微分方程的差分方法问题,
形式。边值条件还可以有其它两点边值问题一维问题一、椭圆型方程
)(,)(
)(,)(
.1
buau
bxafqu
dx
du
r
dx
du
p
dx
d
（略）。更进一步提出三维问题
。边值条件还有其它形式的边界。为题二阶椭圆型方程边值问二维问题
),,(),(
),(,)()(
.2
yxyxu
yxfqu
y
u
p
yx
u
p
x
导方程）二、抛物型方程（热传
Ttx
ttuttu
xxu
txfutxd
x
u
txa
xt
u
0,10
).(),1(),(),0(
)()0,(
),(),()),((
.1
一维线性问题
),(,0
),(),,(
),()0,,(
),())()((
.2
yxTt
yxtyxu
yxyxu
txf
y
u
a
yx
u
a
xt
u
二维线性问题以及三维问题等三、双曲型方程
Ttx
ttuttu
xxu
txf
x
u
xa
xx
u
xb
t
u
xc
0,10
).(),1(),(),0(
)()0,(
),())(()()(
.1
对流扩散方程一维线性问题
].1,0[]1,0[),(,0
),(),,(
),()0,,(
),()0,,(
),())()((
.2
2
2
yxTt
yxgtyxu
yxyxu
t
yxyxu
txf
y
u
a
yx
u
a
xt
u
波动方程二维线性问题以及三维问题等算法的基本构造原理
mjnijcyhiax
dcba
ji,0,:0,,
],[],[
.1
的矩形网格剖分为例：以矩形区域的网格化（网格剖分）区域
(i,j)
)(),()2(
1
)(),()2(
1
)()()(
2
1
)()()2(
1
.2
2
2
2
1,1,
2
2
2
2
,1,1
2
2
11
2
2
2
11
2
jijiijji
jijiijji
iii
iiii
yxu
y
uuu
hyxu
x
uuu
h
hxu
dx
d
uu
h
hxu
dx
d
uuu
h
例如：
差分近似代替微分等等！
的差分格式。
两点边值问题
)(,)(
)(,)(
.1
buau
bxafqu
dx
dur
dx
dup
dx
dLu
§ 7.1 两点边值问题的解法
( 1 )?iiiiii
ii
i
ii
iih
fuq
h
uu
r
h
uu
p
h
uu
p
h
uL
2
][1
11
1
2/1
1
2/1
)()()( 2huLLuuR ihii截断误差
( 2 ) nuu,0
ii
iii
iiii
iii
n
iiiiiii
hfd
rhpc
hqhppb
rhpa
uu
niducubua
2
/2
2/)(2
/2
,
1:1,
2/1
2/12/1
2/1
0
11
其中
由式（ 1）和（ 2）得到线性方程组：
其它边值条件下的计算格式（略）
的求解方法。
两点边值问题
)(,)(
)(),,,(
.2
buau
bxauuxfu
差分法：
( 1 )?)2,,(][1 1111 h uuuxfh uuh uuh iiiiiiii
( 2 ) nuu,0
解上述非线性方程组即得。
解非线性方程组是一个很困难的事，下面给出另一解法 — 称 为打靶法。
把上述边值问题变为初始问题：
)(
)(,)(
),,(
bxa
savau
vuxfv
vu
待定s
sauau
bxauuxfu
)(,)(
)(),,,(
。满足初始问题的解对于给定的),(),,( sbusxus
令 v=du/dx
§ 7.2 椭圆型方程第一边值问题的解法
的边界。为椭圆型方程边值问题
),,(),(
),(,)()(
yxyxu
yxfqu
y
up
yx
up
x
.),(
).:1,(
);:0,(
],[],[
ijji
j
i
uyxu
mj
m
cd
jcy
ni
n
ab
hihax
dcba
的近似值记划分的最小矩形包含区域一、将区域网格化
称为边界点。）网格线与边界的交点（
正则内结点；内结点。否则，称为非
，则称此结点为正则都属于、（、（（
、个结点（且其相邻的）如果一个结点（（
个步长称为相邻结点；）两个结点之间相距一（
为结点；）两组平行线的交点称（
定义：
4
3
2
1
),),),
),4,),
111
1
jijiji
jiji
yxyxyx
yxyx
现在是要求出正则和非正则内结点上的数值解！！！
二、建立离散化方程
.),(
.
