浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 1
第五章 求积与求导
5.1 数值求积问题
5.2 插值多项式求积
5.3 控制精度的求积方法
5.4 待定系数法
5.5 Gauss开式求积
5.6 其他求积方法
5.7 插值多项式求导
5.8 数值求导的误差分析
5.9 其他求导方法浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 2
5.1 数值求积问题
Q uadr at ur e
bFaFbFdxxfy
axay
xFyxf
dx
dy
E quat ionalD if f e r e nt iO r d inar yofnI nt e gr at io
xFdxxyfy
axyy
xyf
dx
dy
aF
b
a
a
称为求积问题求原函数其中称为常微分方程的积分原函数求
0)(
@0
,
@
,
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 3
5.1.1 机械求积方法
积方法：机械求积因而提出了一类数值求下，易于求得但在给定的不一定易于找出，如：原函数
xfx
x
x
x
xxf
xFy
23
e x p,
s i n
,1
xf
xbx
n?ixax?0
ii xff?
UfAdxxfxFI n
i
ii
b
a
b
a
0
节点 权 函数值 余值图 5.1 函数值计算过程简单浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 4
5.1.2 不同的求积形式
xf
xa b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
闭式外延式开式半闭式图 5.2 不同的求积形式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 5
5.1.3 代数精度
10
0
.
0,0
0
0
mk
xU
mk
mkxU
xxf
fAdxxffQfIfU
fUfQ
fUfAdxxffI
k
k
k
n
i
ii
b
a
n
i
ii
b
a
代数精度为对于余值误差机械求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 6
5.2 插值多项式求值
y
iy
xLxP nn?
xPn
xfy?
a b0x nxix
fUfQfI
dxxRdxxPdxxf
xRxPxf
b
a
n
b
a
n
b
a
nn
均可用以求积任何插值多项式图 5.3 插值多项式的函数形式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 7
5.2.1 用 Lagrange多项式求积
n
i
ii
b
a
i
b
a
n
i iin
b
a
in
n
b
a
nn
n
n
n
iniin
i
n
niiin
n
i
i
iin
in
n
i
iinnn
yAdxxf
y
xD
dxxD
dxxLdxxf
xRxPxf
x
n
f
xR
xxD
xx
x
xxxxxxxxxD
y
xD
xD
yxBxLxP
0
0,
,
1
'
,
110,
0,
,
0
,
!1
并有其中
iin
b
a in
i xD
dxxDA
,
,
n
i
i
i
abA
xba
0
,,
可用于检查系数并可证明确定后为具体值当浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 8
y
0y
1y
2y
0?a b?1
xfy?
0x 1x 2x
612132
1
0
2102
1
0
2
3
0
1
0
2
3
0
1
0
2
3
0
1
0
22
1
0
21
1
0
20
1
0
2
2102
210
1
0
2
1
2
1
12
1
3
1
3
12
19
1
12
5
3
18
1
3
1
12
7
3
6
1
12
1
6
4
12
118
2
6
5
18
1
6
2
6
7
6
1
2
1
3
2
6
1
3
2
2
1
6
1
3
2
2
1
6
1
2
1
3
2
6
1
3
2
6
1
2
1
6
1
3
2
2
1
3
2
,
2
1
,
6
1
插值多项式求积公式不等间距开式取节点例：要求
yyydxxL
xx
xy
xx
xy
xx
xy
dxxx
y
dxxx
y
dxxx
y
dxxL
y
xx
y
xx
y
xx
xL
xxx
dxxf
5.2.1
图 5.4 不等间距开式求积示例浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 9
5.2.1
abax
abax
abax
x
dxxf
yyydxxL
fU
fI
fQyyyfI
yx
yx
yx
dxxfI
b
a
3
2
2
1
6
1
2
1
2
1
005593.0
43233.0
437923075.0
2
1
2
1
26359714.0
3
4
e x p,
3
2
36787944.01e x p,
2
1
71653131.0
3
1
e x p,
6
1
2e x p
2
1
0
21
1
0
02
210
22
11
00
1
0
坐标作一线性变换只需将用于若将以上公式例：计算浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 10
5.2.2 等间距闭式求积公式
Newton-Cotes 求积公式
0xa? 1x ix 1?ix bxn? x
求积公式插值多项式将以上关系式代入为正实数为正整数，
间距
L agr ange
si
hisxx
dshdxshxx
hjixxihxx
xx
n
ab
h
i
jii
ii
0
0
1
图 5.5 等间距求积示意浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 11
5.2.2
一般形式求积公式及余值的这就是 C ot e sN e w t on
dxx
n
f
dxxRfU
fUxfNabdxxf
ds
is
nsss
inin
N
NabA
ds
is
nsss
inin
ab
hinii
dshnsisisssh
xD
dxxD
A
b
a
n
n
b
a
nn
b
a
n
i
niin
n
in
in
ini
n
in
n
n
n
iin
b
a
in
i
!1
1
!!
