第一章 气体动理论
§1 理想气体的压强和温度一．理想气体的微观模型
1．忽略分子大小（看作质点）
分子线度?分子间平均距离
2．忽略分子间的作用力（分子与分子或器壁碰撞时除外）
3．碰撞为完全弹性
4．分子服从经典力学规律
二．平衡态理想气体分子的统计假设
1．按位置的均匀分布
分子在各处出现的概率相同（重力不计）。容器内各处分子数密度相同：
n = dN/dV = N/V
2．速度按方向的分布均匀
由于碰撞,分子往各方向运动的概率相同
其中
(v2x = (v21x + v22x + … + v2Nx)/N
(v2 = (v2x +(v2y +(v2z
三．理想气体压强公式
推导：
速度分组
一个分子碰壁一次对壁的冲量
面光滑(在y,z方向冲量＝0
全部分子在dt时间内对dA的冲量
压强
压强与平均平动动能的关系
压强是大量分子碰撞器壁单位面积作用力的统计平均值四．温度的微观含义
1．温度和平均平动动能的关系
2．温度的统计意义
标志分子无规运动的剧烈程度
只能用于大量分子的集体
3．方均根速率-分子速率的一种描述
§2 能量均分定理,理想气体的内能一．自由度决定物体空间位置所需独立坐标的数目
自由质点：平动自由度t = 3
刚体绕通过质心轴的转动：转动自由度 r = 3
能量按自由度的均分定理
1.定理（用经典统计可证明）
在温度为T的热平衡态下，物质（气体，液体和固体）分子的每个自由度都具有相同的平均动能 .
平均平动动能
平均转动动能
平均振动能（动能＋势能）：
假定是简谐振动：平均动能＝平均势能
总自由度
其中
t—平动自由度
r—转动自由度
s—振动自由度总能量,
2．重要情况单原子分子（He，Ar）：
刚性双原子分子（H2，O2）：
绕对称轴的转动无意义(不计(?自由度
刚性多原子分子（H2O）：
晶格点阵上的离子：
二．理想气体的内能
1．内能:分子动能，分子中原子间的势能和分子间势能的总和
2．理想气体内能分子间势能为零(内能只包括分子的平动，转动，振动动能和振动势能.
内能只与T有关。若气体有N个分子,则
其中N为气体的分子总数
§3 麦克斯韦速率分布律一．速率分布函数
把速率分成很多相等的间隔(v,统计每(v间隔内的分子数(N
速率分布函数
dNv：v附近v～v+dv内的分子数
dNv的物理意义有两个等价的描述:
在速率v附近单位速率区间内的分子数占分子总数的百分比。
一个分子的速率处于v附近单位速率区间的概率—“概率密度”
“归一化”
速率v1(v2区间的分子数
取平均值的两种方法
二．麦克斯韦速率分布律
1859年Maxwell用概率论证明了:平衡态下理想气体分子的速率分布函数为
速率分布曲线与温度的关系三种速率最概然速率
2.平均速率
由麦克斯韦速率分布函数得
3.方均根速率
§4 气体分子的平均自由程一．分子模型
无相互作用的刚性球 (有效直径ｄ)
碰撞频率
一个分子单位时间内所受碰撞的平均次数
设分子A以平均相对速率 运动，其他分子不动。以A的轨迹为轴线，以ｄ为半径作长为(t圆柱体。
凡分子中心在柱体内的分子都将与A相碰。圆柱体体积,(d 2(t,柱体内分子数,(d 2(t n，(n—数密度)。
碰撞频率
(Z = ((d 2(t n)/(t = (d 2 n
平均相对速率和平均速率的关系为
标准状况下,空气分子
(Z = 6.5(109 次/秒
（每秒碰65亿次! ）
三．平均自由程
气体分子在相邻两次碰撞间飞行的平均路程
对于理想气体
标准状况下,空气分子
ｄ= 3.5(10-10m,((= 6.9(10-8m
(((约为ｄ的200倍)
低压下,P < 10-4 mmHg 时
(( > 一般容器线度((1m)
认为,(( ( 容器线度
一、本章要求掌握理想气体状态方程，并能熟练的加以应用。
理解理想气体的温度公式和压强公式，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。
理解自由度概念，掌握能量按自由度均分定理，并能熟练用于理想气体内能的计算。
理解速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，会计算理想气体平衡态下的三种特征速率（最概然速率，平均速率，方均根速率）。
理解气体分子平均碰撞频率和平均自由程。
二、知识系统图
例题
1．说明下列各式的物理意义：。
答：：气体分子热运动的每个自由度的平均能量。
：每个气体分子热运动的平均平动动能。
：每个气体分子热运动的平均总动能。
：mol的理想气体内能。
2．当盛有理想气体的密封容器相对某惯性系运动时，能否说容器内分子的热运动速度相对这参照系也增大了，从而气体的温度也因此而生高了，为什么？假如该容器突然停止运动，容器内气体的压强﹑温度是否有变化?为什么?
