复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
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———— 无名氏
第一章 拉姆齐模型
1
Frank Plumpton Ramsey
Frank Plumpton Ramsey (1903-1930),British
mathematician and philosopher,best known
for his work on the foundations of
mathematics,But Ramsey also made
remarkable contributions to epistemology,
semantics,logic,philosophy of science,
mathematics,statistics,probability and
decision theory,economics and metaphysics.
第一节 社会计划者解
代表性行为人
假设经济中存在无限期生存的一个代表性家庭，人口出生率为。假定在时间，人口被标准化为1，那么期人口
0n>
0t = t ()
nt
Lt e=。
生产
假定存在不变规模收益生产函数,
Yt (1.1) () ( (),() ())FKt AtLt=
技术进步由()
gt
At e=给定
总资本积累方程如下,
.
() ( (),() ())Kt FKt AtLt=
定义
()
()
()
Ct
Lt
=ct，
()
()
()
Kt
Lt
=kt为人均消费和人均资本，
该讲义参考了Blanchard和Fischer（1989），
讲义.新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。
行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭，在跨期预用函数。这归功于Ramsey (1928)，Cass（1965）和
－斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。
1
(1.2) () ()Kt Ctδ
()
()
() ()
e
Ct
AtLt
=ct为每有
Barro和Sala-I-Martin（1995），Zilibotti和Dirk,kruger的在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化算约束下，选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效
Koopmas（1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
效劳动单位人均消费，
()
()
()
e
kt
At
=
()) ()
ee
kt ct=?
0(),()
max
t
ct kt
∞
∫
ρ
.
,() (ek t f k
(0) 0
ee
=
kt为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程可变为,
1
1
()
ln( ),
c
c
θ
θ
θ
θ
=
kt (1.3)
.
() ( ( ) ()e
e
f n gktδ?++
代表性行为人的最大化问题
( ( ))eUctdt
,()) () ( ) ()
ee e
st t c t n g k tδ=++
给定kk
转化：假定效用函数为CRRA，例如
,1
1
Uc
≠
=
其中θ是相对风险系数，即边际效用弹性的负数。
那么
11
((1))
(() )()
(()) ( ())
11
gt
ttt gte
e
ctect
ct e e e Uct
θθ
ρρρ ρθ
θθ
== =
eU (1.4)
定义((1)g)γ ρθ=为有效贴现率，因此上述最大化问题可以重新表述为,
0(),()
max ( ( ))
ee
t
e
ctkt
eUctdt
∞
∫
γ
.
.,() ( ()) () ( ) ()e
ee e
stk t f k t c t n g k tδ=++
给定kk (0) 0
ee
=
显然为了使目标函数存在最大值，必须有0γ >
社会计划者解
第一步：构造现值汉密尔顿函数
2
(1.5) (,,; ) ( ( )) ( )[ ( ( )) ( ) ( ) ( )]
t
ee
eee
Hck t e Uct t fkt ct n gktλλ δ
=++
γ
e
第二步,最大值的三个必要条件,
1．关于控制变量c ()
e
t
2
汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导，见附录。
2
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
(,,;)
0
ee
e
Hck t
c
λ?
=
(1.6)
2．关于状态变量
.
(,,;)
()
ee
e
Hck t
t
k
λ
λ
=?
(1.7)
3．关于乘子（也是资本的现值影子价格），横截性条件（TVC）。
lim ( ) ( ) 0
e
t
tk tλ
→∞
= (1.8)
将上述一阶条件展开，可得,
'( ( )) ( )
t
e
eUct t
γ
λ
= (1.9)
.
()/ () '( ()) ( )
e
ttfkt n gλλ δ=?++ (1.10)
lim ( ) ( ) 0
e
t
tk tλ
→∞
= (1.11)
第三步：化简
1．利用(1.9)和(1.10)消除()tλ
首先 在(1.9)两边对t求导,
..
() '( ()) () '( ())
t
eteUctct eUct
γγ
λ
=
e
(1.12)
再次利用（1.9），可得
..
''( ( )) ( )()
() '( ())
e
e
e
Uctctt
tUct
λ
γ
λ
=? (1.13)
最后，利用（1.10）消除()tλ
.
''( ( )) ( )
[( () ( )]
'( ( ))
e
e
e
e
Uctct
f kt n g
Uct
γ?=++δ (1.14)
我们将（1.14）变换，表示为跨其替代弹性和真实利率的关系,
.
() '( ())
() ()[ '( ()) ( )]
'( ( ))
ee
e
ee
e
ctUct
ct ctfkt n g
Uct
δ γ= + + + (1.15)
根据定义，相对风险厌恶系数
() '( ())
'( ( ))
ee
e
ctUct
Uct
θ =?，而跨其替代弹性1/σ θ=。
一个相关的概念是跨期替代弹性,
1
/ [ '( ) / '( )]
[
'( ) / '( ) ( / )
st s t
st st
cc duc uc
uc uc dcc
σ
=
(1.16)
跨期替代弹性是/s tcc比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当
3
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
s→t时，σ =
'( )
''( )
uc
cu c
,因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。因此可
将（1.15）变为
()
c
tχ
.
()t
()kt
'( (
e
fk
()ct
.
'( ( )) ( )()
()
()
e
e
c
e
fkt n gct
t
ct
δ γ
χ
θ
+++
== (1.17)
其中是t期的消费增长率。
2．重新表述关于(,的非线性差分方程 )
ee
ck
.
'( ( )) ( )()
()
()
e
e
c
e
fkt n gct
t
ct
δ γ
χ
θ
+++
== (1.18)
() ( ()) ( ) () () 0e
ee
kt fkt n gkt ctδ=?++?
e
= (1.19)
稳态的描述
稳态可以表示为,
.
'( ( )) ( )()
0
()
e
e
c
e
fkt n gct
ct
δγ
χ
σ
+++
== =
.
( ()) ( ) () 0e fkt n g ktδγ=?+++=
(1.20)
(1.21)
e
或者表示为,
))t n gδ γ= +++ (1.22)
( ()) ( ) ()
ee
fkt n gkt
e
δ=?++ (1.23)
4
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
'
e
c
0
e
c
''
0
c
0
e
k
*
e
k
gold
e
k
**
e
k
.
0
e
k =
.
0ec =
e
c
e
k
DD
B
图1－2 拉姆齐模型中的相位图
第二节 市场分散解
注意，第一节和第二节在使用符号上的区别
第一节 第二节
有效变量 ()
e
ct
,
()
e
kt ^
()ct
,
^
()kt
技术增长率
g
γ
时间
()ct
,
()kt
t
c
,
t
k
请原谅，并避免混淆，因为两节的制作时间不同。
1．效用函数
拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。假定人口增长率为n，劳动力等于人口数。假定初始人口为1，因此 tN tL
nt
tLe= 2－1
假定 是期的总消费，因此人均消费为tC t () ()/ ()ct Ct Lt=。
5
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
家庭效用函数为
3
Uu 2－2
()
0
0
()
nt
tce
ρ
∞
=
∫
dt
其中ρ为主观贴现率，u，u'(0) =∞ '( ) 0∞ =。假定nρ >
4
，以保证当c为常数时，
是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率。 0U
假定存在两种资产，资本和债权，假定没有风险，资本市场完全竞争，因此收益率都为。同时存在竞争的劳动力市场，工资为。假定总资产为，平均净资产为aA，资产收益为ra。因此家庭的预算约束为
tr tw tA
/ttL= t
t
]0
tt
.
ttttawracna=+
5
2－3
2．非蓬齐对策条件（意义）
2－4
0
()
[
lim
t
vrndv
t
t
ae
→∞
∫
≥
这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于，因此总债务的增长速度不能超过。我们定义
trn?
tr
0
1
t
trr
t
= vd
∫
，因此2－4又可被写为
()
[() ] 0
lim
ttr n
t
ate
→∞
≥ 2－4’
3．汉密尔顿函数与一阶条件
家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化U。这个问题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式,
0
2－5
()
() [ ( ) ]
n
Huxe wrnac
ρ
μ
=++
其中μ是资产的影子价格。一阶条件为
()
0'()
nt
H
uce
c
ρ
μ
=?=
2－6
..
