风风 险险 资资 产产 定定 价价 与与 风风 险险 资资 产产 定定 价价 模模 型型
Th e P rici ng of R isky A ssets and R isky A sset P rici ng M od els
目 录一,问题的提出二,风险资产定价理论发展进程图示三,圣,彼得堡悖论 ( S t,P e t e r s b u r g p a r a d o x )
四,亨利,马可维兹的投资组合理论 （ Harry M a r k o w i t z ’ s P o r t f o l i o T h e o r y ）
五,资本资产定价模型 （ C a p i t a l A s s e t P r i c i n g M o d e l,C A P M ）
六,莫迪里安尼 ( M o d i g l i a n i ) 和米勒 ( M i l l e r ) 的资本结构定理,MMT
七,罗尔 (Roll) 和罗斯 ( R o s s ) 的套利定价模型,APT
八,金融衍生品定价：远期、期货和期权的定价九,几点评论一,问题的提出
（一） 什么是风险资产和无风险资产？
1,,所谓资产，它能给所有者带来货币收入” （平狄克,微观经济学》第 134 页）。
资产给它的所有者带来的货币收入或叫收入流，有时是显现的，如房产带来的房租；有时却是隐含的，它采取资产的价值或价格的升值或贬值的形式，比如由于所持房产或股票未来的升值或降值所带来的资本增溢或损失等。
2,,风险资产带来的货币流 （不管是显现的还是隐含的），至少具有一定的随机性，换句话说，不可能预先确切知道货币流的大小” （同上书第 13 4 页），比如上例中房产所带来的货币流入和股票所带来的货币流都是随机变化、无法确定的。未来现金流的不确定性，从而持有风险资产得到未来收益的不确定性，就是持有风险资产的风险。不确定性越大，风险越大。
3,,与风险资产相对，如果一项资产的货币流是可以确切知晓的，那这就是无风险资产” （同上书第 134 页），如短期国债，因为在短期内不会发生政府信用危机，也不会发生大的通货膨胀。
（二） 什么是风险资产的定价？
1,资产定价根据微观经济学理论，对任何一种资产的定价也就是确定该项资产现值的过程，而资产往往是能够带来一定货币流入的,因此资产定价就是根据资产未来的货币流进行贴现从而确定资产当前价值或价格的过程。
2,无风险资产定价对于无风险资产，其未来现金流是确定的，因此用复利贴现公式可以确切地知道其当前的现值，因此对无风险资产的定价是很容易的。
3,风险资产定价问题是风险资产的定价。第一，风险资产未来货币流或现金流是不确定的一个量，它受多种因素的影响，它的产生是一个随机过程，人们不能确切地知道，因此风险资产的定价即现值确定也是不确定的；第二，风险资产未来的现金流可能很多，也可能很少，不同的人得出的预期值又可能不同，因此是用未来较高的预期现金流给当前定价，还是用未来较低的预期现金流给当前定价，这涉及到未来可能实现的现金流的概率分布和平均期望现金流的计算问题。
现代西方资产定价理论采用两种方法给风险资产定价，一种是均衡定价法，一种是无套利定价法。而且是用风险大小来给风险资产定价，而不是用货币流的大小来给资产定价。
（三）三个例子例子 1,如何给土豆定价
知晓自己土豆的总产量、总成本和单位成本；
把土豆拿到集市上：比较别人家土豆的质量；询问别人家土豆的价格，比如每斤 0.2 元；
给自己土豆定价：理性生产者或销售者不会定价过高，也不会定价过低。因为定价过高卖不出去，定价过低又赔钱。是 0,3 0 元,0,2 0 元还是 0.1 元？
土豆定价中包含均衡定价的思想：按社会平均生产成本和平均收益率定价，同时考虑供求因素。
例子 2,如何给股票定价
给一个股票定价假设：某公司的股票预期未来三年每年每股红利为 2 元，且预计三年后股票价格为 60 元 （三年后卖出该股票）。如果要求的回报率为 10 ％,请对该股票定价。根据股票估值的基本定价模型得：
若要求的回报率降为 5 ％，则根据上式算得的价格为,57,3 3 元。
本例子对资产定价的启示对未来现金流的预期不同，则资产定价不同；实际上未来股票的现金流是不确定的；
要求的报酬率 （最低以无风险资产收益率代替）不同，则资产定价也不同；
由于众人对未来的预期不同，所以股票定价是一个众人竞争的结果。
05.505 82.466 53.18 18.1
)1.01(
260
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2
1.01
2
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32
1
0
T
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T
t
t
t
k
P
k
D
P
例子 3,如何给下列的赌博游戏定价
