机械制图电子课件第二章景海平 张武奎 编著第二章投影的基本知识
§ 2-1 投影法的基本概念
§ 2-2 三面视图
§ 2-3 点的投影
§ 2-4 直线的投影
§ 2-6 几何体的投影
§ 2-5 平面的投影
§ 2-7 几何体尺寸注法
§ 2-8 几何体的轴测图
§ 2-1 投影法的基本概念一、投影法的分类
1,中心投影法
2,平行投影法
（ 1） 斜投影法
（ 2） 正投影法二,正投影的基本性质投影的概念物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，
这就是投影现象。
投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。
投射线通过物体,向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。
投影
S 投射中心
a
b c
形体投射线
A
B C
一、投影法的分类物体的中心投影
1.中心投影法投影线自投影中心 S
出发，将空间△ ABC投射到投影面 P上，所得
△ abc即为△ ABC的投影。
这种投影线自投影中心出发的投影法称为中心投影法，所得投影称为中心投影。
中心投影法主要用于绘制产品或建筑物富有真实感的立体图，也称透视图。
2.平行投影法：
（ 1）斜投影法若将投影中心 S移到离投影面无穷远处，
则所有的投影线都相互平行，这种投影线相互平行的投影方法，称为平行投影法，所得投影称为平行投影。
若投影线倾斜于投影面，称为斜投影法，
所得投影称为斜投影，
斜投影法主要用于绘制有立体感的图形，如斜轴测图 。
a
b c
90°
投射线方向
A
B C
（ 2）正投影法投影线与投影面相垂直的平行投影法，称为正投影法，根据正投影法所得到的图形称为正投影或正投影图。
正投影法主要用于绘制机械图样。 90°
投射线方向 A
B C
a
b c
二、正投影的基本性质
１,显实性
２,积聚性
３,类似性
1.显实性 (实形性 )
当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长、平面的投影反映其实形。
2.积聚性平面图形 (或直线 ) 与投影平面垂直时,其投影积聚为线 (或一个点 )的性质。
3.类似性平面图形 (或直线 )与投影面倾斜时，其投影变小 (或变短 )，但投影的形状与原来形状相类似的性质,称为类似性。
§ 2-2 三面视图一,视图的基本概念二,三视图的形成过程三,三视图之间的对应关系四,三视图的作图方法与步骤一、视图的基本概念用正投影法绘制出的物体的图形称为视图。物体有长、宽、
高三个方向的，尺寸，一个视图只能反映其两个方向的情况和尺寸。所以，一般情况下，一个视图不能确定物体的形状和大小。
为了准确表示物体的形状，必须增加由几个不同的投射方向得到的几个视图，把物体上长、宽、高三个方向的形状和尺寸，
都加以说明。工程上常用的是三视图。
二、三视图的形成过程
1.三投影面体系的建立
2.物体在三投影面体系中的投影
3.三投影面的展开
1.三投影面体系的建立投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成。三个投影面分别称为,正立投影面 V、水平投影面 H、侧立投影面 W。三个投影面两两垂直相交，得三个投影轴分别为 OX、
OY,OZ，其交点 O为原点。
2.物体在三投影面体系中的投影将物体放置在三投影面体系中，按正投影法向各投影面投射，即可得到物体的正面投影、水平面投影和侧面投影,如图所示。
3.三投影面的展开为了画图方便，规定 V面不动,H面绕 OX轴向下旋转
900,W面绕 OZ轴向右旋转 900，使得三投影面处于同一平面，由于视图和平面大小无关，所以投影面的范围不必画出。
三、三视图之间的对应关系
1.三视图之间的位置关系
2.三视图间的,三等,关系
3.视图与物体的方位关系
1.三视图的位置关系以主视图为准俯视图在它的下面左视图在它的右面
2.三视图的,三等,关系三等规律主、俯视图 ---长对正（等长）
主、左视图 ---高平齐（等高）
俯、左视图 ---宽相等（等宽）
3.视图与物体的方位关系主视图反映物体的上、
下和左、右俯视图反映物体的左、
右和前、后左视图反映物体的上、
下和前、后四、三视图的作图方法与步骤
1.总体分析物体，选好主视图的方向，
使其主要平面与投影面平行。
2.确定比例、图幅大小。
3.确定三视图的位置，画出定位线、辅助线。
4.先画出主视图，再依据三等规律依次画出俯、左视图。
§ 2-3 点的投影一,点的三面投影二,点的投影与直角坐标的关系三,两点的相对位置四,读点的投影图一、点的三面投影点 A的 水平投影 —— a
点 A的 正面投影 —— a?
点 A的侧面 投影 —— a?
为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如 A,B,C
等；水平投影用相应的小写字母表示，如 a,b,c等；正面投影用相应的小写字母加撇表示，如 a′,b′,c′；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如 a″,b″,c″。
１,点的两面投影的连线,必定垂直于相应的投影轴。
即,a?a?OX轴,a?aOZ轴,aayh⊥ OY H轴,a"ayw⊥ OY
W轴。
２,点的 投影 到投影轴的距离,等于空间点到相的应投影面的距离。即,a?ax=a?ay=Aa,a?az=aay=Aa,aax
=a?az=Aa?。
点的投影规律
1,a? az = aay =Aa? = xA
2,aax = a?az =Aa? = yA
3,a? ax =a?ay = Aa = zA
二、点的投影与直角坐标的关系三、两点的相对位置两点中 x 值大 的点 —— 在左两点中 y 值大 的点 —— 在前两点中 z 值大 的点 —— 在上
a?
a?
a
b?
b?
b
B
A
XA-XB
Z A
-Z B
Y A
-Y B
YA-YB
b’ b”
b
za’ a”
a
x
yH
yO W
重影点的投影共处于同一条投影线上的两点,必在相应的投影面上具有重合的投影，这两个点被称为该投影面的一对重影点。重影点的可见性需根据这两点不重影的投影的坐标大小来判别。
b’
H
a’
W
V
x
z
O
y
a(c)
a”(d’’)
b
b”
A
B
判断可见性,前遮后、上遮下、左遮右
b”
b
za’ a”(b’’)
a(c)
x
y
yO W
(b’)
Y A
-Y
B
YA-YBD
C
( )
四、读点的投影图读图是本课程的学习重点，从最基本的几何元素（点）
开始讨论读图问题，有利于培养正确的读图思维方式，从而为识读体的投影图打好基础。
实例分析作出诸点的三面投影。点 A（ 20,15,20），点 B在 A 之左 10，
A之下 15,A之前 10，点 C在点 A的正前方 5。
X
YH
Z
a’
a
a”
b
b’ b”
c
c”c’( )
YWO
X=20
Z=20
Y=15
§ 2-4 直线的投影一,直线的三面投影二,各种位置直线的投影三,属于直线的点四,读直线的投影图五,两直线的相对位置一、直线的三面投影直线的投影一般仍为直线,特殊情况下为一点,作图步骤,1.作出两端点的三面投影。
2.用直线连接两端点的同面投影。
二、各种位置直线的投影
1.一般位置直线,与三个投影面都倾斜 。
2.特殊位置直线
⑴ 投影面平行线：与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。
① 正平线
② 水平线
③ 侧平线
⑵ 投影面垂直线：与一个投影面垂直，必与另外两个投影面平行。
① 正垂线
② 铅垂线
③ 侧垂线直线一般位置直线：
投影面 平行线：
（只平行一个面）
正平线,∥ V 面，倾斜于 H,W 面水平线,∥ H 面，倾斜于 V,W 面侧平线,∥ W 面，倾斜于 H,V 面投影面垂直线：
正垂线：垂直 V 面，平行于 H,W 面铅垂线：垂直 H 面，平行于 V,W 面侧垂线：垂直 W 面，平行于 H,V 面对 V,H,W 面都倾斜
1.一般位置直线投影特性,①三个投影面的投影均倾斜于投影轴
②三个投影面的投影均小于真实长度
③三个投影均不反映直线对投影面的 真实倾角正平线投影特性：① a?b? =AB
② ab∥ OX ; a?b?∥ OZ
③ 反映 a,? 角的真实大小
2.特殊位置直线,(１ )投影面平行线水平线投影特性：① ab=AB
② a?b?∥ OX ; a?b?∥ OY1
③ 反映?,? 角的真实大小侧平线投影特性：① a?b?=AB
② ab∥ OY ; a?b?∥ OZ
③ 反映 角的真实大小反映,实角反映,实角反映,实角,
＝
＝
直线的位置 直 观 图平行于 面
（水平线）
投 影 图 特 征平行 于 面
（侧平线）
平行 于 面
（正平线）
＝
①在平行的投影面上的投影，反映线段真实长度。
它与投影轴的夹角，分别反映直线对另两投影面的真实倾角。
②在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。
总结：投影面平行线的投影特性
x
yH
z
O
a b
b’ b”
a’ a”α
γ
投影特性,① a?b? 积聚成一点
② a b?OX ; a? b OZ
③ a b = a? b? = AB
正垂线
（２）投影面垂直线投影特性,① a b 积聚成一点
② a?bOX ; a? b OY 1
③ a? b? = a? b? = AB
铅垂线投影特性,① a? b? 积聚成一点
② a b?OＹ ; a?b OZ
③ a b = a?b?= AB
侧垂线直线的位置 直 观 图垂直于 面
（铅垂线）
积聚成一点
⊥
⊥
＝ ＝
⊥
⊥
＝ ＝
积聚成一点
⊥
积聚成一点
⊥
＝ ＝
投 影 图 特 征垂直于 面
（侧垂线）
垂直于 面
（正垂线）
①与直线垂直的投影面上的投影，积聚成一点。
②在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，反映线段真实长度。
投影面垂直线的投影特性
x
yH
z
yWO
a
b
b’ b”a’ a”
直线上的点具有两个特性：
1．从属性,若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2．定比性,属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
即 AC:CB = ac:cb=a?c?,c?b? = a?c?,c? b?
