达朗贝尔公式这里我们将介绍一类典型的双曲型方程 ----波动方程，它可用来描述弹性体的振动、声波、电磁波等波动的传播。在这里我们主要研究一维波动方程 ----弦振动方程的柯西问题。
考察自由弦振动方程
02
2
2
2
2
x
ua
t
u
（ 1）
,21,catxcatx
（ 2）
方程（ 1）的特征线是两族直线：
其中 c1,c2为任意常数，取这两族特征线为新的坐标曲线，即作自变数变换：
,,atxatx
（ 3）
方程（ 1）立即变为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：
.0u
（ 4）
式为容易看出其解的一般形积分一次，积分一次，再对）先对将方程（4
)()( GFu
（ 5）
回到原来的变数 x及 t,立即得到方程（ 1）的解的一般形式即其通解为
).()(),( atxGatxFtxu
（ 6）
由（ 6）式可见，自由弦振动方程（ 1）的解可以表示为形如 F(x-at)与 G(x+at)的两个函数之和。
其中 u=F(x-at)表示一个在初始时刻 t=0时为 u=F(x)的波形，以速度 a>0向右（即 x轴正向）传播，而波形保持不变，它称为 右传播波 ；而 u=G(x+at)则表示以速度 a
向左传播的波，称为 左传播波 。
其中 F及 G为任意的单变数的二阶连续可微函数。
方程（ 1）的形如 u=F(x-at)或 u= G(x+at)的解称为 行波 。
弦振动方程的通解表达式（ 6）式说明,
弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右两个方向传播出去。
下面我们可以看到，通过把方程（ 1）的解表示为向两个方向传播的行波之和，即表示为右传播波和左传播波的迭加，可用来求一些定解问题的解。这个方法称为 行波法 。
))((),(:0
),0( 0
2
2
2
2
2
xx
t
u
xut
xt
t
u
a
t
u
（ 7）
（ 8）
现在我们用行波法来求解弦振动方程的柯西问题。
为此，要适当选取函数 F及 G,使由（ 6）式给出的解满足初始条件（ 8）。将（ 6）代入（ 8），立即可得
).()(')('
),()()(
xxaGxaF
xxGxF
（ 9）
（ 10）
将（ 9）式两端关于 x求导一次得
).(')(')(' xxGxF
（ 11）
由（ 10）、（ 11）两式解得
)).()('(
2
1
)('
)),()('(
2
1
)('
xxa
a
xG
xxa
a
xF
再将以上两式关于 x积分一次就得到
.)(
2
1
)(
2
1
)(
,)(
2
1
)(
2
1
)(
2
0
1
0
cd
a
xxG
cd
a
xxF
x
x
（ 12）
（ 13）
其中 c1与 c2是常数。由（ 9），应有
c1+c2=0,（ 14）
将（ 12）、（ 13）式代入（ 6），并注意到
（ 14），就得到
.)(
2
1
))()((
2
1
),(
atx
atx
d
a
atxatxtxu
（ 15）
这个公式称为 达朗贝尔公式 。
于是我们就得到如下定理定理
）给出。解由达朗贝尔公式（
），且此（）存在着唯一的解）、（（
），那么柯西问题（），（设
15
,87
12
txu
RCRC
下面，我们举例求解弦振动方程的柯西问题例 1
方程的柯西问题弦振动上满足的初始条件，即其在无界区域已知下列弦振动方程及
x
t,0
)( s i n,:0
),0( 0
2
2
2
2
2
xx
t
u
xut
xt
t
u
a
t
u
解 由达朗贝尔公式可得其解为：
tx
tx
dtxtxtxus i n
2
1))()((
2
1),(
)c os
2
1( tx
txx
txx s ins in
2
1
下面的三维图形给出了解的直观表达颜色的深浅代表 u(x,t)的高度由侧面图可以清楚地看出弦的振动范围当 t=0时,u=x.
当 t=5时的波形例 2
)(,s i n:0
),0( 0
2
2
2
2
2
xe
t
u
xut
xt
t
u
a
t
u
x
求解下列弦振动方程的柯西问题解 由达朗贝尔公式可得其解为：
tx
tx
detxtxtxu
2
1))s i n ()( s i n (
2
1),(
tx
tx
etx
2
1c o ss in
)(
2
1c o ss i n txtx eetx
三维波形图
考察自由弦振动方程
02
2
2
2
2
x
ua
t
u
（ 1）
,21,catxcatx
（ 2）
方程（ 1）的特征线是两族直线：
其中 c1,c2为任意常数，取这两族特征线为新的坐标曲线，即作自变数变换：
,,atxatx
（ 3）
方程（ 1）立即变为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：
.0u
（ 4）
式为容易看出其解的一般形积分一次，积分一次，再对）先对将方程（4
)()( GFu
（ 5）
回到原来的变数 x及 t,立即得到方程（ 1）的解的一般形式即其通解为
).()(),( atxGatxFtxu
（ 6）
由（ 6）式可见，自由弦振动方程（ 1）的解可以表示为形如 F(x-at)与 G(x+at)的两个函数之和。
其中 u=F(x-at)表示一个在初始时刻 t=0时为 u=F(x)的波形，以速度 a>0向右（即 x轴正向）传播，而波形保持不变，它称为 右传播波 ；而 u=G(x+at)则表示以速度 a
向左传播的波，称为 左传播波 。
其中 F及 G为任意的单变数的二阶连续可微函数。
方程（ 1）的形如 u=F(x-at)或 u= G(x+at)的解称为 行波 。
弦振动方程的通解表达式（ 6）式说明,
弦上的任意扰动总是以行波的形式向左右两个方向传播出去。
下面我们可以看到，通过把方程（ 1）的解表示为向两个方向传播的行波之和，即表示为右传播波和左传播波的迭加，可用来求一些定解问题的解。这个方法称为 行波法 。
))((),(:0
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2
2
2
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xx
t
u
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t
u
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（ 7）
（ 8）
现在我们用行波法来求解弦振动方程的柯西问题。
为此，要适当选取函数 F及 G,使由（ 6）式给出的解满足初始条件（ 8）。将（ 6）代入（ 8），立即可得
).()(')('
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xxGxF
（ 9）
（ 10）
将（ 9）式两端关于 x求导一次得
).(')(')(' xxGxF
（ 11）
由（ 10）、（ 11）两式解得
)).()('(
2
1
)('
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2
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再将以上两式关于 x积分一次就得到
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cd
a
xxG
cd
a
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x
x
（ 12）
（ 13）
其中 c1与 c2是常数。由（ 9），应有
c1+c2=0,（ 14）
将（ 12）、（ 13）式代入（ 6），并注意到
（ 14），就得到
.)(
2
1
))()((
2
1
),(
atx
atx
d
a
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（ 15）
这个公式称为 达朗贝尔公式 。
于是我们就得到如下定理定理
）给出。解由达朗贝尔公式（
），且此（）存在着唯一的解）、（（
），那么柯西问题（），（设
15
,87
12
txu
RCRC
下面，我们举例求解弦振动方程的柯西问题例 1
方程的柯西问题弦振动上满足的初始条件，即其在无界区域已知下列弦振动方程及
x
t,0
)( s i n,:0
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2
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解 由达朗贝尔公式可得其解为：
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2
1
下面的三维图形给出了解的直观表达颜色的深浅代表 u(x,t)的高度由侧面图可以清楚地看出弦的振动范围当 t=0时,u=x.
当 t=5时的波形例 2
)(,s i n:0
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2
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求解下列弦振动方程的柯西问题解 由达朗贝尔公式可得其解为：
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三维波形图