有一个掷硬币的游戏，出现正面奖励你 1 元，出现反面惩罚你 1 元。这个游戏就是一项风险资产 （它可能给你带来货币流入）。问：怎样给这个游戏 （资产）定价？
先求这个游戏的期望收益 （期望现金流）,（硬币出现正反面的概率相同，各为 1 / 2 ）：
现在，如果出现正面奖励 2 元，出现反面奖励 1 元，问该项游戏如何定价？
分析对于一个风险厌恶型的投资者，而且又是理性投资者，投资参与该游戏的价格不能高于游戏的期望收益 （即现金流入），即不能高于 1,5 元。如果低于 1,5 元，多玩就会赚钱；如果高于
1,5 元，多玩就不会赚钱，只能赔钱。如果价格定在 1,5 元，买卖双方来说就是一个公平游戏，
按照公平游戏规则定价，就是一种均衡定价的思想。
给投资者带来的期望收益越大 （现金流越大），投资者越愿意支付更高的价格得到该项资产，
当然，支付的价格越高，所得到的期望收益和现金流就会变小，投资者就会不持有或变现该项资产，这样资产的价格就会降低，这又提高了期望收益率。
0)5.0(5.01
2
1
1
2
1
）＝（－＋期望收益＝
5.15.011
2
1
2
2
1
＝＋该项游戏的期望收益＝
二、资产定价理论发展进程图示
Ma r ko w itz Mo di g lia ni Sha r p e Roll B la c k
M i l l e r L i ntn e r Ross Sc ho l e s
Mo ssin Me r ton
投资组合选择理论
Po r t f ol i o
Se l ec t i on
1952 年均 衡 市场 条 件下 的 资本 资 产定 价 理论 与 模型 19 6 4
CA PM
套 利 定价理论
A PT
19 76
期 权 定价模型
Bl ac k-
Sc ho l es
M er t on
M od el
19 73
资 本 结构 理 论
( M M 定理 ) 中无风 险 套利 假 设的提出
1958 年三,圣,彼得堡悖论 ( S t,Pe te rs bu r g p a r a d ox )
连续执硬币直至落在地上出现,正面”为止。如果第一次出现正面，奖励 1 元，第二次出现正面奖励 2 元，第三次出现正面奖励 4 元，第四次出现正面奖励 8 元，等等。每多一次抛掷出现正面，就加倍地偿付。这个试验的可能结果可以总结如下：
第一次出现正面 结果描绘 结果的概率 奖励
1
2
3
4
,
,
,
n
H
TH
TT H
TT T H
.
.
.
(( n -1 ) 个 T) H
1/ 2
1/ 4
1/ 8
1/ 1 6
.
.
.
1/ 2
n
1
2
4
8
.
.
.
2
n - 1
该游戏的期望收益为：
＝＋＋＋＋＝
2
1
...
2
1
2
1
2
1
2
2
1
...8
16
1
4
8
1
2
4
1
1
2
1
)(
1n
n
RE
瑞士数学家贝努里和克拉默等人，用期望效用最大化原理解决了这一问题。
贝努里解法是建立在下述概念的基础上：人们对奖励所关心的是效用而非货币价值，而额外货币增加所得的额外效用随着奖励的货币价值的增加而减少，也即货币边际效用递减原理。换句话说，初始货币可以满足人们更多的基本需求，因此当整个效用随个人财富的增加而增加时，它是以递减比率增加的。贝努里所做的特别假设是,货币效用是货币奖励大小的对数函数 。即：
U ( x ) = b × l o g ( x / a ) ＝ b[ l o g x - l o g a ] = b l o g x - b l o g a
这里 U ( x ) 是由货币 x 导出的效用,a 和 b 是正系数。
这样，用 n 表示第一次出现正面时共抛掷的次数 （ n = 1,2,3,… ）,n 次抛掷所得奖励的效用由
U ( x ) 表示。这样如果抛掷 n 次后才出现正面，那么货币奖励将是
x = 2
n - 1
。此奖励的效用函数为：
U ( x ) = b l o g ( x / a ) = b l o g ( 2
n - 1
/ a ) = b l o g 2
n-1
- b l o g a = b [ ( n - 1 ) l o g 2 - l o g a ]
根据期望效用原理，某人对参加此游戏所愿付出的最大代价是 x,即期望收益。由此数量得到的效用 U ( x ) 等于游戏期望效用 E U ( x ) 。对游戏期望效用我们记为：
将前式代入此式，并记住 n 次抛掷首次出现正面的概率为 （ 1/2
n
），我们得到：
)()()(
1
xUxPxEU
x
将前式代入此式，并记住 n 次抛掷首次出现正面的概率为 （ 1/2
n
），我们得到：
这 个 方 程 说 明,b l o g ( 2 / a ) 就等于 2 美 元 的 效 用 或
E U ( x ) = E U ( 2 ) = U ( 2 ) 。由此可见，具有贝努里效用函数所表示的偏好特性的人最多愿意付 2 美元来参加这项游戏。或者说，此人对确保营利 2
美元与参加游戏的计划表示无差异。这样，引进期望效用函数后就解决了圣彼得堡悖论。