()
H
rn
a
μ μ
= =
μ 2－7
lim[ ] 0tt
t
aμ
→∞
= 2－8
其中2－7是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。2－8是横截条件。现在我们来求出最优的消费变化。2－6两边对时间求导得
3
这种效用函数，这里的ρ等价于上一节中的。因此本节稳态解的结论与第一节比较时，
要结合这个关系。之所以在第一节和第二节用两种不同的效用函数，实际上是拉姆齐增长模型中的两种用法。第二节的这种用法又被称为Benthamite felicity function（幸福函数）
nρρ=
第一节
＋
4
其实是根据横截条件推出的。
5
,因此
.
tttttAwLrAC=+?t
....
.
2
()/
ttttttAALALALA
a d dt w ra c na
LLL
== =?=+?
6
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
2－9
..
() ()
''( ) ( ) '( )
n
ucce nuce
ρ
μ
=
ntρ
uc由2－6，知e，代入到2－9并将2－7代入2－9，得,
()
/'()
ntρ
μ
=
.
''( )
[](
'( )
uccc
r
uc c
ρ=? ) 2－10
''( )
'( )
ucc
uc
为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性,
1
/ [ '( ) / '( )]
[
'( ) / '( ) ( / )
st s t
st st
cc duc uc
uc uc dcc
σ
=
2－11
跨期替代弹性是/s tcc比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数
6
。
。因此2－10可以写为
.
1
()
c
c
ρ
σ
=+r
或
.
(
c
r
c
)σ ρ=? 2－12
跨期替代弹性越大，表示消费者越不关心消费平滑，表示消费的增长越大。考虑一个不变跨期替代弹性的效用函数（CIES）
1
1
()
1
c
θ
uc
θ
=
，0,1θ θ>≠；uc() logc=，1θ = 2－13
其中θ?是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性1/σ θ=。因此2－12变为
.
cr
c
ρ
θ
= 2－14
对2－7积分得,
(
() (0)
ttr n
teμμ
=
)
，(0) 0μ > 2－15
因此2－8变为
6
实际反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应，因为简单的跨期消费问题中存在
1
'( ) 1
'( ) 1
t
t
uc r
uc ρ+
+
=
+
，
ρ是贴现率，r取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写为
1
1 (1 )
[]
(1 )
t
tc
cr
θ
ρ
+
=
+
+
，1/θ σ=。因此跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。
7
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
()
m[ ] 0
ttr n
t
t
ae
→∞
=li 2－16
即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死后留下任何正的资产都是非理性的。当0ta <（负债），一个无限期的家庭希望通过不停的借债但不偿还，来违反2－16，因此2－4就是为了确保这种链式融资的不发生。在均衡状态，根据横截条件2－16，一个家庭不愿持有超过或等于trn?
的资产增长，否则横截条件就违反了，也就是说没有人愿意接受增长速度超过
trn?的债权，也就意味着没有人可以发行增长速度超过trn?的债务。因此2－4
是信贷市场均衡的结果。
4．消费
由，将ar
.
() () ()
[]/ ()
rnt rnt rnt
dae dt ae ar ne
=
.
()ttnawttc=?两边同乘得,
(rn
e
)t
() () ()
000
([ ]/ )
TTT
rt n t rt n t rt n t
ttdae dtdt we dt ce dt
=?
∫∫∫
即
() () ()
00
(0)
TT
rt n T rt n t rt n t
Tt te ce dt we dt a
+=
∫∫
a 2－17?
当T，利用2－16，可得 →∞
~
() ()
00
(0) (0) (0)
rt nt rt nt
ttce dt we dt a w a W
∞∞
= +=+=
∫∫
2－18
由2－14可得
(1/ )[ ]
0
tr
t e
t
cc
θ ρ?
= 2－19
将2－19代入到2－18得；
[(1 )/ / ]
0
(0) /( )
rt n t
e d
θθρθ
∞
+
=
∫
cW 2－20
t
5．厂商
^
(,) (,)ttt tYFKAL FKL== 2－21
其中()
t
At e
γ
=，。写成人均的形式为
^
ttLAL= t
t
YL 2－22
^^ ^ ^
()tttt tyLfk==
其中
^
() ( /,1)ttf kFKAL=。具有下列关系
7
7
固定，Y对求导；固定，Y对 L K K L
8
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
^
'( )
t
t
Y
f k
K
=
,
^^^
[( ) '( )]
t
t
ttt
t
Y
f kkfke
L
γ
=?
2－23
并满足，，(0) 0f = '(0)f =∞ '( ) 0f ∞ =（Inada条件）
利润函数为
^^^
[(,) ]
t
tt tt tttLFKL Rk we
γ?
Π= 2－24
其中tR是厂商向居民租赁资本的租金，ttRrδ= +。给定，利润最大化为,
^
tL
^
'( )ttfk rδ=+ 2－25
为了维持零利润，将2－25代入2－24，有
[(
^^^
) '( )]
t
ttt tf kkfkew
γ
= 2－26
6．均衡
1）．定义cc
^
t
e
γ?
=，因此
^.
^^,
'( )
/() /
t
tt tt
fk
cc cc()
δ ρθγ
γ
θ
=?= 2－27
2）．在均衡中，代表性家庭没有净债务，人均平均资产等于平均资本，因此。
因此跨期预算约束可以写为
ttak=
kw 2－28
.
ttttrkcnk=+t
因为kk
^
t
tte
γ?
=，所以
kw 2－29
.
^^
()
t
tt te rn kc
γ
γ
=+
^
t
^
tc
将2－25和2－26代入2－29，得
kf 2－30
.
^^ ^
()( )tt tk n kγδ=?++?
3）．利用kk
^
t
t e
γ?
=，
^
'( )ttfk rδ=+，以及2－16，TVC条件变为
li
^
0
^
('( ) )
m[ ] 0
t
vfk ndv
t
ke
δγ
→∞
∫
= 2－31
2－27和2－30构成在(,上的动态系统。
^^
)tck
4）．在稳态中，有cc,
.
^^
)/( ) 0tt=
.
^^
()/()0ttkk=，因此
^
'( )tfk δ ρθγ=++ 2－32
9
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
^
'( )tfk δ ρθγ=++，被称为是修正的黄金律。
cf 2－33
^^
()( )ttk n kγδ=?++
^
t
稳态中的消费、投资人均增长率等于γ。2－32，2－33刻画的稳态需要满足
TVC，因此2－31中，rf，即稳态中的资本回报率大于增长率。
从2－32可知
^
**
'( )k nδγ=?>+
^
0'c
^
0c
^
0''c
^
0k
^
*
k
^
gold
k
^
**
k
.
^
0k =
.
