第七章 多元函数微分学偏导数与全微分的 概念偏导数与全微分的 计算偏导数的 应用
§ 1、基本概念多元函数二元函数极限二元函数连续性下面，仅介绍平面集合的有关概念，它们可推广至空间点集。
平面上一切点的集合称为 二维空间,记为 R2，即
RyxyxR,|),(2
空间内一切点的集合称为 三维空间,记为 R3，即
RzyxzyxR,,|),,(3
一、平面点集的基本概念
1、邻域
20200 )()(|),(),( yyxxyxPU
设有平面点,δ为一正数，称集合),(
000 yxP
20200 )()(0|),(),?( yyxxyxPU
为点 的 δ-邻域,
0P
称为点 的 去心 δ-邻域 。
0P
O x
y
),( 000 yxP
δ2、区域设 E为平面集,P为 E中点。如果存在 P的一个邻域
,则称 P为 E的 内点,EPU?)(
设 E为平面集,P为一平面点,如果 P的任意邻域内总有无穷多个 E中的点,则称 P为 E
的 聚点,
如果平面集 E的点全是其内点,则称 E为 开集,
O x
y
E
如果点 P的任意邻域内总有属于 E的点,也有不属于 E的点,则称 P为平面集 E的 边界点 ;E的边界点的全体称为 E的 边界,
边界点内点如果平面集 E内任意两点均可用全含于 E内的折线连接起来,则称 E为 连通集,
连通的开集称为 区域 ;区域连同其边界称为 闭区域,
3、聚点如果平面集 E可以含于某个以原点为圆心的圆内,
则称 E为 有界集 ;否则称之为 无界集,
4、有界集与无界集
O x
y
O x
y
二、多元函数概念定义 1 设有三个变量 x,y,z和平面点集 D。
如果对于 任意 的 (x,y)∈ D，变量 z按 一定规律 均有唯一 确定的值与之对应，则称变量 z是变量 x,y的 二元函数,记为
),( yxfz?
注意,1、二元函数定义域为 平面点集 ； 2、二元函数的图形一般为 曲面 。
类似，可定义 三元函数,
.),,(),,( 3Rzyxzyxfu
由一元函数推广到多元函数，除了 形式 上的变化外，应特别注意 本质 上的一些变化。 例如，可微、可导、连续与极限等概念之间的关系在多元函数中与一元函数已经大不相同。
一般，可定义 n元函数：
.),,,(),,,( 2121 nnn Rxxxxxxfu
二元及其以上函数称为 多元函数,或 n元函数 。
由一元函数推广到多元函数所发生的 本质变化主要表现在一元函数到二元函数之间,至于二元函数与三元及其以上函数之间没有本质差异，只是描述的空间维数上有所变化。
01 yx
一元函数和多元函数可以统一定义为 点函数,
.)( nRPPfu
【 例 1】 求下列函数的定义域：
（ 1） ；（ 2） 。)1ln ( yxz 2222 zyxau
〖 解 〗 （ 1）要使函数有意义，
必需
01 yx
故得函数定义域为
O x
y
1
1 }.01|),{( yxyxD
（ 2） 要使函数有意义，必需
02222 zyxa故得函数定义域为
}.|),,{( 2222 azyxzyx
【 例 2】 已知
1),( 22 yxyxyxf
求 ).,( yxf
【 解 】 令
,,yxvyxu
可得
,1),( uvvuf
故
.1),( xyyxf □
三、二元函数极限定义 2 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的邻域内有定义,如果对于 任意 的正数 ε,均有 正数 δ存在,使得对满足
20200 )()(||0 yyxxPP
的 一切 点 P(x,y)恒成立
|),(| Ayxf
则称常数 A为函数 f(x,y)当点 (x,y)趋向 (x0,y0)时的 二重极限,记为
Ayxf
yy
xx
),(l i m
0
0
1、二重极限存在的充要条件是动点 (x,y)以 任何方式 (方向,曲线 )趋向定点 (x0,y0)时,相应的极限均存在且相等 ;
2、当动点 (x,y)以 某种方式 趋向定点 (x0,y0)时,
相应的 极限不存在,或以 两种方式 趋向定点 (x0,y0)
时,相应的 极限虽均存在但不相等,则 二重极限不存在 。
3、有关极限的运算法则和重要极限等可类似地在重极限中加以应用,
【 例 3】 求下列极限：
(1) ;(2),
x
xy
ay
x
sinlim
0
11
lim
0
0
xy
xy
y
x
〖 解 〗 (1)重要极限 +极限四则运算法则
y
xy
xy
ay
x
ay
x
00
l i ms i nl i m
x
xy
ay
x
sinlim
0
a1 a?
(2)有理化 +极限四则运算法则 +复合函数极限法则
11
l im
0
0
xy
xy
y
x )11)(11(
)11(
l i m
0
0
xyxy
xyxy
y
x
)11(l i m
0
0
xy
y
x 1)1l im (
0
0
y
x
xy
.2? □
四、二元函数连续性定义 3 如果,则称函数
),(),(l i m 00
0
0
yxfyxf
yy
xx
函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处 连续 。
二元函数的间断点可以形成一条曲线。
类似于闭区间上一元连续函数所具有的性质 [有界定理，最值定理，介值定理 ]在有界闭区域上二元连续函数也同样成立。
多元连续函数的四则运算、复合函数仍为连续函数；
多元初等函数在其定义区域内连续。
【 例 4】 设函数
,0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
讨论其在点 (0,0)处的极限和连续性,
〖 解 〗 因为 (0,0)是分段函数的分界点,且;00limlim),(lim
022
0
0
0
0
x
y
x
y
x yx
xyyxf;00limlim),(lim
022
0
0
0
0
y
y
x
y
x yx
xyyxf
但由此并不能确定所求极限存在与否。
现考虑动点 (x,y)沿直线 y=kx趋向 (0,0)情形：;
11
lim
)1(
lim),(lim 22
022
2
00 k
k
k
k
xk
kxyxf
xx
kxy
x?
显然，此路径极限因 k而异，故所求极限
),(lim
0
0
yxf
y
x
不存在,从而，函数在原点处 不连续 。 □
五、二元函数偏增量与全增量设函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的邻域内有定义,
O x
y
),( yx
),( yxx
),( yyx
),( yyxx
增量
),(),( yxfyxxfzx
),(),( yxfyyxfzy
分别称为函数 z=f(x,y)在点 (x,y)
处关于 x和关于 y的 偏增量 ；
而增量
),(),( yxfyyxxfz
称为函数 z=f(x,y)在点 (x,y)
处的 全增量 。
§ 2、偏导数偏导数概念显函数偏导数的计算
x
yxfyxxf
x?
),(),(l i m 0000
0
定义 1 设函数 z=f(x,y)在点 的某邻域内有定义。如果极限
),( 000 yxP
存在 (有限值 ),则称函数 z=f(x,y)在点 处 关于 x可导,并称其极限值为函数 z=f(x,y)在点 处 关于 x的偏导数,记为
),( 000 yxP
),( 000 yxP
.,),,(,
0
00
0
0
0
00
yy
xxyy
xxxx
yy
xx x
fzyxf
x
z
0
0
yy
xxx
z
一、偏导数 一元函数导数定义式
y
yxfyyxf
y
z
y
yy
xx?
),(),(
lim 0000
0
0
0
同理,函数 z=f(x,y)在点 处 关于 y的偏导数),(
000 yxP
1、当 均存在时,称函数 z=f(x,y)
在点 处 可导 ;
),(),,( 0000 yxfyxf yx
),( 00 yx
2、如果 z=f(x,y)在区域 D内每一点处均可导,则称函数 z=f(x,y)在区域 D内 可导 ;此时,存在 偏导函数,记为
x
fzyxf
x
z
xx?
,),,(,
y
fzyxf
y
z
yy?
,),,(,
dx
dz3、记号 与 的 区别,
x
z
dx
dz,表明 z=f(x),且 ;dxdz
dx
dz
x
z
,表明 z=f(x,y),但
.xzxz
4、对一元函数,可导一定连续,连续不一定可导 ;但对多元函数,可导与连续已经没有必然关系 ;[多元函数与一元函数的重要区别 !]
【 例 1】 设函数
,0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
求其在点 (0,0)处的偏导数。
〖 解 〗 因为 (0,0)是分段函数的分界点,故只能利用定义求偏导数,
x
fxff
xx
)0,0()0,(lim)0,0(
0
xx
00lim
0
;0?
y
fyff
yy
)0,0(),0(lim)0,0(
0
yy
00lim
0
.0? □
该函数在原点可导,
但不连续 !
x
o
y
zy
T
0x
0y
0M
5、偏导数的几何意义相对于 x轴的斜率,
xT
.t a n),( 00yxf x
★ 图中画的是的几何意义,
),( 00 yxf y
偏导数 在几何上表示曲线上点 处切线),,(
0000 zyxM
0
),,(:
yy
yxfz
x
),( 00 yxfx
二、多元显函数偏导数的计算根据偏导数定义,不难看出求 显函数的偏导数 本质上就是求一元函数的导数,
对二元函数显函数 z=f(x,y)：
x
z
-----视 y为常数,对 x求导数；
y
z
-----视 x为常数,对 y求导数。
同理，对三元显函数 u=f(x,y,z):
x
u
-----视 y,z均为常数,对 x求导数；其余类推。
【 例 2】 求函数 在点 (1,2)处的偏导数。
322 32 yxyxz
,22 2yxxz
〖 解 〗 先求偏导函数，再代值。
,94 2yxyyz
,6|)22(
2
1
2
)2,1(
y
xyxx
z
.28|)94(
2
1
2
)2,1(
y
xyxyy
z □
【 例 3】 求函数 的偏导数。
x
yz ln?
,1)(1 2
xx
y
y
x
x
y
xxyx
z
〖 解 〗 视 y为常数，对 x求导得：
复合函数求导法则视 x为常数，对 y 求导得：
.111
yxy
x
x
y
yxyy
z
□
【 例 4】 求函数 的偏导数。zyxu?;1 z
y
xzyxu
〖 解 〗 视 y,z为常数，对 x求导得：
视 x,z为常数，对 y 求导得：
□
[幂函数导数公式 ];lnln z
y
z
y
x
z
x
z
y
y
xx
y
u
[指数函数导数公式 ]
视 x,y 为常数，对 z求导得：
.lnln 2 z
y
z
y
x
z
xy
z
y
z
xx
z
u
[指数函数导数公式 ]
一元可导函数的四则运算求导法则推广为多元可导函数的 四则运算偏导法则,
设 f(x,y)和 g(x,y)均为可导函数，则
;xgxfgfx
;xgfgxfgfx
2g
x
gfg
x
f
g
f
x
一元函数满足条件可以求其高阶导数，且各高阶导数只有一个。
三、高阶偏导数设二元函数显函数 z=f(x,y)在点 (x,y)处 [或区域 D
内 ]满足存在高阶偏导数的条件，则多元函数满足条件也可以求高阶偏导数，但其各高阶偏导数的个数随阶数升高而迅速增加。
),( yxfz?
