测量学第 十一章线路曲线测设本 章 学 习 要 点
1、圆曲线测设及误差规定； （重点）
2、圆曲线加缓和曲线的测设及误差规定。（重点）
3、圆曲线加缓和曲线测设资料的计算； （难点）
4、遇障碍时曲线的测设方法。 （难点）
5、任意点极坐标法测设曲线。 （难点）
测绘工程系
§ 11— 1 线路平面组成和平面位置的标志一,铁路与公路线路的平面组成：
由 直线 和 平面曲线 组成 。
平面曲线,主要有圆曲线和缓和曲线,如 图 11-1所示,
圆曲线,是具有一定曲率半径的圆弧；
缓和曲线,是连接直线与圆曲线的过渡曲线,其曲率半径由无穷大 (直线的半径 )逐渐变化为圆曲线半径。
,铁路工程技术规范,规定,在铁路干线线路中都要加设缓和曲线； 但在地方专用线,厂内线路及站场内线路中,由于列车速度不高,有时可不设缓和曲线,只设圆曲线 。
图 11-1,11-2
图 11-1 线路平面的组成二、平面位置的标志在地面上标定线路的平面位置通常用木桩：
1.方桩,用做线路中心的控制桩 (起点桩,终点桩,
ZD桩,曲线控制桩等 ),打入地下顶部与地面平齐,并在桩面上钉一小钉,以表示线路中心的位置,见 图 11-
2
2.板桩,用做 标志桩 和 里程桩 。
标志桩,标志线路的控制桩,在线路前进方向左侧约 0.3 m处打一板桩,露出地面十来厘米,用红油漆写明控制桩的名称及里程 。 见 图 11-2
里程桩 (百米桩,公里桩,曲线桩等 )标志线路中心位置 。 里程,是指该点离线路起点的距离,通常以线路起点为 K 0+000.0。 图 11-2中的 主桩为直线上的一个转点 (ZD),它的编号为 31；里程为 K 3+402.31,K
3表示 3 km； 402.31表示公里以下的米数,即注明此桩沿线路中线离开线路起点的距离为 3 402.31 m。
图 11-2
§ 11— 2 圆曲线及其主点的测设一,圆曲线概述
1,圆曲线半径
铁路,我国,新建铁路测量工程规范,和,铁路技术管理规程,中规定：
采用的圆曲线半径为,4000,3000,2500,2000、
1800,1500,1200,1000,800,700,600、
550,500,450,400和 350米 。
各级铁路曲线的最大半径为 4000米 。
Ⅰ,Ⅱ 级铁路的最小半径,在一般地区分别为
1000米和 800米,在特殊地段为 400米；
Ⅲ 级铁路的最小半径,在一般地区为 600米,在特殊困难地区为 350米 。
公路,我国,公路工程技术标准,中规定：
高速公路的最小半径：
在平原微丘区为 650米,
在山岭重丘区为 250米；
一级公路在上述两种地区 分别为 400米和 125
米；
二级公路 分别为 250米和 60米；
三级公路 分别为 125米和 30米；
四级公路 分别为 60米和 15米。
2,圆曲线主点圆曲线的主点：
ZY—— 直圆点,即直线与圆曲线的分界点；
QZ—— 曲中点,即圆曲线的中点；
YZ—— 圆直点,即圆曲线与直线的分界点 。
圆曲线的控制点：
ZY,QZ,YZ,JD。
JD—— 两直线方向的交点,也是一个重要的点,但不在线路上 。
图 11-3
圆曲线及其主点和要素图 11-3
3．圆曲线要素
T—— 切线长,即交点至直圆点或圆直点的直线长度
(JD--ZY,JD— YZ之距离 )；见 图 11-3
L—— 曲线长,即圆曲线的长度 (ZY— QZ— YZ圆弧的长度 ） ；
E0—— 外矢距,即交点至曲中点的距离 (JD至 QZ之距离 )；
α—— 转向角,即直线方向转变的水平角；
R—— 圆曲线半径 。
T,L,E0,α,R 总称为圆曲线要素,
4、圆曲线要素的计算,图 11-3
1） 公式法：
切线长曲线长外矢距
2t a n
RT
1 8 0
RL
)12( s e c2s e c0 RRRE
（ 11-1）
α和 R分别根据实际测定和线路设计时选定,可 按公式法 或 查表法 确定圆曲线的要素 T,L,E0。
2）查表法：
在,铁路曲线测设用表,（ 以下简称曲线表 ）
中以 α,R为引数,查得相应的圆曲线要素 。
[例 11-1],已知 α=55° 43′24″,R=500 m,求圆曲线各要素 T,L,E0。
解,由公式 （ 11-1） 即可得,T=264.31 m；
L=486.28 m； E0=65.56 m。
以上结果也通过曲线表查得 。
二、圆曲线主点里程计算圆曲线的主点必须标记里程,里程增加的方向为 ZY → QZ → YZ。 如 图 11-3,若已知 ZY点的里程为 K37+553.24,则 QZ及 YZ的里程可计算如下,
52.03938
14.243
2
38.79637 QZ
14.243
2
24.55337
YZ
L
L
ZY
如上例三、圆曲线主点的测设
1,在交点 (JD)安置经纬仪,如 图 11-3,
以望远镜瞄准 Ⅰ 直线方向上的一个转点,
沿该方向量切线长 T得 ZY点；
2,再以望远镜瞄准 Ⅱ 直线上的一个转点,
沿该方向量切线长 T得 YZ点；
3,平转望远镜用盘左盘右分中法得内分角线方向
( ),在该方向上量 E0得 QZ点 。
这三个主点规定用方桩加钉小钉标志点位 。2
180
§ 11— 3 圆曲线的详细测设曲线点,对圆曲线进行加密,详细测设定出曲线点 。 圆曲线的主点 ZY,QZ,YZ定出后,为在地面上标定出圆曲线的形状,还必须 进行的工作 。
曲线点的间距,一般规定,
R≥150m时 曲线点的间距为 2Om，
50m≤R<150m时 曲线点的间距为 10m。
R<50m时 曲线上每隔 5m测设一个细部点；
在点上要钉设木桩,在地形变化处还要 钉加桩 。
曲线测设,设置曲线点的工作,常用的方法有,
极坐标法,偏角法 和 切线支距法 。
极坐标法
1 8 0
· = RK
图 11-4
（ 1）偏角计算：
偏角即弦切角,偏角等于弦所对应的圆心角之半。 如 图 11-4，
ZY-1曲线长为 K,所对圆心角
180 ·
22= 1 R
K?
s in2 RC?
2
s i n2,2
2
s i n
Rc
R
c
如 图 11-8,曲线点的直角坐标（ x,y）为：
式中,R为圆曲线半径,Li为曲线点 i至 ZY（或 YZ）的曲线长，一般定为 10m,20m,3Om……,即每 10m一桩。根据
R及 Li值，即可计算相应的 xi,yi 。
0
1 8 0
)c o s1(
c o s
s i n
R
L
R
RRy
Rx
i
i
i
ii
ii
（ 11-3）
图 11-8
极坐标法（ 2）
图 11-4
1,偏角法的测设原理：
2）原理,根据偏角（?i ）
及弦长（ c）测设曲线点。
如图 11-4,从 ZY点出发,
根据偏角 δ1及弦长 C（ ZY-
1） 测设曲线点 1;
图 11-4
1）偏角,即弦切角偏角法测设圆曲线
（ 1）偏角计算：
偏角即弦切角,偏角等于弦所对应的圆心角之半。
如 图 11-4,ZY-1曲线长为 K,所对圆心角：
则相应的偏角,
1 8 0
· =
R
K
180 ·
22
= 1
R
K?
（ 2）弦长计算 (如 图 11-4)
严密计算公式：
近似计算,C? k
由于铁路曲线半径一般很大,20m的弦长与其相对应的曲线长之差很小,就用曲线长代替相应的弦长进行圆曲线测设。
弦弧差 （ 弦长与其相对应的曲线长之差 ）,
弦弧差 =Ki-Ci=Li3/ (24R2)
当 R=450m时,20m的弦弧差为 2mm，
当 R>400m时,不考虑弦弧差的影响。
s in2 RC?
2
s i n2,2
2
s i n Rc
R
c
当所测曲线各点间的距离相等时,以后各点的偏角则为第一个偏角 δ1的累计倍数。即：
1
13
12
1
3
2
1 8 0
·
22
=
n
R
K
n
（ 1
1-2）
整弦,里程为 20m倍数的两相邻曲线点间的弦长
（ 曲线点间距 20m对应的弦长 ） 。
分弦,有一端里程不为 20m倍数的两相邻曲线点间的弦长 。
通常要求曲线点设置在整数 （ 如 20m的倍数 ） 里程上,即 里程尾数 为 00,20,40,60,80m等点上 。
但曲线的 ZY点,QZ点,YZ点 常不是整数里程,因此在 曲线两端及中间出现分弦 。
例如前面例题中,ZY的里程为 37+553.24；
QZ的里程为 37+796.38;
YZ的里程为 38+039.52,
因而曲线两端及中间出现四段分弦 。 其所对应的曲线长分别为
K1=6.76m,K2=16.38m,K3=3.62m,K4=19.52m；
如 图 11-5.
图 11-5? 分弦的偏角：
K1=560.00-553.24=6.76m,相应的偏角值
K2=796.38-780.00=16.38m,相应的偏角值
K3=800.00-796.38=3.62m,相应的偏角值
K4=039.52-020.00=19.52m，相应的偏角值
180 ·
22=
1
1 R
K?
