重复测量资料的统计分析方法在临床医学研究中，一些干预研究和纵向研究都经常会涉及到同一研究对象的多次观察，而同一个对象的多次观察的记录资料称为重复测量的资料。由于同一对象不同时间点的观察往往存在相关的问题，也就是存在不独立性的问题，而大多数的医学统计方法都要求资料是独立，所以这些资料的统计分析需要比较特殊的统计方法进行分析。本节将先举例介绍常见的重复测量资料，并介绍相应的重复测量资料的统计分析方法。
单个样本的重复测量资料例1 为了考察某药物减肥的作用，现考察5个身高为160cm、服用该药的女性肥胖者，疗程为3个月，这5名女性肥胖者在服用该药前后的体重测量值(kg)如下：
肥胖者编号
1
2
3
4
5
服药前体重Y0i
50
52
49
55
46
服药后体重Y1i
48
51
49
52
45
这是一组观察对象的资料，每个观察对象有两个时间点的测量资料，因此这是最简单的重复观察测量资料(也可以认为配对设计的资料)。
由于各个观察对象在服药前的体重不全相同，所以其体重含有服药前的体重个体变异成分，而在服药后，各个观察对象的体重下降幅度也不全相同，故存在体重下降幅度的个体变异成分，因此观察对象在服药后的体重中不仅含有体重下降幅度的个体变异成分，而且还含有服药前的体重个体变异成分，故服药前后的体重资料不独立。对于这种不独立资料的统计分析一般采用变异成分的分解或消除某一个体变异成分的方法进行统计处理的。如配对t检验和符号秩检验就是采用服药前后资料相减作为统计分析数据，因而消除了服药前体重的个体变异，使进入统计分析的资料仅含有体重下降幅度的个体变异，但这种消除某种不独立的变异成分的统计方法无法对比较复杂的重复测量资料进行统计分析。因而本节将借助统计软件Stata，介绍应用混合模型（Mixed Model）对重复测量资料进行统计分析。
设观察对象体重的总体均数为(0，服药后体重总体均数为(1，即服药前后的体重改变量的总体均数为(＝(1－(0。若(＝0说明服药前后的体重平均变化为0，即无疗效；若(<0，说明服药后的人群平均体重低于服药前的平均体重，即该药物减肥是有效的；若(>0，说明服药后的平均体重高于服药前的平均体重，即该药对减肥有不利的作用。针对本例服药前后的体重总体均数的变化关系，引入自变量t，建立下列服药前后的体重总体均数表达式（即混合模型的确定性部分表达式）。
(12-1)
t=0时，(为服药前的体重总体均数(0；t=1时，(为服药后的体重总体均数(1。应用混合模型可以对本例资料进行统计分析，其中(和(0的参数估计一般采用限制的最大似然法，然而计算相当复杂，故我们将借助Stata软件对上述资料用混合模型进行统计分析，相应的Stata软件的数据格式如下。
t
y
no
0
50
1
0
52
2
0
49
3
0
55
4
0
46
5
1
48
1
1
51
2
1
49
3
1
52
4
1
45
5
其中y为体重测量值，t为服药时间的自变量，no为观察对象的编号，相应的Stata操作命令如下：
Random-effects GLS regression Number of obs = 10
Group variable (i),no Number of groups = 5
R-sq,within = 0.6533 Obs per group,min = 2
between =,avg = 2.0
overall = 0.0612 max = 2
Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(1) = 7.54
corr(u_i,X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0060
------------------------------------------------------------------------------
y | Coef,Std,Err,z P>|z| [95% Conf,Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
t | -1.4,509902 -2.75 0.006 -2.399389 -.4006105
_cons | 50.4 1.371131 36.76 0.000 47.71263 53.08737
-------------+----------------------------------------------------------------
sigma_u | 2.9580399
sigma_e |,80622577
rho |,93085106 (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
(估计值为－1.4，(0估计值为50.4，而(1的估计值＝50.4－1.4＝49。
H0：(＝0 即无减肥疗效
H1：((0 即服药前后的人群平均体重不同
(＝0.05
相应的P值＝0.006，因此服药前后平均体重的差异有统计学意义，故可以认为该药物有减肥疗效。
