机器人技术陶建国哈尔滨工业大学机电学院
2005,2.
2
第五章 机器人操作机工作空间
5.1 概述
5.1.1 基本概念工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能 。 B,Roth
在 1975年提出了操作机工作空间的概念 。
操作机的工作空间,机器人操作机正常运行时,末端执行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原点可达点占有的体积空间 。 这一空间又称可达空间或总工作空间,记作 W(P)。
灵活工作空间,在总工作空间内,末端执行器可以任意姿态达到的点所构成的工作空间 。 记作 Wp (P)。
次工作空间,总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的部分 。 记作 Ws (P)。
3
根据定义,有,
一般说来,工作空间都是一块或多块体积空间,它们都具有一定的边界曲面 (有时是边界线 )。 W(P) 边界面上的点所对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形 。 与奇异位形相应的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的,所以操作机的工作空间边界面又常称作雅可比曲面,即雅可比矩阵的行列式等于零所对应的曲面 。
灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响,通常分作两类：
I类 — 末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间,
表示为 Wp1 (P) ；
II类 — 只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间,
表示为 Wp2 (P)。
( ) ( ) ( )psW p W p W p
4
下面以平面 3R操作机为例,说明上述基本概念 。
如图所示的 3R操作机，由三杆 L1,L2，和 H组成。后两杆的长度之和小于 L1的长度。取手心点 P 为末端执行器的参考点，
令 l1,l2 分别为 l1,l2 杆的长度,h为手心点 P 到关节点 O8 的长度 (即 H杆的长度 )，则：
1)圆 C1:半径为,
圆 C4:半径为,
分别是该操作机的总工作空间的边界 。 它们之间的环形而积即 W(P) 。
1 1 2R l l h
4 1 2R l l h
C1C4
C2
C3
2） 圆 C2:半径为,
圆 C3:半径为,
分别是灵活工作空间的边界 。
它们之间的环形面积即 Wp(P)。
1 1 2R l l h
4 1 2R l l h
5
C1
C4
C2
C3
3） 圆 C1到圆 C2之间；圆 C3到圆 C4之间两环形面积即为次工作空间 。
由此可以看出：
1)在 Wp(P)中的任意点为全方位可达点 。
2)在 C1和 C4圆上的任一点,
只可实现沿该圆的切线方向的运动 。
3)末杆 H越长,即 h越大,C1
越大,C4越小,总工作空间越大；但相应的灵活工作空间则由于 C2的增大和
C3的减小而越小 。
4)工作空间同时受关节的转角限制 。
6
5.1.2 工作空间的两个基本问题
1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变化范围,求工作空间 。 称为 工作空间分析 或工作空间正问题 。
2)给出某一限定的工作空间,求操作机的结构形式,参数和关节变量的变化范围 。 称 工作空间的综合 或工作空间逆问题 。
5.2 工作空间的形成及确定
5.2.1 工作空间的形成
Zn-1 Zn
Zn-2
Pn( 1 ) ( ) (,) ( )n j n n j n j n j nW P R o t Z W PP
n — 末杆上的参考点；
W(*) — 参考点占据的工作空间 。
工作空间边界上的界限点构成界限曲面 。 界限曲面可以用不同方法求出 。
7
1、解析法
5.2.2 工作空间的确定由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 的界限曲面 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成的曲线族或曲面族的包络。因此，多次 运用单参数曲面族的包络公式能够顺序求得 工作空间的界限曲面 。
0()nWP
0()nWP?
若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与相切于不同点，称 为该曲线族的包络。
若存在一曲面,与曲面族 中的任一曲面都沿一条曲线 相切，这时 就称作该曲面族的包络。
tC?
8
下面给出一种分组求解操作机工作空间 包络界限曲面 的基本思想 。 0()nWP
0()nWP?
对于自由度 的机器人操作机,将操作机的前三杆 (或 前三关 节 )划为一组，在第三杆上设置参考点 P3(相当于腕点 )，求其绕各关节运动形成的曲面的包络，得到界限曲面 。
将后面各杆（ 4,5,6 杆）划为另一组，在末杆上取参考点
P6(可取手心点 )，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的包络，得到界限曲面 。
让 沿 运动，就形成了双参数曲面族，可用相应的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 。
6F?
