力 学
（ Mechanics）
力学 （ Mechanics）
▲ 质点力学,复习、提高
1.使知识系统化，条理化；
2.注意定理、定律的条件（不要乱套公式）；
▲ 刚体、相对论,新内容要认真体会其思想、观点，掌握其处理问题的方法。
3.数学方法上要有提高 （矢量运算，微积分） 。
本篇讨论 质点力学,刚体力学 和 相对论力学转动,(刚体 )
A
B C
A
B C A
B C
平动图例
◆ 机械运动的类型：
力学 对象 机械运动 （最简单、最基本）
力学中把这种研究物体在空间位置随时间的变化规律，而不涉及引起这种变化的原因，这部分称为 运动学平动,连接物体内任意两的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。
（ Kinematics of particles）
质点运动学第一章
§ 1.1 机械运动的基本特征及其描述方法
§ 1.2 位置矢量 质点运动学方程
§ 1.3 位移 速度
§ 1.4 加速度
§ 1.5 圆周运动的角量描述
§ 1.6 相对运动
§ 1.7 刚体的基本运动本章目录
§ 1.1 机械运动的基本特征及其描述方法一、运动的绝对性和描述的相对性自然界物体不停运动，绝对静止的物体没有二、参考系和坐标系
① 说明运动的绝对性和普遍性
② 说明运动描述的相对性例如,歌曲例如：诗词由运动描述的相对性，描述运动必须选取 参考系
（ reference system and coordinate system)
七律 送瘟神毛泽东 （ 1958.07.01）
【 原词 】 绿水青山枉自多，
华佗无奈小虫何！
千村薜荔人遗矢，
万户萧疏鬼唱歌。
坐地日行八万里,
巡天遥看一千河。
牛郎欲问瘟神事，
一样悲欢逐逝波。
1,参考系 （参照系）,用来描述物体运动而选作参考的 物体或物体系。
运动学中 参考系 可 任选,不同参考系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。
▲ 太阳参考系 （ 太阳 ─ 恒星参考系 ）
▲ 地心参考系 （ 地球 ─ 恒星参考系 ）
▲ 地面参考系或实验室参考系常用的参考系：
为 定量 描述运动，需在参考系上固结坐标系。
2,坐标系：
参考系选定后,坐标系还可任选 。
不同坐标系中,运动的数学表述可以不同 。
▲ 极坐标系（ r,θ,? ）
▲ 柱坐标系（?,?,z ）
▲ 自然“坐标系”（本章 § 1.2）
z
y
x
x
y
z
r?
●▲ 直角坐标系（ x,y,z ）
常用的坐标系,
(,,)P x y z
固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。
三,运动的瞬时性和矢量性
① 瞬时性：运动随时间 t而变；
② 矢量性：含义
a.运动的方向性
（要用矢量表示）
b.运动的叠加性四,质点质点,物体的形状大小可以忽略时，把它看成有一定质量的 点 （理想化模型，科学抽象）
（需借助微积分数学分析工具）
(要符合矢量的运算法则 )
能否视为 质点 是有条件的、相对的，据问题性质而定：
（ 1）只有作平动时，可视为 质点 ；
（ 2）物体的线度和它运动的范围相比很小，它的转动和形变在研究的问题中完全不重要时，视为 质点 。
物体 不为质点 时，可视 为许多质点 组成本书有关力学章节中，除 刚体 外，都视为 质点 。
§ 1.2 位置矢量,质点的运动学方程一、位置矢量、坐标用来确定某时刻位置矢量（位矢、矢径）：
质点位置的矢量。
r( t )
0
·
x
z
y
z( t )
y( t )
x( t )
P( t )
●
i?
j?
k?
轨迹选参考系 ----建坐标系 oxyz
方法有两种：
（ 1）由原点 O P的有向线段
r 位置矢量（位矢、矢径）
),,( zyxrr
kzjyix
（ 2）由 P点的坐标（ x,y,z）来定。
两者的关系：
(,,)i j k 为 单 位 矢 量位矢的大小
2 22rr y zx
位矢的方向余弦
c o s, xr c o s, y
r c o s
z
r
·
'y
'o
r( t )
0
x
z
y
轨迹
'x
'z
P(x,y,z)
为 与 x,y,z轴间的夹角
,, r
若为 o’x’y’z’坐标系，其值不同。
位矢 的大小、方向及 P点坐标的取值，
依赖于坐标系的选取。
r
进一步说明运动描述的相对性的特征注意：
二、自然坐标系
建自然 坐标 的方法,
（描写速度和加速度更方便、直观）
已知质点运动的轨道 —— 选 自然坐标系
（ 1）选 O为坐标原点，沿轨道某一方向量得曲线长度 S，取为正值，即为自然坐标的正向，反之为负。
O
S(t)
n
n
p
（ 2）任一时刻，在质点处取两相互垂直的单位矢量
,n?
为切向单位矢量，与 S的正方向一致。
n 为法向单位矢量，指向轨道的凹侧。
O
S(t)
n
n
p
三,质点的运动方程机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。 在坐标系中配上一套 同步时钟,可以给出 质点位置坐标和时间的函数关系 —— 运动方程。
ktzjtyitxtr )()()()(
或 )( txx? )( tyy?
)( tzz?
直角坐标系：
自然坐标系：
s s ( t )
概念：轨迹、轨迹方程？
［例 1.1］ 身高 l的人夜间在一条笔直的马路上匀速行走，速率为 v0，路灯距地面高度为
h，如图 1.4所示,求人影中头顶的运动学方程,
X
l
B
h
AOtvxOA
01
l
tvx
h
x 0
［解］ 选地面为参考系，沿马路建立一维坐标 ox，如图 1.4所示,
设 t=0时人通过坐标原点 O，任一时刻 t，人行至 A点，
,此时人头的影子位于 B点的 x处，则由几何关系可得,
t
lh
hvx
0
解上式，得,
此即为人影中头顶的运动学方程,
可见，人影中头顶仍作匀速运动，但速率大于 v0,
l
tvx
h
x 0
§ 1.3 位移 速度一,位移 （ displacement）
位移 —— 质点在一段时间内 位置的改变。
21
21)()(
PP
PPr
trttrr
方向：
大小,
P1
r(t)Δ r
x
y
z
0
r(t+Δ t )
P2
位移：
轨迹
即 位移 等于同一时间内 位矢 的增量路程 （ path）
s?质点实际运动轨迹的长度 叫 路程 。
注意：,rs
rrrr dd,
要分清 等的几何意义？rrr,、；但 rs?dd?