180 ·
22=
22
R
K
180 ·
22=
33
R
K
180 ·
22=
4
4 R
K
图 11-5
例,按前面算例,要求在圆曲线上每 20m测设一曲线点。
己知,ZY的里程 K37+553.24,
QZ的里程,K37+796.38,
R=500m,如 图 11-6。
正拨,偏角增加的方向与水平度盘读数增加方向一致,即顺时针方向旋转拨角 。
1） 测站设在 ZY点,以切线 ZY — JD为零方向,由 ZY—
QZ正拨偏角 。 图 11-6
图 11-6
第 1点的偏角所对应的曲线长为 6.76m,按公式 (11-2)算,
第 1点的偏角值,δ1= 23′15″。
曲线长 20m的偏角值,δ=1° 08′45″,
第 2点的偏角值,δ2=δ1+δ=1° 32′00″；
第 3点的偏角值,δ3=δ1+2δ；
第 i点的偏角值,δi =δ1+（ i-1） δ；
QZ的偏角值,δQZ=δ1+（ i-1） δ+ δ2′=13° 55′51″
= (检核 ！ ),
δ2′为 +780.00点 到 QZ点 的分弦偏角 。4a
1） 测站设在 ZY点,以 切线 ZY— JD为零方向,由 ZY—
QZ正拨偏角 。 （ 图 11-6）
表 11-1? 计算时应按里程列表计算各点的偏角值（如表 11-1）
表 11-1 偏角计算表 （正拨）
图 11-7反拨,偏角增加的方向与水平度盘读数增加方向相反,
即逆时针方向旋转拨角。
2） 测站设在 YZ点,以 切线
YZ-JD为零方向,反拨测设
YZ— QZ间的曲线点,如图 11-7。
类似上述计算方法,按里程列出各点的 偏角值 为
360° — δi (如 表 11-2)。
图 11-7
表 11-2 偏角计算表 （反拨）
360° -δi
表 11-2
3,测设方法以测站设在 ZY点为例 （ 如 图 11-6） 。
（ 1） 置镜于 ZY点上,后视 JD点方向,度盘配为 0° 00′00″；
（ 2） 转动照准部,正拨,偏角 δ1( =23′15″） ;在视线上用钢尺量出弦长 6.76m,插一测钎,定出曲线点 1；
（ 3） 转动照准部,,正拨,偏角 δ2（ =1° 32′00″） ；同时用钢尺自曲线点 1起量,以 20m分划处与准望远镜视线相交,在交点处插一测钎,定出曲线点 2；
（ 4） 拔去 1点的测钎,在地面点 1处打入一板桩,桩上用红油漆写明其里程 。
（ 5） 同法,继续前进定出曲线点 3,4,一直测设到曲中
（ QZ） 点 。
检查,4QZ
置镜于 YZ 点,(如 图 11-7),测设另一半曲线,偏角要反拨,逆时针方向转动照准部,使度盘读数为 360° -δi 。
检查,弦长丈量是从点到点如,YZ-1,1-2,2-3? i-
QZ
在 QZ点的总偏角为,
应检核所测设的 QZ点点位是否闭合,如超限,
须及时检查原因,重新测设 。
43 6 0
QZ
二、切线支距法测设圆曲线
（ 切线支距法适用于地势较平坦的地区 ）
1,测设原理,切线支距法即直角坐标法 。
(1)切线坐标系,见 图 11-8
坐标原点,曲线起点 ZY或曲线终点 YZ；
x轴,ZY或 YZ到 JD的切线方向；
y轴,过 ZY或 YZ与切线垂线的方向，即圆心方向。
图 11-8
（ 2）曲线点直角坐标的计算：
如 图 11-8,曲线点的直角坐标 （ x,y） 为：
式中,R为圆曲线半径,Li为曲线点 i至 ZY（ 或 YZ） 的曲线长,
一般定为 10m,20m,3Om,即每 10m一桩 。 根据 R及 Li值,
即可计算相应的 xi,yi 。
0
1 8 0
)c o s1(
c o s
s i n
R
L
R
RRy
Rx
i
i
i
ii
ii
（ 11-3）
图 11-8 切线支距原理 图 11-9 切线支距法测设圆曲线
（ 3）从曲线表第三册第九表中查取 (Li-xi )及 yi 值：
以 R 和 Li为引数,查取曲线长为 10m倍数的 （ Li-xi ）
及 yi 值,如表 11-3。
L
R=700 R=600 R=500
L-x y L-x y L-x y
10
20
30
40
50
0.00
0.00
0.01
0.02
0.04
0.07
0.29
0.64
1.14
1.79
0.00
0.00
0.01
0.03
0.06
0.08
0.33
0.75
1.33
2.08
0.00
0.01
0.02
0.04
0.08
0.10
0.40
0.90
1.60
2.50
表 11-3 圆曲线切线支距表
2．测设方法,
以 图 11-9为例，设在圆曲线上每 10m测设一点。
（ 1）先沿切线上每 1Om量一点,将半个曲线长度测设完毕；
（ 2）于每 10m处 回量 Li-xi,可得各曲线点在 X轴上的投影,即各曲线点的 X值；
（ 3）过各曲线点在 X轴上的投影点做切线的垂直方向，并在垂直方向上 量取 yi,即测设出圆曲线的各点。
直角的测设方法,用方向架或经纬仪拨直角测设 y轴方向。
§ 11— 4圆曲线加缓和曲线及其主点测设一,缓和曲线的概念
1,为什麽要加入缓和曲线？
(1)在曲线上高速运行的列车会产生离心力,为克服离心力的影响,铁路在曲线部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值,使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作用,从而保证列车安全运行 。
图 11-10(a).(b） 为采用外轨超高前,后的情况 。
(2)由于车辆的构造要求,内轨需加宽 (图 11-11)
外轨超高和内轨加宽都是逐渐完成,这就需要在直线与圆曲线之间加设一段过渡曲线 —— 缓和曲线,其曲率半径? 从
∞ 逐渐变化到圆曲线的半径 R。
图 11-10 外轨超高图 11-11 内轨加宽图 11-12 缓和曲线的设置
2、缓和曲线必要的前提条件（性质）：
在此曲线上任一点 P 的 曲率半径 ρ 与 曲线的长度 l成反比,如图 11-12所示,以公式表示为,ρ ∝ 1? l 或
ρ l = C (11-4)
式中,C为常数,称曲线半径变更率 。
当 l= l0 时,ρ= R,按 （ 11-4） 式,应有
C = ρ?l= R? l0 (11-5)
符合这一前提条件的曲线作为缓和曲线,常用的有 辐射螺旋线及三次抛物线,我国采用辐射螺旋线 。
3,加入缓和曲线后的铁路曲线示意图
（ 见 图 11-J）
图 11-J
二、缓和曲线方程
1,加入缓和曲线后的切线坐标系 （ 如 图 11-13）
坐标原点,以直缓 (ZH)点或缓直 (HZ)点为原点 ；
X坐标轴,直缓 (ZH)点或缓直 (HZ)点到交点 （ JD） 的切线方向；
Y坐标轴,过直缓 (ZH)点或缓直 (HZ)点与切线垂直的方向 。
根据缓和曲线必要的前提条件推导出缓和曲线上任一点的坐标 x,y为
2、缓和曲线方程式,
图 11-13
设为缓和曲线上任一点 P的切线角； x,y为 P点的坐标；
为 P 点上曲线的曲率半径； R 为圆曲线的曲率半径
l 为从 ZH点到 P 点的缓和曲线长； l0为从 ZH点到 HY点的缓和曲线总长； x0,y0 为 HY点的坐标；?0 为 HY点 的切线角 (总 )
实际应用时,舍去高次项,代入 C=R?l0,采用下列公式：
式中：
l 为缓和曲线上任一点 P到直缓 （ ZH） 点的曲线长；
R 为圆曲线半径；
l0为缓和曲线总长度 。
0
3
2
0
2
5
6
40
Rl
l
y
lR
l
lx
(11-6)
2、缓和曲线方程式,
4
9
2
5
3 4 5 640 C
l
C
llx
5
11
3
73
4 2 2 4 03366 C
l
C
l
c
ly
当 l=l0时，则 x=x0,y=y0,代入（ 11-6）式,得：
3,缓圆 (HY )点或圆缓 (YH )点的坐标,
注意：当线路为高速铁路时，计算缓和曲线点的坐标应多取一项。
R
l
y
R
l
lx
6
40
2
0
0
2
3
0
00
(11-7)
三,缓和曲线常数
1,缓和曲线的插入
前提条件,转向角不变,即直线的方向不变 。 插入的方法：
（ 1） 圆曲线半径不变,圆心内移；铁路曲线采用 。
（ 2） 圆心不动,圆曲线半径变小；公路曲线采用 。
不论哪种方法插入,所用数学公式都一样 。
图 11-14（ b） 是没有加设缓和曲线的圆曲线 。 为了在圆曲线与直线之间加入一段缓和曲线 l0,原来的圆曲线需要在 垂直于其切线的方向移动 一段距离 p,因而圆心就由 O移到 O1,而原来的半径 R
保持不变,如图 11-14（ a） 。
图 11-14
由图中可看出,1） 圆心由 O移动到 O1,O-O1在过 O1点到切线垂线上的投影为 P,P = OO1?cos ； 2） 加入了两个缓和曲线长
l0,圆曲线 L0变短了,整个曲线变长了 。 3） 切线变长了； 4） 曲线的主点有五个,直缓点 （ ZH）,缓圆点 (HY),曲中点 (QZ),圆缓点 (YH),缓直点 (HZ)。
2
2、缓和曲线常数,（见 图 11-14J）
0,?0,m,p,x0,y0 统称为缓和曲线常数：
1） 缓和曲线的总切线角?0,即在 HY（ YH） 的切线与直缓点
ZH（ HZ） 的切线交角,亦即圆曲线 HY→ YH两端各延长部分所对应的圆心角 。
2） 缓和曲线总偏角?0：即从 (ZH)测设 （ HY） 或从 (HZ)测设
(YH)的偏角 。
3） 切垂距 m,即 ZH(HZ)至自 O1向 ZH（ HZ） 的切线作垂线之垂足的距离 。
4） 圆曲线移动量 （ 内移距 ） p,即垂线长与圆曲线半径 R之差 。
5） YH点 （ HY） 坐标 x0,y0,
图 11-4J
x0,y0,?0,?0,p,m,计算式为：
1 8 0
63
2 4 02
24
1 8 0
2
00
0
2
3
00
2
0
0
0
R
l
R
ll
m
R
l
p
R
l
缓和曲线总偏角切垂距内移距缓和曲线总切线角
（ 11-8）
R
l
y
R
l
lx
YHHY
6
40
2
0
0
2
3
0
00
）点坐标（ (11-7)
根据 R及 l0,缓和曲线常数可按上式直接计算,也可以在 曲线表 中的 缓和曲线常数表 中以 R及 l0 为引数查取 。 摘录如,表 11-4
11-4 缓和曲线常数表例 11-3,R=500m,l0=60m,求缓和曲线常数。
根据 (11-7),(11-8)式计算得,(也可直接从 表 11-4查得 )。
616235 0 02 1 8 0601 8 02
0
0
0
R
l
5480136 000 Rl
mRllm 9 9 6.295 0 02 4 0 602602 4 02 2
3
2
3
00?
mRlp 3.05 0 024 6024
22
0?
