量子物理基础
§1 黑体辐射和普朗克的能量子假说一．基本概念热辐射定义分子包含带电粒子，分子的热运动使物体辐射电磁波。这种辐射与温度有关，称为热辐射。
1)基本性质温度((辐射能量((辐射中波长短的成分(
例如：加热铁块，随着温度的升高看不出发光(暗红(橙色(黄白色
2)平衡热辐射当物体辐射的能量等于在同一时间内所吸收的能量，物体和辐射场达到热平衡，称为平衡热辐射。这时物体的温度固定。以下只讨论平衡热辐射。
2,单色辐出度（单色辐射本领）M(
单位时间内从物体单位表面发出的波长在 (附近单位波长间隔内的电磁波的能量。SI单位为W/m3。
3,辐出度（总辐射本领）M（T）
二．黑体辐射的基本规律
1．黑体
1)黑体：能完全吸收各种波长电磁波而无反射的物体
2)物体辐射的电磁波和吸收的电磁波相同（实验结果）(黑体能完全辐射各种波长的光(M( 最大且只与温度有关而和材料及表面状态无关
3)利用黑体可撇开材料的具体性质来普遍地研究热辐射本身的规律
2,维恩设计的黑体不透明材料空腔开一个面积远小于空腔内表面积的小孔。小孔能完全吸收各种波长的入射电磁波而成为黑体。
3．斯特藩—玻耳兹曼定律黑体的辐出度与黑体温度的四次方成正比 M(T)=(T 4
其中 ( = 5.67(10-8 W/m2K4
4．维思位移定律
黑体辐射光谱中辐射最强的波长 (m 与黑体温度T 成反比
(m = b/T
其中
b = 2.897756×10-3 m·K
斯特藩—玻耳兹曼定律和维思位移定律是测量高温、遥感和红外追踪等的物理基础。
三．经典物理的困难
由经典理论导出的M((T)～(公式都与实验结果不符合！
空腔壁产生的热辐射可想象成以壁为节点的许多驻波。
1)维恩公式（假定驻波能量按频率的分布类似于麦克斯韦速度分布率）
—在长波段与实验不符合！
2)瑞利—金斯公式（假定驻波的平均能量为kT）—在波长趋于零时，单色辐出度趋于无限大。“紫外灾难”。
四．普朗克的能量子假说和黑体辐射公式
1．“振子”的概念（1900年以前）
1)物体可用无数个有节奏跳动的粒子（振子）代表
2)经典理论：振子的能量取连续值加热或光照(振子吸收任意值的能量振子振动剧烈程度降低(辐射任意值的能量
3)普朗克(M.Planck)的“离散化”方法,“离散(连续”的失败,普朗克假定
2,普朗克假定（1900）
对频率为( 的电磁辐射，物体只能以 h( 为能量单位发射或吸收它。即：物体发射或吸收电磁辐射只能以能量“量子”（quantum）方式进行，每个量子的能量为
( = h(
其中
h = 6.6260755×10 -34 J·s
是普朗克常数。
普朗克公式
“能量不连续”与经典理论完全不相容。但由此得出的普朗克公式
在全波段与实验结果惊人符合!
1)短波区：普朗克公式(维恩公式
2)长波区：普朗克公式(瑞利—金斯公式
§2 光电效应和爱因斯坦的光量子论一．光电效应的实验规律
1．光电效应
金属及其化合物在电磁辐射下发射电子的现象称为光电效应，所发射的电子称为光电子。
2．实验装置
GD为光电管，光通过石英窗口照射阴极K，光电子从阴极表面逸出。光电子在电场加速下向阳极A运动，形成光电流。
实验规律
（1）截止电压Uc与 入射光频率 ( 呈线性关系，与入射光强无关
当电压 U=0 时，光电流并不为零；只有当两极间加了反向电压 U =－Uc 时，光电流 i 才为零(光电子具有最大初动能。Uc 称为截止电压。
Uc= K( - U0
光电子的最大初动能
光电子的最大初动能随入射光频率的增加而增加，与入射光强无关。
（2）只有当入射光频率(大于一定的频率(0时，才会产生光电效应
当入射光频率( <(0 时，无论光强多大都没有光电子产生。频率(0 称为这种金属的截止频率或红限频率。
（3）光电效应是瞬时发生的
只要 ( > (0，无论光多微弱，从光照射阴极到光电子逸出的响应时间都不超过10-9s。
（4）饱和光电流强度 im 与入射光强 i成正比
当光电流达到饱和时，阴极K上逸出的光电子全部飞到了阳极A上。单位时间内从金属表面逸出的光电子数与入射光强成正比。
二．经典物理的困难
按照光的经典电磁理论：
光强与频率无关，电子吸收的能量也与频率无关，更不存在截止频率！
光波的能量分布在波面上，为克服逸出功电子逸出金属表面时克服阻力做的功），阴极电子积累能量需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生！
三．爱因斯坦的光量子论
1．爱因斯坦假定（1905）：电磁辐射由以光速c运动的局限于空间某一小范围内的光量子（光子）组成，每一个光子的能量(与辐射频率( 的关系为
( = h(
其中h是普朗克常数。光子具有“整体性”。一个光子只能“整个地”被电子吸收或放出。
2．对光电效应的解释光照射到金属表面，一个光子的能量可立即被金属中的自由电子吸收。但只有当入射光的频率足够高，以致每个光量子的能量h(足够大时，电子才有可能克服逸出功A逸出金属表面。逸出电子的最大初动能为
当 (＜A/h时，电子的能量不足以克服逸出功而发生光电效应。存在红限频率
金属
钨
钙
钠
钾
铷
铯
红限(0
（1014Hz）
10.95
7.73
5.53
5.44
5.15
4.69
逸出功A（eV）
4.54
3.20
2.29
2.25
2.13
1.94
三．分析光电效应所产生的光电子能谱，是一种有效的表面分析手段。
1907年爱因斯坦和德拜（P．J．Dedye）把能量不连续的概念应用于固体中的振动，成功地解释了当温度趋近绝对零度时固体比热趋于零的现象。到此，普朗克提出的能量不连续的概念才普遍引起注意。
§3 康普顿散射 光的波粒二象性
康普顿1923年研究了X射线与石墨的散射
