测试技术 (10)
王伯雄
3.8压电传感器压电传感器：一种有源传感器，亦即发电型传感器。
它利用某些材料的压电效应，这些材料在受到外力的作用时，在材料的某些表面上产生电荷。
一、压电效应压电效应 (piezoelectric effect)：
某些材料当它们承受机械应变作用时，其内部会产生极化作用，从而会在材料的相应表面产生电荷；或者反过来当它们承受电场作用时会改变其几何尺寸。
分类：
单晶压电晶体，如石英、罗歇尔盐（四水酒石酸钾钠）、
硫酸锂、磷酸二氢铵等；
多晶压电陶瓷，如极化的铁电陶瓷（钛酸钡）、锆钛酸铅等；
某些高分子压电薄膜。
用极化强度矢量来表示材料的压电效应：
式中 x,y,z是与晶轴关连的直角坐标系（见图 3.45）。
将极化强度写成轴向应力 σ与剪应力 τ表示的形式：
zzyyxx PPPP
(3.66)
图 3.55 压电系数的轴向表示法
xyzxyzzzyyxxzz
xyzxyzzzyyxxyy
xyzxyzzzyyxxxx
ddddddP
ddddddP
ddddddP
363534333231
262524232221
161514131211
(3.67)
式中,dm,n为压电系数，下标 m表示产生电荷的面的轴向,n表示施加作用力的轴向，在图 3.55中，下标
1对应于 X轴，下标 2对应于 Y轴，而下标 3对应于 Z轴。
当材料的受力方向和产生的变形不一样时，压电系数也不同。
压电系数 d的量纲对于正压电效应来说为即每单位力输入时的电荷密度,对于逆压电效应来说则是即每单位场强作用下的应变。
石英晶体是常用的压电材料之一。其中纵轴 Z—Z称为光轴,X—X轴称为电轴，而垂直于 X—X轴和 Z—Z轴的 Y—Y轴称为机轴。沿电轴 X—X方向作用的力所产生的压电效应称为纵向压电效应，而将沿机轴 Y—Y方向作用的力所产生的压电效应称为横向压电效应。当沿光轴 Z—Z方向作用有力时则并不产生压电效应。
2
2
,/
/
mN
mCd
nm?
mV mmd nm //,?
(3.68)
(3.69)
图 3.56 石英晶体
（ a）左旋石英晶体的外形 （ b）坐标系 （ c）切片主要的压电效应：
横向效应；
纵向效应；
剪切效应。
晶片在电轴 X—X方向上受到压应力 σxx作用切片在厚度上产生变形并由此引起极化现象，极化强度 Pxx与应力 σxx成正比，即式中
Fx——沿晶轴 X—X方向施加的压力；
d11——压电系数,石英晶体的 d11=2.3× 10-12CN-1；
l——切片的长；
b——切片的宽。
lb
FddP x
xxxx 1111
(3.70)
图 3.57 压电效应作用方向图极化强度 Pxx又等于切片表面产生的电荷密度，即式中
qxx——垂直于晶轴 X-X的平面上产生的电荷量。
由式（ 3-70）和（ 3-71）可得
当石英晶体切片受 X向压力作用时，所产生的电荷量
qxx与作用力 Fx成正比，但与切片的几何尺寸无关。
lb
qP xx
xx?
(3.71)
xxx Fdq 11?
在横向（ Y—Y）施加作用力 Fy
式中
d12—石英晶体在 Y—Y轴方向受力时的压电系数；
ly,lx—石英切片的长和厚 。
根据石英晶体轴的对称条件有则式（ 3.73）变为
当沿着机轴 Y—Y方向施加压力时，产生的电荷量与晶片几何尺寸有关，而该电荷的极性则与沿电轴 X—X方向加压力时产生的电荷极性相反（式中负号）。
y
x
y
y
x
y
xy Fl
ldF
bl
bldq
1212
(3.73)
1112 dd
y
x
y
xy Fl
ldq
11
(3.74)
压电体受到多方面的力作用：
纵向和横向效应可能都会出现。
可将式（ 3.72）和（ 3.73）统一用矩阵形式表示为
Q=LDF （ 3.75）
式中 Q,D,F均为矩阵； L为列向量，其大小取决于压电体不同的受力方式及晶片的尺寸。
图 3.58 石英晶体压电效应
（ a）纵向效应 （ b）横向效应铁电陶瓷
铁电陶瓷是另一类人工合成的多晶体压电材料，它们的极化过程与单晶体的石英材料不同。这种材料具有电畴结构形式，其分子形式呈双极型，具有一定的极化方向。
钛酸钡陶瓷未受外加电场极化时：钛酸钡晶体单元在 120oC以下时形状呈立方体。在无外电场作用时，各电畴的极化效应相互被抵消，因此材料并不显示压电效应。
图 3.59 钛酸钡压电陶瓷电畴结构
（ a）未极化（ b）已极化
– 钛酸钡材料置于强电场中：电畴极化方向趋向于按该外加电场的方向排列，材料得到极化。撤去外电场之后，陶瓷材料内部仍存在有很强的剩余极化程度，束缚住晶体表面产生的自由电荷。在外力作用下，剩余极化强度因电畴界限的进一步移动而引起变化，从而使晶体表面上的部分自由电荷被释放，形成压电效应。
二、压电传感器工作原理及测量电路压电传感器可视为一个电荷发生器，也是一个电容器，其形成的电容量图 3.60 压电晶片及等效电路
（ a）压电晶片 （ b）并联 （ c）串联 （ d）等效电荷源
Ac 0?