),( yxfxz x
),( yxfyz y
x
z
xx
z
2
2
x
z
yyx
z2
y
z
xxy
z2
y
z
yy
z
2
2
仿此可定义三阶及以上偏导数二阶偏导数一阶偏导数说明,1、二阶偏导数
x
z
yyx
z2
y
z
xxy
z2
称为 z=f(x,y)的二阶 混合偏导数 ；关于混合偏导数相等有如下充分条件：
定理 如果在点 (x,y)处 [或区域 D内 ]
存在且连续，则有 xy
z
yx
z
22,
xy
z
yx
z
22
类似有更高阶的混合偏导数，且同阶混合偏导数相等的充分条件同上。
此时，求导与次序无关。
2、对三元函数可类似定义其高阶偏导数。
3、二阶及其以上偏导数称为 高阶偏导数 。
显然，求高阶偏导数完全类似于求一阶偏导数。
4、高阶偏导数的记号：如 z=f(x,y)
),(,,,
22
yxf
yx
fz
yx
z
xyxy
),(,,,2
2
2
2
yxfx fzx z xxxx
),(,,,
33
yxf
xyx
fz
xyx
z
xyxxyx
等等。
【 例 5】 设函数,求 。
x
yxyxf a r c ta n),( 2? ),( yxf
xy
〖 解 〗 先求一阶偏导数
22
2
1
1
a r c t a n2),(
x
y
x
y
x
x
y
xyxf x
22
2
a r c t a n2
yx
yx
x
yx
再求二阶偏导数
222
22
2
2 )(
21
1
1
2),(
yx
yyyx
x
x
x
y
xyxf xy
四则运算求导法则复合函数求导法则
222
222
22
2
)(
)(2
yx
yxx
yx
x
222
224
)(
32
yx
yxx
□
【 例 6】 证明函数 满足
Laplace方程
22 )()(ln byaxz
.02
2
2
2
y
z
x
z
〖 证 〗 因为,所以 ])()ln [ (
2
1 22 byaxz
22 )()( byax
ax
x
z
222
22
2
2
])()[(
)(2)()()(
byax
axaxbyax
x
z
222
22
2
2
])()[(
)()(
byax
axby
x
z
由对称性得：
222
22
2
2
])()[(
)()(
byax
byax
x
z
故得：
.02
2
2
2
y
z
x
z □
【 例 7】 设二元函数 z=f(x,y)在区域 D内满足
,0,0 yzxz
〖 证 〗 因为 在 D内 所以,0?
x
z
证明在 D内函数 z=f(x,y)为常数函数。
),),()(( Dyxyz
又因为 即,0?
y
z ),),((0 Dyx
dy
d
故 ),),(()( DyxCy
即 ),),(( DyxCz □
定义 点 x称为 y=f(x)的 驻点
.0),(
0),(
yxf
yxf
y
x点 (x,y)称为 z=f(x,y)的 驻点;0)( xf
点 (x,y,z)称为 u=f(x,y,z)的 驻点,
0),,(
0),,(
0),,(
zyxf
zyxf
zyxf
z
y
x
§ 3、全微分全微分的 概念全微分的 计算定义 1 设函数 z=f(x,y)在点 的某邻域 U内有定义，且函数在该点处的 全增量 为
),( yxP
其中点,),( Uyyxx
)(?oyBxAz 能
),(),( yxfyyxxfz
一、全微分概念
z=f(x,y)点 (x,y)处 可微其中 A,B与 Δx,Δy无关,o(ρ)是 ρ→0 时 ρ的高阶无穷小。
线性部分 A Δx +B Δy称为 z=f(x,y)点 (x,y)处的 全微分,记为 dz或 df(x,y),即
yBxAdz
1、如果函数在区域 D内每一点处均可微时，称函数在区域 D内可微，也称函数为 D内的 可微函数 ；
说明：
2、当函数 z=f(x,y)在点 (x,y)处可微时，其全微分是自变量增量 Δx,Δy的线性函数，它是全增量的主要部分，即当 | Δx|,|Δy|充分小时，有
Δz≈dz;[近似计算 ]
3、如果函数 z=f(x,y)在点 (x,y)处可微，则当自变量增量 Δx→0,Δy →0 时,Δz →0,即函数在点
(x,y)处连续；反之不然。
定理 1 z=f(x,y)在点 (x,y)处 可微 → z=f(x,y)在点
(x,y)处 可导,且
).,(),,( yxfByxfA yx
〖 证 〗 因为 z=f(x,y)在点 P(x,y)处可微，所以在点 P
的邻域内 任意 点,有),( yyxx
)(?oyBxAz 能特别 的，对 （ ※ ）仍成立，即有),( yxx
※
|)(|),(),( xoxAyxfyxxf
从而，有二、偏导连续、可微、可导与连续关系
Ax yxfyxxf
x
),(),(lim
0
即 z=f(x,y)在 (x,y)处存在偏导数
Axz
同理,z=f(x,y)在 (x,y)处存在偏导数
.Byz
□
于是，对二元函数 z=f(x,y),有
y
y
zx
x
zdz?
特别的对函数 z=x和 z=y应用上式可得对自变量 x,y有：
.,ydyxdx
故有
dy
y
zdx
x
zdz
[全微分迭加公式 ]
上述各定理对一般多元函数均成立。
由此可知：
一元函数 可微 可导 连续连续多元函数 偏导连续 可微 可导 连续定理 2 z=f(x,y)在点 (x,y)处 可导,且 偏导数均连续,→ z=f(x,y)在点 (x,y)处 可微。
〖 证 〗 （此略）。
【 例 1】 证明函数
,0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 (0,0)处不可微。
〖 解 〗 因为
)0,0(),( fyxfz
22 )()( yx
yx
又
0)0,0()0,0( yfxf yx
所以，
22 )()(])0,0()0,0([ yx
yxyfxfz
yx
])0,0()0,0([
lim
0
yfxfz yx
||2
1
l i m
0 xx
xy
xy
于是，函数在点 (0,0)处不可微。 □
〖 注 〗 此函数在原点（ 0,0）处 不连续,可导,
不可微,且当 x→0,y→0 时 极限不存在 。
dy
y
zdx
x
zdzyxfz
,),(
方法 1 利用偏导数和全微分迭加公式三、全微分的计算
dz
z
udy
y
udx
x
uduzyxfu
,),,(
方法 2 利用全微分形式不变性和微分公式与微分法则
【 例 2】 设函数,求 dz(1,0),)23ln ( xyeyxz
〖 解 〗 方法 1（公式法）
因为
,
23
2,
23
3
xy
xy
xy
xy
eyx
xe
y
z
eyx
ye
x
z
在点 (1,0)处连续 [初等函数连续性 ]，且
,
4
1,
4
3
)0,1()0,1(
y
z
x
z
故
.
4
1
4
3)0,1(
)0,1()0,1(
dydxdy
y
zdx
x
zdz
方法 2 （微分法）
)23ln ( xyeyxddz
)23(23 1 xyxy eyxdeyx
)](23[23 1 xydedydxeyx xyxy
)](23[23 1 x d yy d xedydxeyx xyxy
xy
xyxy
eyx
dyxedxye
23
)2()3(
.4143)0,1( dydxdz
注意：由全微分可求得偏导数：
B d ydxdz
.,B
y
z
x
z?
这也是求偏导数的一个好方法。
利用微分形式不变性直接求全微分方便之处在于一 开始不需区分自变量与函数,一视同仁地应用一元函数微分公式与微分法则，只是在 最后解出函数的微分 即可。对复合函数与隐函数尤感方便！
C d zB d ydxdu,,,C
z
uB
y
u
x
u?
【 例 3】 求函数 的全微分 du.yzxu?
〖 解 〗 方法 1（迭加公式法）
因为
,ln,ln,1 xyxzuxzxyuy z xxu yzyzyz
在点 (1,0)处连续 [初等函数连续性 ]，故方法 2（直接微分法）
.lnln1 x d zyxx d yzxdxy z xdu yzyzyz
yzdxdu? xyzde ln? )ln(ln xyzde xyz?
)lnln( x d zyx d yzdxxyzx yz
.lnln1 x d zyxx d yzxdxy z x yzyzyz □
.ln,ln,1 xyxzuxzxyuy z xxu yzyzyz
显然，这里自变量微分（增量）的系数即为三个偏导数：
四、全微分在近似计算中的应用 *
由可微概念知：当 相当小时，可以计算可微函数 z=f(x,y)的
|||,| yx
yyxfxyxfyxdfz yx ),(),(),(
1、全增量的近似值
2、函数值的近似值
),(),(),( yxdfyxfyyxxf
【 例 4】 计算 的近似值,98.201.2
〖 解 〗 设,则 yxyxf?),(
x d yxdxyxyxdf yy ln),( 1
取,故由近似公式
02.0,01.0,3,2 yxyx
)02.0(2ln201.0232 323
02.0
01.0
98.2 |)3,2()3,2(01.2
y
xdff
),(),(),( yxdfyxfyyxxf
得
01.8? □
在误差估计中，对于二元函数 z=f(x,y)，如果自变量的 绝对误差 分别为 δx,δy时，函数值的 绝对误差 为 δz
|),(),(||||| yyxfxyxfdzz yx
|||),(||||),(| yyxfxyxf yx
yyxx yxfyxf |),(||),(| 0000 z
相当误差 为
y
y
x
xz
yxf
yxf
yxf
yxf
yxf
),(
),(
),(
),(
|),(| 00
00
00
00
00
§ 4、多元复合函数求导法则利用,连线相乘，分线相加,
写出连锁规则公式熟练求复合函数偏导或全微分一元函数复合函数求导法则：
dx
du
du
dy
dx
dyxuy,
基本 思想,将复杂函数求导转化为若干简单函数求导。
由于一元复合函数“函数”,“中间变量”,
“自变量”之间关系为,单线联系,，故上述 一个公式可以解决 所有 一元复合函数求导问题。
多元复合函数由于有多个中间变量或多个自变量,“函数”,“中间变量”,“自变量”之间关系,错综复杂,,无法 用 一个 公式可以解决 所有 多元复合函数求导问题。 因此，首要问题是学会根据具体复合情况，写出相应的求导公式（ 链锁规则公式 ） [Chain Rule],
然后分别求出各个所需的偏导（导数）。
我们可依据,连线相乘，分线相加,写出链锁规则公式。
设函数 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)复合成二元复合函数 z=f[u(u,v),v(x,y)]，其间变量关系用下图来描述。
x
z
x
u
u
z
x
v
v
z
z
u
v
x
y
连线相乘连线相乘
分线相加同理可得
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
方法细说一、多元复合函数求导法则 — 链锁规则
1、全导数设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件，
且有相应的导数或偏导数。
情形 1
z
u
v
x
链锁规则公式因为自变量只有 一个,故存在导数。由于有多元函数参与复合，故称之为 全导数 。
全导数
【 例 1】 设,求 32,s in,tytxexz y,
dt
dz
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz?
