第二章 指令系统
( 指令系统是计算机系统结构的主要组成部分
( 指令系统是软件与硬件分界面的一个主要标志
( 指令系统软件与硬件之间互相沟通的桥梁
( 指令系统与软件之间的语义差距越来越大
2．1 数据表示
2．2 寻址技术
2．3 指令格式的优化设计
2．4 指令系统的功能设计
2．5 RISC指令系统
2.1 数据表示
( 新的研究成果，如浮点数基值的选择
( 新的数据表示方法，如自定义数据表示
2．1．1 数据表示与数据类型
2．1．2 浮点数的设计方法
2．1．3 自定义数据表示
2.1.1 数据表示与数据类型
( 数据的类型：文件、图、表、树、阵列、队列、链表、栈、向量、串、实数、整数、布尔数、字符
( 数据表示的定义：数据表示研究的是计算机硬件能够直接识别，可以被指令系统直接调用的那些数据类型。
例如：定点、逻辑、浮点、十进制、字符、字符串、堆栈和向量
( 确定哪些数据类型用数据表示实现，是软件与硬件的取舍问题
( 确定数据表示的原则：
一是缩短程序的运行时间，
二是减少CPU与主存储器之间的通信量，
三是这种数据表示的通用性和利用率。
例2.1：实现A＝A＋B，A和B均为200×200的矩阵。分析向量指令的作用解：如果在没有向量数据表示的计算机系统上实现，一般需要6条指令，其中有4条指令要循环4万次。因此，CPU与主存储器之间的通信量：
取指令2＋4×40,000条，
读或写数据3×40,000个，
共要访问主存储器7×40,000次以上如果有向量数据表示，只需要一条指令
减少访问主存（取指令）次数：4×40,000次缩短程序执行时间一倍以上
( 数据表示在不断扩大，如字符串、向量、堆栈、图、表
( 用软件和硬件相结合的方法实现新的数据表示例如：用字节编址和字节运算指令来支持字符串数据表示
用变址寻址方式来支持向量数据表示
2.1.2 浮点数的设计方法
1、浮点数的表示方式
( 一个浮点数N可以用如下方式表示：
需要有6个参数来定义。
两个数值：
m：尾数的值，包括尾数的码制(原码或补码)和数制(小数或整数）
e：阶码的值，移码(偏码、增码、译码、余码等)或补码，整数两个基值：
rm：尾数的基值，2进制、4进制、8进制、16进制和10进制等
re：阶码的基值，通常为2
两个字长：
p：尾数长度，当rm＝16时，每4个二进制位表示一位尾数
q：阶码长度，阶码部分的二进制位数
p和q均不包括符号位
( 浮点数的存储式
1位 1位 q位 p位
mf
ef
e
m
注：mf为尾数的符号位，ef为阶码的符号位，e为阶码的值，m为尾数的值。
2、浮点数的表数范围
( 尾数为原码
尾数用原码、纯小数，阶码用移码、整数时，规格化浮点数N的表数范围：
( 尾数为补码尾数用补码表示时，正数区间的表数范围与尾数采用原码时完全相同，而负数区间的表数范围为：
( 浮点数在数轴上的分布情况
上溢 下溢(浮点零) 上溢
-Nmin 负数区 -Nmax 0 Nmin 正数区 Nmax
例2.2：设p＝23，q＝7，rm＝re＝2，尾数用原码、纯小数表示，阶码用移码、整数表示，求规格化浮点数N的表数范围。
解：规格化浮点数N的表数范围是：
即：
例2.3：尾数用补码、纯小数表示，阶码用移码、整数表示，p＝6，q＝6，rm＝16，re＝2，求规格化浮点数N的表数范围。
解,规格化浮点数N在正数区间的表数范围是：
在负数区间的表数范围是：
3、浮点数的表数精度（误差）
( 产生误差的根本原因是浮点数的不连续性
( 误差产生的直接原因有两个：
一是两个浮点数都在浮点集内，而运算结果却可能不在这个浮点集内，
二是数据从十进制转化为2、4、8、16进制，产生误差。
( 规格化尾数的表数精度为：
最后1个有效位的可信度为一半，
当rm＝2时，有：
4、浮点数的表数效率
( 浮点数是一种冗余数制(Redundat Number System)
( 浮点数的表数效率定义为：
简化表示：
当尾数基值为2时，浮点数的表数效率为：
( 浮点数的表数效率随rm增大
当尾数基值rm＝16时，浮点数的表数效率为：
尾数基值rm＝16与rm＝2相比，浮点数的表数效率提高了：
4、浮点数尾数基值的选择
( 在表示浮点数的6个参数中，只有尾数基值rm、尾数长度p和阶码长度q
与表数范围、表数精度和表数效率有关
( 在字长确定的情况下，如何选择尾数基值rm，使表数范围最大、表数精度和表数效率最高；
假设有两种表示方式F1和F2，它们二进制字长相同，尾数都用原码或补码、小数表示，阶码都用移码、整数表示，阶码的基均为2，尾数的基不同。
浮点数表示方式F1：尾数基值rm1＝2，尾数长度p1，阶码长度q1，
二进制字长：L1＝p1＋q1＋2。
浮点数表示方式F2：尾数基值rm2＝2k，尾数长度p2，阶码长度q2，
二进制字长：L2＝k p2＋q2＋2。
