课 堂 教 学 方 案课题名称：曲面上的测地线
授课时数：2
授课类型：理论课、习题课教学方法与手段：讲授、讨论教学目的要求：理解曲面上测地线的概念，会计算正交网的测地曲率，掌握一些特殊曲面测地线方程求法，了解测地线的特征.
教学重点、难点：测地线的几何意义及特征和测地线方程教学内容及组织安排：
复习：① ｋ＝ｋsin 其中＝（，） ②ｋ=k-k
③ｋ==()＝（，k，）
④ 对于正交网
ｋ=－+ 其中是切方向与u－曲线的夹角
＝－+
6.2曲面上的测地线
定义 曲面上测地曲率恒等于零的曲线称为测地线.
命题3 曲面上曲线是测地线，当且仅当曲线是直线或主法线与法线重合.
证明 ｋ＝ｋsin＝0ｋ＝0或sin＝0曲线是直线或主法线与法线重合.
推论 如果两曲面沿一曲线相切，且此曲线是一个平面的测地线，那么它也是另
一个曲面的测地线.
分析 此时两曲面有相同的法线和相同的主法线
例题1 球面上的球大圆一定是测地线.
证明1 球大圆的主法线与法线重合，所以球大圆一定是测地线
证明2 设大圆的半径为R，则曲率k＝，而法截线是球大圆，所以法曲率＝， ｋ＝＝0
下面给出曲面上测地线的（微分）方程由于＝0 i＝1，2 ＝0 （非直线的测地线有 ＝）
或＝0 ＝
＝（+）+ （P146）
两边点乘，得（+）＝0
由于g＝det（）0，于是得测地线方程
+＝0 k＝1，2
即
注 测地线方程只与第一基本量有关，所以在等距对应下测地线变测地线.
曲面r＝r（u，v）的坐标网正交时，曲面的测地线方程是一个含有三个变量u,v,
和一个自变量s的一阶微分方程组
或
注 坐标曲线时慎用第二个公式，因为可能有du＝0或dv＝0
给出初始条件u（s）＝u，v（s）＝v，（s）＝时方程组有唯一解
u＝u（s），v＝v（s），＝（s）（其中u（s）＝u，v（s）＝v确定点，
（s）＝确定方向）
定理1 对于曲面上任意一点以及给定的一个曲面的切向量，则在曲面上必存在唯
一的一条测地线通过该点切于此方向,（具有同方向的测地线必重合）
分析 由测地线方程 +＝0 k＝1，2 知道给出初始条件s＝s，u＝u，＝，也就是给出曲面的一个点和一个方向，根据微分方程理论，存在唯一一条曲线C：u＝u（s），过已知点r（u（s），u（s）），且切于给定的方向（，）
注 在曲面的同一点，具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小且测地线的曲率等于同一方向的法截线的曲率.（k ＝k+ｋ而ｋ=0）
例题2球面上的测地线一定是球大圆.
证明 由定理1知道，对于球面上任意给定点和该点的一个切方向，都可以引一条大圆
弧，大圆弧通过该点，使得大圆弧的切方向就是给定方向，而大圆弧就是测地线，由测地线
的唯一性，知道所有测地线就是大圆弧全体.
例题 3曲面的第一基本形式为I＝E（u）du+G（u）dv 求证
（1）u-曲线是测地线
（2）v-曲线是测地线的充要条件是G（u）
证明 对于u-曲线，＝0，从而d＝0，而E（u）＝0
则ｋ=－+＝0
u-曲线是测地线.
习题解答
P170 7求证旋转面的子午线（经线）是测地线.而平行圆仅当子午线的切线平行于旋
转轴时（如柱面）才是测地线.（类上例）
证明 设xz平面曲线C： 绕z轴旋转一周后得到旋转曲面的方程是
则
旋转面的u－曲线是纬线，v－曲线是经线（子午线）
对于v－曲线ｋ=＝0，经线是测地线对于u－曲线ｋ＝－＝－
若ｋ＝0，则（v）＝0，即f（v）＝常数，即纬线上任何点的母线在该点的切线与旋转轴平行.
P170 8求证：
（1）如果测地线同时也是渐近线，则它是直线.
（2）如果测地线同时也是曲率线，则它是平面曲线.
证明 （1）由k ＝k+ｋ＝0，则k＝0，所以是直线.
