浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,1
第二章 插值和逼近
2.1 多项式插值
2.2 密切多项式插值
2.3 分段插值和样条函数
2.4 有理函数
2.5 多维插值
2.6 函数的逼近浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,2
插值多项式
Lagrange 多项式
Aitken-Neville 逐步加精格式
Newton 多项式
Newton-Gregory 前差分插值
Gregory 后差分插值
Gauss 差分插值
Stirling 差分插值浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,3
2.0
插值 自变量和应变量的关系以表格或曲线形式给出由于函数关系过于复杂或当前还未找到合适的方程表达希望用较少数据点存入计算机产生插值问题逼近 对计算不便或复杂的函数用另一便于计算的函数近似之称为逼近方法
1
0
11
0
1
1,dxxxnmB
dxex
nm
x
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《实用数值计算方法,4
2.0
工程计算用图线由于系实际测得，往往无合适的方程表达示例,O’Connell 塔效率和操作条件关联
)( log PHE lT
PHx Llog
0.3? 0.2? 0.1? 0 0.1 0.2
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0?
图 2.1 典型的工程用计算图线
Y?
E T
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《实用数值计算方法,5
2.0
表 2-1 典型的数表节点序数
i
自变量值
x
i
因变量值
y
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
- 3.0
- 2.5
- 2.0
- 1.5
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.775
0.670
0.565
0.460
0.355
0.260
0.180
0.1 15
0.070
0.035
0.010
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《实用数值计算方法,6
2.1 多项式插值常用 n次多项式 Pn(x)
1210
n
n
n
xaxaa
xfxpy
根据 Weierstrass逼近理论
baxxPxf
bax
n,
0,
a b
y
xPn
xf
xf
xf
x
图 2.2 Weirstrass 逼近理论示意浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,7
2.1.1 插值多项式
ni
iin
n
n
i
in
aaaa
xfxP
xaxaxaaxP
,,,,,10
10
使 唯一确定
n+1 个待定系数 n+1 个条件
y
x0x 1x ix nx
ny
iy
1y
0y
00,yx
11,yx
ii yx,
nn yx,
xf
xPn
型值点插值多项式
xf?
图 2.3 型值点和插值多项式浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,8
2.1.1
推导通式
22
0
,
,
,00,
n
i
iin
nnn
iinnn
yxB
yxB
yxByxBxP
的基本式，基函数
2232
32,,1,0,
niyxP
xP
iin
n
通过型值点，
42
,,0,0
,,0,0
00,0,00,0
nnnnnnininn
iinnniiniin
nnninin
yxByxByxBy
yxByxByxBy
yxByxByxBy
xPxB nin,
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《实用数值计算方法,9
2.1.1
（ 2-4）成立的条件由 和 最高冥次相同构造满足 的,令
xB in,,22?
52?
xPn
xB in,
82
72
1
,1;,,0;;0
62
110,
110
,
,
110,,
niiin
niiiii
in
iin
j
niiinin
xxxxxxxxxD
xxxxxxxx
C
xB
ijnjxx
xxxxxxxxCxB
所以定义为使
52,0,1,?
ji
jixB
jin
92
,
,
,
iin
in
in xD
xDxB
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《实用数值计算方法,10
2.1.1
102
2292
0,
,
0
,
xL
xD
xD
yyxBxP n
n
i iin
in
i
n
i
iinn
Lagrange 多项式
Rolle’s Theorem
xf
0
x
1x
nxix2x
xf
a b
1
2
i
1?n
个根个根
1'?nxf
nxf
图 2.4 函数与根的关系浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,11
2.1.1
最简单的插值多项式,n=1，线性插值从（ 2-10）
112
1
01
0
0
10
1
1
0,1
,1
1
y
xx
xx
y
xx
xx
xD
xD
yxL
i ii
i
i
1111
0010
yxLxx
yxLxx
：
：
y
x
1y
0y
0x 1x
xf
xL1
图 2.5 线性插值示意浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,12
2.1.1
多项式插值的误差为 的误差，或余项构造对另一自变量 t定义一个新的函数取某个固定的 x 值，则时在 区间有（ n+2）个根若 连续可微，反复应用 Rolle定理在以上区间有一个根
122 xRxPxf nn
xRnxPn
0;:,,0; iniini xRxfxPnixx 即时使?
132
0
n
i
in xxxGxR
142
0
n
i
in xtxGtPtftQ
ni xxxxt,,,,,0 0?tQ
nxxx,,,,0tQ
tf
tQ n 1?
152,,,,,0 01 nn xxxQ
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《实用数值计算方法,13
2.1.1
将（ 2-14）对 t 求（ n+1） 阶导数
1621211
111
xGnnn
tPtftQ nnnn
182,,,,
!1
132172
172
!1
0!1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
n
n
i
i
n
n
n
n
n
n
n
n
xxx
xx
n
f
xR
n
f
xG
nxGf
Q
ntPtP
或次多项式是的确切值为未知 但可用以：
（ 1）估计误差界
（ 2）推导求积公式精度估计
（ 3）分析外推插值误差大于内插
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《实用数值计算方法,14
2.1.1
示例 2.4
右表给出了若干节点上的函数值，
试比较用不同次数的 Lagrange多项式计算 f(1.5)
的精度解
x f (x )
1,0
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
0,7 6 5 1 9 7 7
0,6 2 0 0 8 6 0
0,4 5 5 4 0 3 2
0,2 8 1 8 1 8 6
0,1 1 0 3 6 2 3
- 0,0 4 8 3 8 3 8
表 2-2
得到：取得到：取
,9.1,6.1,3.12
1053.1
5 10 2 9 68.0
4 55 4 0 22.0
3.16.1
3.15.1
6 20 0 8 60.0
6.13.1
6.15.1
5.1
,6.1,3.11
210
3
1
10
xxx
E
L
xx
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《实用数值计算方法,15
2.1.1
51 18 27 7.05.1
!2
1
10
107.7
51 18 20 0.05.1
5.2,2.2,9.1,6.1,3.14
105.2
51 18 30 2.05.1
2.2,9.1,6.1,3.13
1042.5
51 12 85 7.0
28 18 18 6.0
6.19.13.19.1
6.15.16.15.1
45 54 02 2.0
9.16.13.16.1
9.15.13.15.1
62 00 86 0.0
9.13.16.13.1
9.15.16.15.1
5.1
0
2
2
2
0
0
6
4
43210
6
3
3210
4
2
J
r
x
xJ
B e s s e l
E
L
xxxxx
E
L
xxxx
E
L
r
r
r
r
函数类阶第以上函数实际为得到：取得到：取随着次数增加 减少。但最后又有所上升？E
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《实用数值计算方法,16
2.1.2 逐步加精插值用以上算式，当需要提高精度而增加节点时原先的计算结果不能利用,全得重新计算。
故有人提出了便于逐步加精的算法 。
nlki
n
i
ini
i
n
n
i iin
in
in
iin
niiiiiiin
ni
iinn
xxxxxx
xxx
y
x
xD
xD
yxL
xD
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxDx
10
0
'
0,
,
,
110
'
10
,
212
202
192
令则故（ 2-10）成为设有数据点位于浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,17
2.1.2
若去掉其中 xk,则有若去掉其中的 xl,则有容易看出所以,n次多项式可由两个仅有一个节点不同的 n-1
次多项式经线性组合而成。
222
0
'1
10
n
i ini
kii
k
nk
n
nli
xxx
xxy
xx
xxQ
xxxxx
n
i ini
lii
l
nl
n
nki
xxx
xxy
xx
xxQ
xxxxx
0
'1
10
232
0
'
0
'
0
'
0
'
11
xL
xxx
y
x
xxx
xxy
xx
x
xxx
xxy
xx
x
xxx
xxy
xx
x
xQ
xx
xx
xQ
xx
xx
n
n
i ini
i
n
n
i ini
kli
kl
n
n
i ini
lii
kl
n
n
i ini
kii
kl
n
l
n
kl
lk
n
kl
k
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《实用数值计算方法,18
2.1.2
Aitken 逐步加精插值定义线性组合运算符
逐步加精算法步骤由此得到时当
A it k e n
xLGygyglk
g
xx
xx
g
xx
xx
ggG
lk
l
kl
l
k
kl
k
lkx
101,,,1,0
242,
i x
i
y
i
0
1
2
3
4
5
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
表 2-3 Aitken算法步骤
xLxL i,01xLxL i,1,02?
202,0,yyxL x
303,0,yyxL x
404,0,yyxL x
101,0,yyxL x
xLxLxL x 2,01,02,1,0,
xLxLxL x 3,01,03,1,0,
xLxLxL x 4,01,04,1,0,
………… …………
表示由 诸点确定的 Lagrange多项式插值求出 x处的 y值：
xL kji,,kji
xxx,,
xyxL kji?,,
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《实用数值计算方法,19
2.1.2
表 2-4 Aitken 插值计算格式
i x
i
L
0
L
1
L
2
L
3
L
4
0 x
0
y
0
=L
[ 0]
1 x
1
y
1
=L
[ 1]
L
[ 0,1]
2 x
2
y
2
=L
[ 2]
L
[ 0,2]
L
[ 0,1,2]
3 x
3
y
3
=L
[ 3]
L
[ 0,3]
L
[ 0,1,3]
L
[ 0,1,2,3]
4 x
4
y
4
=L
[ 4]
L
[ 0,4]
L
[ 0,1,4]
L
[ 0,1,2,4]
L
[ 0,1,2,3,4 ]
5 x
5
y
5
=L
[ 5]
L
[ 0,5]
L
[ 0,1,5]
L
[ 0,1,2,5]
L
[ 0,1,2,3,5 ]
6 x
6
y
6
=L
[6 ]
······· ······· ······· ·······
精并判断是否尚需继续加的精度和可用以估计构成多项式求为由构成多项式求为由
liki
liki
lili
kiki
LL
LLL
xyxxxxL
xyxxxxL
,,,0,,,0
,,,0,,,0
0,,,0
0,,,0
,,,
,,,
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,20
2.1.2
Neville 逐步加精插值用（ 2-24）线性组合公式尚可构成另一种步骤表 2-5 Neville 算法步骤
i x
i
y
i
0
1
2
3
4
5
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
xLxL ii,11xLxL iii,1,22
101,0,yyxL x
212,1,yyxL x
323,2,yyxL x
434,3,yyxL x
2,01,02,1,0,LLxL x
3,22,13,2,1,LLxL x
4,33,24,3,2,LLxL x
………… …………
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《实用数值计算方法,21
2.1.2
表 2-6 Neville 插值计算格式
i x
I
L
0
L
1
L
2
L
3
L
4
0 x
0
y
0
=L
[ 0]
1 x
1
y
1
=L
[ 1]
L
[ 0,1]
2 x
2
y
2
=L
[ 2]
L
[ 1,2]
L
[ 0,1,2]
3 x
3
y
3
=L
[ 3]
L
[ 2,3]
L
[ 1,2,3]
L
[ 0,1,2,3]
4 x
4
y
4
=L
[ 4]
L
[ 3,4]
L
[ 2,3,4 ]
L
[ 1,2,3,4]
L
[ 0,1,2,3,4 ]
5 x
5
y
5
=L
[ 5]
L
[ 4,5]
L
[ 3,4,5]
L
[ 2,3,4,5]
L
[ 1,2,3,4,5]
6 x
6
y
6
=L
[6 ]
L
[ 5,6]
Aitken 或 Neville 方法得到的就是
Lagrange 多项式，故仍可以用（ 2-18）
估计插值误差浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,22
2.1.3 差商和差分插值
Aitken 和 Neville 方法能逐步提高精度但表格中每一元素均系对特定的 x 求出对另一个 x 值，每一个元素均需要重算克服这一缺点的办法是采用差商插值公式用差商表示的插值多项式将 n 次多项式写成
262,,1,0
1
,,,
252
10
10
102
010
niyxP
n
xxx
xxxxa
xxxxa
xxaaxP
iin
n
nn
n
个型值点共多项式应通过浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,23
2.1.3
12022
02
01
01
022
2
1100
10
10
01
01
1
011011
1
000
0
282272262,252
,,,
,
272262,252
272
262252
xxxxa
xx
xx
yy
yxPy
xx
yxyx
xxxxfy
xxf
xx
yy
a
xxayxPy
xx
axPy
xx
n
n
n
和，时，由当两点的连接线的斜率和就是通过一阶差商或一阶均差位置上的，，在对自变量即函数和时，由当和时，由当浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,24
2.1.3
292,,
,,
1
210
02
1021
02
01
01
12
12
1202
01
02
01
12
02
12
1202
01
01
02
0112
1202
02
01
01
02
2
xxxf
xx
xxfxxf
xx
xx
yy
xx
yy
xxxx
xx
xx
yy
xx
xx
yy
xxxx
yy
xx
xx
yyyy
xxxx
xx
xx
yy
yy
a
302
,,,,,,
,,,
:
1
,,
1121
1
210
iki
kiiikiii
kiii
xx
xxxfxxxf
xxxf
kk
xxxxxfy
