第四章 恒定磁场
4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度
4.2 恒定磁场的基本方程
4.3 矢量磁位
4.4 磁偶极子
4.5 磁介质中的安培环路定律
4.6 恒定磁场的边界条件
4.7 电感
4.8 磁场能量 和能量密度
4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度图 4.1.1 回路 与回路 间的安培力1l 2l
1820年法国物理学家 A.M.安培通过实验总结出：两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。
4.1.1 安培力定律安培定律指出,在真空中载有电流 I1的回路 上的电流元 对载流回路 的电流去元 的作用力表示为
11 ldI
22 ldI?
1l
l2
整个载流回路 对电流元 的作用力
2
11220
12
)(
4 R
aldIldIfd R
1l 22 ldI
)
4
(
1
2
110
2212?
l
R
R
aldIldIFd?
载流回路 对载流回路 的作用力
2l 1l
1 2
2
22110
21
)(
4 l l
R
R
aldIldIF?
mH /104 70
真空中的磁导率
4.1.2 磁感应强度载流回路之间的相互作用是通过磁场来进行的。
载流回路 对电流元 的作用力，可以认为是载流回路上的电流 在空间激励的磁场,而磁场 对电流元 施加作用力载流回路 激励的磁场在空间中的分布，显然只与载流回路和空间中的媒质和位置有关，与电流元 无关。
将载流回路 在空间中激励的磁场表示为
1l 22 ldI?
1l B
B? 22 ldI?
12Fd?
1l
1l 22 ldI?
1l
11 3'
'
110
2
110
||
)(
44 ll
R
rr
rrldI
R
aldIB
BldIFd 2212 BldIF
l
2212 2
运动电荷的电流,因此运动电荷在磁场中受的力为：vqJ
BvqF
空间电流 I在 R处激励的磁场的大小描述：
ll R rr rrlIdR alIdB 3'
''
0
2
'
0
||
)(
44
毕奥 -萨伐尔定律磁感应强度，单位特斯拉，简记为 T
理论上可将电流回路的磁感应强度，视为电流回路上各电流元激励的磁感应强度的叠加，则电流元 的磁感应强度为：lId?
2
0
4 R
alIdBd R
对于体电流和面电流分布，分别用体电流元 和面电流元代替上式中,积分得?dJ
dSJS?
'
3'
'
0'
2
0
||
)(
44
drr rrJdR aJB R
'
3'
'
0'
2
0
||
)(
44 dSrr
rrJdS
R
aJB
S
s
S
RS
体电流：
面电流：
图 4.1.2 空间线电流的磁场磁感应强度可以在空间以磁感应线（磁力线）的形式来描述，
磁感应线的方程与电力线的方程相似，即
zyx B
dz
B
dy
B
dx
例 4.1.1 求载流 I的有限长直导线 (参见图 4.1.3)外任一点的磁场 。
图 4.1.3 直导线的磁感应强度解,取直导线的中心为坐标原点，导线和 z轴重合，在圆柱坐标中计算。
C R RI d lrB 30 '4)(
从对称关系能够看出磁场与坐标 φ无关 。 不失一般性,将场点取在 φ =0,即场点坐标为 (r,0,z),源点坐标为 (0,0,z′)。
s e c
s e c''
s e c',t a n'
','',
2
2
rR
redzedl
rdzrzz
rrRezrzerer
zz
zzr
22 s e c'
])'([''
rer d ze
ezzredzeRdl zrz
所以
)s i n( s i n
4
c o s
4
'
4
21
0
0
2/
2/
3
0
2
1
rr
I
e
d
r
I
e
R
RdlI
B
l
l
式中：
22
2
22
1
)2/(
2/
s i n
)2/(
2/
s i n
lzz
lz
lzz
lz
对于无限长直导线 (l→∞),α1=π/2,α2=-π/2，其产生的磁场为
r
IeB
2
0?
4.2 恒定磁场的基本方程
4.2.1 磁通连续性原理磁感应强度在有向曲面上的通量简称为 磁通量 (或磁通 )，
单位是 Wb(韦伯 ),用 Φ表示：
s B d S
如 S是一个闭曲面,则
S B d S
就是磁通量的面密度，又称为磁通密度
B?
图 4.2.1 磁通量计算对于在区域 中连续分布的体电流密度,在空间中激励的磁感应强度为
J?
'3'
''
0
||
)()(
4)( drr
rrrJrB
'
3'
'
'0 ]
||)([4
drr
rrrJB?
两端对场点坐标取散度由于
)|| 1(|| '3'
'
rrrr
rr
所以
''
'
0 ])()
||
1([
4
drJrrB
应用矢量恒等式,baabba )(
则有：
)()|| 1()|| 1()()]()|| 1([ '''''' rJrrrrrJrJrr
因为,而第二项中 不是场点坐标的函数，
则于是有
0)|| 1( ' rr )(
'rJ
0)( ' rJ
0)()|| 1()|| 1()()]()|| 1([ '''''' rJrrrrrJrJrr
''
'
0 ])()
||
1([
4
drJrrB
0 B?
恒定磁场中没有发散源，恒定磁场是一种旋涡场。
应用高斯散度定理，可得：
0 s SdBdB
磁通连续性定理的微分形式和积分形式：
0 B?
s SdB 0
恒在磁场中通过任意闭合曲面 S的磁通量恒等于零图 4.2.2 磁通的连续性
4.2.2 真空中的安培环路定律下面我们从毕奥 -萨伐定律出发，通过分析真空中无限长载流导线周围的磁场与空间中电流强度的关系，导出著名的安培环路定律，并加以证明。
真空中一无限长载流导线在周围激励磁场，磁感应强度为
a
r
IB
2
0?
线在垂直于 I的平面内，呈同心圆状。B?
图 4.2.3 无限长载流导线周围的磁场若在垂直于 I的平面上以 I穿过平面的点为圆心，以 R为半么作一圆，则 在这个圆上的线积分为：
20 000 222 IRRIRdRIldB
B?
若在平面上取任意围绕 I的闭合环路 C，设环路 C上的线元 到 I点的距离为 r,对 I 点的张角为,与 的夹角是如图 4.2.4(a)，则有
ld?
ld? ldd B?
drdl?c os
IdIdrrIdlrIldB
cc
0
2
0
02
0
00
22c o s2
因此图 4.2.4 任意闭合环路与电流的关系若积分的闭合环路不绕过 I，如图 4.2.4(b)所示，则上式的积分变成
BA dIldB
c
2 0
对于闭合回路，当绕行一周后,因此AB
02 0 B
A
dIldB
c
安培提出：磁感应强度在空间任意闭合环路上的积分（即环流）等于与此闭合环路交链的所有电流之和与 的乘积。即0?