由F1与F2的二进制字长相同，即L1＝L2，得：
p1＋q1＝k p2＋q2 (2.1)
( 字长和表数范围确定时，尾数基值rm与表数精度的关系
F1的表数范围是：，
F2的表数范围是：，
F1与F2的表数范围相同，得到：
两边取以2为底的对数，得到：q1＝q2＋log2 k (2.2)
把(2.2)式代入(2.1)式，得到：p1＝k p2－log2 k (2.3)
F1的表数精度是： (2.4)
把(2.3)代入(2.4)得到：
F2的表数精度是：
取F2与F1表数精度的比值： (2.5)
只有k＝1（尾数基值rm＝2）或k＝2（尾数基值rm＝4）时，比值T＝1。
结论1：在字长和表数范围一定时，尾数基值rm取2或4，浮点数具有最高的表数精度。
( 字长和表数精度一定，尾数基值rm与表数范围的关系由F1与F2的表数精度相同得到：
即： p1＝kp2－k＋1 (2.6)
把(2.6)代入(2.1)得到：q1＝q2＋k－1 (2.7)
F1的表数范围：
F2的表数范围：
假设表数范围F2大于F1，则阶码的最大值F2大于F1：
这个不等式在正整数定义域内没有解，即不存在比F1的表数范围更大的浮点数表示方式只有k＝1（尾数基值rm＝2）或k＝2（尾数基值rm＝4）时，F2阶码的最大值等于F1阶码的最大值。
结论2：在字长和表数精度一定时，尾数基值rm取2或4，浮点数具有最大的表数范围。
推论1：在字长确定之后，尾数基值rm取2或4，浮点数具有最大的表数范围和最高的表数精度。
例2.4：IBM 370系列计算机的短浮点数表示方式，尾数基值rm＝16，尾数字长为16进制6位，阶码基值rm＝2，阶码字长6位，尾数用原码、小数表示，阶码用移码、整数表示。求表数范围和表数精度，并尾数基址rm＝2的浮点数表示方式进行比较。
解,表数精度为：
表数范围是：
若尾数基值rm＝2，则有：
解得p＝21，则q＝32－21－2＝9，它的表数范围是：
推论2：浮点数的尾数基值rm取2，并采用隐藏位表数方法是最佳的浮点数表示方式。这种浮点数表示方式能做到表数范围最大、表数误差最小、表数效率最高。
目前，IBM公司的IBM360、370、4300系列机等，尾数基值rm＝16。
Burroughs公司的B6700、B7700等大型机，尾数基值rm＝8。
DEC公司的PDP-11、VAX-11和Alpha等小型机，CDC公司的CDC6600、CYBER70等大型机，Intel公司的x86系列机等均采用尾数基值rm＝2。
5、浮点数格式的设计定义浮点数表示方式的6个参数的确定原则：
( 尾数：多数机器采用原码、小数表示
采用原码制表示：加减法比补码表示复杂，乘除法比补码简单
表示非常直观。
采用小数表示能简化运算，特别是乘除法运算。
( 阶码：一般机器都采用整数、移码表示采用移码表示的主要原因是：浮点0与机器0一致。
阶码进行加减运算时，移码的加减法运算要比补码复杂
( 尾数的基值rm选择2，
( 阶码的基值re取2，
浮点数格式设计的关键问题是：
在表数范围和表数精度给定的情况下，如何确定最短的尾数字长p和阶码字长q
例2.5：要求设计一种浮点数格式，其表数范围不小于1037，正、负数对称，表数精度不低于10-16。
解：根据表数范围的要求：
解这个不等式：
取阶码字长q＝7
根据表数精度的要求，得到：
解这个不等式：
由于浮点数字长通常是8的倍数，因此取尾数字长p＝55
所设计浮点数的格式如下：
1位 1位 7位 55位
mf
ef
e
M
所设计浮点数的主要参数如下：
最大尾数值：
绝对值最小的尾数值：
最大阶码：
最小阶码：
最大正数:；
最小正数：；
最大负数：；
最小负数：；
表数精度：；
浮点零：浮点零与机器零相同，64位全为0；
表数效率：采用隐藏位，表数效率；
6、浮点数的舍入处理
( 浮点数要进行舍入处理的原因是：
十进制实数转化为浮点数时，有效位长度超过给定的尾数字长。
两个浮点数的加、减、乘、除结果，尾数长度超过给定的尾数字长。
( 舍入处理要解决的问题是：
把规格化尾数的p＋g位处理成只有p位。
其中：p是浮点数表示方式给定的尾数字长，
g是超过给定尾数字长的部分。
( 舍入方法的主要性能标准是：
绝对误差小，积累误差小，容易实现。
( 进行舍入处理时要注意的问题是：
必须先规格化，然后再舍入，否则舍入是没有意义的。
在计算积累误差时，要同时考虑到正数区和负数区的情况；
方法1：恒舍法恒舍法又称截断法、必舍法等恒舍法的主要优点：实现起来非常容易。误差大。
恒舍法的舍入规则及误差情况
尾数有效字长p位
有效字长之外g位
误差情况
正数区
舍入前
0.xxx......xx
0.xxx......xx
0.xxx......xx
......
0.xxx......xx
00......000
00......001
00......010
......