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在直线上。
三、属于直线的点
A
B
a b
C
c
α
读直线的投影图，就是根据其投影相象直线的空间位置。
例如，识读图所示 AB直线的投影。根据直线的投影特性“三面投影都与透雨轴倾斜”，可以直接判定 AB为一般位置直线，
“走向”为：从左、前、下方向右、后、上方倾斜。
但应指出，看图时不能只根据“投影图”机械地套用“投影特性”而家以判断。关键是建立起空间概念，即在脑海中呈现出直线投影的立体情况。有了这样的思路，再运用直线的投影特性判定直线的空间位置，才是正确的看图方法。
四、读直线的投影五、两直线的相对位置
1.平行两直线 例题 1
2.相交两直线 例题 2
3.交叉两直线 例题 3
1.平行两直线
①若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。
反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
②平行两线段之比等于其投影之比。
b?
a
a?
d?
b d
c
c?
X
b?
a?
a
b d
c?
d?
c
判断图中两条直线是否平行。
a
b
b’
a’
c
d
d’
c’
对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，就能确定空间两直线互相平行。
a"
b"
c"
d"
2.相交两直线当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
b?
X
a?
a
b
k?
c?
d?
d
c
k
如图所示，判段直线 AB,CD的相对位置。
x
Y H
z
Y W
O
a
b
b’ b”a’ a”
c
d
d’ d”
c’ c”
结论,相交两直线
3.交叉两直线在空间既不平行也不相交的两直线,叫交叉两直线,又称异面直线。
b?
X
a?
a
b
c?
d?
d
c
1
1?(2?)
2
如图所示,判断两侧平线 AB,CD的相对位置。
Y H
z
Y WO
b”
a”
x
a
b
b’
a’
c
d
d’
c’
d”
c”
结论,交叉两直线可见,对于特殊位置直线,只有两个同面投影互相平行,空间两直线不一定平行。
§ 2-5 平面的投影一,平面的投影二,各种位置平面的投影三,平面的迹线表示法四,属于 平面的直线和点五、读平面的投影一、平面的投影用几何元素表示平面
① 不在一直线上的三个点 。
② 一直线和直线外一点 。
③ 相交二直线 。
④ 平行二直线 。
⑤ 任意平面图形 。
用几何元素表示平面
b
b?
a?
a
c?
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
b?
a?
c?
a
b
c
二、各种位置平面的投影
1.一般位置平面
2,特殊位置平面
(1)投影面的平行面：投影面平行面是平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。
① 水平面
② 正平面
③ 侧平面
(2)投影面的垂直面,投影面垂直面是垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面。
① 铅垂面
② 正垂面
③ 侧垂面平面一般位置平面,对 V,H,W 面都倾斜。
投影面 平行面,
(平行一个投影面 )
正平面,∥ V 面，垂直于 H,W 面水平面,∥ H 面，垂直于 V,W 面侧平面,∥ W 面，垂直于 H,V 面投影面垂直面：
(垂直一个投影面 )
正垂面：垂直 V 面，倾斜于 H,W 面铅垂面：垂直 H 面，倾斜于 V,W 面侧垂面：垂直 W 面，倾斜于 H,V 面
1.一般位置平面投影特性
(1)? abc,? a?b?c?,? a?b?c? 均为? ABC的类似形
(2)三个投影面的投影都仍是平面图形，且面积缩小。
a"
b"
c"
c
a'
b'
b
a
a"a'
b' b"
c' c"
b
a
c
A
B
C
2.特殊位置平面
（１）投影面平行面平行于一个投影面的平面，统称为投影面平行面。
（２）投影面垂直面垂直于一个投影面而对其它两个投影面倾斜的平面，统称为投影面垂直面。
① 水平面投影特性：
(1) a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性
(2) 水平投影? abc反映? ABC实形
C
A B a"b"
c'
b
a
c
a' b'
c"
c
a? b' b"
b
a
a"c? c"
② 正平面投影特性：
abc,a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性正平面投影? a?b?c?反映? ABC实形
c"
a"
b"b'
a'
c'
bc a
b'
a'
c' a"
b"
c"
bc a
C
B
A
投影特性：
abc,a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性侧平面投影? a?b?c? 反映? ABC实形
③ 侧平面
a'
b' b"
b
a"
c' c"
c
a
b"
c'
b
a
c
a'
b'
c"C
A
B
a"
直线的位置 直 观 图正平面投 影 图 特 征侧平面水平面
C
B A
b
"
c
'
a
b
"b
a
c'
1,水平投影反映实形 。
2,正面投影积聚成平行于 X轴的直线 。
3,侧面投影积聚成平行于 Y轴的直线 。
1,正面投影反映实形 。
2,水平投影积聚成平行于 X轴的直线 。
3,侧面投影积聚成平行于 Z轴的直线 。
1,侧面投影反映实形 。
2,正面投影积聚成平行于 Z轴的直线 。
3,水平投影积聚成平行于 Y轴的直线 。
① 铅垂面投影特性,
水平投影 积聚为一条直线正面投影和侧面投影为原形的 类似形水平投影与 OX,OY 的夹角 反映 β,? 角的真实大小积聚性类似性类似性
② 正垂面投影特性,
正面投影积聚为一条线水平投影和侧面投影为 类似形正面投影与 OX,OZ 的夹角 反映 α,? 角的真实大小积聚性 类似 性类似性
③ 侧垂面投影特性,
侧面投影积聚为一条线水平投影和正面投影为 类似形侧面投影与 OY,OZ 的夹角 反映 α,β 角的真实大小积聚性类似 性类似性直线的位置 直 观 图正垂面投 影 图 特 征侧垂面铅垂面
1,水平投影积聚成直线,与 X轴夹角为 β,
与 Y轴夹角为 γ
2,正面投影和侧面投影具有类似性
1,正面投影积聚成直线,与 X轴夹角为 α,
与 Z轴夹角为 γ
2,水平投影和侧面投影具有类似性
1,侧面投影积聚成直线,与 Y轴夹角为 α,与
Z轴夹角为 β
2,正面投影和水平投影具有类似性三、平面的迹线表示法
１,平面迹线的概念平面与投影面的交线，称为平面的迹线。
PPV
PH
PV
PH
２,特殊位置平面的迹线：投影面垂直面
PH
P
PH
P
P
H PH
PＶ
２,特殊位置平面的迹线：投影面平行平面四、属于平面的直线和点
1,取属于平面的直线直线从属于平面的条件是,① 一直线经过属于平面的两点 。
② 一直线经过属于平面的一点,且平行于属于该平面的另一条直线 。
2,取属于平面的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上 。
在平面上取点,直线的作图,实质上就是在平面内作辅助线的问题 。 利用在平面上取点,直线的作图,可以解决三类问题：判别已知点,线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影 。
例题 1 例题 2
[例题 1] 已知? ABC给定一平面，试判断点 D是否属于该平面。
a
a’
b’
b
d
c
c’
d’
e
e’
[例题 2] 完成五边形的正面投影 (AB为侧平线 )。
a
a’
d
b
c
c’
b’
e’
e
d‘
五、读平面的投影读平面投影图的要求是：想象出所示平面的形状和空间位置 。
§ 2-6 几何体的投影一,平面立体
1.棱柱 2.棱锥二,回转体
1.圆柱 2.圆锥 3.圆球