（2）①当曲线是直线时，当然是平面曲线
②当曲线不是直线时，由＝，可得
－k+＝＝（曲率线dr＝dn）＝0，平面曲线.
P170 12证明，若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线.
证明∥n,所以d n＝ d＝（－k+）ds（＝0）＝ kds
＝ kdr
所以是曲率线.
P170 9已知曲面的第一基本形式Ⅰ=v（du+dv ），证明它上面的测地线是uv平面的抛物线.
证明 由题设，E＝G＝v，F＝0，于是
化简得 du＝cot dv du＝2vd 所以cot dv＝2vd
积分得cos＝(C为积分常数) 于是
P170 10求正螺面r={ucosv，usinv，av }上的测地线.（练习）
解 正螺面的第一基本量为
由（2）得 cot d ＝－dln（u+a），
积分得 lnsin＝－dln（u+a）+C,于是
积分得v＝C+C取不同的常数得不同的测地线，其中C取零时，得直母线.
P170 11利用刘维尔公式证明：（1）平面上的测地线是直线；（2）圆柱面上的测地线是圆柱螺线.
证明（1）法1 对于平面Ⅰ=du+dv E＝G＝1 E＝G＝0
由测地线方程，得
所以＝C，v＝（tan）u+C 即测地线是直线,
法2 平面上任一点的任意方向作直线，则一定是过该点测地线，由测地线的唯一性，知道平面上的测地线一定是直线.
法3 r＝r（u（s），u（s））为平面的测地线，n为平面的单位 法向量则∥n 而,n ＝0，n是常向量 （ n ）＝0，即n＝0
所以＝0 ，进而k＝||＝0
（2）对于圆柱面r＝｛Rcosu，Rsinu，v｝ E＝R，F＝0，G＝1
E＝G＝0
由测地线方程，得
所以 ＝C，v＝（tan）u+C
r（u）＝｛Rcosu，Rsinu，（tan）u+C ｝为圆柱螺线.
另外直母线也是测地线.
P170 14给出曲面的第一基本形式Ⅰ=du+G（u，v）dv,如果此曲面上的测地线与u－曲线交于时，求证：
证明 E＝1，F＝0，G＝G（u，v）测地线与u-曲线的夹角为，则
sin＝
所以，
课堂练习或讨论、布置作业：P170、10
授课时数：2
授课类型：理论课、习题课教学方法与手段：讲授、讨论教学目的要求：理解曲面上测地线的概念，会计算正交网的测地曲率，掌握一些特殊曲面测地线方程求法，了解测地线的特征.
教学重点、难点：测地线的几何意义及特征和测地线方程教学内容及组织安排：
复习：① ｋ＝ｋsin 其中＝（，） ②ｋ=k-k
③ｋ==()＝（，k，）
④ 对于正交网
ｋ=－+ 其中是切方向与u－曲线的夹角
＝－+
6.2曲面上的测地线
定义 曲面上测地曲率恒等于零的曲线称为测地线.
命题3 曲面上曲线是测地线，当且仅当曲线是直线或主法线与法线重合.
证明 ｋ＝ｋsin＝0ｋ＝0或sin＝0曲线是直线或主法线与法线重合.
推论 如果两曲面沿一曲线相切，且此曲线是一个平面的测地线，那么它也是另
一个曲面的测地线.
分析 此时两曲面有相同的法线和相同的主法线
例题1 球面上的球大圆一定是测地线.
证明1 球大圆的主法线与法线重合，所以球大圆一定是测地线
证明2 设大圆的半径为R，则曲率k＝，而法截线是球大圆，所以法曲率＝， ｋ＝＝0
下面给出曲面上测地线的（微分）方程由于＝0 i＝1，2 ＝0 （非直线的测地线有 ＝）
或＝0 ＝
＝（+）+ （P146）
两边点乘，得（+）＝0
由于g＝det（）0，于是得测地线方程
+＝0 k＝1，2
即
注 测地线方程只与第一基本量有关，所以在等距对应下测地线变测地线.
