Appendix Ⅰ Properties of Plane Areas
(Properties of Plane Areas)
附录 Ⅰ 截面的几何性质
(Appendix Ⅰ Properties of plane areas)
§ 1-1 截面的静矩和形心 (The first
moments of the area & centroid of an area)
§ 1-4 转轴公式 (Rotation of axes)
§ 1-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 (Polar
moment of inertia Moment of inertia
Product of inertia)
§ 1-3平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem)
(Properties of Plane Areas)
§ 1-1 截面的静矩和形心
(The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩 (The first moment of the area ）
O y
z
dA
y
z
截面对 y,z 轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零,
Ay AzS d
Az AyS d
(Properties of Plane Areas)
y
z
O
dA
y
z
二、截面的形心 (Centroid of an area)
C
z
y
A
S
A
Az
z yA
d
A
S
A
Ay
y zA
d
zAS y? yAS z?
（ 2）截面对形心轴的静矩等于零,
（ 1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心,
(Properties of Plane Areas)
三、组合截面的静矩和形心
(The first moments ¢roid of a composite area)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面,
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩,
(Properties of Plane Areas)
其中 Ai —第 i个简单截面面积
1.组合截面静矩 (The first moments of a composite area)
2.组合截面形心 (Centroid of a composite area)
zAS i
n
i
iy?
1
n
i
iiz yAS
1
—第 i个简单截面的形心坐标),( yz ii
n
i
i
n
i
ii
A
zA
z
1
1
n
i
i
n
i
ii
A
yA
y
1
1
(Properties of Plane Areas)
解：组合图形，用正负面积法解之,
方法 1 用正面积法求解,将截面分为 1,2
两个矩形,
例题 1 试确定图示截面形心 C的位置,
取 z 轴和 y 轴分别与截面的底边和左边缘重合 AA
yAyA
A
yA
y
n
i
i
n
i
ii
21
2211
1
1
AA
zAzAz
21
2211
10
10
1
2
O
z
y
90
1y
1z 2z
2y
图 (a)
(Properties of Plane Areas)
矩形 1
矩形 2
21 1200m m12010A
5m m1?y 60m m1?z
22 800m m8010A
50 m m280102y
mm2 5?z
所以 3 8 m m
2 3 m m
21
2211
21
2211
AA
zAzA
z
AA
yAyA
y
10
10
1
2
O
z
y
90
1y
1z 2z
2y
(Properties of Plane Areas)
方法 2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图 (b)
图 (b)
C1（ 0,0）
C2（ 5,5）C
2
负面积
C1 y
z
21
2211
AA
AyAy
A
Ayy ii
221 1 080901 2 0 )1 1 080(5
(Properties of Plane Areas)
§ 1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积
(Polar moment of inertia,Moment of
inertia,Product of inertia)
y
z
O
dA
y
z?
二、极惯性矩 (Polar moment of inertia）
一、惯性矩 (Moment of inertia)
Az
Ay
AyI
AzI
d
d
2
2
A AI dP 2? yz 222 A AI dP 2?
所以 yz IIIP
(Properties of Plane Areas)
y
z
O
dA
y
z?
三、惯性积 (Product of inertia)
Ayz AyzI d
（ 1） 惯性矩的数值恒为正,惯性积则可能为正值,负值,也可能等于零 ；
（ 2）若 y,z两坐标轴中有一个为截面的对称轴,则截面对 y,z轴的惯性积一定等于零,
y
z
dy dy
z
dA dA四、惯性半径 (Radius of gyration of the area)
A
Ii y
y? A
Ii z
z?
(Properties of Plane Areas)
解：
b
h y
z
C
z
dz
例题 2 求矩形截面对其对称轴 y,z轴的惯性矩,
AzI Ay d2
zbA dd?
12dd
3
2
2
22 bhzbzAzI
h
hAy
12
3hb
I z?
(Properties of Plane Areas)
z
y
解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为例题 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩,
32
π
P
dI 4?
PIII zy
zy II?