一．实验规律在散射的X射线中，除有波长与入射射线相同的成分外，还有波长较长的成分。波长的偏移只与散射角( 有关
其中，( 和 (0 分别代表散射和入射波波长，而
为电子的康普顿波长，m0为电子的静止质量。波长的偏移可写成
只有当入射波长(0与(c可比拟时，康普顿效应才显著。因此选用X射线观察。
二．康普顿效应进一步验证了光的粒子性
1．散射光波长改变，无法用经典电磁波理论解释。
2．康普顿的解释
1)模型：“X射线光子与静止的自由电子的弹性碰撞”。与能量很大的入射X光子相比，石墨原子中结合较弱的电子近似为“静止”的“自由”电子。
2)由光的量子论（( = h(）和质能关系（(2= p2c2+m02c4），注意到光子的“静止质量”m0 = 0，得光子的动量
3)假定在碰撞过程中能量与动量守恒
解出的波长偏移
和实验结果完全符合！
4)反冲光子把部分能量传给电子，光子的能量((散射X射线的频率(，波长(
5)光子与石墨中被原子核束缚很紧的电子的碰撞，应看做是光子和整个原子的碰撞。原子的质量远大于光子的质量(在弹性碰撞中散射光子的能量(波长)几乎不改变，故在散射线中还有与原波长相同的射线。
3．康普顿散射实验的意义
1)首次实验证实了爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设
2)支持了“光量子”概念，证实了普朗克假设 ( = h(
3)证实了在微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍然是成立的
三．光的波粒二象性
1．近代认为光具有波粒二象性
1)在有些情况下，光突出显示出波动性；而在另一些情况下，则突出显示出粒子性。
2)这里的粒子不是经典粒子，波也不是经典电磁波！
2．基本关系式
式中( = h/2(，波矢量 ，圆频率(= 2((。
§4 实物粒子的波动性一．德布洛意假定（1924）
实物粒子具有波动性。实物粒子的能量 (和动量与和它相联系的波的频率(和波长(的关系和光子的一样称为德布洛意关系。与粒子相联系的波称为德布洛意波或概率波。
二．实验验证
1．电子通过金多晶薄膜的衍射实验（汤姆逊1927）
2．电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验（约恩逊1961）
3．还验证了质子、中子和原子等实物粒子都具有波动性，并满足德布洛意关系。
例题1．质量m=0.01kg，速度v=300m/s的子弹的德布洛意波长为
h极其微小(宏观物体的波长小得实验难以测量“宏观物体只表现出粒子性”
三．波函数和概率波
薛定谔1925年提出用波函数描述粒子运动状态。玻恩1926年对波函数作出统计诠释，给出概率波概念。
1．玻恩假定概率波的波函数 是描述粒子在空间的几率分布的“概率振幅”。波函数的模方
代表时刻t，在空间 点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。而时刻t在空间 点附近dV体积内发现粒子的概率为
其中 是 的复数共轭。
2．自由粒子平面波波函数
经典的平面波为，参考下图可写成 。
利用德布洛意关系可得在量子力学中描述自由粒子的平面波波函数
因，则在空间各点发现自由粒子的概率相等。
3．用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
（1）入射强电子流
1)单位时间许多电子通过双缝，底片上很快出现衍射图样(许多电子在同一个实验中的统计结果
（2）入射弱电子流
1)底片上出现一个一个的点子(电子具有粒子性
2)电子几乎一个一个地通过双缝(衍射图样不是电子相互作用的结果
3)开始时点子无规分布，随着电子增多，逐渐形成衍射图样(衍射图样来源于“一个电子”所具有的波动性
4)一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果
4．波函数满足的条件统计诠释要求，作为可以接受的波函数应满足
（1）自然条件：单值、有限和连续
（2）归一化条件粒子在空间各点出现的几率总和为l，波函数应归一化
四．状态叠加原理
基本假定：若体系具有一系列可能状态
则它们的线性组合
也是该体系的一个可能状态。其中组合系数 为任意复常数。若叠加中各状态间的差异无穷小，则应该用积分代替求和。
§5 不确定关系
经典粒子运动的概念在多大程度上适用于微观世界？海森伯于1927年根据对一些理想实验的分析和德布洛意关系得出“测不准关系”：粒子的坐标和动量不能同时“测准”
借助电子单缝衍射实验的粗略推导：一束动量为p的电子通过狭缝 (x后散布在一衍射角(1范围内。通过狭缝后电子动量x分量px的不确定范围为
注意到
（衍射反比关系）
（德布洛意关系）
得到不确定关系
由波函数的统计诠释可严格证明:微观粒子的坐标和动量是一对不能同时取确定值的物理量(“不能同时测准”是粒子（光子和实物粒子）波粒二象性的必然后果(“不确定关系”
当粒子被局限在x方向的一个有限范围?x内时，它所相应的动量分量px必然有一个不确定的范围?px，两者的乘积满足不确定关系。
能量和时间也是一对不能同时取确定值的物理量
其中(E—能量取值的不确定范围，(t—时间取值的不确定范围。
能级自然宽度和寿命：设体系处于某能量状态的寿命为，则该状态能量的不确定程度（能级自然宽度）
假定原子中某一激发态的寿命t ~10 -8 s
1 理论上计算平均寿命(估计能级宽度
2 实验上测量能级宽度(估计不稳态的寿命例1．原子（线度～1埃）中电子运动不存在“轨道”。
设电子的动能 T =10 eV，平均速度
速度的不确定程度
与速度本身数值属同一数量级，故轨道概念不适用!
