青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃静电场青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃静电场
§ 1 电荷的量子化 电荷守恒定律
§ 4 电场强度的计算
§ 5 电场线 电场强度通量
§ 8 电势 电势差
§ 3 电场 电场强度
§ 2 点电荷 真空中的库仑定律
§ 7 静电场力的功 电势能
§ 6 高斯定理及其应用
§ 9 电势的计算 电势叠加原理青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
1 种类,
4 电荷的量子化,
2 性质,
正电荷，负电荷库仑（ C）
同种相斥，异种相吸
3 量度,
C10602.1 19e
)321(?,,, nneq
§ 1 电荷的量子化 电荷守恒定律一 电荷的量子化电量不能连续变化，只能是某一最小电量单位的整数倍基元电荷青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 电荷守恒定律不管系统中的电荷如何迁移，系统的电荷的代数和保持不变,
（自然界的基本守恒定律之一）
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
§ 2 点电荷 真空中的库仑定律
1785年，库仑通过扭称实验得到。表述如下：
在真空中,两个静止点电荷之间的相互作用力大小，与它们的电量的乘积成正比
，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，
异号电荷相吸。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃库仑定律
21212
0 mNC1085.8
ε
为真空电容率
122
12
21
0
12 π4
1
e
r
qq
ε
F?
点电荷：抽象模型
1q
2q
r?
12e?
受 的力
1q2q
当两带电体本身线度远比它们的间距小时，可把带电体上电荷看成集中于一点，这样就抽象出,点电荷,理想模型。
（实验定律，适用于点电荷）
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
2
21
0π4
1
r
qq
ε
F?
大小：
方向：
1q 2q和 同号相斥，异号相吸,
1q
2qr?
12e?
122
12
21
0
12 π4
1
e
r
qq
ε
F?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一 静电场静电场,静止电荷周围存在的电场电 荷 电 场 电 荷物 质实物场
§ 3 电场和电场强度电场的基本性质 给电场中的带电体施以力的作用,表明 电场具有动量 ;当带电体在电场中移动时，电场力作功。表明 电场具有能量 。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 电场强度
1 试验电荷点电荷电荷足够小
2 电场强度
0q
FE
Q?
场源电荷
F?
试验电荷
0q?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃单位,11 mVCN,
和 试 验电荷无关
0q
FE
电荷 q受电场力,
EqF
定义,单位正试验电荷所受的电场力是定义式，既适用于介质，也适用于多电荷系统。
匀强电场,E的大小、方向均相同的电场。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一 点电荷电场强度
E? +
0?Q
P
r?
rer
Qq
ε
F?
2
0
0 π4
1?
F?
0q?
2
0 π4
1
r
Q
ε
E?
rer
Q
εq
FE?
2
00 π4
1
E
§ 4 电场强度的计算青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 电场强度叠加原理
i
iFF
i
i
i
i er
Qq
ε
F?
2
0
0π4
1?
i
i
q
F
q
FE
00
点电荷 系的电场
i
i
i
i
i
i er
Q
ε
EE?
2
0π4
1
1Q
2Q
3Q 1F?
2F
3F
1r
1e?
2r2e?
3e?
3r 0q
1E
2E
3E
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃体电荷密度面电荷密度线电荷密度
V
q
d
d
s
q
d
d
l
q
d
d
sd
ld
电荷密度
Vd
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
r
r
qEE
QQ
π4 20
dd
E?d
三、如果带电体电荷连续分布，如图
Qqd
把带电体看作是由许多个电荷元组成，
然后利用场强叠加原理求解。
Pr?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
E
r
p r p r
1
4
3
0
3
E E E
r?
r
q
r?
r
q
2
0
2
0 π4π4
再利用电偶极子必须满足 r >> l 的条件得：
电偶极子的场强：
由一对等量异号点电荷的场出发：
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
E r p r p r14 3
0
3
特殊情况：
1）连线上，正电荷右侧一点 P 的场强
ppr
3
04
2
r
pE
r
p q l?
r?pp
P?q?q
l
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
l
xal
x
EE
0
2
0π4?
d
d
各电荷元在 P 点的场强方向一致
场强大小直接相加
E?dxd
r
a
P
lo xx
自解方向：导线延线青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
2
0π4 r
qE
dd?
20π4 xal
x
d
E?d
电荷元?dx 在 P 点的场强方向如图所示大小为
xd
r
a
P
lo xx
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃例 均匀带电圆环轴线上的场 Q
解：在圆环上任取电荷元
qd
r?
r
qE
2
04
dd
s in
c o s
EE
EE
x
x
dd
dd
R
R
x
y
z
o
x
x
qd
r?
E?d
由对称性分析知垂直 x 轴的场强为 0?E E x
x
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
s
r
q
EE
Q
x co4 2
0
d
232204 Rx
xQE
E
Q
x
Q
r
4 40 2 0 2
dq
R
x
y
z
o
x
r
r
xc o s
若 x >> R,则过渡到点电荷的公式说明：点电荷模型使用的条件青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
Rx（ 1）
2
0 π4 xε
qE?