压电传感器可被视为一个电荷源：
等效电路中电容器上的开路电压 ea、电容量 q以及电容
Ca三者间的关系有压电传感器可被视为一个电压源。
a
a C
qe? (3.76)
图 3.61 压电传感器的等效电路
（ a）电荷源 （ b）电压源压电传感器实际的等效电路若将压电传感器接入测量电路，则必须考虑电缆电容 CC、
后续电路的输入阻抗 Ri、输入电容 Ci、以及压电传感器的漏电阻 Ra，此时压电传感器的等效电路如图 3.62所示。
图 3.62 压电传感器实际的等效电路
（ a）电荷源 （ b）电压源压电传感器的前置放大器：
采用电阻反馈的电压放大器；
采用电容反馈的电荷放大器。
电压放大器根据电荷平衡建立方程式有式中，
q—压电元件所产生的电荷量；
图 3.63 压电传感器接至电压放大器的等效图
idtecq (3.77)
C—等效电路总电容,C=Ca+Cc+Ci；
e—电容上建立的电压；
i—泄漏电流。
而 e=Ri
式中 R为放大器输入阻抗 Ri和传感器的泄漏电阻 Ra的等效电阻,R=Ri//Ra 。
当测量的外力为一动态交变力 F=F0sinω0t时，则根据式
（ 3.75）有为分析简单起见，将 L归一化得：
或
tLqtL D FL D Fq 0000 s ins in (3.79)
tqq 00 sin (3.80)
tqidtC R i 00 s in (3.81)
tqidtdiCR 000 c o s (3.82)
上式的稳态解为：
电容上的电压值设放大器为一线性放大器，则放大器输出式中 k——放大器的增益。
)s in ()(1 02
0
00
tCR
qi
RCa rct g 0
1
(3.83)
)s in (
)1(1
1
0
2
0
0
t
RC
C
qRie (3.84)
)s in (
)1(1
1
0
2
0
0
0
t
RC
C
qke (3.85)
总结：
压电传感器的低频响应取决于由传感器、连接电缆和负载组成的电路的时间常数 RC 。
为了不失真地测量，压电传感器的测量电路应具有高输入阻抗，并在输入端并联一定的电容 Ci以加大时间常数 RC。
但并联电容过大会使输出电压降低过多。
使用电压放大器时，输出电压 e0与电容 C密切关联。
电荷放大器
是一个带电容负反馈的高增益运算放大器。
等效电路图如图 3.64所示。
式中
ei—放大器输入端电压；
ey—放大器输出端电压；
Cf—放大器反馈电容。
图 3.64 电荷放大器原理图
fyiifyiicai CeeCeCeeCCCeq )()()(
(3.86)
根据,ey=-Kei,K为电荷放大器开环放大增益，则有当 K足够大时，有 KCf>>C+Cf，则式（ 3.87）简化为
在一定的条件下，电荷放大器的输出电压与压电传感器产生的电荷量成正比，且与电缆引线所形成的分布电容无关。
为使运算放大器工作稳定，通常在电荷放大器的反馈电容 Cf上并联一个电阻 Rf。
ff
y KCCC
Kqe
)(
(3.87)
f
y C
qe (3.88)
图 3.65 并联的情况三、压电传感器的应用
1,压电加速度传感器地震式（绝对）位移传感器被测对象的振动为 xi，质量
m相对于底座的振动为 x0,
根据牛顿运动定律有：
式中 xm为绝对位移。
化为标准形式：
式中
)()( 000 xxmxmxCkx im (3.91)
inn xxxx 0202 (3.93)
,mkn kmC2
图 3.66 惯性式传感器
（ a）线位移式 （ b）旋转式设输入振动为则输入与输出间的关系为
tXx ii?c o s?
)(
)(
1/2)/(
/)(
)(
)(
2
22
jX
jX
jj
j
jX
jX
i
o
nn
n
i
o
(3.94)
图 3.67 惯性式传感器频率相应特性
（ a）幅频特性 （ b）相频特性若令图 3.66所示的结构的输入为加速度,则由式（ 3.94）变换可得 i
x?