IldB
c
0
安培环路定律I为 C围成的面上穿过的总电流强度，且电流的方向与回路 C的环绕方向符合右手螺旋法则。
4.3 矢 量 磁 位可以令
BA
称式中的 A为矢量磁位 (简称磁矢位 ),其单位是 T·m( 特斯拉 ·米 )或 Wb/m(韦伯 /米 )。 矢量磁位是一个辅助量 。 上式仅仅规定了磁矢位 A的旋度,而 A的散度可以任意假定 。 因为若 B=▽× A，
另一矢量 A′=A+ ▽ Ψ,其中 Ψ是一个任意标量函数,则
'A A A B
0A
0AJ
使用矢量恒等式 2A A A
2 0AJ
上式是磁矢位满足的微分方程,称为磁矢位的泊松方程 。 对无源区 (J=0),磁矢位满足矢量拉普拉斯方程,即
2 0A
2 2 2 2
x x y y z zA a A a A a A
zz
yy
xx
JA
JA
JA
0
2
0
2
0
2
'0
'0
'0
4
4
4
x
x
y
y
z
z
J
Ad
r
J
Ad
r
J
Ad
r
将其写成矢量形式为若磁场由面电流 JS产生，容易写出其磁矢位为同理，线电流产生的磁矢位为磁通的计算也可以通过磁矢位表示：
()S S CB d S A d S A d l
'
'
0 )(
4 dr
rJA
S
S dS
r
rJA ''0 )(
4
l r
lIdA '0
4
例 4.3.1 求长度为 l 的载流直导线的磁矢位 。
图 4.3.1 直导线磁矢位解,
2/122
2/122
0
2/
2/
2/122
0
]]2/[)2/(
]]2/[)2/(
1
4
])'([
'
4
rzlzl
rzlzl
n
I
zzr
dzI
A
l
l
z
当 l>>z时，有
2/122
2/122
0
])2/[(2/
])2/[(2/1
4 rlzl
rllnIA
z
上式中，若再取 l>>r,则有
r
nI
r
nIA z 11
4
11
4
0
2
0
当电流分布在无限区域时,一般指定一个磁矢位的参考点,
就可以使磁矢位不为无穷大 。 当指定 r=r0处为磁矢位的零点时,
可以得出
r
rnIA
z
00 1
2?
从上式,用圆柱坐标的旋度公式，可求出
r
Ie
r
AeAB x
2
0?
4.4 磁 偶 极 子图 4.4.1 小平面载流回路的磁场真空中的磁偶极子，即一个任意形状的小平面载流回路的磁场。
下面通过矢量磁位 来求磁感应强度,A? B?
磁场具有轴对称性，选用球坐标系，将场点放在 平面上不失普遍性，使小回路的中心位于坐标原点,z轴正向与回路的法线方向一致。
0
现在取两个电流元，它们与 平面成的角分别为 和,
则它们在场点的矢量磁位 相加后得到的 只有 分量，且
，故有
0
AAd?
co s22 dAdA?
0
0 c o s
4
2
R
adI
A
2
122
2
1222
)c o ss i n2(
)c o s()c o ss i n()s i n(
raar
raraR
（ 4.4.1）
因为,故得ar
)c o ss i n1(1)c o ss i n21(11 212
2
rarrar arR（ 4.4.2）
将式（ 4.4.2）代入式（ 4.4.1）得：
s i n4c o s)c o ss i n1(2 2
0
0
0
r
SId
r
a
r
IaA
即
s i n4 20 rSIaA?
（ 4.4.3）
上式中 S是圆环的面积，然后代入球坐系中的旋度公式求,B?
s i n4c o s42 3030 rpar paB mmr
结论：磁偶极子的磁感应强度与距离的三次方成反比。
磁偶极子场的另外表示式：
)(
4
)(
4
)(
4
c o s
4
)s i nc o s2(
4
0
2
0
2
0
2
0
3
0
d
I
r
aSI
r
aaSI
r
SI
aa
r
SI
B
r
rz
r
结论：磁偶极子的电流回路形状不同时，只要面积 S对场点所张的的立体角相同，则在同一点的 是相同的。B?
图 4.4.2 磁偶极子的定义图 4.4.3 磁偶极子的场图矢量磁位又可写成：
)1(44 020 rpr apA mrm
磁偶极子的磁感应强度为：
)1(4)1(4 00 mmm prrprpB?
是常矢量,0
mp?mp
r
pB m
4
0
考虑到 时有,,故有0?r
012 r 02 rp m
30
00
4
1
44 r
rp
rpr
pB m
m
m
令,则磁感应强度可表示为
34 r
rp m
m
mB 0
可表示为一标量函数的样度，将标量函数 称为恒定磁场的 标量磁位
B?
m?
在无源区域,0 B? 02
m?
标量函数满足的边界条件：
21 mm
nn
mm
2
211
4.5 磁介质中的安培环路定律
4.5.1 磁化强度矢量为包围点的一小体积元,为体积内分子电流磁偶极矩的矢量和,为点单位体积中的磁矩矢量,单位为安 /米 （ A/m）
k
i
mip
M 1
0
lim
k
i
mip
1
M?
每一个分子电流相当于一个磁偶极子，它在远区产生的矢量磁位为若磁偶极子的中心在点，则上式又可写成
4.5.2
rpA m 14 00
''0'00 1414
rr
p
rr
pA mm
如图，在体积 内取体积元,则其磁矩为,它在 P点产生的矢量磁位是
'?
'? '?d
'?dM?
'
'
'0
0
1
4
d
rr
MAAd
体积 内所有的磁偶极子在 P点产生的矢量磁位是
'?
'
'
'0 1
4 '
d
rr
MA
应用矢量恒等式
||
11
'
''
''
'
rr
MM
rrrr
M
'
'
'0'
'
'
0
'' ||4||4
d
rr
Md
rr
MA
将上式变形可得：
利用高斯定理的切向形式对上式第二项变形可得：
'' ''0''
'
0
||4||4 s dsrr
nMd
rr
MA
对比矢量磁位的计算公式可得：
磁介质中的束缚体电流密度为,MJ
m
磁介质中的束缚面电流密度为,nMJ
ms?