〖 解 〗 由多元复合函数求导法则得全导数为：
22 3c o s2 textxe yy
yexz 2?
tx sin? 3ty?
)s in3c o s2(s in 23 tttte t □
连线相乘，分线相加多元偏导，一元导数思路,1、分析变量关系；
2、写出求导公式；
3、计算各个导数；
4、消去中间变量。
y
tz
x
【 例 2】 设 求,,s in),,( 3tytxyxfz,
dt
dz
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz?
〖 解 〗 由多元复合函数求导法则得全导数为：
)s in3c o s2(s in 23 tttte t
y
tz
x
yx ftft
23c o s □
设 f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
dt
dz
dt
d
dt
zd
2
2
部分抽象函数
)3( c o s 2 yx ftft
dt
d
)(36)(c o ss in 2 yyxx f
dt
dtftf
dt
dtft
y
tff
x
yx,
]3[ c o sc o ss in 2 xyxxx ftfttft
]3[ c o s36 22 yyyxy ftfttft
)3( c o s 2 yx ftft
dt
d
yx ftft 6s in
.9c o s6c o s 422 yyxyxx ftfttft □
二阶混合偏导数相等怎么样？不难吧！
情形 2 链锁规则公式
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
因为自变量有 二个,故存在两个 偏导数 。
偏导数
yv
z
xu
2、偏导数
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
〖 解 〗 变量关系如图，所求偏导数为：
【 例 3】 设,求 2222,,ln vuyvuxyxz
偏导数。
vy
z
ux
yxz ln?
22 vux 22 vuy
u
y
xuy 22ln
22
22
22 )ln (2
vu
vu
vuu
思路,1、分析变量关系；
2、写出求导公式；
3、计算各个导数；
4、消去中间变量。
□
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
)2(2ln v
y
xvy
22
22
22 )ln (2
vu
vu
vuv
2,如何确定链锁规则公式中的项数？
每个链锁规则公式中的项数等于函数到达求导自变量的 路径数 。
3,如何确定链锁规则公式中各项的因子数？
每条连线上 中间变量个数加 1即为链锁规则公式对应项的因子数。
4,偏导数的各链锁规则公式是否都是对称的？
取决于 变量关系 是否对称。
你现在是否能回答下列问题：
1,如何确定是求全导数还是偏导数？
一个 自变量时求 全导数,多个 自变量时求 偏导数 。
dt
dr
r
w
dt
dV
V
h
dt
dh?
〖 解 〗 由圆锥体积
【 例 5】 设一圆锥形沙丘体积以 4立方米 /秒的速率增大，底圆半径增长率为 e-r米 /秒，试求当沙丘体积为 60立方米、底圆半径为 6米时，沙丘高度的增长速度。
3
2 hr
V
可得高为
2
3
r
Vh
故高的增长速率为
re
r
V
r
32
643
)2(6 2 re
r
V
rdt
dh
设 t0时刻沙丘体积为 60立方米、底面半径为 6米，则
)
6
602(
6
6 6
2
0
e
dt
dh
tt?
)51(
3
1 6 e
□[立方米 /秒 ]
定理 设 在点 (x,y)处可导,),(),,( yxvyxu
在相应点 (u,v)处具有连续偏导数，则复合函),( vufz?
数 在点 (x,y)处可导，且有 )],(),,([ yxyxfz
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
【 证 】 因为 在点 (u,v)处偏导连续，所以),( vufz?
vvuuvuv
v
zu
u
zz
),(),(
21
※
yv
z
xu
.0),(lim,0),(lim 2
0
01
0
0
vuvu
v
u
v
u
其中
vvuuvuv
v
zu
u
zz
xxxxx
),(),(
21
:0,0 yx视 y为常数,取
x
vvu
x
uvu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z xxxxx
),(),(
21
先考虑,
x
z
※ 为除以,x?
.xvvzxuuzxz
,0,0 vu xx
0),(lim,0),(lim 2
0
01
0
0
vuvu
v
u
v
u
可得,
:0x令其中用到 u,v在点 (x,y)处 对 x的偏导数均存在,从而 u,v
在点 (x,y)处 关于 x连续 [一元函数：可导一定连续，此时
y为常数 ](不是二元函数连续！）,当 时：0x
由
0),(lim,0),(lim 2
0
01
0
0
vuvu
v
u
v
u
x
x
x
x
.0),(lim,0),(lim 2010 vuvu xx即同理,可得,
.yvvzyuuzyz □
情形 3
链锁规则公式
dx
dw
w
z
dx
dv
v
z
dx
du
u
z
dx
dz?
全导数
w
xvz
u
情形 4
yw
vz
xu
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
偏导数
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw?
〖 解 〗 变量关系如图，所求全导数为：
【 例 4】 设 求,,,s in),c o s ( 22 teztytxyzxw
全导数。
)c o s ( 2yz?
z
tyw
x
te?
tcos? )s in ( 22 yzxz? t2?
)c o s (2 2yzx y z?
)s in (s in2c o s)c o s ( 22222 ttt etttetet
).s in (s in2 2222 tt ettet? □
情形 5
y
u
u
f
y
z
x
v
v
f
x
u
u
f
x
f
x
z
yv
uz
xx
特点
1、中间变量也是自变量
2、变量关系不对称问题
1、全导数还是偏导数
2、链锁规则公式如何
3、哪些偏导容易混淆
x
z
x
f
),,( vuxfz
)](),,(,[ xvyxuxfz
视 y为常数视 u,v为常数
〖 解 〗 在 ※ 两边对 t求导得：
【 例 6】 设 为二元 k次齐次函数，即对任意实数 t,均有
),( yxf
),(1 yxfktyfxf ktytx
),,(),( yxfttytxf k?
证明,).,(),(),( yxkfyxyfyxxf yx
※
取 t=1即得
),( yxkfyfxf yx □
〖 解 〗 方法 1(链锁规则公式 )
22
1 )ln ()()(
yx
xyxyxyxt
x
z tt
【 例 7】 设 求,,)( 22 yxtyxz t,,
y
z
x
z
yt
yz
xx
22
1 )ln ()()(
yx
yyxyxyxt
y
z tt
方法 2(全微分形式不变性 )因为
)l n ()( yxtt deyxddz )]ln ([)l n ( yxtde yxt
)]ln ()[ ln ()l n ( yxtddtyxe yxt
)()ln ( 22)l n ( dydx
yx
tyxdyxe yxt
)()(
)ln (
22
)l n ( dydx
yx
t
y d yx d x
yx
yx
e yxt
dx
yx
yx
yx
yxx
yx yx
22
22
)ln (
)(
22
dy
yx
yx
yx
yxy
yx yx
22
22
)ln (
)(
22
yx
yx
yx
yxx
yx
x
z yx 22
22
)ln (
)(
22
.
)ln (
)(
22
22
22
yx
yx
yx
yxy
yx
y
z yx
故
□
〖 解 〗 方法 1(链锁规则公式 )
【 例 8】 设 ),(),,(),,(),,,( xttxhyyxgzzyxfu
.dxdu求
tz
yyu
xxxx
f g h?
dx
du
x
f
dx
d
t
h
x
h
y
f?
dx
d
t
h
y
g
x
h
y
g
x
g
z
f?
方法 2(全微分形式不变性 )
dzfdyfdxfdu zyx
dxhhggfhhffdu txyxztxyx )]}([)({
dthdxhdy tx
dygdxgdz yx
dxdt
因为所以，消去 dz,dy,dt得：
从而
)].([)( txyxztxyx hhggfhhff
dx
du □
二、一阶全微分形式不变性一元函数微分形式不变性：设可微函数,
则 不论 u是否为自变量，微分形式 总是正确的。
duufdy )(
)(ufy?
这就是说：当 u为自变量，按上式计算微分；当 u为中间变量时，上式仍然正确，只是微分 du还要继续计算
，直至出现自变量的微分，计算才完成。
例如，已知 求微分,s in,ln xuuy dy
利用 微分形式不变性 解题过程是：
1、由 求得 ；uy ln? du
u
dy 1?
2、由 求得 ；xu sin? x d xdu c o s?
3、代入并消去中间变量 u得所求微分：
x d xdy c o t?
综合书写为：
du
u
dy 1?
【 解 】 由微分形式不变性得
xd
u
sin1? x dx
u
c os1? x dxc o t?
回顾微分形式不变性使得我们在计算复杂（复合 +
四则运算）函数微分时，可以分步 由外到内进行，
一次只考虑一个函数或一种运算 的微分，从而将复杂函数微分化为若干个简单函数微分来处理。此外
，利用微分形式不变性时不需区分变量间的关系，
平等地对待每个变量，容易保持解题思路清晰，避免出错。
多元函数全微分也具有形式不变性。
dvfdufdz vu
全微分形式不变性,设可微函数,则 不论 u,v是否为自变量，微分形式
),( vufz?
总是正确的。
【 证 】 当 u,v为自变量时,;dvfdufdz vu
当 u,v为中间变量，即 u=u(x,y),v=v(x,y)时，由 链锁规则 得：
dy
y
zdx
x
zdz
dy
y
vf
y
ufdx
x
vf
x
uf
vuvu
dy
y
vdx
x
vfdy
y
udx
x
uf
vu,dvfduf vu
□
利用全微分形式不变性易证全微分四则运算法则,设 u,v均为多元可微函数，
则;)( dvduvud;)( u d vv d uvud
.2
v
udvv d u
v
ud
不难看出，上述公式与一元函数情形完全一样。
正因为如此，有关 一元函数的微分公式与微分法则在求多元函数全微分时同样适用 。
【 例 9】 利用全微分形式不变性求下列函数的全微分：
),( yxxydfdz
（ 1） （ 2）,,
z
y
y
xfu );,( yxxyfz
〖 解 〗 （ 1）先介绍：下标为数字的偏导记号。
对第一个中间变量 的偏导数记为 [一般，不写成 更不要写成 ]
),( yxxyf? xyu?;1f,
xy
f
!