03()WP?
3()nWP?
3()nWP? 03()WP?
0()nWP?
可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包络问题。
9
分别用,；,；,表示母线,母面,曲线族,曲面族以及它们的包络 。
曲线族的包络：
设有曲线 用向量方程表示：?
,,,r r t x t y t z t
式中 t是曲线 的几何参数。
再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的,就形成了一系列的以 为母线的曲线族。记作,其方程为,
,,,,,,,r r t x t y t z t
式中 是曲线 的运动参数。 曲线族的包络方程为：
：
,
0t
r r t
rr?
式中,
t rr t rr
10
曲面族的包络：
设有曲面 用向量方程表示：?
,,r r u v?
式中 u,v 是曲面 的几何参数。
再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族,其方程为,
,,,r r u v
：
,,
( ) 0u v a
r r u v
r r r
曲面族的包络 的方程为：?
式中,,
u rr u rrv rr v
11
若 再以 为参数运动，得到曲面族,其包络（称为二次包络） 的方程为,
：
,,,
( ) 0
( ) 0
auv
uv
r r u v
r r r
r r r?
式中,
u rr u v rr v
rr rr，
12
式中若母线 和母面,以及,,都是参数方程形式给出的,则可从上三式导出更便于计算的形式,如：
13
例 1 用解析法 考察 PUMA560型机器人在关节变量无结构限制条件下 (即 0＜ ＜ 360。 。 )的工作空间界限曲面?
14
有了曲面族方程式,利用包络公式 可 求出包络条件,并与上式 联立,即得该球面方程将 O4= O5= O6= P3定为手腕点,6个关节分为两组：后三关节 (4,5,6)为轴线交于 W的旋转关节；前三关节另一组 。
666,0,ppP a d?
在末杆上取参考点 P6(可取手心点 )，对于后三关节一组
446 6 6TP
66
2 2 2 2 2 24 4 4 4PPx y z a d R
446 4 4 6(,)R o t z
15
对于前三关节一组，腕点 P3 = O4
3 3 4,,0P a d?
113 3 3TP
013 1 1 3(,)Rot z
利用包络公式 可 求出包络条件,并与 上式 联立,即得该曲面方程 。
16腕点工作空间
17
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面
18
用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别截面 (或削截线 )。它直观性强，便于和计算机结合，以显示在可达点操作机的构形特征。
在应用图解法时．也将关节分为两组，即前三关节和后三关节 (有时为两关节或一关节 )，前三关节称位置结构，
主要确定工作空间大小，后三关节称定向结构，主要决定手部姿势。首先分别求出该两组关节所形成的腕点空间和参考点在腕坐标系中的工作空间，再进行包络整合。
2、图解法下面取两旋转关节进行图解讨论。
19
Zn
Zn-1
1 0n
若
ZnZn-1
Zn-1 Zn
20
1 90n若
Zn-1
Zn-1
21
例 2 用 图解法 考察 Motorman型机器人操作机的工作空间。
22
23
5.3 工作空间中的空洞和空腔一、定义空洞 ——在转轴 zi 周围，沿 z的全长参考点 Pn均不能达到的空间。
空腔 ——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空间。
1——空腔； 2——空洞
24
二、空洞及空腔约形成条件
1、空洞的形成条件及其判别工作空间 与其后级旋转轴 若不相交，则在该旋转轴的周围形成空洞。
空洞存在与否可根据前级空间 和后级旋转轴 之间的最小距离来判断。
若 。 则不存在空洞；
若 则存在空洞。
()nnWP
1nz?
()nnWP 1nz?
m in 0Rx?
min 0Rx?