m
R
l
y
m
R
l
lx
2 0 0.1
5 0 06
60
6
9 7 8.59
5 0 040
60
60
40
22
0
0
2
3
2
3
0
00
四、圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设
1,圆曲线加缓和曲线的综合要素 （ 如 图 11-14J）
切线长 T；曲线长 L(包括圆曲线长 L0及两倍缓和曲线长 2l0); 外矢距 E0 ; 切曲差 q ( 两倍切线长与曲线长之差 )
计算法,（ 综合要素 T,L,E0,等的计算公式 ）
LTq
RpRE
lRlLL
mpRT
2:)4
2
s ec)(:)3
2
1 8 0
)2(2:)2
2
t an)(:)1
0
0000
切曲差外矢距曲线长切线长
查表法当圆曲线半径 R,缓和曲线长 l0及转向角 α已知时,曲线要素 T,L,E0,q的数值可根据也可由曲线表第一,二册中第一表 (如 表 11-5)查得 。
例 11-4,已知 R=500m,l0=6Om,α=28° 36′20″,ZH点里程为 33+424.67,求综合要素及主点的里程 。
（ 1） 综合要素计算,根据式 (1-8),(11-9)式,计算得：
T=177.57+0.11-20.12=157.56m
L=349.44+0.20-40.00=309.64m
E0=16.83+0.03-0.55=16.31m
q=5.70+0.01-0.24=5.47m
以上结果,也可查表 11-5（ 综合要素表 ） 求得 。
表 11-5 综合要素表（ R=500 ）
注,上表中的栏中有两个数,为 1′与 2′之插算值，单位均为厘米。
2、计算主点里程已知,ZH点里程为 33+424.67,则有：
31.73433
60
31.67433
82.94 )
2
(
49.57933
82.94 )
2
(
67.48433
60
67.42433
0
0
0
0
HZ
l
YH
l
L
QZ
l
L
HY
l
ZH
32.7 3 433
47.5
79.7 3 933
12.3 1 5 2
67.4 2 433
HZ
q
T
ZH
检核：
3．主点测设 见 图 11-J
1） ZH点 （ 或 HZ点 ）,QZ点 HY（ YH） 点的测设方法：
置镜 JD,A,后视直线 Ⅰ 的 ZD点,在视线上钢尺量取 T得 ZH点；
再量取 （ T-x0） 得 HY点在切线上的垂足 1,打桩钉小钉；
B,后视直线 Ⅱ 的 ZD点,在视线上钢尺量取 T得 HZ
点；再量取 （ T-x0） 得 YH点在切线上的垂足 2,打桩钉小钉；
C,后视直线 Ⅰ 的 ZD点,定出 的方向线,钢尺量取 E0定出 QZ点,打桩钉小钉 。
置镜 1点 （ 2点 ）,
后视切线方向 精测直角 钢尺丈量 y0,打桩钉小钉,定出
HY点 （ 或 YH点 ） 。
2） 注意：
测设曲线点前,应先在 ZH或 HZ点安置经纬仪,核对
HY或 YH点的偏角 δ0是否正确 。
2
180
图 11-J 主点测设
1） 置镜 JD,定出 ZH,QZ,HZ,1,2点；
2） 置镜 1点（ 2点）,定出 HY,YH点。
精度要求同圆曲线,
一,偏角法测设圆曲线加缓和曲线用偏角法测设曲线,缓和曲线与圆曲线的偏角一般是分别计算的。
1、偏角法测设缓和曲线部分用偏角法测设缓和曲线时,将缓和曲线 l0分为 N等份,如 图 11-18
所示,每段曲线长 K=l0/N=10米,即每 10 m测设一点 。
各曲线点的偏角为,δ1,δ2,δN(=δ0) 。
1） 测设要素,曲线长 l=10米,代之以弦长；
偏角,δ1,δ2,δN(=δ0) 。
§ 11-5 圆曲线加缓和曲线的详细测设
2）偏角计算公式原理：设缓和曲线上任一点 A的偏角为 δ（ ∵ δ很小）：
00
0
0
0
0
2
0
00
2
1
01
2
0
2
1
0
2
1
2
0
2
1
0
2
3
3
1
2
0
2
1
0
2
2
2
0
2
1
1
0
2
0
2
0
3
3
1
266
1
)(
66
3
6
3
6
2
6
2
6
6
180
66
,
6
s i n
R
l
R
l
Rl
l
N
N
Rl
lN
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
y
l
y
N
N
缓和曲线总偏角则：代入上式又
3)缓和曲线上偏角的特性：
从 ZH点测设 A点的 偏角 为 δ，
从 A点测设 ZH点的偏角为 b,b— 反偏角，
而 A点的 切线角 为 β
∵ δ+ b+180- β=180°
δ+ b= β
又 ∵ β=3 δ
b= 3 δ - δ =2 δ；
4) 结论：见 图 11-18
A、缓和曲线上同一段弧的正反偏角与切线角的关系为：
δ?b?β=1?2?3 同样,δ0?b0?β0=1?2?3
B,缓和曲线上正偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长的平方成正比：
δi?δ1 =? = li2?l12
即,δ1? δ2?δ3?δn= l12?l22? l32 ln2
0
2
6Rl
li
0
2
1
6Rl
l
5）偏角计算：
查表计算：,见三册,第六表,缓和曲线偏角表。
以 R和 l0与 弧长 l 为引数查取 δ1?δ2?δn
注：只能纵向查最左一列（在 ZH（ HZ）置镜）
公式计算步骤：
01
2
1
2
31
2
2
021
00
0
0
32
1
3
1
180
2
N
N
R
l
N
例：设 R=500m,l0=60m,N=6，即每分段曲线长
l1=10m,ZH点里程为 K33+424.67，求算各点的偏角。
[解 ] 按前面步骤计算：
55195.541
36
54801
54801
3
61623
5 0 02
1 8 0601 8 0
2
2
0
1
0
0
0
0
N
R
l
各点偏角值列表计算如表 11-7
表 11-8 缓和曲线偏角表表 11-6 各点的偏角值计算
6） 缓和曲线测设：
如 图 11-J1
ZH 不,后视 JD，配盘 0?0?00?,
先拨角 δ0 （此图为反拨）核对 HY点是否在视线方向上。
拨角 δ1,以 起点 （ ZH）量取 10米 弦长与视线相交,
定出曲线点 1点拨角 δ2,以 1点 为圆心,10米 弦长为半径与视线相交,定出曲线点 2点。同理得 3 …… N点拨角 δN,以 N-1点 为圆心,10米 弦长为半径与视线相交,定出曲线点 N（ HY）。
并检核是否落在主点 （ HY） 上。
图 11-J1 缓和曲线测设（反拨）
2、偏角法测设圆曲线部分 （ 如 图 11-J2）
1) 经纬仪安置在 HY（ YH） 点上
2) 偏角计算和测设与单纯圆曲线相同。
问题的关键是找到测站点（ HY或 YH）的切线方向。
并使此方向为度盘零方向。
3) HY（ YH） 点的切线方向 (零方向 )的确定
A、第一种方法,转动照准部
B、第二种方法,倒转望远镜
C、第三种方法,压角法优点,可避免仪器视准误差的影响
在 HY(YH)点置镜瞄准 ZH(HZ)点,（ 图 11-J2）
反拨圆曲线：将水平盘配置成,180 ° + b0
正拨圆曲线：将水平盘配置成,180 ° - b0
转动照准部,即可按圆曲线上曲线点的偏角
（正、反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。
（水平盘读数为 0?0?00?时,为测设圆曲线的 切线方向）
A、第一种方法,转动照准部图 11-J2
B、第二种方法,倒转望远镜（ 图 11-J2）? 在 HY(YH)点置镜瞄准 ZH(HZ)点：
反拨圆曲线,将水平盘配置成,b0
正拨圆曲线,将水平盘配置成,360 ° - b0
当水平盘读数转至 0?0?00?时，倒转望远镜，视线在切线方向上,即可按圆曲线上曲线点的偏角（反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。
注意：该方法在仪器视准误差较大时,倒镜后会产生较大误差 。
C,第三种方法,压角法实测中,为了省去测设圆曲线上曲线点由于分弦与整弦累计的麻烦,常将圆曲线上第 1点的偏角方向,即 HY-1方向作为零方向 。
C、第三种方法 压角法,(? 1为圆曲线上第 1点的偏角 )
1） HY 点置镜，后视 ZH 点将水平盘配置成：
180 °? b0? δ1
（ 反拨 圆曲线为正，正拨圆曲线为负 ）见图 11-J3
2） 转动照准部 使度盘读数为
0?0?00?时，则视线在 HY— 1点的方向上；
3） 可按圆曲线上曲线点的偏角
（正、反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。 图 11-J
3
[例 1] 反拨圆曲线
HY点置镜，后视 ZH点
1） 转动照准部,
将水平盘配置成：
180 ° + b0,即可按圆曲线上曲线点的偏角（反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。
,2） 倒转望远镜,
将水平盘配置成,b0
倒转望远镜,即可按圆曲线上曲线点的偏角（反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。
图 11-J2
[例 1] （反拨圆曲线）
3）压角法,HY点置镜,后视 ZH点
A、转动照准部,将水平盘配置成,180 ° +b0+?1； 转动照准部,即可按圆曲线上曲线点 2,3…的偏角（ K=20米）
测设相应的曲线点,直到 QZ。
B,倒转望远镜,将水平盘配置成,b0 +?1； 倒转望远镜，
即可按圆曲线上曲线点 2,3…
的偏角（ K=20米） 测设相应的曲线点,直到 QZ。 图 11-J3
偏角法优点,是有校核,适用于山区；
缺点,是误差积累 。
所以测设时要注意经常校核 。
（ 要安置四次仪器 （ ZH,HY,YH,HZ）） 。
切线支距法的优点,方法简单,误差不积累；
缺点,不能发现中间点的测量错误 。
仅适用于平坦地区,不适用于山区 。
（ 要安置两次仪器 （ ZH,HZ）） 。
二、切线支距法测设圆曲线加缓和曲线实质是：直角坐标法测设曲线点位。
1、计算公式缓和曲线部分,测设点的坐标：
圆曲线部分,测设点的坐标,（ 如 图 11-9）
0
3
2
0
2
5
6
40
Rl
l
y
lR
l
lx
pRy
mRx
ii
ii
) c o s-1(
s i n
0
0 180-?
R
ll i
i
式中：
li为曲线点 i的曲线长。
li为曲线点 i的曲线长 。
pRy
mRx
ii
ii
) c o s-1(
s i n
0
0 180-?
R
ll i
i
式中：
圆曲线部分，测设点的坐标：
(JD)
图 11-19
切线支距法测设用表 （表 11-8）
表中横粗线以上的是缓和曲线部分，横粗线以下是圆曲线部分。
表中的 L即上述待定曲线点的曲线长 li 。
2．测设方法与切线支距法测设圆曲线的方法相同 。
要安置两次仪器 （ ZH,HZ） 。
图 11-9 切线支距法测设圆曲线
§ 11- 6 遇障碍时曲线的测设方法一、偏角法测设圆曲线遇障碍时的测设方法如 图 11-20,设 A为圆曲线起点,当仪器置于 A点,测完 1,2,3
点后，测点 4不通视时,可按下列步骤进行测 设,
（一）在 3点上置镜：
1、在圆曲线起 点 A准确测设 3点,在 3点打桩钉钉；
2、然后将 仪器安置 在 3点 上,后视 A点 度盘配置为 0?0?00?,倒镜；
3、松开照准部,拨 4点的偏角 δ 4（注意：如拨角 δ 3时,则望远镜视线在点 3的切线方向）；沿视线方向用 钢尺测设点 3至点 4的弦长,即 定出曲线点 4；拨点 5的偏角 δ 5,量出 4至点 5
的弦长定出曲线点 5。
结论,当置镜于圆曲线上任一点,继续向前测设时,后视已测设曲线的任一点,
将度盘安置该点的偏角值 （相对于圆曲线起点）,倒镜后,打开照准部,拨测站至所测点的偏角值,即可得到测设点的方向。
原理,对顶角相等；圆曲线上同一弧段的圆周角和弦切角相等。
（ 例,∟ 3A4= ∟ F34；?∟ EA4= δ 4,∟ A′34= δ 4 ）
图 11-20
A
′
（二）在 5点上置镜 （ 图 11-20）
若测设点 6,视线又遇障碍不通视时,可置镜于点 5继续测设,
1,事先于点 3准确测设点 5,在点 5打桩钉钉；
2,将仪器安置在点 5上,后视点 3,配盘第 3点偏角 δ 3 倒镜；
3,松开照准部拨第 6点的偏角 δ 6,沿视线方向,用钢尺测设点
5至点 6的弦长,即定出点 6；再拨第 7点的偏角 δ 7,测设 6点到 7
点的弦长且与视线相交,得点 7,… （ 望远镜后视点 3,度盘配为 δ 3角,倒镜,再转 (δ 5-δ 3)=δ 2角时,视线方向即为测点 5的切线方向,此时度盘读数为 δ 5） 。
结论,当置镜于圆曲线上任一点,继续向前测设时,后视已测设曲线的任一点,将度盘安置该点的偏角值,倒镜后,打开照准部,
拨测站至所测点的偏角值,即可得到测设点的方向 。
二,偏角法测设缓和曲线遇障碍时的测设方法如果测站设在 ZH点 (或 HZ点 )上遇障碍不能将所有分段点测完时,可在缓和曲线上已测点上置镜 。
如 图 11-21,设 B,T为缓和曲线上已定点 (已打桩,
钉钉 ),测设 F点遇障碍：
1,测设方法,置镜 T 点,后视点 B,配盘后视偏角,
倒镜,打开照准部 （ 当度盘读数为 0o时视线方向即 T
点的切线方向 ）,拨点 F 的前视偏角 (反拨 ),在视线方向上量取 10米得 F点；其它点测设类似偏角法,不同的是拨前视偏角 。
图 11-21
2,?B,?F的计算,如 图 11-21
设 B 为后视点； F为待测点 （ 前视点 ） ； T 为测站点 。
则：
式中：
)10(
1 8 0
63
5
10
50;4
10
40;3
10
30
1
0
2
1
2
0
1
111
米）为第一分段点的偏角（?