求出阶差商阶差商可由相邻两个推广到的二阶差商在对即函数浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,25
2.1.3
差商多项式插值公式这就是可用差商表示为：故
：式中最后一个系数应为
N e w t on
xN
xxxxxxxf
xxxxxxxf
xxxxf
xfxPy
xxxfa
n
nn
n
nn
312
,,,
,,
,
252
,,,
252
1010
10210
010
0
10
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,26
2.1.3
表 2-8 各阶差商计算步骤
i x
i
y
i
0 x
0
y
0
1 x
1
y
1
2 x
2
y
2
3 x
3
y
3
4 x
4
y
4
1,?ii xxf21,, iii xxxf321,,, iiii xxxxf
01
01
10,
xx
yy
xxf
12
12
21,
xx
yy
xxf
23
23
32,
xx
yy
xxf
34
34
43,
xx
yy
xxf
02
1021
210
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf
13
2132
321
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf
24
3243
432
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf
3210,,,xxxxf
4321,,,xxxxf
·········
·········
·········
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,27
2.1.3
差商插值的余项
列表数据求。需要的高阶导数不易由插值，但也可以用于余项公式多项式插值误差的因此，用于估计由此可见所以次多项式而言必须，这时对处为共次多项式，且在也将是一个则若定义且能满足和次多项式若能找到两个个根次多项式至多有
182
182
0
01
,,,
,,1,0,
10
N e w t on
L a ng r an ge
xPxNxL
xPxP
xD
nn
xxxn
xPxPxD
niyxPxP
xPxPn
nn
nnn
BA
p
n
BAp
iiBiA
BA
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,28
2.1.3
：逐步代入前一式，得到由此得到：
则有差商：
为固定值置，视为区间内某个固定位把方式误差余项的另一种表达
332
,,,
,,,,,,
,,,,,,,
,,,,
,
322
,,,,
,,,
,,
,,
,
0
1010
221021010
110100
000
2
10210
210
1
010
10
0
0
0
nn
nn
xxxxxf
xxxfxxxf
xxxxxxfxxxfxxxf
xxxxxfxxfxxf
xxxxfyy
xx
xxxfxxxf
xxxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xx
yy
xxf
xyx
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,29
2.1.3
算误差余项估计值该式便于由列表数据计所以则于假定高一阶的差商趋近未知所以值是待求值可惜由于所以余项为
372,,,
362,,,,,,
0
,,,,,
,,,
:,0
,,,,
352,,,
:
342
,,,
,,,
,,,
,,
,
110
0110
1
010
10
0
0
0
11010
2103210
10210
0100
xxxxfxR
xxxfxxxf
xx
xxxfxxf
xxxf
xxxfxy
xxxxfxPyxR
xRxP
xxxxf
xxxxxxxxxf
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxf
xxxxfyy
nnn
nn
n
nn
n
n
nnnn
nn
nn
nn
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,30
2.1.3
201
02
10
10
02
02
02
02
12
1021
2110
10
02
02
02
1021
10
12
02
02
02
02
01
01
12
01
12
02
02
01
01
12
12
210
012
20
1201
02
1021
210
01
10
10
01
01
10
,,
11
,,
,,
,,
,,
,,
,,
xxxf
xx
xx
yy
xx
yy
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
yy
xx
yy
xx
xxxx
yy
xx
xx
xx
yy
xx
xx
yy
xx
yy
xx
yy
xx
xx
yy
xx
yy
xxxf
xxxf
xx
xxfxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xxf
xx
yy
xx
yy
xxf
以及差商的对称性各阶差商的数值与节点书写次序无关浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,31
2.1.3
392,,11
,11
,,1
,
312
382
,
1,,1,0,
0
0
10
210
2
100
0
0
0
0
1
n
k
k
k
n
n
nn
i
i
i
ii
xxfhksss
xxxfhnsss
xxxfhss
xxfhsxf
hsxNxP
hisxx
hsxx
hsxx
hixx
nixxh
式由此改写为：将所以有又令因此令自变量系等间距取值，
采用更简便的差分形式在等间距节点情况下可前差分插值公式浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,32
432
2
422
,
412,,!
392
402
!
11
!!
!
392
1
1
1
11
12
112
1
2
1
010
0
0
0
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
iii
iiii
iiii
iii
n
k
k
k
nn
y
yyyy
yyy
yyyy
yyyy
yyy
yyy
xxfhk
k
s
shxNxP
k
ksss
ksk
s
k
s
以及并推广为：
定义一阶前差分利用差分表示式
），得：代入（
利用二项式系数表示式形式）写成便于使用的紧凑为了将（
2.1.3
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,33
2.1.3
前差分插值公式插值公式，或称这就是值公式：）得到前差分表示的插代入（
推广到一般化情况有：差商和差分之间的关系
G r e go r y
G r e go r yN e w t o n
xGy
k
s
xP
y
hk
xxf
y
hh
h
y
h
y
xx
xxfxxf
xxxf
h
y
xx
yy
xxf
n
n
k
k
n
k
k
k
452
392
442
!
1
,,
2
1
2
,,
,,
,
0
0
00
0
2
2
01
02
1021
210
0
01
01
10
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,34
2.1.3
462
1
!1
1
!1
!1
!1
182
,
1
11
1
0
1
1
0
0
2
0
2
01
0
2
0
01
01
0
'
f
n
s
xR
fh
n
nsss
f
n
xxxx
n
f
xxR
n
f
xxN
xRxNxfy
h
y
xy
h
y
h
h
y
h
y
xy
h
y
xx
yy
xy
n
n
nn
n
n
n
nn
n
nn
nn
n
n
n
差算式表示为：即可得到前差分插值误所以根据误差算式其一般化关系为：
：差分和导数之间的关系
前差分插值的误差估计浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,35
2.2 密切多项式插值
Lagrange多项式 Ln(x)
与所给出的函数 f(x)之间的关系
不相似表现为曲线“形状”的故不是密切的但是,
,,1,0,
''
iin
iiin
xfxL
nixfyxL
y
x
iy
0x ix nx
xfy?
xLy n?
图 2.6 Ln(x)与 f(x)的关系浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,36
2.2.0
0 9983 3417.01.0s in
0 9983 33.0
0 01.0
6
1
1.0
1.01.01.0s in
6
1
10c o s60
00s in20
10c o s0
00s in0
3
0
s in
3
3
3
3
'''
3
2
''
3
1
'
3
03
3
3
2
2103
0
Tf
xxxT
aT
aT
aT
aT
xaxaxaaxT
xT ay lor
xxf
xTT ay lor
n
求：
所以次多项式设用附近展开级数在用设级数多项式是常用的“形状相似”的浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,37
2.2.0
多项式应寻找兼具两种优点的但是
90930.00.2s in
66667.00.2
84147.00.1s in
83333.00.1
3
3
T
T
2
1
0
1?
2?
3? 2? 1? 0 1 2 3
x
y
xy sin?
6
3x
xy
图 2.7 T3(x)与 f(x)=sin(x)的关系浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,38
2.2.1 密切多项式
Osculating Polynomials
个的系数为故密切多项式其阶数密切多项式现有函数：
个非负整数：以及个节点：给定
1
,,2,1,
,,1,0,
,,m a x,,
,,,
1
,,1,0,,
1
0
0
10
MxO
mnM
mixfxO
nixfxO
mmmbaCf
mmm
n
nibax
n
M
n
i
i
ii
li
i
li
M
iiM
n
m
n
i
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,39
2.2.2 Hermite 多项式
12
1222
,,1,0,,
,
,,1,0,1
''
1
nNH e r m it e
L ag r an g e
nxHn
xfxH
xfxH
nibax
baCxf
xHH e r m it e
nim
N
ii
N
iiN
i
N
i
多项式构造多项式的基函数参考构成阶为个条件，故共应满足对于多项式称之为下列情况：最常用的密切多项式是
i =0,1,…,n
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,40
2.2.2
52
,0
,1
{
102
,
,
0
,
ji
ji
xB
xB
xfxBxL
La g r a n ge
jin
in
n
i
iinn
的性质基函数多项式
92
,
,
110
110
,
iin
in
niiiiii
nii
in
xD
xD
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xB
ji
处均有单根，故采用：在
0.1
x
B n
,i(
x)
0x 1x
1?ix ix 1?ix
1?nx nx
图 2.8 基函数 Bn,i(x)的图形浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,41
2.2.2
d
ji
ji
xF
cnjxE
bnjxF
a
ji
ji
xE
xFxE
xFxfxExfxH
H e r m it e
xfxHxfxH
j
iN
j
iN
jiN
jiN
iNiN
n
i
iNi
n
i
iNiN
ii
N
iiN
,0
,1
{
,,0,0
,,0,0
,0
,1
{
,
'
,
'
,
,
,,
0
,
'
0
,
''
以及应具有以下性质和基函数多项式的及构造能满足浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,42
2.2.2
时有一极值时有重根，在
）（）根据条件（
jijixxE
ca
iiN,
,
,
baxxBxE
xDBbxDAa
BAxxD
BAxxxxxxxxxxE
nNxE
in
iN
i
in
i
in
iN
niiiN
iN
,
2
,
,
2
,
2
,
2
22
1
2
1
2
0,
,
,
,12
则有：
令所以的阶数为既然
0.1
x
0x 1x
1?ix ix 1?ix
1?nx nx
E n
,i(
x)
图 2.9 基函数 En,i(x)的图形浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,43
2.2.2
xBxBxxxE
xBxx
xBxxxBbax
xBxaxb
xBa
axB
abaxxB
xaBbaxxBxB
xE
cxxE
bax
baxxBxE
xBa
inin
iin
i
in
i
i
in
ii
in
i
in
ii
i
in
i
in
ii
in
i
in
ii
in
iin
i
in
iin
i
ii
in
iin
in
,
2
,
'
,
,
'
,
'
,
'
,
'
,
'
,
'
,
'
,
2
,
'
,
,
'
,
,
2
,
,
21
21
212
211
2
21
22
2
2
0
1
1
,
所以二式可得，由以上
）求导，并根据条件（对将的性质及根据条件浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,44
2.2.2
时有单根时有重根，在
）（）根据条件（
jijixxF
db
iiN,
,
,
iiniN
niiiiii
niii
iN
xxxBxF
xxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xF
,
2
,
22
1
2
1
2
0
22
1
2
1
2
0
,
1
即：
故采用：
0x 1x
ix
1?nx nx
F n
,i(
x)
图 2.10 基函数 Fn,i(x)的图形浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,45
2.2.2
xxxxxfxxxxxHxfxR
xH
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxfxxxfxP
xttxttxtt
xttftxtxxPxf
ttftxtx
ttftxtfxP
nN
xfttt
nnnNN
N
nnnn
N
nnn
nnN
nn
N
n
,,,,
,,,
,,,
,,,
,,,
,,
,
12
,,,
00
22
0
00
2
1
2
0
100
2
00000
122132010
120120
12020
1000
1210
以及：
则有：
现在取时，前式仍为有效任何相邻两节点相重合误差项为令的多项式插值对考虑在计误差项的形式这是更加便于计算并估用差商表示的 Hermite 多项式浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,46
2.2.2
xbbaafbxaxxR
ab
afbafbf
bbaaf
ab
afbaf
baaf
bbaafbxax
baafaxafaxafxH
bf
ab
xbax
af
ab
xbax
bf
ab
ax
ab
xb
af
ab
xb
ab
ax
xH
bfbHbfbH
afaHafaH
bxax
,,,,
,2
,,,
,
,,
,,,
,,
2121
,
,
,
22
3
2
''
'
2
2'
3
'
2
2
'
2
2
22
3
'
3
'
3
'
3
'
3
误差项为：
其中或采用差商形式为：
则插值多项式为：
两点上在三次 Hermite 多项式,这是应用最广的一种 HN(x)
Cubic Hermite Polynomial,H3(x)
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,47
2.3 分段插值和样条函数
2.3.1 多项式插值的问题在一定的区间内增加节点数能提高插值精度但在某些情况下会出现很大偏差一个突出的例子就是 C.Runge发现的函数在 范围内,若节点取得较少，则精度很低。但节点数增加后，只在区间的中心部分精度提高，在两边区域产生严重的振荡。见图 2.11。原因在于多项式的解析特性因此有人提出分段插值的方法。
但一般的分段多项式缺点是分段的两侧斜率和曲率不连续，即曲线不光滑。
4721 1 2 xxy
5,5x
xLxLxL 16105,,和浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,48
图 2.11 多项式插值的 Runge 现象
2.3.1
54321012345
0.1
5.0
0.0
5.0
0.1
5.1
0.2
14?