例 半径为 a,高为 L的磁化介质柱 (如图 所示 ),磁化强度为
M0(M0为常矢量,且与圆柱的轴线平行 ),求磁化电流 Jm和磁化面电流 JmS。
图 3 – 15 例 3 - 7用图解,取圆柱坐标系的 z轴和磁介质柱的中轴线重合,磁介质的下底面位于 z=0处,上底面位于 z=L处 。 此时,,磁化电流为
0)( 0 MMJ m
在界面 z=0上，,
0)(0 a zmS MnMJ
在界面 z=L上，,
在界面 r=a上，,
0MM
a zn
arn
azn
00 a zmS MnMJ
00 MMnMJ aa rmS
4.5.3 磁场强度在外磁场的作用下,磁介质内部有磁化电流 Im。 磁化电流 Im
和外加的电流 I都产生磁场,这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：
SdJJIIldB S mC m )()( 00
ldMIldB CC 00
C
IldM
B
0?
令
MBH
0?
其中 称为磁场强度矢量，单位是 A/m(安培 /米 )。于是有
C IldH
相应的微分形式是
JH
H?
H?
这就是 磁介质中的安培环路定律
4.5.4 磁导率
HHHxMHB rm 000 )1()(
式中 χm是一个无量纲常数,称为磁化率 。
式中,μr=1+χm,是介质的相对磁导率,是一个无量纲数；
μ=μ0μr,是介质的磁导率,单位和真空磁导率相同,为 H/m(亨 /
米 )。
铁磁材料的 B和 H的关系是非线性的,并且 B不是 H的单值函数,会出现磁滞现象,其磁化率 χm的变化范围很大,可以达到 106量级 。
4.5.5
0
B
JH
SC
S
SdJldH
SdB
0
HB
微分形式积分形式磁介质的本构方程例 同轴线的内导体半径为 a,外导体的内半径为 b,外半径为 c,如图 所示 。 设内,外导体分别流过反向的电流 I,两导体之间介质的磁导率为 μ,求各区域的 H,B,M。
图 3-16 同轴线示意图解,以后如无特别声明,对良导体 (不包括铁等磁性物质 )一般取其磁导率为 μ0。 因同轴线为无限长,则其磁场沿轴线无变化,
该磁场只有 φ分量,且其大小只是 r的函数 。 分别在各区域使用介质中的安培环路定律,求出各区的磁场强度 H,然后由 H求出 B
和 M。
当 r≤a时,电流 I在导体内均匀分布，且流向 +z方向。由安培环路定律得
22 a
IraH
)( ar?
考虑这一区域的磁导率为 μ0，可得
0
2
2
0
M
a
Ir
aB
(r ≤ a)
(r ≤ a)
当 a<r≤b时，与积分回路交链的电流为 I，该区磁导率为 μ，
可得
r
I
aB
r
I
aH
2
2
r
IaM
2
0
0
(a<r≤b)
当 b<r≤c时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为
I
bc
brII
22
22
'
则
0
2
1
22
22
0
22
22
M
bc
rc
IaB
bc
rc
r
aH
)(
)(
)(
crb
crb
crb
当 r>c时，这一区域的 B,H,M为零。
4.6 恒定磁场的边界条件图 4.6.1 恒定磁场的边界条件在不同磁介质的分界面上，由于磁介质的磁导率存在突变，而且在磁介质表面上一般还存在着束缚电流，因此，
B和 H在经过分界面时要发生突变。 B和 H在分界面两侧的变化关系称为 B和 H在分界面上的边界条件 。
在两种磁介质分界面上,取一个跨过分界面两侧的小扁状闭合柱面 （ 高为无穷小 ）,如图 4.6.1(a)所示,应用磁通连续方程可得：
或：
021 dSnBdSnBSdBs
0)( 12 BBn
nn BB 21?
即：
故,磁感应强度的法向分量连续再在磁介质分界面上，取一跨过分界面两侧的小矩形回路，如图 4.6.1(b)所示，这个小矩形回路的两边平行于分界面，且分居于分界面两侧，另外两边 h垂直穿过分界面，且
h→0 。应用安培环路定律可得：
l
IlHlHldH
21
若分界面上分布有表面电流，取垂直于小矩形面积的单位矢量为,则穿过小矩形面积的电流为,如图所式。s? lsJs
另外,又可以写成,于是即：
如果分界面无源电流，则：
l lnsl
lsJlnsHH s )()( 21
lsJlsHHn s )( 21
sJHHn
)(
21
故有：
或,
0)( 21 HHn
tt HH 21
或,
2211 s ins in HH?
故 分界面无源时，磁场强度的切向分量连续
2
1
2
1
t a n
t a n
磁力线折射定律：
如果介质 1是空气，介质 2是铁磁物质，则由于,
，在 空气中 磁感应线几乎与铁 表面垂直 。在 铁磁物质中 磁感应线几乎与铁 表面平行 。
21
21
21
例,如图所示，铁心磁环的内半径为 a，轴线半径 r0，环的横截面为矩形，且尺寸为 d× h。已知 a>>h和铁心的磁导率 μ >> μ0,磁环上绕有 N匝线圈，通以电流为 I。试计算环中的 B,H和 φ。
解：在忽略环外漏磁的条件下，
由安培环路定律有：
NIrHldH
l
02
02 r
NIH
02 r
NIHB
SlNIdhrNI
02
解得：
4.7 电感
4.7.1电感定义电感是一种储存磁场能量的元件,通常由 N匝导线绕制而成 。
当线圈通电时,将在空间中激励磁场,穿过一匝线圈的磁通为
φ,穿过线圈的总磁通称为磁链,用 ψ表示 。
N
假定 N匝导线紧密绕制，可以近似认为处于同一位置，则：
在线性介质中，磁感应强度与电流成正比,故,
IL
L称为电感的 自感系数,简称 自感,单位为 H（亨利）。
自感取决于线圈的大小、形状、匝数和填充的媒质 。
对于两个线圈构成的互感系统，若回路 1载有电流 I1，在空间产生磁感应强度 B1，回路 2面积为 S2，则 B1穿过回路 2的磁通量为
φ12称为回路 1产生的磁场在回路 2上的互磁通 。 若回路 2有
n圈,则互感磁链为 ψ12 =n2φ12 。
同样,回路 2上的电流在回路 1上也将激励互感磁链
ψ21 =n1φ21 。
在线性媒质中,互磁链正比于电流即,ψ12 =M12I1
同样,ψ21 =M21I2
22
2
21212112 lS
S
ldASdASdB
即互感：
线圈间的 互感取决于回路的形状、大小、匝数、两线圈的相对位置和磁介质的磁导率 。
1
12
12 IM
2
21
21 IM
4.7.2电感计算由于实际导线的截面积不能忽略。因此，磁链将分为内外两部分。穿过导线内部的磁链称为内磁链 ψi,
对应的自感称为 内自感 Li，导线外部的磁链称为 外磁链 ψo,对应的自感称为外 自感 Lo 。
04 0 l RldIA
由于所以,穿过以 l为边界的面积上的磁链为
R
ldldIldA
l l l
000
0 4?