25
2．空腔的形成条件及其判别在 空间中形成空腔的必要条件是在 工作空间中存在空洞，但这还不是形成空腔的充分条件。
1 ()nnWP? ()nnWP
26
Zn-1
27
第六章 机器人静力学和动力学静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、
动态仿真的基础。
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节力（矩）与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器人动力学研究者追求的目标。
28
6.1 机器人静力学一、杆件之间的静力传递在操作机中，任取两连杆 LJ，
lfl，，如图 7—1。设在杆 Lf*，上作用在点 o‘t，有力矩肋 lh和力扩
ft：；在杆 』 f上作用有自屋 C
〔 道质心 c刀,rf和 rcf分别为山 o。到
o‘t*和 cl的向径 rl(或记为 rj“l)和
r‘,(或记为 rf．。 l)。
iL
29
5,平面关节型 (SCARA)
仅平面运动有耦合性,控制较通用关节型简单 。 但运动灵活性更好,铅垂平面刚性好 。
SCARA型装配机器人
30
仿生型自由度一般较多,具有更强的适应性和灵活性,但控制更复杂,成本更高,刚性较差 。
类人型机器人 仿狗机器人蛇形机器人二,特种机器人
31
六轮漫游机器人仿鱼机器人 仿鸟机器人六足漫游机器人
32
1.3.3 机器人的性能要素
自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标,一般等于机器人的关节数 。 机器人所需要的自由度数决定与其作业任务 。
负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下,能够承载的负荷重量 。
运动范围 机器人在其工作区域内可以达到的最大距离 。
它是机器人关节长度和其构型的函数 。
精度 指机器人到达指定点的精确程度 。 它与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关 。
33
控制模式 引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软件编程模式；自主模式 。
运动速度 单关节速度；合成速度 。
其它动态特性 如稳定性,柔顺性等 。
重复精度 指机器人重复到达同样位置的精确程度 。 它不仅与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关,还与传动机构的精度及机器人的动态性能有关 。
2005,2.
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第五章 机器人操作机工作空间
5.1 概述
5.1.1 基本概念工作空间是从几何方面讨论操作机的工作性能 。 B,Roth
在 1975年提出了操作机工作空间的概念 。
操作机的工作空间,机器人操作机正常运行时,末端执行器坐标系的原点能在空间活动的最大范围；或者说该原点可达点占有的体积空间 。 这一空间又称可达空间或总工作空间,记作 W(P)。
灵活工作空间,在总工作空间内,末端执行器可以任意姿态达到的点所构成的工作空间 。 记作 Wp (P)。
次工作空间,总工作空间中去掉灵活工作生间所余下的部分 。 记作 Ws (P)。
3
根据定义,有,
一般说来,工作空间都是一块或多块体积空间,它们都具有一定的边界曲面 (有时是边界线 )。 W(P) 边界面上的点所对应的操作机的位置和姿态均为奇异位形 。 与奇异位形相应的机器人的速度雅可比矩阵是奇异的,所以操作机的工作空间边界面又常称作雅可比曲面,即雅可比矩阵的行列式等于零所对应的曲面 。
灵活空间内点的灵活程度受到操作机结构的影响,通常分作两类：
I类 — 末端执行器以全方位到达的点所构成的灵活空间,
表示为 Wp1 (P) ；
II类 — 只能以有限个方位到达的点所构成的灵活空间,
表示为 Wp2 (P)。
( ) ( ) ( )psW p W p W p
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下面以平面 3R操作机为例,说明上述基本概念 。
如图所示的 3R操作机，由三杆 L1,L2，和 H组成。后两杆的长度之和小于 L1的长度。取手心点 P 为末端执行器的参考点，
令 l1,l2 分别为 l1,l2 杆的长度,h为手心点 P 到关节点 O8 的长度 (即 H杆的长度 )，则：
1)圆 C1:半径为,
圆 C4:半径为,
分别是该操作机的总工作空间的边界 。 它们之间的环形而积即 W(P) 。
1 1 2R l l h
4 1 2R l l h
C1C4
C2
C3
2） 圆 C2:半径为,
圆 C3:半径为,
分别是灵活工作空间的边界 。
它们之间的环形面积即 Wp(P)。
1 1 2R l l h
4 1 2R l l h
5
C1
C4
C2
C3
3） 圆 C1到圆 C2之间；圆 C3到圆 C4之间两环形面积即为次工作空间 。
由此可以看出：
1)在 Wp(P)中的任意点为全方位可达点 。
2)在 C1和 C4圆上的任一点,
只可实现沿该圆的切线方向的运动 。
3)末杆 H越长,即 h越大,C1
越大,C4越小,总工作空间越大；但相应的灵活工作空间则由于 C2的增大和