4.圆环 5.不完整的回转体三,线框的含义几何体分为平面立体和曲面立体两类。表面均为平面的的立体，称为平面的立体；表面为曲面或曲面与平面的立体，成为曲面立体。
一、平面立体
1,棱柱
2,棱锥由于平面立体是由平面围成,因此，绘制平面立体的三视图，
就可归结为绘制各个表面（棱面）的投影的集合。由于平面图形系由直线段组成，而每条线段都可由其两端点确定，因此作平面立体的三视图，又归结为其各表面的交线（棱线）及各顶点的投影的集合。
在立体的三视图中，有些表面和表面的交线处于不可见位置，在图中用虚线表示。
1.棱柱
⑴ 棱柱的三视图
⑵ 属于棱柱表面的点一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形。
z
yx
V
H
W
A
B
C D
F
E
(1) 棱柱的三视图
(1) 棱柱的三视图以正六棱柱为例,在三投影体系做出正六棱柱三面投影 。 其画法为：
① 画出正六棱柱轴线的正面投影和侧面投影,
并画出水平投影的对称中心线 。
② 画出上,下底面的水平投影 （ 实形 ） 后,再画其余二投影
③连接上、下底面对应的顶点，即得三面投影图。
d
cb
a
ef
d1’
e’f’
f1’ (c1’)
(c’) d’a’
e1’a1’
(b’)
(b1’) f1”a1”(c1”)b1” (d1”) e1”
f”a”(c”)b” (d”) e”
(2) 属于棱柱表面的点当点属于几何体的某个表面时,则该点的投影必在它所从属的表面的各同面投影范围内 。 若该表面的投影为可见,则该表面的投影为可见,则该点的同面投影也可见；反之
,为不可见 。 因此,在求体表面上的头影时,应首先分析该点所在平面的投影特性,然后再 根据点的投影规律求得 。
(m?)m’
m
d
cb
a
ef
d1’
e’f’
f1’ (c1’)
(c’) d’a’
e1’a1’
(b’)
(b1’) f1”a1”(c1”)b1” (d1”) e1”
f”a”(c”)b” (d”) e”
2.棱锥的三视图
⑴ 棱锥的三视图
⑵ 属于 棱锥表面的点一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为三角形。
B
C
A
S
以三棱锥为例，其画法如下：
① 画出棱锥顶点及底面的三面投影；
② 连接锥顶与底面三角形各顶点的同面投影，得到三面投影。
⑴ 棱锥的三视图
y3
y1
y 1
y 3
⑵ 属于棱锥表面的点
y3
y1
y 1
y 3
y2
y 2
k”
k
k’
a
a’
k
正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。属于特殊位置平面的点的投影，可利用该平面投影的积聚性直接作图。属于一般位置平面的点的投影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。
二、回转体由一条母线（直线或曲线）围绕轴线回转而形成的表面，称为回转面；由回转面或回转面与平面所围成的立体，
称为回转体。
圆柱、圆锥、圆球、圆环等都是回转体，它们的画法与回转体的形成条件有关。
1.圆柱
2.圆锥
3.圆 球
4.圆环
1.圆 柱
⑴ 圆柱面的形成
⑵ 圆柱的三视图
⑶ 属于圆柱表面上的点
⑴ 圆柱面的形成圆柱面是由一条直母线 AE绕与它平行的轴线旋转形成的，如图所示。圆柱体的表面是由圆柱面和顶面、底面组成。在圆柱面上任意位置的母线称为素线 。
⑵ 圆柱的三视图画图注意先画出各投影的中心线，然后画出有积聚性的投影 —— 圆，最后完成其余投影。
利用投影的积聚性作图步骤,
① 画轴线。
② 画底面和顶面的投影。
③ 画轮廓转向线、
正面转向线、
侧面转向线。
⑶ 属于圆柱表面上的点
(a’)
a
b
a”
b”b’
y1
y 1
已知属于圆柱面上的点 A,B,C
的一个投影，求另外两面投影。
c
c”c’
y
y
2.圆 锥
⑴ 圆锥面的形成
⑵ 圆锥的三视图
⑶ 属于圆锥表面的点
⑴ 圆锥面的形成圆锥面是由一条直母线 SA，绕与它相交的轴线旋转形成的，如图所示。圆锥体表面是由圆锥面和底面组成。在圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶点。
⑵ 圆锥的三视图
S
s’ s”
s
⑶ 属于圆锥表面的点
K
S
Ay 1
y1
s’ s”
a’ a”
a
s
k”
k
k’
y2
s’ s”
s
k”
k
k’
辅助圆法
k
3.圆 球
⑴ 圆球面的形成
⑵ 圆球的三视图
⑶ 属于圆球表面的点
⑴ 圆球面的形成圆球面是由一圆母线，以它的直径为回转轴旋转形成的。
⑵ 圆球的三视图三个投影分别为三个和圆球的直径相等的圆，
它们分别是圆球三个方向转向轮廓线的投影。
⑶ 属于圆球表面的点
k”
k
k’
K
辅助圆法
4.圆 环
⑴ 圆环面的形成
⑵ 圆环的三视图
⑶ 属于圆环表面的点
⑴ 圆环面的形成圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
⑵ 圆环的三视图画母线圆圆心轨迹。
画转向线。
画轴线。
判别可见性，图线加粗。
画母线圆。
⑶ 属于圆环表面的点已知圆环面上的点 A,B 的一个投影，求它们的另一个投影。
5.不完整的回转体三、线框的含义
（１）一个封闭线框，表示物体的一个表面（平面或曲面）或孔、坑的投影；
（３）在一个大的封闭线框内所包含的各个小线框，一般表示是在大的平面体（或曲面体）上凸出或凹下的各个小平面体
（或曲面体）。
（２）投影图中相邻的两个封闭线框，通常表示物体上位置不同的两个面。
§ 2-7 几何体的尺寸注法任何机器零件都是依据图样中的尺寸进行加工的。因此，图样中必须正确地注出尺寸。本节所研究的几何体和带切口的几何体的尺寸注法，
是图样中标注尺寸的基础，初学者应给予充分重视。
几何体的尺寸标注
（ 1）平面立体一般应标注长,宽,高三个方向的尺寸。
几何体的尺寸标注
（ 2）正棱柱和正棱锥，除标注高度尺寸外，一般应注出其底的外接圆直径。
几何体的尺寸标注
（ 3）圆柱和圆台（或圆锥）应注出高和底圆直径；圆环应注出素线圆和中心圆直径。但也可根据需要注成其他形式。
几何体的尺寸标注
（ 4）圆柱圆锥台（或圆锥）在直径尺寸前加注
,”,圆球在直径尺寸前加注,Ｓ,,只用一个视图就可将其形状和大小表示清楚。
§ 2-8 几何体的轴测图一,轴测图的基本知 识二,正等测三,斜二测四,轴测投影图的投影特性
P
轴测投影面
H
X
o'X'
X
A
V Z'
O1Y
A1
X1
Y
B1
Y1
O
B
C
Z
C1
Z1
轴测轴轴测投影一、轴测图的基本知识轴测投影图 （ 简称轴测图 ） 通常称为立体图,是将物体连同其参考直角坐标系,沿不平行于任一坐标面的方向,用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的图形 。 轴测意即沿轴测量,所以它能同时反映出物体长,宽,高三个方向的尺度,
富有立体感,但不能反映物体的真实形状和大小,度量性差 。
⑴ 轴测投影面：形成轴测图的单一投影面 P称为轴测投影面 。
⑵ 轴测轴：坐标轴 OX,OY,OZ在轴测投影面上的投影 O1X1、
O1Y1,O1Z1称为轴测投影轴：简称轴测轴 。
⑶ 轴间角：每两根轴测轴之间的夹角 ∠ X1O1Y1,∠ X1O1Z1、
∠ Y1O1Z1,称为轴间角 。
⑷ 轴向伸缩系数：直角坐标轴上单位长度的轴测投影长度与对应直角坐标轴上单位长度的比值,称为轴向伸缩系数,X,Y、
Z方向的轴向伸缩系数分别用 p,q,r表示 。
X
Z
O
Y
O
P
1
1
1
Z
Y
X
轴测图的分类
1.按形成方式不同分类：
① 正轴测投影图：改变物体相对于投影面的位置,而投影方向仍垂直于投影面,所得轴测图称为正轴测投影图简称正轴测图 。
② 斜轴测投影图：另一种是改变投影方向使其倾斜于投影面,而不改变物体对投影面的相对位置,所得投影图为斜轴测投影图简称斜轴测图 。
2.根据轴向伸缩系数不同分类：
① 等测轴测图：三个轴向伸缩系数均相等 。
② 二测轴测图：只有两个轴向伸缩系数相等 。
③ 三测轴测图：三个轴向伸缩系数均不相等 。
正轴测投影图正等测正二测正三测斜轴测投影图斜等测斜二测斜三测轴测投影图工程上使用较多的是正等测和斜二测,本章只介绍这两种轴测图的画法 。