所以,线圈的外自感为 （ 自感的诺伊曼公式 ）
l l R ldldIL 0 0000 4
n匝密绕时，则乘以匝数 n
对于内自感的计算,设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且导线横截面为圆形,则导线内部的磁场可近似地认为同无限长直圆柱导体内部的场相同 。 若导线截面半径为 a，
磁导率为 μ,如图所示 。 则导线内的磁场为穿过导线中长为 l,宽为 dr的截面的磁通为
raIaJraB )(22 2
Bl d rBd Sd
2
2ar
drraIll r d raIardard 3422
2
2
2
2)2(?
a IldrraIl0 34 82
故长度为 l的一段圆截面导线的 内自感 为
8
lL?
dφ仅与电流的一部分 （ 即半径为的圆截面内的电流 ） 相交链,因而在计算与 I相交链的磁链时要乘以一个比值,
即它交链的电流占总电流的百分比,即
2
2
a
r
故 内磁链 为：
对于两单匝互感线圈,回路 1通过的电流在回路 2上的磁链为同理有：
2 1 21101212 4 l l R ldldI
1
12
12 IM
2 1
210
4 l l R
ldld
1 2 12202121 4 l l R ldldI
1 2 120
2
21
21 4 l l R
ldld
IM
MMM 2112
可见：
上式为 互感的 诺伊曼公式例 如图所示,求无限长平行双导线单位长度外自感 。
解,设导线中电流为 I,由无限长导线的磁场公式,可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为
)(22
00
xd
I
x
IB
磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为
a
adnIB d xad
a
10
所以单位长外自感为
a
adnL 10
4.8 磁场的能量和能量密度磁场系统所具有的磁场能量是在建立此恒定磁场系统过程中,
由其它形式的能量转换成磁能的 。 如磁场系统是由一个或几个恒定电流回路所产生的,那么磁场的能量就一定是在这些恒定电流的建立过程中,由外电源提供的 。
假定回路的形状,位置不变,同时忽略焦耳热损耗 。 在建立磁场的过程中,回路的电流分别为 i1(t),i2(t) …… in(t),最初,i1=0，
i2=0…… in=0,最终,i1=I1,i2=I2,in=In 。 在这一过程中,电源作的功转变成磁场能量 。
根据电路理论可知,回路 j有：
tu
j
jj?
dt时间内与回路 j 相连的电源所做的功为：
jj
j
jjj didqdt
ddqudW
因此,整个系统在 dt时间内增加的磁能为：
N
j
jjm didW
1
回路 j 的磁链为,?
N
k
kkjj iM
1
将此式代入上式可得,
N
j
N
k
kkjjm diMidW
1 1
系统的建立过程对应于 α从 0到 1的变化过程,即
jj Itti )()( kk Itti )()(
dIdi kk?则：
于是,
N
j
N
k
kkjjm dIMIdW
1 1
整个磁场系统的总磁场能为,
N
j
N
k
kjkj
N
j
N
k
kkjjm IIMdIMIW
1 11 1
1
0 2
1
若 N=1时，即 单一回路 组成的电感,M11=L,则：
2
2
1 LIW
m?
若 N=2，即 双线圈 时,M11=L1,M22=L2,M12= M21=M,则：
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW
m
N
j
N
j l
jjjjm
j
ldAIIW
1 12
1
2
1同时故，对于 分布电流
dAJldAIW
N
j l
jjm
j
2
1
2
1
1
S
SdHAdBH
dHAdAH
dHA
)(
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
RSdHA
1||
若将式中积分体积扩大到无穷大，此时闭合面可视为一无穷大的球面，因此,R→∞,,,
RA
1
2
1
RH?
故第二项面积分为零。于是磁场的总储能为：
dBHW m
2
1
磁场的 能量密度 为：
BHw m 21
在各向同性，线性磁介质中：
dHW m 221 221 Hw m
HB
故：
例 同轴线的内导体半径为 a，外导体内半径为 b，外导体的厚度忽略不 计。设同轴线所用材料的磁导率都等于 μ0，今将同轴线内、外导体在两端闭合形成回路，并通有恒定电流 I，试计算同轴线单位长度储存的磁场能。
解：同轴线内、外导体在两端短路后可视为一闭合回路，而同轴线的单位长度的电感为
8ln2
00'
00 a
bLLL
因此，同轴线的单位长度储存的磁场能量为
202 ln
4
1
42
1 I
a
bLIW
m
在回路的电流从零到 I1的过程中，电源作功为
2
110 11111 2
11 ILdiiLdWW I
计算当回路 1的电流 I1保持不变时,使回路 2的电流从零增到 I2,电源作的功 W2。 若在 dt时间内,电流 i2有增量 di2,这时回路 1中感应电势为 E1=-dΨ21/dt,回路 2 中的感应电势为 E2=-
dΨ22/dt。 为克服感应电势,必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压 。 在 dt时间内,电源作功为
dW2=M21I1di2+L2i2di2
积分得回路 1 电流保持不变时,电源作功总量为
2
222210 22212122 2
1)(2 ILIMdiiLIMdWW I
电源对整个电流回路系统所作的总功为
2
222121
2
11212 2
1
2
1 ILILMILWWW
2211
2221212111
222112122111
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
II
II
IILIMIIMILW
m
推广到 N个电流回路系统,其磁能为
N
i
iim IW
12
1?
式中：
jji
N
j
N
jjii
IMZ?
1 1
N
i C
iim
i
dlAIW
12
1
代入后得：
对于分布电流，用 Iidli=JdV代入上式，得
Vm A d VJW 21
类似于静电场的能量可以用电场矢量 D和 E表示,磁场能量也可用磁场矢量 B和 H表示,并由此得出磁通密度的概念 。 将
▽ × H=J代入上式,得
V S
VV
m
dSHAB d VH
dVHAHdVHAW
)(
2
1
2
1
)]()([
2
1
)(
2
1
注意,上式中当积分区域 V趋于无穷时,面积分项为零 (理由同静电场能量里的类似 )。 于是得到
Vm B d VHW 21磁场能量密度为
HBw m 21
例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感 。
解,设导体半径为 a，通过的电流为 I，则距离轴心 r处的磁感应强度为
2
0
2 a
IrB
单位长度的磁场能量为
16
2
2
1
2
1
2
1
2
0
1
00
2
0
2
0
I
dzr d rB
dVBB H d VW
a
mi
单位长度的内自感为
8
2 0
2 I
WL mi
i
4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度
4.2 恒定磁场的基本方程
4.3 矢量磁位
4.4 磁偶极子
4.5 磁介质中的安培环路定律
4.6 恒定磁场的边界条件
4.7 电感
4.8 磁场能量 和能量密度
4.1 恒定磁场的实验定律与磁感应强度图 4.1.1 回路 与回路 间的安培力1l 2l
1820年法国物理学家 A.M.安培通过实验总结出：两个通有恒定电流的回路之间有相互作用力。
4.1.1 安培力定律安培定律指出,在真空中载有电流 I1的回路 上的电流元 对载流回路 的电流去元 的作用力表示为
11 ldI
22 ldI?