1
1
!!
1
111
111
1
0
,
0
,
,
0
0
,
,
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 12
5.2.2
33
1
3
2
2
3
2
32
2
11
110
110
1
0
1,1
1
0
0,1
1
12
12
232
!2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
hhOfU
habnh
f
baf
ab
abxx
baxf
dxbxax
f
dxxRfU
R ul elT r ape z oi da
fUff
ab
fUffabfI
s dsN
dssN
n
b
a
b
a
b
a
时，对误差余值这就是梯形公式时当
ax?0 bx?1
xf
xP1
1f
0f
图 5.6 当 n=1时浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 13
5.2.2
公式这就是其中时当
Si m ps o n
bff
ba
ff
aff
fUfff
ab
fI
dsssN
dsssN
dsssN
n
2
1
0
2210
2
0
2,2
2
0
1,2
2
0
0,2
2
4
6
6
1
2
4
1
6
4
2
2
1
6
1
21
4
1
2
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 14
5.2.2
依次类推得到 Newton-Cotes系数表
C
n,i
n d
n
I= 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
2
6
8
90
288
840
1 7 2 8 0
2 8 3 5 0
1
1
1
7
19
41
751
989
1
4
3
32
75
216
3577
5888
1
3
12
50
27
1323
-9 2 8
1
32
50
272
2989
1 0 4 9 6
7
75
27
2989
-4 5 4 0
19
216
1323
1 0 4 9 6
41
3577
-9 2 8
751
5888 989
运算数相减之出现负数，意味着有两时
in
n
n
i
iin
n
b
a
Cn
fUxfC
d
ab
dxxffI
,
0
,
8?
表 5.1 Newton--Cotes 系数表浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 15
5.2.2
以及相应的误差余值估计式
ii
xxh
fhfUn
fhfUn
fhfUn
f
h
fUn
f
h
fUn
1
67
5
67
4
45
3
4
5
2
2
3
1
12096
275
5
945
8
4
80
5
3
90
2
12
1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 16
5.2.3 复合求积方法
Composite Quadrature
高阶插值多项式有产生严重震荡的可能故采取用低阶复合的方法
xP1
xPn
xf
xP1
xP1xP1xP1
0xa? 1x bxn?