0?x（ 2） 00?E
2322
0 )( π4 Rxε
qxE
0dd?xE
（ 3）
Rx
2
2
R22
R22?
E
o x
讨 论
ox
P
x x
R
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃四 直接求和法求场强优缺点：普适，积分困难。
步骤：
① 建立便于计算的坐标系；
②分析任意电荷元的 dE，投影到坐标轴，
写出 dEx,dEy,dEz。有时，通过对称性分析，可省去某一分量的积分；
③确定上下限，积分求场强。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
§ 5 电场线 电场强度电通量
1,电场线画法规定：
2,电场线的性质?
SNE d d
（ 1）电场线始于正电荷（或无穷远）止于负电荷（或无穷远），不在无电荷处中断；
为直观定性描绘电场分布而在电场中人为作出的曲线。
（ 1） 切向表示 的方向。E?
（ 2）密度表示 的大小。E?
线E?
E?
Sd
（ 2）电场线不形成单一绕行方向的闭合曲线；
（ 3）任两条电场线不相交。
一、电场线青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一对点电荷的场单个点电荷的场
3,典型的电场线图形青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 电场强度通量垂直通过电场中某个面的电场线数
1 定义
2 表述
ESΦ?e
匀强电场,与平面平行时,E?
S
E?
ne?
匀强电场,与平面夹角,E? θ
θESΦ co se?
SE
E?
S ne?
θ
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃非匀强电场，曲面 S,
S SEΦΦ dd ee
ndd eSS
SESθEΦ ddco sd
e
S
ne
Sd
θ
E?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃非均匀电场，闭合曲面 S,
S SEΦ de S SθE dc os
90?θ
90?θ
“穿出”
“穿进”
S
ne
E?
E?
ne
θ
θ
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电场中,求通过此三棱柱体的电场强度通量,
解
5
1
ee
i
iΦΦ
x
y
z
E?
o
M
N
P
R
Qne?
ne?
ne?
21 ee ΦΦ
S1
S2
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
11
1
1e πc o sd ESESs SEΦ
12
1
2e co sd ESθESs SEΦ
0
5
1
ee
i
iΦΦ
x
y
z
E?
o
M
N
P
R
Qne?
ne?
ne?
S1
S2
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃高斯高斯 (C.F.Gauss 1777?1855）
德国 数学家、天文学家和 物理学家，有,数学王子,美称，他与韦伯制成了第一台有线电报机和建立了地磁观测台，高斯还创立了电磁量的绝对单位制,
§ 6 高斯定理及其应用青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃在真空中静电场，穿过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以,
0ε
1 高斯定理高斯面
n
iS
i
q
ε
SEΦ
1
in
0
e
1d
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
2 高斯定理的讨论
(1) 高斯面：闭合曲面,
(2) 电场强度：所有电荷的总电场强度,
(3) 电通量：穿出为正，穿进为负,
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献,
(5) 静电场：有源场,
n
iS
i
q
ε
SEΦ
1
in
0
e
1d
(6) 高斯定理不仅适用于静电场，亦适用于运动电荷的电场和随时间变化的电场，是电磁场基本定理之一。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
3 高斯定理应用举例用高斯定理求电场强度的一般步骤为对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算,
n
iS
i
q
ε
SEΦ
1
in
0
e
1d
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
dq2
dq1
1,均匀带电球面内外的电场 (设半径为 R,带电量 q )
1S
r
1dE?
2dE?
E?d
解：
分析电场球对称性如图：
（ 1）选 r > R 的高斯球面 S1
,qq
i
i,4
0
2
qrE
4 20 r
qE
外根据高斯定理
OR
q
P1?
i
iqSE
0
e
1 d
S?
1 S SE d 11 S? SE d0c o s1 S? SE d? 2 4 rE
的方向：沿半径的方向。E?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
（ 2）选 r < R 的高斯球面 S2
,0 iq,0 4 2 rE? 0?内E
★ 结论,均匀带电球面的场强
)( 4 2
0
Rrrq
)( 0 Rr?
E
(1) 球面外的场强 = 电量集中于球心处的点电荷的场强；
(2) 球面内的场强处处为 0 。
o r
E
r
2S
2POR
q
22 4 d d rESESE
2
S
2
S?
R?
12r?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃解：
2,均匀带电球体内外的电场 (设半径 R,带电量 q )
R
q
o r
1S
(1) 球体外 ( r > R )
,4
0
2
qrE
2
04 r
qE
外
(2) 球体内 ( r < R )
3 R
q
34电荷体密度
21 4 d d rESESE
1
S
1
S?
22 4 d d rESESE
2
S
2
S?
,qq
i i
2S
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
,34 3rq i 34 1 4 3
0
2 rrE
03
rE?
内
★ 结论,均匀带电球体的场强
E
(1) 球体外的场强 = 电量集中于球心处的点电荷的场强；
o r
E
(2) 球体内的场强 rE?,球心处 0?OE 。
r? 12r?
R
q
o
2S
) ( 4 2
0
Rrrq ≥
) ( 4 3 3
00
RrRrqr≤
3
04
R
rq
R?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
3.,无限长”均匀带电直线的电场 (电荷线密度 λ)
解,
SE d
侧面
上底
侧面?下底
SESESE d0c o s d2c o s d2c o s
0? 0?
hq i
E?rh
Sn?
n?
n?