1/2/)()(
)(
)()(
)(
222
nn
n
i
o
i
o
jj
K
jX
jX
jXj
jX
图 3.68 加速度计型惯性接收的特性曲线
（ a）幅频特性曲线 （ b）相频特性曲线
(3.95)
小结
惯性式加速度传感器的工作频段是在 ω/ω n=0~1
之间的平坦段；
在该平坦段内，振动位移 xo正比于被测加速度。
当 ω/ω n=0时，幅值为 1。
加速度计惯性接收具有零频率响应的特征。
如果传感器的机电转换部分和测量电路也具有零频率响应特性，则所构成的整个测量系统也将具有零频率响应，可用于测量甚低频的振动和恒加速度运动。
理论上压电加速度计的频率响应函数具有式（ 3.95）
的形式。
由于压电传感器一般采用电荷放大器作为测量电路，
因此导致实际的压电加速度传感系统的传递特征为式（ 3.90）与式（ 3.95）的组合形式：
式中
K—电路系统灵敏度,K=Kq/Cf,而 Kq—弹簧刚度系数。
]1/2)/)[(1(
)()/(
)(
)(
2
nn
n
i
o
jjj
jKK
jx
jE
(3.96)
低频响应实际由 τjω/(τjω+1)所决定。
由于后续测量电路的影响，整个系统实际上不具有零频率响应，因此不能用来测量静位移。
图 3.69 实际的压电加速度计的频率响应特性压电加速度传感器的分类：
压缩式；
剪切式。
图 3.70 压电加速度传感器设计类型
（ a）周边压缩式 （ b）中心压缩式 （ c）倒置式中心压缩式 （ d）剪切式压缩式结构的原理：
其压电变换部分由两片压电晶片并联而成。惯性质量借助于顶压弹簧紧压在晶片上，惯性接收部分将被测的加速度接收为质量 m相对于底座的相对振动位移 x0，晶片受到动压力 p=kx0,然后由压电效应转换为作用在晶片极面上的电荷 q。
周边压缩式结构的特点：
简单且牢固，具有很好的质量 /灵敏度比 ；
极易敏感温度、噪音、甚至弯曲等造成的虚假输入 。
中心压缩式结构：
降低周边压缩式结构对虚假输入的响应 ；
减少结构对基座弯曲应变的灵敏度。
剪切式结构：
– 典型的剪切式结构：三角剪切式
– 原理：由三片晶体片和三块惯性质量组成，借助于预紧弹簧箍在三角形的中心柱上。当传感器接收轴向振动加速度时，
每一晶体片侧面受到惯性质量作用的剪切力。所产生的电荷量为 q，
rkxdpdq 1515
(3.97)
图 3.71 晶体片受剪切力的压电效应式中
xr－质量块的相对振动位移；
k－由晶体片剪切弹性力提供的当量弹簧刚度系数。
– 三角剪切式的优点：
在较长时间内保持传感器特性的稳定，有更宽的动态范围和更好的线性度。
对底座的弯曲变形不敏感。 图 3.72 三角剪切式（ b）与中心压缩式（ c）对底座弯曲变形敏感的对比
2,压电力传感器压电力传感器具有与压电加速度传感器相同形式的传递函数。
用压电传感器测激振力：
Km1和 Km2分别表示安装螺钉的刚度。若用 Zs（包括
Km2 ）表示结构的阻抗，
则有 Zs=fs/vs,为实际施加于结构的力,fs=Zsvs。但传感器实际测到的力为弹簧 Kt中的力 Fm,Fm正比于 Mt1和 Mt2的相对位移，
Mt1和 Mt2分别为传感器顶部和底部的质量。
图 3.73 压电力传感器及其动态误差分析
（ a） 力传感器截面结构图
T－顶部； P－压电盘片； GP－导向销；
S－顶载螺钉； N－顶载螺帽； B－基座在动态条件下，
从而有若 Mt2=0，则无论 Zs为何值，测量值 Fm精确地等于实际值 Fs。因此一般均选择较小的 Mt2值。
对弹簧性结构形式有：
代入（ 3.99）式有：
stssm vMZvF?2 (3.98)
12
s
t
s
m
Z
jM
jF
jF?
(3.99)
jKZ ss /?