1?
f
对第二个中间变量 的偏导数记为yxv,2f
)(21 yxdfxydf
)()(
2
1
21 dydxfxydxyf
全微分形式不变性
)()(
2
1
21 dydxfx d yy d xxyf
.
22
2
1
2
1 dyf
xy
xf
dxf
xy
yf
（ 2）
z
y
y
xdfdu,
z
ydf
y
xdf
21
2221 z
y d zz d yf
y
x d yy d xf
.2 22121 dz
z
yfdy
y
xf
z
fdx
y
f?
□
全微分形式不变性三、高阶全微分 * —— 二元函数泰勒公式仅就二元函数 介绍高阶全微分的计算方法。计算 要点 是：
),( yxfz?
一阶全微分 dy
y
zdx
x
zdz
二阶全微分 )(2 dzdzd?
dy
y
zdx
x
zd
1、视 dx,dy常数；
2、每次微分时，自变量的增量都取好 dx,dy;
3、仅当高阶偏导连续时，相应混合偏导相等。
zdy
y
dx
x?
记
dy
y
zdx
x
zd dy
y
zddx
x
zd
dydy
y
z
dx
xy
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
2
222
2
2
2
2
222
2
2
2
)()( dy
y
z
d x d y
xy
z
yx
z
dx
x
z
2
2
22
2
2
2
)(2)( dy
y
zd x d y
yx
zdx
x
z
二阶偏导连续
zdy
y
dx
x
)2(
记仿此，一般可得 n阶全微分
)( 1 zddzd nn )(
)(
Nnzdy
y
dx
x
n
例如，三阶全微分（三阶偏导连续）
zdy
y
dx
x
zd
)3(
3
3
3
3
2
2
3
2
2
3
3
3
3
)()(3)(3)( dy
y
zdydx
yx
zdydx
yx
zdx
x
z
参考：二项公式通项，
“幂”写成“高阶偏导”
【 例 10】 设 其中 f具有二阶连续偏导数,求
),,(2 yxeyxfxz
.,,
2
yx
z
y
z
x
z
)],([ 2 yxeyxfxddz
【 解 】 可以利用 全微分形式不变性 或 链锁规则 求一阶偏导数,
利用全微分形式不变性,因为
)]()([2 212 dydxefdydxfxx f d x yx
dxfexfxxf yx )2( 2212
dyfexfx yx )( 2212
dfxfxd 22 )(
简记为类似
),( yxeyxf f
22121121,,,,fffff
＃
所以
),(2 212 fefxxfxz yx
.2212 fexfx
y
z yx
x
z
yyx
z2
于是,
)](2[ 212 fefxxf
y
yx
x2 )( f
y?
[2x? )(
1fy?
2fe yx
yxe )( 2f
y?
]
x2 )( f
y?
[2x? 2fe yx yxe )( 2f
y?
]
x2 )( 21 fef yx [2x? )( 1211 fef yx
2fe yx
yxe )(
2221 fef yx]
21 )2(2 fxexfx yx
.22)(22112 fexfx yx
□y
fff
x
2
,,
1
21
)( 1f
y?
要点,结构相同！fff,,
21
预备知识 设有二元一次方程组
222
111
cybxa
cybxa
则当系数行列式
01221
22
11 baba
ba
ba
时，方程组有唯一解，且解为
.,
22
11
22
11
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
y
ba
ba
bc
bc
x
〖 解 〗 在解偏微分方程时，经常需要根据具体情形进行自变量的 换元,以简化计算过程。
【 例 11】 设,s in,c o s),,( yrxyxfz
,s inc o s rzrzxz
证明,1、;c o ss in
r
z
r
z
y
z?
这里，将直角坐标化为极坐标。
首先，选择谁为自变量，是直坐标 x,y;还是极坐标 r,θ?
取直角坐标为自变量,极坐标为中间变量。此时，变量关系为：
y
z
xr
由 链锁规则 得：
x
z
y
z
y
r
r
z
y
z
x
z
x
r
r
z
由变换
s in
c o s
ry
rx
对 x求导，视 y为常数,r,θ均为 x,y函数得：
（ 1）
（ 2）
x
r
x
r
x
r
x
r
c o ss in0
s inc o s1
解得：
c oss in
s inc os
c os0
s in1
r
r
r
r
x
r
（ 3）
（ 4）
r
r?cos?,cos
.
s in
c oss in
s inc os
0s in
1c os
r
r
rx
（ 4）
同理，（ 2）对 y求导，视 x 为常数,r,θ均为 x,y
函数得：
.c o s,s in ryyr （ 5）
将 (4),(5)代入 (1)得：
.c o ss in
r
z
r
z
y
z?
,s inc o s
r
z
r
z
x
z?
（ 6）
.1
2
2
222
z
rr
z
y
z
x
z2、
【 解 】 由 (6)
.c o ss in
r
z
r
z
y
z?
,s inc o s
r
z
r
z
x
z?
得,
.1
2
2
222
z
rr
z
y
z
x
z
.1 2
2
22
2
2
2
z
r
ur
r
r
ry
z
x
z3、
r
z
r
z
x
z?
s inc o s?
【 解 】 由再对 x求偏导,视 y为常数,视 r,θ均为 x,y的函数,
x
z
xx
z
2
2
r
z
r
z
x
s inc o s
r?
r
z
r
z?
s inc os
x
r
r
z
r
z?
s inc os
x?
r,θ的函数
＃
y
z
z
r
z
xr
,,
r?
r
z
r
z?
s inc os
x
r
r
z
r
z?
s inc os
x?
c o s
s ins in
c o s 2
2
2
2
r
z
rr
z
r
z
rr
z
r
z
r
z
r
z
s inc o ss in
s inc o s 2
22?
2
2
x
z
整理得：
2
2
2c o s
r
z
r
z
r
22s in
2
2
2
2s in
z
r;2s in
z
rr
z
r?
2s in
同理得：
2
2
y
z
2
2
2s in
r
z
r
z
r
22s in
2
2
2
2c o s
z
r;2s in
z
rr
z
r?
2c o s
2
2
x
z
2
2
r
z
2
2
2
1
z
r r
z
r?
1
两式相加得：
2
2
y
z
□
§ 5、隐函数求导法由方程直接求隐函数偏导数、
与全微分运用全微分形式不变性由方程确定的函数称为 隐函数 。当满足隐函数存在定理的条件时，可以求隐函数导数或偏导数。
隐函数求导法的核心就是如何直接由方程求出所确定的隐函数（无论能否显化）导数或偏导数。
一、单个方程情形
1、二元方程确定一个一元隐函数设二元方程 F(x,y)=0确定一个一元可导隐函数
y=f(x),则微分所给方程得：
0 dyFdxF yx
y
x
F
F
dx
dy解得：
y
x
F
F
dx
dy
xfyyxF,)(0),(
继续可求二阶导数：
y
x
F
F
dx
d
dx
dy
dx
d
dx
yd
2
2
2
y
y
x
x
y
F
dx
dF
F
dx
dF
F
2
)()(
y
yyyxxxyxxy
F
yFFFyFFF
2
)()(
y
yyyxxxyxxy
F
yFFFyFFF
3
)()(
y
xyyyyxxxxyyxxy
F
FFFFFFFFFF
3
22 )2
y
xyyyxxyyxx
F
FFFFFFF
F二阶偏导连续
〖 注 〗 二阶导数公式不必套用。实际问题中可按上述过程计算之。
＃
设三元方程 F(x,y,z)=0确定一个二元可导隐函数
z=f(x,y),则微分所给方程得：
0 dzFdyFdxF zyx
解得：
2、三元方程确定一个二元隐函数
dy
F
F
dx
F
Fdz
z
y
z
x
故
.,
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
z
x
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
yxfzzyxF
,:),(0),,(
〖 注 〗 其它单个方程确定的多元函数偏导数的计算可类似处理。
〖 解 〗 方法 1(一元隐函数求导法 )
【 例 12】 设 求,0s in 2 xyey x,
dx
dy
方法 2(全微分形式不变性 )
,0)2(c o s 2 x y d ydxydxey d y x
视 y为 x函数，对 x求导得：
0)2(c o s 2 yxyyeyy x
解得：
.
2c o s
2
xyy
eyy x
微分所给方程得：
.
2c o s
2
xyy
ey
dx
dy x
解得：
2
2
dx
yd
dx
dy
dx
d
xyy
ey
dx
d x
2c o s
2
2
22
)2( c o s
)2( c o s)2( c o s
xyy
xyy
dx
d
eyey
dx
d
xyy xx
现求二阶导数：
2
22
)2( c o s
)2( c o s)2( c o s
xyy
xyy
dx
d
eyey
dx
d
xyy xx
2
2
)2( c o s
)22s in()2()2( c o s
xyy
yxyyyeyeyyxyy xx
代入 y’，整理即可。 [此略 ]
【 例 13】 设 求,0 x y ze z,,,2
yx
z
y
z
x
z
〖 解 〗 方法 1（偏导数）
,0 xzxyyzxze z
在方程两边对 x求导，视 y为常数,z=z(x,y),
解得：
xye
yz
x
z
z
在方程两边对 y求导，视 x 为常数,z=z(x,y),
,0?
y
zxyxz
y
ze z
方法 2（全微分）
xye
xz
y
z
z
微分所给方程得：
,0 x y d zx z d yy z d xdze z
解得：
,
xye
x z d yy z d xdz
z?
故
,
xye
yz
x
z
z
xye
xz
y
z
z
于是，
xye
yz
yx
z
yyx
z
z
2
2)(
)())((
xye
x
y
z
eyz
y
z
yzxye
z
zz
3
2
)(
)())((
xye
yxxex z eyzx y zx y zzexye
z
zzzz
.