a
babbxEU
n
ab
n
b
anbxEU
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
l ogl og2l og)(
1
2
1
1
2
1
l og
2
1
2l og
2
1
]l og2l og)1[(
2
1
)(
1
1
11
1
用等于我们可知游戏的期望效不过因为圣,彼得堡悖论对资产定价的启示
1,对资产的定价，必须假定投资者首先都是理性的，其次都是风险回避型的，风险回避型的理性投资者只有当预期收益大于投资成本时，才能进行投资；
2,对于某些资产的定价 ( 如上例 ),应用期望效用比应用期望收益更合理，期望效用是一个比期望收益更宽泛的概念，特别是在期望收益很高的不确定性投资中，风险回避和边际财富效用递减规律会起更大的作用；
3,圣,彼得堡悖论所给出的游戏定价的解，即 2 美元，实际上对该赌博者的效用函数来说来说是一个公平游戏的价格，也即均衡价格，期望效用为 0 的价格。
4,用期望效用而不是用期望收入来给资产定价，不仅解决了这个金融投资学上的悖论，也为资产定价提出了一个新的思路。这种思想和方法为后来的金融资产定价奠定了基础。
因此我们说圣,彼得堡悖论的提出和解决是资产定价理论的起源。
四、马可维兹投资组合理论及其对现代资产定价理论的奠基作用
基本背景随着 1 9 5 2 年马可维兹发表,投资组合选择”一篇论文,世界上金融理论在此后的数年中便发生了很大的变化，金融资产定价理论也发生了很大的进展。
马可维兹最重要的贡献有三：第一，从数学上完美地论证了组合投资的机制和效应，即组合投资怎样降低风险；第二，给出了确定最优投资组合的原则、理论和算法；第三，系统提出并确立了在风险回避和理性投资假设的前提下，风险对资产收益率 （ 即资产价格）之间非线性的决定关系，
也即有效边界的模型。
同时，马可维兹仅用个别资产的收益率和标准差两个变量 （实际上是收益率一个变量），在一个直角坐标系中就描绘出了该资产的风险－收益关系。也就是在这个直角坐标系上，根据多项资产的组合，便构造出了投资组合的有效边界 （ ef f i c i e n t Fr o n t i er ）。在这个有效边界上，每给定一个风险水平，便对应一个最大的期望收益率水平；每给定一个收益率水平，便对应一个最小的方差。 这实际上也就是马可维兹的均值－方差理论或模型 。
基本模型：五个模型和一个图形奠基理论。，这是现代资产定价的风险对收益的定价关系此式便揭示了投资组合示也即风险定价关系的揭投资组合风险的关系，、投资组合期望收益与差表示合内资产收益率间协方、组合资产的风险用组率计算、组合资产的期望收益准差表示，即个资产收益率的波动标、单个资产的风险用单率：、单个资产的期望收益
//)(
5
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pp
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j
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投资组合有效边界图形：
E( r
p
)
E( r
i
)
f
σ
p
马可维兹的投资组合理论对资产定价的贡献在于：
1,单个资产的价格 （收益率,或单位资产所带来的现金流）大小由该资产的风险大小 （标准差）决定 ；
2,组合资产价格的大小 （收益率）由该组 合的风险 （标准差）大小来决定；
3,投资组合风险的大小，当组合中资产的数目很大时 （一般大于 30 个），不取决于个别资产风险的大小，而取决于资产收益率间相关系数的大小，从而提出和明确了系统风险和非系统风险的概念；
4,在马可维兹有效投资组合即有效边界图上，首次揭示了风险对资产收益率的定价关系。风险是自变量，收益率是因变量。不同的风险水平都唯一对应一个最大收益率的投资组合；不同的收益率水平都唯一对应一个最小的方差。这是马可维兹资产定价思想的本质所在。
5,在马可维兹的有效边界图上,揭示出了风险对资产定价的关系是一个非线性关系 。根据风险厌恶的假定，
大的风险要求更高的收益率定价。定价关系式如前式。
有效边界无效边界六,资本资产定价模型 （ C a p i t a l A s s et P r i c i ng M o de l,即 C A P M ）
基本背景和假设尽管马可维兹的组合选择理论和资产定价理论很完美，但是它的一个重要缺陷是输入的数据太多，计算工作量太大 （如当 n = 1 0 0 时,N =( n
2
+3 n + 2 ) / 2 ＝ (1 0 0 0 0 + 3 0 0 +2 ) / 2 = 5 1 5 1 ）,特别是在五、
六十年代计算机发展水平和普及水平下几乎是可望而不可及的。
Sha r p e( 1 9 6 4 ),L i n t n e r( 1 9 6 5 ) 和 M o s s i n ( 1 9 6 6 ) 分别创立了均衡市场条件下的资本资产定价理论，