2
S
t2
K
M1?
jF
jF
s
m (3.100)
逆压电效应
当施加电压时，会使压电片产生伸缩从而导致压电片几何尺寸的改变。
应用：
压电致动器：例如施加一高频交变电压，则可将压电体作成一振动源，利用这一原理可制造高频振动台、超声发生器、扬声器、高频开关等。
精密微位移装置,用于制成录像带头定位器、
点阵式打印机头、继电器、以及电风扇等
3.9磁电式传感器概念：一种将被测物理量转换为感应电动势的装置，亦称电磁感应式或电动力式传感器。
由电磁感应定律可知,当穿过一个线圈的磁通 Φ发生变化时,线圈中所感应产生的电动势分类：
动圈式；
动磁铁式；
磁阻式。
dt
dWe (3.101)
一、动圈式传感器图 3.75 动圈式传感器
（ a）线位移式 （ b）角位移式由线位移式装置的工作原理可知，当弹簧片敏感有一速度时，线圈则在磁场中作直线运动，从而切割磁力线，因此它所产生的感应电动势式中
B—磁场的磁感应强度 （ T） ；
l—单匝线圈的有效长度 （ m） ；
W—有效线圈匝数,指在均匀磁场内参与切割磁力线的线圈匝数；
vy—敏感轴 （ y轴 ） 方向线圈相对于磁场的速度 （ m/s） ;
θ—线圈运动方向与磁场方向的夹角 。
当线圈运动方向与磁场方向垂直亦即 θ=90° 时，上式可写为
s ins in yW B lvyW B le (3.102)
yWBlve?
(3.103)
结论：
当传感器的结构参数（ B,l,W）选定，则感应电动势 e的大小使正比于线圈的运动速度 vy。
这种传感器亦称速度传感器。
将被测到的速度经微分和积分运算又可得到运动物体的加速度和位移，因此速度传感器又可用来测量运动物体的位移和加速度。
对于角速度型动圈式传感器结构，线圈在磁场中转动时，产生的感应电动势式中
ω—线圈转动的角频率；
A—单匝线圈的截面积 （ m2） ；
k—依赖于结构的参数,k>1。
当 W,B,A选定时，感应电动势 e与线圈相对于磁场的转动角速度成正比。
用这种传感器可测量物体转速。
kW BAe? (3.104)
将传感器线圈中所产生的感应电动势 e经电缆与电压放大器相连接时，其等效电路如图 3.76所示。图中 e为感应电动势，
Z0为线圈等效阻抗,RL为负载电阻,Cc为电缆的分布电容,Rc
=0.03Ω/m,Cc=70pF/m，发电线圈阻抗 Z0=r+jωL,r约为
300~2kΩ,L为数百 mH。相对来说 Rc可予以忽略，此时等效电路中的输出电压若电缆长度不长，则 Cc可加以忽略，又若使 RL>>Zo，则由上式可简化得 eL≈eo。
图 3.76 动圈磁电式传感器等效电路
oC
L
o
L
ZCjRZ
ee
1
1 (3.105)
磁电式速度传感器的分类：
绝对式速度传感器；
相对式速度传感器：
传感器的输出电压正比于测点相对于基座的相对运动速度。因此，相对式速度传感器适合于测量结构上两部件间的相对运动。
图 3.77 绝对式振动传感器
1－弹簧片 2－永磁铁 3－阻尼环
4－支架 5－中心轴 6－外壳 7－线圈图 3.78 相对振动速度传感器
1－顶杆 2－弹簧片 3－永磁铁
4－线圈 5－引线 6－壳体 7－导磁体绝对式速度传感器的动态特性就是惯性 (绝对 )位移型传感器的动态特性。
图 3.67 绝对式速度传感器的动态特性
（ a）幅频特性 （ b）相频特性结论：
1,为实现不失真测量，幅频特性应为常值。当
ω/ω n>1以后，幅频特性曲线随的增加而趋向于 1，
这一区域便是传感器的使用频率范围。
2,当?=0.707时，该趋于常值的速度最快，因此一般采用?=0.6~0.7的阻尼比，从而可有效地压低使用频率的下限。
3,如要求测量误差 ≤ 5%，则测量的频率范围约为
ω/ω n ≥1.7 。
4,引进阻尼虽然改善了谐振频率附近接收灵敏度曲线的平坦度，但阻尼也增加了相移。
5,当测量频率大于谐振频率时，若输入与输出信号的各频率成分相移值近似为 180° 时，亦即此时传感器对输入信号起着一个倒相器的作用，则可认为测量结果是不失真的。
6,为近似获取倒相特性，应使 ω>(7~8)ω n。
7,速度传感器的固有频率 ω n是一个重要的参数，它决定了传感器所测量的频率下限。为扩展传感器的工作频率范围，设计中应使做得尽可能低。
二、磁阻式传感器磁阻式传感器：使线圈与磁铁固定不动，而由运动物体（导磁材料）运动来影响磁路的磁阻，从而引起磁场的强弱变化，使线圈中产生感应电势。可用来测量转速、振动、偏心量等。
图 3.79 磁阻式传感器工作原理及应用例
（ a）测频数 （ b）测转速 （ c）偏心测量 （ d）振动测量三、涡流 —磁电式相对加速度传感器涡流 -磁电式传感器：一种将涡流式与磁电式传感元件结合而形成的发电式传感器。
图 3.80 涡流－磁电型加速度传感器
王伯雄
3.8压电传感器压电传感器：一种有源传感器，亦即发电型传感器。