11......111
(＝0
(＝－2-p-g
(＝－2-p-g+1
,.....
(＝－2-p(1－2-g)
舍入后
0.xxx......xx
(＝－2-p-1(2g-1)
负数区
舍入前
－0.xxx......xx
－0.xxx......xx
－0.xxx......xx
......
－0.xxx......xx
00......000
00......001
00......010
......
11......111
(＝0
(＝＋2-p-g
(＝＋2-p-g+1
,.....
(＝＋2-p(1－2-g)
舍入后
－0.xxx......xx
(＝＋2-p-1(2g-1)
方法2：恒置法又称恒置r/2法、恒置1法、或冯诺依曼法。
恒置法的舍入规则是：把规格化尾数有效字长p位的最低一位置成r/2。
恒置法的主要缺点：表数精度比较低。
主要优点：实现起来比较容易，
在正数区和负数区的积累误差都比较小，而且能达到平衡。
恒置法在正数区的舍入规则及误差情况正数区
尾数有效字长p位
有效字长之外g位
误差情况
舍入前
0.xxx......xx0
0.xxx......xx0
0.xxx......xx0
......
0.xxx......xx0
0.xxx......xx1
0.xxx......xx1
0.xxx......xx1
0.xxx......xx1
00......000
00......001
00......010
......
11......111
00......000
00......001
11......110
11......111
＋2-p —— 误差积累
＋2-p(1－2-g)
＋2-p(1－2-g+1)
,.....
＋2-p-g
0
－2-p-g
,.....
－2-p(1－2-g+1)
－2-p(1－2-g)
舍入后
0.xxx......xx1
积累误差(＝2-p
方法3：下舍上入法又称为4舍5入法、0舍1入法、7舍8入法等。
下舍上入法的舍入规则是：g位代码的中间值为界，小于这个中间值的则舍，大于或等于这个中间值的则入。
下舍上入法的主要优点：精度高，积累误差小。
在正数区和负数区的积累误差能达到完全平衡。
主要缺点：实现起来比较困难。
上舍下入法的舍入规则及误差情况正数区
尾数有效字长p位
有效字长之外g位
误差(
舍入前
0.xxx......xx
0.xxx......xx
0.xxx......xx
......
0.xxx......xx
0.xxx......xx
0.xxx......xx
......
0.xxx......xx
0.xxx......xx
00......000
00......001
00......010
......
01......111
10......000
10......001
11......110
11......111
0
－2-p-g
－2-p-g+1
,.....
－2-p-1(1－2-g)
＋2-p-1—积累误差
＋2-p-1(1－2-g)
,.....
＋2-p-g+1
＋2-p-g
舍入后
0.xxx......xx
0.xxx......xx＋2-p
最高位为0
最高位为1
积累误差(＝＋2-p-1
方法4：R*舍入法
R*舍入法的优点：没有积累误差。精度很高。
主要缺点：实现起来非常复杂，要判断g是否为10......00，采用下舍上入法或恒置法，判断舍入后是否溢出，若溢出，要再次进行右规格化。
只有少数巨型计算机（如BSP科学处理机）采用R*舍入法。
R*舍入法的舍入规则及误差情况舍入方法
舍入前(p+g位）
舍入后(p位）
误差情况
下舍上入法下舍上入法下舍上入法
…
下舍上入法恒置1法恒置1法下舍上入法
…
下舍上入法下舍上入法
0.xxx...xx|00...00
0.xxx...xx|00...01
0.xxx...xx|0...010
…
0.xxx...xx|01...11
0.xxx...x0|10...00
0.xxx...x1|10...00
0.xxx...xx|10...01
…
0.xxx...xx|11...10
0.xxx...xx|11...11
0.xxx...xx
0.xxx...xx
0.xxx...xx
…
0.xxx...xx
0.xxx...x1
0.xxx...x1
0.xxx...xx＋2-p
…
0.xxx...xx＋2-p
0.xxx...xx＋2-p
0
－2-p-g
－2-p-g+1
…
－2-p-1(1－2-g+1)
＋2-p-1
－2-p-1
＋2-p-1(1－2-g+1)
…
＋2-p-g+1
＋2-p-g
方法5：查表法又称ROM舍入法，PLA舍入法等。
查表入法的主要优点：
通过修改ROM或PLA中的内容来使积累误差达到平衡。
查表法继承了下舍上入法精度高、积累误差小的优点，同时又克服了它实现起来比较困难的缺点。
n＝2时查表法的舍入规则及误差情况分析
ROM地址
舍入前(p＋g位)
舍入后(p位)
误差情况
000
001
010
011
100
101
110
111