C3的减小而越小 。
4)工作空间同时受关节的转角限制 。
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5.1.2 工作空间的两个基本问题
1)给出某一结构形式和结构参数的操作机以及关节变量的变化范围,求工作空间 。 称为 工作空间分析 或工作空间正问题 。
2)给出某一限定的工作空间,求操作机的结构形式,参数和关节变量的变化范围 。 称 工作空间的综合 或工作空间逆问题 。
5.2 工作空间的形成及确定
5.2.1 工作空间的形成
Zn-1 Zn
Zn-2
Pn( 1 ) ( ) (,) ( )n j n n j n j n j nW P R o t Z W PP
n — 末杆上的参考点；
W(*) — 参考点占据的工作空间 。
工作空间边界上的界限点构成界限曲面 。 界限曲面可以用不同方法求出 。
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1、解析法
5.2.2 工作空间的确定由操作机工作空间的形成可以看出，其工作空间 的界限曲面 可以看作是由末端参考点绕各关节运动形成的曲线族或曲面族的包络。因此，多次 运用单参数曲面族的包络公式能够顺序求得 工作空间的界限曲面 。
0()nWP
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若在空间有一条曲线 存在，它上面的每一个点都是与曲线族 中的每一条曲线相切的切点，曲线中的不同的线与相切于不同点，称 为该曲线族的包络。
若存在一曲面,与曲面族 中的任一曲面都沿一条曲线 相切，这时 就称作该曲面族的包络。
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下面给出一种分组求解操作机工作空间 包络界限曲面 的基本思想 。 0()nWP
0()nWP?
对于自由度 的机器人操作机,将操作机的前三杆 (或 前三关 节 )划为一组，在第三杆上设置参考点 P3(相当于腕点 )，求其绕各关节运动形成的曲面的包络，得到界限曲面 。
将后面各杆（ 4,5,6 杆）划为另一组，在末杆上取参考点
P6(可取手心点 )，求出其绕后面关节运动形成的曲面（线）的包络，得到界限曲面 。
让 沿 运动，就形成了双参数曲面族，可用相应的包络面公式求出末杆上参考点的工作空间界限曲面 。
6F?
03()WP?
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可见，求工作空间的问题，可以归结为求曲面（线）族的包络问题。
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分别用,；,；,表示母线,母面,曲线族,曲面族以及它们的包络 。
曲线族的包络：
设有曲线 用向量方程表示：?
,,,r r t x t y t z t
式中 t是曲线 的几何参数。
再设曲线 以 为参数运动，则在空间相应于不同的,就形成了一系列的以 为母线的曲线族。记作,其方程为,
,,,,,,,r r t x t y t z t
式中 是曲线 的运动参数。 曲线族的包络方程为：
：
,
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式中,
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曲面族的包络：
设有曲面 用向量方程表示：?
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式中 u,v 是曲面 的几何参数。
再设曲面 以 为参数运动，得到曲面族,其方程为,
,,,r r u v
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曲面族的包络 的方程为：?
式中,,
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11
若 再以 为参数运动，得到曲面族,其包络（称为二次包络） 的方程为,
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12
式中若母线 和母面,以及,,都是参数方程形式给出的,则可从上三式导出更便于计算的形式,如：
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例 1 用解析法 考察 PUMA560型机器人在关节变量无结构限制条件下 (即 0＜ ＜ 360。 。 )的工作空间界限曲面?
14
有了曲面族方程式,利用包络公式 可 求出包络条件,并与上式 联立,即得该球面方程将 O4= O5= O6= P3定为手腕点,6个关节分为两组：后三关节 (4,5,6)为轴线交于 W的旋转关节；前三关节另一组 。
666,0,ppP a d?
在末杆上取参考点 P6(可取手心点 )，对于后三关节一组
446 6 6TP
66
2 2 2 2 2 24 4 4 4PPx y z a d R
446 4 4 6(,)R o t z
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对于前三关节一组，腕点 P3 = O4
3 3 4,,0P a d?