^
0c =
^
c
^
k
DD
B
图1－2 拉姆齐模型中的相位图
(1 )nρ θγ>+? 3－34
或者
e
nρ ρθγ γ=+ >+
其中
e
ρ被称为有效主观贴现率
8
。
由3－33可知消费在
^
'( )tfk nγ δ= ++ 3－35
时达到最大。3－34保证了
^^
* gold
kk<，即稳态的资本小于黄金律水平，避免了资
8
这是由于消费以γ速度增长，所以边际效用递减。
10
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
本积累过多。原因过多积累不是最优，因为减少可以多消费；同时小于黄金律是因为有效主观贴现率ρ θγ+，消费者又不希望牺牲当前的消费。（分析ρ，θ降低的影响）。
^
0
n γ+
(=?
( n+
ρ
分析：c（储蓄不足，违反欧拉方程，从2－32可以看出路径变化），c（均衡路径），（储蓄过多，违反TVC）
^
0'
^
''c 0
详细说明,
1）考虑低于的路径，例如初始位置在，那么k会超过黄金律资本存量,
此后真实利率低于
DD
^
0''c
，从而
(trt n t
ee
)γ?+
上升，所以
()trt n t
tee k
γ?+
发散，因此
()
lim
trt n t
t
ee
γ?+
→∞
tk=∞，因此违反了横截条件。或者根据Blanchard和Fischer（1989）
第二章附录2。［注意Blanchard和Fischer（1989）是利用当前值汉密尔顿函数来表示的，对横截条件的说明经过简单的代换和现值是一样的］
2）当高于的路径，在这条路径上资本以递增的速度减少。 DD
对2－30，kf进行全微分得,
.
^^ ^
() )tt tk n kγδ++?
^
tc
^,.
2
^^
2
['() )] 0
t
tt
dk
fk k c
dt
γδ=?+?，当
^
'( ) ( )tfk nγ δ>++和,
.
^
0tc >
^
t<
因此k会在有限的时间变为（
^
t 0 B点），因为在B点，为零，经济必须移到原点，因此由一个正值变为零，这种跳跃违背了（2－12）
^
tk
^
tc
.
^
^
(
c
r
c
)σ=?，因为当，r，（2－12）左式为负，右边为无穷大，因此违反了欧拉方程的条件（2－12）。
^
0k t → →∞
7．鞍点路径的形状
高θ，跨期替代率低，更愿意进行消费平滑，趋于稳态的速度慢。
低θ，跨期替代率高,作为对当前高收益的反应，更愿意进行储蓄，减少消费，趋于稳态的速度快。
11
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
^
k
^
*
lowk θ
^
*
khighθ
lowθ
highθ
θ图2－2 对鞍点路径的影响
8．储蓄
对于C－D生产函数
^
^
()f kAk
α
=，均衡的储蓄率为
sn
*
()/(x)α γδρθ=++ ++δ 3－36
（证明，详细见Barro＆Sala-I-Martin 1995，P89,AppendixB）
两种效应：替代效应，消费平滑使得储蓄率在收入较低时较低，但是较大的跨期替代弹性，更有助于储蓄。收入效应，有助于储蓄，因为当收入增加时，当前收入与持久性收入的差距变小，意味着平滑消费的意愿更小，储蓄率上升）
当1/，固定储蓄率，如Solow－Swan模型
*
sθ =
当1/，跨期弹性较高，因此储蓄率一直在之上，并趋近，由于资本增加导致利率下降，因为跨期弹性大所以使得储蓄下降，其影响大于收入上升的影响。
*
sθ >
*
s
当1/，跨期弹性较低，因此储蓄率一直在之下，并趋近（收入上升因素主导作用）。
*
sθ <
*
s
9．资本存量和产出的路径
由2－27和资本增加导致利率下降,单调下降。
.
^^
()/()ttcc
12
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
类似，()也单调下降。因此储蓄率在过渡路径上的的增加，并不能消除趋同性。
.
^^
/(tkk)t
dt
通过线性化可知,
..
^^ ^^ ^ ^ ^
( ) /( ) [ '( ) / ( )].[( ) /( )]tt tt t ttyy kfkfk kk=
即资本的增长按照占生产中的份额对生产构成影响。
10.另一种机制（社会计划者解）
效用函数可写为Uu，实际主观贴现率为
^^
() [ (1)]
0
00
() ()
nt t t n t
ttce duce
ργθγ ργθ
∞∞
+
==
∫∫
ρ θγ+。资本积累为
.
^^ ^^
()( )tt ttkfk n kcγδ=?++?。因此社会计划者问题为,
ma 0xU
sj kf.,
.
^^ ^
()( )tt tk n kγδ
^
tc=?++? 2－37
这个节是与市场解相同的。原因，竞争性市场，没有外部性。我们会在下一讲，
Romer（1986）和Lucas（1988）看到社会计划者解和竞争性解的区别，因为存在外部性。
11．收敛（convergence），收敛的速度和稳态附近的分析
考虑如下问题,
生产函数为FAk
α
=，给定。效用函数为0k
1
1
c
U
σ
σ
=
，资本积累为
。不考虑人口增长和技术进步。
.
()ttkAk n
α
δ=? ttkc+?
最大值问题表示为,
1
()
0
x
1
nt t
c
ema
σ
ρ
σ
∞
∫
st
.
.,( )tt tk Ak n k c
α
δ=?+?t
给定k 0
现值汉密尔顿函数为
1
()
[()
1
t
nt
t
c
He Ak n kc
θ
ρα
μδ
θ
=+?+
]t?
)
2－37
最优化的必要条件是
2－38
-(
0
nt
Hc c e
θρ
μ
=?=
13
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
2－39
.
1
[(ktHAk
α
μμα δ
=? =? + )]n
TVC lim[ ] 0tt
t
kμ
→∞
= 2－40
因此可以写为,
将2－38微分，并用
.
1
[(tAk n
α
μ
αδ
μ
= + )]代入得到
.
1
(tcAk
c
α
)α δρ
θ
= 2－41
在稳态
.
0
c
c
=，
.
0
k
k
=。由2－41，稳态中
1
0tAk
α
αδρ
=，因此
1
*
1
()
A
k
α
α
ρδ
=
+
2－42
*
.
*
0()(
k
cAk nk
k
α
δ=? =? +
*
) 2－43
同时如果满足横截条件，因此从2－31，令0γ =，有，因此由
* 1
() (tAk n
α
α
>+)δ
* 1
()tAk
α
α ρδ
=+必须有nρ >。（和2－34比较，就可以知道技术进步下TVC
条件的变化）
分析稳态附近的均衡，简化分析
9
，假定n 0=，0δ =。那么在稳态有
kA；
.
ttk
α
=?tc
1
*
1
()
A
k
α
α
ρ
= 2－44
1
.
()tAk c
α
c
α δρ
θ
=；
*
1
()
A
cA
α
α
α
ρ
= 2－45
在稳态附近进行一阶泰勒展开，［Barro和Sala-I-Martin（1995）书中使用了对数线性展开，方法接近］，有
10
,
9
Blanchard和Fischer（1989）第二章附录B也作了类似的分析，这部分的处理来自Zilibotti的习题。
10
因为在稳态附近，有
*
*
*
^.
^
**
*
^^
*
^^ ^
.
(1 ) 1
'( ) ( ) 1
''( )
0''( ) '( )
t
t
t
tt
t
t
t
n
fk n
kk kk
k
fkc
cc cc
fkc fk
c
ρθγ
γδ
δρθγ
θ
θθ
+
++?
==
0,0,0n，又因为该例中γ δ===，所以容易得出2－46。
14
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
*
*1
.
*
2*
*.