例2．威尔逊云室是一个充满过饱和蒸气的容器。射入的高速电子使气体分子或原子电离成离子。以离子为中心过饱和蒸气凝结成小液滴，在强光照射下，可看到一条白亮的带状的痕迹—粒子的径迹。
1)径迹的线度～10-4cm，(x≈10-4cm (动量的不确定程度
2)云室中的电子动能T～108 eV (电子平均动量
3)显然
p＞＞(p
在威尔逊云室中，电子坐标和动量的取值基本上可以认为是确定的，可以使用“轨道”的概念。
§6 薛定谔方程薛定谔方程描述质量为m的非相对论实物粒子
（，或 ）在势场中的状态随时间的变化，反映了微观粒子的运动规律。
动力学方程不是推导出来的，而是依据实验事实和基本假定“建立”的。是否正确则由实验检验。
一．自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子波函数随时间和坐标变化的关系（自由粒子的薛定谔方程）
推广到势场U（x，t）中的粒子
薛定谔方程为
三维情况：
§7 定态薛定谔方程分离变量
若U(x)与时间无关，则薛定谔方程可分离变量。设
代入薛定谔方程
两边除
式中的E是与x和t均无关的常数。
～（1）
～（2）
2．振动因子方程（1）的解为一振动因子
E代表粒子的能量。
3定态薛定谔方程
§9 势阱中的粒子和一维散射问题
一维无限深势阱中的粒子
1.势能函数
1)阱内
2)阱外和
3)粒子在范围内自由运动，但不能到达或范围例：金属内部自由电子的运动的近似描述
2定态薛定谔方程
1)阱外：
2)阱内：
令
则阱内方程为
3分区求通解
1)阱外,
2)阱内,
式中A和B是待定常数。
5．由波函数自然条件和边界条件定特解
,（B ( 0）
(1)能量本征值
1)能量取分立值（能级）(能量量子化
2)当时 (能量连续
3)最低能量（零点能） — 波动性的表现。
(2)本征函数系
是以 和 为节点的一系列驻波
(3)本征函数系的正交性
直接计算可验证
(4)概率密度
1)经典：粒子出现在阱内各点的概率相同
2)当时，量子(经典
例题．在阱宽为的无限深势阱中，粒子的状态为
，
多次测量其能量。问每次可能测到的值和相应概率？
解：把波函数写成按无限深势阱哈密顿量的本征函数的展开形式
可能测到的值
相应概率
1/2
1/2
二．一维散射问题粒子从处以确定能量E入射，给定势函数U(x)，解定态薛定谔方程，求粒子的波函数和分布。
1．梯形势
薛定谔方程：
通解：
由(，得
1)特解：
，（E(U＝0,振动解）
入射波 反射波
,（E(U＝U0,衰减解）
2)电子逸出金属表面的模型
量子：电子透入势垒，在金属表面形成一层电子气。
经典：电子不能进入U＞E（总能量）区域，（因动能≮0）。
2．隧道效应（势垒贯穿）
透射系数T：粒子穿透势垒的概率
例：放射性核的(粒子释放
§10 一维谐振子一．定态薛定谔方程
1．能量本征值
用级数展开解上述方程。为使波函数满足单值、连续、有限条件，能量本征值只能取
1)能量间隔,跃迁辐射量子的能量
2)零点能：
2．本征函数和概率密度
最低三个能级对应的波函数
其中
2本征函数系的正交性
直接计算可知
3．例：对一个质量1g，弹簧劲度为0.1N/m的宏观谐振子，经计算（自己完成）
1)振子能量应的量子数 n～1025
2)能级间隔 (E～10-33J (能量取连续值！
二．应用
1物理模型：热辐射机制；辐射场的量子性；原子，分子，原子核的振动
2某些物理问题的零级近似
§11氢原子
1．球坐标系定态薛定谔方程
2．分离变量求解
（1）能量本征值
1)氢原子的能量取决于n，称n为主量子数
2)电子束缚于库仑势阱中(能量量子化
3)当时，：电子处于电离态
（2）氢原子光谱
频率条件：
当电子从能级Ei 跃迁到能级Ef（Ei(Ef）时，发射光子的频率为
相应的波数为
若Ei(Ef则对应吸收光子。
赖曼系（紫外区）
巴尔末系（可见区）
§12 电子的自旋 四个量子数一．电子的自旋（Spin）
斯特恩－盖拉赫实验（1921）
1 电子轨道运动产生磁矩。轨道角量子数为l的原子束经不均匀磁场后，由于磁矩的不同取向，将分离成(2l＋1)个空间成分。
2 基态银原子的角动量等于其价电子的角动量l＝0，轨道磁矩=0。但基态银原子束分离成两个空间成分，射线的偏转表明：电子除具有轨道角动量外还应具有自旋角动量。
1 设自旋角量子数为S，由角动量的性质和实验结果
2) 自旋是一种相对论量子效应，无经典对应。
二．四个量子数
原子中的电子运动由四个量子数决定主量子数n,n=1,2,3,…
决定氢原子中电子的能量，大体决定其他原子中电子的能量。
2 轨道角量子数l,l=0,1,2,…,(n-1)
当n给定，l可取n个值。决定了电子的轨道运动。影响原子在外磁场中的能量。
3 轨道磁量子数ml,ml=0,(1,(2,…,( l
当l给定，ml 可取（2l+1）个值。对应轨道角动量在外磁场中（2l+1）种指向。影响原子在外磁场中的能量。
4 自旋角量子数（一般不列出）
自旋磁量子数ms,ms=(1/2。自旋在外磁场中的两种指向。影响原子在外磁场中的能量。
一、基本要求理解光电效应和康普顿效应的实验规律以及爱因斯坦的光子理论对这两个效应的解释。理解光的波粒二象性。
理解描述物质波的物理量(波长、频率)和粒子性的物理量(动量、能量)间的关系。
3．理解不确定性原理。
4．理解波函数是概率波和波函数满足的薛定谔方程。理解粒子的状态可以用量子数来描述。
二、知识系统图
例题