xx…x00|0xx…x
xx…x00|1xx…x
xx…x01|0xx…x
xx…x01|1xx…x
xx…x10|0xx…x
xx…x10|1xx…x
xx…x11|0xx…x
xx…x11|1xx…x
xx…x00
xx…x01
xx…x01
xx…x10
xx…x10
xx…x11
xx…x11
xx…x11
－2-p-1(1-2-g+1)～0
＋2-p-g～2-p-1
－2-p-1(1-2-g+1)～0
＋2-p-g～2-p-1
－2-p-1(1-2-g+1)～0
＋2-p-g～2-p-1
－2-p-1(1-2-g+1)～0
＋2-p(1-2-g)～－2-p-1
｝＋2-p-1
｝＋2-p-1
｝＋2-p-1
｝－2-p-1(2g-1)
关于舍入方法的主要结论：
(1) 恒置法虽有少量的积累误差，且损失一位精度，但由于实现起来很容易，已普遍在小型及微型机中使用。
(2) R*舍入法是唯一一种积累误差能达到完全平衡的舍入方法，但由于实现起来非常复杂，仅在极少数对误差要求非常高的具型计算机中才采用。
(3) 下舍上入法只有少量的积累误差，且精度也比较高，但实现起来很复杂，在用软件实现的算法中经常采用。
(4) 查表法实现比较容易，积累误差很小，而且可以通过改变ROM或PLA中的内容来修正积累误差，因此是一种很有前途的舍入方法。
五种舍入方法的主要性能比较舍入方法
在正数区的误差范围
正数区的积累误差
实现的难易程度
恒舍法
－2-p（1－2-g）～0
＋2-p-1（2g－1）
最简单
恒置法
－2-p（1－2-g）～＋2-p
＋2-p
很简单
下舍上入法
－2-p-1（1－2-g+1）～＋2-p-1
＋2-p-1
很复杂
R*舍入法
－2-p-1～＋2-p-1
0
最复杂
查表法
－2-p（1－2-g）～＋2-p-1
＋2-p-1（2n－2g）
一般
p是规格化尾数有效位的字长，g是尾数有效字长之外的长度，
n是查表法中ROM或PLA的字长
7、警戒位的设置方法为了保证浮点数在运算和转换过程中的精度，在规定的尾数字长之外，运算器中的累加器需要另外增加的长度称为警戒位（Guard Digit or Guard Bit）。
( 不设置警戒位，可能出现很大的误差。一个例子：
例1：0.10000000×20－0.11111101×2-1，没有警戒位时：
0.10000000×20
对阶,＋1.10000001×20
求和,0.00000001×20
左规,0.10000000×2-7
设置一个警戒位时：
0.10000000
对阶：＋1.10000001
×20
1×20
求和,0.00000001
左规,0.11000000
1×20
×2-7
( 可能造成完全错误的运算结果。
例2：0.1000×2125－0.1111×2124，设置一个警戒位时：
0.1000
对阶,＋1.1000
×2125
1×2125
求和,0.0000
左规,0.1000
1×2125
×2121
不设置警戒位时，运算结果是0。
0.1000×2125
对阶,＋1.1000×2125
求和,0.0000×2125
( 警戒位的用处只有两个：
(1) 用于左规格化时移入尾数有效字长内。
(2) 用于舍入。
( 警戒位的来源有以下几个方面：
(1) 做加、减法时，因对阶从有效字长内移出去的部分。
(2) 做乘法时，双倍字长乘积的低字长部分。
(3) 做除法时，因没有除尽而多上商的几位。
(4) 右规格化时移出有效字长的那部分。
(5) 从十进制转换成二进制时，尾数超出有效字长的部分。
( 加减法运算对警戒位的需要
(1) 同号相加或异号相减，浮点数的尾数之和不需要左规格化。
≤｜mA｜＜1，两数之和为：≤｜mA＋mB｜＜2，
(2) 同号相减或异号相加，阶差为0
例3：0.10001×20－0.10000×20＝0.10000×2-4
0.10001
对阶,＋1.10000
×20
×20
求和,0.00001
左规,0.10000
×20
×2-4
两个尾数之和最多左规格化p-1位，但是对阶时没有移出任何代码。
警戒位有需要但没有来源，因此不必设置警戒位。
(3) 同号相减或异号相加，阶差为1
例4：0.10000×20－0.11111×2-1＝0.10000×2-5
p=5
g=1
0.10000
对阶,＋1.10000
0×20
1×20
求和,0.00000
左规,0.10000
1×20
0×2-4
两个尾数之和最多左规格化p位，但是对阶时只移出1位代码，
只需要设置一位警戒位。
(4) 同号相减或异号相加，阶差大于或等于2
例5：0.10000×20－0.11111×2-2＝0.10000×2-1
p=5
g=2
0.10000
对阶,＋1.11000
00×20
01×20
求和,0.01000
左规,0.10000
舍入,0.10001
01×20
10×2-1 ×2-1
对阶时位移出去很多位，但是两个尾数之和最多只左规格化1位，
只需要为左规格化设置一位警戒位。
( 乘法运算对警戒位的需要
≤｜mA｜＜1，两数乘积：≤｜mA×mB｜＜1，
两个规格化尾数的乘积最多左规格化一位，因此只需要设置一个警戒位。