1l
l2
整个载流回路 对电流元 的作用力
2
11220
12
)(
4 R
aldIldIfd R
1l 22 ldI
)
4
(
1
2
110
2212?
l
R
R
aldIldIFd?
载流回路 对载流回路 的作用力
2l 1l
1 2
2
22110
21
)(
4 l l
R
R
aldIldIF?
mH /104 70
真空中的磁导率
4.1.2 磁感应强度载流回路之间的相互作用是通过磁场来进行的。
载流回路 对电流元 的作用力，可以认为是载流回路上的电流 在空间激励的磁场,而磁场 对电流元 施加作用力载流回路 激励的磁场在空间中的分布，显然只与载流回路和空间中的媒质和位置有关，与电流元 无关。
将载流回路 在空间中激励的磁场表示为
1l 22 ldI?
1l B
B? 22 ldI?
12Fd?
1l
1l 22 ldI?
1l
11 3'
'
110
2
110
||
)(
44 ll
R
rr
rrldI
R
aldIB
BldIFd 2212 BldIF
l
2212 2
运动电荷的电流,因此运动电荷在磁场中受的力为：vqJ
BvqF
空间电流 I在 R处激励的磁场的大小描述：
ll R rr rrlIdR alIdB 3'
''
0
2
'
0
||
)(
44
毕奥 -萨伐尔定律磁感应强度，单位特斯拉，简记为 T
理论上可将电流回路的磁感应强度，视为电流回路上各电流元激励的磁感应强度的叠加，则电流元 的磁感应强度为：lId?
2
0
4 R
alIdBd R
对于体电流和面电流分布，分别用体电流元 和面电流元代替上式中,积分得?dJ
dSJS?
'
3'
'
0'
2
0
||
)(
44
drr rrJdR aJB R
'
3'
'
0'
2
0
||
)(
44 dSrr
rrJdS
R
aJB
S
s
S
RS
体电流：
面电流：
图 4.1.2 空间线电流的磁场磁感应强度可以在空间以磁感应线（磁力线）的形式来描述，
磁感应线的方程与电力线的方程相似，即
zyx B
dz
B
dy
B
dx
例 4.1.1 求载流 I的有限长直导线 (参见图 4.1.3)外任一点的磁场 。
图 4.1.3 直导线的磁感应强度解,取直导线的中心为坐标原点，导线和 z轴重合，在圆柱坐标中计算。
C R RI d lrB 30 '4)(
从对称关系能够看出磁场与坐标 φ无关 。 不失一般性,将场点取在 φ =0,即场点坐标为 (r,0,z),源点坐标为 (0,0,z′)。
s e c
s e c''
s e c',t a n'
','',
2
2
rR
redzedl
rdzrzz
rrRezrzerer
zz
zzr
22 s e c'
])'([''
rer d ze
ezzredzeRdl zrz
所以
)s i n( s i n
4
c o s
4
'
4
21
0
0
2/
2/
3
0
2
1
rr
I
e
d
r
I
e
R
RdlI
B
l
l
式中：
22
2
22
1
)2/(
2/
s i n
)2/(
2/
s i n
lzz
lz
lzz
lz
对于无限长直导线 (l→∞),α1=π/2,α2=-π/2，其产生的磁场为
r
IeB
2
0?
4.2 恒定磁场的基本方程
4.2.1 磁通连续性原理磁感应强度在有向曲面上的通量简称为 磁通量 (或磁通 )，
单位是 Wb(韦伯 ),用 Φ表示：
s B d S
如 S是一个闭曲面,则
S B d S
就是磁通量的面密度，又称为磁通密度
B?
图 4.2.1 磁通量计算对于在区域 中连续分布的体电流密度,在空间中激励的磁感应强度为
J?
'3'
''
0
||
)()(
4)( drr
rrrJrB
'
3'
'
'0 ]
||)([4
drr
rrrJB?
两端对场点坐标取散度由于
)|| 1(|| '3'
'
rrrr
rr
所以
''
'
0 ])()
||
1([
4
drJrrB
应用矢量恒等式,baabba )(
则有：
)()|| 1()|| 1()()]()|| 1([ '''''' rJrrrrrJrJrr
因为,而第二项中 不是场点坐标的函数，
则于是有
0)|| 1( ' rr )(
'rJ
0)( ' rJ
0)()|| 1()|| 1()()]()|| 1([ '''''' rJrrrrrJrJrr
''
'
0 ])()
||
1([
4
drJrrB
0 B?
恒定磁场中没有发散源，恒定磁场是一种旋涡场。
应用高斯散度定理，可得：
0 s SdBdB
磁通连续性定理的微分形式和积分形式：
0 B?
s SdB 0
恒在磁场中通过任意闭合曲面 S的磁通量恒等于零图 4.2.2 磁通的连续性
4.2.2 真空中的安培环路定律下面我们从毕奥 -萨伐定律出发，通过分析真空中无限长载流导线周围的磁场与空间中电流强度的关系，导出著名的安培环路定律，并加以证明。
真空中一无限长载流导线在周围激励磁场，磁感应强度为
a
r
IB
2
0?
线在垂直于 I的平面内，呈同心圆状。B?
图 4.2.3 无限长载流导线周围的磁场若在垂直于 I的平面上以 I穿过平面的点为圆心，以 R为半么作一圆，则 在这个圆上的线积分为：
20 000 222 IRRIRdRIldB
B?
若在平面上取任意围绕 I的闭合环路 C，设环路 C上的线元 到 I点的距离为 r,对 I 点的张角为,与 的夹角是如图 4.2.4(a)，则有
ld?
ld? ldd B?
drdl?c os
IdIdrrIdlrIldB
cc
0
2
0
02
0
00
22c o s2
因此图 4.2.4 任意闭合环路与电流的关系若积分的闭合环路不绕过 I，如图 4.2.4(b)所示，则上式的积分变成
BA dIldB
c
2 0
对于闭合回路，当绕行一周后,因此AB
02 0 B
A
dIldB
c
安培提出：磁感应强度在空间任意闭合环路上的积分（即环流）等于与此闭合环路交链的所有电流之和与 的乘积。即0?