它利用某些材料的压电效应，这些材料在受到外力的作用时，在材料的某些表面上产生电荷。
一、压电效应压电效应 (piezoelectric effect)：
某些材料当它们承受机械应变作用时，其内部会产生极化作用，从而会在材料的相应表面产生电荷；或者反过来当它们承受电场作用时会改变其几何尺寸。
分类：
单晶压电晶体，如石英、罗歇尔盐（四水酒石酸钾钠）、
硫酸锂、磷酸二氢铵等；
多晶压电陶瓷，如极化的铁电陶瓷（钛酸钡）、锆钛酸铅等；
某些高分子压电薄膜。
用极化强度矢量来表示材料的压电效应：
式中 x,y,z是与晶轴关连的直角坐标系（见图 3.45）。
将极化强度写成轴向应力 σ与剪应力 τ表示的形式：
zzyyxx PPPP
(3.66)
图 3.55 压电系数的轴向表示法
xyzxyzzzyyxxzz
xyzxyzzzyyxxyy
xyzxyzzzyyxxxx
ddddddP
ddddddP
ddddddP
363534333231
262524232221
161514131211
(3.67)
式中,dm,n为压电系数，下标 m表示产生电荷的面的轴向,n表示施加作用力的轴向，在图 3.55中，下标
1对应于 X轴，下标 2对应于 Y轴，而下标 3对应于 Z轴。
当材料的受力方向和产生的变形不一样时，压电系数也不同。
压电系数 d的量纲对于正压电效应来说为即每单位力输入时的电荷密度,对于逆压电效应来说则是即每单位场强作用下的应变。
石英晶体是常用的压电材料之一。其中纵轴 Z—Z称为光轴,X—X轴称为电轴，而垂直于 X—X轴和 Z—Z轴的 Y—Y轴称为机轴。沿电轴 X—X方向作用的力所产生的压电效应称为纵向压电效应，而将沿机轴 Y—Y方向作用的力所产生的压电效应称为横向压电效应。当沿光轴 Z—Z方向作用有力时则并不产生压电效应。
2
2
,/
/
mN
mCd
nm?
mV mmd nm //,?
(3.68)
(3.69)
图 3.56 石英晶体
（ a）左旋石英晶体的外形 （ b）坐标系 （ c）切片主要的压电效应：
横向效应；
纵向效应；
剪切效应。
晶片在电轴 X—X方向上受到压应力 σxx作用切片在厚度上产生变形并由此引起极化现象，极化强度 Pxx与应力 σxx成正比，即式中
Fx——沿晶轴 X—X方向施加的压力；
d11——压电系数,石英晶体的 d11=2.3× 10-12CN-1；
l——切片的长；
b——切片的宽。
lb
FddP x
xxxx 1111
(3.70)
图 3.57 压电效应作用方向图极化强度 Pxx又等于切片表面产生的电荷密度，即式中
qxx——垂直于晶轴 X-X的平面上产生的电荷量。
由式（ 3-70）和（ 3-71）可得
当石英晶体切片受 X向压力作用时，所产生的电荷量
qxx与作用力 Fx成正比，但与切片的几何尺寸无关。
lb
qP xx
xx?
(3.71)
xxx Fdq 11?
在横向（ Y—Y）施加作用力 Fy
式中
d12—石英晶体在 Y—Y轴方向受力时的压电系数；
ly,lx—石英切片的长和厚 。
根据石英晶体轴的对称条件有则式（ 3.73）变为
当沿着机轴 Y—Y方向施加压力时，产生的电荷量与晶片几何尺寸有关，而该电荷的极性则与沿电轴 X—X方向加压力时产生的电荷极性相反（式中负号）。
y
x
y
y
x
y
xy Fl
ldF
bl
bldq
1212
(3.73)
1112 dd
y
x
y
xy Fl
ldq
11
(3.74)
压电体受到多方面的力作用：
纵向和横向效应可能都会出现。
可将式（ 3.72）和（ 3.73）统一用矩阵形式表示为
Q=LDF （ 3.75）
式中 Q,D,F均为矩阵； L为列向量，其大小取决于压电体不同的受力方式及晶片的尺寸。
图 3.58 石英晶体压电效应
（ a）纵向效应 （ b）横向效应铁电陶瓷
铁电陶瓷是另一类人工合成的多晶体压电材料，它们的极化过程与单晶体的石英材料不同。这种材料具有电畴结构形式，其分子形式呈双极型，具有一定的极化方向。
钛酸钡陶瓷未受外加电场极化时：钛酸钡晶体单元在 120oC以下时形状呈立方体。在无外电场作用时，各电畴的极化效应相互被抵消，因此材料并不显示压电效应。
图 3.59 钛酸钡压电陶瓷电畴结构
（ a）未极化（ b）已极化
– 钛酸钡材料置于强电场中：电畴极化方向趋向于按该外加电场的方向排列，材料得到极化。撤去外电场之后，陶瓷材料内部仍存在有很强的剩余极化程度，束缚住晶体表面产生的自由电荷。在外力作用下，剩余极化强度因电畴界限的进一步移动而引起变化，从而使晶体表面上的部分自由电荷被释放，形成压电效应。
二、压电传感器工作原理及测量电路压电传感器可视为一个电荷发生器，也是一个电容器，其形成的电容量图 3.60 压电晶片及等效电路
（ a）压电晶片 （ b）并联 （ c）串联 （ d）等效电荷源
Ac 0?