P1
r(t+Δ t )r(t)
Δ r
x
y
z
0
Δ s P
2
r(t+Δ t )
r(t)
0
Δ r
Δ r
P2
P1
p
说明,
2,位移 与 路程 的区别：
r? 描述质点空间位置变化。
r 与坐标原点位置有关；
只与起点,终点有关,与原点无关。r?
r(t+Δ t )
1,位移 与 位矢 的区别,P2
b）对于相对静止的不同坐标系：
r(t)
P1
Δ r
x
y
z
0
Δ s?
,与 位矢 的区别：
r 确定空间位置；
a)不同的两概念：
a) 为矢量，反映一段时间内质点始末位置的变化，与路径无关；
为标量，反映一段时间内质点实际经过的那段运动轨道的长度 。
r?
s?
b) 内位移的大小
rs不 一 定 等 于 路 程t?
t 0 s r只 有 时,与 相 等 d s = d r即
2,位移 与 路程 的区别：
r(t+Δ t )
r(t)
0
Δ r
Δ r
P2
P1
p
12
2
r p p
( t t ) r ( t ) p p
图 中
r = r
rr r rr 的 大 小 与 位 矢 的 大 小 的 增 量 的 区 别
3、
Δ r Δ r,d r d r所 以,
三,速度 （ velocity）
质点位矢对时间的变化率叫 速度 。
推广：对于大小、方向都随 t变化的变化的矢量（ ）都正确。,..,av
1.平均速度 （ average velocity）：
r
v
t
是矢量，方向与方向一致，为近似描述。
平均速率
sv
t
是标量
vv?
注意：
2.（ 瞬时 ） 速度 （ instantaneous velocity）,
r
t
r
t
r
t
d
d
0
lim v
v (t )
·?
速度方向,沿轨迹切线方向。
速度大小（速率） （ speed）：
为了精确描述，借助极限概念速度 为位矢对时间的一阶导数
B1B2
A
B
B1B2B3vA
A
B3
B
r
3、速度的直角坐标表示
x y zdrv v i v j v k
dt
d d d,,
d d dx y z
x y zv v v
t t t
vv d
d
r
t
t
s
d
d? d
d?
r
t
速度大小（速率） （ speed）：
r x i y j z k
2 2 2
x y zv v v v v
速率
c o s, xvv co s, yvv c o s zvv
方向：
4、速度的自然坐标表示：
()s s t?
O
S(t)
p Qr?
s?
( ) ( )t t ts s s
为代数量，与路程不同
O
S(t)
p Qr?
s?
由图知：
rs
只当：
,l i m
s0
rt 0 1
s
由速度的定义：
00
0
l i m l i m ( )
tt
s
r r s
v
t s t
00
0
l i m ( ) l i m ( )
( l i m )
ts
s
sr
ts
d s r
d t s
当：
lim
s0
s0
r
s
时,r 方 向
O
S(t)
p Qr?
s?
因此：
dsv dt
速度方向,沿轨迹切线方向速度大小,由 决定。ds
dt
,ds 0dt? 切 线 正 向 ；
,ds 0dt? 切 线 负 向 。
P10 例题 1.3,例题 1.4,例题 1.5
是 速 度 矢 量 沿 切 线 方 向的 投 影,是 代 数 量,
ds
v
dt
22 2 4t v i j
求 t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的大小和方向?
() 2r 2 t i 2 t j设质点位矢为方向：
为 与 轴 的 夹 角
2
4
a r c t a n 6 3 2 6
2
vx
22
2 2 4 4 4 7./v m s
大小：
00 2t v i
22drv i t jdt
例题：
【 解 】,
例 1.4 有一质点沿ｘ轴作直线运动,ｔ时刻的坐标为
ｘ＝ 4.5ｔ 2－ 2ｔ 3 （ ＳＩ ）,试求：
（ １ ） 第２秒内的平均速度；
（ ２ ） 第２秒末的瞬时速度；
（ ３ ） 第２秒内的路程,
5.05.221 12 xxx解
1
2 5.0|
sm
t
xv
t
21222 | 9 6 | 6ttdxv t t m s
dt
stttv 5.1
2
3
6
90693 2 时
1,5 1 2 1,5
( 3,3 7 5 2,5 ) | ( 2 3,3 7 5 ) |
2,2 5
S S S
例,一人自原点出发,25ｓ内向东走 30ｍ,又 10ｓ内向南走 10ｍ,再 15ｓ内向正西北走 18ｍ,求在这 50ｓ
内,
（ １ ） 平均速度的大小和方向？
（ ２ ） 平均速率的大小？
003 0 ( 1 0 ) 1 8 ( c o s 4 5 s i n 4 5 )
o c O A A B B C
i j i j
ji 73.227.17
smtrv /35.0|/|||)1(
10| | 1 7,4 8 8,9 8xo c m tg
y
方 向 东 偏 北
smtSv /16.1151025 181030/)2(
解：
质点速度对时间的变化率叫 加速度
x
r(t+Δ t )r(t)
y
z
0
v (t )
v (t+Δ t ) Δ v
v (t )
v (t+Δ t )
·
·
P1 P
2
§ 1.4 加速度 （ acceleration）
表示速度变化 (大小,方向 ）的快慢一、平均加速度、瞬时加速度内速度增量为：t? ( ) ( )v v t t v t
加速度的方向：
加速度的大小：
t
aa
d
d v
td
d v?
tt
a
v
0
lim 2
2
d
d
t
r r
td
d v
内 平 均 加 速 度?
va
t
t?
Δ v
v (t )
v (t+Δ t )
·
瞬时加速度（ 加速度）：
加速度 = 速度对时间的一阶导或位矢对时间的二阶导的极限方向v?速度增量
a?为 矢 量,方 向 与 v 相 同的方向和它的极限方向一般不同于速度 的方向；因而 的方向一般与同一时刻速度的方向也是不同的。
注意,?v
·
O R
a
v
av
·
·
x y
z
0
v (t )
v (t+Δ t )
Δ vP1 P
2
直线运动,自由落体，竖直上抛曲线运动,a 总是指向曲线的凹侧指向曲线凹的一方
a
v
va
a
在直角系中
x y za a i a j a k
d dd
,,
d d d
y zx
x y z
v vv
a a a
t t t
其中：
2 2 2
x y zaa a a a
大小：
方向：
c os, xaa c os, ya
a c o s
za
a
其中：
分 别 表 示 与 三 个 坐 标 轴 间 的 夹 角,,,,a x y z
二、切向加速度、法向加速度若质点运动的轨迹已知，采用自然坐标将平面曲线运动的 分解成：a
切线加速度 因 大小变化引起；
a? v
na
法向加速度 因 方向变化引起。v
na a a
的大小和方向：、
naa?