IldB
c
0
安培环路定律I为 C围成的面上穿过的总电流强度，且电流的方向与回路 C的环绕方向符合右手螺旋法则。
4.3 矢 量 磁 位可以令
BA
称式中的 A为矢量磁位 (简称磁矢位 ),其单位是 T·m( 特斯拉 ·米 )或 Wb/m(韦伯 /米 )。 矢量磁位是一个辅助量 。 上式仅仅规定了磁矢位 A的旋度,而 A的散度可以任意假定 。 因为若 B=▽× A，
另一矢量 A′=A+ ▽ Ψ,其中 Ψ是一个任意标量函数,则
'A A A B
0A
0AJ
使用矢量恒等式 2A A A
2 0AJ
上式是磁矢位满足的微分方程,称为磁矢位的泊松方程 。 对无源区 (J=0),磁矢位满足矢量拉普拉斯方程,即
2 0A
2 2 2 2
x x y y z zA a A a A a A
zz
yy
xx
JA
JA
JA
0
2
0
2
0
2
'0
'0
'0
4
4
4
x
x
y
y
z
z
J
Ad
r
J
Ad
r
J
Ad
r
将其写成矢量形式为若磁场由面电流 JS产生，容易写出其磁矢位为同理，线电流产生的磁矢位为磁通的计算也可以通过磁矢位表示：
()S S CB d S A d S A d l
'
'
0 )(
4 dr
rJA
S
S dS
r
rJA ''0 )(
4
l r
lIdA '0
4
例 4.3.1 求长度为 l 的载流直导线的磁矢位 。
图 4.3.1 直导线磁矢位解,
2/122
2/122
0
2/
2/
2/122
0
]]2/[)2/(
]]2/[)2/(
1
4
])'([
'
4
rzlzl
rzlzl
n
I
zzr
dzI
A
l
l
z
当 l>>z时，有
2/122
2/122
0
])2/[(2/
])2/[(2/1
4 rlzl
rllnIA
z
上式中，若再取 l>>r,则有
r
nI
r
nIA z 11
4
11
4
0
2
0
当电流分布在无限区域时,一般指定一个磁矢位的参考点,
就可以使磁矢位不为无穷大 。 当指定 r=r0处为磁矢位的零点时,
可以得出
r
rnIA
z
00 1
2?
从上式,用圆柱坐标的旋度公式，可求出
r
Ie
r
AeAB x
2
0?
4.4 磁 偶 极 子图 4.4.1 小平面载流回路的磁场真空中的磁偶极子，即一个任意形状的小平面载流回路的磁场。
下面通过矢量磁位 来求磁感应强度,A? B?
磁场具有轴对称性，选用球坐标系，将场点放在 平面上不失普遍性，使小回路的中心位于坐标原点,z轴正向与回路的法线方向一致。
0
现在取两个电流元，它们与 平面成的角分别为 和,
则它们在场点的矢量磁位 相加后得到的 只有 分量，且
，故有
0
AAd?
co s22 dAdA?
0
0 c o s
4
2
R
adI
A
2
122
2
1222
)c o ss i n2(
)c o s()c o ss i n()s i n(
raar
raraR
（ 4.4.1）
因为,故得ar
)c o ss i n1(1)c o ss i n21(11 212
2
rarrar arR（ 4.4.2）
将式（ 4.4.2）代入式（ 4.4.1）得：
s i n4c o s)c o ss i n1(2 2
0
0
0
r
SId
r
a
r
IaA
即
s i n4 20 rSIaA?
（ 4.4.3）
上式中 S是圆环的面积，然后代入球坐系中的旋度公式求,B?
s i n4c o s42 3030 rpar paB mmr
结论：磁偶极子的磁感应强度与距离的三次方成反比。
磁偶极子场的另外表示式：
)(
4
)(
4
)(
4
c o s
4
)s i nc o s2(
4
0
2
0
2
0
2
0
3
0
d
I
r
aSI
r
aaSI
r
SI
aa
r
SI
B
r
rz
r
结论：磁偶极子的电流回路形状不同时，只要面积 S对场点所张的的立体角相同，则在同一点的 是相同的。B?
图 4.4.2 磁偶极子的定义图 4.4.3 磁偶极子的场图矢量磁位又可写成：
)1(44 020 rpr apA mrm
磁偶极子的磁感应强度为：
)1(4)1(4 00 mmm prrprpB?
是常矢量,0
mp?mp
r
pB m
4
0
考虑到 时有,,故有0?r
012 r 02 rp m
30
00
4
1
44 r
rp
rpr
pB m
m
m
令,则磁感应强度可表示为
34 r
rp m
m
mB 0
可表示为一标量函数的样度，将标量函数 称为恒定磁场的 标量磁位
B?
m?
在无源区域,0 B? 02
m?
标量函数满足的边界条件：
21 mm
nn
mm
2
211
4.5 磁介质中的安培环路定律
4.5.1 磁化强度矢量为包围点的一小体积元,为体积内分子电流磁偶极矩的矢量和,为点单位体积中的磁矩矢量,单位为安 /米 （ A/m）
k
i
mip
M 1
0
lim
k
i
mip
1
M?
每一个分子电流相当于一个磁偶极子，它在远区产生的矢量磁位为若磁偶极子的中心在点，则上式又可写成
4.5.2
rpA m 14 00
''0'00 1414
rr
p
rr
pA mm
如图，在体积 内取体积元,则其磁矩为,它在 P点产生的矢量磁位是
'?
'? '?d
'?dM?
'
'
'0
0
1
4
d
rr
MAAd
体积 内所有的磁偶极子在 P点产生的矢量磁位是
'?
'
'
'0 1
4 '
d
rr
MA
应用矢量恒等式
||
11
'
''
''
'
rr
MM
rrrr
M
'
'
'0'
'
'
0
'' ||4||4
d
rr
Md
rr
MA
将上式变形可得：
利用高斯定理的切向形式对上式第二项变形可得：
'' ''0''
'
0
||4||4 s dsrr
nMd
rr
MA
对比矢量磁位的计算公式可得：
磁介质中的束缚体电流密度为,MJ
m
磁介质中的束缚面电流密度为,nMJ
ms?
例 半径为 a,高为 L的磁化介质柱 (如图 所示 ),磁化强度为
M0(M0为常矢量,且与圆柱的轴线平行 ),求磁化电流 Jm和磁化面电流 JmS。
图 3 – 15 例 3 - 7用图解,取圆柱坐标系的 z轴和磁介质柱的中轴线重合,磁介质的下底面位于 z=0处,上底面位于 z=L处 。 此时,,磁化电流为
0)( 0 MMJ m
在界面 z=0上，,
0)(0 a zmS MnMJ
在界面 z=L上，,
在界面 r=a上，,
0MM
a zn
arn
azn
00 a zmS MnMJ
00 MMnMJ aa rmS
4.5.3 磁场强度在外磁场的作用下,磁介质内部有磁化电流 Im。 磁化电流 Im
和外加的电流 I都产生磁场,这时应将真空中的安培环路定律修正为下面的形式：
SdJJIIldB S mC m )()( 00
ldMIldB CC 00
C
IldM
B
0?