12345
6
7
8
96
5
432
1
21
1
x?
5,516
x
xLxPn
5,5 5
x
xLxPn
5,510
x
xLxPn
1
1+
x2?
and i
nte
rpol
ant
axisx?
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,49
2.3.1
样条函数插值 Spline Functions Interpolation
是一种特殊的分段插值
最常用的是多项式样条或以及：
样条函数的基本特点：
111
1
11
i
p
ii
p
i
i
p
ii
p
i
iii
iii
xSxS
xSxS
yxS
yxS
xS1
xSi
xSn 1?
1x 2x ix 1?ix 1?nx nx
1?iy
1?ny
iy
ny
1y
2y
x
图 2.12 样条函数插值浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,50
2.3.2 二次多项式样条将样条表示为：
121213
3
2
5022,,2,1,
2
12
4921,,2,1,
1
.,13
.13,1
4821,,2,1
1
'
11
'
11
2
nnn
n
nixSxS
n
niyxS
yxS
n
nn
ni
xxCxxBAxS
iiii
iii
iii
iiiiii
定解条件个条件计连接条件个条件计节点条件才能唯一地确定之个条件需要个待定系数个二次多项式共
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,51
2.3.2
可以对某个节点给定某种条件通常是对端点给出规定，称为 端点条件,例如自由端点条件：
受箝端点条件：
自定端点条件，如下：
01''1?xS
KxS?1'1
51211'1 ExS
，得到解三元线性代数方程组因为处的一阶导数确定在构成的二次式由
3
2
33
2
2
22
1
2
11
2
1
3322111
532
522
,,,,,
xxy
xxy
xxy
xxxQ
x
xQyxyxyxE
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,52
2.3.2
5921,,2,1,
492
5821,,2,1
2
572
22
502
5621,,2,1,2
5522
542
2
1
1
1
11111
1
'
1
1
'
111
'
1
21
12
12
13
12
12
23
23
niA
xxCxxBAxSy
ni
xx
BB
C
B
xxCBxxCB
nixxCBxS
xSxxQE
xx
xx
yy
xx
xx
yy
xx
yy
i
iiiiiiiiii
ii
ii
i
i
iiiiiiii
iii
应用节点条件
，
所以应用连接条件计算步骤如下系数已被唯一地确定，
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,53
2.3.2
592
582
612
622532,,
6222
2
6121,,2,12
2
602
2
1
1
1321
11
111111
'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
11
11
ii
iii
ii
i
ii
ii
i
ii
ii
ii
ii
ii
iiii
iiiiiii
iii
Ay
CBB
BB
Byyy
xE
BxxCBxS
niB
xx
yy
B
xx
BB
yy
xx
BB
xxBy
xxCxxBA
xSy
求出由求出，由求出由求出由计算步骤：
又有
，
或者所以以及
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,54
2.3.2
54321012345
0.1
5.0
0.0
5.0
0.1
5.1
0.2
21 1x?
5,510
x
xLxPn
5,5
5,,2,1
x
i
xQxS ii
5,5 5
x
xLxPn
1
1+
X2
a
nd
int
erpol
ant
axisx?
图 2.13 The Quadratic Spline Versus Langrangian Polynomial Interpolation
5,5
10,,2,1
x
i
xQxS ii
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,55
2.3.3 三次多项式样条
11
''
111
'
1
''
11
''
1
'
111
'
1
1
''
21
''
1
'
11
'
11
32
,
0,0
,
2221214
22
6622,,2,1,
6522,,2,1,
12
6421,,2,1,
14
6321,,2,1
JxSKxS
xSxS
KxSKxS
nnn
n
nixSxS
nixSxS
n
niyxS
yxS
n
ni
xxDxxCxxBAxS
nn
nnn
iiii
iiii
iii
iii
iiiiiiii
单端指定：
两端自由：
两端受箝：
定解条件个条件计连接条件个条件计节点条件个待定系数共将样条表示为：
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,56
2.3.3
自由端点 由端点邻近诸节点构成的多项式确定三次多项式样条系数的推导：
三次样条的二阶导数是 x的线性函数
67262'' iiii xxDCxS
iii
i
i
i
i
i
i
i
xxh
xx
h
R
xx
h
L
xS
1
1
''
所以
ix x 1?ix
iL
xSi''
iR
图 2.14 二阶导数图浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,57
2.3.3
7221,,2,1
66
66
692
66
66
712
6
702
6
642
692
66
682
22
1
1
33
1
1
1
1
1
2
11
2
33
1
22
1
'
ni
xx
hR
h
y
xx
hL
h
y
xx
h
R
xx
h
L
xS
x
hR
h
y
x
hL
h
y
W
hL
h
yhR
h
y
V
WV
WxVh
R
xSy
WxVh
L
xSy
WxVxx
h
R
xx
h
L
xS
Vxx
h
R
xx
h
L
xS
i
ii
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
ii
i
i
i
ii
i
iii
i
i
i
ii
iiii
i
iii
iiii
i
iii
iii
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
代入和可解出积分常数应用节点条件再积分一次将上式积分一次浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,58
2.3.3
个定解条件尚需个未知数个方程，共代入应用二阶导数连续条件应用一阶导数连续条件应用于相邻两样条又将
）代入（
2
,,2,1,2
7722,,2,1
62
762,
662
7622,,2,1
22
6
2
6
652
7522
6
62
7422
662
732
7321,,2,1
622
682
12111
1
11
1
1
11
1
1
!1
1
11
1
1
'
1
1
'
1
11
22
1
'
niLnn
ni
LhLhhLh
LR
ni
RL
h
RL
h
RL
h
LR
h
h
L
xS
RL
h
LR
h
ih
R
xS
ni
xx
yy
h
yy
LR
h
xx
h
R
xx
h
L
xS
i
iiiiiiiii
ii
ii
i
iii
i
i
ii
i
i
ii
i
ii
i
ii
ii
i
iii
i
i
i
ii
ii
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,59
772
6
2
2
2
21
1
121
1122
11
2211
nn
ii
n
i
nnnn
iiii
L
L
L
hhhh
hhhh
hhhh
用矩阵形式表示为：
2.3.3
niLn
n
gLhLh
gLL
h
xS
gLhLh
gLL
h
xS
LR
gg
i
nnnnnn
nnn
n
nnn
ii
n
,,2,1,
772792782
79262
2
6
742
78262
2
6
752
1
'
111
'
1
1
1
'
1
'
112111
'
121
1
11
'
1
1
'
1
'
个未知数可求解个方程，共加入将即又根据即及根据和指定两端的一阶导数件对于两端受箝的端点条浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,60
2.3.3
8121,,2,1,
6
2
6
2
632802
802
62
6
2
66
66
,
722
1
11
3
1
2
11
11
3
1
3
11
ni
h
LL
D
L
C
h
LL
h
yy
B
yA
xx
h
LL
xx
L
xxh
LL
h
yy
y
xx
hL
h
y
xxh
hL
h
y
xx
h
L
xxh
h
L
xS
LRxxhxx
L
i
ii
i
i
i
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
ii
i
i
ii
ii
i
ii
i
i
ii
i
i
ii
ii
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
iiiii
i
，得到：和对比有：根据并数。由和节点条件求出样条系再由浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,61
2.3.3
A Data Set Difficult for Interpolation
1,The behavior is difficult to model mathematically.
2,There is inadequate data between 12.5 and 14.0.
3,The data are typical of many real world behavior.
1413121110
1
0
1
2
3
4
5
6
7
1 3 5 7
9
11
13
15
17
19
21 23Y
X
i X i Y I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.0
10.2
10.4
10.6
10.8
11.0
11.2
11.4
11.6
11.8
11.89
11.96
0.42
0.48
0.51
0.52
0.53
0.55
0.58
0.61
0.65
0.74
0.91
1.29
i X
i
Y
I
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
12.0
12.04
12.08
12.12
12.16
12.20
12.28
12.36
12.44
12.50
13.0
14.0
1.52
1.87
2.35
2.89
3.40
3.83
4.27
4.53
4.62
4.64
4.64
4.64
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,62
2.3.3
图 2.15 插值示例
N---Number of Node Points
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
9?N 13?N
9?N 13?N
9?N 13?N
Lagrange
Hermite
Spline
Lagrange
Hermite
Spline
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,63
2.4 有理函数插值
Rational Function Interpolation
近具有无穷大间断点的邻特别适用于某些类函数有理插值简约成为一般多项式时，有当办法是采用有理函数为均匀的另一种使分区间内误差分布较
xPx
xQ
xqxqq
xpxpp
xQ
xP
x
n
n
m
m
m
n
n
m
nmn
1,
10
10,
1
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,64
2.4.1 有理函数的一般情况有理函数度型 degree type (n,m)
度数 number of degree d=n+m
标准形式系数个数 d+1
型值点数 d+1
xmn,?
822
1
1
1
10
00
1
00
1
0
0
,
m
m
n
n
mm
nn
mn
xbxb
xaxaa
x
q
q
x
q
q
x
q
p
x
q
p
q
p
x
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,65
2.4.1
使有理函数通过 d+1个型值点
832,,1,0,
1
1
0,
di
xb
xa
xy
m
k
k
ik
n
j
j
ij
i
mn
i?
得到线性方程组
842,,1,0
10
di
xbyyxa
m
k
k
ikii
n
j
j
ij
mkbnja kj,,2,1,,,1,0, 和可解得并非所有情况下（ 2-84）一定有解例：给出三个型值点，试确定有理函数系数。
i x
i
y
I
= f ( x
i
)
0
1
2
0
1
2
1
2
2
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,66
2.4.1
解
213d
构造有理函数满足 得到线性方程组
xb xaax
1
101,1
1?
ii xy 1,1
3
2
1
0422
022
01
2
1
0
110
110
0
baa
baa
a
i
i
i
时，
时，
时，
无解和代入有由
142
12
32,11
11
11
0
ba
ba
a
这是因为数据给出的型值点中存在着不可达点 inaccessible point
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,67
2.4.2 逆差商递推算法
Recursive Procedures
Using Inverse Differences
设计一种递推算法，使度型（ n,m）中的 n和 m
的数值交替地逐个增加如下：
j
k
0 1 2,,n - 2 n - 1 n
0
1
2
.
.