O
X
Y
Z
O
Z1
X1
Y1
正轴测投影图
① 正轴测图的形成
S0
Z
X
O
Y
Z1
O
X1 Y1
斜轴测投影图正投影图
S
S0
Z
X
② 斜轴测图的形成三视图绘制的图样,它可以较完整地确切地表达出零件各部分的形状,
且作图方便,但这种图样直观性差；轴测图能同时反映形体长,宽,高三个方向的形状,具有立体感强,形象直观的优点,但不能确切地表达零件原来的形状与大小,且作图较复杂,因而轴测图在工程上一般仅用作辅助图样 。
1.图形数量不同 。 2.轴的方向和轴间角不同 。
3.图的大小不同 。 4.线段平行关系相同 。
视图与轴测图的比较
(a)正投影图 (b)轴测图二、正等测在正投影情况下,当 p=q=r时,三个坐标轴与轴测投影面的倾角都相等,均为 35o16’。 由几何关系可以证明,其轴间角均为 120o,三个轴向伸缩系数均为：
p=q=r=cos35o16’≈0.82。
在实际画图时,为了作图方便,一般将 O1Z1轴取为铅垂位置,各轴向伸缩系数采用简化系数 p=q=r=1。
这样,沿各轴向的长度都均被放大 1/0.82≈1.22倍,轴测图也就比实际物体大,但对形状没有影响 。
1.平面立体的正等测图
2.曲面立体的正等测图
Z
120°
120°
120°
O
Y
X
伸缩系数= 0.82轴
1.平面立体的正等测图画法使用坐标法时,先在视图上选定一个合适的直角坐标系 OXYZ作为度量基准,然后根据物体上每一点的坐标,定出它的轴测投影 。 最后连线完成,即：先定点,后连线 。
例：画出正六棱柱的正等测图 。
在轴测图中,为了使画出的图形明显起见,
通常不画出物体的不可见轮廓,上例中坐标系原点放在正六棱柱顶面有利于沿 Z轴方向从上向下量取棱柱高度 h,避免画出多余作图线,使作图简化 。
Z
X
Y
O
a' c'e' d'f' b'
a b
fe
c d
F
E
D
CA
B
2.曲面立体的正等测图
① 平行于坐标面圆的正等测图画法
② 圆角的正等测图画法
③ 圆柱的正等测图
① 平行于坐标面圆的正等测图画法常见的回转体有圆柱,圆锥,圆球,圆台等 。 在作回转体的轴测图时,首先要解决圆的轴测图画法问题 。 圆的正等测图是椭圆,三个坐标面或其平行面上的圆的正等测图是大小相等,形状相同的椭圆,只是长短轴方向不同,如图所示,其长轴的方向与和该坐标面垂直的轴测轴垂直,短轴方向与和该坐标面垂直的轴测轴平行 。
平行于 V面的圆的轴测图平行于 W面的圆的轴测图
X1 Y1
Z1 平行于 H面的圆的轴测图
O
Z
X
Y
xaa
d
b
c
BD
CA
在实际作图中,一般不要求准确地画出椭圆曲线,经常采用,菱形法,进行近似作图,将椭圆用四段圆弧连接而成
。 下面以水平面上圆的正等测图为例,说明,菱形法,近似作椭圆的方法 。
② 圆角的正等测图画法在产品设计上，经常会遇到由四分之一圆柱面形成的圆角轮廓，画图时就需画出由四分之一圆周组成的圆弧，这些圆弧在轴测图上正好近似椭圆的四段圆弧中的一段。因此，这些圆角的画法可由菱形法画椭圆演变而来。如图所示，根据已知圆角半径 R，找出切点，过切点作切线的垂线，两垂线的交点即为圆心。以此圆心到切点的距离为半径画圆弧，即得圆角的正等轴测图。顶面画好后，采用移心法，即得下底面两圆弧的圆心。画弧后描深即完成全图。
Z
Y
X
O
③ 圆柱的正等测图先 在给出的视图上定出坐标轴、原点的位置，并作圆的外切正方形；再画轴测轴及圆外切正方形的正等测图的菱形，用菱形法画顶面和底面上椭圆；然后作两椭圆的公切线；最后擦去多余作图线，描深后即完成全图。
Z
X
Y
O
x’o’
z’
x
y
五、斜二测在斜二测图中,轴测轴 X1和 Z1仍为水平方向和铅垂方向,
即轴间角 ∠ X1O1Z1=90o,物体上平行于坐标 XOZ的平面图形都能反映实形,轴向伸缩系数 p=r=2q=1。 为了作图简便,并使斜二测图的立体感强,通 常 取 轴 间 角
∠ X1O1Y1=∠ Y1O1Z1=135o。 这样使得轴测投影面平行的平面其轴测投影反映实形,因而它适合表达某一方向的复杂形状或只有一个方向有圆的物体 。
平行于坐标面圆的斜二测图画法
135°
Y 1
X 1
r=1
o 1
90°
135°
Z 1
平行于坐标面圆的斜二测图画法平行于 X1O1Z1面上的圆的斜二测投影还是圆,
大小不变 。 平行于 X1O1Y1和 Z1O1Y1面上的圆的斜二测投影都是椭圆,且形状相同,它们的长轴与圆所在坐标面上的一根轴测轴成 7o9’20”(可近似为 7o) 的夹角 。 根据理论计算,椭圆长轴长度为 1.06d,短轴长度为 0.33d。 所以当物体的某两个方向有圆时,一般不用斜二测图,而采用正等测图 。
X1
7° 10′ Y1
7° 10′
Z1
C1
D1
A1
B1
7o10'
以圆心 O为坐标圆点。
作轴测轴 OX,OY以及四边平行于坐标轴的圆的外切正方形的斜二测，四边的中点为 11,21,31,41。
再作 A1B1与 OX轴成 7o10’，
即为长轴方向；作
C1D1?A1B1，即为短轴方向。
11
21
31
41
例：平行于 XOY平面的圆的斜二测近似画法
OX
Y
81
51
71
在短轴 C1D1的延长线上取 O51=O61=d
（圆的直径）分别连接点 51与 21,61与 11，
连线 5121,61 11与长轴相交于点 81,71，点 51、
61,71,81,即为圆弧的圆点。
C1
D1
A1
B1
7o10'
11
21
31
41
OX
Y
101
91
以点 51,61为圆心，
5121,6111为半径，画圆弧 9121、圆弧 10111、与圆心连线 5171,6181相交于
91,101；以点 71,81为圆心 7111,8121为半径，作圆弧 1191,圆弧 21101。
由此连成近似椭圆。切点为 11,91,21,101。
81
51
71
C1
D1
A1
B1
7o10'
11
21
31
41
OX
Y
四、轴测投影图的投影特性
1.物体上互相平行的线在轴测图中也互相平行 。
2,与坐标轴平行的线段,其轴测图中投影必定与相应的轴测轴平行 。 并且同一轴向的轴向线,其伸缩系数是相等的 。
§ 2-1 投影法的基本概念
§ 2-2 三面视图
§ 2-3 点的投影
§ 2-4 直线的投影
§ 2-6 几何体的投影
§ 2-5 平面的投影
§ 2-7 几何体尺寸注法
§ 2-8 几何体的轴测图
§ 2-1 投影法的基本概念一、投影法的分类
1,中心投影法
2,平行投影法
（ 1） 斜投影法
（ 2） 正投影法二,正投影的基本性质投影的概念物体在阳光的照射下，就会在墙面或地面投下影子，
这就是投影现象。
投影法是将这一现象加以科学抽象而产生的。
投射线通过物体,向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。
投影
S 投射中心
a
b c
形体投射线
A
B C
一、投影法的分类物体的中心投影
1.中心投影法投影线自投影中心 S
出发，将空间△ ABC投射到投影面 P上，所得
△ abc即为△ ABC的投影。
这种投影线自投影中心出发的投影法称为中心投影法，所得投影称为中心投影。
中心投影法主要用于绘制产品或建筑物富有真实感的立体图，也称透视图。
2.平行投影法：
（ 1）斜投影法若将投影中心 S移到离投影面无穷远处，
则所有的投影线都相互平行，这种投影线相互平行的投影方法，称为平行投影法，所得投影称为平行投影。
若投影线倾斜于投影面，称为斜投影法，
所得投影称为斜投影，
斜投影法主要用于绘制有立体感的图形，如斜轴测图 。
a
b c
90°
投射线方向
A
B C
（ 2）正投影法投影线与投影面相垂直的平行投影法，称为正投影法，根据正投影法所得到的图形称为正投影或正投影图。
正投影法主要用于绘制机械图样。 90°
投射线方向 A
B C
a
b c
二、正投影的基本性质
１,显实性
２,积聚性
３,类似性
1.显实性 (实形性 )
当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长、平面的投影反映其实形。
2.积聚性平面图形 (或直线 ) 与投影平面垂直时,其投影积聚为线 (或一个点 )的性质。