据自然坐标中，质点的速度公式：
dsvv
dt
()d v d v d v d
av
d t d t d t d t
加 速 度,
=
切向
a
法向
na?
由几何分析法：
dv dt
的大小和方向：
,naa?
()?t
()tt
n
()v t t ()vt
0
1p2p
12?pp
( ) ( )t t t
质点由
1
但方向变，则增量为：
( ) ( )t t t
当 时,0,20t
再 由lr
,由 知 趋 于
2
()?t
()tt
亦即趋于法向单位矢量 方向n
n
00
li m li m
tt
dd nn
d t t t d t
则设轨道 点处曲率半径为,则由：
1p?
d s d
21?
n d d s va v v n n
d t d t
n
()v t t
()vt
d?
0
1p2p
ds
1t a n na
a?
方向：
2
2 2 2 2( ) ( )
n
dv va a a
dt
大小：
na
a
a?
0?
特例,（ 1）变速直线运动
na a a
（ 2）匀速曲线运动
aa
naa?
2d v v
an
dt
2
2
d
d
v d ra
t dt
由定义：
三,质点运动学的两类问题
0 0
ddvtv v a t
积分求导积分求导
v()rt a
drv
dt?
（ 2）已知 （附初始条件） 求运动方程,va
（ 1）已知运动方程 求 ；,va()rt
0 0
ddrtr r v t
求：船靠岸的速度和加速度？
P18,例 1.7 如图拉船已知 v0,h，且恒定。
？
选坐标如图，
22 hlx
02 2 2 2
dd ()
x
x l l lvv
tt l h l h
h
x（ t）
0v
l x
水面
y
( 常 量 )?yh
0y dyv dt
0v?
【 解 】,
表示运动方向沿 x 轴负向。
结果讨论,匀速拉绳，船非匀速！
22
0
02 2 2 2 3
d []
d ()
x
x
v h vdlav
t d t l h l h
由加速度定义：
0yy dva dt
0xv?
表示加速度方向沿 x 轴负向。0xa?
同 号,船作变加速运动。,
xxav
[例 1.9],一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为ａ＝－ｋｙ，式中ｋ为常量，ｙ是以平衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标ｙ 0处的速度为ｖ 0，试求速度ｖ与坐标ｙ的函数关系式．
ydva k y
dt
解,
yy
y
dv dvdy
v
dy dt dy
利用：
yyv dv k y dy
)( 220202 yykvv y
00
vy
yyvyv d v k y d y
2 2 2
00 ()yv v k y y
即：
一质点运动方程为 10 c os 5 10 sin 5r ti tj
（ SI），求：（ 1） （ 2）
5 0 s in 5 5 0 c o s 5drv ti tjdt
2250 sin 5 50 c os 5 50v v t t
m/s
0dva dt nt dva a a a
dt
22 250
m/s2
ana?
【 解 】,
例题 1：
(注意 此方法，给定运动方程，先求出,,
na a a? 后 求
2
n
va
r?
这样比用 求 更简单。 ）
na
例题 2,一质点沿 x轴运动，已知加速度为
4at? (SI)，初始条件为,0t? 时，
0010,0xv
求：运动方程？
取质点为研究对象，由加速度定义,
4dvat
dt
（一维可用标量式）
4d v t d t
【 解 】,
由初始条件有：
00 4
vtd v td t
得,22vt?
由速度定义得：
22dxvt
dt
22d x t d t
由初始条件得：
2
1 0 0
2xtdx t dt
32 10
3
xt
m
由上可见，例 1和例 2分别属于第一类和第二类问题
§ 1.5 圆周运动的角量描述质点作曲线运动时 平面极坐标 (,)Pr?
极径角坐标角位置一,圆周运动的角量描述质点极坐标方程：
曲线运动的特例（ r为定值 ）
角位置?,一般规定 沿逆时针方向量得的? 取 正值
()t
A
B
ω,θ
xO
r
v
t s?
(,)Pr?r
x
角位移 是代数量,正负取决于角坐标变化与规定的方向相同还是相反
ω,?θ
xO
R
v
t s?
由 A B过程中,角位移,
A
B
（单位,rad）
0
lim
t
d
t dt
1、平均角速度
t
2、瞬时角速度（角速度）
（单位,rad/s）
（单位,rad/s）
3、平均角加速度
3、平均角加速度
2
20lim t
dd
t d t d t
t
4、瞬时角加速度（角加速度）
单位,rad/s2
二、线量与角量的关系,
、
，
质点的圆周运动，即可用线量，又可用角量来描述
d s dv r r
d t d t
θ
d ω,
xO
r
v
dt ds
线量（ s,v,a…)
角量 （ ),,...
其联系：由图知
d s r d
质点速度沿切线方向的投影
t 时0
·
an·
O r
a
v ·
a?
d
dv da r r
t dt?
2
2
n
v
ar
r
切向加速度：
法向加速度：
总结角量与线量的关系：
vr
a4
a2
O
·
v·
a3a1 ·
左图中分别是什么情形？
dvar
dt
2
2
n
var
r
线量 角量
a4情形是否存在？
思考质点作匀变速 圆周 运动时，其角量的变化规律与匀变速直线运动中线量的规律相似，表示如下：
22 002 ( )
0 t
2
00
1
2tt
（刚体中）
平面曲线运动任意的平面曲线运动,可以视为由一系 列小段圆周运动所组成 。
加速度：
2d v v
an
dv
― 曲率半径
O2
2
1
O1·
·
P1
曲率圆 1
曲率圆 2
·P2·
n
n
运动轨迹
（ plane curvilinear motion）
θ＝ -t2+4t (SI)
42 tdtd
2 dtd
［解］ 根据 ω,β的定义和线量与角量的关系，有
［例 1.10］ 一质点沿半径 r＝ 0.10m的圆周运动，其角位置可用下式表示为：
试求 t＝ 1s时质点的速度和加速度的大小,
当 t=1s时，质点的速度 v、切向加速度 aτ和法向加速度 an分别为：
aτ＝ rβ＝ 0.10× (-2)＝ -0.20(m·s-2)
an＝ rω2＝ 0.10× 22＝ 0.40(m·s-2)
v＝ rω＝ r·(-2t+4)
＝ 0.10× (-2× 1+4)＝ 0.20(m·s-1)
22
naaa
22 )40.0()20.0(
所以，质点的加速度的大小：
≈0.45(m· s-2)
在两个相对作直线运动的参考系中,时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的,与参考系无关,时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础,
AB
v?