.
m -2
m -1
m
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,68
2.4.2
设 通过而 通过诸节点上之型值点。则
xmn,?
xmn,1
di xxxx,,,,,10
di xxx,,,,1
di
mn
in
im
i
i
i
im
in
ii
ii
mn
m
n
mn
m
nmn
xxxx
xP
xQ
yy
xx
xx
xQ
xP
xxyy
yx
yxxx
xQ
xP
xxy
xxxy
xQ
xP
x
,,,,
872862,
862
,
852
2
1,1
10
0
01
1
00
00
,
0
1
00
,1
00
,
通过设定义：一阶逆差商为上有：而在其余型值点时可以满足
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,69
2.4.2
有对称性逆差商只有最后两元素依此类推定义：二阶逆差商为上有：而在其余型值点一致与时当设计仿照
ikjk
ij
jik
im
in
i
i
i
i
n
m
i
in
im
ii
n
m
n
m
xxxx
xx
xxxx
xQ
xP
xxxx
xx
xxx
xx
xP
xQ
xxxx
xP
xQ
yx
xx
xP
xQ
xxxx
xP
xQ
,,,,
,,,,
902892
,,
,,
892,
,
,
872882
882,
852
0101
10
1
1
10101
1
102
01
1
1
1101
1
1
1
1
1101
1
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,70
2.4.2
1
912
,,,
,,,
,,
,
,
10
1
2102
1
101
0
0
,
3
2
2102
1
101
0
0
1
1
1
101
0
0
1
0
0
mnmn
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
yx
xx
xxx
xx
xx
xx
y
xQ
xP
xx
xx
xx
y
xP
xQ
xx
y
xQ
xP
kk
k
mn
m
n
n
m
m
n
或号表示为可以用紧凑的连分式符算法按以前步骤，引出递推
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,71
2.4.2
以上公式可由下列计算步骤完成表 2-9 型值和各阶逆差商
i x
i
y
i? 1? 2? 3
0 x
0
y
0
1 x
1
y
1? 1 (x 0,x 1 )
2 x
2
y
2? 1 (x 0,x 2 )? 1 (x 0,x 1,x 2 )
3 x
3
y
3? 1 (x 0,x 3 )? 1 (x 0,x 1,x 3 )? 1 (x 0,x 1,x 2,x 3 )
4 x
4
y
4? 1 (x 0,x 4 )? 1 (x 0,x 1,x 4 )? 1 (x 0,x 1,x 2,x 4 )
依次类推对于连分式
21022
1011
0000
3
2
2
1
1
0
0
,,
,
xxxC
xxC
yxC
C
xx
C
xx
C
xx
Cxf
f r ac t ionC on t inu e d
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,72
2.4.3 反差商算法
Reciprocal Difference Algorithm
为了避免逆差商不对称性的麻烦定义另一种差商
404
202
00
,,
,,
,,,,
kk
kk
kkkk
xx
xx
xxxx
它具有对称性，称之为反差商由以上定义，有又根据逆差商的定义
kkkkkk xxxxxx,,,,,,02020
121012101
1
110
,,,,,,,,
,,,,
kkkkkk
kk
kkk
xxxxxxxx
xx
xxxx
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,73
2.4.3
922,,
,,,,,,
,,,,,,
,,,,
,,,,,
,,,
,,,,,
,,,
202
1201201
1
202120
120
3031201
1201
303201
201
kk
kkkkkk
kk
kkkkkk
kkkk
kkkkk
kkk
kkkkk
kkk
xx
xxxxxx
xx
xxxxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxxxx
xxx
式所以有反差商的递推算以及而且浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,74
2.4.3
101321022
0021022
1011
000
3
2
2
1
1
0
0
102021210
102202112100
0021022102
01
01
101101
00000
,,,,
,,
,
,,,,
,,
xxxxxxC
xxxxC
xxC
xC
C
xx
C
xx
C
xx
Cxf
ffxffxffx
fffxfffxfffx
xxxxxxx
xfxf
xx
xxxx
xfxx
对于对称性由上式可以明显看出其其中可见：
32103
2102
101
00
,,,
,,
,
xxxx
xxx
xx
x
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,75
2.4.3
具体计算可按以下步骤
i x
i
y
i
1
2
3
0 x
0
y
0
1 x
1
y
1
1
(x
0
,x
1
)
2 x
2
y
2
1
(x
0
,x
2
)?
2
(x
0
,x
1
,x
2
)
3 x
3
y
3
1
(x
0
,x
3
)?
2
(x
0
,x
1
,x
3
)?
3
(x
0
,x
1
,x
2
,x
3
)
4 x
4
y
4
1
(x
0
,x
4
)?
2
(x
0
,x
1
,x
4
)?
3
(x
0
,x
1
,x
2
,x
4
)
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,76
2.5 多维插值一般化的方法示例
x取 3次,y取 2次，共 12个待定系数需要 12个节点上的型值解线性代数方程组可以求得
23
32
22
22
3
31
2
12
2
21
3
30
2
0211
2
20
011000
2,3
,,
yxayxayxa
xyayxaxa
yaxyaxa
yaxaa
yxPyxf
kla
ji yx,
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,77
2.5.1 多维线性插值以二维为例，最简单的考虑是由 求 的值可认为是 x,y两个方向线性插值的叠加
1,,1,, jijiij fffyxf,
1?jy
jy
y
x
ix 1?ix
1,?jif
jif,
yxf,
jif,1?
jijij
jj
j
jijijii
jijii
ii
i
jijijij
ff
yy
yy
fffyxf
ff
xx
xx
fffyxf
,1,
1
,1,,
,,1
1
,,1,
,
,
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,78
2.5.1
952
942
,,,
932
,
1
1
1
,,,,1,,
,,,,,1,
,,,,,,1
,,
,1,,,1,
kk
k
k
jj
j
j
ii
i
i
kjikjik
kjikjij
kjikjii
kji
jijijjijiiji
zz
zz
yy
yy
xx
xx
ff
ff
ff
fzyxf
fffffyxf
其中多维这种方法很容易推广到所以有：
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,79
2.5.2 多维非线性插值各种一维插值方法都可推广到多维二维 Lagrange 多项式
972
,,,,,
962
,,
,,,
,,,
0
,
000
,,
k
kji
lk lk
l
jl lj
l
il li
l
ji
nmnm
n
j
ji
n
jl
l lj
l
m
ik
k ki
k
m
i
nmnm
f
zz
zz
yy
yy
xx
xx
zyxLzyxP
Lag r a n g e
f
yy
yy
xx
xx
yxLyxP
，
多项式多维
，
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,80
2.5.3 多维样条介绍二维二次样条
yxf,
x y
1x
mx
1y
ny
ix
1?ix
jy
1?jy
fyxs ji,,
ijf
jif,1?
1,?jif
1,1 jif
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,81
2.5.3
处 x方向的一阶导数
ji yx,
jijix
ji
ji
x
ji
ji
x
ji
ji
x
yxS
yxS
yxS
yxS
,
,
,
,
1,1
1,
,1
,
jijiy
ji
ji
y
ji
ji
y
ji
ji
y
yxS
yxS
yxS
yxS
,
,
,
,
1,1
1,
,1
,
处 y方向的一阶导数
ji yx,
x
y
yxf,
ji yx,1?
11, ji yx
1,?ji yx
ji yx,
1?ix
ix
1?ix
1?jy
jy
1?jy
jif,1?
1,1 jif
1,?jif
jif,
1,?jis
jis,
jis,1?
1,?jiys
1,1jiys 1,1jixs
jixs,1?
jiys,1?
jiys,ji
xs,
1,?jixs
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,82
2.5.3
用以下形式表示二维二次样条
jjj
jijjijji
jjjijjjiji
ji
ji
jiji
jiji
ji
jiji
jji
jijiiji
jjiijiji
ji
yyh
nj
mi
FhChA
yyFyyCA
yxSyxff
nj
mi
AyxSyxff
nmnm
nj
miyyF
yyxxExxD
yyCxxBAyxS
1
,,,
2
1,1,,
1
,
11,
,
,
,
2
,
,
2
,
,,,
,
1 0 021,,2,1
1,,2,1
,,
9921,,2,1
1,,2,1
,,
1
11611
9821,,2,1
1,,2,1
,
节点条件个系数个方程，共浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,83
2.5.3
个条件以上计 114
1 0 221,,2,1
1,,2,1
,,
1 0 121,,2,1
1,,2,1
,,
2
,,
2
,,,,
11
,
111,1
1
,,,
1
,
1,1
nm
nj
mi
hFhgE
gDhCgBA
yxSyxff
xxg
nj
mi
DgBgA
yxSyxff
jjijiji
ijijjiijiji
ji
ji
jiji
iii
jiijiiji
ji
ji
jiji
(2)光顺条件
y
yxS
S
x
yxS
S
yxyxS
ji
ji
y
ji
ji
x
ji
,
,
,
,
,
,
,
,
分别令方向的一阶导数，方向和在浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,84
2.5.3
个条件共计个条件计个条件计个条件计个条件计以上方向上有在考虑到条件数有限方向上有在
2112
211 052
21 042
21 032
121 022
1 0521,,3,2
1,,2,1,,
1 042
1,,3,2,,
1 0321,,3,2
,,
1 0221,,2,1
1,,3,2,,
1,,
,1,
1,,
,1,
nm
nm
m
n
nm
nj
miyxSyxS
lj
miyxSyxS
y
nj
kiyxSyxS
nj
miyxSyxS
x
ji
ji
yji
ji
y
ji
ji
yji
ji
y
ji
ji
xji
ji
x
ji
ji
xji
ji
x
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,85
2.5.3
综合以上两项共规定 条件还需 2个定解条件
（ 3）定解条件可在任一节点,在 x和 y两个方向分别 由相邻三节点确定两条一维二次曲线所得斜率作为 和可导出系数的计算公式
2116 nm
kk yx,
lkB,lkC,
11 12
11 02
2
10 92
2
10 822
10 722
10 62
,1,,11,1
,
1
1,,
1,
1
,1,
,1
,
,1,
1,
,
,,1
,1
,,
ji
jijijiji
ji
j
jiji
ji
i
jiji
ji
ji
j
jiji
ji
ji
i
jiji
ji
jiji
hg
ffff
E
h
CC
F
g
BB
D
C
h
ff
C
B
g
ff
B
fA
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,86
第二章 习题
2-1,Show that the divided difference is a symmetric
function,That is,f [x1,x2,……,x k]=f [y1,y2,……,y k] if
the set {yi} is a permutation of the set xi,
2-2,Write a FORTRAN program to compute and print the
Table of 1st- to 4th-order divided differences,Use
following sets of data to test your program.
D a t a s e t A x f(x )
10
15
20
30
40
50
60
70
80
3,1 4 8
2,6 8 0
2,2 9 9
1,7 9 9
1,4 3 8
1,2 2 5
1,0 2 3
0,8 6 2
0,6 8 3
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,87
D a t a s e t B t W (t )
244
2 4 9,5
272
2 7 8,4
315
350
397
670
0,2 9
0,3 1
0,9 9
1,0 1
3,1 8
6,7 2
1 5,8 8
7 6 0,0
2-3,Study the effect of different interpolation models by using
the data sets given below.
D at a s et C z u (z ) z u (z )
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
3,3 1 1
4,3 2
5,3 1 9
6,1 9
6,9 4
7,0 9
7,1 4
6,8 9
6,5 8
6,1 8
60
65
70
75
80
85
90
95
100
5,7 5 0
5,2 7 3
4,7 6 2
4,2 0 0
3,6 9 0
3,2 1 2
2,7 3 2
2,2 5 3
1,7 7 3
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,88
D at a s et D s v ( s ) s v ( s )
0,0 0 5 5
0,0 0 8
0,0 1 0
0,0 1 5
0,0 2 0
0,0 2 5
0,0 3 0
0,0 3 5
1 8 2,0
1 5 2,0
1 2 5,0
9 1,5
7 1,4
5 9,7
5 1,3
4 6,8
0,0 4
0,0 5
0,0 6
0,0 7
0,0 8
0,0 9
0,0 9 5
0,1 0
4 1,7
3 7,0
3 5,7
3 5,1
3 7,0
4 0,0
4 4,5
4 8,6
2-4,The polynomial L(x) that interpolates p(x) of the same
degree should reproduce p(x),Compute the interpolation
L(x) of the following polynomials p(x) at specified node
points xi,and then evaluate the differences [p(x)-L(x)]
at the assigned check points xk,Discuss the results.