分析,电场分布为柱对称，选高为,
半径为 的闭合圆柱面 为高斯面 。
h
r S
S? SE d e
侧面
SE d?,2 rhE
E?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
,2
0?
hrhE
rE 02
r
1?
★ 结论,无限长均匀带电直线的场强
rE 02
o r
E 1
r?
方向：
,0 E 垂直带电直线向外；
,0 E 垂直指向带电直线。
大小：
hq i,2 e rhE
E?
与电场叠加原理计算的 J结果相同。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
４,求无限长均匀带电圆柱面的电场分布解,
R
h
rS S
单位长度圆柱面的带电量为?
,hq i rE 0 2
外
,0 iq 0?内E
Rr?（ 1）柱面外
（ 2）柱面内 Rr?
,2 rhE
侧面
SESE d d eS?
利用高斯定理所求得的均匀带电球面、均匀带电直线的电场公式，同学必须掌握,以便今后直接引用。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
o r
E
r
1?
★ 结论,无限长均匀带电圆柱面的场强
E
) ( 2
0
Rrr
)( 0 Rr?
（ 1）圆柱面外的场强
（ 2）圆柱面内的场强处处 = 0 。
R?
= 把电量集中于轴线上的无限长均匀带电直线的场强；
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃解,对称性分析
5,无限大均匀带电平面的电场 (已知电荷面密度 )?
的方向垂直带电平面向外，E?
0?
底底 ESES
E?
SE d eS?
S侧
S底
P
S
E?
E?距面同远处 的大小相同。
左底
侧面
右底
SESESE d2c o s d0c o s d0c o s
底ES2?
P?r
取长为 的圆柱面 为高斯面，则：Sr2 r
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
,底Sq i
,2
0?
底底
SES
02?
E
★ 结论：
无限大均匀带电平面的电场是均匀电场 。
02?
E
,0 E 垂直带电平面向外；
,0 E 垂直指向带电平面。
大小,E? E?
方向：
E? S侧
S底
P
S
E?
r
,2e 底ES
+?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
§ 7 静电场力的功 电势能一,静电场力作功的特点
0dd
bb
ab aaW F l q E l
在点电荷 q的电场中移动 q0,由 a?b 点过程中
q
a
b
0qr? E?
l?d
rd
ar
br
ba lEq?d c o s0?
rdr qq b
a
r
r?
2
0
0 4
0
0
11( )
4 ab
qq
rr rl dco sd
EqF 0?电场力 对 作的功,0q
ba rEq d0
r
qq b
a
r
r
1
4 0
0
—与路径无关。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃静电场力作功只与电荷始末位置有关，与路径无关。
0
0
11( )
4 ab ab
qqW
rr
★ 结论：
0 0 1 0 2d d d
b b b
ab a a aW q E l q E l q E l＋ ＋
对连续带电体有同样结论。
静电场力是保守力。
12 WW
在点电荷系 q1,q2,… 的电场中移动 q0,电场力作的功：
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 静电场的环路定理
AD CAB C
lEqlEq
dd 00
0)dd(0
C D AABC
lElEq
0dl lE
静电场是保守场结论,沿闭合路径一周,电场力作功为零,
E?
A
B C
D
1 静电场中电场强度沿任意闭合路径的 线积分 ( 称 的环流 ） = 0 。 E?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃静电力是保守力，可引入电势能 的概念。
静电场力是保守力，作功与路径无关。
2,环路定理的意义静电场是保守场 ( 无旋场 ) ；
★ 结论：
遵守高斯定理和环路定理说明静电场是有源保守场。E?
0d lEL?环路定理三,电势能青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃静电场力的功 = 电势能增量的负值。
0 d ( )
b
a b b aaW q E l W W
q0 在电场中 某 点的电 势能选 0
bW?
则
0 d
b
a b a baW q E l W W
注意：
= 把 q0 从 该 点移至 电势能零 点 的 过程中电场力的功 。
(2) 电势能的大小是相对的，电势能差才是有意义的，
一般要选取势能零点。
aW?
(1) 电势能属于 和产生电场的源电荷系统所共有；q0
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一 电势
) V ( ldEqWV bb
a
a
a 0
0
或 把单位正电荷从该点 移至零电势处静 电场力的功 。
= 单位正 电荷 在该 点 具有 的电势能 ；
电场中某点的电势二 电场中两点间的电势差
0
db aba b a b
a
WV V V E l
q
= 把单位正电荷从一点 移至另一点时静 电场力的功 。
电势的单位,CJ,V 1-?
§ 8 电势 电势差需要寻找一个与试验电荷无关，仅描写静电场作功性质的物理量。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
(1) 电势 V是标量,有正负,描写电场作功的特性 ；
讨论：
(2) 电势 V 是描述电场能量性质的物理量，仅与场源电荷及
(3) 电势 V 是相对量，与电势零点选择有关。
★ 点电荷、有限分布带电体：
ldEV aa
★ 无限分布带电体系,选适当的位置 b,0?bV
ldEV baa常用的公式：
00 ( ) a b a b a bW q V q V V,V qW aa 0?