例2 为了考察某药物在疗程为6个月中的持续减肥作用，现考察5个服用该药的女性肥胖者并且身高为162cm的，这5名女性肥胖者在服用该药前、服药3个月和服药6个月的体重测量值(kg)如下：
肥胖者编号
服药前
3个月
6个月
1
48
46
42
2
53
51
47
3
52
52
48
4
52
51
48
5
53
52
49
这是一组观察对象的多个测量时间点的重复观察测量资料，因此同一对象的不同观察时间点的观察资料是相关的。(也可以视为配伍区组设计的观察资料，用随机区组设计的方差分析或Friedman秩检验的统计方法检验该药物的减肥作用)，因此可用混合模型进行统计分析。
设观察对象在服药前的体重总体均数为(0、服药3个月时的体重总体均数(0+(1，服药6个月时的体重总体均数为(0+(2，即：(1为服药3个月时的体重平均改变量，(2为服药6个月时的体重平均改变量。针对本例服药前后的体重总体均数的变化关系，引入自变量t1和t2，建立下列服药前后的体重总体均数表达式
(12-2)
若t1=t2=0时，(为服药前的体重总体均数(0；t1=1，t2=0时，(为服药3个月时的体重总体均数(0+(1。若(1<0，说明服药3个月时的服药人群平均体重低于服药前的平均体重，即该减肥药有效，反之无疗效；t1=0，t2=1时，(为服药6个月时的体重总体均数(0+(2，而(2<0和(2>0同样反映该减肥药有效或无效。若(2<(1，说明服药6个月时的服药人群平均体重低于3个月时的服药人群平均体重到期间。我们同样借助Stata软件对上述资料用混合模型进行统计分析，相应的Stata软件的数据格式如下。
no
y
t1
t2
1
48
0
0
2
53
0
0
3
52
0
0
4
52
0
0
5
53
0
0
1
46
1
0
2
51
1
0
3
52
1
0
4
51
1
0
5
52
1
0
1
42
0
1
2
47
0
1
3
48
0
1
4
48
0
1
5
49
0
1
其中t1和t2为服药时间的自变量，其他与例12-1相同，相应的Stata操作命令如下：
Stata 命令为 xtreg y t1 t2,i(no)
相应输出结果如下：
Random-effects GLS regression Number of obs = 15
Group variable (i),no Number of groups = 5
R-sq,within = 0.9551 Obs per group,min = 3
between =,avg = 3.0
overall = 0.4602 max = 3
Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(2) = 170.18
corr(u_i,X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------
y | Coef,Std,Err,z P>|z| [95% Conf,Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
t1 | -1.2,3829708 -3.13 0.002 -1.950609 -.4493909
t2 | -4.8,3829708 -12.53 0.000 -5.550609 -4.049391
_cons | 51.6 1.104536 46.72 0.000 49.43515 53.76485
-------------+----------------------------------------------------------------
sigma_u | 2.394438
sigma_e |,60553007
rho |,93989071 (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
3个月时的体重与6个月时的体重比较的Stata命令和输出结果如下：
test t1=t2 （H0：(2＝(1）
( 1) t1 - t2 = 0.0
chi2( 1) = 88.36
Prob > chi2 = 0.0000
(1估计值为－1.2(kg),(2估计值为－4.8(kg)，服药前体重总体均数(0的估计值为51.6(kg)；服药3个月时的体重总体均数(0＋(1的估计值为51.6－1.2＝50.4(kg)；服药6个月时的体重总体均数(0＋(2的估计值为51.6－4.8＝46.8(kg)。
H0：(1＝0 即服药3个月时减肥无效
H1：((0 即服药3个月时与服药前的人群平均体重不同
(＝0.05
相应的P值＝0.002，因此差异有统计学意义，故可以认为该药物在服药3个月时有减肥疗效。
H0：(2＝0 即服药6个月时减肥无效
H1：(2(0 即服药6个月时与服药前的人群平均体重不同
(＝0.05
相应的P值<0.001，因此差异有统计学意义，故可以认为该药物在服药6个月时有减肥疗效。
H0：(2＝(1 即从服药3个月至6个月时，没有继续减肥
H1：(2((1 即服药6个月时与服药3个月的人群平均体重不同
(＝0.05
相应的P值<0.001，因此差异有统计学意义，故可以认为服药3个月至6个月期间，继续有减肥疗效。