3.类似性平面图形 (或直线 )与投影面倾斜时，其投影变小 (或变短 )，但投影的形状与原来形状相类似的性质,称为类似性。
§ 2-2 三面视图一,视图的基本概念二,三视图的形成过程三,三视图之间的对应关系四,三视图的作图方法与步骤一、视图的基本概念用正投影法绘制出的物体的图形称为视图。物体有长、宽、
高三个方向的，尺寸，一个视图只能反映其两个方向的情况和尺寸。所以，一般情况下，一个视图不能确定物体的形状和大小。
为了准确表示物体的形状，必须增加由几个不同的投射方向得到的几个视图，把物体上长、宽、高三个方向的形状和尺寸，
都加以说明。工程上常用的是三视图。
二、三视图的形成过程
1.三投影面体系的建立
2.物体在三投影面体系中的投影
3.三投影面的展开
1.三投影面体系的建立投影面体系由三个互相垂直的投影面所组成。三个投影面分别称为,正立投影面 V、水平投影面 H、侧立投影面 W。三个投影面两两垂直相交，得三个投影轴分别为 OX、
OY,OZ，其交点 O为原点。
2.物体在三投影面体系中的投影将物体放置在三投影面体系中，按正投影法向各投影面投射，即可得到物体的正面投影、水平面投影和侧面投影,如图所示。
3.三投影面的展开为了画图方便，规定 V面不动,H面绕 OX轴向下旋转
900,W面绕 OZ轴向右旋转 900，使得三投影面处于同一平面，由于视图和平面大小无关，所以投影面的范围不必画出。
三、三视图之间的对应关系
1.三视图之间的位置关系
2.三视图间的,三等,关系
3.视图与物体的方位关系
1.三视图的位置关系以主视图为准俯视图在它的下面左视图在它的右面
2.三视图的,三等,关系三等规律主、俯视图 ---长对正（等长）
主、左视图 ---高平齐（等高）
俯、左视图 ---宽相等（等宽）
3.视图与物体的方位关系主视图反映物体的上、
下和左、右俯视图反映物体的左、
右和前、后左视图反映物体的上、
下和前、后四、三视图的作图方法与步骤
1.总体分析物体，选好主视图的方向，
使其主要平面与投影面平行。
2.确定比例、图幅大小。
3.确定三视图的位置，画出定位线、辅助线。
4.先画出主视图，再依据三等规律依次画出俯、左视图。
§ 2-3 点的投影一,点的三面投影二,点的投影与直角坐标的关系三,两点的相对位置四,读点的投影图一、点的三面投影点 A的 水平投影 —— a
点 A的 正面投影 —— a?
点 A的侧面 投影 —— a?
为了统一起见，规定空间点用大写字母表示，如 A,B,C
等；水平投影用相应的小写字母表示，如 a,b,c等；正面投影用相应的小写字母加撇表示，如 a′,b′,c′；侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如 a″,b″,c″。
１,点的两面投影的连线,必定垂直于相应的投影轴。
即,a?a?OX轴,a?aOZ轴,aayh⊥ OY H轴,a"ayw⊥ OY
W轴。
２,点的 投影 到投影轴的距离,等于空间点到相的应投影面的距离。即,a?ax=a?ay=Aa,a?az=aay=Aa,aax
=a?az=Aa?。
点的投影规律
1,a? az = aay =Aa? = xA
2,aax = a?az =Aa? = yA
3,a? ax =a?ay = Aa = zA
二、点的投影与直角坐标的关系三、两点的相对位置两点中 x 值大 的点 —— 在左两点中 y 值大 的点 —— 在前两点中 z 值大 的点 —— 在上
a?
a?
a
b?
b?
b
B
A
XA-XB
Z A
-Z B
Y A
-Y B
YA-YB
b’ b”
b
za’ a”
a
x
yH
yO W
重影点的投影共处于同一条投影线上的两点,必在相应的投影面上具有重合的投影，这两个点被称为该投影面的一对重影点。重影点的可见性需根据这两点不重影的投影的坐标大小来判别。
b’
H
a’
W
V
x
z
O
y
a(c)
a”(d’’)
b
b”
A
B
判断可见性,前遮后、上遮下、左遮右
b”
b
za’ a”(b’’)
a(c)
x
y
yO W
(b’)
Y A
-Y
B
YA-YBD
C
( )
四、读点的投影图读图是本课程的学习重点，从最基本的几何元素（点）
开始讨论读图问题，有利于培养正确的读图思维方式，从而为识读体的投影图打好基础。
实例分析作出诸点的三面投影。点 A（ 20,15,20），点 B在 A 之左 10，
A之下 15,A之前 10，点 C在点 A的正前方 5。
X
YH
Z
a’
a
a”
b
b’ b”
c
c”c’( )
YWO
X=20
Z=20
Y=15
§ 2-4 直线的投影一,直线的三面投影二,各种位置直线的投影三,属于直线的点四,读直线的投影图五,两直线的相对位置一、直线的三面投影直线的投影一般仍为直线,特殊情况下为一点,作图步骤,1.作出两端点的三面投影。
2.用直线连接两端点的同面投影。
二、各种位置直线的投影
1.一般位置直线,与三个投影面都倾斜 。
2.特殊位置直线
⑴ 投影面平行线：与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。
① 正平线
② 水平线
③ 侧平线
⑵ 投影面垂直线：与一个投影面垂直，必与另外两个投影面平行。
① 正垂线
② 铅垂线
③ 侧垂线直线一般位置直线：
投影面 平行线：
（只平行一个面）
正平线,∥ V 面，倾斜于 H,W 面水平线,∥ H 面，倾斜于 V,W 面侧平线,∥ W 面，倾斜于 H,V 面投影面垂直线：
正垂线：垂直 V 面，平行于 H,W 面铅垂线：垂直 H 面，平行于 V,W 面侧垂线：垂直 W 面，平行于 H,V 面对 V,H,W 面都倾斜
1.一般位置直线投影特性,①三个投影面的投影均倾斜于投影轴
②三个投影面的投影均小于真实长度
③三个投影均不反映直线对投影面的 真实倾角正平线投影特性：① a?b? =AB
② ab∥ OX ; a?b?∥ OZ
③ 反映 a,? 角的真实大小
2.特殊位置直线,(１ )投影面平行线水平线投影特性：① ab=AB
② a?b?∥ OX ; a?b?∥ OY1
③ 反映?,? 角的真实大小侧平线投影特性：① a?b?=AB
② ab∥ OY ; a?b?∥ OZ
③ 反映 角的真实大小反映,实角反映,实角反映,实角,
＝
＝
直线的位置 直 观 图平行于 面
（水平线）
投 影 图 特 征平行 于 面
（侧平线）
平行 于 面
（正平线）
＝
①在平行的投影面上的投影，反映线段真实长度。
它与投影轴的夹角，分别反映直线对另两投影面的真实倾角。
②在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。
总结：投影面平行线的投影特性
x
yH
z
O
a b
b’ b”
a’ a”α
γ
投影特性,① a?b? 积聚成一点
② a b?OX ; a? b OZ
③ a b = a? b? = AB
正垂线
（２）投影面垂直线投影特性,① a b 积聚成一点
② a?bOX ; a? b OY 1
③ a? b? = a? b? = AB
铅垂线投影特性,① a? b? 积聚成一点
② a b?OＹ ; a?b OZ
③ a b = a?b?= AB
侧垂线直线的位置 直 观 图垂直于 面
（铅垂线）
积聚成一点
⊥
⊥
＝ ＝
⊥
⊥
＝ ＝
积聚成一点
⊥
积聚成一点
⊥
＝ ＝
投 影 图 特 征垂直于 面
（侧垂线）
垂直于 面
（正垂线）
①与直线垂直的投影面上的投影，积聚成一点。
②在另外两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，反映线段真实长度。
投影面垂直线的投影特性
x
yH
z
yWO
a
b
b’ b”a’ a”
直线上的点具有两个特性：
1．从属性,若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。
2．定比性,属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
即 AC:CB = ac:cb=a?c?,c?b? = a?c?,c? b?