)(
)2(
3xye
ze
z
z
□
§ 1、基本概念多元函数二元函数极限二元函数连续性下面，仅介绍平面集合的有关概念，它们可推广至空间点集。
平面上一切点的集合称为 二维空间,记为 R2，即
RyxyxR,|),(2
空间内一切点的集合称为 三维空间,记为 R3，即
RzyxzyxR,,|),,(3
一、平面点集的基本概念
1、邻域
20200 )()(|),(),( yyxxyxPU
设有平面点,δ为一正数，称集合),(
000 yxP
20200 )()(0|),(),?( yyxxyxPU
为点 的 δ-邻域,
0P
称为点 的 去心 δ-邻域 。
0P
O x
y
),( 000 yxP
δ2、区域设 E为平面集,P为 E中点。如果存在 P的一个邻域
,则称 P为 E的 内点,EPU?)(
设 E为平面集,P为一平面点,如果 P的任意邻域内总有无穷多个 E中的点,则称 P为 E
的 聚点,
如果平面集 E的点全是其内点,则称 E为 开集,
O x
y
E
如果点 P的任意邻域内总有属于 E的点,也有不属于 E的点,则称 P为平面集 E的 边界点 ;E的边界点的全体称为 E的 边界,
边界点内点如果平面集 E内任意两点均可用全含于 E内的折线连接起来,则称 E为 连通集,
连通的开集称为 区域 ;区域连同其边界称为 闭区域,
3、聚点如果平面集 E可以含于某个以原点为圆心的圆内,
则称 E为 有界集 ;否则称之为 无界集,
4、有界集与无界集
O x
y
O x
y
二、多元函数概念定义 1 设有三个变量 x,y,z和平面点集 D。
如果对于 任意 的 (x,y)∈ D，变量 z按 一定规律 均有唯一 确定的值与之对应，则称变量 z是变量 x,y的 二元函数,记为
),( yxfz?
注意,1、二元函数定义域为 平面点集 ； 2、二元函数的图形一般为 曲面 。
类似，可定义 三元函数,
.),,(),,( 3Rzyxzyxfu
由一元函数推广到多元函数，除了 形式 上的变化外，应特别注意 本质 上的一些变化。 例如，可微、可导、连续与极限等概念之间的关系在多元函数中与一元函数已经大不相同。
一般，可定义 n元函数：
.),,,(),,,( 2121 nnn Rxxxxxxfu
二元及其以上函数称为 多元函数,或 n元函数 。
由一元函数推广到多元函数所发生的 本质变化主要表现在一元函数到二元函数之间,至于二元函数与三元及其以上函数之间没有本质差异，只是描述的空间维数上有所变化。
01 yx
一元函数和多元函数可以统一定义为 点函数,
.)( nRPPfu
【 例 1】 求下列函数的定义域：
（ 1） ；（ 2） 。)1ln ( yxz 2222 zyxau
〖 解 〗 （ 1）要使函数有意义，
必需
01 yx
故得函数定义域为
O x
y
1
1 }.01|),{( yxyxD
（ 2） 要使函数有意义，必需
02222 zyxa故得函数定义域为
}.|),,{( 2222 azyxzyx
【 例 2】 已知
1),( 22 yxyxyxf
求 ).,( yxf
【 解 】 令
,,yxvyxu
可得
,1),( uvvuf
故
.1),( xyyxf □
三、二元函数极限定义 2 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的邻域内有定义,如果对于 任意 的正数 ε,均有 正数 δ存在,使得对满足
20200 )()(||0 yyxxPP
的 一切 点 P(x,y)恒成立
|),(| Ayxf
则称常数 A为函数 f(x,y)当点 (x,y)趋向 (x0,y0)时的 二重极限,记为
Ayxf
yy
xx
),(l i m
0
0
1、二重极限存在的充要条件是动点 (x,y)以 任何方式 (方向,曲线 )趋向定点 (x0,y0)时,相应的极限均存在且相等 ;
2、当动点 (x,y)以 某种方式 趋向定点 (x0,y0)时,
相应的 极限不存在,或以 两种方式 趋向定点 (x0,y0)
时,相应的 极限虽均存在但不相等,则 二重极限不存在 。
3、有关极限的运算法则和重要极限等可类似地在重极限中加以应用,
【 例 3】 求下列极限：
(1) ;(2),
x
xy
ay
x
sinlim
0
11
lim
0
0
xy
xy
y
x
〖 解 〗 (1)重要极限 +极限四则运算法则
y
xy
xy
ay
x
ay
x
00
l i ms i nl i m
x
xy
ay
x
sinlim
0
a1 a?
(2)有理化 +极限四则运算法则 +复合函数极限法则
11
l im
0
0
xy
xy
y
x )11)(11(
)11(
l i m
0
0
xyxy
xyxy
y
x
)11(l i m
0
0
xy
y
x 1)1l im (
0
0
y
x
xy
.2? □
四、二元函数连续性定义 3 如果,则称函数
),(),(l i m 00
0
0
yxfyxf
yy
xx
函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)处 连续 。
二元函数的间断点可以形成一条曲线。
类似于闭区间上一元连续函数所具有的性质 [有界定理，最值定理，介值定理 ]在有界闭区域上二元连续函数也同样成立。
多元连续函数的四则运算、复合函数仍为连续函数；
多元初等函数在其定义区域内连续。
【 例 4】 设函数
,0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
讨论其在点 (0,0)处的极限和连续性,
〖 解 〗 因为 (0,0)是分段函数的分界点,且;00limlim),(lim
022
0
0
0
0
x
y
x
y
x yx
xyyxf;00limlim),(lim
022
0
0
0
0
y
y
x
y
x yx
xyyxf
但由此并不能确定所求极限存在与否。
现考虑动点 (x,y)沿直线 y=kx趋向 (0,0)情形：;
11
lim
)1(
lim),(lim 22
022
2
00 k
k
k
k
xk
kxyxf
xx
kxy
x?
显然，此路径极限因 k而异，故所求极限
),(lim
0
0
yxf
y
x
不存在,从而，函数在原点处 不连续 。 □
五、二元函数偏增量与全增量设函数 z=f(x,y)在点 P(x,y)的邻域内有定义,
O x
y
),( yx
),( yxx
),( yyx
),( yyxx
增量
),(),( yxfyxxfzx
),(),( yxfyyxfzy
分别称为函数 z=f(x,y)在点 (x,y)
处关于 x和关于 y的 偏增量 ；
而增量
),(),( yxfyyxxfz
称为函数 z=f(x,y)在点 (x,y)
处的 全增量 。
§ 2、偏导数偏导数概念显函数偏导数的计算
x
yxfyxxf
x?
),(),(l i m 0000
0
定义 1 设函数 z=f(x,y)在点 的某邻域内有定义。如果极限
),( 000 yxP
存在 (有限值 ),则称函数 z=f(x,y)在点 处 关于 x可导,并称其极限值为函数 z=f(x,y)在点 处 关于 x的偏导数,记为
),( 000 yxP
),( 000 yxP
.,),,(,
0
00
0
0
0
00
yy
xxyy
xxxx
yy
xx x
fzyxf
x
z
0
0
yy
xxx
z
一、偏导数 一元函数导数定义式
y
yxfyyxf
y
z
y
yy
xx?
),(),(
lim 0000
0
0
0
同理,函数 z=f(x,y)在点 处 关于 y的偏导数),(
000 yxP
1、当 均存在时,称函数 z=f(x,y)
在点 处 可导 ;
),(),,( 0000 yxfyxf yx
),( 00 yx
2、如果 z=f(x,y)在区域 D内每一点处均可导,则称函数 z=f(x,y)在区域 D内 可导 ;此时,存在 偏导函数,记为
x
fzyxf
x
z
xx?
,),,(,
y
fzyxf
y
z
yy?
,),,(,
dx
dz3、记号 与 的 区别,
x
z
dx
dz,表明 z=f(x),且 ;dxdz
dx
dz
x
z
,表明 z=f(x,y),但
.xzxz
4、对一元函数,可导一定连续,连续不一定可导 ;但对多元函数,可导与连续已经没有必然关系 ;[多元函数与一元函数的重要区别 !]
【 例 1】 设函数
,0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
求其在点 (0,0)处的偏导数。
〖 解 〗 因为 (0,0)是分段函数的分界点,故只能利用定义求偏导数,
x
fxff
xx
)0,0()0,(lim)0,0(
0
xx
00lim
0
;0?
y
fyff
yy
)0,0(),0(lim)0,0(
0
yy
00lim
0
.0? □
该函数在原点可导,
但不连续 !
x
o
y
zy
T
0x
0y
0M
5、偏导数的几何意义相对于 x轴的斜率,
xT
.t a n),( 00yxf x
★ 图中画的是的几何意义,
),( 00 yxf y
偏导数 在几何上表示曲线上点 处切线),,(
0000 zyxM
0
),,(:
yy
yxfz
x
),( 00 yxfx
二、多元显函数偏导数的计算根据偏导数定义,不难看出求 显函数的偏导数 本质上就是求一元函数的导数,
对二元函数显函数 z=f(x,y)：
x
z
-----视 y为常数,对 x求导数；
y
z
-----视 x为常数,对 y求导数。
同理，对三元显函数 u=f(x,y,z):
x
u
-----视 y,z均为常数,对 x求导数；其余类推。
【 例 2】 求函数 在点 (1,2)处的偏导数。
322 32 yxyxz
,22 2yxxz
〖 解 〗 先求偏导函数，再代值。
,94 2yxyyz
,6|)22(
2
1
2
)2,1(
y
xyxx
z
.28|)94(
2
1
2
)2,1(
y
xyxyy
z □
【 例 3】 求函数 的偏导数。
x
yz ln?
,1)(1 2
xx
y
y
x
x
y
xxyx
z
〖 解 〗 视 y为常数，对 x求导得：
复合函数求导法则视 x为常数，对 y 求导得：
.111
yxy
x
x
y
yxyy
z
□
【 例 4】 求函数 的偏导数。zyxu?;1 z
y
xzyxu
〖 解 〗 视 y,z为常数，对 x求导得：
视 x,z为常数，对 y 求导得：
□
[幂函数导数公式 ];lnln z
y
z
y
x
z
x
z
y
y
xx
y
u
[指数函数导数公式 ]
视 x,y 为常数，对 z求导得：
.lnln 2 z
y
z
y
x
z
xy
z
y
z
xx
z
u
[指数函数导数公式 ]
一元可导函数的四则运算求导法则推广为多元可导函数的 四则运算偏导法则,
设 f(x,y)和 g(x,y)均为可导函数，则
;xgxfgfx
;xgfgxfgfx
2g
x
gfg
x
f
g
f
x
一元函数满足条件可以求其高阶导数，且各高阶导数只有一个。
三、高阶偏导数设二元函数显函数 z=f(x,y)在点 (x,y)处 [或区域 D
内 ]满足存在高阶偏导数的条件，则多元函数满足条件也可以求高阶偏导数，但其各高阶偏导数的个数随阶数升高而迅速增加。
),( yxfz?