场点位置有关，与试验电荷无关；
V 0选
(4) 电势差的大小与电势零点选取无关 。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一 点电荷电场的电势
l dEV aa
点电荷的电势：
r
qV
04
1 r?
o r
V 0?q
0?q
越低；越远距 Vq V q,0,0
越高。越远距 VqV q,0,0
d r rE d 4 2
0
r rrq rq 4
0
§ 9 电势的计算 电势叠加原理青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
rq 4 ld)EEE(ldEV
n
i i
i
0
r n
r
1
21
1
二 点电荷系电场的电势（电势叠加原理）
点电荷系的电场中某点的电势
V rq 4 V
n
i
i
n
i i
i
0
11
1
qd
r
P
r qd dVV
VV
04
注意：是标量积分连续分布带电体的电场的电势 ( 选 ) V 0?
＝ 各点电荷单独在该点产生的电势的代数和。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
★ 计算方法：
(1) 用电势的定义,ldEV
aa?
(2) 用电势叠加原理：
r qd VdV
VV
04
1,均匀带电球面电场中的电势分布 (设半径 R,带电量 q )
由高斯定理得,) (
4 20
Rr
r
q?
) ( 0 Rr?
E
R
q
o
三,电势计算举例青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
(1) 球面外,r > R
P
Ro r
沿半径方向积分,则 P 点的电势为
rr rdErdEV 外外外
由于球内外场强分布不同,积分必须分段进行,即
r
r
q
r d 4 20?
(2) 球面内,r < R
r rdEV内
r
4
0 r
q
4
0 R
q
rErE d d 外内rR?R
r
r
qr d
4
d0 2
0
r
R
R
P
q
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
★ 结论：
均匀带电球面电场的电势
V
（ 1）球面外的电势 = 电量集中于球心处的点电荷的电势；
（ 2）球面内是等势区，球面是等势面 。
o r
V
R
1 r?
O R
) (
4 0 Rrr
q
≥
≤ ) ( 4
0
RrRq
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
3,求两个同心均匀带电球面的 和 的分布。VE?
1R
2R
o
1q
2q?
ⅠⅡⅢ
已知：内球面：,,外球面：,1R 2R1q 2q?
解,方法一：先用高斯定理求,E?
再用积分关系求 。V
Ⅰ 区,2Rr?
2
0
211
4 r
qqE
,4d
0
21211
qqrESE
S
r
qqV
0
21
1 4
r
rdE V 11 r
d
4 20
21 r
r
qq
,4
0
21
r
qq
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
Ⅱ 区,21 RrR
1R
2R
o
1q
2q?
ⅠⅡⅢ
,4d
0
1222
qrESE
S
4 20
1
2 r
qE
rdEV r2
d d 12 rErEr2R
2R
rrqqrrq d 4 d 4 2
0
21
2
0
1
r
2R
2R
20
21
20
1
4)
11 (
4 R
qq
Rr
q
20
2
0
1
2 44 R
q
r
qV
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
Ⅲ 区,1Rr?
1R
2R
o
1q
2q?
ⅠⅡⅢ
rdEV r3
0 0 4d
0
2
33 rESES
03?E
rErErE d d d 123 r 1R 1R 2R 2R?
rrqqrrq d 4 d 4 2
0
21
2
0
1
1R
2R
2R
20
21
210
1
4)
11(
4 R
qq
RR
q
RqRqV
20
2
10
1
3 44
0
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃等势面 — 电场中 由电势相等的点组成的面 。
★ 等势面的 性质：
1),等势面的疏密 与电场线的疏密成正比；
)VV(qldEq baba 000
3),等势面 与电场线 处处正交 。
d lE
2),电荷沿等势面移动时电场力不做功 ；
§ 10 等势面 场强与电势的关系
E?
等势面
a
b
l?d
★ 等势面画法规定,任两相邻等势面间的电势差相等。
∵ 由上式知：
1.等势面青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
★ 说明：
z
V E,
y
V E,
x
V E
zyx?
V g r a dV E
★ 直角坐标系中：
) kzVjyVixV ( E
(负电势梯度 )
只与 的空间变化率有关，与 值本身无关！E? V V
例：
0?oE
-?oo? Vo 0?
0?oE
Vo 0?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
(1) 积分关系：
(2) 微分关系：
) V ( ldEV aa 0
nnd Vd V E 0
1,点电荷的 和V E?
r qV
04
r? r q r? rd Vd E 02
0
0 4
场强与电势的关系：
3,场强与电势的关系应用举例青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
2,均匀带电细圆环轴线上的 V 和 ( 已知 q,R )。E?
R
o
P? xx
qd
解,先用叠加原理求,V 再用微分关系求 。E?
r qdVd
04
21220 )( 4
d
xR
q
E?
r
)xR( qd Vd V 2122
04
2122
0 )( 4 xR
q
d )( 4
1
2122
0
qxR
,)xR( x qx V E x 2322
04?