Polynomial Node Points Check Points
P(x) xi xk
5.20,5.19,5.1520,19,,2,1,020
1
j
jxA
1.2,25.0,0.10.29.1,,2.0,1.0,0.0!20
1
j
j jxB
《实用数值计算方法,1
第二章 插值和逼近
2.1 多项式插值
2.2 密切多项式插值
2.3 分段插值和样条函数
2.4 有理函数
2.5 多维插值
2.6 函数的逼近浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,2
插值多项式
Lagrange 多项式
Aitken-Neville 逐步加精格式
Newton 多项式
Newton-Gregory 前差分插值
Gregory 后差分插值
Gauss 差分插值
Stirling 差分插值浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,3
2.0
插值 自变量和应变量的关系以表格或曲线形式给出由于函数关系过于复杂或当前还未找到合适的方程表达希望用较少数据点存入计算机产生插值问题逼近 对计算不便或复杂的函数用另一便于计算的函数近似之称为逼近方法
1
0
11
0
1
1,dxxxnmB
dxex
nm
x
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,4
2.0
工程计算用图线由于系实际测得，往往无合适的方程表达示例,O’Connell 塔效率和操作条件关联
)( log PHE lT
PHx Llog
0.3? 0.2? 0.1? 0 0.1 0.2
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0?
图 2.1 典型的工程用计算图线
Y?
E T
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,5
2.0
表 2-1 典型的数表节点序数
i
自变量值
x
i
因变量值
y
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
- 3.0
- 2.5
- 2.0
- 1.5
- 1.0
- 0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.775
0.670
0.565
0.460
0.355
0.260
0.180
0.1 15
0.070
0.035
0.010
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,6
2.1 多项式插值常用 n次多项式 Pn(x)
1210
n
n
n
xaxaa
xfxpy
根据 Weierstrass逼近理论
baxxPxf
bax
n,
0,
a b
y
xPn
xf
xf
xf
x
图 2.2 Weirstrass 逼近理论示意浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,7
2.1.1 插值多项式
ni
iin
n
n
i
in
aaaa
xfxP
xaxaxaaxP
,,,,,10
10
使 唯一确定
n+1 个待定系数 n+1 个条件
y
x0x 1x ix nx
ny
iy
1y
0y
00,yx
11,yx
ii yx,
nn yx,
xf
xPn
型值点插值多项式
xf?
图 2.3 型值点和插值多项式浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,8
2.1.1
推导通式
22
0
,
,
,00,
n
i
iin
nnn
iinnn
yxB
yxB
yxByxBxP
的基本式，基函数
2232
32,,1,0,
niyxP
xP
iin
n
通过型值点，
42
,,0,0
,,0,0
00,0,00,0
nnnnnnininn
iinnniiniin
nnninin
yxByxByxBy
yxByxByxBy
yxByxByxBy
xPxB nin,
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,9
2.1.1
（ 2-4）成立的条件由 和 最高冥次相同构造满足 的,令
xB in,,22?
52?
xPn
xB in,
82
72
1
,1;,,0;;0
62
110,
110
,
,
110,,
niiin
niiiii
in
iin
j
niiinin
xxxxxxxxxD
xxxxxxxx
C
xB
ijnjxx
xxxxxxxxCxB
所以定义为使
52,0,1,?
ji
jixB
jin
92
,
,
,
iin
in
in xD
xDxB
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,10
2.1.1
102
2292
0,
,
0
,
xL
xD
xD
yyxBxP n
n
i iin
in
i
n
i
iinn
Lagrange 多项式
Rolle’s Theorem
xf
0
x
1x
nxix2x
xf
a b
1
2
i
1?n
个根个根
1'?nxf
nxf
图 2.4 函数与根的关系浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,11
2.1.1
最简单的插值多项式,n=1，线性插值从（ 2-10）
112
1
01
0
0
10
1
1
0,1
,1
1
y
xx
xx
y
xx
xx
xD
xD
yxL
i ii
i
i
1111
0010
yxLxx
yxLxx
：
：
y
x
1y
0y
0x 1x
xf
xL1
图 2.5 线性插值示意浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,12
2.1.1
多项式插值的误差为 的误差，或余项构造对另一自变量 t定义一个新的函数取某个固定的 x 值，则时在 区间有（ n+2）个根若 连续可微，反复应用 Rolle定理在以上区间有一个根
122 xRxPxf nn
xRnxPn
0;:,,0; iniini xRxfxPnixx 即时使?
132
0
n
i
in xxxGxR
142
0
n
i
in xtxGtPtftQ
ni xxxxt,,,,,0 0?tQ
nxxx,,,,0tQ
tf
tQ n 1?
152,,,,,0 01 nn xxxQ
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,13
2.1.1
将（ 2-14）对 t 求（ n+1） 阶导数
1621211
111
xGnnn
tPtftQ nnnn
182,,,,
!1
132172
172
!1
0!1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
n
n
i
i
n
n
n
n
n
n
n
n
xxx
xx
n
f
xR
n
f
xG
nxGf
Q
ntPtP
或次多项式是的确切值为未知 但可用以：
（ 1）估计误差界
（ 2）推导求积公式精度估计
（ 3）分析外推插值误差大于内插
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,14
2.1.1
示例 2.4
右表给出了若干节点上的函数值，
试比较用不同次数的 Lagrange多项式计算 f(1.5)
的精度解
x f (x )
1,0
1,3
1,6
1,9
2,2
2,5
0,7 6 5 1 9 7 7
0,6 2 0 0 8 6 0
0,4 5 5 4 0 3 2
0,2 8 1 8 1 8 6
0,1 1 0 3 6 2 3
- 0,0 4 8 3 8 3 8
表 2-2
得到：取得到：取
,9.1,6.1,3.12
1053.1
5 10 2 9 68.0
4 55 4 0 22.0
3.16.1
3.15.1
6 20 0 8 60.0
6.13.1
6.15.1
5.1
,6.1,3.11
210
3
1
10
xxx
E
L
xx
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,15
2.1.1
51 18 27 7.05.1
!2
1
10
107.7
51 18 20 0.05.1
5.2,2.2,9.1,6.1,3.14
105.2
51 18 30 2.05.1
2.2,9.1,6.1,3.13
1042.5
51 12 85 7.0
28 18 18 6.0
6.19.13.19.1
6.15.16.15.1
45 54 02 2.0
9.16.13.16.1
9.15.13.15.1
62 00 86 0.0
9.13.16.13.1
9.15.16.15.1
5.1
0
2
2
2
0
0
6
4
43210
6
3
3210
4
2
J
r
x
xJ
B e s s e l
E
L
xxxxx
E
L
xxxx
E
L
r
r
r
r
函数类阶第以上函数实际为得到：取得到：取随着次数增加 减少。但最后又有所上升？E
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,16
2.1.2 逐步加精插值用以上算式，当需要提高精度而增加节点时原先的计算结果不能利用,全得重新计算。
故有人提出了便于逐步加精的算法 。
nlki
n
i
ini
i
n
n
i iin
in
in
iin
niiiiiiin
ni
iinn
xxxxxx
xxx
y
x
xD
xD
yxL
xD
xxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxDx
10
0
'
0,
,
,
110
'
10
,
212
202
192
令则故（ 2-10）成为设有数据点位于浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,17
2.1.2
若去掉其中 xk,则有若去掉其中的 xl,则有容易看出所以,n次多项式可由两个仅有一个节点不同的 n-1
次多项式经线性组合而成。
222
0
'1
10
n
i ini
kii
k
nk
n
nli
xxx
xxy
xx
xxQ
xxxxx
n
i ini
lii
l
nl
n
nki
xxx
xxy
xx
xxQ
xxxxx
0
'1
10
232
0
'
0
'
0
'
0
'
11
xL
xxx
y
x
xxx
xxy
xx
x
xxx
xxy
xx
x
xxx
xxy
xx
x
xQ
xx
xx
xQ
xx
xx
n
n
i ini
i
n
n
i ini
kli
kl
n
n
i ini
lii
kl
n
n
i ini
kii
kl
n
l
n
kl
lk
n
kl
k
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,18
2.1.2
Aitken 逐步加精插值定义线性组合运算符
逐步加精算法步骤由此得到时当
A it k e n
xLGygyglk
g
xx
xx
g
xx
xx
ggG
lk
l
kl
l
k
kl
k
lkx
101,,,1,0
242,
i x
i
y
i
0
1
2
3
4
5
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
表 2-3 Aitken算法步骤
xLxL i,01xLxL i,1,02?
202,0,yyxL x
303,0,yyxL x
404,0,yyxL x
101,0,yyxL x
xLxLxL x 2,01,02,1,0,
xLxLxL x 3,01,03,1,0,
xLxLxL x 4,01,04,1,0,
………… …………
表示由 诸点确定的 Lagrange多项式插值求出 x处的 y值：
xL kji,,kji
xxx,,
xyxL kji?,,
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,19
2.1.2
表 2-4 Aitken 插值计算格式
i x
i
L
0
L
1
L
2
L
3
L
4
0 x
0
y
0
=L
[ 0]
1 x
1
y
1
=L
[ 1]
L
[ 0,1]
2 x
2
y
2
=L
[ 2]
L
[ 0,2]
L
[ 0,1,2]
3 x
3
y
3
=L
[ 3]
L
[ 0,3]
L
[ 0,1,3]
L
[ 0,1,2,3]
4 x
4
y
4
=L
[ 4]
L
[ 0,4]
L
[ 0,1,4]
L
[ 0,1,2,4]
L
[ 0,1,2,3,4 ]
5 x
5
y
5
=L
[ 5]
L
[ 0,5]
L
[ 0,1,5]
L
[ 0,1,2,5]
L
[ 0,1,2,3,5 ]
6 x
6
y
6
=L
[6 ]
······· ······· ······· ·······
精并判断是否尚需继续加的精度和可用以估计构成多项式求为由构成多项式求为由
liki
liki
lili
kiki
LL
LLL
xyxxxxL
xyxxxxL
,,,0,,,0
,,,0,,,0
0,,,0
0,,,0
,,,
,,,
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,20
2.1.2
Neville 逐步加精插值用（ 2-24）线性组合公式尚可构成另一种步骤表 2-5 Neville 算法步骤
i x
i
y
i
0
1
2
3
4
5
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
y
0
y
1
y
2
y
3
y
4
y
5
xLxL ii,11xLxL iii,1,22
101,0,yyxL x
212,1,yyxL x
323,2,yyxL x
434,3,yyxL x
2,01,02,1,0,LLxL x
3,22,13,2,1,LLxL x
4,33,24,3,2,LLxL x
………… …………
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,21
2.1.2
表 2-6 Neville 插值计算格式
i x
I
L
0
L
1
L
2
L
3
L
4
0 x
0
y
0
=L
[ 0]
1 x
1
y
1
=L
[ 1]
L
[ 0,1]
2 x
2
y
2
=L
[ 2]
L
[ 1,2]
L
[ 0,1,2]
3 x
3
y
3
=L
[ 3]
L
[ 2,3]
L
[ 1,2,3]
L
[ 0,1,2,3]
4 x
4
y
4
=L
[ 4]
L
[ 3,4]
L
[ 2,3,4 ]
L
[ 1,2,3,4]
L
[ 0,1,2,3,4 ]
5 x
5
y
5
=L
[ 5]
L
[ 4,5]
L
[ 3,4,5]
L
[ 2,3,4,5]
L
[ 1,2,3,4,5]
6 x
6
y
6
=L
[6 ]
L
[ 5,6]
Aitken 或 Neville 方法得到的就是
Lagrange 多项式，故仍可以用（ 2-18）
估计插值误差浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,22
2.1.3 差商和差分插值
Aitken 和 Neville 方法能逐步提高精度但表格中每一元素均系对特定的 x 求出对另一个 x 值，每一个元素均需要重算克服这一缺点的办法是采用差商插值公式用差商表示的插值多项式将 n 次多项式写成
262,,1,0
1
,,,
252
10
10
102
010
niyxP
n
xxx
xxxxa
xxxxa
xxaaxP
iin
n
nn
n
个型值点共多项式应通过浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,23
2.1.3
12022
02
01
01
022
2
1100
10
10
01
01
1
011011
1
000
0
282272262,252
,,,
,
272262,252
272
262252
xxxxa
xx
xx
yy
yxPy
xx
yxyx
xxxxfy
xxf
xx
yy
a
xxayxPy
xx
axPy
xx
n
n
n
和，时，由当两点的连接线的斜率和就是通过一阶差商或一阶均差位置上的，，在对自变量即函数和时，由当和时，由当浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,24
2.1.3
292,,
,,
1
210
02
1021
02
01
01
12
12
1202
01
02
01
12
02
12
1202
01
01
02
0112
1202
02
01
01
02
2
xxxf
xx
xxfxxf
xx
xx
yy
xx
yy
xxxx
xx
xx
yy
xx
xx
yy
xxxx
yy
xx
xx
yyyy
xxxx
xx
xx
yy
yy
a
302
,,,,,,
,,,
:
1
,,
1121
1
210
iki
kiiikiii
kiii
xx
xxxfxxxf
xxxf
kk
xxxxxfy