多个样本多个时间点重复观察资料例12-3 为了比较A药和B药在疗程为6个月中的持续减肥的疗效，现有10个身高为160cm的女性肥胖者志愿参加这项研究。随机分成2组，每组各5人。分别考察这2组肥胖者在服药前、3个月和服药6个月的体重变化。这2组肥胖者在服用该药前、服药3个月和的体重测量值(kg)如下：
组别和肥胖者编号
服药前
3个月
6个月
A药组1号
52
49
42
A药组2号
51
50
46
A药组3号
50
49
41
A药组4号
51
49
44
A药组5号
49
47
40
B药组1号
51
54
53
B药组2号
49
47
46
B药组3号
50
47
44
B药组4号
49
48
41
B药组5号
52
50
48
这是两组观察对象的多个测量时间点的重复观察测量资料，同样对于同一对象的不同观察时间点的观察资料是相关的，但由于需要比较两个药的减肥疗效，所以两因素方差分析，随机区组设计的方差分析或Friedman秩检验的统计方法都不适用于本例的数据统计分析，但仍可用混合模型对本例资料进行统计分析。
由于这是两组观察对象的多个测量时间点的重复观察测量资料，所以仍可以借用上例的总体均数表达式（12-2）分别描述每一组体重变化规律，因此可以得到下列总体均数表达式：
A组
（12-3）
B组
（12-4）
由于应用混合模型进行统计分析需要建立两组统一的总体均数表达式，因此引入统一参数(3=(10－(0，(4＝(11－(1，(5＝(12－(2，代入（12-4）式，得到B组总体均数表达式
B组
（12-5）
引入分组变量g=0表示A组，g＝1表示B组，因此两组的总体均数表达式均可表示为
（12-6）
用g=0，1；t1=0，1和t2=0，1代入（12-6）式，得到相应两组各个时间点的总体均数：
组别
服药前（t1=0，t2=0）
服药3个月（t1=1，t2=0）
服药6个月（t1=0，t2=1）
A组（g＝0）
(0
(0＋(1
(0＋(2
B组（g＝1）
(0＋(3
(0＋(1＋(3＋(4
(0＋(2＋(3＋(5
两组差异为
(3
(3＋(4
(3＋(5
若(4和(5不全为0，则称两种药物与服药时间对疗效有交互作用。两组在3个时间点的总体均数差异分别为(3，(3＋(4和(3＋(5，因此只需检验H0：(3＝0、H0：(3＋(4＝0和 H0：(3＋(5＝0就可以推断两组总体均数差异。反之若(4和(5全为0，则称两种药物与服药时间对疗效无交互作用，并且两组各个时间点的总体均数差异均为(3，因此只需检验H0：(3＝0就可以推断两组的总体均数差异。我们同样借助Stata软件对上述资料用混合模型进行统计分析，相应的Stata软件的数据格式如下。
y
g
no
t1
t2
续左侧底部数据
52
0
1
0
0
51
1
6
0
0
49
0
1
1
0
54
1
6
1
0
42
0
1
0
1
53
1
6
0
1
51
0
2
0
0
49
1
7
0
0
50
0
2
1
0
47
1
7
1
0
46
0
2
0
1
46
1
7
0
1
50
0
3
0
0
50
1
8
0
0
49
0
3
1
0
47
1
8
1
0
41
0
3
0
1
44
1
8
0
1
51
0
4
0
0
49
1
9
0
0
49
0
4
1
0
48
1
9
1
0
44
0
4
0
1
41
1
9
0
1
49
0
5
0
0
52
1
10
0
0
47
0
5
1
0
50
1
10
1
0
40
0
5
0
1
48
1
10
0
1
Stata操作命令如下：
gen gt1=g*t1 产生交互作用项变量g(t1
gen gt2=g*t2 产生交互作用项变量g(t2
xtreg y t1 t2 g gt1 gt2,i(no)
Random-effects GLS regression Number of obs = 30
Group variable (i),no Number of groups = 10
R-sq,within = 0.8288 Obs per group,min = 3
between = 0.0973 avg = 3.0
overall = 0.5927 max = 3
Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(5) = 78.32
corr(u_i,X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------
y | Coef,Std,Err,z P>|z| [95% Conf,Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
t1 | -1.8 1.053565 -1.71 0.088 -3.86495,2649502
t2 | -8 1.053565 -7.59 0.000 -10.06495 -5.93505
g | -.4 1.612452 -0.25 0.804 -3.560347 2.760347
gt1 |,8 1.489966 0.54 0.591 -2.120281 3.720281