() 1
(1)()
0
t
t t
t
t
t
Ak
k kk
Ak c
cc
c
α
α
α
αα
θ
=
2－46
在稳态时，有，同时利用2－44，2－45有
* 1
()tAk
α
ρα
=
.
*
2
*.
1
(1)
0
t t
t
t
k kk
cc
c
ρ
ρα
αθ
=
2－47
这个方程的特征值
11
满足
2
2
2
1
(1)
det 0 0
(1)
ρλ
ρα
λρλ
ρα
αθ
λ
αθ
= + =
2－48
这个二项式存在两个根
41
1
22
ρ ρ
λ
α
θ α
=± + 2－49
其中1
41
10
22
ρρ α
λ
θα
=+ + >； 2
41
10
22
ρρ α
λ
θα
=?+ <
因此2－46的解是
2－50
12*
12
tt
tkae ae k
λλ
=++
因为1 0λ >，所以，将产生资本的爆炸性增长，对应图1－2中的c，违反了TVC；当
1 0a >
0
^
0''
1a <，则资本将在有限期消耗光，对应图1－2中的c，违反了欧拉方程。因此只有a。因此
^
0'
1 = 0
2 *
2
t
tkae k
λ
=+ 2－51
因为当t，存在，所以0=
*
02kak=+
*
20akk=?。代入到2－51得
2－52
22**
00() (1
tt
tkkke kke ek
λλ
=? += +?
2*
)
tλ
系统的稳定性要求(,必须在动态系统的稳定特征向量上（由)ttck 2λ决定的特征向量），因此有
11
定义
2
1
(1)
0
J
ρ
ρα
αθ
=
，λ为解多项式||JI0λ? =的根。
15
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
2
2
2
2
1
41-
0(-)[11
(1)
2
t
tt
t
k
ck
c
ρλ
ρα
ρλ
ρα
θα
λ
αθ
=?= = + +
]tk 2－53
这也就是线性化的鞍点路径。
稳定的特征向量给出了资本收敛的速度，对2－50微分，移项可得
2
2
.
*
2
2
**
()
()
t
t
t
t
kkke
kk kke
λ
λ
λ
β λ
== =?
2－54
［考虑折旧、人口增长和技术进步见Barro和Sala-I-Martin（1995）第二章附录1］
12.拉姆齐模型中的政府
也可见Romer（1996）第二章，或Blanchard和Fischer（1989）第二章
1．一次总付税。因为征税不会对经济构成扭曲，所以可以集中考虑支出。稳态的条件变为,
^
'( )tfk δ ρθγ=++ 2－55
2－56
^^ ^
()( )tt tcfk n kgγδ=?++?
^
t
其中为人均有效支出。现在我们分四种情况考虑
^
tg
12
基本特征
情况1,
冲击是永久性的，未被预期到，处于稳态
（1）考察对稳态的影响，从2－25可以看出，稳态的资本存量独立于政府支出，因此稳态的人均产出也独立于政府支出。
因此政府支出一对一的抵消了私人消费。因此存在完全的财政挤出效应，政府支出只是改变了需求的结构，但是并不对均衡总产出有影响。相位图的分析，见图2－3。因为经济最初处于稳态，因为是未预期到的，居民感到自己的收入减少了
g
gτ =，
因此从原来的稳态移动到新的稳态在瞬间完成。
12
根据(a)冲击在t前，如T被预期；（b）冲击是持久的，还是暂时的；（c）经济是否在稳态。 0= 0<
16
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
情况2,
永久性冲击，
未预期，低于稳态
经济在趋于原来的稳态的过程中，鞍点路径发生变化。现在最优路径处于新的鞍点路径上。这意味着消费的降低和继续增加。
情况3,
永久性冲击，
被预期到，稳态
因为事先被预期到，所以即使支出还没发生，但是由于消费者的消费平滑动机，已经进行了新的最优化，这个过程减少了当前的消费，因此增加了资本积累，并形成了新的鞍点路径。
当政府支出付诸实施时，居民的有效收入减少时，居民的消费在新的鞍点路径趋于新的稳态时下降。
g
情况4,
暂时性冲击，
未被预期到，
稳态
当增长一段时间，消费下降，但低于，资本最初下降，但逐渐恢复到原来的鞍点路径上。直觉如下：因为暂时性的政府税收并不对代表性居民一生的财富有实质性的影响。又因为家庭偏好于消费平滑，因此愿意在征税期间减少的储蓄和资本积累，
直到经济重新收敛于稳态。
g g
g
0
dc
dt
=
0
dk
dt
=
'
0
dk
dt
=
c
k
0 'k
E
'E
图2－3 一次总付税下，公共支出的影响
2．李嘉图等价
13
17
13
我们会在迭代模型中，详细讨论李嘉图等价问题
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
对以上我们学到的模型，做个简单的修改，如下,
1．政府的预算方程为,
τ
t
tttt
db
nb g rb
dt
+=?+t 2－57
其中
tdb
dt
1tdd+ t?为期新发行的国债 t
2．家庭的预算方程为
t
tttt
da
cnawra
dt
tτ++=+? 2－58
这里ak，其中是私人资本积累，我们不考虑私人债券。政府的跨时约束为,
ttb=+t
td
tk
0
00
rt rt
tbegdeτ
∞∞
+=
∫∫
（2－59）
家庭的跨式约束为,
0
000
rt rt rt
te cdt a e wdt e dttτ
∞∞∞
=+?
∫∫∫
t
（2－60）
所以结合2－59和2－60,可得,
（2－61） 0
000
rt rt rt
tecdtk ewdt egdt
∞∞∞
=+?
∫∫∫
因此对于一个给定的支出路径，融资方式，无论是一次性总税收税收还是发行债务不会影响资源分配，这就是李嘉图等价。
tg
3．扭曲性税收
假定政府的预算方程为
Kra zτ =
其中Kτ为资本收益税。家庭的预算变为
(1 )
t
tttKt
da
cnaw ra
dt
τ++=+? +tz
因此稳态的条件变为
^
(1 )( '( ) )Ktfkτ δρθ=γ+
^
t
2－62
2－63
^^
()( )ttcfk n kγδ=?++
可以看出由于现在资本收益下降，居民减少储蓄，增加消费，降低资本积累。因此，较高的资本收益税，使得
.
0tc =线向左移，出现消费向上的瞬间调整。
这可以从图2－4中看出，如从A到达新的鞍点路径，'BB，然后沿着鞍点路径移动，最终停留在一个比以前更低的生产和消费的稳态位置。
18
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
0
dc
dt
=
0
dk
dt
=
c
k
0 'k
E
'E
A
B
'B
图2－4 资本税的影响
13．附录1.现值汉密尔顿函数与当前值汉密尔顿函数
现值,
^^
()
() [ ( ) ( ) ]
n
ttHuxe fk n kc
ρ
μγδ
=+?+
^
t?
^
t? 或者写为，其中
，定义当前值汉密尔顿函数为。
^^
() ()
{() [ ( ) ( ) }
nn
tHe uxe qfk n kc
ρρ
γδ
=++
^
()nt
HHe
ρ
=
()nt
qe
ρ
μ
=
一阶条件仍然为
^
^
0
H
c
=
，
^
.
^
H
k
μ
=?
,同样也可以用现值汉密尔顿乘子写出,
^
^
0
H
c
=
,
^
.