小车以较低的速度 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B,地面上人测得车通过 A,B 两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同,
v?
§ 1.6 相对运动 （ relative motion）
相对运动相对运动 是指 不同 参考系中观察 同一 物体的运动,
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系,
由图知：
速度关系：
u vv
称为 绝对速度 （ absolute velocity）v?
称为 相对速度 （ relative velocity）v
称为 牵连速度 （ connected velocity）u?
R
y′
x′
S′
r'
O?
u?
p
O
x
y
S
·
●
r
r r ' R
仅讨论参考系 s’相对参考系 S以速度 平动 的情形：u?
0aaa
进一步给出关系式：
称为 伽利略速度变换
u vv
绝对加速度相对加速度牵连加速度只 适用于相对运动为 平动 的情形。
(1)研究对象：风 速度,观测者：地球坐标和骑摩托车的人 。
（ 2）风对地：,人对地：,风对人：
风地V
人地V
风人V?
故有：
风人人地风地 VVV
某人骑摩托车向东前进，⑴ 其速率为 10m.s?1时觉得有南风，⑵ 当速率增大到 15m.s?1时，又觉得有东南风。试求风的速度？
例题：
【 解 】,
从上面的几何关系可得：
smV /125510 22风地
'3426
10
51
tg?
（ 3）由题意有：
人地V
(=10m/s)
风地V
东北
450
人地V
(=15m/s)
北风地V
东
P33习题 1.19 河水自西向东流动，速度为 10 km/h,一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30o,航速为 20km/h。 此时风向为正西，风速为 10km/h。 试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）
已知：
10
10
20
v
v
v
水 地风 地船 水正东正西北偏西 30o
例题：
【 解 】,
v v v 水 地船 地 船 水
1 0 3 v 船 地 方 向 正 北
v v v风 地 风 船 船 地
v v v风 地风 船 船 地
v v v v风 地 水 地 风 船 船 水方向为南偏西 30ov
风 船东北
v船 水
v水 地v风 地
030
v船 地
v风 船
030
一、刚体在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体,（理想模型）
刚体是一个特殊的质点系 ----质点之间的距离与相对位置都保持不变。
这章学习方法,对比法（对比质点力学）
二、刚体的运动形式
§ 1.7 刚体的基本运动刚体的运动形式：平动、转动,
刚体平动 质点运动平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线,
1.平动 （ translation）：
2.转动 （ rotation）,
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动,转动又分定轴转动和非定轴转动,
刚体的平面运动,
刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动+
三,刚体转动的描述（运动学问题）
（ 1）刚体作 定轴转动 时,刚体上各质点都作 圆周运动 。
vi
ω,
定轴
z
miΔR x?
刚体作 定轴转动 时的特点：
（ 2）轨道所在平面垂直 转轴,
平面称为转动平面，交点称为转心 O。
1o
2o
（线位移,线速度,线加速度）
（角位移、角速度、角加速度）
角量完全相同各质点运动的线量一般不同（ 3）
0
2
00
22
00
1
2
2 ( )
t
tt
所以，描述刚体作 定轴转动和圆周运动相同
0
2
2
d
dt
t
dd
d t d t
2
2
n
vr
dv
ar
dt
v
ar
r
四、角速度矢量 (? 赝 矢 量 )
为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入 角速度矢量设刚体绕固定轴 z 转动
vi
,
定轴
z
iR
x
大小：
td
d
角速度矢量
方向,右手螺旋关系，沿轴前进方向（有正负）如图示
,
转向
y
O’
O
ir
P
P点处线速度：
i i iv R r
s i ni i i iv v R r
小结 速度 和 加速度 的性质：
相对性,必须指明参考系矢量性,有大小和方向,可进行合成与分解,
合成与分解遵守平行四边形法则瞬时性,大小和方向可以随时间改变在 u << c时,有 伽利略速度变换 和 加速度变换
P29例题 1.12
,d
)(
)(
B
A
r
r?A
Β
[复习题 1]
r?
质点沿曲线运动，由 A→Β,
设 表示位矢，则下列各式分别代表什么？ 试在图中标出。
总位移的大小总路程末、初位矢大小之差
,d
)(
)(
B
A
r
,d
)(
)(
B
A
r
【 答 】
【 答 】
【 答 】
（ 1）前者为运动的正交分解，各量对同一参考系；
后者是相对运动关系，各量对不同参考系。
在数学上都是矢量合成，在物理上有何差别？
【 答 】
（ 2）前者与速率大小无关，为普遍关系；
后者是伽利略变换（绝对时空），
可知它只适用于低速情况。
yx vvv
与 uvv
在质点运动学讲课中曾有两式[复习题 2]
设质点的运动方程为 x = x (t),
y = y(t)。在计算质点的速度和加速度的大小时，
，22 yxr
然后 2
2
ddv rra
tt和某乙 根据你认为谁对？
某甲 根据
[复习题 3]
22ddv ( ) ( )
dd
xy
tt
,
2
2
2
2
2
2
)
d
d()
d
d(
t
y
t
xa
乙对。 （想一想：为什么？）【 答 】
d r d rvv
d t d t
[复习题 4] 一飞轮在时间 t内转过角度
34a t b t c t,式中 a,b,c为常量，求它的加速度？
【 解 】,
23
2
34
6 12
d
a bt c t
dt
d
bt c t
dt
则,
=
所以，飞轮作的是变加速转动。
34a t b t c t
一质点做抛物体运动（忽略空气阻力），
（ 1） 是否变化？
t
v
d
d?
.c o n s tdd gtv?
0
0v
x
y
【 答 】
回答质点在运动过程中：
（ 2） 是否变化？
t
v
d
d
【 答 】
,gatv t?s indd
x
y
g?
v?
ta
na
变化。
,?co sga n?
【 答 】 变化。
（ 3）法向加速度是否变化？
[复习题 5]
（ 4） 最大和最小曲率半径在何处？（先猜猜看）
0
0v
na
y
g?
x
v?
ta?