0,0 zy EE
)( 4 2322
0
ixR xqE
§ 1 电荷的量子化 电荷守恒定律
§ 4 电场强度的计算
§ 5 电场线 电场强度通量
§ 8 电势 电势差
§ 3 电场 电场强度
§ 2 点电荷 真空中的库仑定律
§ 7 静电场力的功 电势能
§ 6 高斯定理及其应用
§ 9 电势的计算 电势叠加原理青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
1 种类,
4 电荷的量子化,
2 性质,
正电荷，负电荷库仑（ C）
同种相斥，异种相吸
3 量度,
C10602.1 19e
)321(?,,, nneq
§ 1 电荷的量子化 电荷守恒定律一 电荷的量子化电量不能连续变化，只能是某一最小电量单位的整数倍基元电荷青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 电荷守恒定律不管系统中的电荷如何迁移，系统的电荷的代数和保持不变,
（自然界的基本守恒定律之一）
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
§ 2 点电荷 真空中的库仑定律
1785年，库仑通过扭称实验得到。表述如下：
在真空中,两个静止点电荷之间的相互作用力大小，与它们的电量的乘积成正比
，与它们之间距离的平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，
异号电荷相吸。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃库仑定律
21212
0 mNC1085.8
ε
为真空电容率
122
12
21
0
12 π4
1
e
r
ε
F?
点电荷：抽象模型
1q
2q
r?
12e?
受 的力
1q2q
当两带电体本身线度远比它们的间距小时，可把带电体上电荷看成集中于一点，这样就抽象出,点电荷,理想模型。
（实验定律，适用于点电荷）
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
2
21
0π4
1
r
ε
F?
大小：
方向：
1q 2q和 同号相斥，异号相吸,
1q
2qr?
12e?
122
12
21
0
12 π4
1
e
r
ε
F?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一 静电场静电场,静止电荷周围存在的电场电 荷 电 场 电 荷物 质实物场
§ 3 电场和电场强度电场的基本性质 给电场中的带电体施以力的作用,表明 电场具有动量 ;当带电体在电场中移动时，电场力作功。表明 电场具有能量 。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 电场强度
1 试验电荷点电荷电荷足够小
2 电场强度
0q
FE
Q?
场源电荷
F?
试验电荷
0q?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃单位,11 mVCN,
和 试 验电荷无关
0q
FE
电荷 q受电场力,
EqF
定义,单位正试验电荷所受的电场力是定义式，既适用于介质，也适用于多电荷系统。
匀强电场,E的大小、方向均相同的电场。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一 点电荷电场强度
E? +
0?Q
P
r?
rer
ε
F?
2
0
0 π4
1?
F?
0q?
2
0 π4
1
r
Q
ε
E?
rer
Q
εq
FE?
2
00 π4
1
E
§ 4 电场强度的计算青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 电场强度叠加原理
i
iFF
i
i
i
i er
ε
F?
2
0
0π4
1?
i
i
q
F
q
FE
00
点电荷 系的电场
i
i
i
i
i
i er
Q
ε
EE?
2
0π4
1
1Q
2Q
3Q 1F?
2F
3F
1r
1e?
2r2e?
3e?
3r 0q
1E
2E
3E
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃体电荷密度面电荷密度线电荷密度
V
q
d
d
s
q
d
d
l
q
d
d
sd
ld
电荷密度
Vd
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
r
r
qEE
π4 20
dd
E?d
三、如果带电体电荷连续分布，如图
Qqd
把带电体看作是由许多个电荷元组成，
然后利用场强叠加原理求解。
Pr?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
E
r
p r p r
1
4
3
0
3
E E E
r?
r
q
r?
r
q
2
0
2
0 π4π4
再利用电偶极子必须满足 r >> l 的条件得：
电偶极子的场强：
由一对等量异号点电荷的场出发：
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
E r p r p r14 3
0
3
特殊情况：
1）连线上，正电荷右侧一点 P 的场强
ppr
3
04
2
r
pE
r
p q l?
r?pp
P?q?q
l
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
l
xal
x
EE
0
2
0π4?
d
d
各电荷元在 P 点的场强方向一致
场强大小直接相加
E?dxd
r
a
P
lo xx
自解方向：导线延线青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
2
0π4 r
qE
dd?
20π4 xal
x
d
E?d
电荷元?dx 在 P 点的场强方向如图所示大小为
xd
r
a
P
lo xx
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃例 均匀带电圆环轴线上的场 Q
解：在圆环上任取电荷元
qd
r?
r
qE
2
04
dd
s in
c o s
EE
EE
x
x
dd
dd
R
R
x
y
z
o
x
x
qd
r?
E?d
由对称性分析知垂直 x 轴的场强为 0?E E x
x
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
s
r
q
EE
Q
x co4 2
0
d
232204 Rx
xQE
E
Q
x
Q
r
4 40 2 0 2
dq
R
x
y
z
o
x
r
r
xc o s
若 x >> R,则过渡到点电荷的公式说明：点电荷模型使用的条件青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
Rx（ 1）
2
0 π4 xε
qE?
0?x（ 2） 00?E
2322
0 )( π4 Rxε
qxE
0dd?xE
（ 3）
Rx
2
2
R22
R22?