( 除法运算对警戒位的需要
≤｜mA｜＜1，尾数的商： ≤｜｜＜rm，
两个规格化尾数的商不可能左规格化，因此不必设置警戒位。
各种情况下所需要的警戒位位数
用于左规用于舍入
加减法
1位
乘法
1位
除法
0位
右规
0位
十化二
0位
总 计
恒舍法 0位
1
1
0
0
0
1位
恒置法 -1位
0
0
-1
-1
-1
0位
下舍上入法 1位
2
2
1
1
1
2位
查表法 1位
2
2
1
1
1
2位
R*舍入法 2位
3
3
2
2
2
3位
当浮点尾数基值大于2时，用于舍入的最低位只需设置一个二进制位。
( 指令系统是计算机系统结构的主要组成部分
( 指令系统是软件与硬件分界面的一个主要标志
( 指令系统软件与硬件之间互相沟通的桥梁
( 指令系统与软件之间的语义差距越来越大
2．1 数据表示
2．2 寻址技术
2．3 指令格式的优化设计
2．4 指令系统的功能设计
2．5 RISC指令系统
2.1 数据表示
( 新的研究成果，如浮点数基值的选择
( 新的数据表示方法，如自定义数据表示
2．1．1 数据表示与数据类型
2．1．2 浮点数的设计方法
2．1．3 自定义数据表示
2.1.1 数据表示与数据类型
( 数据的类型：文件、图、表、树、阵列、队列、链表、栈、向量、串、实数、整数、布尔数、字符
( 数据表示的定义：数据表示研究的是计算机硬件能够直接识别，可以被指令系统直接调用的那些数据类型。
例如：定点、逻辑、浮点、十进制、字符、字符串、堆栈和向量
( 确定哪些数据类型用数据表示实现，是软件与硬件的取舍问题
( 确定数据表示的原则：
一是缩短程序的运行时间，
二是减少CPU与主存储器之间的通信量，
三是这种数据表示的通用性和利用率。
例2.1：实现A＝A＋B，A和B均为200×200的矩阵。分析向量指令的作用解：如果在没有向量数据表示的计算机系统上实现，一般需要6条指令，其中有4条指令要循环4万次。因此，CPU与主存储器之间的通信量：
取指令2＋4×40,000条，
读或写数据3×40,000个，
共要访问主存储器7×40,000次以上如果有向量数据表示，只需要一条指令
减少访问主存（取指令）次数：4×40,000次缩短程序执行时间一倍以上
( 数据表示在不断扩大，如字符串、向量、堆栈、图、表
( 用软件和硬件相结合的方法实现新的数据表示例如：用字节编址和字节运算指令来支持字符串数据表示
用变址寻址方式来支持向量数据表示
2.1.2 浮点数的设计方法
1、浮点数的表示方式
( 一个浮点数N可以用如下方式表示：
需要有6个参数来定义。
两个数值：
m：尾数的值，包括尾数的码制(原码或补码)和数制(小数或整数）
e：阶码的值，移码(偏码、增码、译码、余码等)或补码，整数两个基值：
rm：尾数的基值，2进制、4进制、8进制、16进制和10进制等
re：阶码的基值，通常为2
两个字长：
p：尾数长度，当rm＝16时，每4个二进制位表示一位尾数
q：阶码长度，阶码部分的二进制位数
p和q均不包括符号位
( 浮点数的存储式
1位 1位 q位 p位
mf
ef
e
m
注：mf为尾数的符号位，ef为阶码的符号位，e为阶码的值，m为尾数的值。
2、浮点数的表数范围
( 尾数为原码
尾数用原码、纯小数，阶码用移码、整数时，规格化浮点数N的表数范围：
( 尾数为补码尾数用补码表示时，正数区间的表数范围与尾数采用原码时完全相同，而负数区间的表数范围为：
( 浮点数在数轴上的分布情况
上溢 下溢(浮点零) 上溢
-Nmin 负数区 -Nmax 0 Nmin 正数区 Nmax
例2.2：设p＝23，q＝7，rm＝re＝2，尾数用原码、纯小数表示，阶码用移码、整数表示，求规格化浮点数N的表数范围。
解：规格化浮点数N的表数范围是：
即：
例2.3：尾数用补码、纯小数表示，阶码用移码、整数表示，p＝6，q＝6，rm＝16，re＝2，求规格化浮点数N的表数范围。
解,规格化浮点数N在正数区间的表数范围是：
在负数区间的表数范围是：
3、浮点数的表数精度（误差）
( 产生误差的根本原因是浮点数的不连续性
( 误差产生的直接原因有两个：
一是两个浮点数都在浮点集内，而运算结果却可能不在这个浮点集内，
二是数据从十进制转化为2、4、8、16进制，产生误差。
( 规格化尾数的表数精度为：
最后1个有效位的可信度为一半，
当rm＝2时，有：
4、浮点数的表数效率
( 浮点数是一种冗余数制(Redundat Number System)
( 浮点数的表数效率定义为：
简化表示：
当尾数基值为2时，浮点数的表数效率为：
( 浮点数的表数效率随rm增大
当尾数基值rm＝16时，浮点数的表数效率为：
尾数基值rm＝16与rm＝2相比，浮点数的表数效率提高了：
4、浮点数尾数基值的选择
( 在表示浮点数的6个参数中，只有尾数基值rm、尾数长度p和阶码长度q
与表数范围、表数精度和表数效率有关
( 在字长确定的情况下，如何选择尾数基值rm，使表数范围最大、表数精度和表数效率最高；
假设有两种表示方式F1和F2，它们二进制字长相同，尾数都用原码或补码、小数表示，阶码都用移码、整数表示，阶码的基均为2，尾数的基不同。