法则构成复合梯形求积方求积，即梯形法个区间内都用在或等分分为将
xPn
h
ab
nh
n
ab
nba
1
,
,
图 5.7 低阶复合公式示意浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 17
5.2.3
2
2
2
3
22
2
2
3
1
2
31
1
0
1
2
3
10
1
12
1212
122
12
2
2
1
1
0
n
f
n
ab
hf
abh
fn
h
fU
nf
h
xfhxfxf
h
f
h
xfxfxf
h
dxxfdxxf
xxhdxxffI
n
n
i
in
n
i
in
x
x
x
x
ii
b
a
n
n
221 1nOhOfU n
4
42
2
4
5
12
1
2
2/
1
120
1
22880
2
24
3
n
OhOfU
f
nh
xfxfxfxf
h
fI
Si m ps on
n
n
i
ni
n
i
i
公式对于复合浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 18
5.3 控制精度的求积方法
5.3.1 外推原则
Richardson's Extrapolation
复合梯形法求积的误差表示为
nnn
nnn
nn
n
n
n
n
n
n
n
TSSI
Si m ps onSSTTI
T r ape z oi dTTITI
n
n
E
E
TI
TI
I
Tn
TxPn
ba
n
E
222
22
2
2
2
22
2
1
2
:
3
1
3
4
:44
4
12
2
,
误差估计：
为未知，但准确的积求积得个等间隔由用设在浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 19
5.3.1
bf
cf
af
ax cx bx
逐步加精步骤可不断提高精度若多次使用外推原则，
公式根据梯形公式
L im itt hetoA ppr oac hD e f e r r e d
Si m ps onSfff
xx
ff
xx
fff
xx
TTI
fff
xx
T
ff
xx
T
bca
ab
ba
ab
bca
ab
bca
ab
ba
ab
2
12
2
1
4
6
6
2
3
3
1
3
4
2
4
2
图 5.8 Richardson's 外推浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 20
5.3.1
mXmXmX
mXmXmXmX
mXmXmXmX
mXmXmXmX
mXmXmXmX
n
En
n
En
n
En
xP
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kn
k
n
n
k
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2223
1112
22
2
2
2
1
2
14
1
2
14
4
2
22
14
1
22
22
14
1
22
24
15
1
44
2
3
1
22
4
2
4
2
或推原则由此可得到一般化的外个等分间隔的误差用求积时由依次类推
0?k
1?k
k
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 21
5.3.2 Romberg 求积
更加一般化的计算步骤
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
CCCCCR
SSSSSC
TTTTTS
484888
242444
2222
63
1
63
64
63
1
15
1
15
16
15
1
3
1
3
4
3
1
精度控制的算法
y
0xa? 1?ix ix 1?ix bxn?
xf
根据规定精度的要求，在每一分段中取不同的加精步数－－ 精度控制的自适应求积算法弯度较大分段弯度较小分段利用外推原则图 5.9 自适应求积过程浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 22
5.3.2
444
4
44
222
2
2
1
,
23
33
21
12
22
1
11
1
XXE
CXX
XX
XXE
SXX
X
TXX
xx
ii
估计误差界再次外推得到分为四分求积是否满足精度要求？
估计误差界外推一次得到再分为二分后梯形求积先用梯形法求积中在每个分段二分次数 k
分隔数
2
k
T S C R …
0
1
2
3
4
1
2
4
8
16
X
1
(1 )
X
1
(2 )
X
1
(4 )
X
1
(8 )
…
X
2
(1 )
X
2
(4 )
X
2
(8 )
…
X
3
(4 )
X
3
(8 )
…
X
4
(8 )
… …
表 5.2 Romberg求积格式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 23
5.3.3 简易的自适应求积算法
Adaptive Quadrature Algorithm
xf
0x 1?ix ix 1?ix nx
n
n
xx ii
2
,1
间隔求积的误差分对任一分段用复合梯形算法?
22
2
222
2
2
2
2
22
2
2
21
2
2
n
nn
TT
n
TIE
n
TIE
nn
nn
n
nn
n
nn
(?
nn
pnpn
nnn
nn
n
XXE
n
E
TTE
TT
E
22
2222
2
2
12
1
12
1
12
1
的求积方法：对或所以
图 5.10 求积函数区间分隔浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 24
图 5.11 简易自适应梯形求积算法框图
Simplified Adaptive Quadrature Algorithm Based on Trapezoidal Rule
开始
ep shnxxxf n,,,,,0给定
0?i
0?k
k=0?
k
ki
jj
hjxf
2,,5,3,1
2
计算hxfxf ii?,计算
kT 2用复合梯形求积得
k=0?