113 3 3TP
013 1 1 3(,)Rot z
利用包络公式 可 求出包络条件,并与 上式 联立,即得该曲面方程 。
16腕点工作空间
17
PUMA560型机器人无结构限制时的工作空间轴剖面
18
用图解法求工作空间，得到的往往是工作空间的各类别截面 (或削截线 )。它直观性强，便于和计算机结合，以显示在可达点操作机的构形特征。
在应用图解法时．也将关节分为两组，即前三关节和后三关节 (有时为两关节或一关节 )，前三关节称位置结构，
主要确定工作空间大小，后三关节称定向结构，主要决定手部姿势。首先分别求出该两组关节所形成的腕点空间和参考点在腕坐标系中的工作空间，再进行包络整合。
2、图解法下面取两旋转关节进行图解讨论。
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Zn
Zn-1
1 0n
若
ZnZn-1
Zn-1 Zn
20
1 90n若
Zn-1
Zn-1
21
例 2 用 图解法 考察 Motorman型机器人操作机的工作空间。
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5.3 工作空间中的空洞和空腔一、定义空洞 ——在转轴 zi 周围，沿 z的全长参考点 Pn均不能达到的空间。
空腔 ——参考点不能达到的被完全封闭在工作空间之内的空间。
1——空腔； 2——空洞
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二、空洞及空腔约形成条件
1、空洞的形成条件及其判别工作空间 与其后级旋转轴 若不相交，则在该旋转轴的周围形成空洞。
空洞存在与否可根据前级空间 和后级旋转轴 之间的最小距离来判断。
若 。 则不存在空洞；
若 则存在空洞。
()nnWP
1nz?
()nnWP 1nz?
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2．空腔的形成条件及其判别在 空间中形成空腔的必要条件是在 工作空间中存在空洞，但这还不是形成空腔的充分条件。
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Zn-1
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第六章 机器人静力学和动力学静力学和动力学分析，是机器人操作机设计和动态性能分析的基础。特别是动力学分析，它还是机器人控制器设计、
动态仿真的基础。
机器人静力学研究机器人静止或缓慢运动式，作用在机器人上的力和力矩问题。特别是当手端与环境接触时，各关节力（矩）与接触力的关系。
机器人动力学研究机器人运动与关节驱动力（矩）间的动态关系。描述这种动态关系的微分方程称为动力学模型。由于机器人结构的复杂性，其动力学模型也常常很复杂，因此很难实现基于机器人动力学模型的实时控制。然而高质量的控制应当基于被控对象的动态特性，因此，如何合理简化机器人动力学模型，使其适合于实时控制的要求，一直是机器人动力学研究者追求的目标。
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6.1 机器人静力学一、杆件之间的静力传递在操作机中，任取两连杆 LJ，
lfl，，如图 7—1。设在杆 Lf*，上作用在点 o‘t，有力矩肋 lh和力扩
ft：；在杆 』 f上作用有自屋 C
〔 道质心 c刀,rf和 rcf分别为山 o。到
o‘t*和 cl的向径 rl(或记为 rj“l)和
r‘,(或记为 rf．。 l)。
iL
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5,平面关节型 (SCARA)
仅平面运动有耦合性,控制较通用关节型简单 。 但运动灵活性更好,铅垂平面刚性好 。
SCARA型装配机器人
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仿生型自由度一般较多,具有更强的适应性和灵活性,但控制更复杂,成本更高,刚性较差 。
类人型机器人 仿狗机器人蛇形机器人二,特种机器人
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六轮漫游机器人仿鱼机器人 仿鸟机器人六足漫游机器人
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1.3.3 机器人的性能要素
自由度数 衡量机器人适应性和灵活性的重要指标,一般等于机器人的关节数 。 机器人所需要的自由度数决定与其作业任务 。
负荷能力 机器人在满足其它性能要求的前提下,能够承载的负荷重量 。
运动范围 机器人在其工作区域内可以达到的最大距离 。
它是机器人关节长度和其构型的函数 。
精度 指机器人到达指定点的精确程度 。 它与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关 。
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控制模式 引导或点到点示教模式；连续轨迹示教模式；软件编程模式；自主模式 。
运动速度 单关节速度；合成速度 。
其它动态特性 如稳定性,柔顺性等 。
重复精度 指机器人重复到达同样位置的精确程度 。 它不仅与机器人驱动器的分辨率及反馈装置有关,还与传动机构的精度及机器人的动态性能有关 。