浮点数表示方式F1：尾数基值rm1＝2，尾数长度p1，阶码长度q1，
二进制字长：L1＝p1＋q1＋2。
浮点数表示方式F2：尾数基值rm2＝2k，尾数长度p2，阶码长度q2，
二进制字长：L2＝k p2＋q2＋2。
由F1与F2的二进制字长相同，即L1＝L2，得：
p1＋q1＝k p2＋q2 (2.1)
( 字长和表数范围确定时，尾数基值rm与表数精度的关系
F1的表数范围是：，
F2的表数范围是：，
F1与F2的表数范围相同，得到：
两边取以2为底的对数，得到：q1＝q2＋log2 k (2.2)
把(2.2)式代入(2.1)式，得到：p1＝k p2－log2 k (2.3)
F1的表数精度是： (2.4)
把(2.3)代入(2.4)得到：
F2的表数精度是：
取F2与F1表数精度的比值： (2.5)
只有k＝1（尾数基值rm＝2）或k＝2（尾数基值rm＝4）时，比值T＝1。
结论1：在字长和表数范围一定时，尾数基值rm取2或4，浮点数具有最高的表数精度。
( 字长和表数精度一定，尾数基值rm与表数范围的关系由F1与F2的表数精度相同得到：
即： p1＝kp2－k＋1 (2.6)
把(2.6)代入(2.1)得到：q1＝q2＋k－1 (2.7)
F1的表数范围：
F2的表数范围：
假设表数范围F2大于F1，则阶码的最大值F2大于F1：
这个不等式在正整数定义域内没有解，即不存在比F1的表数范围更大的浮点数表示方式只有k＝1（尾数基值rm＝2）或k＝2（尾数基值rm＝4）时，F2阶码的最大值等于F1阶码的最大值。
结论2：在字长和表数精度一定时，尾数基值rm取2或4，浮点数具有最大的表数范围。
推论1：在字长确定之后，尾数基值rm取2或4，浮点数具有最大的表数范围和最高的表数精度。
例2.4：IBM 370系列计算机的短浮点数表示方式，尾数基值rm＝16，尾数字长为16进制6位，阶码基值rm＝2，阶码字长6位，尾数用原码、小数表示，阶码用移码、整数表示。求表数范围和表数精度，并尾数基址rm＝2的浮点数表示方式进行比较。
解,表数精度为：
表数范围是：
若尾数基值rm＝2，则有：
解得p＝21，则q＝32－21－2＝9，它的表数范围是：
推论2：浮点数的尾数基值rm取2，并采用隐藏位表数方法是最佳的浮点数表示方式。这种浮点数表示方式能做到表数范围最大、表数误差最小、表数效率最高。
目前，IBM公司的IBM360、370、4300系列机等，尾数基值rm＝16。
Burroughs公司的B6700、B7700等大型机，尾数基值rm＝8。
DEC公司的PDP-11、VAX-11和Alpha等小型机，CDC公司的CDC6600、CYBER70等大型机，Intel公司的x86系列机等均采用尾数基值rm＝2。
5、浮点数格式的设计定义浮点数表示方式的6个参数的确定原则：
( 尾数：多数机器采用原码、小数表示
采用原码制表示：加减法比补码表示复杂，乘除法比补码简单
表示非常直观。
采用小数表示能简化运算，特别是乘除法运算。
( 阶码：一般机器都采用整数、移码表示采用移码表示的主要原因是：浮点0与机器0一致。
阶码进行加减运算时，移码的加减法运算要比补码复杂
( 尾数的基值rm选择2，
( 阶码的基值re取2，
浮点数格式设计的关键问题是：
在表数范围和表数精度给定的情况下，如何确定最短的尾数字长p和阶码字长q
例2.5：要求设计一种浮点数格式，其表数范围不小于1037，正、负数对称，表数精度不低于10-16。
解：根据表数范围的要求：
解这个不等式：
取阶码字长q＝7
根据表数精度的要求，得到：
解这个不等式：
由于浮点数字长通常是8的倍数，因此取尾数字长p＝55
所设计浮点数的格式如下：
1位 1位 7位 55位
mf
ef
e
M
所设计浮点数的主要参数如下：
最大尾数值：
绝对值最小的尾数值：
最大阶码：
最小阶码：
最大正数:；
最小正数：；
最大负数：；
最小负数：；
表数精度：；
浮点零：浮点零与机器零相同，64位全为0；
表数效率：采用隐藏位，表数效率；
6、浮点数的舍入处理
( 浮点数要进行舍入处理的原因是：
十进制实数转化为浮点数时，有效位长度超过给定的尾数字长。
两个浮点数的加、减、乘、除结果，尾数长度超过给定的尾数字长。
( 舍入处理要解决的问题是：
把规格化尾数的p＋g位处理成只有p位。
其中：p是浮点数表示方式给定的尾数字长，
g是超过给定尾数字长的部分。
( 舍入方法的主要性能标准是：
绝对误差小，积累误差小，容易实现。
( 进行舍入处理时要注意的问题是：
必须先规格化，然后再舍入，否则舍入是没有意义的。
在计算积累误差时，要同时考虑到正数区和负数区的情况；
方法1：恒舍法恒舍法又称截断法、必舍法等恒舍法的主要优点：实现起来非常容易。误差大。
恒舍法的舍入规则及误差情况
尾数有效字长p位
有效字长之外g位
误差情况
正数区
舍入前
0.xxx......xx
0.xxx......xx
0.xxx......xx
......
0.xxx......xx
00......000
00......001
00......010
......