^
(-)-
H
nq q
k
ρ
=
2－64
TVC变为
()
() () 0
nT
qTe kT
ρ
= 2－65
附录2拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则 Blanchard＆Fischer（1989）第二章
19
这里所有的材料都不归属于我，除了键盘敲击所花的功夫。你可以为了学习目的对下面的资料做任何的修改和编辑，只要你正确标出她的来源。
———— 无名氏
第一章 拉姆齐模型
1
Frank Plumpton Ramsey
Frank Plumpton Ramsey (1903-1930),British
mathematician and philosopher,best known
for his work on the foundations of
mathematics,But Ramsey also made
remarkable contributions to epistemology,
semantics,logic,philosophy of science,
mathematics,statistics,probability and
decision theory,economics and metaphysics.
第一节 社会计划者解
代表性行为人
假设经济中存在无限期生存的一个代表性家庭，人口出生率为。假定在时间，人口被标准化为1，那么期人口
0n>
0t = t ()
nt
Lt e=。
生产
假定存在不变规模收益生产函数,
Yt (1.1) () ( (),() ())FKt AtLt=
技术进步由()
gt
At e=给定
总资本积累方程如下,
.
() ( (),() ())Kt FKt AtLt=
定义
()
()
()
Ct
Lt
=ct，
()
()
()
Kt
Lt
=kt为人均消费和人均资本，
该讲义参考了Blanchard和Fischer（1989），
讲义.新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。
行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭，在跨期预用函数。这归功于Ramsey (1928)，Cass（1965）和
－斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。
1
(1.2) () ()Kt Ctδ
()
()
() ()
e
Ct
AtLt
=ct为每有
Barro和Sala-I-Martin（1995），Zilibotti和Dirk,kruger的在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化算约束下，选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效
Koopmas（1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
效劳动单位人均消费，
()
()
()
e
kt
At
=
()) ()
ee
kt ct=?
0(),()
max
t
ct kt
∞
∫
ρ
.
,() (ek t f k
(0) 0
ee
=
kt为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程可变为,
1
1
()
ln( ),
c
c
θ
θ
θ
θ
=
kt (1.3)
.
() ( ( ) ()e
e
f n gktδ?++
代表性行为人的最大化问题
( ( ))eUctdt
,()) () ( ) ()
ee e
st t c t n g k tδ=++
给定kk
转化：假定效用函数为CRRA，例如
,1
1
Uc
≠
=
其中θ是相对风险系数，即边际效用弹性的负数。
那么
11
((1))
(() )()
(()) ( ())
11
gt
ttt gte
e
ctect
ct e e e Uct
θθ
ρρρ ρθ
θθ
== =
eU (1.4)
定义((1)g)γ ρθ=为有效贴现率，因此上述最大化问题可以重新表述为,
0(),()
max ( ( ))
ee
t
e
ctkt
eUctdt
∞
∫
γ
.
.,() ( ()) () ( ) ()e
ee e
stk t f k t c t n g k tδ=++
给定kk (0) 0
ee
=
显然为了使目标函数存在最大值，必须有0γ >
社会计划者解
第一步：构造现值汉密尔顿函数
2
(1.5) (,,; ) ( ( )) ( )[ ( ( )) ( ) ( ) ( )]
t
ee
eee
Hck t e Uct t fkt ct n gktλλ δ
=++
γ
e
第二步,最大值的三个必要条件,
1．关于控制变量c ()
e
t
2
汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导，见附录。
2
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
(,,;)
0
ee
e
Hck t
c
λ?
=
(1.6)
2．关于状态变量
.
(,,;)
()
ee
e
Hck t
t
k
λ
λ
=?
(1.7)
3．关于乘子（也是资本的现值影子价格），横截性条件（TVC）。
lim ( ) ( ) 0
e
t
tk tλ
→∞
= (1.8)
将上述一阶条件展开，可得,
'( ( )) ( )
t
e
eUct t
γ
λ
= (1.9)
.
()/ () '( ()) ( )
e
ttfkt n gλλ δ=?++ (1.10)
lim ( ) ( ) 0
e
t
tk tλ
→∞
= (1.11)
第三步：化简
1．利用(1.9)和(1.10)消除()tλ
首先 在(1.9)两边对t求导,
..
() '( ()) () '( ())
t
eteUctct eUct
γγ
λ
=
e
(1.12)
再次利用（1.9），可得
..
''( ( )) ( )()
() '( ())
e
e
e
Uctctt
tUct
λ
γ
λ
=? (1.13)
最后，利用（1.10）消除()tλ
.
''( ( )) ( )
[( () ( )]
'( ( ))
e
e
e
e
Uctct
f kt n g
Uct
γ?=++δ (1.14)
我们将（1.14）变换，表示为跨其替代弹性和真实利率的关系,
.
() '( ())
() ()[ '( ()) ( )]
'( ( ))
ee
e
ee
e
ctUct
ct ctfkt n g
Uct
δ γ= + + + (1.15)
根据定义，相对风险厌恶系数
() '( ())
'( ( ))
ee
e
ctUct
Uct
θ =?，而跨其替代弹性1/σ θ=。
一个相关的概念是跨期替代弹性,
1
/ [ '( ) / '( )]
[
'( ) / '( ) ( / )
st s t
st st
cc duc uc
uc uc dcc
σ
=
(1.16)
跨期替代弹性是/s tcc比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当
3
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
s→t时，σ =
'( )
''( )
uc
cu c
,因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。因此可
将（1.15）变为
()
c
tχ
.
()t
()kt
'( (
e
fk
()ct
.
'( ( )) ( )()
()
()
e
e
c
e
fkt n gct
t
ct
δ γ
χ
θ
+++
== (1.17)
其中是t期的消费增长率。
2．重新表述关于(,的非线性差分方程 )
ee
ck
.
'( ( )) ( )()
()
()
e
e
c
e
fkt n gct
t
ct
δ γ
χ
θ
+++
== (1.18)
() ( ()) ( ) () () 0e
ee
kt fkt n gkt ctδ=?++?
e
= (1.19)
稳态的描述
稳态可以表示为,
.
'( ( )) ( )()
0
()
e
e
c
e
fkt n gct
ct
δγ
χ
σ
+++
== =
.
( ()) ( ) () 0e fkt n g ktδγ=?+++=
(1.20)
(1.21)
e
或者表示为,
))t n gδ γ= +++ (1.22)
( ()) ( ) ()
ee
fkt n gkt
e
δ=?++ (1.23)
4
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
'
e
c
0
e
c
''
0
c
0
e
k
*
e
k
gold
e
k
**
e
k
.
0
e
k =
.
0ec =
e
c
e
k
DD
B
图1－2 拉姆齐模型中的相位图
第二节 市场分散解
注意，第一节和第二节在使用符号上的区别
第一节 第二节
有效变量 ()
e
ct
,
()
e
kt ^
()ct
,
^
()kt
技术增长率
g
γ
时间
()ct
,
()kt
t
c
,
t
k
请原谅，并避免混淆，因为两节的制作时间不同。
1．效用函数
拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。假定人口增长率为n，劳动力等于人口数。假定初始人口为1，因此 tN tL
nt
tLe= 2－1
假定 是期的总消费，因此人均消费为tC t () ()/ ()ct Ct Lt=。
5
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
家庭效用函数为
3
Uu 2－2
()
0
0
()
nt
tce
ρ
∞
=
∫
dt
其中ρ为主观贴现率，u，u'(0) =∞ '( ) 0∞ =。假定nρ >
4
，以保证当c为常数时，
是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率。 0U
假定存在两种资产，资本和债权，假定没有风险，资本市场完全竞争，因此收益率都为。同时存在竞争的劳动力市场，工资为。假定总资产为，平均净资产为aA，资产收益为ra。因此家庭的预算约束为
tr tw tA
/ttL= t
t
]0
tt
.
ttttawracna=+
5
2－3
2．非蓬齐对策条件（意义）
2－4
0
()
[
lim
t
vrndv
t
t
ae
→∞
∫
≥
这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于，因此总债务的增长速度不能超过。我们定义
trn?
tr
0
1
t
trr
t
= vd
∫
，因此2－4又可被写为
()
[() ] 0
lim
ttr n
t
ate
→∞
≥ 2－4’
3．汉密尔顿函数与一阶条件
家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化U。这个问题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式,
0
2－5
()
() [ ( ) ]
n
Huxe wrnac
ρ
μ
=++
其中μ是资产的影子价格。一阶条件为
()
0'()
nt
H
uce
c
ρ
μ
=?=
2－6
..