求出阶差商阶差商可由相邻两个推广到的二阶差商在对即函数浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,25
2.1.3
差商多项式插值公式这就是可用差商表示为：故
：式中最后一个系数应为
N e w t on
xN
xxxxxxxf
xxxxxxxf
xxxxf
xfxPy
xxxfa
n
nn
n
nn
312
,,,
,,
,
252
,,,
252
1010
10210
010
0
10
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,26
2.1.3
表 2-8 各阶差商计算步骤
i x
i
y
i
0 x
0
y
0
1 x
1
y
1
2 x
2
y
2
3 x
3
y
3
4 x
4
y
4
1,?ii xxf21,, iii xxxf321,,, iiii xxxxf
01
01
10,
xx
yy
xxf
12
12
21,
xx
yy
xxf
23
23
32,
xx
yy
xxf
34
34
43,
xx
yy
xxf
02
1021
210
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf
13
2132
321
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf
24
3243
432
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf
3210,,,xxxxf
4321,,,xxxxf
·········
·········
·········
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,27
2.1.3
差商插值的余项
列表数据求。需要的高阶导数不易由插值，但也可以用于余项公式多项式插值误差的因此，用于估计由此可见所以次多项式而言必须，这时对处为共次多项式，且在也将是一个则若定义且能满足和次多项式若能找到两个个根次多项式至多有
182
182
0
01
,,,
,,1,0,
10
N e w t on
L a ng r an ge
xPxNxL
xPxP
xD
nn
xxxn
xPxPxD
niyxPxP
xPxPn
nn
nnn
BA
p
n
BAp
iiBiA
BA
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,28
2.1.3
：逐步代入前一式，得到由此得到：
则有差商：
为固定值置，视为区间内某个固定位把方式误差余项的另一种表达
332
,,,
,,,,,,
,,,,,,,
,,,,
,
322
,,,,
,,,
,,
,,
,
0
1010
221021010
110100
000
2
10210
210
1
010
10
0
0
0
nn
nn
xxxxxf
xxxfxxxf
xxxxxxfxxxfxxxf
xxxxxfxxfxxf
xxxxfyy
xx
xxxfxxxf
xxxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xx
yy
xxf
xyx
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,29
2.1.3
算误差余项估计值该式便于由列表数据计所以则于假定高一阶的差商趋近未知所以值是待求值可惜由于所以余项为
372,,,
362,,,,,,
0
,,,,,
,,,
:,0
,,,,
352,,,
:
342
,,,
,,,
,,,
,,
,
110
0110
1
010
10
0
0
0
11010
2103210
10210
0100
xxxxfxR
xxxfxxxf
xx
xxxfxxf
xxxf
xxxfxy
xxxxfxPyxR
xRxP
xxxxf
xxxxxxxxxf
xxxxxxxxxxf
xxxxxxxf
xxxxfyy
nnn
nn
n
nn
n
n
nnnn
nn
nn
nn
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,30
2.1.3
201
02
10
10
02
02
02
02
12
1021
2110
10
02
02
02
1021
10
12
02
02
02
02
01
01
12
01
12
02
02
01
01
12
12
210
012
20
1201
02
1021
210
01
10
10
01
01
10
,,
11
,,
,,
,,
,,
,,
,,
xxxf
xx
xx
yy
xx
yy
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
yy
xx
yy
xx
xxxx
yy
xx
xx
xx
yy
xx
xx
yy
xx
yy
xx
yy
xx
xx
yy
xx
yy
xxxf
xxxf
xx
xxfxxf
xx
xxfxxf
xxxf
xxf
xx
yy
xx
yy
xxf
以及差商的对称性各阶差商的数值与节点书写次序无关浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,31
2.1.3
392,,11
,11
,,1
,
312
382
,
1,,1,0,
0
0
10
210
2
100
0
0
0
0
1
n
k
k
k
n
n
nn
i
i
i
ii
xxfhksss
xxxfhnsss
xxxfhss
xxfhsxf
hsxNxP
hisxx
hsxx
hsxx
hixx
nixxh
式由此改写为：将所以有又令因此令自变量系等间距取值，
采用更简便的差分形式在等间距节点情况下可前差分插值公式浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,32
432
2
422
,
412,,!
392
402
!
11
!!
!
392
1
1
1
11
12
112
1
2
1
010
0
0
0
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
iii
iiii
iiii
iii
n
k
k
k
nn
y
yyyy
yyy
yyyy
yyyy
yyy
yyy
xxfhk
k
s
shxNxP
k
ksss
ksk
s
k
s
以及并推广为：
定义一阶前差分利用差分表示式
），得：代入（
利用二项式系数表示式形式）写成便于使用的紧凑为了将（
2.1.3
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,33
2.1.3
前差分插值公式插值公式，或称这就是值公式：）得到前差分表示的插代入（
推广到一般化情况有：差商和差分之间的关系
G r e go r y
G r e go r yN e w t o n
xGy
k
s
xP
y
hk
xxf
y
hh
h
y
h
y
xx
xxfxxf
xxxf
h
y
xx
yy
xxf
n
n
k
k
n
k
k
k
452
392
442
!
1
,,
2
1
2
,,
,,
,
0
0
00
0
2
2
01
02
1021
210
0
01
01
10
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,34
2.1.3
462
1
!1
1
!1
!1
!1
182
,
1
11
1
0
1
1
0
0
2
0
2
01
0
2
0
01
01
0
'
f
n
s
xR
fh
n
nsss
f
n
xxxx
n
f
xxR
n
f
xxN
xRxNxfy
h
y
xy
h
y
h
h
y
h
y
xy
h
y
xx
yy
xy
n
n
nn
n
n
n
nn
n
nn
nn
n
n
n
差算式表示为：即可得到前差分插值误所以根据误差算式其一般化关系为：
：差分和导数之间的关系
前差分插值的误差估计浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,35
2.2 密切多项式插值
Lagrange多项式 Ln(x)
与所给出的函数 f(x)之间的关系
不相似表现为曲线“形状”的故不是密切的但是,
,,1,0,
''
iin
iiin
xfxL
nixfyxL
y
x
iy
0x ix nx
xfy?
xLy n?
图 2.6 Ln(x)与 f(x)的关系浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,36
2.2.0
0 9983 3417.01.0s in
0 9983 33.0
0 01.0
6
1
1.0
1.01.01.0s in
6
1
10c o s60
00s in20
10c o s0
00s in0
3
0
s in
3
3
3
3
'''
3
2
''
3
1
'
3
03
3
3
2
2103
0
Tf
xxxT
aT
aT
aT
aT
xaxaxaaxT
xT ay lor
xxf
xTT ay lor
n
求：
所以次多项式设用附近展开级数在用设级数多项式是常用的“形状相似”的浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,37
2.2.0
多项式应寻找兼具两种优点的但是
90930.00.2s in
66667.00.2
84147.00.1s in
83333.00.1
3
3
T
T
2
1
0
1?
2?
3? 2? 1? 0 1 2 3
x
y
xy sin?
6
3x
xy
图 2.7 T3(x)与 f(x)=sin(x)的关系浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,38
2.2.1 密切多项式
Osculating Polynomials
个的系数为故密切多项式其阶数密切多项式现有函数：
个非负整数：以及个节点：给定
1
,,2,1,
,,1,0,
,,m a x,,
,,,
1
,,1,0,,
1
0
0
10
MxO
mnM
mixfxO
nixfxO
mmmbaCf
mmm
n
nibax
n
M
n
i
i
ii
li
i
li
M
iiM
n
m
n
i
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,39
2.2.2 Hermite 多项式
12
1222
,,1,0,,
,
,,1,0,1
''
1
nNH e r m it e
L ag r an g e
nxHn
xfxH
xfxH
nibax
baCxf
xHH e r m it e
nim
N
ii
N
iiN
i
N
i
多项式构造多项式的基函数参考构成阶为个条件，故共应满足对于多项式称之为下列情况：最常用的密切多项式是
i =0,1,…,n
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,40
2.2.2
52
,0
,1
{
102
,
,
0
,
ji
ji
xB
xB
xfxBxL
La g r a n ge
jin
in
n
i
iinn
的性质基函数多项式
92
,
,
110
110
,
iin
in
niiiiii
nii
in
xD
xD
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xB
ji
处均有单根，故采用：在
0.1
x
B n
,i(
x)
0x 1x
1?ix ix 1?ix
1?nx nx
图 2.8 基函数 Bn,i(x)的图形浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,41
2.2.2
d
ji
ji
xF
cnjxE
bnjxF
a
ji
ji
xE
xFxE
xFxfxExfxH
H e r m it e
xfxHxfxH
j
iN
j
iN
jiN
jiN
iNiN
n
i
iNi
n
i
iNiN
ii
N
iiN
,0
,1
{
,,0,0
,,0,0
,0
,1
{
,
'
,
'
,
,
,,
0
,
'
0
,
''
以及应具有以下性质和基函数多项式的及构造能满足浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,42
2.2.2
时有一极值时有重根，在
）（）根据条件（
jijixxE
ca
iiN,
,
,
baxxBxE
xDBbxDAa
BAxxD
BAxxxxxxxxxxE
nNxE
in
iN
i
in
i
in
iN
niiiN
iN
,
2
,
,
2
,
2
,
2
22
1
2
1
2
0,
,
,
,12
则有：
令所以的阶数为既然
0.1
x
0x 1x
1?ix ix 1?ix
1?nx nx
E n
,i(
x)
图 2.9 基函数 En,i(x)的图形浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,43
2.2.2
xBxBxxxE
xBxx
xBxxxBbax
xBxaxb
xBa
axB
abaxxB
xaBbaxxBxB
xE
cxxE
bax
baxxBxE
xBa
inin
iin
i
in
i
i
in
ii
in
i
in
ii
i
in
i
in
ii
in
i
in
ii
in
iin
i
in
iin
i
ii
in
iin
in
,
2
,
'
,
,
'
,
'
,
'
,
'
,
'
,
'
,
'
,
2
,
'
,
,
'
,
,
2
,
,
21
21
212
211
2
21
22
2
2
0
1
1
,
所以二式可得，由以上
）求导，并根据条件（对将的性质及根据条件浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,44
2.2.2
时有单根时有重根，在
）（）根据条件（
jijixxF
db
iiN,
,
,
iiniN
niiiiii
niii
iN
xxxBxF
xxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xF
,
2
,
22
1
2
1
2
0
22
1
2
1
2
0
,
1
即：
故采用：
0x 1x
ix
1?nx nx
F n
,i(
x)
图 2.10 基函数 Fn,i(x)的图形浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,45
2.2.2
xxxxxfxxxxxHxfxR
xH
xxxxfxxxxxx
xxxfxxxxfxxxfxP
xttxttxtt
xttftxtxxPxf
ttftxtx
ttftxtfxP
nN
xfttt
nnnNN
N
nnnn
N
nnn
nnN
nn
N
n
,,,,
,,,
,,,
,,,
,,,
,,
,
12
,,,
00
22
0
00
2
1
2
0
100
2
00000
122132010
120120
12020
1000
1210
以及：
则有：
现在取时，前式仍为有效任何相邻两节点相重合误差项为令的多项式插值对考虑在计误差项的形式这是更加便于计算并估用差商表示的 Hermite 多项式浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,46
2.2.2
xbbaafbxaxxR
ab
afbafbf
bbaaf
ab
afbaf
baaf
bbaafbxax
baafaxafaxafxH
bf
ab
xbax
af
ab
xbax
bf
ab
ax
ab
xb
af
ab
xb
ab
ax
xH
bfbHbfbH
afaHafaH
bxax
,,,,
,2
,,,
,
,,
,,,
,,
2121
,
,
,
22
3
2
''
'
2
2'
3
'
2
2
'
2
2
22
3
'
3
'
3
'
3
'
3
误差项为：
其中或采用差商形式为：
则插值多项式为：
两点上在三次 Hermite 多项式,这是应用最广的一种 HN(x)
Cubic Hermite Polynomial,H3(x)
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,47
2.3 分段插值和样条函数
2.3.1 多项式插值的问题在一定的区间内增加节点数能提高插值精度但在某些情况下会出现很大偏差一个突出的例子就是 C.Runge发现的函数在 范围内,若节点取得较少，则精度很低。但节点数增加后，只在区间的中心部分精度提高，在两边区域产生严重的振荡。见图 2.11。原因在于多项式的解析特性因此有人提出分段插值的方法。
但一般的分段多项式缺点是分段的两侧斜率和曲率不连续，即曲线不光滑。
4721 1 2 xxy
5,5x
xLxLxL 16105,,和浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,48
图 2.11 多项式插值的 Runge 现象
2.3.1
54321012345
0.1
5.0
0.0
5.0
0.1
5.1
0.2
14?