Rl
l
N
l
l
F
l
l
T
l
l
B
FTB
式中,B,T,F 也可是小数。
)2)((
)2)((
1
1
TFTF
TBBT
F
B
（ 11-15）
后视偏角,
前视偏角：
[例 11-6]:已知 R=500m,=6Om,N=6,即每段曲线长 =10m,经纬仪设在第 2点上,计算前、后视各点的偏角值。
根据前述公式得：
6.54 '1
36
" 45' 081
45081
3
16263
180
2
"
2
0
1
"'0
0
"'0
0
N
R
l
按公式 （ 11-15） 计算前后视各偏角如表 11-9：
B=0,1； T=2； F=3,4,5,6。
按公式 计算前后视各偏角如表 11-9：
B=0,1； T=2； F=3,4,5,6。
表 11-9 前后视各偏角值
)2)((
)2)((
1
1
TFTF
TBBT
F
B
[例 11-7],已知 R=2000m,l0 = 5Om,N=5,即每段曲线长
l1=10m,测站设在缓和曲线 T点上,如 图 11-24,T点距 ZH点的曲线长为 lT=35m,点号 T =lT/ l1=3.5,要求后视第二分段点 （ B=20/l 1
=2）,测设第 4,5分段点。
解,已知 l1=1Om,T=3.5,B=2,F=4,5 。
按公式或查缓和曲线常数表得,
δ 0=14′ 19″ ；
"4.3425 91'14201 N
将上列数值代入公式 (11-15)得,
后视偏角 δ 2=δ 1(3.5-2)(2+2× 3.5)=34.4″ × 1.5× 9=7′ 44″
前视偏角：
δ 4=δ 1(4-3.5)(4+2× 3.5)=34.4″ × 0.5× 11=3′ 09″
δ 5=δ 1(53.5)(5+2× 3.5)=34.4″ × 1.5× 12=10′ 19″
图 2-24
测设步骤,图 11-24
将仪器安置在 T 点后,以 δ 2=7′44″ 后视 2点,倒镜,此时度盘的 0o方向线即 T点的切线方向。
拨前视度盘读数 360o-δ 4,360o-δ 5,相应地测设弦长：
f4=10m（ T-F4）,f5=10m（ F5 - F4 ）,即定出 4,5点。
当测设缓和曲线遇障碍,测站不能设在整分段点上时，可先求出测站的点号 T=lT/ l1=3.5 (非整数 ),计算与测设 与测站为整数分段点 的方法相同。
三、控制点遇障碍时曲线的测设方法
（ 一 ） 交点不能到达的测设方法当交点 JD位于陡壁,深沟,建筑物及河流中,及转向角过大不易得出交点,或切线过长丈量切线的工作量很大时,可不设置交点,而用副交点法或导线法设置副交点代替交点 。
1,副交点法如 图 11-25,交点 JD2落于河流中 。
1） 设置,在两切线上,在 ZH 和 HZ 附近,选择两个副交点
A(JD2-1),B(JD2-2)打桩钉钉；要求,AB间通视,易于丈量 。
2） 测量,在副交点 A,B安置仪器,
测出角?1,? 2,丈量 AB边长 DAB。
图 11-25 副交点法
C
3）曲线资料的计算
（ 1） 转向角? =? 1+? 2
（ 2） 根据设计资料 R,l0和?,算出综合要素 T,L,E0,q。
（ 3） 解三角形,计算 AC,BC,BD,CD,?。
s i n
)
2
180
s i n (
2
180
180
2
180
)180s i n (
s i n
)180s i n (
s i n
21
12
BCBD
AB
BC
AB
AC
s in
s in 2BCCD?
图 11-25
4）主点测设
（ 1） ZH,HZ点的测设仪器先后置于 A,B 点上,
在切线 I上量取 (T-AC)得 ZH,
再在切线 Ⅱ 上量取 (T-BC)得
HZ。
（ 2） QZ(M)点的测设从 B点,沿 AB方向量取 BD定出 D点,
置镜 D点,拨?角找出 DC方向线,在此方向线上量取
(DC-E0)得 QZ。 图 11-25
2,导线法当 A,B两点太远,或两切线上的两个副交点互不通视时,可用导线法,将两个副交点用导线联系起来 。 （ 略 ）
（ 二 ） ZH点 （ HZ点 ） 不能到达的测设方法
（略）
11-7 任意点极坐标法测设曲线特点,这种方法灵活，效率高，宜广泛推广使用。
一,基本原理：
1,直角坐标系,坐标原点,ZH点 （ HZ）,如 图 11-29
x轴：切线 （ ZH JD）,
y轴：切线的垂线方向 。
图 11-29
2,测站点的设置：
1） 在曲线一侧 （ 内侧或外侧 ） 任选一点 E（ 与各曲线点通视 ）,
打桩,钉钉；
2） 置镜 ZH,测出以 x轴为竖轴的方位角?ZH-E及水平距离 dZH-E,
测角 两个测回；测距 往返测；测设 E点的点位打桩,钉钉；
3,计算测站 E点的坐标,据 ZH点的坐标计算测站 E点坐标
4,计算曲线点坐标；
5,反算所需的测设角度?i 及边长 di,据 xE,yE及曲线上各点坐标 xi、
yi,反算出所需的测设角度?i及边长 di。
6,极坐标法测设曲线点 。 E点置镜用极坐标法逐一测设曲线点 。
图 11-29
二、测设具体步骤及方法
[例 ],某曲线,半径 R=500m,缓和曲线长 l0=60m,
转 向 角? 右 =28° 36′ 20″,ZH 点 里 程 为,
K33+424.67,仪器置于 E点,设直角坐标系,ZH点为原点,ZH-JD为纵轴 x,测得 ZH-E边的长
d=100m,坐标方位角 =60° 。 如 图 11一 30。
解,
1,计算测站点 E的坐标
mady
madx
EZHE
EZHE
603.86254 660 8.0100s i n
000.50000 000 5.0100c os
l
2,计算测点的坐标
1） 在缓和曲线上,按 10m测设一个点,则 l=10m。 由公式
11-6计算 （ 也可查曲线表切线支距法测设用表 ） 表 11-8
例,1点的坐标,R=500,l=60,li=10,20…
0
3
2
0
2
5
6
40
Rl
l
y
lR
l
lx
my
mx
01.00 0 6.0
605 0 06
10
00.10
605 0 040
10
10
3
1
22
5
1
li=10m
my
mx
04.0
605006
20
00.20
6050040
20
20
3
2
22
5
2
li=20m
2）在圆曲线上,按 10m测设一个点,则 l=10m。由公 (11-14)
计算（也可查曲线表切线支距法测设用表） 表 11-8
pRy
mRx
ii
ii
) c o s-1(
s i n
0
0 180-?
R
ll i
i
式中：
例,7点的坐标,l0=60,?0=3° 26?15.89?,p=0.3,m=29.996m
li=70,x7=69.95,y7=1.90
li=80,x8=79.91,y8=2.80
li=90,x9=89.85,y9=3.90
li=100,x10=99.77,y10=5.19
如 表 11-10
3.反算测设角度?i 及边长 di
根据测站 E及测点 i的坐标,后视 ZH点,例求,?1,d1 。
已知?ZH-E = 60?,则,?E-ZH = 240o ；
myyxxd
E
xx
yy
EE
ZHEE
E
E
E
E
E
3 8 5.955 9 3.860 0 0.40
2312500002 4 023122 4 5
23122 4 5
)(8 2 5 1 6 4.2
40
5 9 3.86
00.5000.10
6 0 3.8601.0
t a n
222
1
2
11
11
1
1
1
1
1
）（）（）（）（
属第Ⅲ象限为原点，以
同法计算 2,3,4…各点及 QZ点的极坐标?,d,其结果列于 表 11-10中 。
表 11-10 极坐标计算结果（测站,E）
图 11-30
4、极坐标法测设曲线测设,
置镜于 E点,xE =50.OOOm,yE =86.603m。
测设半个曲线,每 1Om一个点 。 （ 如 图 11-31）
当按?QZ 及 dQZ测设曲中点时,应 与主点测设时的曲中点位置进行校核 。
以上是测设半个曲线的测设情况,即 以 ZH点为坐标原点测设至 QZ。
另半个曲线可以 HZ点为原点 按照上述同样方法进行测设。
另半个曲线的 第二种测设方法为,直接按以 ZH 为原点的支距法坐标系坐标测设，一次将整个曲线测设完成。
图 11-31
另半个曲线的第二种测设方法为,如 图 11-32以 ZH 为原点的支距法坐标系测设,一次将整个曲线测设完成 。
1） 首先将另半个曲线在支距法坐标系 HZ-x′,y′的坐标转换为在支距法坐标系 ZH -x,y的坐标 x,y,
2） 然后再算出相应的测设点的极坐标 (?,d),即可以 ZH点为后视点进行测设 。
支距法坐标系转换的通用公式为,
’
’
y
x
T
T
y
x
c o ss i n
s i n-c o s
s i n
)c o s1( （ 11-16）
式中,T— 切线长；?— 转向角；
x,y — 以 ZH为原点,切线为 x轴的测量坐标系；
x′,y′ — 以 HZ为原点，切线为 x′ 轴的测量坐标系。
图 11-32
以上两种方法比较,
第一种测设方法,分两半个曲线分别独立测设,各自选择一测站进行测设 。 因而工作量较大；
第二种测设方法,可在一个测站测完全部曲线,比较便捷 。
但 横向误差影响曲线的圆顺,须注意不能超限 。
算例,按公式 （ 11-16）,仍以 ZH点为原点,根据前例所给曲线测设数据,测站在 E点 ( )后视 ZH点,计算另半个曲线之坐标及测设数据及 d 。 计算结果见 表 11-11。
mymx EE 603.86,000.50
表 11-11 另半个曲线的坐标及测设数据
§ 11— 9 曲线测设的误差规定由于拨角及量距误差的影响,曲线由一个主点测设至另一个主点时,往往产生不闭合的现象 。