),( yxfxz x
),( yxfyz y
x
z
xx
z
2
2
x
z
yyx
z2
y
z
xxy
z2
y
z
yy
z
2
2
仿此可定义三阶及以上偏导数二阶偏导数一阶偏导数说明,1、二阶偏导数
x
z
yyx
z2
y
z
xxy
z2
称为 z=f(x,y)的二阶 混合偏导数 ；关于混合偏导数相等有如下充分条件：
定理 如果在点 (x,y)处 [或区域 D内 ]
存在且连续，则有 xy
z
yx
z
22,
xy
z
yx
z
22
类似有更高阶的混合偏导数，且同阶混合偏导数相等的充分条件同上。
此时，求导与次序无关。
2、对三元函数可类似定义其高阶偏导数。
3、二阶及其以上偏导数称为 高阶偏导数 。
显然，求高阶偏导数完全类似于求一阶偏导数。
4、高阶偏导数的记号：如 z=f(x,y)
),(,,,
22
yxf
yx
fz
yx
z
xyxy
),(,,,2
2
2
2
yxfx fzx z xxxx
),(,,,
33
yxf
xyx
fz
xyx
z
xyxxyx
等等。
【 例 5】 设函数,求 。
x
yxyxf a r c ta n),( 2? ),( yxf
xy
〖 解 〗 先求一阶偏导数
22
2
1
1
a r c t a n2),(
x
y
x
y
x
x
y
xyxf x
22
2
a r c t a n2
yx
yx
x
yx
再求二阶偏导数
222
22
2
2 )(
21
1
1
2),(
yx
yyyx
x
x
x
y
xyxf xy
四则运算求导法则复合函数求导法则
222
222
22
2
)(
)(2
yx
yxx
yx
x
222
224
)(
32
yx
yxx
□
【 例 6】 证明函数 满足
Laplace方程
22 )()(ln byaxz
.02
2
2
2
y
z
x
z
〖 证 〗 因为,所以 ])()ln [ (
2
1 22 byaxz
22 )()( byax
ax
x
z
222
22
2
2
])()[(
)(2)()()(
byax
axaxbyax
x
z
222
22
2
2
])()[(
)()(
byax
axby
x
z
由对称性得：
222
22
2
2
])()[(
)()(
byax
byax
x
z
故得：
.02
2
2
2
y
z
x
z □
【 例 7】 设二元函数 z=f(x,y)在区域 D内满足
,0,0 yzxz
〖 证 〗 因为 在 D内 所以,0?
x
z
证明在 D内函数 z=f(x,y)为常数函数。
),),()(( Dyxyz
又因为 即,0?
y
z ),),((0 Dyx
dy
d
故 ),),(()( DyxCy
即 ),),(( DyxCz □
定义 点 x称为 y=f(x)的 驻点
.0),(
0),(
yxf
yxf
y
x点 (x,y)称为 z=f(x,y)的 驻点;0)( xf
点 (x,y,z)称为 u=f(x,y,z)的 驻点,
0),,(
0),,(
0),,(
zyxf
zyxf
zyxf
z
y
x
§ 3、全微分全微分的 概念全微分的 计算定义 1 设函数 z=f(x,y)在点 的某邻域 U内有定义，且函数在该点处的 全增量 为
),( yxP
其中点,),( Uyyxx
)(?oyBxAz 能
),(),( yxfyyxxfz
一、全微分概念
z=f(x,y)点 (x,y)处 可微其中 A,B与 Δx,Δy无关,o(ρ)是 ρ→0 时 ρ的高阶无穷小。
线性部分 A Δx +B Δy称为 z=f(x,y)点 (x,y)处的 全微分,记为 dz或 df(x,y),即
yBxAdz
1、如果函数在区域 D内每一点处均可微时，称函数在区域 D内可微，也称函数为 D内的 可微函数 ；
说明：
2、当函数 z=f(x,y)在点 (x,y)处可微时，其全微分是自变量增量 Δx,Δy的线性函数，它是全增量的主要部分，即当 | Δx|,|Δy|充分小时，有
Δz≈dz;[近似计算 ]
3、如果函数 z=f(x,y)在点 (x,y)处可微，则当自变量增量 Δx→0,Δy →0 时,Δz →0,即函数在点
(x,y)处连续；反之不然。
定理 1 z=f(x,y)在点 (x,y)处 可微 → z=f(x,y)在点
(x,y)处 可导,且
).,(),,( yxfByxfA yx
〖 证 〗 因为 z=f(x,y)在点 P(x,y)处可微，所以在点 P
的邻域内 任意 点,有),( yyxx
)(?oyBxAz 能特别 的，对 （ ※ ）仍成立，即有),( yxx
※
|)(|),(),( xoxAyxfyxxf
从而，有二、偏导连续、可微、可导与连续关系
Ax yxfyxxf
x
),(),(lim
0
即 z=f(x,y)在 (x,y)处存在偏导数
Axz
同理,z=f(x,y)在 (x,y)处存在偏导数
.Byz
□
于是，对二元函数 z=f(x,y),有
y
y
zx
x
zdz?
特别的对函数 z=x和 z=y应用上式可得对自变量 x,y有：
.,ydyxdx
故有
dy
y
zdx
x
zdz
[全微分迭加公式 ]
上述各定理对一般多元函数均成立。
由此可知：
一元函数 可微 可导 连续连续多元函数 偏导连续 可微 可导 连续定理 2 z=f(x,y)在点 (x,y)处 可导,且 偏导数均连续,→ z=f(x,y)在点 (x,y)处 可微。
〖 证 〗 （此略）。
【 例 1】 证明函数
,0,0
,0,
),(
22
22
22
yx
yx
yx
xy
yxf
在点 (0,0)处不可微。
〖 解 〗 因为
)0,0(),( fyxfz
22 )()( yx
yx
又
0)0,0()0,0( yfxf yx
所以，
22 )()(])0,0()0,0([ yx
yxyfxfz
yx
])0,0()0,0([
lim
0
yfxfz yx
||2
1
l i m
0 xx
xy
xy
于是，函数在点 (0,0)处不可微。 □
〖 注 〗 此函数在原点（ 0,0）处 不连续,可导,
不可微,且当 x→0,y→0 时 极限不存在 。
dy
y
zdx
x
zdzyxfz
,),(
方法 1 利用偏导数和全微分迭加公式三、全微分的计算
dz
z
udy
y
udx
x
uduzyxfu
,),,(
方法 2 利用全微分形式不变性和微分公式与微分法则
【 例 2】 设函数,求 dz(1,0),)23ln ( xyeyxz
〖 解 〗 方法 1（公式法）
因为
,
23
2,
23
3
xy
xy
xy
xy
eyx
xe
y
z
eyx
ye
x
z
在点 (1,0)处连续 [初等函数连续性 ]，且
,
4
1,
4
3
)0,1()0,1(
y
z
x
z
故
.
4
1
4
3)0,1(
)0,1()0,1(
dydxdy
y
zdx
x
zdz
方法 2 （微分法）
)23ln ( xyeyxddz
)23(23 1 xyxy eyxdeyx
)](23[23 1 xydedydxeyx xyxy
)](23[23 1 x d yy d xedydxeyx xyxy
xy
xyxy
eyx
dyxedxye
23
)2()3(
.4143)0,1( dydxdz
注意：由全微分可求得偏导数：
B d ydxdz
.,B
y
z
x
z?
这也是求偏导数的一个好方法。
利用微分形式不变性直接求全微分方便之处在于一 开始不需区分自变量与函数,一视同仁地应用一元函数微分公式与微分法则，只是在 最后解出函数的微分 即可。对复合函数与隐函数尤感方便！
C d zB d ydxdu,,,C
z
uB
y
u
x
u?
【 例 3】 求函数 的全微分 du.yzxu?
〖 解 〗 方法 1（迭加公式法）
因为
,ln,ln,1 xyxzuxzxyuy z xxu yzyzyz
在点 (1,0)处连续 [初等函数连续性 ]，故方法 2（直接微分法）
.lnln1 x d zyxx d yzxdxy z xdu yzyzyz
yzdxdu? xyzde ln? )ln(ln xyzde xyz?
)lnln( x d zyx d yzdxxyzx yz
.lnln1 x d zyxx d yzxdxy z x yzyzyz □
.ln,ln,1 xyxzuxzxyuy z xxu yzyzyz
显然，这里自变量微分（增量）的系数即为三个偏导数：
四、全微分在近似计算中的应用 *
由可微概念知：当 相当小时，可以计算可微函数 z=f(x,y)的
|||,| yx
yyxfxyxfyxdfz yx ),(),(),(
1、全增量的近似值
2、函数值的近似值
),(),(),( yxdfyxfyyxxf
【 例 4】 计算 的近似值,98.201.2
〖 解 〗 设,则 yxyxf?),(
x d yxdxyxyxdf yy ln),( 1
取,故由近似公式
02.0,01.0,3,2 yxyx
)02.0(2ln201.0232 323
02.0
01.0
98.2 |)3,2()3,2(01.2
y
xdff
),(),(),( yxdfyxfyyxxf
得
01.8? □
在误差估计中，对于二元函数 z=f(x,y)，如果自变量的 绝对误差 分别为 δx,δy时，函数值的 绝对误差 为 δz
|),(),(||||| yyxfxyxfdzz yx
|||),(||||),(| yyxfxyxf yx
yyxx yxfyxf |),(||),(| 0000 z
相当误差 为
y
y
x
xz
yxf
yxf
yxf
yxf
yxf
),(
),(
),(
),(
|),(| 00
00
00
00
00
§ 4、多元复合函数求导法则利用,连线相乘，分线相加,
写出连锁规则公式熟练求复合函数偏导或全微分一元函数复合函数求导法则：
dx
du
du
dy
dx
dyxuy,
基本 思想,将复杂函数求导转化为若干简单函数求导。
由于一元复合函数“函数”,“中间变量”,
“自变量”之间关系为,单线联系,，故上述 一个公式可以解决 所有 一元复合函数求导问题。
多元复合函数由于有多个中间变量或多个自变量,“函数”,“中间变量”,“自变量”之间关系,错综复杂,,无法 用 一个 公式可以解决 所有 多元复合函数求导问题。 因此，首要问题是学会根据具体复合情况，写出相应的求导公式（ 链锁规则公式 ） [Chain Rule],
然后分别求出各个所需的偏导（导数）。
我们可依据,连线相乘，分线相加,写出链锁规则公式。
设函数 z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)复合成二元复合函数 z=f[u(u,v),v(x,y)]，其间变量关系用下图来描述。
x
z
x
u
u
z
x
v
v
z
z
u
v
x
y
连线相乘连线相乘
分线相加同理可得
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
方法细说一、多元复合函数求导法则 — 链锁规则
1、全导数设下列各公式中所出现的函数均满足所需条件，
且有相应的导数或偏导数。
情形 1
z
u
v
x
链锁规则公式因为自变量只有 一个,故存在导数。由于有多元函数参与复合，故称之为 全导数 。
全导数
【 例 1】 设,求 32,s in,tytxexz y,
dt
dz
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz?