令
MBH
0?
其中 称为磁场强度矢量，单位是 A/m(安培 /米 )。于是有
C IldH
相应的微分形式是
JH
H?
H?
这就是 磁介质中的安培环路定律
4.5.4 磁导率
HHHxMHB rm 000 )1()(
式中 χm是一个无量纲常数,称为磁化率 。
式中,μr=1+χm,是介质的相对磁导率,是一个无量纲数；
μ=μ0μr,是介质的磁导率,单位和真空磁导率相同,为 H/m(亨 /
米 )。
铁磁材料的 B和 H的关系是非线性的,并且 B不是 H的单值函数,会出现磁滞现象,其磁化率 χm的变化范围很大,可以达到 106量级 。
4.5.5
0
B
JH
SC
S
SdJldH
SdB
0
HB
微分形式积分形式磁介质的本构方程例 同轴线的内导体半径为 a,外导体的内半径为 b,外半径为 c,如图 所示 。 设内,外导体分别流过反向的电流 I,两导体之间介质的磁导率为 μ,求各区域的 H,B,M。
图 3-16 同轴线示意图解,以后如无特别声明,对良导体 (不包括铁等磁性物质 )一般取其磁导率为 μ0。 因同轴线为无限长,则其磁场沿轴线无变化,
该磁场只有 φ分量,且其大小只是 r的函数 。 分别在各区域使用介质中的安培环路定律,求出各区的磁场强度 H,然后由 H求出 B
和 M。
当 r≤a时,电流 I在导体内均匀分布，且流向 +z方向。由安培环路定律得
22 a
IraH
)( ar?
考虑这一区域的磁导率为 μ0，可得
0
2
2
0
M
a
Ir
aB
(r ≤ a)
(r ≤ a)
当 a<r≤b时，与积分回路交链的电流为 I，该区磁导率为 μ，
可得
r
I
aB
r
I
aH
2
2
r
IaM
2
0
0
(a<r≤b)
当 b<r≤c时，考虑到外导体电流均匀分布，可得出与积分回路交链的电流为
I
bc
brII
22
22
'
则
0
2
1
22
22
0
22
22
M
bc
rc
IaB
bc
rc
r
aH
)(
)(
)(
crb
crb
crb
当 r>c时，这一区域的 B,H,M为零。
4.6 恒定磁场的边界条件图 4.6.1 恒定磁场的边界条件在不同磁介质的分界面上，由于磁介质的磁导率存在突变，而且在磁介质表面上一般还存在着束缚电流，因此，
B和 H在经过分界面时要发生突变。 B和 H在分界面两侧的变化关系称为 B和 H在分界面上的边界条件 。
在两种磁介质分界面上,取一个跨过分界面两侧的小扁状闭合柱面 （ 高为无穷小 ）,如图 4.6.1(a)所示,应用磁通连续方程可得：
或：
021 dSnBdSnBSdBs
0)( 12 BBn
nn BB 21?
即：
故,磁感应强度的法向分量连续再在磁介质分界面上，取一跨过分界面两侧的小矩形回路，如图 4.6.1(b)所示，这个小矩形回路的两边平行于分界面，且分居于分界面两侧，另外两边 h垂直穿过分界面，且
h→0 。应用安培环路定律可得：
l
IlHlHldH
21
若分界面上分布有表面电流，取垂直于小矩形面积的单位矢量为,则穿过小矩形面积的电流为,如图所式。s? lsJs
另外,又可以写成,于是即：
如果分界面无源电流，则：
l lnsl
lsJlnsHH s )()( 21
lsJlsHHn s )( 21
sJHHn
)(
21
故有：
或,
0)( 21 HHn
tt HH 21
或,
2211 s ins in HH?
故 分界面无源时，磁场强度的切向分量连续
2
1
2
1
t a n
t a n
磁力线折射定律：
如果介质 1是空气，介质 2是铁磁物质，则由于,
，在 空气中 磁感应线几乎与铁 表面垂直 。在 铁磁物质中 磁感应线几乎与铁 表面平行 。
21
21
21
例,如图所示，铁心磁环的内半径为 a，轴线半径 r0，环的横截面为矩形，且尺寸为 d× h。已知 a>>h和铁心的磁导率 μ >> μ0,磁环上绕有 N匝线圈，通以电流为 I。试计算环中的 B,H和 φ。
解：在忽略环外漏磁的条件下，
由安培环路定律有：
NIrHldH
l
02
02 r
NIH
02 r
NIHB
SlNIdhrNI
02
解得：
4.7 电感
4.7.1电感定义电感是一种储存磁场能量的元件,通常由 N匝导线绕制而成 。
当线圈通电时,将在空间中激励磁场,穿过一匝线圈的磁通为
φ,穿过线圈的总磁通称为磁链,用 ψ表示 。
N
假定 N匝导线紧密绕制，可以近似认为处于同一位置，则：
在线性介质中，磁感应强度与电流成正比,故,
IL
L称为电感的 自感系数,简称 自感,单位为 H（亨利）。
自感取决于线圈的大小、形状、匝数和填充的媒质 。
对于两个线圈构成的互感系统，若回路 1载有电流 I1，在空间产生磁感应强度 B1，回路 2面积为 S2，则 B1穿过回路 2的磁通量为
φ12称为回路 1产生的磁场在回路 2上的互磁通 。 若回路 2有
n圈,则互感磁链为 ψ12 =n2φ12 。
同样,回路 2上的电流在回路 1上也将激励互感磁链
ψ21 =n1φ21 。
在线性媒质中,互磁链正比于电流即,ψ12 =M12I1
同样,ψ21 =M21I2
22
2
21212112 lS
S
ldASdASdB
即互感：
线圈间的 互感取决于回路的形状、大小、匝数、两线圈的相对位置和磁介质的磁导率 。
1
12
12 IM
2
21
21 IM
4.7.2电感计算由于实际导线的截面积不能忽略。因此，磁链将分为内外两部分。穿过导线内部的磁链称为内磁链 ψi,
对应的自感称为 内自感 Li，导线外部的磁链称为 外磁链 ψo,对应的自感称为外 自感 Lo 。
04 0 l RldIA
由于所以,穿过以 l为边界的面积上的磁链为
R
ldldIldA
l l l
000
0 4?