【 答 】 曲率半径
c os
22
g
v
a
v
n
在起、落点：
m a x
0
2
0
c o sg
v
m i n
0
22
0
g
c o s
v
在最高点：
第一章结束
（ Mechanics）
力学 （ Mechanics）
▲ 质点力学,复习、提高
1.使知识系统化，条理化；
2.注意定理、定律的条件（不要乱套公式）；
▲ 刚体、相对论,新内容要认真体会其思想、观点，掌握其处理问题的方法。
3.数学方法上要有提高 （矢量运算，微积分） 。
本篇讨论 质点力学,刚体力学 和 相对论力学转动,(刚体 )
A
B C
A
B C A
B C
平动图例
◆ 机械运动的类型：
力学 对象 机械运动 （最简单、最基本）
力学中把这种研究物体在空间位置随时间的变化规律，而不涉及引起这种变化的原因，这部分称为 运动学平动,连接物体内任意两的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。
（ Kinematics of particles）
质点运动学第一章
§ 1.1 机械运动的基本特征及其描述方法
§ 1.2 位置矢量 质点运动学方程
§ 1.3 位移 速度
§ 1.4 加速度
§ 1.5 圆周运动的角量描述
§ 1.6 相对运动
§ 1.7 刚体的基本运动本章目录
§ 1.1 机械运动的基本特征及其描述方法一、运动的绝对性和描述的相对性自然界物体不停运动，绝对静止的物体没有二、参考系和坐标系
① 说明运动的绝对性和普遍性
② 说明运动描述的相对性例如,歌曲例如：诗词由运动描述的相对性，描述运动必须选取 参考系
（ reference system and coordinate system)
七律 送瘟神毛泽东 （ 1958.07.01）
【 原词 】 绿水青山枉自多，
华佗无奈小虫何！
千村薜荔人遗矢，
万户萧疏鬼唱歌。
坐地日行八万里,
巡天遥看一千河。
牛郎欲问瘟神事，
一样悲欢逐逝波。
1,参考系 （参照系）,用来描述物体运动而选作参考的 物体或物体系。
运动学中 参考系 可 任选,不同参考系中物体的运动形式（如轨迹、速度等）可以不同。
▲ 太阳参考系 （ 太阳 ─ 恒星参考系 ）
▲ 地心参考系 （ 地球 ─ 恒星参考系 ）
▲ 地面参考系或实验室参考系常用的参考系：
为 定量 描述运动，需在参考系上固结坐标系。
2,坐标系：
参考系选定后,坐标系还可任选 。
不同坐标系中,运动的数学表述可以不同 。
▲ 极坐标系（ r,θ,? ）
▲ 柱坐标系（?,?,z ）
▲ 自然“坐标系”（本章 § 1.2）
z
y
x
x
y
z
r?
●▲ 直角坐标系（ x,y,z ）
常用的坐标系,
(,,)P x y z
固结在参考系上的一组有刻度的射线、曲线或角度。
三,运动的瞬时性和矢量性
① 瞬时性：运动随时间 t而变；
② 矢量性：含义
a.运动的方向性
（要用矢量表示）
b.运动的叠加性四,质点质点,物体的形状大小可以忽略时，把它看成有一定质量的 点 （理想化模型，科学抽象）
（需借助微积分数学分析工具）
(要符合矢量的运算法则 )
能否视为 质点 是有条件的、相对的，据问题性质而定：
（ 1）只有作平动时，可视为 质点 ；
（ 2）物体的线度和它运动的范围相比很小，它的转动和形变在研究的问题中完全不重要时，视为 质点 。
物体 不为质点 时，可视 为许多质点 组成本书有关力学章节中，除 刚体 外，都视为 质点 。
§ 1.2 位置矢量,质点的运动学方程一、位置矢量、坐标用来确定某时刻位置矢量（位矢、矢径）：
质点位置的矢量。
r( t )
0
·
x
z
y
z( t )
y( t )
x( t )
P( t )
●
i?
j?
k?
轨迹选参考系 ----建坐标系 oxyz
方法有两种：
（ 1）由原点 O P的有向线段
r 位置矢量（位矢、矢径）
),,( zyxrr
kzjyix
（ 2）由 P点的坐标（ x,y,z）来定。
两者的关系：
(,,)i j k 为 单 位 矢 量位矢的大小
2 22rr y zx
位矢的方向余弦
c o s, xr c o s, y
r c o s
z
r
·
'y
'o
r( t )
0
x
z
y
轨迹
'x
'z
P(x,y,z)
为 与 x,y,z轴间的夹角
,, r
若为 o’x’y’z’坐标系，其值不同。
位矢 的大小、方向及 P点坐标的取值，
依赖于坐标系的选取。
r
进一步说明运动描述的相对性的特征注意：
二、自然坐标系
建自然 坐标 的方法,
（描写速度和加速度更方便、直观）
已知质点运动的轨道 —— 选 自然坐标系
（ 1）选 O为坐标原点，沿轨道某一方向量得曲线长度 S，取为正值，即为自然坐标的正向，反之为负。
O
S(t)
n
n
p
（ 2）任一时刻，在质点处取两相互垂直的单位矢量
,n?
为切向单位矢量，与 S的正方向一致。
n 为法向单位矢量，指向轨道的凹侧。
O
S(t)
n
n
p
三,质点的运动方程机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。 在坐标系中配上一套 同步时钟,可以给出 质点位置坐标和时间的函数关系 —— 运动方程。
ktzjtyitxtr )()()()(
或 )( txx? )( tyy?
)( tzz?
直角坐标系：
自然坐标系：
s s ( t )
概念：轨迹、轨迹方程？
［例 1.1］ 身高 l的人夜间在一条笔直的马路上匀速行走，速率为 v0，路灯距地面高度为
h，如图 1.4所示,求人影中头顶的运动学方程,
X
l
B
h
AOtvxOA
01
l
tvx
h
x 0
［解］ 选地面为参考系，沿马路建立一维坐标 ox，如图 1.4所示,
设 t=0时人通过坐标原点 O，任一时刻 t，人行至 A点，
,此时人头的影子位于 B点的 x处，则由几何关系可得,
t
lh
hvx
0
解上式，得,
此即为人影中头顶的运动学方程,
可见，人影中头顶仍作匀速运动，但速率大于 v0,
l
tvx
h
x 0
§ 1.3 位移 速度一,位移 （ displacement）
位移 —— 质点在一段时间内 位置的改变。
21
21)()(
PP
PPr
trttrr
方向：
大小,
P1
r(t)Δ r
x
y
z
0
r(t+Δ t )
P2
位移：
轨迹
即 位移 等于同一时间内 位矢 的增量路程 （ path）
s?质点实际运动轨迹的长度 叫 路程 。
注意：,rs
rrrr dd,
要分清 等的几何意义？rrr,、；但 rs?dd?