压电传感器可被视为一个电荷源：
等效电路中电容器上的开路电压 ea、电容量 q以及电容
Ca三者间的关系有压电传感器可被视为一个电压源。
a
a C
qe? (3.76)
图 3.61 压电传感器的等效电路
（ a）电荷源 （ b）电压源压电传感器实际的等效电路若将压电传感器接入测量电路，则必须考虑电缆电容 CC、
后续电路的输入阻抗 Ri、输入电容 Ci、以及压电传感器的漏电阻 Ra，此时压电传感器的等效电路如图 3.62所示。
图 3.62 压电传感器实际的等效电路
（ a）电荷源 （ b）电压源压电传感器的前置放大器：
采用电阻反馈的电压放大器；
采用电容反馈的电荷放大器。
电压放大器根据电荷平衡建立方程式有式中，
q—压电元件所产生的电荷量；
图 3.63 压电传感器接至电压放大器的等效图
idtecq (3.77)
C—等效电路总电容,C=Ca+Cc+Ci；
e—电容上建立的电压；
i—泄漏电流。
而 e=Ri
式中 R为放大器输入阻抗 Ri和传感器的泄漏电阻 Ra的等效电阻,R=Ri//Ra 。
当测量的外力为一动态交变力 F=F0sinω0t时，则根据式
（ 3.75）有为分析简单起见，将 L归一化得：
或
tLqtL D FL D Fq 0000 s ins in (3.79)
tqq 00 sin (3.80)
tqidtC R i 00 s in (3.81)
tqidtdiCR 000 c o s (3.82)
上式的稳态解为：
电容上的电压值设放大器为一线性放大器，则放大器输出式中 k——放大器的增益。
)s in ()(1 02
0
00
tCR
qi
RCa rct g 0
1
(3.83)
)s in (
)1(1
1
0
2
0
0
t
RC
C
qRie (3.84)
)s in (
)1(1
1
0
2
0
0
0
t
RC
C
qke (3.85)
总结：
压电传感器的低频响应取决于由传感器、连接电缆和负载组成的电路的时间常数 RC 。
为了不失真地测量，压电传感器的测量电路应具有高输入阻抗，并在输入端并联一定的电容 Ci以加大时间常数 RC。
但并联电容过大会使输出电压降低过多。
使用电压放大器时，输出电压 e0与电容 C密切关联。
电荷放大器
是一个带电容负反馈的高增益运算放大器。
等效电路图如图 3.64所示。
式中
ei—放大器输入端电压；
ey—放大器输出端电压；
Cf—放大器反馈电容。
图 3.64 电荷放大器原理图
fyiifyiicai CeeCeCeeCCCeq )()()(
(3.86)
根据,ey=-Kei,K为电荷放大器开环放大增益，则有当 K足够大时，有 KCf>>C+Cf，则式（ 3.87）简化为
在一定的条件下，电荷放大器的输出电压与压电传感器产生的电荷量成正比，且与电缆引线所形成的分布电容无关。
为使运算放大器工作稳定，通常在电荷放大器的反馈电容 Cf上并联一个电阻 Rf。
ff
y KCCC
Kqe
)(
(3.87)
f
y C
qe (3.88)
图 3.65 并联的情况三、压电传感器的应用
1,压电加速度传感器地震式（绝对）位移传感器被测对象的振动为 xi，质量
m相对于底座的振动为 x0,
根据牛顿运动定律有：
式中 xm为绝对位移。
化为标准形式：
式中
)()( 000 xxmxmxCkx im (3.91)
inn xxxx 0202 (3.93)
,mkn kmC2
图 3.66 惯性式传感器
（ a）线位移式 （ b）旋转式设输入振动为则输入与输出间的关系为
tXx ii?c o s?
)(
)(
1/2)/(
/)(
)(
)(
2
22
jX
jX
jj
j
jX
jX
i
o
nn
n
i
o
(3.94)
图 3.67 惯性式传感器频率相应特性
（ a）幅频特性 （ b）相频特性若令图 3.66所示的结构的输入为加速度,则由式（ 3.94）变换可得 i
x?