所以 64
π dII
zy
4
(Properties of Plane Areas)
y
z
O
C(a,b)
b
a
一、平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem for moment of
inertia)
(a,b ) ― 形心 C在 yOz坐标系下的坐标
§ 1-3 平行移轴公式
(Parallel-axis theorem)
y,z ￣ 任意一对坐标轴
C ― 截面形心
(Properties of Plane Areas)
y
z
O
C(a,b)
b
a
zC
yC
yC,zC￣ 过截面的形心 C 且与 y,z轴平行的坐标轴 (形心轴）
Iy,Iz,Iyz — 截面对 y,z 轴的惯性矩和惯性积,
已知截面对形心轴 yC,zC 的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的 y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式
AaII Cyy 2
AbII Czz 2
ab AII CC zyyz
IyC,IzC,IyCzC￣ 截面对形心轴 yC,zC的惯性矩和惯性积,
(Properties of Plane Areas)
二、组合截面的惯性矩,惯性积 ( Moment of inertia &
product of inertia for composite areas ）
组合截面的惯性矩，惯性积?
n
i
yiy II
1
n
i
ziz II
1?
n
i
y z iyz II
1
￣ 第 i个简单截面对 y,z 轴的惯性矩,惯性积,y z iziyi III,,
(Properties of Plane Areas)
例题 4 求梯形截面对其形心轴 yC 的惯性矩,
解：将截面分成两个矩形截面,
20
140
100
20
截面的形心必在对称轴 zC 上,
取过矩形 2 的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作 y轴,
2
1
zC
yC14020
1A 801?z
201002A 0?z2
所以截面的形心坐标为
7 m m.46
21
2211?
AA
zAzAz
C
y
1z
(Properties of Plane Areas)
20
140
100
20
y
2
1
zc
yC
2z
)7.4680(1402014020121 231CyI
)7.46(2010 02010 0121 232CyI
46 m1012.12 21
CCC yyy III
AaII Cyy 2
(Properties of Plane Areas)
一,转轴公式 (Rotation of axes)
§ 1-4 转轴公式 (Rotation of axes)
yOz为过截面上的任 一点建立的坐标系
O
y
z
y1
z1
y1Oz1为 yOz 转过?角后形成的新坐标系顺時针转取为 – 号逆時针转取为 + 号
已知截面对坐标轴轴 y,z 轴的惯性矩和惯性积求截面对 y1，
z1 轴惯性矩和惯性积,
(Properties of Plane Areas)
转轴公式为
O
y
z
y1
z1
αIαIIIII yzzyzyy 2s i n2c o s22
1
αIαIIIII yzzyzyz 2s i n2c o s221
αIαIII yzzyzy 2c o s2s i n211
显然 zyzy IIII 11
(Properties of Plane Areas)
二、截面的主惯性轴和主惯性矩 (principal axes &
principal moment of inertia)
主惯性轴 (Principal axes )：总可以找到一个特定的角?0,使截面对新坐标轴 y0,z0的惯性积等于 0,则称 y0,z0 为主惯性轴,
主惯性矩 (Principal moment of inertia),截面对主惯性轴 y0,z0
的惯性矩,
形心主惯性轴 (Centroidal principal axes),当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴,
αIαIII yzzyzy 2c o s2s i n211
形心主惯性矩 ( Centroidal principal moment of inertia),截面对形心主惯性轴的惯性矩,
(Properties of Plane Areas)
求出后，就确定了主惯性轴的位置,
（ 1）主惯性轴的位置 设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则有 02c o s2s i n2 00
yz
zy III
由此
zyz
yz
II
Itg
22
0?
（ 2）主惯性矩的计算公式
22 4)(
2
1
20
0
yzzy
zy
z
y IIIII
I
I
（ 3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴,
过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴,截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值,即
00 m i nm a x zy IIII
(Properties of Plane Areas)
求形心主惯性矩的方法
（ 1） 确定形心的位置
（ 2） 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴 y,z,
计算 Iy,Iz,Iyz
iyy II izz II ii zyyz II
（ 3） 确定形心主惯性轴的方位 )
2(t a n2
zy
yz
II
I
1
0?
（ 4） 计算形心主惯性矩
22 4)(
220
0
yzzy
zy
z
y IIIII
I
I1
n
i
i
n
i
ii
A
yA
y
1
1
n
i
i
n
i
ii
A
zA
z
1
1
(Properties of Plane Areas)
例题 5 计算所示图形的形心主惯性矩,
解：该图形形心 C的位置已确定，如图所示,
过形心 C选一对座标轴
y z 轴，计算其惯性矩 (积 ).