E
o x
讨 论
ox
P
x x
R
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃四 直接求和法求场强优缺点：普适，积分困难。
步骤：
① 建立便于计算的坐标系；
②分析任意电荷元的 dE，投影到坐标轴，
写出 dEx,dEy,dEz。有时，通过对称性分析，可省去某一分量的积分；
③确定上下限，积分求场强。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
§ 5 电场线 电场强度电通量
1,电场线画法规定：
2,电场线的性质?
SNE d d
（ 1）电场线始于正电荷（或无穷远）止于负电荷（或无穷远），不在无电荷处中断；
为直观定性描绘电场分布而在电场中人为作出的曲线。
（ 1） 切向表示 的方向。E?
（ 2）密度表示 的大小。E?
线E?
E?
Sd
（ 2）电场线不形成单一绕行方向的闭合曲线；
（ 3）任两条电场线不相交。
一、电场线青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一对点电荷的场单个点电荷的场
3,典型的电场线图形青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 电场强度通量垂直通过电场中某个面的电场线数
1 定义
2 表述
ESΦ?e
匀强电场,与平面平行时,E?
S
E?
ne?
匀强电场,与平面夹角,E? θ
θESΦ co se?
SE
E?
S ne?
θ
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃非匀强电场，曲面 S,
S SEΦΦ dd ee
ndd eSS
SESθEΦ ddco sd
e
S
ne
Sd
θ
E?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃非均匀电场，闭合曲面 S,
S SEΦ de S SθE dc os
90?θ
90?θ
“穿出”
“穿进”
S
ne
E?
E?
ne
θ
θ
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃例 三棱柱体放置在如图所示的匀强电场中,求通过此三棱柱体的电场强度通量,
解
5
1
ee
i
iΦΦ
x
y
z
E?
o
M
N
P
R
Qne?
ne?
ne?
21 ee ΦΦ
S1
S2
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
11
1
1e πc o sd ESESs SEΦ
12
1
2e co sd ESθESs SEΦ
0
5
1
ee
i
iΦΦ
x
y
z
E?
o
M
N
P
R
Qne?
ne?
ne?
S1
S2
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃高斯高斯 (C.F.Gauss 1777?1855）
德国 数学家、天文学家和 物理学家，有,数学王子,美称，他与韦伯制成了第一台有线电报机和建立了地磁观测台，高斯还创立了电磁量的绝对单位制,
§ 6 高斯定理及其应用青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃在真空中静电场，穿过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以,
0ε
1 高斯定理高斯面
n
iS
i
q
ε
SEΦ
1
in
0
e
1d
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
2 高斯定理的讨论
(1) 高斯面：闭合曲面,
(2) 电场强度：所有电荷的总电场强度,
(3) 电通量：穿出为正，穿进为负,
(4) 仅面内电荷对电通量有贡献,
(5) 静电场：有源场,
n
iS
i
q
ε
SEΦ
1
in
0
e
1d
(6) 高斯定理不仅适用于静电场，亦适用于运动电荷的电场和随时间变化的电场，是电磁场基本定理之一。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
3 高斯定理应用举例用高斯定理求电场强度的一般步骤为对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算,
n
iS
i
q
ε
SEΦ
1
in
0
e
1d
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
dq2
dq1
1,均匀带电球面内外的电场 (设半径为 R,带电量 q )
1S
r
1dE?
2dE?
E?d
解：
分析电场球对称性如图：
（ 1）选 r > R 的高斯球面 S1
i
i,4
0
2
qrE
4 20 r
qE
外根据高斯定理
OR
q
P1?
i
iqSE
0
e
1 d
S?
1 S SE d 11 S? SE d0c o s1 S? SE d? 2 4 rE
的方向：沿半径的方向。E?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
（ 2）选 r < R 的高斯球面 S2
,0 iq,0 4 2 rE? 0?内E
★ 结论,均匀带电球面的场强
)( 4 2
0
Rrrq
)( 0 Rr?
E
(1) 球面外的场强 = 电量集中于球心处的点电荷的场强；
(2) 球面内的场强处处为 0 。
o r
E
r
2S
2POR
q
22 4 d d rESESE
2
S
2
S?
R?
12r?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃解：
2,均匀带电球体内外的电场 (设半径 R,带电量 q )
R
q
o r
1S
(1) 球体外 ( r > R )
,4
0
2
qrE
2
04 r
qE
外
(2) 球体内 ( r < R )
3 R
q
34电荷体密度
21 4 d d rESESE
1
S
1
S?
22 4 d d rESESE
2
S
2
S?
i i
2S
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
,34 3rq i 34 1 4 3
0
2 rrE
03
rE?
内
★ 结论,均匀带电球体的场强
E
(1) 球体外的场强 = 电量集中于球心处的点电荷的场强；
o r
E
(2) 球体内的场强 rE?,球心处 0?OE 。
r? 12r?
R
q
o
2S
) ( 4 2
0
Rrrq ≥
) ( 4 3 3
00
RrRrqr≤
3
04
R
rq
R?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
3.,无限长”均匀带电直线的电场 (电荷线密度 λ)
解,
SE d
侧面
上底
侧面?下底
SESESE d0c o s d2c o s d2c o s
0? 0?
hq i
E?rh
Sn?
n?
n?