gt2 | 4.2 1.489966 2.82 0.005 1.279719 7.120281
_cons | 50.6 1.140175 44.38 0.000 48.3653 52.8347
-------------+----------------------------------------------------------------
sigma_u | 1.9300259
sigma_e | 1.6658331
rho |,57307692 (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
由此得到（12-6）式中的(0估计值为50.6，(1的估计值为-1.8，(2的估计值为-8，(3的估计值为-0.4，(4的估计值为0.8和4.2。两组各个时间的总体均数估计如下
A组（g=0）
B组（g=1）
B组－A组
两组差异检验
总体均数
总体均数估计值
总体均数
总体均数估计值
总体均数
总体均数估计值
P值
服药前
(t1=0,t2=0)
(0
50.6
(0＋(3
50.2
(3
-0.4
0.804
服药3个月时
(t1=1,t2=0)
(0＋(1
48.8
(0＋(1＋(3＋(4
49.2
(3＋(4
0.4
0.804
服药6个月时
(t1=0,t2=1)
(0＋(2
42.6
(0＋(2＋(3＋(5
46.4
(3＋(5
3.8
0.018
注：表中均数估计值是参数估计值和总体均数参数表达式计算所得。如：服药3个月时A组的总体均数估计值＝50.6-1.8＝48.8。
3个时间点的两组平均体重比较的Stata统计检验命令和输出结果如下设(=0.05
服药前两组平均体重比较就是检验H0：(3=0，相应的P值=0.804>(，差别无统计学意义，故没有充足证据推断两组在服药前的体重总体均数不等。
服药3个月时的两组平均体重比较的Stata命令和输出结果如下：
test g＋gt1＝0 （H0：(3＋(4＝0 即服药3个月时的两组体重总体均数相等）
( 1) g + gt1 = 0.0
chi2( 1) = 0.06
Prob > chi2 = 0.8041
相应的P值＝0.8041>(，差异无统计学意义，故无证据显示两组总体均数不等。
服药6个月时的两组平均体重比较的Stata命令和输出结果如下：
test g＋gt2＝0 （H0：(3＋(5＝0）
( 1) g + gt2 = 0.0
chi2( 1) = 5.55
Prob > chi2 = 0.0184
相应的P值＝0.0184<(，差异有统计学意义，故可以认为服A药6个月时的人群平均体重低于服B药6个月的人群平均体重。
单个样本的重复测量资料例1 为了考察某药物减肥的作用，现考察5个身高为160cm、服用该药的女性肥胖者，疗程为3个月，这5名女性肥胖者在服用该药前后的体重测量值(kg)如下：
肥胖者编号
1
2
3
4
5
服药前体重Y0i
50
52
49
55
46
服药后体重Y1i
48
51
49
52
45
这是一组观察对象的资料，每个观察对象有两个时间点的测量资料，因此这是最简单的重复观察测量资料(也可以认为配对设计的资料)。
由于各个观察对象在服药前的体重不全相同，所以其体重含有服药前的体重个体变异成分，而在服药后，各个观察对象的体重下降幅度也不全相同，故存在体重下降幅度的个体变异成分，因此观察对象在服药后的体重中不仅含有体重下降幅度的个体变异成分，而且还含有服药前的体重个体变异成分，故服药前后的体重资料不独立。对于这种不独立资料的统计分析一般采用变异成分的分解或消除某一个体变异成分的方法进行统计处理的。如配对t检验和符号秩检验就是采用服药前后资料相减作为统计分析数据，因而消除了服药前体重的个体变异，使进入统计分析的资料仅含有体重下降幅度的个体变异，但这种消除某种不独立的变异成分的统计方法无法对比较复杂的重复测量资料进行统计分析。因而本节将借助统计软件Stata，介绍应用混合模型（Mixed Model）对重复测量资料进行统计分析。
设观察对象体重的总体均数为(0，服药后体重总体均数为(1，即服药前后的体重改变量的总体均数为(＝(1－(0。若(＝0说明服药前后的体重平均变化为0，即无疗效；若(<0，说明服药后的人群平均体重低于服药前的平均体重，即该药物减肥是有效的；若(>0，说明服药后的平均体重高于服药前的平均体重，即该药对减肥有不利的作用。针对本例服药前后的体重总体均数的变化关系，引入自变量t，建立下列服药前后的体重总体均数表达式（即混合模型的确定性部分表达式）。
(12-1)
t=0时，(为服药前的体重总体均数(0；t=1时，(为服药后的体重总体均数(1。应用混合模型可以对本例资料进行统计分析，其中(和(0的参数估计一般采用限制的最大似然法，然而计算相当复杂，故我们将借助Stata软件对上述资料用混合模型进行统计分析，相应的Stata软件的数据格式如下。
t
y
no
0
50
1
0
52
2
0
49
3
0
55
4
0
46
5
1
48
1
1
51
2
1
49
3
1
52
4
1
45
5
其中y为体重测量值，t为服药时间的自变量，no为观察对象的编号，相应的Stata操作命令如下：