1．质量为me的电子被电势差U=100kV的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长。若不用相对论计算，则相对误差是多少？
解：用相对论计算由求出速度v，代入中求出动量p，把p代入中计算得：
m
若不考虑相对论效应则 求出v代入p=m0v中，求出动量p，把p代入中计算得,
m
相对误差,。
从题中会看到：对于微观粒子，由于其质量很小，速度会很大，原则上讲应该考虑相对论效应，但是用100000伏特的电压加速电子，如果不考虑相对论效应，误差仅为4.7%，一般来说误差不是很大。相对论粒子与非相对论粒子之间并没有严格的界限，要视具体的情况而定。
2．波的速度，而根据德布罗意的物质波假设：，。对非相对论粒子，，于是，好象物质波的传播速度跟不上粒子的传播速度，如何解释之？
讨论：事实上一个粒子的波函数并不是平面简谐波的波函数，它可以看成是许多频率相近的多个简谐波的叠加，我们为了方便只考虑两个简谐波叠加的情况。，
利用数学知识，并考虑到：，，
式中是简谐波的位相，由它可以得到简谐波的相速。
式中 是两个简谐波叠加以后的振幅变化的位相（实际上就是“拍”的位相），由它可以得到一个速度,这个速度叫群速，对非相对论粒子，。
所以物质波的群速度才是粒子运动的速度。
3．试证：如果确定一个低速运动的粒子的位置时，其不确定量等于这个粒子的德布罗意波长，则同时确定这个粒子的速度时，其不确定量将等于这粒子的速度。（不确定关系式）
本题的证明并不困难证明：不确定关系式,
已知 ，则
又因为,
所以,
不难发现：不确定关系式应该为，若按照此式。题中的结果好象并不正确，但是应该注意到：在实验仪器100%精确的情况下，不确定关系式中等号才成立，实际中经常用不确定关系式去估算某些量值，对于微观粒子，其线度很小，速度通常很大，按照现有的实验条件，估算时只要数量级正确就够了，通常不苛求不确定关系式。
4．一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，描写粒子状态的波函数为，求：在区间发现粒子的几率。
讨论：描写粒子状态的波函数并没有实际的物理意义，它表明物质波是几率波，波函数可以乘以任何一个常数，仍描述原来的粒子，但是它的模方是几率密度，对全空间的积分应该为1（归一化条件），这就要求算几率时应该用描写粒子状态的归一化的波函数。所以本题首先要求出归一化的波函数：
即,
解得,
即求得归一化的波函数为：
在区间发现粒子的几率为：
5．太阳的总辐射功率P s=3.9×1026W。以r表示行星绕太阳运动的轨道半径。试根据热平衡辐射的要求证明：行星表面的温度T应为：，其中为斯特藩-玻耳兹曼常量（行星辐射按黑体计）。
解：太阳的总辐射功率P s（单位时间内辐射出的总能量）。
轨道上单位时间内、单位面积上辐射的能量为：。
行星单位时间内吸收的能量为：（行星吸收能量的有效面积为,为行星半径）。
行星单位时间内辐射的能量为：。
根据黑体热平衡辐射的要求可得：
于是：
6．图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线 2.0
（1）求证对不同材料的金属，AB线的斜率相同。
（2）由图中数据求出普朗克恒量。
解：（1）由得： 0 5.0 10.0 υ(104HZ)
（恒量）所以对不同材料的金属，曲线的斜率相同。
（2）
7．用波长为1的光子做康普顿散射实验。
（1）散射角等于900 时的康普顿散射波长是多少？
（2）分配给这个反冲电子的动能多大？
（普朗克恒量，电子的静止质量）
解：（1）康普顿散射光子波长改变：
（2）根据能量守恒：
即,
所以,
8．已知电子的德布罗意波长与光子的波长相同。
（1）它们的动量大小是否相同？
（2）它们的总能量是否相同？
答：（1）电子和光子的动量大小相同。
因为对两者都成立，而相同，故p相同。
（2）电子与光子的总能量不同。电子的能量
而 ,代入 可解出：
所以
光子的能量,
于是,
可见,
9．处于静止状态的自由电子能否吸收光子，把全部的能量来增加自己的动能？
答：处于静止状态的自由电子不能吸收光子，把全部的能量来增加自己的动能，因为假设原来静止的自由电子与光子碰撞后吸收光子，并以速度v 运动，则根据能量守恒定律有：
解出电子吸收光子后的运动速度为：
又根据动量守恒定律有：
解出电子吸收光子后的运动速度为：
显然，用动能守恒定律得到的速度与用动量守恒定律得到的速度不同，这说明自由电子吸收光子的过程不能同时遵守动能守恒定律和动量守恒定律。因而这一过程不可能同时发生。
10．光子的波长为如果确定此波长的精确度为，试求此光子位置的不确定量。
解：光子动量，则动量数值的不确定量为
根据不确定性关系式得：
故
11．根据泡利不相容原理，在主量子数=2的电子壳层上最多可能容纳多少电子？写出每个电子的四个量子数之值。
答：在=2的电子壳层上最多可容纳8个电子。
它们所具有的四个量子数（）分别为：
（1）2，0，0，1/2； （2）2，0，0，-1/2；
（3）2，1，0，1/2； （4）2，1，0，-1/2；
（5）2，1，1，1/2； （6）2，1，1，-1/2；
（7）2，1，-1，1/2； （8）2，1，-1，-1/2
§1 黑体辐射和普朗克的能量子假说一．基本概念热辐射定义分子包含带电粒子，分子的热运动使物体辐射电磁波。这种辐射与温度有关，称为热辐射。
1)基本性质温度((辐射能量((辐射中波长短的成分(