12 2212 1 kkk TTE计算
Ek<eps?
k=n?结束
1ii
是否否 是
1kk
否是是 否
5.3.3
eps,精度要求允许误差
Tolerance
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 25
5.3.3
库程序 QUANC8
Quadrature,Adaptive,Newton-Cotes,8-panel
用于求积
布图示函数形状及节点分处有两个峰在 9.0,3.0
6
04.09.0
1
01.03.0
1
22
xx
xx
xf
图 5.12 Behavior of adaptive quadrature routine QUANC8
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 26
5.3.3
1e x p12.1 xxxxfF u n c t io nTe s t
M e t h o d sQ u a d r a t u r eofTe s t
0 1 x
0 1 x
20
,1.0
CaseDifficult
2.0
,2
CaseSmooth
图 5.13 求积简单的情形图 5.14 求积困难的情形浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 27
5.3.3
8
7
6
5
4
3
2
10
10
10
10
10
10
10
1 0 0 01 0 010
Er
ro
r o
f m
eth
od
(lo
g s
ca
le)
DIFFICULT CASE
Slope=-2 slope=-1.1
A
S
T
S A T
Slope=-2
SMOOTH CASE
f(x) evaluations (log scale)
Rate of convergence for quadrature methods test
T--Trapezoidal rule
S--Simpson rule
A--Adaptive algorithm
图 5.15
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 28
5.4 待定系数法和求积公式
Method of Undetermined Coefficients
n
i
ii
b
a
xfAdxxfI
0
机械求积通式
5.4.1 以闭式求积为例 Closed Quadrature
即梯形公式解得因此：
根据代数精度的概念最简单情况
10
10
22
2
10
10
1100
10
11001100
0
2
,
2
1
2
1
2
1111
,
1
,
ff
ab
I
abAabA
ab
x
bAaA
abxAA
xAxAx dxxxf
AAdxxf
xffxfffAfAI
n
xbxa
b
a
b
a
b
a
b
a
n
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 29
5.4.1
公式即解得因此根据精度条件对于
Si m ps on
ab
hfff
h
I
abAabAabA
ab
bA
ba
AaA
ab
bA
ba
AaA
abAAA
dxxxAxAxAxxf
x dxxAxAxAxxf
dxAAAxf
abhbbxhaxax
dxxfIfAfAfAI
n
b
a
b
a
b
a
b
a
2
,4
3
6
1
,
6
4
,
6
1
332
222
11
2
1;,,
2
210
210
33
2
2
2
1
2
0
22
210
210
22
22
2
11
2
00
2
221100
210
210
221100
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 30
5.4.2 其它等间隔求积公式
10123 xxxxx
h3? h0h?h2?
0123
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
0
3
3
2
2
2
1
2
0
2
0
2
3210
03210
03122130
5559379
24
4
023
3
023
2
023
11111
1
0
ffff
h
I
x
AhAhAhAxxf
x
AhAhAhAxxf
x
AhAhAhAxxf
xAAAAxf
fAfAfAfAdxxfI
h
h
h
h
x
x
得到
xf
图 5.16 4节点外延式等间距求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 31
5.4.2
1012 xxxx
h?h2? 0 h
1012
4
3
32
3
1
3
0
3
3
2
32
2
1
2
0
2
2
3210
3210
13021120
9195
24
4
02
3
02
2
02
11111
1
0
ffff
h
I
h
hAAhAhAxxf
h
hAAhAhAxxf
h
hAAhAhAxxf
hAAAAxf
fAfAfAfAdxxfI
x
x
得到
xf
图 5.18 4节点等间距外延求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 32
5.4.2
32101 xxxxx?
h? h2h0 h3
20
210
3
3
2
2
2
10
2
3
2
210
210
221100
3
22
3
4
,
3
8
,
3
4
,
3
8
3
20
2
20
41111
fff
h
I
hAhAhA
x
hAhAAxxf
x
hAhAAxxf
hAAAxf
fAfAfAdxxfI
h
h
h
h
h
h
得到
xf
图 5.19 3节点开式等间距求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 33
5.4.2
xf
432101 xxxxxx?
