一、是非、选择题（每小题 3分，共 15分）,
.,1 成立则下列结论中阶方阵均为与．设 nBA;,,0)d et ( )( OBOAABA 或则;0d et,0d et,0)d et ( )( BAABB 或则;,,)( OBOAOABC 或则
.0d e t,0d e t,)( BAOABD 或则
,),1,1,1,1(
),0,1,0,1(),1,1,0,0(),0,0,1,1(2 4321
则它的极大无关组为
．设;,,)( ;,)( 32121 BA
模拟试题（一）;,,,)( ;,,)( 4321421 DC
) ( ).,
,2,1(0,5
) (,
,04
) (,,3
)(
2
n
iaaAn
AAx
OAOAAn
iiij
nn


则正定阶实对称矩阵．若组线性无关的列向量则只有零解．若齐次线性方程组则满足阶实对称矩阵．若二、填空题（每小题 3分，共 12分）,
,
242),,(1 312121321
的秩为
．二次型 xxxxxxxxxf
则且阶方阵为．设,2d et,2?AnA
,)
3
1(d et 1?



AA
.22
24,4
.,
,
00
020
001
113
22
002
3
3121
2
3
2
2
2
1
是负定的二次型时取值为．当则相似与．已知矩阵
xxxtx
xxxft
yx
y
BxA




三、（ 10分）
.),,,
,(),,,(
2
121
的全部特征值求矩阵和已知向量


T
n
n
Abb
baaa

四、（ 10分）
213
345
666
213
132
321
X
求解矩阵方程五、（ 15分） 组取何实值时，线性方程?








xx
xx
xx
xx
41
43
32
21
.情况下求通解无解？在有无穷多解的有唯一解，无穷多解，
六、１,（ 5分）
.
:,1d et
不可逆证明为正交矩阵且设
AE
AA


２,（ 5分）
.)2( ;0)1(
:,
11 aAa
a
An
的每行元素之和为常数证明为常数中每行元素之和阶可逆矩阵设七、（ 6分）,,12
21
AA n求设
八、（ 12分） 用正交变换化二次型 ),,( 321 xxxf
.,
844552 323121232221
并写出所用的正交变换形为标准xxxxxxxxx
九、（ 10分）,4 的两个基已知四维向量空间 R
);2,3,0,0( ),1,2,0,0(
),0,0,0,1( ),0,0,1,1( )(
);1,0,0,0( ),1,3,0,0(
),2,1,2,0( ),1,2,1,1( )(
43
21
43
21








.)()2(;)()()1(
:),1,1,3,0()(
下的坐标在基向量的过渡矩阵到基由基求下的坐标为在基且向量



.
100
110
111
.,
.2.4 ;2,0.3 ;
2
)1(
.2 ;21
).(.5 );(.4 );(.3 );(.2 );(1
1
11



X
bao
tyx
BB
i
n
i
i
T
nn
n
四、
＝＝＝三、
．二、
对对对．一、
２１

模拟试题（一）参考答案
.,)1,1,1,1()0,1,0,1(,
,3)(,1)3(;,3,4)(,1( 2);,1( 1)
任意通解为多解有无穷时当无解时当有唯一解时当五、
kkx
r an kABAr an k
r an kABAr an k
TT




,
325350
3253451
3153252
.
)1(3)1(3
)1(3)1(3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
12




y
y
y
x
x
x
A
nnnn
nnnn
n
八、正交变换七、
)( 略六、
.6)6,6,( 6,)(2
2130
3341
0022
0021
)()(1
.10
2
3
2
2
2
1





下的坐标为在基．
的过渡矩阵为到基．由基九、
化二次型为
C
f yyy
一、填空题（每小题 5分，共 20分）
应满足则唯一线性表示能由向量．若向量则的伴随矩阵为．设则又设且，，按列分块为阶方阵．设
２３１２１
３２１
kkk
kkk
AAA
BB
AAA
,)1,1,1(),1,1,1(
),1,1,1(),,0(3
,)(,
333
022
001
2
,d et),5,43,2(,5
d et),(31
3
21
2
1**






模拟试题（二）
.,
,22
224
,
2
3
2
232
3121
2
3
2
2
2
1



ba
yyfxbx
xxxaxxxxf
则经正交变换化为标准形
．已知二次型二、（ 10分）,阶行列式计算 n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D
nn
nn
nn
nn
n

121
121
121
121
1
2
1

三、（ 10分）,,,
1500
3700
0002
0024
BBABAA 求矩阵且设


四、（ 15分）
.35
,22
,332;,,:
3213
3212
3211
321
3







设的一个基已知三维向量空间 R
.,,
),0,2,1(,,3;,,,,2;,,1
321
321
321321
3
321
下的坐标在基求下的坐标为在基．若向量的过渡矩阵到基．求由基的一个基也是．证明




R
五、（ 15分） 线性方程组取何值时,?






xxx
xxx
xxx
321
321
321
)12()1()12(
)2()1()2(
1)1()12(
.?,,在有无穷多解时求通解无穷多解无解有唯一解六、（ 10分）
.,
2
rAA
AnA
的秩为又设阶实对称矩阵且满足是设?
.),2d e t (.2;01.1
阶单位矩阵是其中求行列式或的特征值为证明
nEAE
A
七、（１５分） 已知二次型
xxxxxxxtxtxtf 323121232221 444
).
(,0,2;,.1
出所用的正交变换写为标准形试用正交变换化二次型取二次型是负定的取何值时
t
t
八、（ 5分）
.,
),(
2 是单位矩阵其中为正定矩阵试证即满足是实反对称矩阵已知
EAE
AAA T

.0.4 ;30.3;
212121
03131
0061
.2 ;1 00.1

bakk 且一、
.
7500
3100
0042
0020





三、
).1(!
1
n
k
k
kn
a二、
模拟试题（二）参考答案
).1,0,1(,,.3
423
736
947
,,,,2
321
321321

下的坐标为在基的过渡矩阵为到基．由基四、


C
.,)5,3,3(011
,,1)3(;,10)2(;,10)1(
任意），，（
通解为有无穷多解时当无解时或当有唯一解时且当五、
kkx
TT






)( 略六、
.422
31620
316121
316121
.2;4.1
2
3
2
2
2
1
3
2
1
3
2
1
yyyf
y
y
y
x
x
x
t


化二次型为正交变换时二次型是负定的七、
.
0)()(
)()(
,0,
2
2
2
是正定矩阵故有对任意为实对称矩阵易证八、
AE
AxAxxx
xAAExxAEx
xAE
TT
TTT