,
,
h
h
ji
设正则内结点的集合
1、正则内结点方程
( 1 )?
ijijij
jiji
ji
ijji
ji
jiji
ji
ijji
ji
fuq
uu
p
uu
p
h
uu
p
h
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h
)]()([
1
)]()([
1
2/1,,
2/1,
2/1,
2/1,
,1,
,2/1
,1
,2/1
2、非正则内结点方程不是边界点时，
正好是边界点时是非正则内结点设
)2(;),(,,)1(
.),(
( 2 ) jiu
ji
ijij
)2(?
ji
Bi
Bi
jB
iB
ii
ij
u
xx
xx
yxu
xx
xx
u
,1
1
1
1 ),(
)2(),( 1,
11
1
ji
Cj
Cj
Ci
jC
jj
ij uyy
yyyxu
yy
yyu
或联立方程 (1)、（ 2)即可求出),(,
,jiji yxu
0
)1,(,0
1,0,16)3(
00
1
1
2
2
2
2
yx
y
x
y
u
x
u
xu
y
u
u
yx
y
u
x
u
例：求解
.
1
1
1
1,,
1
3
81
1
1
3
81
1
1
3
7
,
81
181
17
,
51
151
14
1
1
1
16
3
33
3
4:0,,,
4/1
3
2
1
3
21
2
3
2
1
3
2
1
j
j
j
j
ji
u
u
u
X
h
h
h
B
BB
h
X
X
X
BI
IBI
IB
jijhyihx
h
其中则离散化方程为：
取正方形网格：
u =[ 3.3095 3.3095 3.1364 2.7809 2.2247
3.3095 3.3095 3.1364 2.7809 2.2247
2.8288 2.8288 2.6836 2.3830 1.9064
1.7839 1.7839 1.6968 1.5131 1.2105
0 0 0 0 0 ]
解得：
形式。边值条件还可以有其它两点边值问题一维问题一、椭圆型方程
)(,)(
)(,)(
.1
buau
bxafqu
dx
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（略）。更进一步提出三维问题
。边值条件还有其它形式的边界。为题二阶椭圆型方程边值问二维问题
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导方程）二、抛物型方程（热传
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一维线性问题
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二维线性问题以及三维问题等三、双曲型方程
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对流扩散方程一维线性问题
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波动方程二维线性问题以及三维问题等算法的基本构造原理
mjnijcyhiax
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的矩形网格剖分为例：以矩形区域的网格化（网格剖分）区域
(i,j)
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例如：
差分近似代替微分等等！
的差分格式。
两点边值问题
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buau
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§ 7.1 两点边值问题的解法
( 1 )?iiiiii
ii
i
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( 2 ) nuu,0
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2/12/1
2/1
0
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其中
由式（ 1）和（ 2）得到线性方程组：
其它边值条件下的计算格式（略）
的求解方法。
两点边值问题
)(,)(
)(),,,(
.2
buau
bxauuxfu
差分法：
( 1 )?)2,,(][1 1111 h uuuxfh uuh uuh iiiiiiii
( 2 ) nuu,0
解上述非线性方程组即得。
解非线性方程组是一个很困难的事，下面给出另一解法 — 称 为打靶法。
把上述边值问题变为初始问题：
)(
)(,)(
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bxa
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待定s
sauau
bxauuxfu
)(,)(
)(),,,(
。满足初始问题的解对于给定的),(),,( sbusxus
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§ 7.2 椭圆型方程第一边值问题的解法
的边界。为椭圆型方程边值问题
),,(),(
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yxyxu
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的近似值记划分的最小矩形包含区域一、将区域网格化
称为边界点。）网格线与边界的交点（
正则内结点；内结点。否则，称为非
，则称此结点为正则都属于、（、（（
、个结点（且其相邻的）如果一个结点（（
个步长称为相邻结点；）两个结点之间相距一（
为结点；）两组平行线的交点称（
定义：
4
3
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1
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现在是要求出正则和非正则内结点上的数值解！！！
二、建立离散化方程
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设正则内结点的集合
1、正则内结点方程
( 1 )?
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2、非正则内结点方程不是边界点时，
正好是边界点时是非正则内结点设
)2(;),(,,)1(
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( 2 ) jiu
ji
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)2(?
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Bi
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或联立方程 (1)、（ 2)即可求出),(,
,jiji yxu
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其中则离散化方程为：
取正方形网格：
u =[ 3.3095 3.3095 3.1364 2.7809 2.2247
3.3095 3.3095 3.1364 2.7809 2.2247
2.8288 2.8288 2.6836 2.3830 1.9064
1.7839 1.7839 1.6968 1.5131 1.2105
0 0 0 0 0 ]
解得：