h? 0 h h2 h3 h4
3210
3210
4
4
3
3
3
2
3
10
3
4
3
2
3
2
2
2
10
2
4
2
3210
3210
33221100
4
1111
24
5
24
55
,
24
5
,
24
5
,
24
55
4
320
3
320
2
320
511111
ffffhI
AAAA
x
hAhAhAAxxf
x
hAhAhAAxxf
x
hAhAhAAxxf
hAAAAxf
fAfAfAfAdxxfI
h
h
h
h
h
h
h
h
得到图 5.20 4节点等间距开式求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 34
5.4.2
543210 xxxxxx
0 h h2 h3 h4 h5
构成复合求积算法以上任一公式均可用于
45
4321
34
321
23
21
12
1
1
1
0
9375955
24
51623
12
3
2
fhOffff
h
I
fhOfff
h
I
fhOff
h
I
fhOhfI
fhOfAdxxfI
nn
n
i
ii
h
图 5.21 5节点等间距外延求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 35
5.4.2
4
3
321 5162312 n
fOfffhI
例如使用：
3210 xxxx
hhh 320
1?ix ix 1?ix
ih
hi 1hi 1?
nx 1?nx 2?nx
nhhn 2?
hn 1?
23 -16 5
23 -16 5
23 -16 5
23 -16 5
……………..
23 -16 5
23 -16 5
23 -16 5
…………….
23 -16 5
23 -16 5
23 -16 5
23 7 12 12 ……………………….,12 12 12 -11 5
只有一个负号
33
21
3
21 5111272312
0
nfO
fffff
h
dxxf nn
n
i
i
x
x
n
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 36
5.5 Gauss 开式求积
Gaussian Open Quadratrue
5.5.1 Gauss 求积方法的构思
tPz 1?A
C
D
Btgxfy
1? 0t 0 1t 1? t
ax?0 bx?0 x
1
1
1
1
1
1
1
1
22
dttPdttg
tP
dttgdxxf
t
abba
x
b
a
使得寻找某一合适的直线得到作自变量的线性变换，
令图 5.23 Gauss 开式求积示意图浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 37
5.5.1
F or m ul arQ uadr at ur eL e ge ndr eG aus s
m
tPznmxL
L e ge ndr emt
t
G aus sIG
c
ccc
t
c
t
c
t
c
tc
dttctctccdttgI
tcc
tctctcctctctcc
tgtg
tgtg
G
ADtt
tctctcctg
nm
2
,1
8962657735 02691.0
3
1
,
3
2
3
2
2
432
2
11
2
,
1
1
2
020
1
1
4
3
3
2
2
1
0
1
1
3
3
2
210
1
1
2
120
3
13
2
12110
3
13
2
12110
11
10
10
3
3
2
210
这是最低阶的一种的根值，
多项式次的位置是可以证明节点：只要取为了使分值为而三次多项式的准确积下的面积为则直线取设有
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 38
5.5.2 Legendre 多项式的性质
Gauss开式求积方法
3
1
,0.1
3
1
,0.1,1
0
11
00
1
0
1
1
1
1
tb
tbn
tLt
tgbdttPdttg
ni
n
i
iin
对的根是
tPPolynomial
n
2
2tg
Integrand
1? 0t 1t 2t1?