〖 解 〗 由多元复合函数求导法则得全导数为：
22 3c o s2 textxe yy
yexz 2?
tx sin? 3ty?
)s in3c o s2(s in 23 tttte t □
连线相乘，分线相加多元偏导，一元导数思路,1、分析变量关系；
2、写出求导公式；
3、计算各个导数；
4、消去中间变量。
y
tz
x
【 例 2】 设 求,,s in),,( 3tytxyxfz,
dt
dz
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz?
〖 解 〗 由多元复合函数求导法则得全导数为：
)s in3c o s2(s in 23 tttte t
y
tz
x
yx ftft
23c o s □
设 f具有二阶连续偏导数，如何求二阶导数？
dt
dz
dt
d
dt
zd
2
2
部分抽象函数
)3( c o s 2 yx ftft
dt
d
)(36)(c o ss in 2 yyxx f
dt
dtftf
dt
dtft
y
tff
x
yx,
]3[ c o sc o ss in 2 xyxxx ftfttft
]3[ c o s36 22 yyyxy ftfttft
)3( c o s 2 yx ftft
dt
d
yx ftft 6s in
.9c o s6c o s 422 yyxyxx ftfttft □
二阶混合偏导数相等怎么样？不难吧！
情形 2 链锁规则公式
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
因为自变量有 二个,故存在两个 偏导数 。
偏导数
yv
z
xu
2、偏导数
u
y
y
z
u
x
x
z
u
z
〖 解 〗 变量关系如图，所求偏导数为：
【 例 3】 设,求 2222,,ln vuyvuxyxz
偏导数。
vy
z
ux
yxz ln?
22 vux 22 vuy
u
y
xuy 22ln
22
22
22 )ln (2
vu
vu
vuu
思路,1、分析变量关系；
2、写出求导公式；
3、计算各个导数；
4、消去中间变量。
□
v
y
y
z
v
x
x
z
v
z
)2(2ln v
y
xvy
22
22
22 )ln (2
vu
vu
vuv
2,如何确定链锁规则公式中的项数？
每个链锁规则公式中的项数等于函数到达求导自变量的 路径数 。
3,如何确定链锁规则公式中各项的因子数？
每条连线上 中间变量个数加 1即为链锁规则公式对应项的因子数。
4,偏导数的各链锁规则公式是否都是对称的？
取决于 变量关系 是否对称。
你现在是否能回答下列问题：
1,如何确定是求全导数还是偏导数？
一个 自变量时求 全导数,多个 自变量时求 偏导数 。
dt
dr
r
w
dt
dV
V
h
dt
dh?
〖 解 〗 由圆锥体积
【 例 5】 设一圆锥形沙丘体积以 4立方米 /秒的速率增大，底圆半径增长率为 e-r米 /秒，试求当沙丘体积为 60立方米、底圆半径为 6米时，沙丘高度的增长速度。
3
2 hr
V
可得高为
2
3
r
Vh
故高的增长速率为
re
r
V
r
32
643
)2(6 2 re
r
V
rdt
dh
设 t0时刻沙丘体积为 60立方米、底面半径为 6米，则
)
6
602(
6
6 6
2
0
e
dt
dh
tt?
)51(
3
1 6 e
□[立方米 /秒 ]
定理 设 在点 (x,y)处可导,),(),,( yxvyxu
在相应点 (u,v)处具有连续偏导数，则复合函),( vufz?
数 在点 (x,y)处可导，且有 )],(),,([ yxyxfz
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
【 证 】 因为 在点 (u,v)处偏导连续，所以),( vufz?
vvuuvuv
v
zu
u
zz
),(),(
21
※
yv
z
xu
.0),(lim,0),(lim 2
0
01
0
0
vuvu
v
u
v
u
其中
vvuuvuv
v
zu
u
zz
xxxxx
),(),(
21
:0,0 yx视 y为常数,取
x
vvu
x
uvu
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z xxxxx
),(),(
21
先考虑,
x
z
※ 为除以,x?
.xvvzxuuzxz
,0,0 vu xx
0),(lim,0),(lim 2
0
01
0
0
vuvu
v
u
v
u
可得,
:0x令其中用到 u,v在点 (x,y)处 对 x的偏导数均存在,从而 u,v
在点 (x,y)处 关于 x连续 [一元函数：可导一定连续，此时
y为常数 ](不是二元函数连续！）,当 时：0x
由
0),(lim,0),(lim 2
0
01
0
0
vuvu
v
u
v
u
x
x
x
x
.0),(lim,0),(lim 2010 vuvu xx即同理,可得,
.yvvzyuuzyz □
情形 3
链锁规则公式
dx
dw
w
z
dx
dv
v
z
dx
du
u
z
dx
dz?
全导数
w
xvz
u
情形 4
yw
vz
xu
y
w
w
z
y
v
v
z
y
u
u
z
y
z
x
w
w
z
x
v
v
z
x
u
u
z
x
z
偏导数
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw?
〖 解 〗 变量关系如图，所求全导数为：
【 例 4】 设 求,,,s in),c o s ( 22 teztytxyzxw
全导数。
)c o s ( 2yz?
z
tyw
x
te?
tcos? )s in ( 22 yzxz? t2?
)c o s (2 2yzx y z?
)s in (s in2c o s)c o s ( 22222 ttt etttetet
).s in (s in2 2222 tt ettet? □
情形 5
y
u
u
f
y
z
x
v
v
f
x
u
u
f
x
f
x
z
yv
uz
xx
特点
1、中间变量也是自变量
2、变量关系不对称问题
1、全导数还是偏导数
2、链锁规则公式如何
3、哪些偏导容易混淆
x
z
x
f
),,( vuxfz
)](),,(,[ xvyxuxfz
视 y为常数视 u,v为常数
〖 解 〗 在 ※ 两边对 t求导得：
【 例 6】 设 为二元 k次齐次函数，即对任意实数 t,均有
),( yxf
),(1 yxfktyfxf ktytx
),,(),( yxfttytxf k?
证明,).,(),(),( yxkfyxyfyxxf yx
※
取 t=1即得
),( yxkfyfxf yx □
〖 解 〗 方法 1(链锁规则公式 )
22
1 )ln ()()(
yx
xyxyxyxt
x
z tt
【 例 7】 设 求,,)( 22 yxtyxz t,,
y
z
x
z
yt
yz
xx
22
1 )ln ()()(
yx
yyxyxyxt
y
z tt
方法 2(全微分形式不变性 )因为
)l n ()( yxtt deyxddz )]ln ([)l n ( yxtde yxt
)]ln ()[ ln ()l n ( yxtddtyxe yxt
)()ln ( 22)l n ( dydx
yx
tyxdyxe yxt
)()(
)ln (
22
)l n ( dydx
yx
t
y d yx d x
yx
yx
e yxt
dx
yx
yx
yx
yxx
yx yx
22
22
)ln (
)(
22
dy
yx
yx
yx
yxy
yx yx
22
22
)ln (
)(
22
yx
yx
yx
yxx
yx
x
z yx 22
22
)ln (
)(
22
.
)ln (
)(
22
22
22
yx
yx
yx
yxy
yx
y
z yx
故
□
〖 解 〗 方法 1(链锁规则公式 )
【 例 8】 设 ),(),,(),,(),,,( xttxhyyxgzzyxfu
.dxdu求
tz
yyu
xxxx
f g h?
dx
du
x
f
dx
d
t
h
x
h
y
f?
dx
d
t
h
y
g
x
h
y
g
x
g
z
f?
方法 2(全微分形式不变性 )
dzfdyfdxfdu zyx
dxhhggfhhffdu txyxztxyx )]}([)({
dthdxhdy tx
dygdxgdz yx
dxdt
因为所以，消去 dz,dy,dt得：
从而
)].([)( txyxztxyx hhggfhhff
dx
du □
二、一阶全微分形式不变性一元函数微分形式不变性：设可微函数,
则 不论 u是否为自变量，微分形式 总是正确的。
duufdy )(
)(ufy?
这就是说：当 u为自变量，按上式计算微分；当 u为中间变量时，上式仍然正确，只是微分 du还要继续计算
，直至出现自变量的微分，计算才完成。
例如，已知 求微分,s in,ln xuuy dy
利用 微分形式不变性 解题过程是：
1、由 求得 ；uy ln? du
u
dy 1?
2、由 求得 ；xu sin? x d xdu c o s?
3、代入并消去中间变量 u得所求微分：
x d xdy c o t?
综合书写为：
du
u
dy 1?
【 解 】 由微分形式不变性得
xd
u
sin1? x dx
u
c os1? x dxc o t?
回顾微分形式不变性使得我们在计算复杂（复合 +
四则运算）函数微分时，可以分步 由外到内进行，
一次只考虑一个函数或一种运算 的微分，从而将复杂函数微分化为若干个简单函数微分来处理。此外
，利用微分形式不变性时不需区分变量间的关系，
平等地对待每个变量，容易保持解题思路清晰，避免出错。
多元函数全微分也具有形式不变性。
dvfdufdz vu
全微分形式不变性,设可微函数,则 不论 u,v是否为自变量，微分形式
),( vufz?