答:(1)公式揭示了温度的微观本质，即温度仅是分子热运动的平均运动的量度，与是否有定向运动无关，所以当容器发生定向运动时，虽然每个分子此时在原有的热运动上叠加了定向运动，也不会因此而改变分子的热运动状态，所以气体的温度不会生高。
(2)容器突然停止运动时，分子的定向运动动能经过分子与容器壁的碰撞和分子间的互相碰撞从而发生能量的转化，定向运动的机械能转化为分子热运动能，气体的内能增加了，所以气体的温度生高了，由于容积不变，所以气体的压强也增大了。
3．说明下列各式的物理意义
（1） (2) (3) (4)
答：:速率分布在附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比。
:表示速率在区间内的分子数占总分子数的百分比。
:表示速率在区间内的分子数。
：表示速率在区间内的分子数占总分子数的百分比。
4．若气体分子速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分面积相等，则图中的意义是什么？
答：由曲线可知，图中A部分面积
B部分的面积
的意义为比小的分子数占总分子数的百分率，而的意义为速率比大的分子数占总分子数的百分率。由已知条件，可得出图中的意义表示气体在该平衡态下，分子速率比大的分子数与比小的分子数相等，各占总分子数的一半。
5．氢和氦的温度相同，摩尔数相同，那么这两种气体的分子的平均动能是否相等？
分子的平均平动动能是否相等？
内能是否相等？
解：因为分子的平均动能 =，分子的平均平动动能=，内能=
而对于H2：i=5，对于He：i=3
又两种气体的摩尔数、温度均相同，
故 两种气体分子的平均动能不等；
两种气体分子的平均平动动能相等；
两种气体分子的内能不相等。
6．储有理想气体的容器以速率运动。假设容器突然停止，则容器中气体的温度将会上升。试讨论下列两种情况下哪种情况气体温度升高得多？
1）容器中放的是氦气；
2）容器中放的是氢气。
答：当容器突然停下时，容器内气体机械运动的能量转化为气体的内能，使气体的内能增加，因而气体的温度将升高。
设容器中气体的质量为。若容器中放的是氦气，因氦气是单原子分子理想气体，分子自由度为3，所以有
若容器中放的是氢气，因氢气是双原子分子理想气体，分子自由度为5，所以有
因为，必有。所以当容器突然停下时氦气的温度比氢气的温度升高得多。
习作题某容器内分子数密度为1026m-3，每个分子的质量为3×10-27kg，设其中分子数以速率=200m·s-1垂直地向容器的一壁运动，而其余分子或者离开此壁﹑或者平行此壁方向运动，且分子与器壁的碰撞为完全弹性，则每个分子作用于器壁的冲量ΔP=?；
每秒碰在器壁单位面积上的分子数n0=?;
作用在器壁上的压强p=?。
有一瓶质量为M的氢气（视为刚性双原子分子的理想气体），温度为T，求
1)氢分子的平均平动动能；
2)氢分子的平均动能；
3)该瓶氢气的内能。
质量相等的氧和氦，分别盛在两个容积相等的容器内，在温度相同的情况下，求
1)氧和氦的压强之比；
2)氧分子和氦分子的平均平动动能之比；
3)氧气和氦气的内能之比。
一氧气瓶的容积为，充入氧气的压强为，用了一段时间后压强降为，求瓶中剩下的氧气的内能与未用前氧气的内能之比。
储有氢气的容器以某速度做定向运动，假设该容器突然停止，全部定向运动动能都变为气体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升0.7K，求容器做定向运动的速度v，容器中气体分子的平均动能增加了多少J？（摩尔气体常量=8.31J·mol-1·K-1，玻尔兹曼常量=1.38×10-23J·K-1，氢气分子可视为刚性分子。）
在三个容器中，装有不同温度的同种理想气体，设其分子数密度之比，方均根速率之比。求其算术平均速率之比和压强之比。
各自处于平衡态的理想气体，温度相同，分子质量分别为m1、m2。已知两种气体分子的速率分布曲线如图所示，问m1和m2哪一个大？为什么？
图中的两条曲线分别表示氢、氧两种气体在相同温度时分子按速率的分布，则氢分子的最可几速率为 ；氧分子的最可几速率 。
用总分子数N﹑气体分子速率v和速率分布函数f(v)表示下列各量：
速率大于的分子数；
速率大于的那些分子的平均速率；
多次观察某一分子的速率,发现其速率大于的几率。
一定量理想气体先经等容过程，使其温度升高为原来的四倍，再经等温过程，使体积膨胀为原来的两倍，问其分子的平均自由程和平均碰撞频率变为原来的几倍？