31
03
nm
tLLe g e n d r e 多项式图 5.24 Gauss节点与 Legendre多项式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 39
Legendre 多项式的递推算式
dt
tt
tt
b
b
ttL
tL
m
m
tLt
m
m
tL
tttL
tttL
ttL
ttL
tL
m
ij
j ji
j
i
i
i
mmm
1
1
0
2
21
24
4
3
3
2
2
1
0
31,0
112
33035
8
1
35
2
1
13
2
1
1
的算式为权系数如
l
j
jjl
km
tLdtP
L e ge ndr e
mktLtL
L e ge ndr e
0
1
1
1,0
成任何多项式多项式的线性组合可构多项式是正交多项式
5.5.2
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 40
5.5.2
次多项式的求积结果得到可以准确地个函数值的线性组合，即：用所以能使既然的余项对任何多项式多项式的正交性因为
12
0
1,
12
0
12,1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m
m
tgbdttg
tqtqtPtLtg
tLt
tqbdttqdttg
dttqdttPtLdttg
tqtPtLtg
mktqtLtg
mltg
dttLtLdxth
mjmktLtLth
L e ge ndr e
k
i
ilil
ikikikimil
imi
k
i
ikikl
kkml
kkml
kml
l
kmj
kmj
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 41
5.5.3 Gauss 求积法示例对一定的 m,ti和 bi均为固定值
m t
i
b
i
2? 0,5 7 7 3 5 0 2 6 9 1 8 9 6 2 6 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3
0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,7 7 9 5 9 6 6 6 9 2 4 1 4 8 3
0,8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
0,5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
4
0,3 3 9 9 8 1 0 4 3 5 8 4 8 5 6
0,8 6 1 1 3 6 3 1 1 5 9 4 0 5 3
0,6 5 2 1 4 5 1 5 4 8 6 2 5 4 6
0,3 4 7 8 5 4 8 4 5 1 3 7 4 5 4
5
0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,5 3 8 4 6 9 3 1 0 1 0 5 6 8 3
0,9 0 6 1 7 9 8 4 5 9 3 8 6 6 4
0,5 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9
0,4 7 8 6 2 8 6 7 0 4 9 9 3 6 6
0,2 3 6 9 2 6 8 8 5 0 5 6 1 8 9
m
i
ii tgbdttg
1
1
1
表 5.2 Gauss开式求积的系数浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 42
5.5.3
dt
ab
dx
t
abba
x
dttg
ab
dxxf
E
xdxxG
G
dtdx
xt
xt
tt
abba
x
m
dxxG
b
a
2
22
2
1053.1
0.1c oss i n
99847.0
39434.0s i n0.110566.0s i n0.1
4
4
39434.0,5773.0
10566.0,5773.0
4422
2
s i n
1
1
3
2
0
2
0
11
00
2
0
误差精确解根据选例
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 43
5.6 其他求积方法
5.6.1 样条函数求值
Spline Quadrature
1
0
32
1
0
1
0
1
0
1
1
0
3
1
2
11
1
0
32
1
0
2
21
32
32
1
32
32
1
1
n
i
ii
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
iii
n
i
ii
i
ii
i
iii
x
x
n
i
i
i
i
i
ii
n
i
x
x
iiiii
iiiii
i
i
h
c
h
b
ha
c
h
bhahI
hxxh
xx
c
xx
b
xxa
xx
c
xx
b
xxa
dxxxcxxbaI
xxcxxbaxf
i
i
i
i
所以对于等间距的情况若用二次样条浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 44
5.6.2 多重求积 Multiple Quadrature
l
i
m
j
n
k
kjikji
n
k
kk
m
j
jj
l
i
ii
c
ic
c
m
i
iim
zyxcba
zcybxa
dzzdyydxx
dx dy dzzyx
zyxdzyxP
dx dy dzzyxPdx dy dzzyxf
xfbxPdxxfI
0 0 0
000
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
,,
,,,,
取其中一项为代表其中对于多变量的情况标准化后为单个自变量求积的通式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 45