10
10
120
25 C
40
20
y
z 20
35 AaII
Cyy
2
AbII Czz 2
ab AII CC zyyz
10701012 1[]10120151012012 1[ 323yI
42 4m m.100])25(70
(Properties of Plane Areas)
mm104.2 78 44zI
0 9 3.1)
2
(t a n2 0?
I zI y
I yz
zy II? 02? 在第三象限
6.2272 08.1130
分别由 y轴和 z轴绕 C点逆时针转 113.8o得出,
形心主惯性轴 y0,z0
mm103.97
]1070)35()25(0[]1012020150[
44
yzI
(Properties of Plane Areas)
10
10
120
70
形心主惯形矩为
C
40
20
y
z
y0
0=113.8°
z0
mm103214)(212 44220 yzzyzyy IIIIII
mm104.574)(212 442
2
0
yzzy
zy
z III
III
(Properties of Plane Areas)
例题 6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴,
(b=1.5d)
解,（ 1）建立坐标系如图,
（ 2）求形心位置,
d
b
2d
y
z
O
d
d
d
dd
A
Az
z
AA
Ay
y
ii
ii
1 7 7.0
4
π
3
4
π
2
0
0
2
2
2
（ 3）建立形心坐标系，求 CyI CzI CCzyI
yC
zC
C
(Properties of Plane Areas)
4
2
24
22
3
22
685.0
])177.05.0(
4
π
64
π
[)177.0(3
12
)2(5.1
])5.0([
1
d
dd
dd
dd
dd
zdAIzAIIII
yyyyy CCC
圆圆矩矩圆矩
4
43
5 1 3.0
64
π
12
2)5.1(
d
ddd
III
CCC yyz
圆矩
0?CC zyI
d
b
2d
y
z
O
yC
zC
C
CzyC 便是形心主轴
CC zy II 便是形心主惯性轴所以
(Properties of Plane Areas)
附录 Ⅰ 截面的几何性质
(Appendix Ⅰ Properties of plane areas)
§ 1-1 截面的静矩和形心 (The first
moments of the area & centroid of an area)
§ 1-4 转轴公式 (Rotation of axes)
§ 1-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 (Polar
moment of inertia Moment of inertia
Product of inertia)
§ 1-3平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem)
(Properties of Plane Areas)
§ 1-1 截面的静矩和形心
(The first moment of the area & centroid of
an area)
一、静矩 (The first moment of the area ）
O y
z
dA
y
z
截面对 y,z 轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零,
Ay AzS d
Az AyS d
(Properties of Plane Areas)
y
z
O
dA
y
z
二、截面的形心 (Centroid of an area)
C
z
y
A
S
A
Az
z yA
d
A
S
A
Ay
y zA
d
zAS y? yAS z?
（ 2）截面对形心轴的静矩等于零,
（ 1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心,
(Properties of Plane Areas)
三、组合截面的静矩和形心
(The first moments ¢roid of a composite area)
由几个简单图形组成的截面称为组合截面,
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩,
(Properties of Plane Areas)
其中 Ai —第 i个简单截面面积
1.组合截面静矩 (The first moments of a composite area)
2.组合截面形心 (Centroid of a composite area)
zAS i
n
i
iy?
1
n
i
iiz yAS
1
—第 i个简单截面的形心坐标),( yz ii
n
i
i
n
i
ii
A
zA
z
1
1
n
i
i
n
i
ii
A
yA
y
1
1
(Properties of Plane Areas)
解：组合图形，用正负面积法解之,
方法 1 用正面积法求解,将截面分为 1,2
两个矩形,
例题 1 试确定图示截面形心 C的位置,
取 z 轴和 y 轴分别与截面的底边和左边缘重合 AA
yAyA
A
yA
y
n
i
i
n
i
ii
21
2211
1
1
AA
zAzAz
21
2211
10
10
1
2
O
z
y
90
1y
1z 2z
2y
图 (a)
(Properties of Plane Areas)
矩形 1
矩形 2
21 1200m m12010A
5m m1?y 60m m1?z
22 800m m8010A
50 m m280102y
mm2 5?z
所以 3 8 m m
2 3 m m
21
2211
21
2211
AA
zAzA
z
AA
yAyA
y
10
10
1
2
O
z
y
90
1y
1z 2z
2y
(Properties of Plane Areas)
方法 2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图 (b)
图 (b)
C1（ 0,0）
C2（ 5,5）C
2
负面积
C1 y
z
21
2211
AA
AyAy
A
Ayy ii
221 1 080901 2 0 )1 1 080(5
(Properties of Plane Areas)
§ 1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积
(Polar moment of inertia,Moment of
inertia,Product of inertia)
y
z
O
dA
y
z?