这个理论对马可维兹的资产组合选择理论和资产定价理论做了大大的简化。其基本假定为：
（ 1 ） A l l a s s e t s are m ark et a b l e ;
（ 2 ） Capit a l m ark et s a re p e rfec t,
A,al l a s s et s are i n fi n i t e l y di v i s i b l e,t h a t i s,frac t i o n s o f a s s e t s can b e t ra d ed,
B,A l l i n v es t o rs a re p r i ce t a k er s,n o o n e i n v es t o r ca n i n f l u e n ce t h e m ark et b y b u y i n g o r s el l i n g
actions ;
C,T ax e s an d tr ansa c t i o n co s t s d o n o t e x i s t or a l t ernat i v el y,d o n o t af f ect t h e i n v es t m en t dec i s i o n,
D,U n l i m i t ed b u y i n g an d s h o rt s e l l i n g are a l l o w e d,w i t h o u t m ar g i n re q u i rem en t s,
E,In f o rm at i o n i s cos t l e s s l y av ai l a b l e t o e v ery i n v e s t o r,and a l l i n v e s t o r s p o s s e s s t h e s am e
i n f o rm at i o n,
(3 ) A risk-fr ee i n t ere s t ra t e e x i s t i n t h e m ark et at w h i c h a l l i n v e s t o r s ca n u n d ert ak e u n l i m i t e d
b o rro w i n g o r le n d i n g,
(4 ) A l l i n v es t o rs ar e ri s k a v er s e a n d se e k t o m ax i m i ze t h e i r ex p e ct e d u t i l i t y ov er o n e p eri o d
h o ri z o n s,
(5 ) I n v e s t o r s h ave h o m o g eno u s e x p ectat i o n s,
A,t h ey p o s s es s t h e s am e i n v e s t m en t t i m e h o ri z o n s,a n d t h ei r es t i m at es o f t h e e x p ected re t u rn s,
v ar i ances a n d co - v a ri a n ce s o f ri s k y as s et s are i d e n t i c al,
B,T h ey al l b a s e t h e i r p o r t f o l i o s e l ec t i o n d ec i s i o n s o n Ma r k o w i t z m ean -v ar i a n ce o p t i m i zat i o n,In
o t h er w o rd s,al l i n v es t o rs p erc ei v e i n v e s t m en t al t er n a t i v e s and arri v e a t p o rt fo l i o d ecis i o n s i n
ex ac t l y th e s am e m an n er,
资本资产定价模型 （ C A P M ）我们可以用两个图示和两个方程来概略地表示它,
1,资本市场线图示如下：
期望收益 E( r
p
)
m
E( r
m
)
r
f
0
σ
m
标准差 σ
p
资本市场线模型为：
资本市场线对资产定价理论的贡献在于：第一，均衡市场下资产价格仍由其风险来定价；
第二，在前面的各种假定下，风险对资产价格 （收益率）的定价是线性的关系，价格的高低除了受风险水平决定外，还受单位市场风险的溢价所影响；第三，对于风险为 0 的资产，其价格应为无风险资产收益率。
贷出资金借入资金资本市场线
p
M
fM
fp
rrE
rrE?