5.6.2
因而可以得到例前页最后等式之证明示
3
1
2
1
231322122111
21321
2
1
3
1
i j
ji
j
j
i
i
vu
vuvuvuvuvuvu
vvuuuvu
公式也可根据公式可以根据为权系数其中
L e ge ndr eG a us s
C o t e sN e w t o n
cba
cbafcba
dx dy dzzyxP
dx dy dzzyxfI
kji
l
i
m
j
n
k
kjikji
,,
,,
,,
0 0 0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 46
多重积分计算示例
58760.01e x p
4
1
58758.0
}
7746.0e x p15774.015774.0
9
5
11{
16
1
7746.0,0,7746.0;
9
5
,
9
8
,
9
5
5774.0,5774.0;0.1,0.1
5774.0,5774.0;0.1,0.1
e x p11
16
1
e x p11
16
1
2
1
,1
2
1
2
1
,1
2
1
2,3
e x p
210210
1010
1010
1
0
1
0
2
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
eI
I
xxxccc
vvbb
uuaa
xvucba
dx dud vxvuI
dvdzvz
dudyuy
L e ge ndr eG aus szyx
dx dy dzzyxI
i j k
kjikji
解析法得到：
所以：
因为：
原题成为变换法节点，用各取节点，取对
5.6.2
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 47
5.6.3 特殊求积
Improper Integrals
几种类型：
1,被积函数在积分上限或下限处的极限存在，
但函数值不存在
2,积分上限是,或积分下限是 。
3,在积分限的两端存在积分奇异点
4,在积分上限和下限之间的某已知点处存在积分奇点。
5,在积分区间内某未知点处存在积分奇点
0
s in
xx
x例
02
1
xx例如：
不可积这类不确定的积分称为以及对于
dxxdxx c o s
1
1
（ Impossible Integration）
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 48
类型 1的求积方法,只要采用开式求积公式即可以解决问题类型 2问题的的解法,
变量置换方法,常用的变量置换公式有：
0
111
1 2
1
1
00
ab
dt
t
f
t
dxxf
dx
x
xg
dyyf
a
b
t
xb
a
ex
y
极限过程：
的一个数列。是收敛于这里时，停止计算。当
n
r
r
r
r
r
r
r
rrr
dxxf
dxxfdxxfdxxfdxxf
n
n
n
n
10
00
0
1
11
0
0
5.6.3
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 49
例,计算
n
n
r xx
r
dxxedxxe n
2
11 0 40 4
这里取
n I
n 函数计算点个数
0
1
2
3
4
精确值
0,57 20 25 82
0,62 74 59 52
0,63 04 39 90
0,63 04 77 61
0,63 04 77 66
0,63 04 77 83
35
52
100
178
322
无穷区间的截断 —— 略去无穷区间的“尾巴”
而把无穷区间化为一个有限区间。
例,计算
k
x
k
xk xx
dxe
dxedxedxe
2
222
:
00
估算
5.6.3
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 50
0
2
00
2
4
00
8
22
s i n
1
1s i n
s i n
1
,
43
10,4
1
22
2
22
dx
x
x
x
dx
x
x
dxx
x
x
xfxxr
xgxrxgxf
dxedxe
k
e
k
e
k
dxedxe
kxxkxxkx
xx
k
k
k
kx
k
x
例：
式。致收敛或导致渐近展开反复运用此原理，可导更快地趋近于零。时比则当方法可求积，而残差公式可供利用或有其它有闭型这里设强度”。：采用降低奇异性的“问题的解法，类型要求了。
结果，精度就符合用某种标准方法求积的字计算，则有：所以，若作七位有效数则对于则：
即有对于因为
5.6.3
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 51
积分算法总结
Gauss 求积公式的定义
线性方程组。
的非有以及有其中知数个未有系数法可以解一个包含用待定根据代数精度的概念，
也是插值型公式。
型求积公式可以证明，
点。为求积节点的型求积公式，并称相应为
，则称之若代数精度达到了对于一般的求积公式：
11
22
,,,,
12
10
0
nxnA
n
G a us s
G a us s
baxxx
G a us s
n
xfAdxxf
kk
n
n
k
kk
b
a
G1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 52
G2
nkA
G aus s
baxnkx
G aus s
nba
G aus sn
k
kk
,,2,1,0
2;,,,,1,0
1,1
1
系数点确定求积然后利用并有点次正交多项式确定上的先利用区间较为简便的方法是：
相当大的。公式。但计算工作量是型求积点从而构造浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 53
R1
Romberg 算法原理可得：
由梯形积分法的误差阶?