如 图 11-37,由 ZH点测设至 QZ（ M） 点时,测定的点 M′ 与原来主点测设时所定的 QZ(M)点不在同一位置,产生 闭合差 f 。
切线方向的分量为 f纵 （ 纵向闭合差 ） ；
外矢距方向分量为 f横 （ 横向闭合差 ） 。
一,曲线测设闭合差的允许值：
1.偏角法
f纵 ≤ f横 ≤ 0.1m
当曲线半径较大时,纵向闭合差可以认为主要是由于量距引起的,所以纵向允许闭合差是相对值； 横向闭合差可以认为主要是由于拨角引起的,因而横向允许闭合差是一个绝对值 。
2000
l
(l为测设两主点之间的曲线长 ) ；
图 11-37
2.极坐标法 点位误差,?10cm
二,曲线测设误差分析对曲线测设闭合差的影响最大,切线丈量精度,弦长丈量精度,偏角测设误差和转镜次数；
且曲线愈长闭合差愈大,曲线半径愈小对横向闭合差的影响愈大 。
减少误差的方法,测设曲线时：
1） 应提高切线的测量精度以确保主点测设精度,2） 减少详细测设曲线时偏角的测量误差及弦长丈量误差； 3） 对于长大曲线应增设控制点,分段测设,分段闭合,以保证曲线的测设精度 。
1、圆曲线测设及误差规定； （重点）
2、圆曲线加缓和曲线的测设及误差规定。（重点）
3、圆曲线加缓和曲线测设资料的计算； （难点）
4、遇障碍时曲线的测设方法。 （难点）
5、任意点极坐标法测设曲线。 （难点）
测绘工程系
§ 11— 1 线路平面组成和平面位置的标志一,铁路与公路线路的平面组成：
由 直线 和 平面曲线 组成 。
平面曲线,主要有圆曲线和缓和曲线,如 图 11-1所示,
圆曲线,是具有一定曲率半径的圆弧；
缓和曲线,是连接直线与圆曲线的过渡曲线,其曲率半径由无穷大 (直线的半径 )逐渐变化为圆曲线半径。
,铁路工程技术规范,规定,在铁路干线线路中都要加设缓和曲线； 但在地方专用线,厂内线路及站场内线路中,由于列车速度不高,有时可不设缓和曲线,只设圆曲线 。
图 11-1,11-2
图 11-1 线路平面的组成二、平面位置的标志在地面上标定线路的平面位置通常用木桩：
1.方桩,用做线路中心的控制桩 (起点桩,终点桩,
ZD桩,曲线控制桩等 ),打入地下顶部与地面平齐,并在桩面上钉一小钉,以表示线路中心的位置,见 图 11-
2
2.板桩,用做 标志桩 和 里程桩 。
标志桩,标志线路的控制桩,在线路前进方向左侧约 0.3 m处打一板桩,露出地面十来厘米,用红油漆写明控制桩的名称及里程 。 见 图 11-2
里程桩 (百米桩,公里桩,曲线桩等 )标志线路中心位置 。 里程,是指该点离线路起点的距离,通常以线路起点为 K 0+000.0。 图 11-2中的 主桩为直线上的一个转点 (ZD),它的编号为 31；里程为 K 3+402.31,K
3表示 3 km； 402.31表示公里以下的米数,即注明此桩沿线路中线离开线路起点的距离为 3 402.31 m。
图 11-2
§ 11— 2 圆曲线及其主点的测设一,圆曲线概述
1,圆曲线半径
铁路,我国,新建铁路测量工程规范,和,铁路技术管理规程,中规定：
采用的圆曲线半径为,4000,3000,2500,2000、
1800,1500,1200,1000,800,700,600、
550,500,450,400和 350米 。
各级铁路曲线的最大半径为 4000米 。
Ⅰ,Ⅱ 级铁路的最小半径,在一般地区分别为
1000米和 800米,在特殊地段为 400米；
Ⅲ 级铁路的最小半径,在一般地区为 600米,在特殊困难地区为 350米 。
公路,我国,公路工程技术标准,中规定：
高速公路的最小半径：
在平原微丘区为 650米,
在山岭重丘区为 250米；
一级公路在上述两种地区 分别为 400米和 125
米；
二级公路 分别为 250米和 60米；
三级公路 分别为 125米和 30米；
四级公路 分别为 60米和 15米。
2,圆曲线主点圆曲线的主点：
ZY—— 直圆点,即直线与圆曲线的分界点；
QZ—— 曲中点,即圆曲线的中点；
YZ—— 圆直点,即圆曲线与直线的分界点 。
圆曲线的控制点：
ZY,QZ,YZ,JD。
JD—— 两直线方向的交点,也是一个重要的点,但不在线路上 。
图 11-3
圆曲线及其主点和要素图 11-3
3．圆曲线要素
T—— 切线长,即交点至直圆点或圆直点的直线长度
(JD--ZY,JD— YZ之距离 )；见 图 11-3
L—— 曲线长,即圆曲线的长度 (ZY— QZ— YZ圆弧的长度 ） ；
E0—— 外矢距,即交点至曲中点的距离 (JD至 QZ之距离 )；
α—— 转向角,即直线方向转变的水平角；
R—— 圆曲线半径 。
T,L,E0,α,R 总称为圆曲线要素,
4、圆曲线要素的计算,图 11-3
1） 公式法：
切线长曲线长外矢距
2t a n
RT
1 8 0
RL
)12( s e c2s e c0 RRRE
（ 11-1）
α和 R分别根据实际测定和线路设计时选定,可 按公式法 或 查表法 确定圆曲线的要素 T,L,E0。
2）查表法：
在,铁路曲线测设用表,（ 以下简称曲线表 ）
中以 α,R为引数,查得相应的圆曲线要素 。
[例 11-1],已知 α=55° 43′24″,R=500 m,求圆曲线各要素 T,L,E0。
解,由公式 （ 11-1） 即可得,T=264.31 m；
L=486.28 m； E0=65.56 m。
以上结果也通过曲线表查得 。
二、圆曲线主点里程计算圆曲线的主点必须标记里程,里程增加的方向为 ZY → QZ → YZ。 如 图 11-3,若已知 ZY点的里程为 K37+553.24,则 QZ及 YZ的里程可计算如下,
52.03938
14.243
2
38.79637 QZ
14.243
2
24.55337
YZ
L
L
ZY
如上例三、圆曲线主点的测设
1,在交点 (JD)安置经纬仪,如 图 11-3,
以望远镜瞄准 Ⅰ 直线方向上的一个转点,
沿该方向量切线长 T得 ZY点；
2,再以望远镜瞄准 Ⅱ 直线上的一个转点,
沿该方向量切线长 T得 YZ点；
3,平转望远镜用盘左盘右分中法得内分角线方向
( ),在该方向上量 E0得 QZ点 。
这三个主点规定用方桩加钉小钉标志点位 。2
180
§ 11— 3 圆曲线的详细测设曲线点,对圆曲线进行加密,详细测设定出曲线点 。 圆曲线的主点 ZY,QZ,YZ定出后,为在地面上标定出圆曲线的形状,还必须 进行的工作 。
曲线点的间距,一般规定,
R≥150m时 曲线点的间距为 2Om，
50m≤R<150m时 曲线点的间距为 10m。
R<50m时 曲线上每隔 5m测设一个细部点；
在点上要钉设木桩,在地形变化处还要 钉加桩 。
曲线测设,设置曲线点的工作,常用的方法有,
极坐标法,偏角法 和 切线支距法 。
极坐标法
1 8 0
· = RK
图 11-4
（ 1）偏角计算：
偏角即弦切角,偏角等于弦所对应的圆心角之半。 如 图 11-4，
ZY-1曲线长为 K,所对圆心角
180 ·
22= 1 R
K?
s in2 RC?
2
s i n2,2
2
s i n
Rc
R
c
如 图 11-8,曲线点的直角坐标（ x,y）为：
式中,R为圆曲线半径,Li为曲线点 i至 ZY（或 YZ）的曲线长，一般定为 10m,20m,3Om……,即每 10m一桩。根据
R及 Li值，即可计算相应的 xi,yi 。
0
1 8 0
)c o s1(
c o s
s i n
R
L
R
RRy
Rx
i
i
i
ii
ii
（ 11-3）
图 11-8
极坐标法（ 2）
图 11-4
1,偏角法的测设原理：
2）原理,根据偏角（?i ）
及弦长（ c）测设曲线点。
如图 11-4,从 ZY点出发,
根据偏角 δ1及弦长 C（ ZY-
1） 测设曲线点 1;
图 11-4
1）偏角,即弦切角偏角法测设圆曲线
（ 1）偏角计算：
偏角即弦切角,偏角等于弦所对应的圆心角之半。
如 图 11-4,ZY-1曲线长为 K,所对圆心角：
则相应的偏角,
1 8 0
· =
R
K
180 ·
22
= 1
R
K?
（ 2）弦长计算 (如 图 11-4)
严密计算公式：
近似计算,C? k
由于铁路曲线半径一般很大,20m的弦长与其相对应的曲线长之差很小,就用曲线长代替相应的弦长进行圆曲线测设。
弦弧差 （ 弦长与其相对应的曲线长之差 ）,
弦弧差 =Ki-Ci=Li3/ (24R2)
当 R=450m时,20m的弦弧差为 2mm，
当 R>400m时,不考虑弦弧差的影响。
s in2 RC?
2
s i n2,2
2
s i n Rc
R
c
当所测曲线各点间的距离相等时,以后各点的偏角则为第一个偏角 δ1的累计倍数。即：
1
13
12
1
3
2
1 8 0
·
22
=
n
R
K
n
（ 1
1-2）
整弦,里程为 20m倍数的两相邻曲线点间的弦长
（ 曲线点间距 20m对应的弦长 ） 。
分弦,有一端里程不为 20m倍数的两相邻曲线点间的弦长 。
通常要求曲线点设置在整数 （ 如 20m的倍数 ） 里程上,即 里程尾数 为 00,20,40,60,80m等点上 。
但曲线的 ZY点,QZ点,YZ点 常不是整数里程,因此在 曲线两端及中间出现分弦 。
例如前面例题中,ZY的里程为 37+553.24；
QZ的里程为 37+796.38;
YZ的里程为 38+039.52,
因而曲线两端及中间出现四段分弦 。 其所对应的曲线长分别为
K1=6.76m,K2=16.38m,K3=3.62m,K4=19.52m；
如 图 11-5.
图 11-5? 分弦的偏角：
K1=560.00-553.24=6.76m,相应的偏角值
K2=796.38-780.00=16.38m,相应的偏角值
K3=800.00-796.38=3.62m,相应的偏角值
K4=039.52-020.00=19.52m，相应的偏角值
180 ·
22=
1
1 R
K?