)(
)(
2,证券市场线图示如下：
E( r
i
)
b S M L
E( r
m
) * m
* A
r
f
0 0.5 bet a = 1 1.5 B et a 系数证券市场线方程即资本资产定价模型为：
如果市场达到均衡，市场上的所有证券的风险收益定价关系都应在证券市场线上，一个风险只能对应一个价格，否则就会存在无风险的套利机会
E( r
m
) - r
防 御 性 股票攻击性股票中性股票市场证券组合非 均 衡 性 股票
2
2
),(
])([)(
),(
])([)(
m
mi
i
ifmfi
m
mi
fmfi
rrC O V
rrErrE
rrC O V
rrErrE
3,资本资产定价模型 ( C A P M ) 对资产定价理论的贡献第一,资产价格仍然由风险来定价，不过这里的风险不再是总风险即方差或标准差的概念，而是系统风险的概念 b et a,因此它提出并确立了另外一个风险的概念，与马可维兹的风险概念――方差完全不同，但大大简化，信息量又不少；
第二,CA PM 中的资产定价关系仍然是线性的关系；资产的定价以市场为基准，即风险以市场风险为基准，以市场的 b et a 为 1,因此资产的 b et a 风险越大，市场风险溢价越高，定价越高，收益率越大。
第三，这种定价思想完全是在市场均衡的条件下得出的 （同时用到了分离定理），因此只要市场达到均衡，全部资产的定价都应该按此关系进行，此时一个价格规则成立 （ one
p ri ce ru l e ），表明市场无套利机会。相反，均衡市场情况下的定价模型提供了非均衡市场中的交易策略。
七,关于公司理财或公司资本结构的 ( M odi g l i a ni -M i l l e rT he or em ) M M T 定理
基本背景介绍从 19 5 8 年起,M od i g l i an i 和 M i l l er 发表了一系列的论文，探讨,公司的财务政策是否会影响公司的价值”这一主题。这里的财务政策是指分红政策、资本结构等。他们的结论是：在理想的市场条件下，公司的价值与这些政策无关。后来他们的这些结论就被称为 MMT 定理，这个定理为公司理财即财务管理学奠定了新的基础。在他们的论文中，
首次明确地提出了无套利假设 (N o A rb i t ra g e H y po t h ese s ),而他们的结论也几乎完全是根据无套利假设推导出来的。
在 MMT 定理中用到了两个基本的假设，一个是完全市场假设。所谓完全市场，是指市场中有充分多的资产品种可供交易，因此任何风险资产 （未定权益）都可通过某种其它资产的组合来实现或复制，但不管怎样组合或复制，风险相同的资产或资产组合其定价一定一样，否则就会存在无风险的套利机会。另一个是无套利假设。所谓无套利假设，
严格说来就是一个价格法则 ( t he l aw of on e pr i ce ),风险相同的资产在市场上一定以相同的价格定价 （ 也即取得的未来现金流即收益相同），否则就会出现无风险的套利机会。
MMT 定理的基本结论在完全市场和无套利假设下,M o d i g l i a n i 和 Mi l l er 给出了他们定理的基本结论：
假设有两个公司 A 和 B ；当前他们有相同的股份数 n ；未来有同样的债务、投资以及同样的市值
（即资本结构和市值相同）；
(1 )
(2 )
(3 )
上式的前两式相加可得 （ 3 ）式。 （ 1 ）式说明未来两个公司的市场价值相同； （ 2 ）式表明两个公司有与分红政策无关的相同的债务支出和投资支出； （ 3 ）式表明两个公司将有相同的当前股票价格。
可得到如下的结论：态下的股份变动数，则分别为它们在未来各状和态下的股票价格。分别为它们在未来各状和
。状态下的每股的分红值分别为它们在未来的各和
),.,.,,,(),.,.,,,(
),.,.,,,(),.,.,,,(
),.,.,,,(),.,.,,,(
321321
321321
321321
S
BBBBB
S
AAAAA
S
BBBBB
S
AAAAA
S
BBBBB
S
AAAAA
nnnnnnnnnn
ssssssssss
dddddddddd
BBAA
snnsnn )()(
BBBAAA
snndsnnd
)()(
BBAA
sdpsdp
MMT 定理的重要思想及对资产定价理论的启示这个定理说明两点重要的思想：
第一,公司的分红政策不影响未来股价，从而不影响公司未来的市值；
第二,如果两个公司未来的市场价值相同，那么在完全市场和无套利假设下，市场对它们两个公司当前的市场定价也一定相同，否则不符合无套利假设。
上述两个公司的定价与市场上任意两个资产的定价道理是一样的。注意：无套利假设是针对个别资产而言的，而市场均衡是就市场整体而言的，因此个别资产的无套利并不一定表明市场的均衡，反之市场的均衡一定会有个别资产的无套利。