P1
r(t+Δ t )r(t)
Δ r
x
y
z
0
Δ s P
2
r(t+Δ t )
r(t)
0
Δ r
Δ r
P2
P1
p
说明,
2,位移 与 路程 的区别：
r? 描述质点空间位置变化。
r 与坐标原点位置有关；
只与起点,终点有关,与原点无关。r?
r(t+Δ t )
1,位移 与 位矢 的区别,P2
b）对于相对静止的不同坐标系：
r(t)
P1
Δ r
x
y
z
0
Δ s?
,与 位矢 的区别：
r 确定空间位置；
a)不同的两概念：
a) 为矢量，反映一段时间内质点始末位置的变化，与路径无关；
为标量，反映一段时间内质点实际经过的那段运动轨道的长度 。
r?
s?
b) 内位移的大小
rs不 一 定 等 于 路 程t?
t 0 s r只 有 时,与 相 等 d s = d r即
2,位移 与 路程 的区别：
r(t+Δ t )
r(t)
0
Δ r
Δ r
P2
P1
p
12
2
r p p
( t t ) r ( t ) p p
图 中
r = r
rr r rr 的 大 小 与 位 矢 的 大 小 的 增 量 的 区 别
3、
Δ r Δ r,d r d r所 以,
三,速度 （ velocity）
质点位矢对时间的变化率叫 速度 。
推广：对于大小、方向都随 t变化的变化的矢量（ ）都正确。,..,av
1.平均速度 （ average velocity）：
r
v
t
是矢量，方向与方向一致，为近似描述。
平均速率
sv
t
是标量
vv?
注意：
2.（ 瞬时 ） 速度 （ instantaneous velocity）,
r
t
r
t
r
t
d
d
0
lim v
v (t )
·?
速度方向,沿轨迹切线方向。
速度大小（速率） （ speed）：
为了精确描述，借助极限概念速度 为位矢对时间的一阶导数
B1B2
A
B
B1B2B3vA
A
B3
B
r
3、速度的直角坐标表示
x y zdrv v i v j v k
dt
d d d,,
d d dx y z
x y zv v v
t t t
vv d
d
r
t
t
s
d
d? d
d?
r
t
速度大小（速率） （ speed）：
r x i y j z k
2 2 2
x y zv v v v v
速率
c o s, xvv co s, yvv c o s zvv
方向：
4、速度的自然坐标表示：
()s s t?
O
S(t)
p Qr?
s?
( ) ( )t t ts s s
为代数量，与路程不同
O
S(t)
p Qr?
s?
由图知：
rs
只当：
,l i m
s0
rt 0 1
s
由速度的定义：
00
0
l i m l i m ( )
tt
s
r r s
v
t s t
00
0
l i m ( ) l i m ( )
( l i m )
ts
s
sr
ts
d s r
d t s
当：
lim
s0
s0
r
s
时,r 方 向
O
S(t)
p Qr?
s?
因此：
dsv dt
速度方向,沿轨迹切线方向速度大小,由 决定。ds
dt
,ds 0dt? 切 线 正 向 ；
,ds 0dt? 切 线 负 向 。
P10 例题 1.3,例题 1.4,例题 1.5
是 速 度 矢 量 沿 切 线 方 向的 投 影,是 代 数 量,
ds
v
dt
22 2 4t v i j
求 t=0秒及 t=2秒时质点的速度，并求后者的大小和方向?
() 2r 2 t i 2 t j设质点位矢为方向：
为 与 轴 的 夹 角
2
4
a r c t a n 6 3 2 6
2
vx
22
2 2 4 4 4 7./v m s
大小：
00 2t v i
22drv i t jdt
例题：
【 解 】,
例 1.4 有一质点沿ｘ轴作直线运动,ｔ时刻的坐标为
ｘ＝ 4.5ｔ 2－ 2ｔ 3 （ ＳＩ ）,试求：
（ １ ） 第２秒内的平均速度；
（ ２ ） 第２秒末的瞬时速度；
（ ３ ） 第２秒内的路程,
5.05.221 12 xxx解
1
2 5.0|
sm
t
xv
t
21222 | 9 6 | 6ttdxv t t m s
dt
stttv 5.1
2
3
6
90693 2 时
1,5 1 2 1,5
( 3,3 7 5 2,5 ) | ( 2 3,3 7 5 ) |
2,2 5
S S S
例,一人自原点出发,25ｓ内向东走 30ｍ,又 10ｓ内向南走 10ｍ,再 15ｓ内向正西北走 18ｍ,求在这 50ｓ
内,
（ １ ） 平均速度的大小和方向？
（ ２ ） 平均速率的大小？
003 0 ( 1 0 ) 1 8 ( c o s 4 5 s i n 4 5 )
o c O A A B B C
i j i j
ji 73.227.17
smtrv /35.0|/|||)1(
10| | 1 7,4 8 8,9 8xo c m tg
y
方 向 东 偏 北
smtSv /16.1151025 181030/)2(
解：
质点速度对时间的变化率叫 加速度
x
r(t+Δ t )r(t)
y
z
0
v (t )
v (t+Δ t ) Δ v
v (t )
v (t+Δ t )
·
·
P1 P
2
§ 1.4 加速度 （ acceleration）
表示速度变化 (大小,方向 ）的快慢一、平均加速度、瞬时加速度内速度增量为：t? ( ) ( )v v t t v t
加速度的方向：
加速度的大小：
t
aa
d
d v
td
d v?
tt
a
v
0
lim 2
2
d
d
t
r r
td
d v
内 平 均 加 速 度?
va
t
t?
Δ v
v (t )
v (t+Δ t )
·
瞬时加速度（ 加速度）：
加速度 = 速度对时间的一阶导或位矢对时间的二阶导的极限方向v?速度增量
a?为 矢 量,方 向 与 v 相 同的方向和它的极限方向一般不同于速度 的方向；因而 的方向一般与同一时刻速度的方向也是不同的。
注意,?v
·
O R
a
v
av
·
·
x y
z
0
v (t )
v (t+Δ t )
Δ vP1 P
2
直线运动,自由落体，竖直上抛曲线运动,a 总是指向曲线的凹侧指向曲线凹的一方
a
v
va
a
在直角系中
x y za a i a j a k
d dd
,,
d d d
y zx
x y z
v vv
a a a
t t t
其中：
2 2 2
x y zaa a a a
大小：
方向：
c os, xaa c os, ya
a c o s
za
a
其中：
分 别 表 示 与 三 个 坐 标 轴 间 的 夹 角,,,,a x y z
二、切向加速度、法向加速度若质点运动的轨迹已知，采用自然坐标将平面曲线运动的 分解成：a
切线加速度 因 大小变化引起；
a? v
na
法向加速度 因 方向变化引起。v
na a a
的大小和方向：、
naa?