二、极惯性矩 (Polar moment of inertia）
一、惯性矩 (Moment of inertia)
Az
Ay
AyI
AzI
d
d
2
2
A AI dP 2? yz 222 A AI dP 2?
所以 yz IIIP
(Properties of Plane Areas)
y
z
O
dA
y
z?
三、惯性积 (Product of inertia)
Ayz AyzI d
（ 1） 惯性矩的数值恒为正,惯性积则可能为正值,负值,也可能等于零 ；
（ 2）若 y,z两坐标轴中有一个为截面的对称轴,则截面对 y,z轴的惯性积一定等于零,
y
z
dy dy
z
dA dA四、惯性半径 (Radius of gyration of the area)
A
Ii y
y? A
Ii z
z?
(Properties of Plane Areas)
解：
b
h y
z
C
z
dz
例题 2 求矩形截面对其对称轴 y,z轴的惯性矩,
AzI Ay d2
zbA dd?
12dd
3
2
2
22 bhzbzAzI
h
hAy
12
3hb
I z?
(Properties of Plane Areas)
z
y
解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为例题 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩,
32
π
P
dI 4?
PIII zy
zy II?
所以 64
π dII
zy
4
(Properties of Plane Areas)
y
z
O
C(a,b)
b
a
一、平行移轴公式 (Parallel-Axis theorem for moment of
inertia)
(a,b ) ― 形心 C在 yOz坐标系下的坐标
§ 1-3 平行移轴公式
(Parallel-axis theorem)
y,z ￣ 任意一对坐标轴
C ― 截面形心
(Properties of Plane Areas)
y
z
O
C(a,b)
b
a
zC
yC
yC,zC￣ 过截面的形心 C 且与 y,z轴平行的坐标轴 (形心轴）
Iy,Iz,Iyz — 截面对 y,z 轴的惯性矩和惯性积,
已知截面对形心轴 yC,zC 的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的 y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式
AaII Cyy 2
AbII Czz 2
ab AII CC zyyz
IyC,IzC,IyCzC￣ 截面对形心轴 yC,zC的惯性矩和惯性积,
(Properties of Plane Areas)
二、组合截面的惯性矩,惯性积 ( Moment of inertia &
product of inertia for composite areas ）
组合截面的惯性矩，惯性积?
n
i
yiy II
1
n
i
ziz II
1?
n
i
y z iyz II
1
￣ 第 i个简单截面对 y,z 轴的惯性矩,惯性积,y z iziyi III,,
(Properties of Plane Areas)
例题 4 求梯形截面对其形心轴 yC 的惯性矩,
解：将截面分成两个矩形截面,
20
140
100
20
截面的形心必在对称轴 zC 上,
取过矩形 2 的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作 y轴,
2
1
zC
yC14020
1A 801?z
201002A 0?z2
所以截面的形心坐标为
7 m m.46
21
2211?