12345
6
7
8
96
5
432
1
21
1
x?
5,516
x
xLxPn
5,5 5
x
xLxPn
5,510
x
xLxPn
1
1+
x2?
and i
nte
rpol
ant
axisx?
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,49
2.3.1
样条函数插值 Spline Functions Interpolation
是一种特殊的分段插值
最常用的是多项式样条或以及：
样条函数的基本特点：
111
1
11
i
p
ii
p
i
i
p
ii
p
i
iii
iii
xSxS
xSxS
yxS
yxS
xS1
xSi
xSn 1?
1x 2x ix 1?ix 1?nx nx
1?iy
1?ny
iy
ny
1y
2y
x
图 2.12 样条函数插值浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,50
2.3.2 二次多项式样条将样条表示为：
121213
3
2
5022,,2,1,
2
12
4921,,2,1,
1
.,13
.13,1
4821,,2,1
1
'
11
'
11
2
nnn
n
nixSxS
n
niyxS
yxS
n
nn
ni
xxCxxBAxS
iiii
iii
iii
iiiiii
定解条件个条件计连接条件个条件计节点条件才能唯一地确定之个条件需要个待定系数个二次多项式共
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,51
2.3.2
可以对某个节点给定某种条件通常是对端点给出规定，称为 端点条件,例如自由端点条件：
受箝端点条件：
自定端点条件，如下：
01''1?xS
KxS?1'1
51211'1 ExS
，得到解三元线性代数方程组因为处的一阶导数确定在构成的二次式由
3
2
33
2
2
22
1
2
11
2
1
3322111
532
522
,,,,,
xxy
xxy
xxy
xxxQ
x
xQyxyxyxE
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,52
2.3.2
5921,,2,1,
492
5821,,2,1
2
572
22
502
5621,,2,1,2
5522
542
2
1
1
1
11111
1
'
1
1
'
111
'
1
21
12
12
13
12
12
23
23
niA
xxCxxBAxSy
ni
xx
BB
C
B
xxCBxxCB
nixxCBxS
xSxxQE
xx
xx
yy
xx
xx
yy
xx
yy
i
iiiiiiiiii
ii
ii
i
i
iiiiiiii
iii
应用节点条件
，
所以应用连接条件计算步骤如下系数已被唯一地确定，
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,53
2.3.2
592
582
612
622532,,
6222
2
6121,,2,12
2
602
2
1
1
1321
11
111111
'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
11
11
ii
iii
ii
i
ii
ii
i
ii
ii
ii
ii
ii
iiii
iiiiiii
iii
Ay
CBB
BB
Byyy
xE
BxxCBxS
niB
xx
yy
B
xx
BB
yy
xx
BB
xxBy
xxCxxBA
xSy
求出由求出，由求出由求出由计算步骤：
又有
，
或者所以以及
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,54
2.3.2
54321012345
0.1
5.0
0.0
5.0
0.1
5.1
0.2
21 1x?
5,510
x
xLxPn
5,5
5,,2,1
x
i
xQxS ii
5,5 5
x
xLxPn
1
1+
X2
a
nd
int
erpol
ant
axisx?
图 2.13 The Quadratic Spline Versus Langrangian Polynomial Interpolation
5,5
10,,2,1
x
i
xQxS ii
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,55
2.3.3 三次多项式样条
11
''
111
'
1
''
11
''
1
'
111
'
1
1
''
21
''
1
'
11
'
11
32
,
0,0
,
2221214
22
6622,,2,1,
6522,,2,1,
12
6421,,2,1,
14
6321,,2,1
JxSKxS
xSxS
KxSKxS
nnn
n
nixSxS
nixSxS
n
niyxS
yxS
n
ni
xxDxxCxxBAxS
nn
nnn
iiii
iiii
iii
iii
iiiiiiii
单端指定：
两端自由：
两端受箝：
定解条件个条件计连接条件个条件计节点条件个待定系数共将样条表示为：
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,56
2.3.3
自由端点 由端点邻近诸节点构成的多项式确定三次多项式样条系数的推导：
三次样条的二阶导数是 x的线性函数
67262'' iiii xxDCxS
iii
i
i
i
i
i
i
i
xxh
xx
h
R
xx
h
L
xS
1
1
''
所以
ix x 1?ix
iL
xSi''
iR
图 2.14 二阶导数图浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,57
2.3.3
7221,,2,1
66
66
692
66
66
712
6
702
6
642
692
66
682
22
1
1
33
1
1
1
1
1
2
11
2
33
1
22
1
'
ni
xx
hR
h
y
xx
hL
h
y
xx
h
R
xx
h
L
xS
x
hR
h
y
x
hL
h
y
W
hL
h
yhR
h
y
V
WV
WxVh
R
xSy
WxVh
L
xSy
WxVxx
h
R
xx
h
L
xS
Vxx
h
R
xx
h
L
xS
i
ii
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
ii
i
i
i
ii
i
iii
i
i
i
ii
iiii
i
iii
iiii
i
iii
iii
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
i
i
i
代入和可解出积分常数应用节点条件再积分一次将上式积分一次浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,58
2.3.3
个定解条件尚需个未知数个方程，共代入应用二阶导数连续条件应用一阶导数连续条件应用于相邻两样条又将
）代入（
2
,,2,1,2
7722,,2,1
62
762,
662
7622,,2,1
22
6
2
6
652
7522
6
62
7422
662
732
7321,,2,1
622
682
12111
1
11
1
1
11
1
1
!1
1
11
1
1
'
1
1
'
1
11
22
1
'
niLnn
ni
LhLhhLh
LR
ni
RL
h
RL
h
RL
h
LR
h
h
L
xS
RL
h
LR
h
ih
R
xS
ni
xx
yy
h
yy
LR
h
xx
h
R
xx
h
L
xS
i
iiiiiiiii
ii
ii
i
iii
i
i
ii
i
i
ii
i
ii
i
ii
ii
i
iii
i
i
i
ii
ii
ii
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,59
772
6
2
2
2
21
1
121
1122
11
2211
nn
ii
n
i
nnnn
iiii
L
L
L
hhhh
hhhh
hhhh
用矩阵形式表示为：
2.3.3
niLn
n
gLhLh
gLL
h
xS
gLhLh
gLL
h
xS
LR
gg
i
nnnnnn
nnn
n
nnn
ii
n
,,2,1,
772792782
79262
2
6
742
78262
2
6
752
1
'
111
'
1
1
1
'
1
'
112111
'
121
1
11
'
1
1
'
1
'
个未知数可求解个方程，共加入将即又根据即及根据和指定两端的一阶导数件对于两端受箝的端点条浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,60
2.3.3
8121,,2,1,
6
2
6
2
632802
802
62
6
2
66
66
,
722
1
11
3
1
2
11
11
3
1
3
11
ni
h
LL
D
L
C
h
LL
h
yy
B
yA
xx
h
LL
xx
L
xxh
LL
h
yy
y
xx
hL
h
y
xxh
hL
h
y
xx
h
L
xxh
h
L
xS
LRxxhxx
L
i
ii
i
i
i
i
ii
i
ii
i
ii
i
i
ii
i
i
ii
ii
i
ii
i
i
ii
i
i
ii
ii
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
iiiii
i
，得到：和对比有：根据并数。由和节点条件求出样条系再由浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,61
2.3.3
A Data Set Difficult for Interpolation
1,The behavior is difficult to model mathematically.
2,There is inadequate data between 12.5 and 14.0.
3,The data are typical of many real world behavior.
1413121110
1
0
1
2
3
4
5
6
7
1 3 5 7
9
11
13
15
17
19
21 23Y
X
i X i Y I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.0
10.2
10.4
10.6
10.8
11.0
11.2
11.4
11.6
11.8
11.89
11.96
0.42
0.48
0.51
0.52
0.53
0.55
0.58
0.61
0.65
0.74
0.91
1.29
i X
i
Y
I
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
12.0
12.04
12.08
12.12
12.16
12.20
12.28
12.36
12.44
12.50
13.0
14.0
1.52
1.87
2.35
2.89
3.40
3.83
4.27
4.53
4.62
4.64
4.64
4.64
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,62
2.3.3
图 2.15 插值示例
N---Number of Node Points
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
0
2
4
6
1413121110
Y
X
9?N 13?N
9?N 13?N
9?N 13?N
Lagrange
Hermite
Spline
Lagrange
Hermite
Spline
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,63
2.4 有理函数插值
Rational Function Interpolation
近具有无穷大间断点的邻特别适用于某些类函数有理插值简约成为一般多项式时，有当办法是采用有理函数为均匀的另一种使分区间内误差分布较
xPx
xQ
xqxqq
xpxpp
xQ
xP
x
n
n
m
m
m
n
n
m
nmn
1,
10
10,
1
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,64
2.4.1 有理函数的一般情况有理函数度型 degree type (n,m)
度数 number of degree d=n+m
标准形式系数个数 d+1
型值点数 d+1
xmn,?
822
1
1
1
10
00
1
00
1
0
0
,
m
m
n
n
mm
nn
mn
xbxb
xaxaa
x
q
q
x
q
q
x
q
p
x
q
p
q
p
x
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,65
2.4.1
使有理函数通过 d+1个型值点
832,,1,0,
1
1
0,
di
xb
xa
xy
m
k
k
ik
n
j
j
ij
i
mn
i?
得到线性方程组
842,,1,0
10
di
xbyyxa
m
k
k
ikii
n
j
j
ij
mkbnja kj,,2,1,,,1,0, 和可解得并非所有情况下（ 2-84）一定有解例：给出三个型值点，试确定有理函数系数。
i x
i
y
I
= f ( x
i
)
0
1
2
0
1
2
1
2
2
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,66
2.4.1
解
213d
构造有理函数满足 得到线性方程组
xb xaax
1
101,1
1?
ii xy 1,1
3
2
1
0422
022
01
2
1
0
110
110
0
baa
baa
a
i
i
i
时，
时，
时，
无解和代入有由
142
12
32,11
11
11
0
ba
ba
a
这是因为数据给出的型值点中存在着不可达点 inaccessible point
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,67
2.4.2 逆差商递推算法
Recursive Procedures
Using Inverse Differences
设计一种递推算法，使度型（ n,m）中的 n和 m
的数值交替地逐个增加如下：
j
k
0 1 2,,n - 2 n - 1 n
0
1
2
.
.