据自然坐标中，质点的速度公式：
dsvv
dt
()d v d v d v d
av
d t d t d t d t
加 速 度,
=
切向
a
法向
na?
由几何分析法：
dv dt
的大小和方向：
,naa?
()?t
()tt
n
()v t t ()vt
0
1p2p
12?pp
( ) ( )t t t
质点由
1
但方向变，则增量为：
( ) ( )t t t
当 时,0,20t
再 由lr
,由 知 趋 于
2
()?t
()tt
亦即趋于法向单位矢量 方向n
n
00
li m li m
tt
dd nn
d t t t d t
则设轨道 点处曲率半径为,则由：
1p?
d s d
21?
n d d s va v v n n
d t d t
n
()v t t
()vt
d?
0
1p2p
ds
1t a n na
a?
方向：
2
2 2 2 2( ) ( )
n
dv va a a
dt
大小：
na
a
a?
0?
特例,（ 1）变速直线运动
na a a
（ 2）匀速曲线运动
aa
naa?
2d v v
an
dt
2
2
d
d
v d ra
t dt
由定义：
三,质点运动学的两类问题
0 0
ddvtv v a t
积分求导积分求导
v()rt a
drv
dt?
（ 2）已知 （附初始条件） 求运动方程,va
（ 1）已知运动方程 求 ；,va()rt
0 0
ddrtr r v t
求：船靠岸的速度和加速度？
P18,例 1.7 如图拉船已知 v0,h，且恒定。
？
选坐标如图，
22 hlx
02 2 2 2
dd ()
x
x l l lvv
tt l h l h
h
x（ t）
0v
l x
水面
y
( 常 量 )?yh
0y dyv dt
0v?
【 解 】,
表示运动方向沿 x 轴负向。
结果讨论,匀速拉绳，船非匀速！
22
0
02 2 2 2 3
d []
d ()
x
x
v h vdlav
t d t l h l h
由加速度定义：
0yy dva dt
0xv?
表示加速度方向沿 x 轴负向。0xa?
同 号,船作变加速运动。,
xxav
[例 1.9],一物体悬挂在弹簧上作竖直振动，其加速度为ａ＝－ｋｙ，式中ｋ为常量，ｙ是以平衡位置为原点所测得的坐标，假定振动的物体在坐标ｙ 0处的速度为ｖ 0，试求速度ｖ与坐标ｙ的函数关系式．
ydva k y
dt
解,
yy
y
dv dvdy
v
dy dt dy
利用：
yyv dv k y dy
)( 220202 yykvv y
00
vy
yyvyv d v k y d y
2 2 2
00 ()yv v k y y
即：
一质点运动方程为 10 c os 5 10 sin 5r ti tj
（ SI），求：（ 1） （ 2）
5 0 s in 5 5 0 c o s 5drv ti tjdt
2250 sin 5 50 c os 5 50v v t t
m/s
0dva dt nt dva a a a
dt
22 250
m/s2
ana?
【 解 】,
例题 1：
(注意 此方法，给定运动方程，先求出,,
na a a? 后 求
2
n
va
r?
这样比用 求 更简单。 ）
na
例题 2,一质点沿 x轴运动，已知加速度为
4at? (SI)，初始条件为,0t? 时，
0010,0xv
求：运动方程？
取质点为研究对象，由加速度定义,
4dvat
dt
（一维可用标量式）
4d v t d t
【 解 】,
由初始条件有：
00 4
vtd v td t
得,22vt?
由速度定义得：
22dxvt
dt
22d x t d t
由初始条件得：
2
1 0 0
2xtdx t dt
32 10
3
xt
m
由上可见，例 1和例 2分别属于第一类和第二类问题
§ 1.5 圆周运动的角量描述质点作曲线运动时 平面极坐标 (,)Pr?
极径角坐标角位置一,圆周运动的角量描述质点极坐标方程：
曲线运动的特例（ r为定值 ）
角位置?,一般规定 沿逆时针方向量得的? 取 正值
()t
A
B
ω,θ
xO
r
v
t s?
(,)Pr?r
x
角位移 是代数量,正负取决于角坐标变化与规定的方向相同还是相反
ω,?θ
xO
R
v
t s?
由 A B过程中,角位移,
A
B
（单位,rad）
0
lim
t
d
t dt
1、平均角速度
t
2、瞬时角速度（角速度）
（单位,rad/s）
（单位,rad/s）
3、平均角加速度
3、平均角加速度
2
20lim t
dd
t d t d t
t
4、瞬时角加速度（角加速度）
单位,rad/s2
二、线量与角量的关系,
、
，
质点的圆周运动，即可用线量，又可用角量来描述
d s dv r r
d t d t
θ
d ω,
xO
r
v
dt ds
线量（ s,v,a…)
角量 （ ),,...
其联系：由图知
d s r d
质点速度沿切线方向的投影
t 时0
·
an·
O r
a
v ·
a?
d
dv da r r
t dt?
2
2
n
v
ar
r
切向加速度：
法向加速度：
总结角量与线量的关系：
vr
a4
a2
O
·
v·
a3a1 ·
左图中分别是什么情形？
dvar
dt
2
2
n
var
r
线量 角量
a4情形是否存在？
思考质点作匀变速 圆周 运动时，其角量的变化规律与匀变速直线运动中线量的规律相似，表示如下：
22 002 ( )
0 t
2
00
1
2tt
（刚体中）
平面曲线运动任意的平面曲线运动,可以视为由一系 列小段圆周运动所组成 。
加速度：
2d v v
an
dv
― 曲率半径
O2
2
1
O1·
·
P1
曲率圆 1
曲率圆 2
·P2·
n
n
运动轨迹
（ plane curvilinear motion）
θ＝ -t2+4t (SI)
42 tdtd
2 dtd
［解］ 根据 ω,β的定义和线量与角量的关系，有
［例 1.10］ 一质点沿半径 r＝ 0.10m的圆周运动，其角位置可用下式表示为：
试求 t＝ 1s时质点的速度和加速度的大小,
当 t=1s时，质点的速度 v、切向加速度 aτ和法向加速度 an分别为：
aτ＝ rβ＝ 0.10× (-2)＝ -0.20(m·s-2)
an＝ rω2＝ 0.10× 22＝ 0.40(m·s-2)
v＝ rω＝ r·(-2t+4)
＝ 0.10× (-2× 1+4)＝ 0.20(m·s-1)
22
naaa
22 )40.0()20.0(
所以，质点的加速度的大小：
≈0.45(m· s-2)
在两个相对作直线运动的参考系中,时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的,与参考系无关,时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础,
AB
v?