AA
zAzAz
C
y
1z
(Properties of Plane Areas)
20
140
100
20
y
2
1
zc
yC
2z
)7.4680(1402014020121 231CyI
)7.46(2010 02010 0121 232CyI
46 m1012.12 21
CCC yyy III
AaII Cyy 2
(Properties of Plane Areas)
一,转轴公式 (Rotation of axes)
§ 1-4 转轴公式 (Rotation of axes)
yOz为过截面上的任 一点建立的坐标系
O
y
z
y1
z1
y1Oz1为 yOz 转过?角后形成的新坐标系顺時针转取为 – 号逆時针转取为 + 号
已知截面对坐标轴轴 y,z 轴的惯性矩和惯性积求截面对 y1，
z1 轴惯性矩和惯性积,
(Properties of Plane Areas)
转轴公式为
O
y
z
y1
z1
αIαIIIII yzzyzyy 2s i n2c o s22
1
αIαIIIII yzzyzyz 2s i n2c o s221
αIαIII yzzyzy 2c o s2s i n211
显然 zyzy IIII 11
(Properties of Plane Areas)
二、截面的主惯性轴和主惯性矩 (principal axes &
principal moment of inertia)
主惯性轴 (Principal axes )：总可以找到一个特定的角?0,使截面对新坐标轴 y0,z0的惯性积等于 0,则称 y0,z0 为主惯性轴,
主惯性矩 (Principal moment of inertia),截面对主惯性轴 y0,z0
的惯性矩,
形心主惯性轴 (Centroidal principal axes),当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴,
αIαIII yzzyzy 2c o s2s i n211
形心主惯性矩 ( Centroidal principal moment of inertia),截面对形心主惯性轴的惯性矩,
(Properties of Plane Areas)
求出后，就确定了主惯性轴的位置,
（ 1）主惯性轴的位置 设为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角则有 02c o s2s i n2 00
yz
zy III
由此
zyz
yz
II
Itg
22
0?
（ 2）主惯性矩的计算公式
22 4)(
2
1
20
0
yzzy
zy
z
y IIIII
I
I
（ 3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴,
过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴,截面的主惯性矩是所有惯性矩中的极值,即
00 m i nm a x zy IIII
(Properties of Plane Areas)
求形心主惯性矩的方法
（ 1） 确定形心的位置
（ 2） 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐标轴 y,z,
计算 Iy,Iz,Iyz
iyy II izz II ii zyyz II
（ 3） 确定形心主惯性轴的方位 )
2(t a n2
zy
yz
II
I
1
0?
（ 4） 计算形心主惯性矩
22 4)(
220
0
yzzy
zy
z
y IIIII
I
I1
n
i
i
n
i
ii
A
yA
y
1
1
n
i
i
n
i
ii
A
zA
z
1
1
(Properties of Plane Areas)
例题 5 计算所示图形的形心主惯性矩,
解：该图形形心 C的位置已确定，如图所示,
过形心 C选一对座标轴
y z 轴，计算其惯性矩 (积 ).
10
10
120
25 C
40
20
y
z 20
35 AaII
Cyy
2
AbII Czz 2
ab AII CC zyyz
10701012 1[]10120151012012 1[ 323yI
42 4m m.100])25(70
(Properties of Plane Areas)
mm104.2 78 44zI
0 9 3.1)
2
(t a n2 0?
I zI y
I yz
zy II? 02? 在第三象限
6.2272 08.1130
分别由 y轴和 z轴绕 C点逆时针转 113.8o得出,
形心主惯性轴 y0,z0
mm103.97
]1070)35()25(0[]1012020150[
44
yzI
(Properties of Plane Areas)
10
10
120
70
形心主惯形矩为
C
40
20
y
z
y0
0=113.8°
z0
mm103214)(212 44220 yzzyzyy IIIIII
mm104.574)(212 442
2
0
yzzy
zy
z III
III
(Properties of Plane Areas)
例题 6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴,
(b=1.5d)
解,（ 1）建立坐标系如图,
（ 2）求形心位置,
d
b
2d
y
z
O
d
d
d
dd
A
Az
z
AA
Ay
y
ii
ii
1 7 7.0
4
π
3
4
π
2
0
0
2
2
2
（ 3）建立形心坐标系，求 CyI CzI CCzyI
yC
zC
C
(Properties of Plane Areas)
4
2
24
22
3
22
685.0
])177.05.0(
4
π
64
π
[)177.0(3
12
)2(5.1
])5.0([
1
d
dd
dd
dd
dd
zdAIzAIIII
yyyyy CCC
圆圆矩矩圆矩
4
43
5 1 3.0
64
π
12
2)5.1(
d
ddd
III
CCC yyz
圆矩
0?CC zyI
d
b
2d
y
z
O
yC
zC
C
CzyC 便是形心主轴
CC zy II 便是形心主惯性轴所以