180 ·
22=
22
R
K
180 ·
22=
33
R
K
180 ·
22=
4
4 R
K
图 11-5
例,按前面算例,要求在圆曲线上每 20m测设一曲线点。
己知,ZY的里程 K37+553.24,
QZ的里程,K37+796.38,
R=500m,如 图 11-6。
正拨,偏角增加的方向与水平度盘读数增加方向一致,即顺时针方向旋转拨角 。
1） 测站设在 ZY点,以切线 ZY — JD为零方向,由 ZY—
QZ正拨偏角 。 图 11-6
图 11-6
第 1点的偏角所对应的曲线长为 6.76m,按公式 (11-2)算,
第 1点的偏角值,δ1= 23′15″。
曲线长 20m的偏角值,δ=1° 08′45″,
第 2点的偏角值,δ2=δ1+δ=1° 32′00″；
第 3点的偏角值,δ3=δ1+2δ；
第 i点的偏角值,δi =δ1+（ i-1） δ；
QZ的偏角值,δQZ=δ1+（ i-1） δ+ δ2′=13° 55′51″
= (检核 ！ ),
δ2′为 +780.00点 到 QZ点 的分弦偏角 。4a
1） 测站设在 ZY点,以 切线 ZY— JD为零方向,由 ZY—
QZ正拨偏角 。 （ 图 11-6）
表 11-1? 计算时应按里程列表计算各点的偏角值（如表 11-1）
表 11-1 偏角计算表 （正拨）
图 11-7反拨,偏角增加的方向与水平度盘读数增加方向相反,
即逆时针方向旋转拨角。
2） 测站设在 YZ点,以 切线
YZ-JD为零方向,反拨测设
YZ— QZ间的曲线点,如图 11-7。
类似上述计算方法,按里程列出各点的 偏角值 为
360° — δi (如 表 11-2)。
图 11-7
表 11-2 偏角计算表 （反拨）
360° -δi
表 11-2
3,测设方法以测站设在 ZY点为例 （ 如 图 11-6） 。
（ 1） 置镜于 ZY点上,后视 JD点方向,度盘配为 0° 00′00″；
（ 2） 转动照准部,正拨,偏角 δ1( =23′15″） ;在视线上用钢尺量出弦长 6.76m,插一测钎,定出曲线点 1；
（ 3） 转动照准部,,正拨,偏角 δ2（ =1° 32′00″） ；同时用钢尺自曲线点 1起量,以 20m分划处与准望远镜视线相交,在交点处插一测钎,定出曲线点 2；
（ 4） 拔去 1点的测钎,在地面点 1处打入一板桩,桩上用红油漆写明其里程 。
（ 5） 同法,继续前进定出曲线点 3,4,一直测设到曲中
（ QZ） 点 。
检查,4QZ
置镜于 YZ 点,(如 图 11-7),测设另一半曲线,偏角要反拨,逆时针方向转动照准部,使度盘读数为 360° -δi 。
检查,弦长丈量是从点到点如,YZ-1,1-2,2-3? i-
QZ
在 QZ点的总偏角为,
应检核所测设的 QZ点点位是否闭合,如超限,
须及时检查原因,重新测设 。
43 6 0
QZ
二、切线支距法测设圆曲线
（ 切线支距法适用于地势较平坦的地区 ）
1,测设原理,切线支距法即直角坐标法 。
(1)切线坐标系,见 图 11-8
坐标原点,曲线起点 ZY或曲线终点 YZ；
x轴,ZY或 YZ到 JD的切线方向；
y轴,过 ZY或 YZ与切线垂线的方向，即圆心方向。
图 11-8
（ 2）曲线点直角坐标的计算：
如 图 11-8,曲线点的直角坐标 （ x,y） 为：
式中,R为圆曲线半径,Li为曲线点 i至 ZY（ 或 YZ） 的曲线长,
一般定为 10m,20m,3Om,即每 10m一桩 。 根据 R及 Li值,
即可计算相应的 xi,yi 。
0
1 8 0
)c o s1(
c o s
s i n
R
L
R
RRy
Rx
i
i
i
ii
ii
（ 11-3）
图 11-8 切线支距原理 图 11-9 切线支距法测设圆曲线
（ 3）从曲线表第三册第九表中查取 (Li-xi )及 yi 值：
以 R 和 Li为引数,查取曲线长为 10m倍数的 （ Li-xi ）
及 yi 值,如表 11-3。
L
R=700 R=600 R=500
L-x y L-x y L-x y
10
20
30
40
50
0.00
0.00
0.01
0.02
0.04
0.07
0.29
0.64
1.14
1.79
0.00
0.00
0.01
0.03
0.06
0.08
0.33
0.75
1.33
2.08
0.00
0.01
0.02
0.04
0.08
0.10
0.40
0.90
1.60
2.50
表 11-3 圆曲线切线支距表
2．测设方法,
以 图 11-9为例，设在圆曲线上每 10m测设一点。
（ 1）先沿切线上每 1Om量一点,将半个曲线长度测设完毕；
（ 2）于每 10m处 回量 Li-xi,可得各曲线点在 X轴上的投影,即各曲线点的 X值；
（ 3）过各曲线点在 X轴上的投影点做切线的垂直方向，并在垂直方向上 量取 yi,即测设出圆曲线的各点。
直角的测设方法,用方向架或经纬仪拨直角测设 y轴方向。
§ 11— 4圆曲线加缓和曲线及其主点测设一,缓和曲线的概念
1,为什麽要加入缓和曲线？
(1)在曲线上高速运行的列车会产生离心力,为克服离心力的影响,铁路在曲线部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值,使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作用,从而保证列车安全运行 。
图 11-10(a).(b） 为采用外轨超高前,后的情况 。
(2)由于车辆的构造要求,内轨需加宽 (图 11-11)
外轨超高和内轨加宽都是逐渐完成,这就需要在直线与圆曲线之间加设一段过渡曲线 —— 缓和曲线,其曲率半径? 从
∞ 逐渐变化到圆曲线的半径 R。
图 11-10 外轨超高图 11-11 内轨加宽图 11-12 缓和曲线的设置
2、缓和曲线必要的前提条件（性质）：
在此曲线上任一点 P 的 曲率半径 ρ 与 曲线的长度 l成反比,如图 11-12所示,以公式表示为,ρ ∝ 1? l 或
ρ l = C (11-4)
式中,C为常数,称曲线半径变更率 。
当 l= l0 时,ρ= R,按 （ 11-4） 式,应有
C = ρ?l= R? l0 (11-5)
符合这一前提条件的曲线作为缓和曲线,常用的有 辐射螺旋线及三次抛物线,我国采用辐射螺旋线 。
3,加入缓和曲线后的铁路曲线示意图
（ 见 图 11-J）
图 11-J
二、缓和曲线方程
1,加入缓和曲线后的切线坐标系 （ 如 图 11-13）
坐标原点,以直缓 (ZH)点或缓直 (HZ)点为原点 ；
X坐标轴,直缓 (ZH)点或缓直 (HZ)点到交点 （ JD） 的切线方向；
Y坐标轴,过直缓 (ZH)点或缓直 (HZ)点与切线垂直的方向 。
根据缓和曲线必要的前提条件推导出缓和曲线上任一点的坐标 x,y为
2、缓和曲线方程式,
图 11-13
设为缓和曲线上任一点 P的切线角； x,y为 P点的坐标；
为 P 点上曲线的曲率半径； R 为圆曲线的曲率半径
l 为从 ZH点到 P 点的缓和曲线长； l0为从 ZH点到 HY点的缓和曲线总长； x0,y0 为 HY点的坐标；?0 为 HY点 的切线角 (总 )
实际应用时,舍去高次项,代入 C=R?l0,采用下列公式：
式中：
l 为缓和曲线上任一点 P到直缓 （ ZH） 点的曲线长；
R 为圆曲线半径；
l0为缓和曲线总长度 。
0
3
2
0
2
5
6
40
Rl
l
y
lR
l
lx
(11-6)
2、缓和曲线方程式,
4
9
2
5
3 4 5 640 C
l
C
llx
5
11
3
73
4 2 2 4 03366 C
l
C
l
c
ly
当 l=l0时，则 x=x0,y=y0,代入（ 11-6）式,得：
3,缓圆 (HY )点或圆缓 (YH )点的坐标,
注意：当线路为高速铁路时，计算缓和曲线点的坐标应多取一项。
R
l
y
R
l
lx
6
40
2
0
0
2
3
0
00
(11-7)
三,缓和曲线常数
1,缓和曲线的插入
前提条件,转向角不变,即直线的方向不变 。 插入的方法：
（ 1） 圆曲线半径不变,圆心内移；铁路曲线采用 。
（ 2） 圆心不动,圆曲线半径变小；公路曲线采用 。
不论哪种方法插入,所用数学公式都一样 。
图 11-14（ b） 是没有加设缓和曲线的圆曲线 。 为了在圆曲线与直线之间加入一段缓和曲线 l0,原来的圆曲线需要在 垂直于其切线的方向移动 一段距离 p,因而圆心就由 O移到 O1,而原来的半径 R
保持不变,如图 11-14（ a） 。
图 11-14
由图中可看出,1） 圆心由 O移动到 O1,O-O1在过 O1点到切线垂线上的投影为 P,P = OO1?cos ； 2） 加入了两个缓和曲线长
l0,圆曲线 L0变短了,整个曲线变长了 。 3） 切线变长了； 4） 曲线的主点有五个,直缓点 （ ZH）,缓圆点 (HY),曲中点 (QZ),圆缓点 (YH),缓直点 (HZ)。
2
2、缓和曲线常数,（见 图 11-14J）
0,?0,m,p,x0,y0 统称为缓和曲线常数：
1） 缓和曲线的总切线角?0,即在 HY（ YH） 的切线与直缓点
ZH（ HZ） 的切线交角,亦即圆曲线 HY→ YH两端各延长部分所对应的圆心角 。
2） 缓和曲线总偏角?0：即从 (ZH)测设 （ HY） 或从 (HZ)测设
(YH)的偏角 。
3） 切垂距 m,即 ZH(HZ)至自 O1向 ZH（ HZ） 的切线作垂线之垂足的距离 。
4） 圆曲线移动量 （ 内移距 ） p,即垂线长与圆曲线半径 R之差 。
5） YH点 （ HY） 坐标 x0,y0,
图 11-4J
x0,y0,?0,?0,p,m,计算式为：
1 8 0
63
2 4 02
24
1 8 0
2
00
0
2
3
00
2
0
0
0
R
l
R
ll
m
R
l
p
R
l
缓和曲线总偏角切垂距内移距缓和曲线总切线角
（ 11-8）
R
l
y
R
l
lx
YHHY
6
40
2
0
0
2
3
0
00
）点坐标（ (11-7)
根据 R及 l0,缓和曲线常数可按上式直接计算,也可以在 曲线表 中的 缓和曲线常数表 中以 R及 l0 为引数查取 。 摘录如,表 11-4
11-4 缓和曲线常数表例 11-3,R=500m,l0=60m,求缓和曲线常数。
根据 (11-7),(11-8)式计算得,(也可直接从 表 11-4查得 )。
616235 0 02 1 8 0601 8 02
0
0
0
R
l
5480136 000 Rl
mRllm 9 9 6.295 0 02 4 0 602602 4 02 2
3
2
3
00?
mRlp 3.05 0 024 6024
22
0?