()
H
rn
a
μ μ
= =
μ 2－7
lim[ ] 0tt
t
aμ
→∞
= 2－8
其中2－7是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。2－8是横截条件。现在我们来求出最优的消费变化。2－6两边对时间求导得
3
这种效用函数，这里的ρ等价于上一节中的。因此本节稳态解的结论与第一节比较时，
要结合这个关系。之所以在第一节和第二节用两种不同的效用函数，实际上是拉姆齐增长模型中的两种用法。第二节的这种用法又被称为Benthamite felicity function（幸福函数）
nρρ=
第一节
＋
4
其实是根据横截条件推出的。
5
,因此
.
tttttAwLrAC=+?t
....
.
2
()/
ttttttAALALALA
a d dt w ra c na
LLL
== =?=+?
6
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
2－9
..
() ()
''( ) ( ) '( )
n
ucce nuce
ρ
μ
=
ntρ
uc由2－6，知e，代入到2－9并将2－7代入2－9，得,
()
/'()
ntρ
μ
=
.
''( )
[](
'( )
uccc
r
uc c
ρ=? ) 2－10
''( )
'( )
ucc
uc
为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性,
1
/ [ '( ) / '( )]
[
'( ) / '( ) ( / )
st s t
st st
cc duc uc
uc uc dcc
σ
=
2－11
跨期替代弹性是/s tcc比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数
6
。
。因此2－10可以写为
.
1
()
c
c
ρ
σ
=+r
或
.
(
c
r
c
)σ ρ=? 2－12
跨期替代弹性越大，表示消费者越不关心消费平滑，表示消费的增长越大。考虑一个不变跨期替代弹性的效用函数（CIES）
1
1
()
1
c
θ
uc
θ
=
，0,1θ θ>≠；uc() logc=，1θ = 2－13
其中θ?是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性1/σ θ=。因此2－12变为
.
cr
c
ρ
θ
= 2－14
对2－7积分得,
(
() (0)
ttr n
teμμ
=
)
，(0) 0μ > 2－15
因此2－8变为
6
实际反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应，因为简单的跨期消费问题中存在
1
'( ) 1
'( ) 1
t
t
uc r
uc ρ+
+
=
+
，
ρ是贴现率，r取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写为
1
1 (1 )
[]
(1 )
t
tc
cr
θ
ρ
+
=
+
+
，1/θ σ=。因此跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。
7
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
()
m[ ] 0
ttr n
t
t
ae
→∞
=li 2－16
即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死后留下任何正的资产都是非理性的。当0ta <（负债），一个无限期的家庭希望通过不停的借债但不偿还，来违反2－16，因此2－4就是为了确保这种链式融资的不发生。在均衡状态，根据横截条件2－16，一个家庭不愿持有超过或等于trn?
的资产增长，否则横截条件就违反了，也就是说没有人愿意接受增长速度超过
trn?的债权，也就意味着没有人可以发行增长速度超过trn?的债务。因此2－4
是信贷市场均衡的结果。
4．消费
由，将ar
.
() () ()
[]/ ()
rnt rnt rnt
dae dt ae ar ne
=
.
()ttnawttc=?两边同乘得,
(rn
e
)t
() () ()
000
([ ]/ )
TTT
rt n t rt n t rt n t
ttdae dtdt we dt ce dt
=?
∫∫∫
即
() () ()
00
(0)
TT
rt n T rt n t rt n t
Tt te ce dt we dt a
+=
∫∫
a 2－17?
当T，利用2－16，可得 →∞
~
() ()
00
(0) (0) (0)
rt nt rt nt
ttce dt we dt a w a W
∞∞
= +=+=
∫∫
2－18
由2－14可得
(1/ )[ ]
0
tr
t e
t
cc
θ ρ?
= 2－19
将2－19代入到2－18得；
[(1 )/ / ]
0
(0) /( )
rt n t
e d
θθρθ
∞
+
=
∫
cW 2－20
t
5．厂商
^
(,) (,)ttt tYFKAL FKL== 2－21
其中()
t
At e
γ
=，。写成人均的形式为
^
ttLAL= t
t
YL 2－22
^^ ^ ^
()tttt tyLfk==
其中
^
() ( /,1)ttf kFKAL=。具有下列关系
7
7
固定，Y对求导；固定，Y对 L K K L
8
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
^
'( )
t
t
Y
f k
K
=
,
^^^
[( ) '( )]
t
t
ttt
t
Y
f kkfke
L
γ
=?
2－23
并满足，，(0) 0f = '(0)f =∞ '( ) 0f ∞ =（Inada条件）
利润函数为
^^^
[(,) ]
t
tt tt tttLFKL Rk we
γ?
Π= 2－24
其中tR是厂商向居民租赁资本的租金，ttRrδ= +。给定，利润最大化为,
^
tL
^
'( )ttfk rδ=+ 2－25
为了维持零利润，将2－25代入2－24，有
[(
^^^
) '( )]
t
ttt tf kkfkew
γ
= 2－26
6．均衡
1）．定义cc
^
t
e
γ?
=，因此
^.
^^,
'( )
/() /
t
tt tt
fk
cc cc()
δ ρθγ
γ
θ
=?= 2－27
2）．在均衡中，代表性家庭没有净债务，人均平均资产等于平均资本，因此。
因此跨期预算约束可以写为
ttak=
kw 2－28
.
ttttrkcnk=+t
因为kk
^
t
tte
γ?
=，所以
kw 2－29
.
^^
()
t
tt te rn kc
γ
γ
=+
^
t
^
tc
将2－25和2－26代入2－29，得
kf 2－30
.
^^ ^
()( )tt tk n kγδ=?++?
3）．利用kk
^
t
t e
γ?
=，
^
'( )ttfk rδ=+，以及2－16，TVC条件变为
li
^
0
^
('( ) )
m[ ] 0
t
vfk ndv
t
ke
δγ
→∞
∫
= 2－31
2－27和2－30构成在(,上的动态系统。
^^
)tck
4）．在稳态中，有cc,
.
^^
)/( ) 0tt=
.
^^
()/()0ttkk=，因此
^
'( )tfk δ ρθγ=++ 2－32
9
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
^
'( )tfk δ ρθγ=++，被称为是修正的黄金律。
cf 2－33
^^
()( )ttk n kγδ=?++
^
t
稳态中的消费、投资人均增长率等于γ。2－32，2－33刻画的稳态需要满足
TVC，因此2－31中，rf，即稳态中的资本回报率大于增长率。
从2－32可知
^
**
'( )k nδγ=?>+
^
0'c
^
0c
^
0''c
^
0k
^
*
k
^
gold
k
^
**
k
.
^
0k =
.