Random-effects GLS regression Number of obs = 10
Group variable (i),no Number of groups = 5
R-sq,within = 0.6533 Obs per group,min = 2
between =,avg = 2.0
overall = 0.0612 max = 2
Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(1) = 7.54
corr(u_i,X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0060
------------------------------------------------------------------------------
y | Coef,Std,Err,z P>|z| [95% Conf,Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
t | -1.4,509902 -2.75 0.006 -2.399389 -.4006105
_cons | 50.4 1.371131 36.76 0.000 47.71263 53.08737
-------------+----------------------------------------------------------------
sigma_u | 2.9580399
sigma_e |,80622577
rho |,93085106 (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
(估计值为－1.4，(0估计值为50.4，而(1的估计值＝50.4－1.4＝49。
H0：(＝0 即无减肥疗效
H1：((0 即服药前后的人群平均体重不同
(＝0.05
相应的P值＝0.006，因此服药前后平均体重的差异有统计学意义，故可以认为该药物有减肥疗效。
例2 为了考察某药物在疗程为6个月中的持续减肥作用，现考察5个服用该药的女性肥胖者并且身高为162cm的，这5名女性肥胖者在服用该药前、服药3个月和服药6个月的体重测量值(kg)如下：
肥胖者编号
服药前
3个月
6个月
1
48
46
42
2
53
51
47
3
52
52
48
4
52
51
48
5
53
52
49
这是一组观察对象的多个测量时间点的重复观察测量资料，因此同一对象的不同观察时间点的观察资料是相关的。(也可以视为配伍区组设计的观察资料，用随机区组设计的方差分析或Friedman秩检验的统计方法检验该药物的减肥作用)，因此可用混合模型进行统计分析。
设观察对象在服药前的体重总体均数为(0、服药3个月时的体重总体均数(0+(1，服药6个月时的体重总体均数为(0+(2，即：(1为服药3个月时的体重平均改变量，(2为服药6个月时的体重平均改变量。针对本例服药前后的体重总体均数的变化关系，引入自变量t1和t2，建立下列服药前后的体重总体均数表达式
(12-2)
若t1=t2=0时，(为服药前的体重总体均数(0；t1=1，t2=0时，(为服药3个月时的体重总体均数(0+(1。若(1<0，说明服药3个月时的服药人群平均体重低于服药前的平均体重，即该减肥药有效，反之无疗效；t1=0，t2=1时，(为服药6个月时的体重总体均数(0+(2，而(2<0和(2>0同样反映该减肥药有效或无效。若(2<(1，说明服药6个月时的服药人群平均体重低于3个月时的服药人群平均体重到期间。我们同样借助Stata软件对上述资料用混合模型进行统计分析，相应的Stata软件的数据格式如下。
no
y
t1
t2
1
48
0
0
2
53
0
0
3
52
0
0
4
52
0
0
5
53
0
0
1
46
1
0
2
51
1
0
3
52
1
0
4
51
1
0
5
52
1
0
1
42
0
1
2
47
0
1
3
48
0
1
4
48
0
1
5
49
0
1
其中t1和t2为服药时间的自变量，其他与例12-1相同，相应的Stata操作命令如下：
Stata 命令为 xtreg y t1 t2,i(no)
相应输出结果如下：
Random-effects GLS regression Number of obs = 15
Group variable (i),no Number of groups = 5
R-sq,within = 0.9551 Obs per group,min = 3
between =,avg = 3.0
overall = 0.4602 max = 3
Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(2) = 170.18
corr(u_i,X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------