分析,电场分布为柱对称，选高为,
半径为 的闭合圆柱面 为高斯面 。
h
r S
S? SE d e
侧面
SE d?,2 rhE
E?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
,2
0?
hrhE
rE 02
r
1?
★ 结论,无限长均匀带电直线的场强
rE 02
o r
E 1
r?
方向：
,0 E 垂直带电直线向外；
,0 E 垂直指向带电直线。
大小：
hq i,2 e rhE
E?
与电场叠加原理计算的 J结果相同。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
４,求无限长均匀带电圆柱面的电场分布解,
R
h
rS S
单位长度圆柱面的带电量为?
,hq i rE 0 2
外
,0 iq 0?内E
Rr?（ 1）柱面外
（ 2）柱面内 Rr?
,2 rhE
侧面
SESE d d eS?
利用高斯定理所求得的均匀带电球面、均匀带电直线的电场公式，同学必须掌握,以便今后直接引用。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
o r
E
r
1?
★ 结论,无限长均匀带电圆柱面的场强
E
) ( 2
0
Rrr
)( 0 Rr?
（ 1）圆柱面外的场强
（ 2）圆柱面内的场强处处 = 0 。
R?
= 把电量集中于轴线上的无限长均匀带电直线的场强；
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃解,对称性分析
5,无限大均匀带电平面的电场 (已知电荷面密度 )?
的方向垂直带电平面向外，E?
0?
底底 ESES
E?
SE d eS?
S侧
S底
P
S
E?
E?距面同远处 的大小相同。
左底
侧面
右底
SESESE d2c o s d0c o s d0c o s
底ES2?
P?r
取长为 的圆柱面 为高斯面，则：Sr2 r
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
,底Sq i
,2
0?
底底
SES
02?
E
★ 结论：
无限大均匀带电平面的电场是均匀电场 。
02?
E
,0 E 垂直带电平面向外；
,0 E 垂直指向带电平面。
大小,E? E?
方向：
E? S侧
S底
P
S
E?
r
,2e 底ES
+?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
§ 7 静电场力的功 电势能一,静电场力作功的特点
0dd
bb
ab aaW F l q E l
在点电荷 q的电场中移动 q0,由 a?b 点过程中
q
a
b
0qr? E?
l?d
rd
ar
br
ba lEq?d c o s0?
rdr qq b
a
r
r?
2
0
0 4
0
0
11( )
4 ab
rr rl dco sd
EqF 0?电场力 对 作的功,0q
ba rEq d0
r
qq b
a
r
r
1
4 0
0
—与路径无关。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃静电场力作功只与电荷始末位置有关，与路径无关。
0
0
11( )
4 ab ab
qqW
rr
★ 结论：
0 0 1 0 2d d d
b b b
ab a a aW q E l q E l q E l＋ ＋
对连续带电体有同样结论。
静电场力是保守力。
12 WW
在点电荷系 q1,q2,… 的电场中移动 q0,电场力作的功：
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃二 静电场的环路定理
AD CAB C
lEqlEq
dd 00
0)dd(0
C D AABC
lElEq
0dl lE
静电场是保守场结论,沿闭合路径一周,电场力作功为零,
E?
A
B C
D
1 静电场中电场强度沿任意闭合路径的 线积分 ( 称 的环流 ） = 0 。 E?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃静电力是保守力，可引入电势能 的概念。
静电场力是保守力，作功与路径无关。
2,环路定理的意义静电场是保守场 ( 无旋场 ) ；
★ 结论：
遵守高斯定理和环路定理说明静电场是有源保守场。E?
0d lEL?环路定理三,电势能青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃静电场力的功 = 电势能增量的负值。
0 d ( )
b
a b b aaW q E l W W
q0 在电场中 某 点的电 势能选 0
bW?
则
0 d
b
a b a baW q E l W W
注意：
= 把 q0 从 该 点移至 电势能零 点 的 过程中电场力的功 。
(2) 电势能的大小是相对的，电势能差才是有意义的，
一般要选取势能零点。
aW?
(1) 电势能属于 和产生电场的源电荷系统所共有；q0
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一 电势
) V ( ldEqWV bb
a
a
a 0
0
或 把单位正电荷从该点 移至零电势处静 电场力的功 。
= 单位正 电荷 在该 点 具有 的电势能 ；
电场中某点的电势二 电场中两点间的电势差
0
db aba b a b
a
WV V V E l
q
= 把单位正电荷从一点 移至另一点时静 电场力的功 。
电势的单位,CJ,V 1-?
§ 8 电势 电势差需要寻找一个与试验电荷无关，仅描写静电场作功性质的物理量。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
(1) 电势 V是标量,有正负,描写电场作功的特性 ；
讨论：
(2) 电势 V 是描述电场能量性质的物理量，仅与场源电荷及
(3) 电势 V 是相对量，与电势零点选择有关。
★ 点电荷、有限分布带电体：
ldEV aa
★ 无限分布带电体系,选适当的位置 b,0?bV
ldEV baa常用的公式：
00 ( ) a b a b a bW q V q V V,V qW aa 0?