^
0c =
^
c
^
k
DD
B
图1－2 拉姆齐模型中的相位图
(1 )nρ θγ>+? 3－34
或者
e
nρ ρθγ γ=+ >+
其中
e
ρ被称为有效主观贴现率
8
。
由3－33可知消费在
^
'( )tfk nγ δ= ++ 3－35
时达到最大。3－34保证了
^^
* gold
kk<，即稳态的资本小于黄金律水平，避免了资
8
这是由于消费以γ速度增长，所以边际效用递减。
10
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
本积累过多。原因过多积累不是最优，因为减少可以多消费；同时小于黄金律是因为有效主观贴现率ρ θγ+，消费者又不希望牺牲当前的消费。（分析ρ，θ降低的影响）。
^
0
n γ+
(=?
( n+
ρ
分析：c（储蓄不足，违反欧拉方程，从2－32可以看出路径变化），c（均衡路径），（储蓄过多，违反TVC）
^
0'
^
''c 0
详细说明,
1）考虑低于的路径，例如初始位置在，那么k会超过黄金律资本存量,
此后真实利率低于
DD
^
0''c
，从而
(trt n t
ee
)γ?+
上升，所以
()trt n t
tee k
γ?+
发散，因此
()
lim
trt n t
t
ee
γ?+
→∞
tk=∞，因此违反了横截条件。或者根据Blanchard和Fischer（1989）
第二章附录2。［注意Blanchard和Fischer（1989）是利用当前值汉密尔顿函数来表示的，对横截条件的说明经过简单的代换和现值是一样的］
2）当高于的路径，在这条路径上资本以递增的速度减少。 DD
对2－30，kf进行全微分得,
.
^^ ^
() )tt tk n kγδ++?
^
tc
^,.
2
^^
2
['() )] 0
t
tt
dk
fk k c
dt
γδ=?+?，当
^
'( ) ( )tfk nγ δ>++和,
.
^
0tc >
^
t<
因此k会在有限的时间变为（
^
t 0 B点），因为在B点，为零，经济必须移到原点，因此由一个正值变为零，这种跳跃违背了（2－12）
^
tk
^
tc
.
^
^
(
c
r
c
)σ=?，因为当，r，（2－12）左式为负，右边为无穷大，因此违反了欧拉方程的条件（2－12）。
^
0k t → →∞
7．鞍点路径的形状
高θ，跨期替代率低，更愿意进行消费平滑，趋于稳态的速度慢。
低θ，跨期替代率高,作为对当前高收益的反应，更愿意进行储蓄，减少消费，趋于稳态的速度快。
11
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
^
k
^
*
lowk θ
^
*
khighθ
lowθ
highθ
θ图2－2 对鞍点路径的影响
8．储蓄
对于C－D生产函数
^
^
()f kAk
α
=，均衡的储蓄率为
sn
*
()/(x)α γδρθ=++ ++δ 3－36
（证明，详细见Barro＆Sala-I-Martin 1995，P89,AppendixB）
两种效应：替代效应，消费平滑使得储蓄率在收入较低时较低，但是较大的跨期替代弹性，更有助于储蓄。收入效应，有助于储蓄，因为当收入增加时，当前收入与持久性收入的差距变小，意味着平滑消费的意愿更小，储蓄率上升）
当1/，固定储蓄率，如Solow－Swan模型
*
sθ =
当1/，跨期弹性较高，因此储蓄率一直在之上，并趋近，由于资本增加导致利率下降，因为跨期弹性大所以使得储蓄下降，其影响大于收入上升的影响。
*
sθ >
*
s
当1/，跨期弹性较低，因此储蓄率一直在之下，并趋近（收入上升因素主导作用）。
*
sθ <
*
s
9．资本存量和产出的路径
由2－27和资本增加导致利率下降,单调下降。
.
^^
()/()ttcc
12
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
类似，()也单调下降。因此储蓄率在过渡路径上的的增加，并不能消除趋同性。
.
^^
/(tkk)t
dt
通过线性化可知,
..
^^ ^^ ^ ^ ^
( ) /( ) [ '( ) / ( )].[( ) /( )]tt tt t ttyy kfkfk kk=
即资本的增长按照占生产中的份额对生产构成影响。
10.另一种机制（社会计划者解）
效用函数可写为Uu，实际主观贴现率为
^^
() [ (1)]
0
00
() ()
nt t t n t
ttce duce
ργθγ ργθ
∞∞
+
==
∫∫
ρ θγ+。资本积累为
.
^^ ^^
()( )tt ttkfk n kcγδ=?++?。因此社会计划者问题为,
ma 0xU
sj kf.,
.
^^ ^
()( )tt tk n kγδ
^
tc=?++? 2－37
这个节是与市场解相同的。原因，竞争性市场，没有外部性。我们会在下一讲，
Romer（1986）和Lucas（1988）看到社会计划者解和竞争性解的区别，因为存在外部性。
11．收敛（convergence），收敛的速度和稳态附近的分析
考虑如下问题,
生产函数为FAk
α
=，给定。效用函数为0k
1
1
c
U
σ
σ
=
，资本积累为
。不考虑人口增长和技术进步。
.
()ttkAk n
α
δ=? ttkc+?
最大值问题表示为,
1
()
0
x
1
nt t
c
ema
σ
ρ
σ
∞
∫
st
.
.,( )tt tk Ak n k c
α
δ=?+?t
给定k 0
现值汉密尔顿函数为
1
()
[()
1
t
nt
t
c
He Ak n kc
θ
ρα
μδ
θ
=+?+
]t?
)
2－37
最优化的必要条件是
2－38
-(
0
nt
Hc c e
θρ
μ
=?=
13
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
2－39
.
1
[(ktHAk
α
μμα δ
=? =? + )]n
TVC lim[ ] 0tt
t
kμ
→∞
= 2－40
因此可以写为,
将2－38微分，并用
.
1
[(tAk n
α
μ
αδ
μ
= + )]代入得到
.
1
(tcAk
c
α
)α δρ
θ
= 2－41
在稳态
.
0
c
c
=，
.
0
k
k
=。由2－41，稳态中
1
0tAk
α
αδρ
=，因此
1
*
1
()
A
k
α
α
ρδ
=
+
2－42
*
.
*
0()(
k
cAk nk
k
α
δ=? =? +
*
) 2－43
同时如果满足横截条件，因此从2－31，令0γ =，有，因此由
* 1
() (tAk n
α
α
>+)δ
* 1
()tAk
α
α ρδ
=+必须有nρ >。（和2－34比较，就可以知道技术进步下TVC
条件的变化）
分析稳态附近的均衡，简化分析
9
，假定n 0=，0δ =。那么在稳态有
kA；
.
ttk
α
=?tc
1
*
1
()
A
k
α
α
ρ
= 2－44
1
.
()tAk c
α
c
α δρ
θ
=；
*
1
()
A
cA
α
α
α
ρ
= 2－45
在稳态附近进行一阶泰勒展开，［Barro和Sala-I-Martin（1995）书中使用了对数线性展开，方法接近］，有
10
,
9
Blanchard和Fischer（1989）第二章附录B也作了类似的分析，这部分的处理来自Zilibotti的习题。
10
因为在稳态附近，有
*
*
*
^.
^
**
*
^^
*
^^ ^
.
(1 ) 1
'( ) ( ) 1
''( )
0''( ) '( )
t
t
t
tt
t
t
t
n
fk n
kk kk
k
fkc
cc cc
fkc fk
c
ρθγ
γδ
δρθγ
θ
θθ
+
++?
==
0,0,0n，又因为该例中γ δ===，所以容易得出2－46。
14
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
*
*1
.
*
2*
*.
