nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb?则称此方程组为 非齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
非齐次与齐次线性方程组的概念一、克拉默法则如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
21
22221
11211
0?
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn232211
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
jD D j n
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
111
11111111
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解可以表为
1
证明
njnnjnnnnn
jjnn
jjnn
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
AbAxaxaxa
2211
2222222121
1111212111
得个方程的依次乘方程组列元素的代数余子式中第用
,1
,,,21
n
AAAjD njjj?
在把 个方程依次相加，得n
,
1
11
1
1
1
n
k
kjk
n
n
k
kjknj
n
k
kjkj
n
k
kjk
Ab
xAaxAaxAa
由代数余子式的性质可知,
.,,2,1 njDDx jj
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn232211
,Dx j的系数等于上式中
;0的系数均为而其余 jix i?,jD又等式右端为于是?2
当 时,方程组 有唯一的一个解0?D2
由于方程组 与方程组 等价,21 故
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn232211
也是方程组的 解,1
二、重要定理定理 1 如果线性方程组 的系数行列式则 一定有解,且解是唯一的,
1
1
,0?D
定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零,
1
齐次线性方程组的相关定理2
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式则齐次线性方程组 没有非零解,0?D
2
2
定理 如果齐次线性方程组2 有非零解,则它的系数行列式必为零,
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
有非零解,
系数行列式 0?D
例 1 用克拉默则解方程组
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
D
21 2rr?
24 rr?
12770
2120
6031
13570
1277
212
1357
21 2cc?
23 2cc? 277
010
353
27
33
,27?
6740
2125
6039
1518
1
D
,81?
6701
2150
6091
1582
2
D
,108
6041
2520
6931
1812
3
D
,27
0741
5120
9031
8512
4
D
,27?
,3278111 DDx,42710822 DDx
,1272733 DDx,1272744 DDx
例 2 用克拉默法则解方程组
.6523
,611
,443
,3253
4321
4321
42
4321
xxxx
xxxx
xx
xxxx
解
2311
1111
4030
1253
D
67?,0?
23165
111611
4034
1253
1
D
,367?
23651
116111
4040
1233
2
D
,0?
26511
161111
4430
1353
3
D
,267?
65311
611111
4030
3253
4
D
,67?
,DDx 3167 3
67
1
1,D
Dx 0
67
02
2
,DDx 2167 2
67
3
3,167
674
4 D
Dx
例 3 问 取何值时，齐次方程组
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
有非零解？
解
111
132
421
D
101
112
431
3121431 3
3121 23
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20,3
1,用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ;
(2)系数行列式不等于零,
2,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系,它主要适用于理论推导,
三、小结思考题当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?
思考题解答不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解,