y | Coef,Std,Err,z P>|z| [95% Conf,Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
t1 | -1.2,3829708 -3.13 0.002 -1.950609 -.4493909
t2 | -4.8,3829708 -12.53 0.000 -5.550609 -4.049391
_cons | 51.6 1.104536 46.72 0.000 49.43515 53.76485
-------------+----------------------------------------------------------------
sigma_u | 2.394438
sigma_e |,60553007
rho |,93989071 (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
3个月时的体重与6个月时的体重比较的Stata命令和输出结果如下：
test t1=t2 （H0：(2＝(1）
( 1) t1 - t2 = 0.0
chi2( 1) = 88.36
Prob > chi2 = 0.0000
(1估计值为－1.2(kg),(2估计值为－4.8(kg)，服药前体重总体均数(0的估计值为51.6(kg)；服药3个月时的体重总体均数(0＋(1的估计值为51.6－1.2＝50.4(kg)；服药6个月时的体重总体均数(0＋(2的估计值为51.6－4.8＝46.8(kg)。
H0：(1＝0 即服药3个月时减肥无效
H1：((0 即服药3个月时与服药前的人群平均体重不同
(＝0.05
相应的P值＝0.002，因此差异有统计学意义，故可以认为该药物在服药3个月时有减肥疗效。
H0：(2＝0 即服药6个月时减肥无效
H1：(2(0 即服药6个月时与服药前的人群平均体重不同
(＝0.05
相应的P值<0.001，因此差异有统计学意义，故可以认为该药物在服药6个月时有减肥疗效。
H0：(2＝(1 即从服药3个月至6个月时，没有继续减肥
H1：(2((1 即服药6个月时与服药3个月的人群平均体重不同
(＝0.05
相应的P值<0.001，因此差异有统计学意义，故可以认为服药3个月至6个月期间，继续有减肥疗效。
多个样本多个时间点重复观察资料例12-3 为了比较A药和B药在疗程为6个月中的持续减肥的疗效，现有10个身高为160cm的女性肥胖者志愿参加这项研究。随机分成2组，每组各5人。分别考察这2组肥胖者在服药前、3个月和服药6个月的体重变化。这2组肥胖者在服用该药前、服药3个月和的体重测量值(kg)如下：
组别和肥胖者编号
服药前
3个月
6个月
A药组1号
52
49
42
A药组2号
51
50
46
A药组3号
50
49
41
A药组4号
51
49
44
A药组5号
49
47
40
B药组1号
51
54
53
B药组2号
49
47
46
B药组3号
50
47
44
B药组4号
49
48
41
B药组5号
52
50
48
这是两组观察对象的多个测量时间点的重复观察测量资料，同样对于同一对象的不同观察时间点的观察资料是相关的，但由于需要比较两个药的减肥疗效，所以两因素方差分析，随机区组设计的方差分析或Friedman秩检验的统计方法都不适用于本例的数据统计分析，但仍可用混合模型对本例资料进行统计分析。
由于这是两组观察对象的多个测量时间点的重复观察测量资料，所以仍可以借用上例的总体均数表达式（12-2）分别描述每一组体重变化规律，因此可以得到下列总体均数表达式：
A组
（12-3）
B组
（12-4）
由于应用混合模型进行统计分析需要建立两组统一的总体均数表达式，因此引入统一参数(3=(10－(0，(4＝(11－(1，(5＝(12－(2，代入（12-4）式，得到B组总体均数表达式
B组
（12-5）
引入分组变量g=0表示A组，g＝1表示B组，因此两组的总体均数表达式均可表示为
（12-6）
用g=0，1；t1=0，1和t2=0，1代入（12-6）式，得到相应两组各个时间点的总体均数：
组别
服药前（t1=0，t2=0）
服药3个月（t1=1，t2=0）
服药6个月（t1=0，t2=1）
A组（g＝0）
(0
(0＋(1
(0＋(2
B组（g＝1）
(0＋(3
(0＋(1＋(3＋(4
(0＋(2＋(3＋(5
两组差异为
(3
(3＋(4
(3＋(5
若(4和(5不全为0，则称两种药物与服药时间对疗效有交互作用。两组在3个时间点的总体均数差异分别为(3，(3＋(4和(3＋(5，因此只需检验H0：(3＝0、H0：(3＋(4＝0和 H0：(3＋(5＝0就可以推断两组总体均数差异。反之若(4和(5全为0，则称两种药物与服药时间对疗效无交互作用，并且两组各个时间点的总体均数差异均为(3，因此只需检验H0：(3＝0就可以推断两组的总体均数差异。我们同样借助Stata软件对上述资料用混合模型进行统计分析，相应的Stata软件的数据格式如下。
y
g
no
t1
t2
续左侧底部数据
52
0
1
0
0
51
1
6
0
0
49
0
1
1
0
54
1
6
1
0
42
0
1
0
1
53
1
6
0
1
51
0
2
0
0