() 1
(1)()
0
t
t t
t
t
t
Ak
k kk
Ak c
cc
c
α
α
α
αα
θ
=
2－46
在稳态时，有，同时利用2－44，2－45有
* 1
()tAk
α
ρα
=
.
*
2
*.
1
(1)
0
t t
t
t
k kk
cc
c
ρ
ρα
αθ
=
2－47
这个方程的特征值
11
满足
2
2
2
1
(1)
det 0 0
(1)
ρλ
ρα
λρλ
ρα
αθ
λ
αθ
= + =
2－48
这个二项式存在两个根
41
1
22
ρ ρ
λ
α
θ α
=± + 2－49
其中1
41
10
22
ρρ α
λ
θα
=+ + >； 2
41
10
22
ρρ α
λ
θα
=?+ <
因此2－46的解是
2－50
12*
12
tt
tkae ae k
λλ
=++
因为1 0λ >，所以，将产生资本的爆炸性增长，对应图1－2中的c，违反了TVC；当
1 0a >
0
^
0''
1a <，则资本将在有限期消耗光，对应图1－2中的c，违反了欧拉方程。因此只有a。因此
^
0'
1 = 0
2 *
2
t
tkae k
λ
=+ 2－51
因为当t，存在，所以0=
*
02kak=+
*
20akk=?。代入到2－51得
2－52
22**
00() (1
tt
tkkke kke ek
λλ
=? += +?
2*
)
tλ
系统的稳定性要求(,必须在动态系统的稳定特征向量上（由)ttck 2λ决定的特征向量），因此有
11
定义
2
1
(1)
0
J
ρ
ρα
αθ
=
，λ为解多项式||JI0λ? =的根。
15
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
2
2
2
2
1
41-
0(-)[11
(1)
2
t
tt
t
k
ck
c
ρλ
ρα
ρλ
ρα
θα
λ
αθ
=?= = + +
]tk 2－53
这也就是线性化的鞍点路径。
稳定的特征向量给出了资本收敛的速度，对2－50微分，移项可得
2
2
.
*
2
2
**
()
()
t
t
t
t
kkke
kk kke
λ
λ
λ
β λ
== =?
2－54
［考虑折旧、人口增长和技术进步见Barro和Sala-I-Martin（1995）第二章附录1］
12.拉姆齐模型中的政府
也可见Romer（1996）第二章，或Blanchard和Fischer（1989）第二章
1．一次总付税。因为征税不会对经济构成扭曲，所以可以集中考虑支出。稳态的条件变为,
^
'( )tfk δ ρθγ=++ 2－55
2－56
^^ ^
()( )tt tcfk n kgγδ=?++?
^
t
其中为人均有效支出。现在我们分四种情况考虑
^
tg
12
基本特征
情况1,
冲击是永久性的，未被预期到，处于稳态
（1）考察对稳态的影响，从2－25可以看出，稳态的资本存量独立于政府支出，因此稳态的人均产出也独立于政府支出。
因此政府支出一对一的抵消了私人消费。因此存在完全的财政挤出效应，政府支出只是改变了需求的结构，但是并不对均衡总产出有影响。相位图的分析，见图2－3。因为经济最初处于稳态，因为是未预期到的，居民感到自己的收入减少了
g
gτ =，
因此从原来的稳态移动到新的稳态在瞬间完成。
12
根据(a)冲击在t前，如T被预期；（b）冲击是持久的，还是暂时的；（c）经济是否在稳态。 0= 0<
16
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
情况2,
永久性冲击，
未预期，低于稳态
经济在趋于原来的稳态的过程中，鞍点路径发生变化。现在最优路径处于新的鞍点路径上。这意味着消费的降低和继续增加。
情况3,
永久性冲击，
被预期到，稳态
因为事先被预期到，所以即使支出还没发生，但是由于消费者的消费平滑动机，已经进行了新的最优化，这个过程减少了当前的消费，因此增加了资本积累，并形成了新的鞍点路径。
当政府支出付诸实施时，居民的有效收入减少时，居民的消费在新的鞍点路径趋于新的稳态时下降。
g
情况4,
暂时性冲击，
未被预期到，
稳态
当增长一段时间，消费下降，但低于，资本最初下降，但逐渐恢复到原来的鞍点路径上。直觉如下：因为暂时性的政府税收并不对代表性居民一生的财富有实质性的影响。又因为家庭偏好于消费平滑，因此愿意在征税期间减少的储蓄和资本积累，
直到经济重新收敛于稳态。
g g
g
0
dc
dt
=
0
dk
dt
=
'
0
dk
dt
=
c
k
0 'k
E
'E
图2－3 一次总付税下，公共支出的影响
2．李嘉图等价
13
17
13
我们会在迭代模型中，详细讨论李嘉图等价问题
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
对以上我们学到的模型，做个简单的修改，如下,
1．政府的预算方程为,
τ
t
tttt
db
nb g rb
dt
+=?+t 2－57
其中
tdb
dt
1tdd+ t?为期新发行的国债 t
2．家庭的预算方程为
t
tttt
da
cnawra
dt
tτ++=+? 2－58
这里ak，其中是私人资本积累，我们不考虑私人债券。政府的跨时约束为,
ttb=+t
td
tk
0
00
rt rt
tbegdeτ
∞∞
+=
∫∫
（2－59）
家庭的跨式约束为,
0
000
rt rt rt
te cdt a e wdt e dttτ
∞∞∞
=+?
∫∫∫
t
（2－60）
所以结合2－59和2－60,可得,
（2－61） 0
000
rt rt rt
tecdtk ewdt egdt
∞∞∞
=+?
∫∫∫
因此对于一个给定的支出路径，融资方式，无论是一次性总税收税收还是发行债务不会影响资源分配，这就是李嘉图等价。
tg
3．扭曲性税收
假定政府的预算方程为
Kra zτ =
其中Kτ为资本收益税。家庭的预算变为
(1 )
t
tttKt
da
cnaw ra
dt
τ++=+? +tz
因此稳态的条件变为
^
(1 )( '( ) )Ktfkτ δρθ=γ+
^
t
2－62
2－63
^^
()( )ttcfk n kγδ=?++
可以看出由于现在资本收益下降，居民减少储蓄，增加消费，降低资本积累。因此，较高的资本收益税，使得
.
0tc =线向左移，出现消费向上的瞬间调整。
这可以从图2－4中看出，如从A到达新的鞍点路径，'BB，然后沿着鞍点路径移动，最终停留在一个比以前更低的生产和消费的稳态位置。
18
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型
0
dc
dt
=
0
dk
dt
=
c
k
0 'k
E
'E
A
B
'B
图2－4 资本税的影响
13．附录1.现值汉密尔顿函数与当前值汉密尔顿函数
现值,
^^
()
() [ ( ) ( ) ]
n
ttHuxe fk n kc
ρ
μγδ
=+?+
^
t?
^
t? 或者写为，其中
，定义当前值汉密尔顿函数为。
^^
() ()
{() [ ( ) ( ) }
nn
tHe uxe qfk n kc
ρρ
γδ
=++
^
()nt
HHe
ρ
=
()nt
qe
ρ
μ
=
一阶条件仍然为
^
^
0
H
c
=
，
^
.
^
H
k
μ
=?
,同样也可以用现值汉密尔顿乘子写出,
^
^
0
H
c
=
,
^
.
^
(-)-
H
nq q
k
ρ
=
2－64
TVC变为
()
() () 0
nT
qTe kT
ρ
= 2－65
附录2拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则 Blanchard＆Fischer（1989）第二章
19