所以,线圈的外自感为 （ 自感的诺伊曼公式 ）
l l R ldldIL 0 0000 4
n匝密绕时，则乘以匝数 n
对于内自感的计算,设回路的尺寸比导线截面尺寸大得多且导线横截面为圆形,则导线内部的磁场可近似地认为同无限长直圆柱导体内部的场相同 。 若导线截面半径为 a，
磁导率为 μ,如图所示 。 则导线内的磁场为穿过导线中长为 l,宽为 dr的截面的磁通为
raIaJraB )(22 2
Bl d rBd Sd
2
2ar
drraIll r d raIardard 3422
2
2
2
2)2(?
a IldrraIl0 34 82
故长度为 l的一段圆截面导线的 内自感 为
8
lL?
dφ仅与电流的一部分 （ 即半径为的圆截面内的电流 ） 相交链,因而在计算与 I相交链的磁链时要乘以一个比值,
即它交链的电流占总电流的百分比,即
2
2
a
r
故 内磁链 为：
对于两单匝互感线圈,回路 1通过的电流在回路 2上的磁链为同理有：
2 1 21101212 4 l l R ldldI
1
12
12 IM
2 1
210
4 l l R
ldld
1 2 12202121 4 l l R ldldI
1 2 120
2
21
21 4 l l R
ldld
IM
MMM 2112
可见：
上式为 互感的 诺伊曼公式例 如图所示,求无限长平行双导线单位长度外自感 。
解,设导线中电流为 I,由无限长导线的磁场公式,可得两导线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为
)(22
00
xd
I
x
IB
磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为
a
adnIB d xad
a
10
所以单位长外自感为
a
adnL 10
4.8 磁场的能量和能量密度磁场系统所具有的磁场能量是在建立此恒定磁场系统过程中,
由其它形式的能量转换成磁能的 。 如磁场系统是由一个或几个恒定电流回路所产生的,那么磁场的能量就一定是在这些恒定电流的建立过程中,由外电源提供的 。
假定回路的形状,位置不变,同时忽略焦耳热损耗 。 在建立磁场的过程中,回路的电流分别为 i1(t),i2(t) …… in(t),最初,i1=0，
i2=0…… in=0,最终,i1=I1,i2=I2,in=In 。 在这一过程中,电源作的功转变成磁场能量 。
根据电路理论可知,回路 j有：
tu
j
jj?
dt时间内与回路 j 相连的电源所做的功为：
jj
j
jjj didqdt
ddqudW
因此,整个系统在 dt时间内增加的磁能为：
N
j
jjm didW
1
回路 j 的磁链为,?
N
k
kkjj iM
1
将此式代入上式可得,
N
j
N
k
kkjjm diMidW
1 1
系统的建立过程对应于 α从 0到 1的变化过程,即
jj Itti )()( kk Itti )()(
dIdi kk?则：
于是,
N
j
N
k
kkjjm dIMIdW
1 1
整个磁场系统的总磁场能为,
N
j
N
k
kjkj
N
j
N
k
kkjjm IIMdIMIW
1 11 1
1
0 2
1
若 N=1时，即 单一回路 组成的电感,M11=L,则：
2
2
1 LIW
m?
若 N=2，即 双线圈 时,M11=L1,M22=L2,M12= M21=M,则：
21
2
22
2
11 2
1
2
1 IMIILILW
m
N
j
N
j l
jjjjm
j
ldAIIW
1 12
1
2
1同时故，对于 分布电流
dAJldAIW
N
j l
jjm
j
2
1
2
1
1
S
SdHAdBH
dHAdAH
dHA
)(
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
RSdHA
1||
若将式中积分体积扩大到无穷大，此时闭合面可视为一无穷大的球面，因此,R→∞,,,
RA
1
2
1
RH?
故第二项面积分为零。于是磁场的总储能为：
dBHW m
2
1
磁场的 能量密度 为：
BHw m 21
在各向同性，线性磁介质中：
dHW m 221 221 Hw m
HB
故：
例 同轴线的内导体半径为 a，外导体内半径为 b，外导体的厚度忽略不 计。设同轴线所用材料的磁导率都等于 μ0，今将同轴线内、外导体在两端闭合形成回路，并通有恒定电流 I，试计算同轴线单位长度储存的磁场能。
解：同轴线内、外导体在两端短路后可视为一闭合回路，而同轴线的单位长度的电感为
8ln2
00'
00 a
bLLL
因此，同轴线的单位长度储存的磁场能量为
202 ln
4
1
42
1 I
a
bLIW
m
在回路的电流从零到 I1的过程中，电源作功为
2
110 11111 2
11 ILdiiLdWW I
计算当回路 1的电流 I1保持不变时,使回路 2的电流从零增到 I2,电源作的功 W2。 若在 dt时间内,电流 i2有增量 di2,这时回路 1中感应电势为 E1=-dΨ21/dt,回路 2 中的感应电势为 E2=-
dΨ22/dt。 为克服感应电势,必须在两个回路上加上与感应电势反向的电压 。 在 dt时间内,电源作功为
dW2=M21I1di2+L2i2di2
积分得回路 1 电流保持不变时,电源作功总量为
2
222210 22212122 2
1)(2 ILIMdiiLIMdWW I
电源对整个电流回路系统所作的总功为
2
222121
2
11212 2
1
2
1 ILILMILWWW
2211
2221212111
222112122111
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
II
II
IILIMIIMILW
m
推广到 N个电流回路系统,其磁能为
N
i
iim IW
12
1?
式中：
jji
N
j
N
jjii
IMZ?
1 1
N
i C
iim
i
dlAIW
12
1
代入后得：
对于分布电流，用 Iidli=JdV代入上式，得
Vm A d VJW 21
类似于静电场的能量可以用电场矢量 D和 E表示,磁场能量也可用磁场矢量 B和 H表示,并由此得出磁通密度的概念 。 将
▽ × H=J代入上式,得
V S
VV
m
dSHAB d VH
dVHAHdVHAW
)(
2
1
2
1
)]()([
2
1
)(
2
1
注意,上式中当积分区域 V趋于无穷时,面积分项为零 (理由同静电场能量里的类似 )。 于是得到
Vm B d VHW 21磁场能量密度为
HBw m 21
例 求无限长圆柱导体单位长度的内自感 。
解,设导体半径为 a，通过的电流为 I，则距离轴心 r处的磁感应强度为
2
0
2 a
IrB
单位长度的磁场能量为
16
2
2
1
2
1
2
1
2
0
1
00
2
0
2
0
I
dzr d rB
dVBB H d VW
a
mi
单位长度的内自感为
8
2 0
2 I
WL mi
i