无套利是经济学中的一种重要思想，但无套利思想及其交易处理技巧在金融学中的应用，极大地推进了金融资产定价理论和金融工程理论的发展进程。
八,套利定价模型 （ Arbitrag e P ricing Theo ry,A PT ）
APT 的基本思想和模型形式
1976 年及其以后,Ro ss 和 Ro ll 先后发表了一系列文章，正式创立了套利定价理论和模型 (A rbit rage P ricing Theo r y,AP T) 。 AP T 的核心思想和贡献在于，
它运用的无套利的一个结果假设，即市场上 0 投入只能获得 0 产出的无套利基本结论，通过数学推到最终证明了有若干系统的风险因素 （或风险）影响证券长期期望收益率的形成，而且这些系统因素对证券期望收益率的影响方式都是线性的。这比 C A PM 模型更前进了一步，内容上也更完整。
APT 的基本模型形式是：
kikiii
rE
22110
)(
这里，
0
是 0 系统风险 （ 0
21
ikii
）资产的期望收益率，也即无风险利率,j
（ j = 1,2,?,k ）可以被解释为 k 个相互独立的因子风险溢价，
ik
反映的是第 k 个风险溢价和资产 i 之间的定价关系，或第 k 个风险因子。
A PT 模型对资产定价理论的贡献套利定价模型对资产定价理论的贡献是：
第一,引入了多个系统风险的概念，并在数学上给予了严格的证明；
第二,明确确定多个系统风险因子对资产价格 （收益率）的 决定是线性的关系；
第三,在导出 A PT 模型时，既应用了完善市场假设，也用到了无套利市场假设；
第四,A PT 模型是在完善市场和无套利市场条件下导出的，如果市场的这两个条件成立，则 A PT 模型就应该成立。具体来说,（ 1 ）市场上存在若干个对某项资产收益率产生显著影响的风险因子； （ 2 ）这种影响方式应该是线性的； （ 3 ）各个因素之间应该相互独立 （或低相关）； （ 4 ）当各个风险因子都为 0 时的收益率 （即
0
）
应该等于或接近无风险利率。如果偏高或偏低，都表明市场存在套利机会，实际上投资组合资产管理中的积极策略很多就是应用这种偏离也即资产被市场过低估价或过高估价来选择资产的。
九,金融衍生品的定价：远期、期货及期权定价方法
一个远期利率协议定价的例子所谓金融衍生品，就是指根据基础金融产品衍生而来的金融产品，比如远期利率协议、期货、
期权等。由于金融衍生品的价格 （或收益）主要取决于另一个作为基础资产的金融品的价格或价值，因此金融衍生品是通过其基础资产的价格来定价的。在金融衍生品的定价中，普遍地应用了无套利的假设。我们先看一个远期利率协议定价的例子，见下图。
i
s
i
F
i
L
0 t
s
t
F
t
L
根据无套利假设，两个短期投资的收益率与一个长期的投资收益率应该相等。即这里的远期利率的价格就是一个无套利的市场价格。如果实际中它偏离了这个无套利价格，
在其它情况不变的情况下，投资者就可以进行套利活动，获取无风险收益。而无套利活动又会使得市场价格回复到无套利价格附件，或围绕无套利价格 （ 均衡价格）上下波动。
)1(
)1()1)(1(
B
D
iD
DiDi
i
i
tititi
S
SF
SSLL
F
F
LLFFSS
得：从中解出远期利率
远期利率期货的定价根据上述远期利率协议定价的思想以及远期利率协议与利率期货合约之间的关系，可以由上式解出利率期货的价格决定公式：
理论定价模型给出的定价结果是作为市场分析和市场判断的一个参照基准，有了理论定价模型，实际的交易才有可能迅速得到发展。
]
)1(
[100
B
D
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DiDi
P
S
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十、期权定价与期权定价模型 ( Opt i o ns P ri ci n g a nd O pt i o n s P ri ci n g M o d el s )
期权定价的基本思路期权与期货及其它金融衍生品不同，期权的买卖双方的权利与义务不对称，期权的投资收益模式不是线性的，而其它的金融衍生品的收益模式都是线性的，再加上期权又分为欧式期权和美式期权、看涨期权和看跌期权等类型，这就使得期权的定价更加困难。
期货交易产生于 1 7 3 0 年的日本。对于期权和远期定价问题的讨论早在 1 9 0 0 年
（ Bac h el i eer ）,1 9 3 0 年 ( K ey n es ) 和 1934 年 (H i c k s ) 就曾讨论过，但是一直没有得到很好的解决。 1 9 6 0 年代以 Sam u el s o n 为主的经济学家曾致力于对期权定价问题的研究，但是问题仍然没有得到最后的解决，他们的研究都是缺少了一个真知灼见，即风险相同的资产必须以相同的价格进行定价，这也就是无套利假设中的一个价格规律。但是，这个思想和概念被
