
042 qp① 当 时，有两个相异实根,21 r,r 方程的通解为：
xrxr eCeCy 21 21
042 qp② 当 时，有两个相同实根 2/21 prr
有一个特解 设另一特解
0)()2( 1211 uqrprupru 0u
微分方程的特征方程
xrexy 12? xrexCCy 1)( 21
③ 当 042 qp 时,特征方程有一对共轭复根
)s i nc o s( 21 xCxCey x
xrxr eCeCy 21 21实根
xrexCCy 1)( 21
)s i nc o s( 21 xCxCey x
特 征 根 通 解小结：
042 qp
042 qp
042 qp
)co s ( 00 xeAy x )/(c o s 2221110
2
2
2
10
ccc
ccA
(一 )阻尼振动的动力学方程
*§ 1.3 阻尼振动 受迫振动和共振一,阻尼振动 摩擦 阻尼、辐射阻尼,
xf阻kxF恢
γ—— 阻尼系数,由物体形状、大小以及所处介质性质决定,
xkxxm
2/,/ 20 mmk
β—— 阻尼因子 02 20 xxx
0 —— 欠阻尼 0 —— 临界阻尼 0 —— 过阻尼
02 202 XX特征方程,202X特征根,
(二 )振动表达式、振动曲线和振动特点
to
x
202X
特征根
1.欠阻尼 22
0
)co s ( 00 teAx t
准周期运动
022
0
2 TT?
2.过阻尼 tt ececx )()( 202
2
202
1
非往复运动在很粘稠液体中物体的运动
3.临界阻尼 tetccx )(
21
非往复运动在不十分粘稠液体中物体的运动趋向平衡位置的时间最短二,受迫振动
tHH?c o s0?
（一）受迫振动的动力学方程
tHxkxxm c o s0
2/,/ 20 mmk
mHh /0?
thxxx c o s2 20
周期性策动力作用下的振动
xf阻kxF恢
（二）方程的解,
)c o s()c o s( 02200 tAteAx t;)( 2ta n,)2()( 22
0
1
2222
0
hA
三,共振
0
0
0
2;
h
r
r
A?;)( 2ta n,)2()( 22
0
1
2222
0
hA
----位移共振一定条件下振幅出现 极大值的现象
220 2r1.共振频率,
0ddA 02
2?
d
Ad
22
02
hA r2.共振振幅,
(尖锐共振 )
0?o
A
1?
2?
3?
0
321
本次作业：阅读本次课内容
(一 )沿同一直线同频率的两个简谐振动的合成
x1=A1cos(? t+? 1),x2=A2cos(? t+? 2)
振动迭加原理,x = x1+ x2
x =A cos(? t+?)
合振动是简谐振动,其频率仍为?.
)co s (2 12212221 AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s ins intg
AA
AA
§ 1.4~§ 1.5 简谐振动的合成一,沿同一直线的振动的合成振动微分方程必须是线性的
o X
1A
1?
1x
2A
2?
2x
A
x
2112 ),2,1,0(2 AAAkk
0,,
,),2,1,0()12(
21
2112
AAA
AAAkk
两分振动相互加强两分振动相互减弱
A
a
a
a
a
*(二 )n个 等振幅、同频率、沿同一直线、
相位差依次为 δ的简谐振动的合成
tax?co s1? )c o s (2 tax
])1(c o s [ ntax n.,,
)2/si n(2?nRA?
)2/si n(2?Ra? )2/s i n(
)2/s i n(
naA?
])1(21co s [)2/s i n( )2/s i n( ntnax
(1)当各分振动位相相同 时,δ=0,nanaA
)2/s i n(
)2/s i n(lim
0?
(2)当各个分振动位相差依次为 n/2 时,0)/s i n( s i n naA
这时分振动振幅矢量围成闭合多边形（当 n为偶数时，可能出现分振动两两相消的情况）
)1()()( 212121 nn
R
x
O
x1=Acos? 1 t ; x2=Acos? 2t
(三 )沿同一直线不同 频率的两个简谐振动的合成
o X
A
t1?
1x
1?
A
t2?
2x
2?
A?
x
变?;)2c o s (2 12 tAA tttt 221 12121 )(
ttAx )2c o s ()2c o s (2 1212
合振动不是简谐振动当? 2 1时,? 2-? 1 2+? 1,;缓变A? 快变t)co s ( 2 12 振幅缓变的简谐振动
x t
x2
t
x1 t
拍现象,
拍频,单位时间内强弱变化的次数? =|?2-?1|
合振动忽强忽弱的现象
Aω
3? 5?
锯齿波频谱图
A2
(四 )谐振分析
* 一个 频率为?0的 周期性振动可分解为一系列频率分立的简谐振动 (频率为 基频?0,
二次谐频 2?0,… ),
[例一 ]:锯齿波的频谱分析,
,2,1,0;)1();( 2 122 nTntnTTtx nT A
若某物理量 f 随时间变化的周期为 T,令,
,则该物理量可以表示为函数T/2
)( tf?
)s i nco s(2)( 10 tkbtkaatf kk k
2/ 2/0 )(1 T T dttfa T?
2/ 2/ c o s)(2 T Tk t d tktfa T
2/ 2/ s i n)(2 T Tk t d tktfb T;0;00 kaa;;2k Akb tkx
k k
A?
s i n1
2
x
o t
锯齿波
A
A?
1
)12(
)12(
2
4
s i n
k
t
x
k
k
A
A
0 t
x1
t0
x3
t0
x5
0 t
x0
),2,1,0(;2/)12(0 ;2/)12()(
n
nTtTn
TntnTAtfx
[例二 ]方波的频谱分析
x
0 t
A;0;20 kaa A
.)12( 2122 ;0 k Akk bb
t0
x1+x3+x5+x0
二,互相垂直的简谐振动的合成
(一 )互相垂直的同频率的简谐振动的合成
)(sin)co s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
A
y
A
x
A
y
A
x
2.椭圆的性质 (方位,长短轴,左右旋 ):
在 A1,A2确定之后,主要决定于 =? 2-? 1
);co s (
);co s (
22
11
tAy
tAx
1.合运动一般是在 范围内的一个椭圆,21,AyAx;sinsinco sco s;sinsinco sco s
22
2
11
1
tt
tt
A
y
A
x
;s i n;c o s
2121
1
2
2
1
2121
1
2
2
1
c o ss i ns i nc o s
c o sc o s
c o ss i ns i nc o s
s i ns i n
t
t
A
y
A
x
A
y
A
x
= -?/4
1A
2A
)(sin)co s (2 12212
21
2
2
2
2
1
2
A yAxAyAx
= 0
1A
2A
=?
1A
2A
=?/2
1A
2A
= -?/2
1A
2A
=?/4
1A
2A
= 3?/4
1A
2A
= -3?/4
1A
2A
(二 )互相垂直不同频率的简谐振动的合成是位于上图范围内的稳定、闭合的 李萨如图形,
若两振动的频率成 简单整数比,则合运动的轨迹
)()( 1212 t?若两分振动频率 相差很小,
此时可认为两分振动频率相等而 Δ? 缓慢变化,合运动的轨迹将按同频率情形的 上图 依次缓慢变化,
本次作业,1.21 1.22(提示 )
见 P168,李萨如图形