场点位置有关，与试验电荷无关；
V 0选
(4) 电势差的大小与电势零点选取无关 。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃一 点电荷电场的电势
l dEV aa
点电荷的电势：
r
qV
04
1 r?
o r
V 0?q
0?q
越低；越远距 Vq V q,0,0
越高。越远距 VqV q,0,0
d r rE d 4 2
0
r rrq rq 4
0
§ 9 电势的计算 电势叠加原理青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
rq 4 ld)EEE(ldEV
n
i i
i
0
r n
r
1
21
1
二 点电荷系电场的电势（电势叠加原理）
点电荷系的电场中某点的电势
V rq 4 V
n
i
i
n
i i
i
0
11
1
qd
r
P
r qd dVV
VV
04
注意：是标量积分连续分布带电体的电场的电势 ( 选 ) V 0?
＝ 各点电荷单独在该点产生的电势的代数和。
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
★ 计算方法：
(1) 用电势的定义,ldEV
aa?
(2) 用电势叠加原理：
r qd VdV
VV
04
1,均匀带电球面电场中的电势分布 (设半径 R,带电量 q )
由高斯定理得,) (
4 20
Rr
r
q?
) ( 0 Rr?
E
R
q
o
三,电势计算举例青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
(1) 球面外,r > R
P
Ro r
沿半径方向积分,则 P 点的电势为
rr rdErdEV 外外外
由于球内外场强分布不同,积分必须分段进行,即
r
r
q
r d 4 20?
(2) 球面内,r < R
r rdEV内
r
4
0 r
q
4
0 R
q
rErE d d 外内rR?R
r
r
qr d
4
d0 2
0
r
R
R
P
q
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
★ 结论：
均匀带电球面电场的电势
V
（ 1）球面外的电势 = 电量集中于球心处的点电荷的电势；
（ 2）球面内是等势区，球面是等势面 。
o r
V
R
1 r?
O R
) (
4 0 Rrr
q
≥
≤ ) ( 4
0
RrRq
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
3,求两个同心均匀带电球面的 和 的分布。VE?
1R
2R
o
1q
2q?
ⅠⅡⅢ
已知：内球面：,,外球面：,1R 2R1q 2q?
解,方法一：先用高斯定理求,E?
再用积分关系求 。V
Ⅰ 区,2Rr?
2
0
211
4 r
qqE
,4d
0
21211
qqrESE
S
r
qqV
0
21
1 4
r
rdE V 11 r
d
4 20
21 r
r
,4
0
21
r
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
Ⅱ 区,21 RrR
1R
2R
o
1q
2q?
ⅠⅡⅢ
,4d
0
1222
qrESE
S
4 20
1
2 r
qE
rdEV r2
d d 12 rErEr2R
2R
rrqqrrq d 4 d 4 2
0
21
2
0
1
r
2R
2R
20
21
20
1
4)
11 (
4 R
Rr
q
20
2
0
1
2 44 R
q
r
qV
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
Ⅲ 区,1Rr?
1R
2R
o
1q
2q?
ⅠⅡⅢ
rdEV r3
0 0 4d
0
2
33 rESES
03?E
rErErE d d d 123 r 1R 1R 2R 2R?
rrqqrrq d 4 d 4 2
0
21
2
0
1
1R
2R
2R
20
21
210
1
4)
11(
4 R
RR
q
RqRqV
20
2
10
1
3 44
0
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃等势面 — 电场中 由电势相等的点组成的面 。
★ 等势面的 性质：
1),等势面的疏密 与电场线的疏密成正比；
)VV(qldEq baba 000
3),等势面 与电场线 处处正交 。
d lE
2),电荷沿等势面移动时电场力不做功 ；
§ 10 等势面 场强与电势的关系
E?
等势面
a
b
l?d
★ 等势面画法规定,任两相邻等势面间的电势差相等。
∵ 由上式知：
1.等势面青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
★ 说明：
z
V E,
y
V E,
x
V E
zyx?
V g r a dV E
★ 直角坐标系中：
) kzVjyVixV ( E
(负电势梯度 )
只与 的空间变化率有关，与 值本身无关！E? V V
例：
0?oE
-?oo? Vo 0?
0?oE
Vo 0?
青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
(1) 积分关系：
(2) 微分关系：
) V ( ldEV aa 0
nnd Vd V E 0
1,点电荷的 和V E?
r qV
04
r? r q r? rd Vd E 02
0
0 4
场强与电势的关系：
3,场强与电势的关系应用举例青岛科技大学物 理 实验中心 祝卫 堃
2,均匀带电细圆环轴线上的 V 和 ( 已知 q,R )。E?
R
o
P? xx
qd
解,先用叠加原理求,V 再用微分关系求 。E?
r qdVd
04
21220 )( 4
d
xR
q
E?
r
)xR( qd Vd V 2122
04
2122
0 )( 4 xR
q
d )( 4
1
2122
0
qxR
,)xR( x qx V E x 2322
04?
0,0 zy EE
)( 4 2322
0
ixR xqE