总是正确的。
【 证 】 当 u,v为自变量时,;dvfdufdz vu
当 u,v为中间变量，即 u=u(x,y),v=v(x,y)时，由 链锁规则 得：
dy
y
zdx
x
zdz
dy
y
vf
y
ufdx
x
vf
x
uf
vuvu
dy
y
vdx
x
vfdy
y
udx
x
uf
vu,dvfduf vu
□
利用全微分形式不变性易证全微分四则运算法则,设 u,v均为多元可微函数，
则;)( dvduvud;)( u d vv d uvud
.2
v
udvv d u
v
ud
不难看出，上述公式与一元函数情形完全一样。
正因为如此，有关 一元函数的微分公式与微分法则在求多元函数全微分时同样适用 。
【 例 9】 利用全微分形式不变性求下列函数的全微分：
),( yxxydfdz
（ 1） （ 2）,,
z
y
y
xfu );,( yxxyfz
〖 解 〗 （ 1）先介绍：下标为数字的偏导记号。
对第一个中间变量 的偏导数记为 [一般，不写成 更不要写成 ]
),( yxxyf? xyu?;1f,
xy
f
!
1?
f
对第二个中间变量 的偏导数记为yxv,2f
)(21 yxdfxydf
)()(
2
1
21 dydxfxydxyf
全微分形式不变性
)()(
2
1
21 dydxfx d yy d xxyf
.
22
2
1
2
1 dyf
xy
xf
dxf
xy
yf
（ 2）
z
y
y
xdfdu,
z
ydf
y
xdf
21
2221 z
y d zz d yf
y
x d yy d xf
.2 22121 dz
z
yfdy
y
xf
z
fdx
y
f?
□
全微分形式不变性三、高阶全微分 * —— 二元函数泰勒公式仅就二元函数 介绍高阶全微分的计算方法。计算 要点 是：
),( yxfz?
一阶全微分 dy
y
zdx
x
zdz
二阶全微分 )(2 dzdzd?
dy
y
zdx
x
zd
1、视 dx,dy常数；
2、每次微分时，自变量的增量都取好 dx,dy;
3、仅当高阶偏导连续时，相应混合偏导相等。
zdy
y
dx
x?
记
dy
y
zdx
x
zd dy
y
zddx
x
zd
dydy
y
z
dx
xy
z
dxdy
yx
z
dx
x
z
2
222
2
2
2
2
222
2
2
2
)()( dy
y
z
d x d y
xy
z
yx
z
dx
x
z
2
2
22
2
2
2
)(2)( dy
y
zd x d y
yx
zdx
x
z
二阶偏导连续
zdy
y
dx
x
)2(
记仿此，一般可得 n阶全微分
)( 1 zddzd nn )(
)(
Nnzdy
y
dx
x
n
例如，三阶全微分（三阶偏导连续）
zdy
y
dx
x
zd
)3(
3
3
3
3
2
2
3
2
2
3
3
3
3
)()(3)(3)( dy
y
zdydx
yx
zdydx
yx
zdx
x
z
参考：二项公式通项，
“幂”写成“高阶偏导”
【 例 10】 设 其中 f具有二阶连续偏导数,求
),,(2 yxeyxfxz
.,,
2
yx
z
y
z
x
z
)],([ 2 yxeyxfxddz
【 解 】 可以利用 全微分形式不变性 或 链锁规则 求一阶偏导数,
利用全微分形式不变性,因为
)]()([2 212 dydxefdydxfxx f d x yx
dxfexfxxf yx )2( 2212
dyfexfx yx )( 2212
dfxfxd 22 )(
简记为类似
),( yxeyxf f
22121121,,,,fffff
＃
所以
),(2 212 fefxxfxz yx
.2212 fexfx
y
z yx
x
z
yyx
z2
于是,
)](2[ 212 fefxxf
y
yx
x2 )( f
y?
[2x? )(
1fy?
2fe yx
yxe )( 2f
y?
]
x2 )( f
y?
[2x? 2fe yx yxe )( 2f
y?
]
x2 )( 21 fef yx [2x? )( 1211 fef yx
2fe yx
yxe )(
2221 fef yx]
21 )2(2 fxexfx yx
.22)(22112 fexfx yx
□y
fff
x
2
,,
1
21
)( 1f
y?
要点,结构相同！fff,,
21
预备知识 设有二元一次方程组
222
111
cybxa
cybxa
则当系数行列式
01221
22
11 baba
ba
ba
时，方程组有唯一解，且解为
.,
22
11
22
11
22
11
22
11
ba
ba
ca
ca
y
ba
ba
bc
bc
x
〖 解 〗 在解偏微分方程时，经常需要根据具体情形进行自变量的 换元,以简化计算过程。
【 例 11】 设,s in,c o s),,( yrxyxfz
,s inc o s rzrzxz
证明,1、;c o ss in
r
z
r
z
y
z?
这里，将直角坐标化为极坐标。
首先，选择谁为自变量，是直坐标 x,y;还是极坐标 r,θ?
取直角坐标为自变量,极坐标为中间变量。此时，变量关系为：
y
z
xr
由 链锁规则 得：
x
z
y
z
y
r
r
z
y
z
x
z
x
r
r
z
由变换
s in
c o s
ry
rx
对 x求导，视 y为常数,r,θ均为 x,y函数得：
（ 1）
（ 2）
x
r
x
r
x
r
x
r
c o ss in0
s inc o s1
解得：
c oss in
s inc os
c os0
s in1
r
r
r
r
x
r
（ 3）
（ 4）
r
r?cos?,cos
.
s in
c oss in
s inc os
0s in
1c os
r
r
rx
（ 4）
同理，（ 2）对 y求导，视 x 为常数,r,θ均为 x,y
函数得：
.c o s,s in ryyr （ 5）
将 (4),(5)代入 (1)得：
.c o ss in
r
z
r
z
y
z?
,s inc o s
r
z
r
z
x
z?
（ 6）
.1
2
2
222
z
rr
z
y
z
x
z2、
【 解 】 由 (6)
.c o ss in
r
z
r
z
y
z?
,s inc o s
r
z
r
z
x
z?
得,
.1
2
2
222
z
rr
z
y
z
x
z
.1 2
2
22
2
2
2
z
r
ur
r
r
ry
z
x
z3、
r
z
r
z
x
z?
s inc o s?
【 解 】 由再对 x求偏导,视 y为常数,视 r,θ均为 x,y的函数,
x
z
xx
z
2
2
r
z
r
z
x
s inc o s
r?
r
z
r
z?
s inc os
x
r
r
z
r
z?
s inc os
x?
r,θ的函数
＃
y
z
z
r
z
xr
,,
r?
r
z
r
z?
s inc os
x
r
r
z
r
z?
s inc os
x?
c o s
s ins in
c o s 2
2
2
2
r
z
rr
z
r
z
rr
z
r
z
r
z
r
z
s inc o ss in
s inc o s 2
22?
2
2
x
z
整理得：
2
2
2c o s
r
z
r
z
r
22s in
2
2
2
2s in
z
r;2s in
z
rr
z
r?
2s in
同理得：
2
2
y
z
2
2
2s in
r
z
r
z
r
22s in
2
2
2
2c o s
z
r;2s in
z
rr
z
r?
2c o s
2
2
x
z
2
2
r
z
2
2
2
1
z
r r
z
r?
1
两式相加得：
2
2
y
z
□
§ 5、隐函数求导法由方程直接求隐函数偏导数、
与全微分运用全微分形式不变性由方程确定的函数称为 隐函数 。当满足隐函数存在定理的条件时，可以求隐函数导数或偏导数。
隐函数求导法的核心就是如何直接由方程求出所确定的隐函数（无论能否显化）导数或偏导数。
一、单个方程情形
1、二元方程确定一个一元隐函数设二元方程 F(x,y)=0确定一个一元可导隐函数
y=f(x),则微分所给方程得：
0 dyFdxF yx
y
x
F
F
dx
dy解得：
y
x
F
F
dx
dy
xfyyxF,)(0),(
继续可求二阶导数：
y
x
F
F
dx
d
dx
dy
dx
d
dx
yd
2
2
2
y
y
x
x
y
F
dx
dF
F
dx
dF
F
2
)()(
y
yyyxxxyxxy
F
yFFFyFFF
2
)()(
y
yyyxxxyxxy
F
yFFFyFFF
3
)()(
y
xyyyyxxxxyyxxy
F
FFFFFFFFFF
3
22 )2
y
xyyyxxyyxx
F
FFFFFFF
F二阶偏导连续
〖 注 〗 二阶导数公式不必套用。实际问题中可按上述过程计算之。
＃
设三元方程 F(x,y,z)=0确定一个二元可导隐函数
z=f(x,y),则微分所给方程得：
0 dzFdyFdxF zyx
解得：
2、三元方程确定一个二元隐函数
dy
F
F
dx
F
Fdz
z
y
z
x
故
.,
z
y
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
z
x
z
x
F
F
y
z
F
F
x
z
yxfzzyxF
,:),(0),,(
〖 注 〗 其它单个方程确定的多元函数偏导数的计算可类似处理。
〖 解 〗 方法 1(一元隐函数求导法 )
【 例 12】 设 求,0s in 2 xyey x,
dx
dy
方法 2(全微分形式不变性 )
,0)2(c o s 2 x y d ydxydxey d y x
视 y为 x函数，对 x求导得：
0)2(c o s 2 yxyyeyy x
解得：
.
2c o s
2
xyy
eyy x
微分所给方程得：
.
2c o s
2
xyy
ey
dx
dy x
解得：
2
2
dx
yd
dx
dy
dx
d
xyy
ey
dx
d x
2c o s
2
2
22
)2( c o s
)2( c o s)2( c o s
xyy
xyy
dx
d
eyey
dx
d
xyy xx
现求二阶导数：
2
22
)2( c o s
)2( c o s)2( c o s
xyy
xyy
dx
d
eyey
dx
d
xyy xx
2
2
)2( c o s
)22s in()2()2( c o s
xyy
yxyyyeyeyyxyy xx
代入 y’，整理即可。 [此略 ]
【 例 13】 设 求,0 x y ze z,,,2
yx
z
y
z
x
z
〖 解 〗 方法 1（偏导数）
,0 xzxyyzxze z
在方程两边对 x求导，视 y为常数,z=z(x,y),
解得：
xye
yz
x
z
z
在方程两边对 y求导，视 x 为常数,z=z(x,y),
,0?
y
zxyxz
y
ze z
方法 2（全微分）
xye
xz
y
z
z
微分所给方程得：
,0 x y d zx z d yy z d xdze z
解得：
,
xye
x z d yy z d xdz
z?
故
,
xye
yz
x
z
z
xye
xz
y
z
z
于是，
xye
yz
yx
z
yyx
z
z
2
2)(
)())((
xye
x
y
z
eyz
y
z
yzxye
z
zz
3
2
)(
)())((
xye
yxxex z eyzx y zx y zzexye
z
zzzz
.
)(
)2(
3xye
ze
z
z
□