利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在直线上。
三、属于直线的点
A
B
a b
C
c
α
读直线的投影图，就是根据其投影相象直线的空间位置。
例如，识读图所示 AB直线的投影。根据直线的投影特性“三面投影都与透雨轴倾斜”，可以直接判定 AB为一般位置直线，
“走向”为：从左、前、下方向右、后、上方倾斜。
但应指出，看图时不能只根据“投影图”机械地套用“投影特性”而家以判断。关键是建立起空间概念，即在脑海中呈现出直线投影的立体情况。有了这样的思路，再运用直线的投影特性判定直线的空间位置，才是正确的看图方法。
四、读直线的投影五、两直线的相对位置
1.平行两直线 例题 1
2.相交两直线 例题 2
3.交叉两直线 例题 3
1.平行两直线
①若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。
反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
②平行两线段之比等于其投影之比。
b?
a
a?
d?
b d
c
c?
X
b?
a?
a
b d
c?
d?
c
判断图中两条直线是否平行。
a
b
b’
a’
c
d
d’
c’
对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，就能确定空间两直线互相平行。
a"
b"
c"
d"
2.相交两直线当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交，且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。
b?
X
a?
a
b
k?
c?
d?
d
c
k
如图所示，判段直线 AB,CD的相对位置。
x
Y H
z
Y W
O
a
b
b’ b”a’ a”
c
d
d’ d”
c’ c”
结论,相交两直线
3.交叉两直线在空间既不平行也不相交的两直线,叫交叉两直线,又称异面直线。
b?
X
a?
a
b
c?
d?
d
c
1
1?(2?)
2
如图所示,判断两侧平线 AB,CD的相对位置。
Y H
z
Y WO
b”
a”
x
a
b
b’
a’
c
d
d’
c’
d”
c”
结论,交叉两直线可见,对于特殊位置直线,只有两个同面投影互相平行,空间两直线不一定平行。
§ 2-5 平面的投影一,平面的投影二,各种位置平面的投影三,平面的迹线表示法四,属于 平面的直线和点五、读平面的投影一、平面的投影用几何元素表示平面
① 不在一直线上的三个点 。
② 一直线和直线外一点 。
③ 相交二直线 。
④ 平行二直线 。
⑤ 任意平面图形 。
用几何元素表示平面
b
b?
a?
a
c?
c
b?
a?
a
c?
b
c
a?
a
b?
c?
b
c
a?
b? c?
a
b c
d?
d
b?
a?
c?
a
b
c
二、各种位置平面的投影
1.一般位置平面
2,特殊位置平面
(1)投影面的平行面：投影面平行面是平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。
① 水平面
② 正平面
③ 侧平面
(2)投影面的垂直面,投影面垂直面是垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面。
① 铅垂面
② 正垂面
③ 侧垂面平面一般位置平面,对 V,H,W 面都倾斜。
投影面 平行面,
(平行一个投影面 )
正平面,∥ V 面，垂直于 H,W 面水平面,∥ H 面，垂直于 V,W 面侧平面,∥ W 面，垂直于 H,V 面投影面垂直面：
(垂直一个投影面 )
正垂面：垂直 V 面，倾斜于 H,W 面铅垂面：垂直 H 面，倾斜于 V,W 面侧垂面：垂直 W 面，倾斜于 H,V 面
1.一般位置平面投影特性
(1)? abc,? a?b?c?,? a?b?c? 均为? ABC的类似形
(2)三个投影面的投影都仍是平面图形，且面积缩小。
a"
b"
c"
c
a'
b'
b
a
a"a'
b' b"
c' c"
b
a
c
A
B
C
2.特殊位置平面
（１）投影面平行面平行于一个投影面的平面，统称为投影面平行面。
（２）投影面垂直面垂直于一个投影面而对其它两个投影面倾斜的平面，统称为投影面垂直面。
① 水平面投影特性：
(1) a?b?c?,a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性
(2) 水平投影? abc反映? ABC实形
C
A B a"b"
c'
b
a
c
a' b'
c"
c
a? b' b"
b
a
a"c? c"
② 正平面投影特性：
abc,a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性正平面投影? a?b?c?反映? ABC实形
c"
a"
b"b'
a'
c'
bc a
b'
a'
c' a"
b"
c"
bc a
C
B
A
投影特性：
abc,a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性侧平面投影? a?b?c? 反映? ABC实形
③ 侧平面
a'
b' b"
b
a"
c' c"
c
a
b"
c'
b
a
c
a'
b'
c"C
A
B
a"
直线的位置 直 观 图正平面投 影 图 特 征侧平面水平面
C
B A
b
"
c
'
a
b
"b
a
c'
1,水平投影反映实形 。
2,正面投影积聚成平行于 X轴的直线 。
3,侧面投影积聚成平行于 Y轴的直线 。
1,正面投影反映实形 。
2,水平投影积聚成平行于 X轴的直线 。
3,侧面投影积聚成平行于 Z轴的直线 。
1,侧面投影反映实形 。
2,正面投影积聚成平行于 Z轴的直线 。
3,水平投影积聚成平行于 Y轴的直线 。
① 铅垂面投影特性,
水平投影 积聚为一条直线正面投影和侧面投影为原形的 类似形水平投影与 OX,OY 的夹角 反映 β,? 角的真实大小积聚性类似性类似性
② 正垂面投影特性,
正面投影积聚为一条线水平投影和侧面投影为 类似形正面投影与 OX,OZ 的夹角 反映 α,? 角的真实大小积聚性 类似 性类似性
③ 侧垂面投影特性,
侧面投影积聚为一条线水平投影和正面投影为 类似形侧面投影与 OY,OZ 的夹角 反映 α,β 角的真实大小积聚性类似 性类似性直线的位置 直 观 图正垂面投 影 图 特 征侧垂面铅垂面
1,水平投影积聚成直线,与 X轴夹角为 β,
与 Y轴夹角为 γ
2,正面投影和侧面投影具有类似性
1,正面投影积聚成直线,与 X轴夹角为 α,
与 Z轴夹角为 γ
2,水平投影和侧面投影具有类似性
1,侧面投影积聚成直线,与 Y轴夹角为 α,与
Z轴夹角为 β
2,正面投影和水平投影具有类似性三、平面的迹线表示法
１,平面迹线的概念平面与投影面的交线，称为平面的迹线。
PPV
PH
PV
PH
２,特殊位置平面的迹线：投影面垂直面
PH
P
PH
P
P
H PH
PＶ
２,特殊位置平面的迹线：投影面平行平面四、属于平面的直线和点
1,取属于平面的直线直线从属于平面的条件是,① 一直线经过属于平面的两点 。
② 一直线经过属于平面的一点,且平行于属于该平面的另一条直线 。
2,取属于平面的点点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上 。