11......111
(＝0
(＝－2-p-g
(＝－2-p-g+1
,.....
(＝－2-p(1－2-g)
舍入后
0.xxx......xx
(＝－2-p-1(2g-1)
负数区
舍入前
－0.xxx......xx
－0.xxx......xx
－0.xxx......xx
......
－0.xxx......xx
00......000
00......001
00......010
......
11......111
(＝0
(＝＋2-p-g
(＝＋2-p-g+1
,.....
(＝＋2-p(1－2-g)
舍入后
－0.xxx......xx
(＝＋2-p-1(2g-1)
方法2：恒置法又称恒置r/2法、恒置1法、或冯诺依曼法。
恒置法的舍入规则是：把规格化尾数有效字长p位的最低一位置成r/2。
恒置法的主要缺点：表数精度比较低。
主要优点：实现起来比较容易，
在正数区和负数区的积累误差都比较小，而且能达到平衡。
恒置法在正数区的舍入规则及误差情况正数区
尾数有效字长p位
有效字长之外g位
误差情况
舍入前
0.xxx......xx0
0.xxx......xx0
0.xxx......xx0
......
0.xxx......xx0
0.xxx......xx1
0.xxx......xx1
0.xxx......xx1
0.xxx......xx1
00......000
00......001
00......010
......
11......111
00......000
00......001
11......110
11......111
＋2-p —— 误差积累
＋2-p(1－2-g)
＋2-p(1－2-g+1)
,.....
＋2-p-g
0
－2-p-g
,.....
－2-p(1－2-g+1)
－2-p(1－2-g)
舍入后
0.xxx......xx1
积累误差(＝2-p
方法3：下舍上入法又称为4舍5入法、0舍1入法、7舍8入法等。
下舍上入法的舍入规则是：g位代码的中间值为界，小于这个中间值的则舍，大于或等于这个中间值的则入。
下舍上入法的主要优点：精度高，积累误差小。
在正数区和负数区的积累误差能达到完全平衡。
主要缺点：实现起来比较困难。
上舍下入法的舍入规则及误差情况正数区
尾数有效字长p位
有效字长之外g位
误差(
舍入前
0.xxx......xx
0.xxx......xx
0.xxx......xx
......
0.xxx......xx
0.xxx......xx
0.xxx......xx
......
0.xxx......xx
0.xxx......xx
00......000
00......001
00......010
......
01......111
10......000
10......001
11......110
11......111
0
－2-p-g
－2-p-g+1
,.....
－2-p-1(1－2-g)
＋2-p-1—积累误差
＋2-p-1(1－2-g)
,.....
＋2-p-g+1
＋2-p-g
舍入后
0.xxx......xx
0.xxx......xx＋2-p
最高位为0
最高位为1
积累误差(＝＋2-p-1
方法4：R*舍入法
R*舍入法的优点：没有积累误差。精度很高。
主要缺点：实现起来非常复杂，要判断g是否为10......00，采用下舍上入法或恒置法，判断舍入后是否溢出，若溢出，要再次进行右规格化。
只有少数巨型计算机（如BSP科学处理机）采用R*舍入法。
R*舍入法的舍入规则及误差情况舍入方法
舍入前(p+g位）
舍入后(p位）
误差情况
下舍上入法下舍上入法下舍上入法
…
下舍上入法恒置1法恒置1法下舍上入法
…
下舍上入法下舍上入法
0.xxx...xx|00...00
0.xxx...xx|00...01
0.xxx...xx|0...010
…
0.xxx...xx|01...11
0.xxx...x0|10...00
0.xxx...x1|10...00
0.xxx...xx|10...01
…
0.xxx...xx|11...10
0.xxx...xx|11...11
0.xxx...xx
0.xxx...xx
0.xxx...xx
…
0.xxx...xx
0.xxx...x1
0.xxx...x1
0.xxx...xx＋2-p
…
0.xxx...xx＋2-p
0.xxx...xx＋2-p
0
－2-p-g
－2-p-g+1
…
－2-p-1(1－2-g+1)
＋2-p-1
－2-p-1
＋2-p-1(1－2-g+1)
…
＋2-p-g+1
＋2-p-g
方法5：查表法又称ROM舍入法，PLA舍入法等。
查表入法的主要优点：
通过修改ROM或PLA中的内容来使积累误差达到平衡。
查表法继承了下舍上入法精度高、积累误差小的优点，同时又克服了它实现起来比较困难的缺点。
n＝2时查表法的舍入规则及误差情况分析
ROM地址
舍入前(p＋g位)
舍入后(p位)
误差情况
000
001
010
011
100
101
110
111
xx…x00|0xx…x
xx…x00|1xx…x
xx…x01|0xx…x
xx…x01|1xx…x
xx…x10|0xx…x
xx…x10|1xx…x
xx…x11|0xx…x
xx…x11|1xx…x
xx…x00
xx…x01
xx…x01
xx…x10
xx…x10