Sam u el s o n 在 MIT 的两个同事即 M o d i g l i an i 和 Mi l l er( 1 9 5 8 ) 在研究资本结构问题时采用了，
而且成功地解决了他们所要研究的问题。
Bl ac k - Sc h o l e s 在 1 9 7 3 年发表了著名的文章 (,T h e p r i ci n g o f o p t i o n s an d c o rp o ra t e
l i a b i l i t i e s,,J o u rn al o f Po l i t i ca l E co n o m y,8 1,6 3 7 -6 5 4 ),同年 Mer t o n 也发表了一篇著名的文章 (,T h e t h eo ry o f rat i o n al o p t i o n p r i c i n g,,Bel l J o u r n a l o f E co n o m i cs a n d M an a g em en t
Sci e n ce s,4,1 4 1 - 1 8 3 ),运用无套利假设，解决了期权的合理定价问题，从而大大地促进了期权交易的发展，特别是极大地推动了现代金融理论的创新和发展。 至此，现代西方的金融理论体系已构建完成，并以此体系进一步改变了西方的金融学、投资学和财务管理学的内容和体系。
Blac k- Sc h ol e s 欧式看涨期权定价模型根据无套利假设可以推出，任何资产当前的适当价格应该是其预期价值 （ 当然还需要贴现）。
比如一支股票有 30 ％的可能达到 40 的价位,70 ％的可能性达到 50 的价位。那么其预期价格应为：
(40 × 3 0% + 50 × 7 0% )= 4 7,这也应该是其当前的价格 （ 未做贴现）。
同样的原理也适用于期权。期权到期日的适当价值等于它可能取得的任何价值乘以该价值可能实现的概率然后加总。根据看涨期权的定义，期权到期日的预期价值是：
E ( Ct)=E [ m ax(St -X,0 )]
到期日时有两种可能情况发生。如果 St >X,则看涨期权到期时为价内，则
m ax(St -X,0) =S t -X 。如果 S t <X,看涨期权到期时为价外，则 m ax(St -X,0)= 0 。如果 p 定义为 St>X 的概率，则上述等式可以改写为下式：
E ( Ct)=p × (E [S t / S t >X ] -X ) + (1-p) × 0
=p × (E [St / St >X ] – X
这里,p 代表 St>X 时的概率； E [St / S t >X ] 代表在 St>X 条件下 St 的预期价值。上式给出了看涨期权到期日的预期价值。为了得到该期权当前的适当价格，根据,金融资产的适当价格是其预期价值”的规则，上式加以贴现后就得到了期权当前的适当价格。即只要求出了上式中 S t >X 时 p 的值和 E [S t / S t >X ] 的值，便可得出 Bla c k- Sch o l es 欧式看涨期权的定价公式。
)]/[(
)]/[(
XXSSEep
e
XXSSEp
C
TT
rt
rt
TT
Bl a ck - Schol es 欧式看跌期权的定价模型有了看涨期权的定价公式，看跌期权的定价公式按以下无套利定价方式得出。考虑以下无风险套期保值操作：
A,卖出看涨期权，到期日为 t,交割价格为 X,期权价格为 C ；
B,买入看跌期权，到期日和交割价格相同，价格为 P ；
C,买入对应资产，价格为 S0 ；
D,借入 Xe
- r t
的一笔钱，这里 r 代表连续复合零风险利率。
则以上交易的初始现金流量为：
C - P - S 0 + Xe
- r t
到期日时，不管对应资产价格是多少，借款应归还，从而导致 X 的流出。下一步发生什么将取决于对应资产的价格。
若 S t>X 。此时看涨期权到期时为价内，行使期权，卖方将对应资产卖给买方获得相当于交割价格 X 的款项。用此款正好支付当初的借款。看跌期权没有价值，下一步的现金流为 0 。
若 S t<X 。看涨期权没有价值，看跌期权可以行使。买方有权利卖出对应资产，收到相当于交割价格 X 的款，正好归还当初的借款。此时净现金流为 0 。
若 S t=X,情况很少发生，此时两个期权都无价值。对应资产可以在市场上以当初的价格 X
卖出，归还借款。最后的净现金流仍然是 0 。
不管怎样，这个组合交易的最后净现金流都是 0 。如果资产组合最后的预期价值总是 0,最初的价值也应该是 0 。如果小于 0,获得 0 风险利润的机会增加。如果大于 0,则可以进行相反的一组交易来保证 0 风险的利润。也就是说，
C - P - S 0 + Xe
- r t
＝ 0
P = C - S 0 + Xe
- r t