1/2/)()(
)(
)()(
)(
222
nn
n
i
o
i
o
jj
K
jX
jX
jXj
jX
图 3.68 加速度计型惯性接收的特性曲线
（ a）幅频特性曲线 （ b）相频特性曲线
(3.95)
小结
惯性式加速度传感器的工作频段是在 ω/ω n=0~1
之间的平坦段；
在该平坦段内，振动位移 xo正比于被测加速度。
当 ω/ω n=0时，幅值为 1。
加速度计惯性接收具有零频率响应的特征。
如果传感器的机电转换部分和测量电路也具有零频率响应特性，则所构成的整个测量系统也将具有零频率响应，可用于测量甚低频的振动和恒加速度运动。
理论上压电加速度计的频率响应函数具有式（ 3.95）
的形式。
由于压电传感器一般采用电荷放大器作为测量电路，
因此导致实际的压电加速度传感系统的传递特征为式（ 3.90）与式（ 3.95）的组合形式：
式中
K—电路系统灵敏度,K=Kq/Cf,而 Kq—弹簧刚度系数。
]1/2)/)[(1(
)()/(
)(
)(
2
nn
n
i
o
jjj
jKK
jx
jE
(3.96)
低频响应实际由 τjω/(τjω+1)所决定。
由于后续测量电路的影响，整个系统实际上不具有零频率响应，因此不能用来测量静位移。
图 3.69 实际的压电加速度计的频率响应特性压电加速度传感器的分类：
压缩式；
剪切式。
图 3.70 压电加速度传感器设计类型
（ a）周边压缩式 （ b）中心压缩式 （ c）倒置式中心压缩式 （ d）剪切式压缩式结构的原理：
其压电变换部分由两片压电晶片并联而成。惯性质量借助于顶压弹簧紧压在晶片上，惯性接收部分将被测的加速度接收为质量 m相对于底座的相对振动位移 x0，晶片受到动压力 p=kx0,然后由压电效应转换为作用在晶片极面上的电荷 q。
周边压缩式结构的特点：
简单且牢固，具有很好的质量 /灵敏度比 ；
极易敏感温度、噪音、甚至弯曲等造成的虚假输入 。
中心压缩式结构：
降低周边压缩式结构对虚假输入的响应 ；
减少结构对基座弯曲应变的灵敏度。
剪切式结构：
– 典型的剪切式结构：三角剪切式
– 原理：由三片晶体片和三块惯性质量组成，借助于预紧弹簧箍在三角形的中心柱上。当传感器接收轴向振动加速度时，
每一晶体片侧面受到惯性质量作用的剪切力。所产生的电荷量为 q，
rkxdpdq 1515
(3.97)
图 3.71 晶体片受剪切力的压电效应式中
xr－质量块的相对振动位移；
k－由晶体片剪切弹性力提供的当量弹簧刚度系数。
– 三角剪切式的优点：
在较长时间内保持传感器特性的稳定，有更宽的动态范围和更好的线性度。
对底座的弯曲变形不敏感。 图 3.72 三角剪切式（ b）与中心压缩式（ c）对底座弯曲变形敏感的对比
2,压电力传感器压电力传感器具有与压电加速度传感器相同形式的传递函数。
用压电传感器测激振力：
Km1和 Km2分别表示安装螺钉的刚度。若用 Zs（包括
Km2 ）表示结构的阻抗，
则有 Zs=fs/vs,为实际施加于结构的力,fs=Zsvs。但传感器实际测到的力为弹簧 Kt中的力 Fm,Fm正比于 Mt1和 Mt2的相对位移，
Mt1和 Mt2分别为传感器顶部和底部的质量。
图 3.73 压电力传感器及其动态误差分析
（ a） 力传感器截面结构图
T－顶部； P－压电盘片； GP－导向销；
S－顶载螺钉； N－顶载螺帽； B－基座在动态条件下，
从而有若 Mt2=0，则无论 Zs为何值，测量值 Fm精确地等于实际值 Fs。因此一般均选择较小的 Mt2值。
对弹簧性结构形式有：
代入（ 3.99）式有：
stssm vMZvF?2 (3.98)
12
s
t
s
m
Z
jM
jF
jF?
(3.99)
jKZ ss /?