例如：加热铁块，随着温度的升高看不出发光(暗红(橙色(黄白色
2)平衡热辐射当物体辐射的能量等于在同一时间内所吸收的能量，物体和辐射场达到热平衡，称为平衡热辐射。这时物体的温度固定。以下只讨论平衡热辐射。
2,单色辐出度（单色辐射本领）M(
单位时间内从物体单位表面发出的波长在 (附近单位波长间隔内的电磁波的能量。SI单位为W/m3。
3,辐出度（总辐射本领）M（T）
二．黑体辐射的基本规律
1．黑体
1)黑体：能完全吸收各种波长电磁波而无反射的物体
2)物体辐射的电磁波和吸收的电磁波相同（实验结果）(黑体能完全辐射各种波长的光(M( 最大且只与温度有关而和材料及表面状态无关
3)利用黑体可撇开材料的具体性质来普遍地研究热辐射本身的规律
2,维恩设计的黑体不透明材料空腔开一个面积远小于空腔内表面积的小孔。小孔能完全吸收各种波长的入射电磁波而成为黑体。
3．斯特藩—玻耳兹曼定律黑体的辐出度与黑体温度的四次方成正比 M(T)=(T 4
其中 ( = 5.67(10-8 W/m2K4
4．维思位移定律
黑体辐射光谱中辐射最强的波长 (m 与黑体温度T 成反比
(m = b/T
其中
b = 2.897756×10-3 m·K
斯特藩—玻耳兹曼定律和维思位移定律是测量高温、遥感和红外追踪等的物理基础。
三．经典物理的困难
由经典理论导出的M((T)～(公式都与实验结果不符合！
空腔壁产生的热辐射可想象成以壁为节点的许多驻波。
1)维恩公式（假定驻波能量按频率的分布类似于麦克斯韦速度分布率）
—在长波段与实验不符合！
2)瑞利—金斯公式（假定驻波的平均能量为kT）—在波长趋于零时，单色辐出度趋于无限大。“紫外灾难”。
四．普朗克的能量子假说和黑体辐射公式
1．“振子”的概念（1900年以前）
1)物体可用无数个有节奏跳动的粒子（振子）代表
2)经典理论：振子的能量取连续值加热或光照(振子吸收任意值的能量振子振动剧烈程度降低(辐射任意值的能量
3)普朗克(M.Planck)的“离散化”方法,“离散(连续”的失败,普朗克假定
2,普朗克假定（1900）
对频率为( 的电磁辐射，物体只能以 h( 为能量单位发射或吸收它。即：物体发射或吸收电磁辐射只能以能量“量子”（quantum）方式进行，每个量子的能量为
( = h(
其中
h = 6.6260755×10 -34 J·s
是普朗克常数。
普朗克公式
“能量不连续”与经典理论完全不相容。但由此得出的普朗克公式
在全波段与实验结果惊人符合!
1)短波区：普朗克公式(维恩公式
2)长波区：普朗克公式(瑞利—金斯公式
§2 光电效应和爱因斯坦的光量子论一．光电效应的实验规律
1．光电效应
金属及其化合物在电磁辐射下发射电子的现象称为光电效应，所发射的电子称为光电子。
2．实验装置
GD为光电管，光通过石英窗口照射阴极K，光电子从阴极表面逸出。光电子在电场加速下向阳极A运动，形成光电流。
实验规律
（1）截止电压Uc与 入射光频率 ( 呈线性关系，与入射光强无关
当电压 U=0 时，光电流并不为零；只有当两极间加了反向电压 U =－Uc 时，光电流 i 才为零(光电子具有最大初动能。Uc 称为截止电压。
Uc= K( - U0
光电子的最大初动能
光电子的最大初动能随入射光频率的增加而增加，与入射光强无关。
（2）只有当入射光频率(大于一定的频率(0时，才会产生光电效应
当入射光频率( <(0 时，无论光强多大都没有光电子产生。频率(0 称为这种金属的截止频率或红限频率。
（3）光电效应是瞬时发生的
只要 ( > (0，无论光多微弱，从光照射阴极到光电子逸出的响应时间都不超过10-9s。
（4）饱和光电流强度 im 与入射光强 i成正比
当光电流达到饱和时，阴极K上逸出的光电子全部飞到了阳极A上。单位时间内从金属表面逸出的光电子数与入射光强成正比。
二．经典物理的困难
按照光的经典电磁理论：
光强与频率无关，电子吸收的能量也与频率无关，更不存在截止频率！
光波的能量分布在波面上，为克服逸出功电子逸出金属表面时克服阻力做的功），阴极电子积累能量需要一段时间，光电效应不可能瞬时发生！
三．爱因斯坦的光量子论
1．爱因斯坦假定（1905）：电磁辐射由以光速c运动的局限于空间某一小范围内的光量子（光子）组成，每一个光子的能量(与辐射频率( 的关系为
( = h(
其中h是普朗克常数。光子具有“整体性”。一个光子只能“整个地”被电子吸收或放出。
2．对光电效应的解释光照射到金属表面，一个光子的能量可立即被金属中的自由电子吸收。但只有当入射光的频率足够高，以致每个光量子的能量h(足够大时，电子才有可能克服逸出功A逸出金属表面。逸出电子的最大初动能为
当 (＜A/h时，电子的能量不足以克服逸出功而发生光电效应。存在红限频率
金属
钨
钙
钠
钾
铷
铯
红限(0
（1014Hz）
10.95
7.73
5.53
5.44
5.15
4.69
逸出功A（eV）
4.54
3.20
2.29
2.25
2.13
1.94
三．分析光电效应所产生的光电子能谱，是一种有效的表面分析手段。
1907年爱因斯坦和德拜（P．J．Dedye）把能量不连续的概念应用于固体中的振动，成功地解释了当温度趋近绝对零度时固体比热趋于零的现象。到此，普朗克提出的能量不连续的概念才普遍引起注意。
§3 康普顿散射 光的波粒二象性
康普顿1923年研究了X射线与石墨的散射
一．实验规律在散射的X射线中，除有波长与入射射线相同的成分外，还有波长较长的成分。波长的偏移只与散射角( 有关