在平面上取点,直线的作图,实质上就是在平面内作辅助线的问题 。 利用在平面上取点,直线的作图,可以解决三类问题：判别已知点,线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影 。
例题 1 例题 2
[例题 1] 已知? ABC给定一平面，试判断点 D是否属于该平面。
a
a’
b’
b
d
c
c’
d’
e
e’
[例题 2] 完成五边形的正面投影 (AB为侧平线 )。
a
a’
d
b
c
c’
b’
e’
e
d‘
五、读平面的投影读平面投影图的要求是：想象出所示平面的形状和空间位置 。
§ 2-6 几何体的投影一,平面立体
1.棱柱 2.棱锥二,回转体
1.圆柱 2.圆锥 3.圆球
4.圆环 5.不完整的回转体三,线框的含义几何体分为平面立体和曲面立体两类。表面均为平面的的立体，称为平面的立体；表面为曲面或曲面与平面的立体，成为曲面立体。
一、平面立体
1,棱柱
2,棱锥由于平面立体是由平面围成,因此，绘制平面立体的三视图，
就可归结为绘制各个表面（棱面）的投影的集合。由于平面图形系由直线段组成，而每条线段都可由其两端点确定，因此作平面立体的三视图，又归结为其各表面的交线（棱线）及各顶点的投影的集合。
在立体的三视图中，有些表面和表面的交线处于不可见位置，在图中用虚线表示。
1.棱柱
⑴ 棱柱的三视图
⑵ 属于棱柱表面的点一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为矩形。
z
yx
V
H
W
A
B
C D
F
E
(1) 棱柱的三视图
(1) 棱柱的三视图以正六棱柱为例,在三投影体系做出正六棱柱三面投影 。 其画法为：
① 画出正六棱柱轴线的正面投影和侧面投影,
并画出水平投影的对称中心线 。
② 画出上,下底面的水平投影 （ 实形 ） 后,再画其余二投影
③连接上、下底面对应的顶点，即得三面投影图。
d
cb
a
ef
d1’
e’f’
f1’ (c1’)
(c’) d’a’
e1’a1’
(b’)
(b1’) f1”a1”(c1”)b1” (d1”) e1”
f”a”(c”)b” (d”) e”
(2) 属于棱柱表面的点当点属于几何体的某个表面时,则该点的投影必在它所从属的表面的各同面投影范围内 。 若该表面的投影为可见,则该表面的投影为可见,则该点的同面投影也可见；反之
,为不可见 。 因此,在求体表面上的头影时,应首先分析该点所在平面的投影特性,然后再 根据点的投影规律求得 。
(m?)m’
m
d
cb
a
ef
d1’
e’f’
f1’ (c1’)
(c’) d’a’
e1’a1’
(b’)
(b1’) f1”a1”(c1”)b1” (d1”) e1”
f”a”(c”)b” (d”) e”
2.棱锥的三视图
⑴ 棱锥的三视图
⑵ 属于 棱锥表面的点一个投影为多边形，另外两个投影轮廓线为三角形。
B
C
A
S
以三棱锥为例，其画法如下：
① 画出棱锥顶点及底面的三面投影；
② 连接锥顶与底面三角形各顶点的同面投影，得到三面投影。
⑴ 棱锥的三视图
y3
y1
y 1
y 3
⑵ 属于棱锥表面的点
y3
y1
y 1
y 3
y2
y 2
k”
k
k’
a
a’
k
正三棱锥的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。属于特殊位置平面的点的投影，可利用该平面投影的积聚性直接作图。属于一般位置平面的点的投影，可通过在平面上作辅助线的方法求得。
二、回转体由一条母线（直线或曲线）围绕轴线回转而形成的表面，称为回转面；由回转面或回转面与平面所围成的立体，
称为回转体。
圆柱、圆锥、圆球、圆环等都是回转体，它们的画法与回转体的形成条件有关。
1.圆柱
2.圆锥
3.圆 球
4.圆环
1.圆 柱
⑴ 圆柱面的形成
⑵ 圆柱的三视图
⑶ 属于圆柱表面上的点
⑴ 圆柱面的形成圆柱面是由一条直母线 AE绕与它平行的轴线旋转形成的，如图所示。圆柱体的表面是由圆柱面和顶面、底面组成。在圆柱面上任意位置的母线称为素线 。
⑵ 圆柱的三视图画图注意先画出各投影的中心线，然后画出有积聚性的投影 —— 圆，最后完成其余投影。
利用投影的积聚性作图步骤,
① 画轴线。
② 画底面和顶面的投影。
③ 画轮廓转向线、
正面转向线、
侧面转向线。
⑶ 属于圆柱表面上的点
(a’)
a
b
a”
b”b’
y1
y 1
已知属于圆柱面上的点 A,B,C
的一个投影，求另外两面投影。
c
c”c’
y
y
2.圆 锥
⑴ 圆锥面的形成
⑵ 圆锥的三视图
⑶ 属于圆锥表面的点
⑴ 圆锥面的形成圆锥面是由一条直母线 SA，绕与它相交的轴线旋转形成的，如图所示。圆锥体表面是由圆锥面和底面组成。在圆锥面上任意位置的素线，均交于锥顶点。
⑵ 圆锥的三视图
S
s’ s”
s
⑶ 属于圆锥表面的点
K
S
Ay 1
y1
s’ s”
a’ a”
a
s
k”
k
k’
y2
s’ s”
s
k”
k
k’
辅助圆法
k
3.圆 球
⑴ 圆球面的形成
⑵ 圆球的三视图
⑶ 属于圆球表面的点
⑴ 圆球面的形成圆球面是由一圆母线，以它的直径为回转轴旋转形成的。
⑵ 圆球的三视图三个投影分别为三个和圆球的直径相等的圆，
它们分别是圆球三个方向转向轮廓线的投影。
⑶ 属于圆球表面的点
k”
k
k’
K
辅助圆法
4.圆 环
⑴ 圆环面的形成
⑵ 圆环的三视图
⑶ 属于圆环表面的点
⑴ 圆环面的形成圆环可以看成是以圆为母线，绕与圆在同一平面内，但不通过圆心的轴线旋转而成。
⑵ 圆环的三视图画母线圆圆心轨迹。
画转向线。
画轴线。
判别可见性，图线加粗。
画母线圆。
⑶ 属于圆环表面的点已知圆环面上的点 A,B 的一个投影，求它们的另一个投影。
5.不完整的回转体三、线框的含义
（１）一个封闭线框，表示物体的一个表面（平面或曲面）或孔、坑的投影；
（３）在一个大的封闭线框内所包含的各个小线框，一般表示是在大的平面体（或曲面体）上凸出或凹下的各个小平面体
（或曲面体）。
（２）投影图中相邻的两个封闭线框，通常表示物体上位置不同的两个面。
§ 2-7 几何体的尺寸注法任何机器零件都是依据图样中的尺寸进行加工的。因此，图样中必须正确地注出尺寸。本节所研究的几何体和带切口的几何体的尺寸注法，
是图样中标注尺寸的基础，初学者应给予充分重视。
几何体的尺寸标注
（ 1）平面立体一般应标注长,宽,高三个方向的尺寸。
几何体的尺寸标注
（ 2）正棱柱和正棱锥，除标注高度尺寸外，一般应注出其底的外接圆直径。
几何体的尺寸标注
（ 3）圆柱和圆台（或圆锥）应注出高和底圆直径；圆环应注出素线圆和中心圆直径。但也可根据需要注成其他形式。
几何体的尺寸标注
（ 4）圆柱圆锥台（或圆锥）在直径尺寸前加注
,”,圆球在直径尺寸前加注,Ｓ,,只用一个视图就可将其形状和大小表示清楚。
§ 2-8 几何体的轴测图一,轴测图的基本知 识二,正等测三,斜二测四,轴测投影图的投影特性
P
轴测投影面
H
X
o'X'
X
A
V Z'
O1Y
A1
X1
Y
B1
Y1
O
B
C
Z
C1
Z1
轴测轴轴测投影一、轴测图的基本知识轴测投影图 （ 简称轴测图 ） 通常称为立体图,是将物体连同其参考直角坐标系,沿不平行于任一坐标面的方向,用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的图形 。 轴测意即沿轴测量,所以它能同时反映出物体长,宽,高三个方向的尺度,