m
R
l
y
m
R
l
lx
2 0 0.1
5 0 06
60
6
9 7 8.59
5 0 040
60
60
40
22
0
0
2
3
2
3
0
00
四、圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设
1,圆曲线加缓和曲线的综合要素 （ 如 图 11-14J）
切线长 T；曲线长 L(包括圆曲线长 L0及两倍缓和曲线长 2l0); 外矢距 E0 ; 切曲差 q ( 两倍切线长与曲线长之差 )
计算法,（ 综合要素 T,L,E0,等的计算公式 ）
LTq
RpRE
lRlLL
mpRT
2:)4
2
s ec)(:)3
2
1 8 0
)2(2:)2
2
t an)(:)1
0
0000
切曲差外矢距曲线长切线长
查表法当圆曲线半径 R,缓和曲线长 l0及转向角 α已知时,曲线要素 T,L,E0,q的数值可根据也可由曲线表第一,二册中第一表 (如 表 11-5)查得 。
例 11-4,已知 R=500m,l0=6Om,α=28° 36′20″,ZH点里程为 33+424.67,求综合要素及主点的里程 。
（ 1） 综合要素计算,根据式 (1-8),(11-9)式,计算得：
T=177.57+0.11-20.12=157.56m
L=349.44+0.20-40.00=309.64m
E0=16.83+0.03-0.55=16.31m
q=5.70+0.01-0.24=5.47m
以上结果,也可查表 11-5（ 综合要素表 ） 求得 。
表 11-5 综合要素表（ R=500 ）
注,上表中的栏中有两个数,为 1′与 2′之插算值，单位均为厘米。
2、计算主点里程已知,ZH点里程为 33+424.67,则有：
31.73433
60
31.67433
82.94 )
2
(
49.57933
82.94 )
2
(
67.48433
60
67.42433
0
0
0
0
HZ
l
YH
l
L
QZ
l
L
HY
l
ZH
32.7 3 433
47.5
79.7 3 933
12.3 1 5 2
67.4 2 433
HZ
q
T
ZH
检核：
3．主点测设 见 图 11-J
1） ZH点 （ 或 HZ点 ）,QZ点 HY（ YH） 点的测设方法：
置镜 JD,A,后视直线 Ⅰ 的 ZD点,在视线上钢尺量取 T得 ZH点；
再量取 （ T-x0） 得 HY点在切线上的垂足 1,打桩钉小钉；
B,后视直线 Ⅱ 的 ZD点,在视线上钢尺量取 T得 HZ
点；再量取 （ T-x0） 得 YH点在切线上的垂足 2,打桩钉小钉；
C,后视直线 Ⅰ 的 ZD点,定出 的方向线,钢尺量取 E0定出 QZ点,打桩钉小钉 。
置镜 1点 （ 2点 ）,
后视切线方向 精测直角 钢尺丈量 y0,打桩钉小钉,定出
HY点 （ 或 YH点 ） 。
2） 注意：
测设曲线点前,应先在 ZH或 HZ点安置经纬仪,核对
HY或 YH点的偏角 δ0是否正确 。
2
180
图 11-J 主点测设
1） 置镜 JD,定出 ZH,QZ,HZ,1,2点；
2） 置镜 1点（ 2点）,定出 HY,YH点。
精度要求同圆曲线,
一,偏角法测设圆曲线加缓和曲线用偏角法测设曲线,缓和曲线与圆曲线的偏角一般是分别计算的。
1、偏角法测设缓和曲线部分用偏角法测设缓和曲线时,将缓和曲线 l0分为 N等份,如 图 11-18
所示,每段曲线长 K=l0/N=10米,即每 10 m测设一点 。
各曲线点的偏角为,δ1,δ2,δN(=δ0) 。
1） 测设要素,曲线长 l=10米,代之以弦长；
偏角,δ1,δ2,δN(=δ0) 。
§ 11-5 圆曲线加缓和曲线的详细测设
2）偏角计算公式原理：设缓和曲线上任一点 A的偏角为 δ（ ∵ δ很小）：
00
0
0
0
0
2
0
00
2
1
01
2
0
2
1
0
2
1
2
0
2
1
0
2
3
3
1
2
0
2
1
0
2
2
2
0
2
1
1
0
2
0
2
0
3
3
1
266
1
)(
66
3
6
3
6
2
6
2
6
6
180
66
,
6
s i n
R
l
R
l
Rl
l
N
N
Rl
lN
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
Rl
l
y
l
y
N
N
缓和曲线总偏角则：代入上式又
3)缓和曲线上偏角的特性：
从 ZH点测设 A点的 偏角 为 δ，
从 A点测设 ZH点的偏角为 b,b— 反偏角，
而 A点的 切线角 为 β
∵ δ+ b+180- β=180°
δ+ b= β
又 ∵ β=3 δ
b= 3 δ - δ =2 δ；
4) 结论：见 图 11-18
A、缓和曲线上同一段弧的正反偏角与切线角的关系为：
δ?b?β=1?2?3 同样,δ0?b0?β0=1?2?3
B,缓和曲线上正偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长的平方成正比：
δi?δ1 =? = li2?l12
即,δ1? δ2?δ3?δn= l12?l22? l32 ln2
0
2
6Rl
li
0
2
1
6Rl
l
5）偏角计算：
查表计算：,见三册,第六表,缓和曲线偏角表。
以 R和 l0与 弧长 l 为引数查取 δ1?δ2?δn
注：只能纵向查最左一列（在 ZH（ HZ）置镜）
公式计算步骤：
01
2
1
2
31
2
2
021
00
0
0
32
1
3
1
180
2
N
N
R
l
N
例：设 R=500m,l0=60m,N=6，即每分段曲线长
l1=10m,ZH点里程为 K33+424.67，求算各点的偏角。
[解 ] 按前面步骤计算：
55195.541
36
54801
54801
3
61623
5 0 02
1 8 0601 8 0
2
2
0
1
0
0
0
0
N
R
l
各点偏角值列表计算如表 11-7
表 11-8 缓和曲线偏角表表 11-6 各点的偏角值计算
6） 缓和曲线测设：
如 图 11-J1
ZH 不,后视 JD，配盘 0?0?00?,
先拨角 δ0 （此图为反拨）核对 HY点是否在视线方向上。
拨角 δ1,以 起点 （ ZH）量取 10米 弦长与视线相交,
定出曲线点 1点拨角 δ2,以 1点 为圆心,10米 弦长为半径与视线相交,定出曲线点 2点。同理得 3 …… N点拨角 δN,以 N-1点 为圆心,10米 弦长为半径与视线相交,定出曲线点 N（ HY）。
并检核是否落在主点 （ HY） 上。
图 11-J1 缓和曲线测设（反拨）
2、偏角法测设圆曲线部分 （ 如 图 11-J2）
1) 经纬仪安置在 HY（ YH） 点上
2) 偏角计算和测设与单纯圆曲线相同。
问题的关键是找到测站点（ HY或 YH）的切线方向。
并使此方向为度盘零方向。
3) HY（ YH） 点的切线方向 (零方向 )的确定
A、第一种方法,转动照准部
B、第二种方法,倒转望远镜
C、第三种方法,压角法优点,可避免仪器视准误差的影响
在 HY(YH)点置镜瞄准 ZH(HZ)点,（ 图 11-J2）
反拨圆曲线：将水平盘配置成,180 ° + b0
正拨圆曲线：将水平盘配置成,180 ° - b0
转动照准部,即可按圆曲线上曲线点的偏角
（正、反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。
（水平盘读数为 0?0?00?时,为测设圆曲线的 切线方向）
A、第一种方法,转动照准部图 11-J2
B、第二种方法,倒转望远镜（ 图 11-J2）? 在 HY(YH)点置镜瞄准 ZH(HZ)点：
反拨圆曲线,将水平盘配置成,b0
正拨圆曲线,将水平盘配置成,360 ° - b0
当水平盘读数转至 0?0?00?时，倒转望远镜，视线在切线方向上,即可按圆曲线上曲线点的偏角（反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。
注意：该方法在仪器视准误差较大时,倒镜后会产生较大误差 。
C,第三种方法,压角法实测中,为了省去测设圆曲线上曲线点由于分弦与整弦累计的麻烦,常将圆曲线上第 1点的偏角方向,即 HY-1方向作为零方向 。
C、第三种方法 压角法,(? 1为圆曲线上第 1点的偏角 )
1） HY 点置镜，后视 ZH 点将水平盘配置成：
180 °? b0? δ1
（ 反拨 圆曲线为正，正拨圆曲线为负 ）见图 11-J3
2） 转动照准部 使度盘读数为
0?0?00?时，则视线在 HY— 1点的方向上；
3） 可按圆曲线上曲线点的偏角
（正、反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。 图 11-J
3
[例 1] 反拨圆曲线
HY点置镜，后视 ZH点
1） 转动照准部,
将水平盘配置成：
180 ° + b0,即可按圆曲线上曲线点的偏角（反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。
,2） 倒转望远镜,
将水平盘配置成,b0
倒转望远镜,即可按圆曲线上曲线点的偏角（反拨值）测设相应的曲线点,直到 QZ。
图 11-J2
[例 1] （反拨圆曲线）
3）压角法,HY点置镜,后视 ZH点
A、转动照准部,将水平盘配置成,180 ° +b0+?1； 转动照准部,即可按圆曲线上曲线点 2,3…的偏角（ K=20米）
测设相应的曲线点,直到 QZ。
B,倒转望远镜,将水平盘配置成,b0 +?1； 倒转望远镜，
即可按圆曲线上曲线点 2,3…
的偏角（ K=20米） 测设相应的曲线点,直到 QZ。 图 11-J3
偏角法优点,是有校核,适用于山区；
缺点,是误差积累 。
所以测设时要注意经常校核 。
（ 要安置四次仪器 （ ZH,HY,YH,HZ）） 。
切线支距法的优点,方法简单,误差不积累；
缺点,不能发现中间点的测量错误 。
仅适用于平坦地区,不适用于山区 。
（ 要安置两次仪器 （ ZH,HZ）） 。
二、切线支距法测设圆曲线加缓和曲线实质是：直角坐标法测设曲线点位。
1、计算公式缓和曲线部分,测设点的坐标：
圆曲线部分,测设点的坐标,（ 如 图 11-9）
0
3
2
0
2
5
6
40
Rl
l
y
lR
l
lx
pRy
mRx
ii
ii
) c o s-1(
s i n
0
0 180-?
R
ll i
i
式中：
li为曲线点 i的曲线长。
li为曲线点 i的曲线长 。
pRy
mRx
ii
ii
) c o s-1(
s i n
0
0 180-?
R
ll i
i
式中：
圆曲线部分，测设点的坐标：
(JD)
图 11-19
切线支距法测设用表 （表 11-8）
表中横粗线以上的是缓和曲线部分，横粗线以下是圆曲线部分。
表中的 L即上述待定曲线点的曲线长 li 。
2．测设方法与切线支距法测设圆曲线的方法相同 。
要安置两次仪器 （ ZH,HZ） 。
图 11-9 切线支距法测设圆曲线
§ 11- 6 遇障碍时曲线的测设方法一、偏角法测设圆曲线遇障碍时的测设方法如 图 11-20,设 A为圆曲线起点,当仪器置于 A点,测完 1,2,3
点后，测点 4不通视时,可按下列步骤进行测 设,
（一）在 3点上置镜：
1、在圆曲线起 点 A准确测设 3点,在 3点打桩钉钉；
2、然后将 仪器安置 在 3点 上,后视 A点 度盘配置为 0?0?00?,倒镜；
3、松开照准部,拨 4点的偏角 δ 4（注意：如拨角 δ 3时,则望远镜视线在点 3的切线方向）；沿视线方向用 钢尺测设点 3至点 4的弦长,即 定出曲线点 4；拨点 5的偏角 δ 5,量出 4至点 5
的弦长定出曲线点 5。
结论,当置镜于圆曲线上任一点,继续向前测设时,后视已测设曲线的任一点,
将度盘安置该点的偏角值 （相对于圆曲线起点）,倒镜后,打开照准部,拨测站至所测点的偏角值,即可得到测设点的方向。
原理,对顶角相等；圆曲线上同一弧段的圆周角和弦切角相等。
（ 例,∟ 3A4= ∟ F34；?∟ EA4= δ 4,∟ A′34= δ 4 ）
图 11-20
A
′
（二）在 5点上置镜 （ 图 11-20）
若测设点 6,视线又遇障碍不通视时,可置镜于点 5继续测设,
1,事先于点 3准确测设点 5,在点 5打桩钉钉；
2,将仪器安置在点 5上,后视点 3,配盘第 3点偏角 δ 3 倒镜；
3,松开照准部拨第 6点的偏角 δ 6,沿视线方向,用钢尺测设点
5至点 6的弦长,即定出点 6；再拨第 7点的偏角 δ 7,测设 6点到 7
点的弦长且与视线相交,得点 7,… （ 望远镜后视点 3,度盘配为 δ 3角,倒镜,再转 (δ 5-δ 3)=δ 2角时,视线方向即为测点 5的切线方向,此时度盘读数为 δ 5） 。
结论,当置镜于圆曲线上任一点,继续向前测设时,后视已测设曲线的任一点,将度盘安置该点的偏角值,倒镜后,打开照准部,
拨测站至所测点的偏角值,即可得到测设点的方向 。
二,偏角法测设缓和曲线遇障碍时的测设方法如果测站设在 ZH点 (或 HZ点 )上遇障碍不能将所有分段点测完时,可在缓和曲线上已测点上置镜 。
如 图 11-21,设 B,T为缓和曲线上已定点 (已打桩,
钉钉 ),测设 F点遇障碍：
1,测设方法,置镜 T 点,后视点 B,配盘后视偏角,
倒镜,打开照准部 （ 当度盘读数为 0o时视线方向即 T
点的切线方向 ）,拨点 F 的前视偏角 (反拨 ),在视线方向上量取 10米得 F点；其它点测设类似偏角法,不同的是拨前视偏角 。
图 11-21
2,?B,?F的计算,如 图 11-21
设 B 为后视点； F为待测点 （ 前视点 ） ； T 为测站点 。
则：
式中：
)10(
1 8 0
63
5
10
50;4
10
40;3
10
30
1
0
2
1
2
0
1
111
米）为第一分段点的偏角（?