曲面r＝r（u，v）的坐标网正交时，曲面的测地线方程是一个含有三个变量u,v,
和一个自变量s的一阶微分方程组
或
注 坐标曲线时慎用第二个公式，因为可能有du＝0或dv＝0
给出初始条件u（s）＝u，v（s）＝v，（s）＝时方程组有唯一解
u＝u（s），v＝v（s），＝（s）（其中u（s）＝u，v（s）＝v确定点，
（s）＝确定方向）
定理1 对于曲面上任意一点以及给定的一个曲面的切向量，则在曲面上必存在唯
一的一条测地线通过该点切于此方向,（具有同方向的测地线必重合）
分析 由测地线方程 +＝0 k＝1，2 知道给出初始条件s＝s，u＝u，＝，也就是给出曲面的一个点和一个方向，根据微分方程理论，存在唯一一条曲线C：u＝u（s），过已知点r（u（s），u（s）），且切于给定的方向（，）
注 在曲面的同一点，具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小且测地线的曲率等于同一方向的法截线的曲率.（k ＝k+ｋ而ｋ=0）
例题2球面上的测地线一定是球大圆.
证明 由定理1知道，对于球面上任意给定点和该点的一个切方向，都可以引一条大圆
弧，大圆弧通过该点，使得大圆弧的切方向就是给定方向，而大圆弧就是测地线，由测地线
的唯一性，知道所有测地线就是大圆弧全体.
例题 3曲面的第一基本形式为I＝E（u）du+G（u）dv 求证
（1）u-曲线是测地线
（2）v-曲线是测地线的充要条件是G（u）
证明 对于u-曲线，＝0，从而d＝0，而E（u）＝0
则ｋ=－+＝0
u-曲线是测地线.
习题解答
P170 7求证旋转面的子午线（经线）是测地线.而平行圆仅当子午线的切线平行于旋
转轴时（如柱面）才是测地线.（类上例）
证明 设xz平面曲线C： 绕z轴旋转一周后得到旋转曲面的方程是
则
旋转面的u－曲线是纬线，v－曲线是经线（子午线）
对于v－曲线ｋ=＝0，经线是测地线对于u－曲线ｋ＝－＝－
若ｋ＝0，则（v）＝0，即f（v）＝常数，即纬线上任何点的母线在该点的切线与旋转轴平行.
P170 8求证：
（1）如果测地线同时也是渐近线，则它是直线.
（2）如果测地线同时也是曲率线，则它是平面曲线.
证明 （1）由k ＝k+ｋ＝0，则k＝0，所以是直线.
（2）①当曲线是直线时，当然是平面曲线
②当曲线不是直线时，由＝，可得
－k+＝＝（曲率线dr＝dn）＝0，平面曲线.
P170 12证明，若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线.
证明∥n,所以d n＝ d＝（－k+）ds（＝0）＝ kds
＝ kdr
所以是曲率线.
P170 9已知曲面的第一基本形式Ⅰ=v（du+dv ），证明它上面的测地线是uv平面的抛物线.
证明 由题设，E＝G＝v，F＝0，于是
化简得 du＝cot dv du＝2vd 所以cot dv＝2vd
积分得cos＝(C为积分常数) 于是
P170 10求正螺面r={ucosv，usinv，av }上的测地线.（练习）
解 正螺面的第一基本量为
由（2）得 cot d ＝－dln（u+a），
积分得 lnsin＝－dln（u+a）+C,于是
积分得v＝C+C取不同的常数得不同的测地线，其中C取零时，得直母线.
P170 11利用刘维尔公式证明：（1）平面上的测地线是直线；（2）圆柱面上的测地线是圆柱螺线.
证明（1）法1 对于平面Ⅰ=du+dv E＝G＝1 E＝G＝0
由测地线方程，得
所以＝C，v＝（tan）u+C 即测地线是直线,
法2 平面上任一点的任意方向作直线，则一定是过该点测地线，由测地线的唯一性，知道平面上的测地线一定是直线.
法3 r＝r（u（s），u（s））为平面的测地线，n为平面的单位 法向量则∥n 而,n ＝0，n是常向量 （ n ）＝0，即n＝0
所以＝0 ，进而k＝||＝0
（2）对于圆柱面r＝｛Rcosu，Rsinu，v｝ E＝R，F＝0，G＝1
E＝G＝0
由测地线方程，得
所以 ＝C，v＝（tan）u+C
r（u）＝｛Rcosu，Rsinu，（tan）u+C ｝为圆柱螺线.
另外直母线也是测地线.
P170 14给出曲面的第一基本形式Ⅰ=du+G（u，v）dv,如果此曲面上的测地线与u－曲线交于时，求证：
证明 E＝1，F＝0，G＝G（u，v）测地线与u-曲线的夹角为，则
sin＝
所以，
课堂练习或讨论、布置作业：P170、10