小车以较低的速度 沿水平轨道先后通过点 A 和点 B,地面上人测得车通过 A,B 两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同,
v?
§ 1.6 相对运动 （ relative motion）
相对运动相对运动 是指 不同 参考系中观察 同一 物体的运动,
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系,
由图知：
速度关系：
u vv
称为 绝对速度 （ absolute velocity）v?
称为 相对速度 （ relative velocity）v
称为 牵连速度 （ connected velocity）u?
R
y′
x′
S′
r'
O?
u?
p
O
x
y
S
·
●
r
r r ' R
仅讨论参考系 s’相对参考系 S以速度 平动 的情形：u?
0aaa
进一步给出关系式：
称为 伽利略速度变换
u vv
绝对加速度相对加速度牵连加速度只 适用于相对运动为 平动 的情形。
(1)研究对象：风 速度,观测者：地球坐标和骑摩托车的人 。
（ 2）风对地：,人对地：,风对人：
风地V
人地V
风人V?
故有：
风人人地风地 VVV
某人骑摩托车向东前进，⑴ 其速率为 10m.s?1时觉得有南风，⑵ 当速率增大到 15m.s?1时，又觉得有东南风。试求风的速度？
例题：
【 解 】,
从上面的几何关系可得：
smV /125510 22风地
'3426
10
51
tg?
（ 3）由题意有：
人地V
(=10m/s)
风地V
东北
450
人地V
(=15m/s)
北风地V
东
P33习题 1.19 河水自西向东流动，速度为 10 km/h,一轮船在水中航行，船相对于河水的航向为北偏西 30o,航速为 20km/h。 此时风向为正西，风速为 10km/h。 试求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离开烟囱后即获得与风相同的速度）
已知：
10
10
20
v
v
v
水 地风 地船 水正东正西北偏西 30o
例题：
【 解 】,
v v v 水 地船 地 船 水
1 0 3 v 船 地 方 向 正 北
v v v风 地 风 船 船 地
v v v风 地风 船 船 地
v v v v风 地 水 地 风 船 船 水方向为南偏西 30ov
风 船东北
v船 水
v水 地v风 地
030
v船 地
v风 船
030
一、刚体在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体,（理想模型）
刚体是一个特殊的质点系 ----质点之间的距离与相对位置都保持不变。
这章学习方法,对比法（对比质点力学）
二、刚体的运动形式
§ 1.7 刚体的基本运动刚体的运动形式：平动、转动,
刚体平动 质点运动平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线,
1.平动 （ translation）：
2.转动 （ rotation）,
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动,转动又分定轴转动和非定轴转动,
刚体的平面运动,
刚体的一般运动 质心的平动 绕质心的转动+
三,刚体转动的描述（运动学问题）
（ 1）刚体作 定轴转动 时,刚体上各质点都作 圆周运动 。
vi
ω,
定轴
z
miΔR x?
刚体作 定轴转动 时的特点：
（ 2）轨道所在平面垂直 转轴,
平面称为转动平面，交点称为转心 O。
1o
2o
（线位移,线速度,线加速度）
（角位移、角速度、角加速度）
角量完全相同各质点运动的线量一般不同（ 3）
0
2
00
22
00
1
2
2 ( )
t
tt
所以，描述刚体作 定轴转动和圆周运动相同
0
2
2
d
dt
t
dd
d t d t
2
2
n
vr
dv
ar
dt
v
ar
r
四、角速度矢量 (? 赝 矢 量 )
为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢和转向，引入 角速度矢量设刚体绕固定轴 z 转动
vi
,
定轴
z
iR
x
大小：
td
d
角速度矢量
方向,右手螺旋关系，沿轴前进方向（有正负）如图示
,
转向
y
O’
O
ir
P
P点处线速度：
i i iv R r
s i ni i i iv v R r
小结 速度 和 加速度 的性质：
相对性,必须指明参考系矢量性,有大小和方向,可进行合成与分解,
合成与分解遵守平行四边形法则瞬时性,大小和方向可以随时间改变在 u << c时,有 伽利略速度变换 和 加速度变换
P29例题 1.12
,d
)(
)(
B
A
r
r?A
Β
[复习题 1]
r?
质点沿曲线运动，由 A→Β,
设 表示位矢，则下列各式分别代表什么？ 试在图中标出。
总位移的大小总路程末、初位矢大小之差
,d
)(
)(
B
A
r
,d
)(
)(
B
A
r
【 答 】
【 答 】
【 答 】
（ 1）前者为运动的正交分解，各量对同一参考系；
后者是相对运动关系，各量对不同参考系。
在数学上都是矢量合成，在物理上有何差别？
【 答 】
（ 2）前者与速率大小无关，为普遍关系；
后者是伽利略变换（绝对时空），
可知它只适用于低速情况。
yx vvv
与 uvv
在质点运动学讲课中曾有两式[复习题 2]
设质点的运动方程为 x = x (t),
y = y(t)。在计算质点的速度和加速度的大小时，
，22 yxr
然后 2
2
ddv rra
tt和某乙 根据你认为谁对？
某甲 根据
[复习题 3]
22ddv ( ) ( )
dd
xy
tt
,
2
2
2
2
2
2
)
d
d()
d
d(
t
y
t
xa
乙对。 （想一想：为什么？）【 答 】
d r d rvv
d t d t
[复习题 4] 一飞轮在时间 t内转过角度
34a t b t c t,式中 a,b,c为常量，求它的加速度？
【 解 】,
23
2
34
6 12
d
a bt c t
dt
d
bt c t
dt
则,
=
所以，飞轮作的是变加速转动。
34a t b t c t
一质点做抛物体运动（忽略空气阻力），
（ 1） 是否变化？
t
v
d
d?
.c o n s tdd gtv?
0
0v
x
y
【 答 】
回答质点在运动过程中：
（ 2） 是否变化？
t
v
d
d
【 答 】
,gatv t?s indd
x
y
g?
v?
ta
na
变化。
,?co sga n?
【 答 】 变化。
（ 3）法向加速度是否变化？
[复习题 5]
（ 4） 最大和最小曲率半径在何处？（先猜猜看）
0
0v
na
y
g?
x
v?
ta?
【 答 】 曲率半径
c os
22
g
v
a
v
n
在起、落点：
m a x
0
2
0
c o sg
v
m i n
0
22
0
g
c o s
v
在最高点：
第一章结束