其中，( 和 (0 分别代表散射和入射波波长，而
为电子的康普顿波长，m0为电子的静止质量。波长的偏移可写成
只有当入射波长(0与(c可比拟时，康普顿效应才显著。因此选用X射线观察。
二．康普顿效应进一步验证了光的粒子性
1．散射光波长改变，无法用经典电磁波理论解释。
2．康普顿的解释
1)模型：“X射线光子与静止的自由电子的弹性碰撞”。与能量很大的入射X光子相比，石墨原子中结合较弱的电子近似为“静止”的“自由”电子。
2)由光的量子论（( = h(）和质能关系（(2= p2c2+m02c4），注意到光子的“静止质量”m0 = 0，得光子的动量
3)假定在碰撞过程中能量与动量守恒
解出的波长偏移
和实验结果完全符合！
4)反冲光子把部分能量传给电子，光子的能量((散射X射线的频率(，波长(
5)光子与石墨中被原子核束缚很紧的电子的碰撞，应看做是光子和整个原子的碰撞。原子的质量远大于光子的质量(在弹性碰撞中散射光子的能量(波长)几乎不改变，故在散射线中还有与原波长相同的射线。
3．康普顿散射实验的意义
1)首次实验证实了爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设
2)支持了“光量子”概念，证实了普朗克假设 ( = h(
3)证实了在微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍然是成立的
三．光的波粒二象性
1．近代认为光具有波粒二象性
1)在有些情况下，光突出显示出波动性；而在另一些情况下，则突出显示出粒子性。
2)这里的粒子不是经典粒子，波也不是经典电磁波！
2．基本关系式
式中( = h/2(，波矢量 ，圆频率(= 2((。
§4 实物粒子的波动性一．德布洛意假定（1924）
实物粒子具有波动性。实物粒子的能量 (和动量与和它相联系的波的频率(和波长(的关系和光子的一样称为德布洛意关系。与粒子相联系的波称为德布洛意波或概率波。
二．实验验证
1．电子通过金多晶薄膜的衍射实验（汤姆逊1927）
2．电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验（约恩逊1961）
3．还验证了质子、中子和原子等实物粒子都具有波动性，并满足德布洛意关系。
例题1．质量m=0.01kg，速度v=300m/s的子弹的德布洛意波长为
h极其微小(宏观物体的波长小得实验难以测量“宏观物体只表现出粒子性”
三．波函数和概率波
薛定谔1925年提出用波函数描述粒子运动状态。玻恩1926年对波函数作出统计诠释，给出概率波概念。
1．玻恩假定概率波的波函数 是描述粒子在空间的几率分布的“概率振幅”。波函数的模方
代表时刻t，在空间 点处单位体积元中发现一个粒子的概率，称为概率密度。而时刻t在空间 点附近dV体积内发现粒子的概率为
其中 是 的复数共轭。
2．自由粒子平面波波函数
经典的平面波为，参考下图可写成 。
利用德布洛意关系可得在量子力学中描述自由粒子的平面波波函数
因，则在空间各点发现自由粒子的概率相等。
3．用电子双缝衍射实验说明概率波的含义
（1）入射强电子流
1)单位时间许多电子通过双缝，底片上很快出现衍射图样(许多电子在同一个实验中的统计结果
（2）入射弱电子流
1)底片上出现一个一个的点子(电子具有粒子性
2)电子几乎一个一个地通过双缝(衍射图样不是电子相互作用的结果
3)开始时点子无规分布，随着电子增多，逐渐形成衍射图样(衍射图样来源于“一个电子”所具有的波动性
4)一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果
4．波函数满足的条件统计诠释要求，作为可以接受的波函数应满足
（1）自然条件：单值、有限和连续
（2）归一化条件粒子在空间各点出现的几率总和为l，波函数应归一化
四．状态叠加原理
基本假定：若体系具有一系列可能状态
则它们的线性组合
也是该体系的一个可能状态。其中组合系数 为任意复常数。若叠加中各状态间的差异无穷小，则应该用积分代替求和。
§5 不确定关系
经典粒子运动的概念在多大程度上适用于微观世界？海森伯于1927年根据对一些理想实验的分析和德布洛意关系得出“测不准关系”：粒子的坐标和动量不能同时“测准”
借助电子单缝衍射实验的粗略推导：一束动量为p的电子通过狭缝 (x后散布在一衍射角(1范围内。通过狭缝后电子动量x分量px的不确定范围为
注意到
（衍射反比关系）
（德布洛意关系）
得到不确定关系
由波函数的统计诠释可严格证明:微观粒子的坐标和动量是一对不能同时取确定值的物理量(“不能同时测准”是粒子（光子和实物粒子）波粒二象性的必然后果(“不确定关系”
当粒子被局限在x方向的一个有限范围?x内时，它所相应的动量分量px必然有一个不确定的范围?px，两者的乘积满足不确定关系。
能量和时间也是一对不能同时取确定值的物理量
其中(E—能量取值的不确定范围，(t—时间取值的不确定范围。
能级自然宽度和寿命：设体系处于某能量状态的寿命为，则该状态能量的不确定程度（能级自然宽度）
假定原子中某一激发态的寿命t ~10 -8 s
1 理论上计算平均寿命(估计能级宽度
2 实验上测量能级宽度(估计不稳态的寿命例1．原子（线度～1埃）中电子运动不存在“轨道”。
设电子的动能 T =10 eV，平均速度
速度的不确定程度
与速度本身数值属同一数量级，故轨道概念不适用!