2
S
t2
K
M1?
jF
jF
s
m (3.100)
逆压电效应
当施加电压时，会使压电片产生伸缩从而导致压电片几何尺寸的改变。
应用：
压电致动器：例如施加一高频交变电压，则可将压电体作成一振动源，利用这一原理可制造高频振动台、超声发生器、扬声器、高频开关等。
精密微位移装置,用于制成录像带头定位器、
点阵式打印机头、继电器、以及电风扇等
3.9磁电式传感器概念：一种将被测物理量转换为感应电动势的装置，亦称电磁感应式或电动力式传感器。
由电磁感应定律可知,当穿过一个线圈的磁通 Φ发生变化时,线圈中所感应产生的电动势分类：
动圈式；
动磁铁式；
磁阻式。
dt
dWe (3.101)
一、动圈式传感器图 3.75 动圈式传感器
（ a）线位移式 （ b）角位移式由线位移式装置的工作原理可知，当弹簧片敏感有一速度时，线圈则在磁场中作直线运动，从而切割磁力线，因此它所产生的感应电动势式中
B—磁场的磁感应强度 （ T） ；
l—单匝线圈的有效长度 （ m） ；
W—有效线圈匝数,指在均匀磁场内参与切割磁力线的线圈匝数；
vy—敏感轴 （ y轴 ） 方向线圈相对于磁场的速度 （ m/s） ;
θ—线圈运动方向与磁场方向的夹角 。
当线圈运动方向与磁场方向垂直亦即 θ=90° 时，上式可写为
s ins in yW B lvyW B le (3.102)
yWBlve?
(3.103)
结论：
当传感器的结构参数（ B,l,W）选定，则感应电动势 e的大小使正比于线圈的运动速度 vy。
这种传感器亦称速度传感器。
将被测到的速度经微分和积分运算又可得到运动物体的加速度和位移，因此速度传感器又可用来测量运动物体的位移和加速度。
对于角速度型动圈式传感器结构，线圈在磁场中转动时，产生的感应电动势式中
ω—线圈转动的角频率；
A—单匝线圈的截面积 （ m2） ；
k—依赖于结构的参数,k>1。
当 W,B,A选定时，感应电动势 e与线圈相对于磁场的转动角速度成正比。
用这种传感器可测量物体转速。
kW BAe? (3.104)
将传感器线圈中所产生的感应电动势 e经电缆与电压放大器相连接时，其等效电路如图 3.76所示。图中 e为感应电动势，
Z0为线圈等效阻抗,RL为负载电阻,Cc为电缆的分布电容,Rc
=0.03Ω/m,Cc=70pF/m，发电线圈阻抗 Z0=r+jωL,r约为
300~2kΩ,L为数百 mH。相对来说 Rc可予以忽略，此时等效电路中的输出电压若电缆长度不长，则 Cc可加以忽略，又若使 RL>>Zo，则由上式可简化得 eL≈eo。
图 3.76 动圈磁电式传感器等效电路
oC
L
o
L
ZCjRZ
ee
1
1 (3.105)
磁电式速度传感器的分类：
绝对式速度传感器；
相对式速度传感器：
传感器的输出电压正比于测点相对于基座的相对运动速度。因此，相对式速度传感器适合于测量结构上两部件间的相对运动。
图 3.77 绝对式振动传感器
1－弹簧片 2－永磁铁 3－阻尼环
4－支架 5－中心轴 6－外壳 7－线圈图 3.78 相对振动速度传感器
1－顶杆 2－弹簧片 3－永磁铁
4－线圈 5－引线 6－壳体 7－导磁体绝对式速度传感器的动态特性就是惯性 (绝对 )位移型传感器的动态特性。
图 3.67 绝对式速度传感器的动态特性
（ a）幅频特性 （ b）相频特性结论：
1,为实现不失真测量，幅频特性应为常值。当
ω/ω n>1以后，幅频特性曲线随的增加而趋向于 1，
这一区域便是传感器的使用频率范围。
2,当?=0.707时，该趋于常值的速度最快，因此一般采用?=0.6~0.7的阻尼比，从而可有效地压低使用频率的下限。
3,如要求测量误差 ≤ 5%，则测量的频率范围约为
ω/ω n ≥1.7 。
4,引进阻尼虽然改善了谐振频率附近接收灵敏度曲线的平坦度，但阻尼也增加了相移。
5,当测量频率大于谐振频率时，若输入与输出信号的各频率成分相移值近似为 180° 时，亦即此时传感器对输入信号起着一个倒相器的作用，则可认为测量结果是不失真的。
6,为近似获取倒相特性，应使 ω>(7~8)ω n。
7,速度传感器的固有频率 ω n是一个重要的参数，它决定了传感器所测量的频率下限。为扩展传感器的工作频率范围，设计中应使做得尽可能低。
二、磁阻式传感器磁阻式传感器：使线圈与磁铁固定不动，而由运动物体（导磁材料）运动来影响磁路的磁阻，从而引起磁场的强弱变化，使线圈中产生感应电势。可用来测量转速、振动、偏心量等。
图 3.79 磁阻式传感器工作原理及应用例
（ a）测频数 （ b）测转速 （ c）偏心测量 （ d）振动测量三、涡流 —磁电式相对加速度传感器涡流 -磁电式传感器：一种将涡流式与磁电式传感元件结合而形成的发电式传感器。
图 3.80 涡流－磁电型加速度传感器