49
1
7
0
0
50
0
2
1
0
47
1
7
1
0
46
0
2
0
1
46
1
7
0
1
50
0
3
0
0
50
1
8
0
0
49
0
3
1
0
47
1
8
1
0
41
0
3
0
1
44
1
8
0
1
51
0
4
0
0
49
1
9
0
0
49
0
4
1
0
48
1
9
1
0
44
0
4
0
1
41
1
9
0
1
49
0
5
0
0
52
1
10
0
0
47
0
5
1
0
50
1
10
1
0
40
0
5
0
1
48
1
10
0
1
Stata操作命令如下：
gen gt1=g*t1 产生交互作用项变量g(t1
gen gt2=g*t2 产生交互作用项变量g(t2
xtreg y t1 t2 g gt1 gt2,i(no)
Random-effects GLS regression Number of obs = 30
Group variable (i),no Number of groups = 10
R-sq,within = 0.8288 Obs per group,min = 3
between = 0.0973 avg = 3.0
overall = 0.5927 max = 3
Random effects u_i ~ Gaussian Wald chi2(5) = 78.32
corr(u_i,X) = 0 (assumed) Prob > chi2 = 0.0000
------------------------------------------------------------------------------
y | Coef,Std,Err,z P>|z| [95% Conf,Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
t1 | -1.8 1.053565 -1.71 0.088 -3.86495,2649502
t2 | -8 1.053565 -7.59 0.000 -10.06495 -5.93505
g | -.4 1.612452 -0.25 0.804 -3.560347 2.760347
gt1 |,8 1.489966 0.54 0.591 -2.120281 3.720281
gt2 | 4.2 1.489966 2.82 0.005 1.279719 7.120281
_cons | 50.6 1.140175 44.38 0.000 48.3653 52.8347
-------------+----------------------------------------------------------------
sigma_u | 1.9300259
sigma_e | 1.6658331
rho |,57307692 (fraction of variance due to u_i)
------------------------------------------------------------------------------
由此得到（12-6）式中的(0估计值为50.6，(1的估计值为-1.8，(2的估计值为-8，(3的估计值为-0.4，(4的估计值为0.8和4.2。两组各个时间的总体均数估计如下
A组（g=0）
B组（g=1）
B组－A组
两组差异检验
总体均数
总体均数估计值
总体均数
总体均数估计值
总体均数
总体均数估计值
P值
服药前
(t1=0,t2=0)
(0
50.6
(0＋(3
50.2
(3
-0.4
0.804
服药3个月时
(t1=1,t2=0)
(0＋(1
48.8
(0＋(1＋(3＋(4
49.2
(3＋(4
0.4
0.804
服药6个月时
(t1=0,t2=1)
(0＋(2
42.6
(0＋(2＋(3＋(5
46.4
(3＋(5
3.8
0.018
注：表中均数估计值是参数估计值和总体均数参数表达式计算所得。如：服药3个月时A组的总体均数估计值＝50.6-1.8＝48.8。
3个时间点的两组平均体重比较的Stata统计检验命令和输出结果如下设(=0.05
服药前两组平均体重比较就是检验H0：(3=0，相应的P值=0.804>(，差别无统计学意义，故没有充足证据推断两组在服药前的体重总体均数不等。
服药3个月时的两组平均体重比较的Stata命令和输出结果如下：
test g＋gt1＝0 （H0：(3＋(4＝0 即服药3个月时的两组体重总体均数相等）
( 1) g + gt1 = 0.0
chi2( 1) = 0.06
Prob > chi2 = 0.8041
相应的P值＝0.8041>(，差异无统计学意义，故无证据显示两组总体均数不等。
服药6个月时的两组平均体重比较的Stata命令和输出结果如下：
test g＋gt2＝0 （H0：(3＋(5＝0）
( 1) g + gt2 = 0.0
chi2( 1) = 5.55
Prob > chi2 = 0.0184
相应的P值＝0.0184<(，差异有统计学意义，故可以认为服A药6个月时的人群平均体重低于服B药6个月的人群平均体重。