富有立体感,但不能反映物体的真实形状和大小,度量性差 。
⑴ 轴测投影面：形成轴测图的单一投影面 P称为轴测投影面 。
⑵ 轴测轴：坐标轴 OX,OY,OZ在轴测投影面上的投影 O1X1、
O1Y1,O1Z1称为轴测投影轴：简称轴测轴 。
⑶ 轴间角：每两根轴测轴之间的夹角 ∠ X1O1Y1,∠ X1O1Z1、
∠ Y1O1Z1,称为轴间角 。
⑷ 轴向伸缩系数：直角坐标轴上单位长度的轴测投影长度与对应直角坐标轴上单位长度的比值,称为轴向伸缩系数,X,Y、
Z方向的轴向伸缩系数分别用 p,q,r表示 。
X
Z
O
Y
O
P
1
1
1
Z
Y
X
轴测图的分类
1.按形成方式不同分类：
① 正轴测投影图：改变物体相对于投影面的位置,而投影方向仍垂直于投影面,所得轴测图称为正轴测投影图简称正轴测图 。
② 斜轴测投影图：另一种是改变投影方向使其倾斜于投影面,而不改变物体对投影面的相对位置,所得投影图为斜轴测投影图简称斜轴测图 。
2.根据轴向伸缩系数不同分类：
① 等测轴测图：三个轴向伸缩系数均相等 。
② 二测轴测图：只有两个轴向伸缩系数相等 。
③ 三测轴测图：三个轴向伸缩系数均不相等 。
正轴测投影图正等测正二测正三测斜轴测投影图斜等测斜二测斜三测轴测投影图工程上使用较多的是正等测和斜二测,本章只介绍这两种轴测图的画法 。
O
X
Y
Z
O
Z1
X1
Y1
正轴测投影图
① 正轴测图的形成
S0
Z
X
O
Y
Z1
O
X1 Y1
斜轴测投影图正投影图
S
S0
Z
X
② 斜轴测图的形成三视图绘制的图样,它可以较完整地确切地表达出零件各部分的形状,
且作图方便,但这种图样直观性差；轴测图能同时反映形体长,宽,高三个方向的形状,具有立体感强,形象直观的优点,但不能确切地表达零件原来的形状与大小,且作图较复杂,因而轴测图在工程上一般仅用作辅助图样 。
1.图形数量不同 。 2.轴的方向和轴间角不同 。
3.图的大小不同 。 4.线段平行关系相同 。
视图与轴测图的比较
(a)正投影图 (b)轴测图二、正等测在正投影情况下,当 p=q=r时,三个坐标轴与轴测投影面的倾角都相等,均为 35o16’。 由几何关系可以证明,其轴间角均为 120o,三个轴向伸缩系数均为：
p=q=r=cos35o16’≈0.82。
在实际画图时,为了作图方便,一般将 O1Z1轴取为铅垂位置,各轴向伸缩系数采用简化系数 p=q=r=1。
这样,沿各轴向的长度都均被放大 1/0.82≈1.22倍,轴测图也就比实际物体大,但对形状没有影响 。
1.平面立体的正等测图
2.曲面立体的正等测图
Z
120°
120°
120°
O
Y
X
伸缩系数= 0.82轴
1.平面立体的正等测图画法使用坐标法时,先在视图上选定一个合适的直角坐标系 OXYZ作为度量基准,然后根据物体上每一点的坐标,定出它的轴测投影 。 最后连线完成,即：先定点,后连线 。
例：画出正六棱柱的正等测图 。
在轴测图中,为了使画出的图形明显起见,
通常不画出物体的不可见轮廓,上例中坐标系原点放在正六棱柱顶面有利于沿 Z轴方向从上向下量取棱柱高度 h,避免画出多余作图线,使作图简化 。
Z
X
Y
O
a' c'e' d'f' b'
a b
fe
c d
F
E
D
CA
B
2.曲面立体的正等测图
① 平行于坐标面圆的正等测图画法
② 圆角的正等测图画法
③ 圆柱的正等测图
① 平行于坐标面圆的正等测图画法常见的回转体有圆柱,圆锥,圆球,圆台等 。 在作回转体的轴测图时,首先要解决圆的轴测图画法问题 。 圆的正等测图是椭圆,三个坐标面或其平行面上的圆的正等测图是大小相等,形状相同的椭圆,只是长短轴方向不同,如图所示,其长轴的方向与和该坐标面垂直的轴测轴垂直,短轴方向与和该坐标面垂直的轴测轴平行 。
平行于 V面的圆的轴测图平行于 W面的圆的轴测图
X1 Y1
Z1 平行于 H面的圆的轴测图
O
Z
X
Y
xaa
d
b
c
BD
CA
在实际作图中,一般不要求准确地画出椭圆曲线,经常采用,菱形法,进行近似作图,将椭圆用四段圆弧连接而成
。 下面以水平面上圆的正等测图为例,说明,菱形法,近似作椭圆的方法 。
② 圆角的正等测图画法在产品设计上，经常会遇到由四分之一圆柱面形成的圆角轮廓，画图时就需画出由四分之一圆周组成的圆弧，这些圆弧在轴测图上正好近似椭圆的四段圆弧中的一段。因此，这些圆角的画法可由菱形法画椭圆演变而来。如图所示，根据已知圆角半径 R，找出切点，过切点作切线的垂线，两垂线的交点即为圆心。以此圆心到切点的距离为半径画圆弧，即得圆角的正等轴测图。顶面画好后，采用移心法，即得下底面两圆弧的圆心。画弧后描深即完成全图。
Z
Y
X
O
③ 圆柱的正等测图先 在给出的视图上定出坐标轴、原点的位置，并作圆的外切正方形；再画轴测轴及圆外切正方形的正等测图的菱形，用菱形法画顶面和底面上椭圆；然后作两椭圆的公切线；最后擦去多余作图线，描深后即完成全图。
Z
X
Y
O
x’o’
z’
x
y
五、斜二测在斜二测图中,轴测轴 X1和 Z1仍为水平方向和铅垂方向,
即轴间角 ∠ X1O1Z1=90o,物体上平行于坐标 XOZ的平面图形都能反映实形,轴向伸缩系数 p=r=2q=1。 为了作图简便,并使斜二测图的立体感强,通 常 取 轴 间 角
∠ X1O1Y1=∠ Y1O1Z1=135o。 这样使得轴测投影面平行的平面其轴测投影反映实形,因而它适合表达某一方向的复杂形状或只有一个方向有圆的物体 。
平行于坐标面圆的斜二测图画法
135°
Y 1
X 1
r=1
o 1
90°
135°
Z 1
平行于坐标面圆的斜二测图画法平行于 X1O1Z1面上的圆的斜二测投影还是圆,
大小不变 。 平行于 X1O1Y1和 Z1O1Y1面上的圆的斜二测投影都是椭圆,且形状相同,它们的长轴与圆所在坐标面上的一根轴测轴成 7o9’20”(可近似为 7o) 的夹角 。 根据理论计算,椭圆长轴长度为 1.06d,短轴长度为 0.33d。 所以当物体的某两个方向有圆时,一般不用斜二测图,而采用正等测图 。
X1
7° 10′ Y1
7° 10′
Z1
C1
D1
A1
B1
7o10'
以圆心 O为坐标圆点。
作轴测轴 OX,OY以及四边平行于坐标轴的圆的外切正方形的斜二测，四边的中点为 11,21,31,41。
再作 A1B1与 OX轴成 7o10’，
即为长轴方向；作
C1D1?A1B1，即为短轴方向。
11
21
31
41
例：平行于 XOY平面的圆的斜二测近似画法
OX
Y
81
51
71
在短轴 C1D1的延长线上取 O51=O61=d
（圆的直径）分别连接点 51与 21,61与 11，
连线 5121,61 11与长轴相交于点 81,71，点 51、
61,71,81,即为圆弧的圆点。
C1
D1
A1
B1
7o10'
11
21
31
41
OX
Y
101
91
以点 51,61为圆心，
5121,6111为半径，画圆弧 9121、圆弧 10111、与圆心连线 5171,6181相交于
91,101；以点 71,81为圆心 7111,8121为半径，作圆弧 1191,圆弧 21101。
由此连成近似椭圆。切点为 11,91,21,101。
81
51
71
C1
D1
A1
B1
7o10'
11
21
31
41
OX
Y
四、轴测投影图的投影特性
1.物体上互相平行的线在轴测图中也互相平行 。
2,与坐标轴平行的线段,其轴测图中投影必定与相应的轴测轴平行 。 并且同一轴向的轴向线,其伸缩系数是相等的 。