.
m -2
m -1
m
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,68
2.4.2
设 通过而 通过诸节点上之型值点。则
xmn,?
xmn,1
di xxxx,,,,,10
di xxx,,,,1
di
mn
in
im
i
i
i
im
in
ii
ii
mn
m
n
mn
m
nmn
xxxx
xP
xQ
yy
xx
xx
xQ
xP
xxyy
yx
yxxx
xQ
xP
xxy
xxxy
xQ
xP
x
,,,,
872862,
862
,
852
2
1,1
10
0
01
1
00
00
,
0
1
00
,1
00
,
通过设定义：一阶逆差商为上有：而在其余型值点时可以满足
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,69
2.4.2
有对称性逆差商只有最后两元素依此类推定义：二阶逆差商为上有：而在其余型值点一致与时当设计仿照
ikjk
ij
jik
im
in
i
i
i
i
n
m
i
in
im
ii
n
m
n
m
xxxx
xx
xxxx
xQ
xP
xxxx
xx
xxx
xx
xP
xQ
xxxx
xP
xQ
yx
xx
xP
xQ
xxxx
xP
xQ
,,,,
,,,,
902892
,,
,,
892,
,
,
872882
882,
852
0101
10
1
1
10101
1
102
01
1
1
1101
1
1
1
1
1101
1
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,70
2.4.2
1
912
,,,
,,,
,,
,
,
10
1
2102
1
101
0
0
,
3
2
2102
1
101
0
0
1
1
1
101
0
0
1
0
0
mnmn
xxx
xx
xxx
xx
xx
xx
yx
xx
xxx
xx
xx
xx
y
xQ
xP
xx
xx
xx
y
xP
xQ
xx
y
xQ
xP
kk
k
mn
m
n
n
m
m
n
或号表示为可以用紧凑的连分式符算法按以前步骤，引出递推
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,71
2.4.2
以上公式可由下列计算步骤完成表 2-9 型值和各阶逆差商
i x
i
y
i? 1? 2? 3
0 x
0
y
0
1 x
1
y
1? 1 (x 0,x 1 )
2 x
2
y
2? 1 (x 0,x 2 )? 1 (x 0,x 1,x 2 )
3 x
3
y
3? 1 (x 0,x 3 )? 1 (x 0,x 1,x 3 )? 1 (x 0,x 1,x 2,x 3 )
4 x
4
y
4? 1 (x 0,x 4 )? 1 (x 0,x 1,x 4 )? 1 (x 0,x 1,x 2,x 4 )
依次类推对于连分式
21022
1011
0000
3
2
2
1
1
0
0
,,
,
xxxC
xxC
yxC
C
xx
C
xx
C
xx
Cxf
f r ac t ionC on t inu e d
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,72
2.4.3 反差商算法
Reciprocal Difference Algorithm
为了避免逆差商不对称性的麻烦定义另一种差商
404
202
00
,,
,,
,,,,
kk
kk
kkkk
xx
xx
xxxx
它具有对称性，称之为反差商由以上定义，有又根据逆差商的定义
kkkkkk xxxxxx,,,,,,02020
121012101
1
110
,,,,,,,,
,,,,
kkkkkk
kk
kkk
xxxxxxxx
xx
xxxx
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,73
2.4.3
922,,
,,,,,,
,,,,,,
,,,,
,,,,,
,,,
,,,,,
,,,
202
1201201
1
202120
120
3031201
1201
303201
201
kk
kkkkkk
kk
kkkkkk
kkkk
kkkkk
kkk
kkkkk
kkk
xx
xxxxxx
xx
xxxxxx
xxxx
xxxxx
xxx
xxxxx
xxx
式所以有反差商的递推算以及而且浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,74
2.4.3
101321022
0021022
1011
000
3
2
2
1
1
0
0
102021210
102202112100
0021022102
01
01
101101
00000
,,,,
,,
,
,,,,
,,
xxxxxxC
xxxxC
xxC
xC
C
xx
C
xx
C
xx
Cxf
ffxffxffx
fffxfffxfffx
xxxxxxx
xfxf
xx
xxxx
xfxx
对于对称性由上式可以明显看出其其中可见：
32103
2102
101
00
,,,
,,
,
xxxx
xxx
xx
x
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,75
2.4.3
具体计算可按以下步骤
i x
i
y
i
1
2
3
0 x
0
y
0
1 x
1
y
1
1
(x
0
,x
1
)
2 x
2
y
2
1
(x
0
,x
2
)?
2
(x
0
,x
1
,x
2
)
3 x
3
y
3
1
(x
0
,x
3
)?
2
(x
0
,x
1
,x
3
)?
3
(x
0
,x
1
,x
2
,x
3
)
4 x
4
y
4
1
(x
0
,x
4
)?
2
(x
0
,x
1
,x
4
)?
3
(x
0
,x
1
,x
2
,x
4
)
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,76
2.5 多维插值一般化的方法示例
x取 3次,y取 2次，共 12个待定系数需要 12个节点上的型值解线性代数方程组可以求得
23
32
22
22
3
31
2
12
2
21
3
30
2
0211
2
20
011000
2,3
,,
yxayxayxa
xyayxaxa
yaxyaxa
yaxaa
yxPyxf
kla
ji yx,
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,77
2.5.1 多维线性插值以二维为例，最简单的考虑是由 求 的值可认为是 x,y两个方向线性插值的叠加
1,,1,, jijiij fffyxf,
1?jy
jy
y
x
ix 1?ix
1,?jif
jif,
yxf,
jif,1?
jijij
jj
j
jijijii
jijii
ii
i
jijijij
ff
yy
yy
fffyxf
ff
xx
xx
fffyxf
,1,
1
,1,,
,,1
1
,,1,
,
,
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,78
2.5.1
952
942
,,,
932
,
1
1
1
,,,,1,,
,,,,,1,
,,,,,,1
,,
,1,,,1,
kk
k
k
jj
j
j
ii
i
i
kjikjik
kjikjij
kjikjii
kji
jijijjijiiji
zz
zz
yy
yy
xx
xx
ff
ff
ff
fzyxf
fffffyxf
其中多维这种方法很容易推广到所以有：
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,79
2.5.2 多维非线性插值各种一维插值方法都可推广到多维二维 Lagrange 多项式
972
,,,,,
962
,,
,,,
,,,
0
,
000
,,
k
kji
lk lk
l
jl lj
l
il li
l
ji
nmnm
n
j
ji
n
jl
l lj
l
m
ik
k ki
k
m
i
nmnm
f
zz
zz
yy
yy
xx
xx
zyxLzyxP
Lag r a n g e
f
yy
yy
xx
xx
yxLyxP
，
多项式多维
，
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,80
2.5.3 多维样条介绍二维二次样条
yxf,
x y
1x
mx
1y
ny
ix
1?ix
jy
1?jy
fyxs ji,,
ijf
jif,1?
1,?jif
1,1 jif
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,81
2.5.3
处 x方向的一阶导数
ji yx,
jijix
ji
ji
x
ji
ji
x
ji
ji
x
yxS
yxS
yxS
yxS
,
,
,
,
1,1
1,
,1
,
jijiy
ji
ji
y
ji
ji
y
ji
ji
y
yxS
yxS
yxS
yxS
,
,
,
,
1,1
1,
,1
,
处 y方向的一阶导数
ji yx,
x
y
yxf,
ji yx,1?
11, ji yx
1,?ji yx
ji yx,
1?ix
ix
1?ix
1?jy
jy
1?jy
jif,1?
1,1 jif
1,?jif
jif,
1,?jis
jis,
jis,1?
1,?jiys
1,1jiys 1,1jixs
jixs,1?
jiys,1?
jiys,ji
xs,
1,?jixs
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,82
2.5.3
用以下形式表示二维二次样条
jjj
jijjijji
jjjijjjiji
ji
ji
jiji
jiji
ji
jiji
jji
jijiiji
jjiijiji
ji
yyh
nj
mi
FhChA
yyFyyCA
yxSyxff
nj
mi
AyxSyxff
nmnm
nj
miyyF
yyxxExxD
yyCxxBAyxS
1
,,,
2
1,1,,
1
,
11,
,
,
,
2
,
,
2
,
,,,
,
1 0 021,,2,1
1,,2,1
,,
9921,,2,1
1,,2,1
,,
1
11611
9821,,2,1
1,,2,1
,
节点条件个系数个方程，共浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,83
2.5.3
个条件以上计 114
1 0 221,,2,1
1,,2,1
,,
1 0 121,,2,1
1,,2,1
,,
2
,,
2
,,,,
11
,
111,1
1
,,,
1
,
1,1
nm
nj
mi
hFhgE
gDhCgBA
yxSyxff
xxg
nj
mi
DgBgA
yxSyxff
jjijiji
ijijjiijiji
ji
ji
jiji
iii
jiijiiji
ji
ji
jiji
(2)光顺条件
y
yxS
S
x
yxS
S
yxyxS
ji
ji
y
ji
ji
x
ji
,
,
,
,
,
,
,
,
分别令方向的一阶导数，方向和在浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,84
2.5.3
个条件共计个条件计个条件计个条件计个条件计以上方向上有在考虑到条件数有限方向上有在
2112
211 052
21 042
21 032
121 022
1 0521,,3,2
1,,2,1,,
1 042
1,,3,2,,
1 0321,,3,2
,,
1 0221,,2,1
1,,3,2,,
1,,
,1,
1,,
,1,
nm
nm
m
n
nm
nj
miyxSyxS
lj
miyxSyxS
y
nj
kiyxSyxS
nj
miyxSyxS
x
ji
ji
yji
ji
y
ji
ji
yji
ji
y
ji
ji
xji
ji
x
ji
ji
xji
ji
x
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,85
2.5.3
综合以上两项共规定 条件还需 2个定解条件
（ 3）定解条件可在任一节点,在 x和 y两个方向分别 由相邻三节点确定两条一维二次曲线所得斜率作为 和可导出系数的计算公式
2116 nm
kk yx,
lkB,lkC,
11 12
11 02
2
10 92
2
10 822
10 722
10 62
,1,,11,1
,
1
1,,
1,
1
,1,
,1
,
,1,
1,
,
,,1
,1
,,
ji
jijijiji
ji
j
jiji
ji
i
jiji
ji
ji
j
jiji
ji
ji
i
jiji
ji
jiji
hg
ffff
E
h
CC
F
g
BB
D
C
h
ff
C
B
g
ff
B
fA
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,86
第二章 习题
2-1,Show that the divided difference is a symmetric
function,That is,f [x1,x2,……,x k]=f [y1,y2,……,y k] if
the set {yi} is a permutation of the set xi,
2-2,Write a FORTRAN program to compute and print the
Table of 1st- to 4th-order divided differences,Use
following sets of data to test your program.
D a t a s e t A x f(x )
10
15
20
30
40
50
60
70
80
3,1 4 8
2,6 8 0
2,2 9 9
1,7 9 9
1,4 3 8
1,2 2 5
1,0 2 3
0,8 6 2
0,6 8 3
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,87
D a t a s e t B t W (t )
244
2 4 9,5
272
2 7 8,4
315
350
397
670
0,2 9
0,3 1
0,9 9
1,0 1
3,1 8
6,7 2
1 5,8 8
7 6 0,0
2-3,Study the effect of different interpolation models by using
the data sets given below.
D at a s et C z u (z ) z u (z )
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
3,3 1 1
4,3 2
5,3 1 9
6,1 9
6,9 4
7,0 9
7,1 4
6,8 9
6,5 8
6,1 8
60
65
70
75
80
85
90
95
100
5,7 5 0
5,2 7 3
4,7 6 2
4,2 0 0
3,6 9 0
3,2 1 2
2,7 3 2
2,2 5 3
1,7 7 3
浙江大学研究生学位课程
《实用数值计算方法,88
D at a s et D s v ( s ) s v ( s )
0,0 0 5 5
0,0 0 8
0,0 1 0
0,0 1 5
0,0 2 0
0,0 2 5
0,0 3 0
0,0 3 5
1 8 2,0
1 5 2,0
1 2 5,0
9 1,5
7 1,4
5 9,7
5 1,3
4 6,8
0,0 4
0,0 5
0,0 6
0,0 7
0,0 8
0,0 9
0,0 9 5
0,1 0
4 1,7
3 7,0
3 5,7
3 5,1
3 7,0
4 0,0
4 4,5
4 8,6
2-4,The polynomial L(x) that interpolates p(x) of the same
degree should reproduce p(x),Compute the interpolation
L(x) of the following polynomials p(x) at specified node
points xi,and then evaluate the differences [p(x)-L(x)]
at the assigned check points xk,Discuss the results.
Polynomial Node Points Check Points
P(x) xi xk
5.20,5.19,5.1520,19,,2,1,020
1
j
jxA
1.2,25.0,0.10.29.1,,2.0,1.0,0.0!20
1
j
j jxB