Rl
l
N
l
l
F
l
l
T
l
l
B
FTB
式中,B,T,F 也可是小数。
)2)((
)2)((
1
1
TFTF
TBBT
F
B
（ 11-15）
后视偏角,
前视偏角：
[例 11-6]:已知 R=500m,=6Om,N=6,即每段曲线长 =10m,经纬仪设在第 2点上,计算前、后视各点的偏角值。
根据前述公式得：
6.54 '1
36
" 45' 081
45081
3
16263
180
2
"
2
0
1
"'0
0
"'0
0
N
R
l
按公式 （ 11-15） 计算前后视各偏角如表 11-9：
B=0,1； T=2； F=3,4,5,6。
按公式 计算前后视各偏角如表 11-9：
B=0,1； T=2； F=3,4,5,6。
表 11-9 前后视各偏角值
)2)((
)2)((
1
1
TFTF
TBBT
F
B
[例 11-7],已知 R=2000m,l0 = 5Om,N=5,即每段曲线长
l1=10m,测站设在缓和曲线 T点上,如 图 11-24,T点距 ZH点的曲线长为 lT=35m,点号 T =lT/ l1=3.5,要求后视第二分段点 （ B=20/l 1
=2）,测设第 4,5分段点。
解,已知 l1=1Om,T=3.5,B=2,F=4,5 。
按公式或查缓和曲线常数表得,
δ 0=14′ 19″ ；
"4.3425 91'14201 N
将上列数值代入公式 (11-15)得,
后视偏角 δ 2=δ 1(3.5-2)(2+2× 3.5)=34.4″ × 1.5× 9=7′ 44″
前视偏角：
δ 4=δ 1(4-3.5)(4+2× 3.5)=34.4″ × 0.5× 11=3′ 09″
δ 5=δ 1(53.5)(5+2× 3.5)=34.4″ × 1.5× 12=10′ 19″
图 2-24
测设步骤,图 11-24
将仪器安置在 T 点后,以 δ 2=7′44″ 后视 2点,倒镜,此时度盘的 0o方向线即 T点的切线方向。
拨前视度盘读数 360o-δ 4,360o-δ 5,相应地测设弦长：
f4=10m（ T-F4）,f5=10m（ F5 - F4 ）,即定出 4,5点。
当测设缓和曲线遇障碍,测站不能设在整分段点上时，可先求出测站的点号 T=lT/ l1=3.5 (非整数 ),计算与测设 与测站为整数分段点 的方法相同。
三、控制点遇障碍时曲线的测设方法
（ 一 ） 交点不能到达的测设方法当交点 JD位于陡壁,深沟,建筑物及河流中,及转向角过大不易得出交点,或切线过长丈量切线的工作量很大时,可不设置交点,而用副交点法或导线法设置副交点代替交点 。
1,副交点法如 图 11-25,交点 JD2落于河流中 。
1） 设置,在两切线上,在 ZH 和 HZ 附近,选择两个副交点
A(JD2-1),B(JD2-2)打桩钉钉；要求,AB间通视,易于丈量 。
2） 测量,在副交点 A,B安置仪器,
测出角?1,? 2,丈量 AB边长 DAB。
图 11-25 副交点法
C
3）曲线资料的计算
（ 1） 转向角? =? 1+? 2
（ 2） 根据设计资料 R,l0和?,算出综合要素 T,L,E0,q。
（ 3） 解三角形,计算 AC,BC,BD,CD,?。
s i n
)
2
180
s i n (
2
180
180
2
180
)180s i n (
s i n
)180s i n (
s i n
21
12
BCBD
AB
BC
AB
AC
s in
s in 2BCCD?
图 11-25
4）主点测设
（ 1） ZH,HZ点的测设仪器先后置于 A,B 点上,
在切线 I上量取 (T-AC)得 ZH,
再在切线 Ⅱ 上量取 (T-BC)得
HZ。
（ 2） QZ(M)点的测设从 B点,沿 AB方向量取 BD定出 D点,
置镜 D点,拨?角找出 DC方向线,在此方向线上量取
(DC-E0)得 QZ。 图 11-25
2,导线法当 A,B两点太远,或两切线上的两个副交点互不通视时,可用导线法,将两个副交点用导线联系起来 。 （ 略 ）
（ 二 ） ZH点 （ HZ点 ） 不能到达的测设方法
（略）
11-7 任意点极坐标法测设曲线特点,这种方法灵活，效率高，宜广泛推广使用。
一,基本原理：
1,直角坐标系,坐标原点,ZH点 （ HZ）,如 图 11-29
x轴：切线 （ ZH JD）,
y轴：切线的垂线方向 。
图 11-29
2,测站点的设置：
1） 在曲线一侧 （ 内侧或外侧 ） 任选一点 E（ 与各曲线点通视 ）,
打桩,钉钉；
2） 置镜 ZH,测出以 x轴为竖轴的方位角?ZH-E及水平距离 dZH-E,
测角 两个测回；测距 往返测；测设 E点的点位打桩,钉钉；
3,计算测站 E点的坐标,据 ZH点的坐标计算测站 E点坐标
4,计算曲线点坐标；
5,反算所需的测设角度?i 及边长 di,据 xE,yE及曲线上各点坐标 xi、
yi,反算出所需的测设角度?i及边长 di。
6,极坐标法测设曲线点 。 E点置镜用极坐标法逐一测设曲线点 。
图 11-29
二、测设具体步骤及方法
[例 ],某曲线,半径 R=500m,缓和曲线长 l0=60m,
转 向 角? 右 =28° 36′ 20″,ZH 点 里 程 为,
K33+424.67,仪器置于 E点,设直角坐标系,ZH点为原点,ZH-JD为纵轴 x,测得 ZH-E边的长
d=100m,坐标方位角 =60° 。 如 图 11一 30。
解,
1,计算测站点 E的坐标
mady
madx
EZHE
EZHE
603.86254 660 8.0100s i n
000.50000 000 5.0100c os
l
2,计算测点的坐标
1） 在缓和曲线上,按 10m测设一个点,则 l=10m。 由公式
11-6计算 （ 也可查曲线表切线支距法测设用表 ） 表 11-8
例,1点的坐标,R=500,l=60,li=10,20…
0
3
2
0
2
5
6
40
Rl
l
y
lR
l
lx
my
mx
01.00 0 6.0
605 0 06
10
00.10
605 0 040
10
10
3
1
22
5
1
li=10m
my
mx
04.0
605006
20
00.20
6050040
20
20
3
2
22
5
2
li=20m
2）在圆曲线上,按 10m测设一个点,则 l=10m。由公 (11-14)
计算（也可查曲线表切线支距法测设用表） 表 11-8
pRy
mRx
ii
ii
) c o s-1(
s i n
0
0 180-?
R
ll i
i
式中：
例,7点的坐标,l0=60,?0=3° 26?15.89?,p=0.3,m=29.996m
li=70,x7=69.95,y7=1.90
li=80,x8=79.91,y8=2.80
li=90,x9=89.85,y9=3.90
li=100,x10=99.77,y10=5.19
如 表 11-10
3.反算测设角度?i 及边长 di
根据测站 E及测点 i的坐标,后视 ZH点,例求,?1,d1 。
已知?ZH-E = 60?,则,?E-ZH = 240o ；
myyxxd
E
xx
yy
EE
ZHEE
E
E
E
E
E
3 8 5.955 9 3.860 0 0.40
2312500002 4 023122 4 5
23122 4 5
)(8 2 5 1 6 4.2
40
5 9 3.86
00.5000.10
6 0 3.8601.0
t a n
222
1
2
11
11
1
1
1
1
1
）（）（）（）（
属第Ⅲ象限为原点，以
同法计算 2,3,4…各点及 QZ点的极坐标?,d,其结果列于 表 11-10中 。
表 11-10 极坐标计算结果（测站,E）
图 11-30
4、极坐标法测设曲线测设,
置镜于 E点,xE =50.OOOm,yE =86.603m。
测设半个曲线,每 1Om一个点 。 （ 如 图 11-31）
当按?QZ 及 dQZ测设曲中点时,应 与主点测设时的曲中点位置进行校核 。
以上是测设半个曲线的测设情况,即 以 ZH点为坐标原点测设至 QZ。
另半个曲线可以 HZ点为原点 按照上述同样方法进行测设。
另半个曲线的 第二种测设方法为,直接按以 ZH 为原点的支距法坐标系坐标测设，一次将整个曲线测设完成。
图 11-31
另半个曲线的第二种测设方法为,如 图 11-32以 ZH 为原点的支距法坐标系测设,一次将整个曲线测设完成 。
1） 首先将另半个曲线在支距法坐标系 HZ-x′,y′的坐标转换为在支距法坐标系 ZH -x,y的坐标 x,y,
2） 然后再算出相应的测设点的极坐标 (?,d),即可以 ZH点为后视点进行测设 。
支距法坐标系转换的通用公式为,
’
’
y
x
T
T
y
x
c o ss i n
s i n-c o s
s i n
)c o s1( （ 11-16）
式中,T— 切线长；?— 转向角；
x,y — 以 ZH为原点,切线为 x轴的测量坐标系；
x′,y′ — 以 HZ为原点，切线为 x′ 轴的测量坐标系。
图 11-32
以上两种方法比较,
第一种测设方法,分两半个曲线分别独立测设,各自选择一测站进行测设 。 因而工作量较大；
第二种测设方法,可在一个测站测完全部曲线,比较便捷 。
但 横向误差影响曲线的圆顺,须注意不能超限 。
算例,按公式 （ 11-16）,仍以 ZH点为原点,根据前例所给曲线测设数据,测站在 E点 ( )后视 ZH点,计算另半个曲线之坐标及测设数据及 d 。 计算结果见 表 11-11。
mymx EE 603.86,000.50
表 11-11 另半个曲线的坐标及测设数据
§ 11— 9 曲线测设的误差规定由于拨角及量距误差的影响,曲线由一个主点测设至另一个主点时,往往产生不闭合的现象 。
如 图 11-37,由 ZH点测设至 QZ（ M） 点时,测定的点 M′ 与原来主点测设时所定的 QZ(M)点不在同一位置,产生 闭合差 f 。
切线方向的分量为 f纵 （ 纵向闭合差 ） ；
外矢距方向分量为 f横 （ 横向闭合差 ） 。
一,曲线测设闭合差的允许值：
1.偏角法
f纵 ≤ f横 ≤ 0.1m
当曲线半径较大时,纵向闭合差可以认为主要是由于量距引起的,所以纵向允许闭合差是相对值； 横向闭合差可以认为主要是由于拨角引起的,因而横向允许闭合差是一个绝对值 。
2000
l
(l为测设两主点之间的曲线长 ) ；
图 11-37
2.极坐标法 点位误差,?10cm
二,曲线测设误差分析对曲线测设闭合差的影响最大,切线丈量精度,弦长丈量精度,偏角测设误差和转镜次数；
且曲线愈长闭合差愈大,曲线半径愈小对横向闭合差的影响愈大 。
减少误差的方法,测设曲线时：
1） 应提高切线的测量精度以确保主点测设精度,2） 减少详细测设曲线时偏角的测量误差及弦长丈量误差； 3） 对于长大曲线应增设控制点,分段测设,分段闭合,以保证曲线的测设精度 。