期权定价－二项模型法就欧式股票看涨期权来说，假定当前股价为 S0,它是已知的。未来股价有两种可能的情况：
或者是变成了 a S0,或者是变成了 bS0,其中 a = /= b,a 和 b 中必有一个大于 1,另一个小于 1,
即股市中的两种情况只能是或涨或跌，不能是必涨或必跌，否则这样就存在了套利的机会。即在,必涨”时当前买进未来卖出；在,必跌”时当前卖出未来再买进从中稳当获利。
现在再假定期权的执行价格为 K 。那么期权在,未来”可能实现的两种价格分别为：
C a =ma x( a S0 -K,0) 和 C b= m a x( bS 0 -K,0) 。根据这些假设，现在我们介绍确定期权,当前”的价格的一种方法。
由于 卖出股票 和 买入看涨期权 是两种风险方向完全相反的投资行为，适当组合这两种投资交易，就可达到完全的保值作用，使风险为 0,当然收益也应为 0 。现在设 C0 为,当前”的期权价格，投资者卖出一份股票，用所得收入买进 x 份期权，这两种投资行为的组合是完全保值的，即不管未来股票价格是上升还是下降，它的价值始终不变。于是就得到以下两个现金流方程：
S0-xC0 = -a S 0+x Ca,S 0 - x C 0 = - b S 0 + x C b
解出 C0 得当前期的期权价格为：
ba
bCaCCC
C
abba
0
十一,几点评论
1,现代金融经济学研究的核心问题就是金融资产的定价，理论定价问题解决了，就会极大地促进交易的发展。实物资产的定价在经济学中利用马克思的劳动价值理论和 A rrow - D ebr e u
的供求均衡理论已经得到解决。但是作为现代出现的各种金融资产特别是各种复杂的衍生金融资产的出现，不仅其品种繁多、交易过程技术含量高，而且定价影响因素复杂。但是金融资产特别是金融衍生资产的定价如果不解决，就会大大限制金融衍生品交易市场的发展，从而影响整个资本市场的发展，影响金融市场管理水平的提高。由于最为复杂的金融产品――
期权的定价问题已经解决，而期权又是金融工具中最为灵活、最具创新性和组合功能最强大的金融工具，因此西方的 80 年代和 90 年代是金融创新的年代，金融的创新为稳定全球的经济发展、控制全球的经济波动风险将做出应有的贡献。
2,在普通的商品定价中，假定消费者都追求最大消费效用，生产者则追求最大的生产利润，这样通过竞争经济中就会自然而言地形成一个均衡的价格体系，使得商品的供需达到均衡。金融资产的定价似乎也应沿着这条路子走，但是由于金融资产过于抽象，本身没有价值，而且它们价格的波动又是随机的，这就使得沿用,均衡定价理论”解决金融资产的定价问题步履艰难。著名经济学家 Sa m uel s o n 用了近 10 年的时间的研究也没有解决期权的定价问题,Bl ac k- Sc h o le s -M er t o n 用无套利假设便解决了期权定价的问题。显然在金融资产定价中,无套利假设”与普通商品定价中的,经济均衡论”一样是十分重要的研究方法。虽然无套利假设只是经济均衡的推论，即达到一般均衡的市场或价格体系一定是无套利的。但是把它单独列出来，可以脱离,均衡定价论”的复杂框架，直接对金融资产进行定价。
套利定价论是一套微观的技术方法,A PT 模型以及几乎所有的金融衍生品都是用这个方法得出来的。
不过,套利定价论”只能就事论事，由此建立不起来 全市场的理论框架，因此它只能作为均衡定价论的补充。无套利假设的具体陈述方式是：,无投入就无产出”，或,无钱投入就无钱产出”，这几乎成了金融资产定价中的一条,公理”了。显然，这条公理并不意味着现实市场中就是这样，而现实市场中往往不是这样。这样无套利定价是否还有意义？
本报告主要参考文献：
1,E lr o y Di m so n and Ma ss o u d Muss avian,T h re e Centu ri es o f Ass et
Pri cing,Jo u rnal o f Bank ing a n d Fi n ance 2 3 (19 9 9 ) 1 7 4 5 -17 6 7 ；
2,北京大学史树中教授的,金融经济学》讲义 （讲稿，尚未出版）；
3,Ala n L,T u cke r,Co n te m p o ra ry Po rt f o lio T h eory and Risk Ma n age m ent,
W est Pub lish ing Co m p any 19 9 4 ；
4,[ 英 ] 洛伦兹,格利兹著，唐旭等译,《金融工程学》，经济科学出版社
1998 ；
5,（美）小詹姆斯等著，齐寅峰等译,《投资组合管理理论及应用》，
机械工业出版社 2000 年第二版；
6,平狄克等著,《微观经济学》，中国人民大学出版社 1997 年第 3 版 。
注：本报告原始材料可在本人教学网站 w w w,duf e.o r g 上的,现代投资组合理论与投资风险管理”课程参考资料中阅读并下载。
谢谢大家！