xx…x11
xx…x11
xx…x11
－2-p-1(1-2-g+1)～0
＋2-p-g～2-p-1
－2-p-1(1-2-g+1)～0
＋2-p-g～2-p-1
－2-p-1(1-2-g+1)～0
＋2-p-g～2-p-1
－2-p-1(1-2-g+1)～0
＋2-p(1-2-g)～－2-p-1
｝＋2-p-1
｝＋2-p-1
｝＋2-p-1
｝－2-p-1(2g-1)
关于舍入方法的主要结论：
(1) 恒置法虽有少量的积累误差，且损失一位精度，但由于实现起来很容易，已普遍在小型及微型机中使用。
(2) R*舍入法是唯一一种积累误差能达到完全平衡的舍入方法，但由于实现起来非常复杂，仅在极少数对误差要求非常高的具型计算机中才采用。
(3) 下舍上入法只有少量的积累误差，且精度也比较高，但实现起来很复杂，在用软件实现的算法中经常采用。
(4) 查表法实现比较容易，积累误差很小，而且可以通过改变ROM或PLA中的内容来修正积累误差，因此是一种很有前途的舍入方法。
五种舍入方法的主要性能比较舍入方法
在正数区的误差范围
正数区的积累误差
实现的难易程度
恒舍法
－2-p（1－2-g）～0
＋2-p-1（2g－1）
最简单
恒置法
－2-p（1－2-g）～＋2-p
＋2-p
很简单
下舍上入法
－2-p-1（1－2-g+1）～＋2-p-1
＋2-p-1
很复杂
R*舍入法
－2-p-1～＋2-p-1
0
最复杂
查表法
－2-p（1－2-g）～＋2-p-1
＋2-p-1（2n－2g）
一般
p是规格化尾数有效位的字长，g是尾数有效字长之外的长度，
n是查表法中ROM或PLA的字长
7、警戒位的设置方法为了保证浮点数在运算和转换过程中的精度，在规定的尾数字长之外，运算器中的累加器需要另外增加的长度称为警戒位（Guard Digit or Guard Bit）。
( 不设置警戒位，可能出现很大的误差。一个例子：
例1：0.10000000×20－0.11111101×2-1，没有警戒位时：
0.10000000×20
对阶,＋1.10000001×20
求和,0.00000001×20
左规,0.10000000×2-7
设置一个警戒位时：
0.10000000
对阶：＋1.10000001
×20
1×20
求和,0.00000001
左规,0.11000000
1×20
×2-7
( 可能造成完全错误的运算结果。
例2：0.1000×2125－0.1111×2124，设置一个警戒位时：
0.1000
对阶,＋1.1000
×2125
1×2125
求和,0.0000
左规,0.1000
1×2125
×2121
不设置警戒位时，运算结果是0。
0.1000×2125
对阶,＋1.1000×2125
求和,0.0000×2125
( 警戒位的用处只有两个：
(1) 用于左规格化时移入尾数有效字长内。
(2) 用于舍入。
( 警戒位的来源有以下几个方面：
(1) 做加、减法时，因对阶从有效字长内移出去的部分。
(2) 做乘法时，双倍字长乘积的低字长部分。
(3) 做除法时，因没有除尽而多上商的几位。
(4) 右规格化时移出有效字长的那部分。
(5) 从十进制转换成二进制时，尾数超出有效字长的部分。
( 加减法运算对警戒位的需要
(1) 同号相加或异号相减，浮点数的尾数之和不需要左规格化。
≤｜mA｜＜1，两数之和为：≤｜mA＋mB｜＜2，
(2) 同号相减或异号相加，阶差为0
例3：0.10001×20－0.10000×20＝0.10000×2-4
0.10001
对阶,＋1.10000
×20
×20
求和,0.00001
左规,0.10000
×20
×2-4
两个尾数之和最多左规格化p-1位，但是对阶时没有移出任何代码。
警戒位有需要但没有来源，因此不必设置警戒位。
(3) 同号相减或异号相加，阶差为1
例4：0.10000×20－0.11111×2-1＝0.10000×2-5
p=5
g=1
0.10000
对阶,＋1.10000
0×20
1×20
求和,0.00000
左规,0.10000
1×20
0×2-4
两个尾数之和最多左规格化p位，但是对阶时只移出1位代码，
只需要设置一位警戒位。
(4) 同号相减或异号相加，阶差大于或等于2
例5：0.10000×20－0.11111×2-2＝0.10000×2-1
p=5
g=2
0.10000
对阶,＋1.11000
00×20
01×20
求和,0.01000
左规,0.10000
舍入,0.10001
01×20
10×2-1 ×2-1
对阶时位移出去很多位，但是两个尾数之和最多只左规格化1位，
只需要为左规格化设置一位警戒位。
( 乘法运算对警戒位的需要
≤｜mA｜＜1，两数乘积：≤｜mA×mB｜＜1，
两个规格化尾数的乘积最多左规格化一位，因此只需要设置一个警戒位。
( 除法运算对警戒位的需要
≤｜mA｜＜1，尾数的商： ≤｜｜＜rm，
两个规格化尾数的商不可能左规格化，因此不必设置警戒位。
各种情况下所需要的警戒位位数
用于左规用于舍入
加减法
1位
乘法
1位
除法
0位
右规
0位
十化二
0位
总 计
恒舍法 0位
1
1
0
0
0
1位
恒置法 -1位
0
0
-1
-1
-1
0位
下舍上入法 1位
2
2
1
1
1
2位
查表法 1位
2
2
1
1
1
2位
R*舍入法 2位
3
3
2
2
2
3位
当浮点尾数基值大于2时，用于舍入的最低位只需设置一个二进制位。