例2．威尔逊云室是一个充满过饱和蒸气的容器。射入的高速电子使气体分子或原子电离成离子。以离子为中心过饱和蒸气凝结成小液滴，在强光照射下，可看到一条白亮的带状的痕迹—粒子的径迹。
1)径迹的线度～10-4cm，(x≈10-4cm (动量的不确定程度
2)云室中的电子动能T～108 eV (电子平均动量
3)显然
p＞＞(p
在威尔逊云室中，电子坐标和动量的取值基本上可以认为是确定的，可以使用“轨道”的概念。
§6 薛定谔方程薛定谔方程描述质量为m的非相对论实物粒子
（，或 ）在势场中的状态随时间的变化，反映了微观粒子的运动规律。
动力学方程不是推导出来的，而是依据实验事实和基本假定“建立”的。是否正确则由实验检验。
一．自由粒子薛定谔方程的建立
自由粒子波函数随时间和坐标变化的关系（自由粒子的薛定谔方程）
推广到势场U（x，t）中的粒子
薛定谔方程为
三维情况：
§7 定态薛定谔方程分离变量
若U(x)与时间无关，则薛定谔方程可分离变量。设
代入薛定谔方程
两边除
式中的E是与x和t均无关的常数。
～（1）
～（2）
2．振动因子方程（1）的解为一振动因子
E代表粒子的能量。
3定态薛定谔方程
§9 势阱中的粒子和一维散射问题
一维无限深势阱中的粒子
1.势能函数
1)阱内
2)阱外和
3)粒子在范围内自由运动，但不能到达或范围例：金属内部自由电子的运动的近似描述
2定态薛定谔方程
1)阱外：
2)阱内：
令
则阱内方程为
3分区求通解
1)阱外,
2)阱内,
式中A和B是待定常数。
5．由波函数自然条件和边界条件定特解
,（B ( 0）
(1)能量本征值
1)能量取分立值（能级）(能量量子化
2)当时 (能量连续
3)最低能量（零点能） — 波动性的表现。
(2)本征函数系
是以 和 为节点的一系列驻波
(3)本征函数系的正交性
直接计算可验证
(4)概率密度
1)经典：粒子出现在阱内各点的概率相同
2)当时，量子(经典
例题．在阱宽为的无限深势阱中，粒子的状态为
，
多次测量其能量。问每次可能测到的值和相应概率？
解：把波函数写成按无限深势阱哈密顿量的本征函数的展开形式
可能测到的值
相应概率
1/2
1/2
二．一维散射问题粒子从处以确定能量E入射，给定势函数U(x)，解定态薛定谔方程，求粒子的波函数和分布。
1．梯形势
薛定谔方程：
通解：
由(，得
1)特解：
，（E(U＝0,振动解）
入射波 反射波
,（E(U＝U0,衰减解）
2)电子逸出金属表面的模型
量子：电子透入势垒，在金属表面形成一层电子气。
经典：电子不能进入U＞E（总能量）区域，（因动能≮0）。
2．隧道效应（势垒贯穿）
透射系数T：粒子穿透势垒的概率
例：放射性核的(粒子释放
§10 一维谐振子一．定态薛定谔方程
1．能量本征值
用级数展开解上述方程。为使波函数满足单值、连续、有限条件，能量本征值只能取
1)能量间隔,跃迁辐射量子的能量
2)零点能：
2．本征函数和概率密度
最低三个能级对应的波函数
其中
2本征函数系的正交性
直接计算可知
3．例：对一个质量1g，弹簧劲度为0.1N/m的宏观谐振子，经计算（自己完成）
1)振子能量应的量子数 n～1025
2)能级间隔 (E～10-33J (能量取连续值！
二．应用
1物理模型：热辐射机制；辐射场的量子性；原子，分子，原子核的振动
2某些物理问题的零级近似
§11氢原子
1．球坐标系定态薛定谔方程
2．分离变量求解
（1）能量本征值
1)氢原子的能量取决于n，称n为主量子数
2)电子束缚于库仑势阱中(能量量子化
3)当时，：电子处于电离态
（2）氢原子光谱
频率条件：
当电子从能级Ei 跃迁到能级Ef（Ei(Ef）时，发射光子的频率为
相应的波数为
若Ei(Ef则对应吸收光子。
赖曼系（紫外区）
巴尔末系（可见区）
§12 电子的自旋 四个量子数一．电子的自旋（Spin）
斯特恩－盖拉赫实验（1921）
1 电子轨道运动产生磁矩。轨道角量子数为l的原子束经不均匀磁场后，由于磁矩的不同取向，将分离成(2l＋1)个空间成分。
2 基态银原子的角动量等于其价电子的角动量l＝0，轨道磁矩=0。但基态银原子束分离成两个空间成分，射线的偏转表明：电子除具有轨道角动量外还应具有自旋角动量。
1 设自旋角量子数为S，由角动量的性质和实验结果
2) 自旋是一种相对论量子效应，无经典对应。
二．四个量子数
原子中的电子运动由四个量子数决定主量子数n,n=1,2,3,…
决定氢原子中电子的能量，大体决定其他原子中电子的能量。
2 轨道角量子数l,l=0,1,2,…,(n-1)
当n给定，l可取n个值。决定了电子的轨道运动。影响原子在外磁场中的能量。
3 轨道磁量子数ml,ml=0,(1,(2,…,( l
当l给定，ml 可取（2l+1）个值。对应轨道角动量在外磁场中（2l+1）种指向。影响原子在外磁场中的能量。
4 自旋角量子数（一般不列出）
自旋磁量子数ms,ms=(1/2。自旋在外磁场中的两种指向。影响原子在外磁场中的能量。
一、基本要求理解光电效应和康普顿效应的实验规律以及爱因斯坦的光子理论对这两个效应的解释。理解光的波粒二象性。
理解描述物质波的物理量(波长、频率)和粒子性的物理量(动量、能量)间的关系。
3．理解不确定性原理。
4．理解波函数是概率波和波函数满足的薛定谔方程。理解粒子的状态可以用量子数来描述。
二、知识系统图
例题
1．质量为me的电子被电势差U=100kV的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长。若不用相对论计算，则相对误差是多少？
解：用相对论计算由求出速度v，代入中求出动量p，把p代入中计算得：
m
若不考虑相对论效应则 求出v代入p=m0v中，求出动量p，把p代入中计算得,
m
相对误差,。
从题中会看到：对于微观粒子，由于其质量很小，速度会很大，原则上讲应该考虑相对论效应，但是用100000伏特的电压加速电子，如果不考虑相对论效应，误差仅为4.7%，一般来说误差不是很大。相对论粒子与非相对论粒子之间并没有严格的界限，要视具体的情况而定。
2．波的速度，而根据德布罗意的物质波假设：，。对非相对论粒子，，于是，好象物质波的传播速度跟不上粒子的传播速度，如何解释之？
讨论：事实上一个粒子的波函数并不是平面简谐波的波函数，它可以看成是许多频率相近的多个简谐波的叠加，我们为了方便只考虑两个简谐波叠加的情况。，
利用数学知识，并考虑到：，，
式中是简谐波的位相，由它可以得到简谐波的相速。
式中 是两个简谐波叠加以后的振幅变化的位相（实际上就是“拍”的位相），由它可以得到一个速度,这个速度叫群速，对非相对论粒子，。
所以物质波的群速度才是粒子运动的速度。
3．试证：如果确定一个低速运动的粒子的位置时，其不确定量等于这个粒子的德布罗意波长，则同时确定这个粒子的速度时，其不确定量将等于这粒子的速度。（不确定关系式）
本题的证明并不困难证明：不确定关系式,
已知 ，则
又因为,
所以,
不难发现：不确定关系式应该为，若按照此式。题中的结果好象并不正确，但是应该注意到：在实验仪器100%精确的情况下，不确定关系式中等号才成立，实际中经常用不确定关系式去估算某些量值，对于微观粒子，其线度很小，速度通常很大，按照现有的实验条件，估算时只要数量级正确就够了，通常不苛求不确定关系式。
4．一粒子被限制在相距为l的两个不可穿透的壁之间，描写粒子状态的波函数为，求：在区间发现粒子的几率。
讨论：描写粒子状态的波函数并没有实际的物理意义，它表明物质波是几率波，波函数可以乘以任何一个常数，仍描述原来的粒子，但是它的模方是几率密度，对全空间的积分应该为1（归一化条件），这就要求算几率时应该用描写粒子状态的归一化的波函数。所以本题首先要求出归一化的波函数：
即,
解得,
即求得归一化的波函数为：
在区间发现粒子的几率为：
5．太阳的总辐射功率P s=3.9×1026W。以r表示行星绕太阳运动的轨道半径。试根据热平衡辐射的要求证明：行星表面的温度T应为：，其中为斯特藩-玻耳兹曼常量（行星辐射按黑体计）。
解：太阳的总辐射功率P s（单位时间内辐射出的总能量）。
轨道上单位时间内、单位面积上辐射的能量为：。
行星单位时间内吸收的能量为：（行星吸收能量的有效面积为,为行星半径）。
行星单位时间内辐射的能量为：。
根据黑体热平衡辐射的要求可得：
于是：
6．图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线 2.0
（1）求证对不同材料的金属，AB线的斜率相同。
（2）由图中数据求出普朗克恒量。
解：（1）由得： 0 5.0 10.0 υ(104HZ)
（恒量）所以对不同材料的金属，曲线的斜率相同。
（2）
7．用波长为1的光子做康普顿散射实验。
（1）散射角等于900 时的康普顿散射波长是多少？
（2）分配给这个反冲电子的动能多大？
（普朗克恒量，电子的静止质量）
解：（1）康普顿散射光子波长改变：
（2）根据能量守恒：
即,
所以,
8．已知电子的德布罗意波长与光子的波长相同。
（1）它们的动量大小是否相同？
（2）它们的总能量是否相同？
答：（1）电子和光子的动量大小相同。
因为对两者都成立，而相同，故p相同。
（2）电子与光子的总能量不同。电子的能量
而 ,代入 可解出：
所以
光子的能量,
于是,
可见,
9．处于静止状态的自由电子能否吸收光子，把全部的能量来增加自己的动能？
答：处于静止状态的自由电子不能吸收光子，把全部的能量来增加自己的动能，因为假设原来静止的自由电子与光子碰撞后吸收光子，并以速度v 运动，则根据能量守恒定律有：
解出电子吸收光子后的运动速度为：
又根据动量守恒定律有：
解出电子吸收光子后的运动速度为：
显然，用动能守恒定律得到的速度与用动量守恒定律得到的速度不同，这说明自由电子吸收光子的过程不能同时遵守动能守恒定律和动量守恒定律。因而这一过程不可能同时发生。
10．光子的波长为如果确定此波长的精确度为，试求此光子位置的不确定量。
解：光子动量，则动量数值的不确定量为
根据不确定性关系式得：
故
11．根据泡利不相容原理，在主量子数=2的电子壳层上最多可能容纳多少电子？写出每个电子的四个量子数之值。
答：在=2的电子壳层上最多可容纳8个电子。
它们所具有的四个量子数（）分别为：
（1）2，0，0，1/2； （2）2，0，0，-1/2；
（3）2，1，0，1/2； （4）2，1，0，-1/2；
（5）2，1，1，1/2； （6）2，1，1，-1/2；
（7）2，1，-1，1/2； （8）2，1，-1，-1/2