2
1
n
O
22
2
2 n
TI
n
TI
n
n
,,,:
3
1
3
1
3
1
421
2
2
22
22
22
SSSS
Si m ps onT
S
TTTT
TTT
TTTI
k
n
n
nnnn
nnn
nnn
序列到更接近于真值，即可得能比
。可期望得到新的近似值的一种补偿，作为启发：用导出：
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 54
R2
10 21 14 dxx例题验证：
k T
k
1
2
3.
3.1
4
8
3.131 17647
3.133898849
16
32
3.14094161
3.14142989
512
3.14159202
57
1
9
14159250.3
3
1
3
4
5 1 2
484
的作量为计算
。其计算工的个点上只涉及求
T
xf
TTS
i
!5 1 2T效果好于浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 55
R3
得：
积分法的误差阶同样：由 S im p s o n
42
4
2 n
SI
n
SI
n
n
算法。
这种加速的方法就称为
，越来越快的新序列逐步地加工成收敛速度的梯形序列定义：将收敛速度缓慢序列：类似地，可以得到
：序列即导出：
R om be r g
R
CS
T
RRR
CC
R
R om be r g
CCCCC ot e s
SS
SSSCI
k
kk
k
k
k
nn
n
nn
nnnn
2
22
2
21
23
2
3
421
2
2
2
2
22
,,:
14
4
,,,
14
4
15
1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 56
R4
10 214 xdx例题验证：
k
0 3
1 3,1 3,1 3 3 3 3 3
2 3,1 3 1 1 7 6 3,1 4 1 5 6 9 3,1 4 2 1 1 8
3 3,1 3 8 9 8 8 3,1 4 1 5 9 3 3,1 4 1 5 9 4 3,1 4 1 5 8 8
321 2222 kkkk RCST
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 57
kk
k
kk
k
fhdE
k
fhcE
k
C ot e sN e w t on
212
212
,2
12
则误差余值：
，如若插值点的个数为偶数
，则误差余值：
，如若插值点的个数为奇数一个特点是：
积分法则的
N1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 58
其结果如下：
的值。法则计算积分个点的一系列到例：用含
1
0 21
1
4
212
x
C o t e sN e w t on
N2
2 3,0 0 0 0 0 0 0
3 3,1 3 3 3 3 3 3
4 3,1 3 8 4 6 1 5
5 3,1 4 2 1 1 7 6
6 3,1 4 1 8 7 8 1
7 3,1 4 1 5 7 0 8
8 3,1 4 1 5 7 8 9
9 3,1 4 1 5 9 2 5
10 3,1 4 1 5 9 2 6
11 3,1 4 1 5 9 2 5
12 3,1 4 1 5 9 2 5
13 3,1 4 1 5 9 2 6
14 3,1 4 1 5 9 2 0
15 3,1 4 1 5 9 3 2
16 3,1 4 1 5 9 2 5
17 3,1 4 1 5 9 6 2
18 3,1 4 1 5 9 3 5
19 3,1 4 1 5 8 9 6
20 3,1 4 1 5 9 2 0
21 3,1 4 1 5 7 7 5
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 59
N3
btgtgbyy
battytgbay
battytgbay
batyAD
tgtgyyyy
AD
TSSIn
n
nn
TS
IITS
TI
SI
TSSI
nnn
nn
nn
n
n
nnn
2211
1
1
11211
2
1
2
2
2
2
2
1
10
011
000
10
222
2
24
1
122
1
122
21
2
222
而的直线方程为设的面积证明时，有故当
，上式即可满足只要即要使证明：
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 60
5.7 插值多项式求导以下诸节讨论不能以 x显式的形式表达的函数对 x的求导。
5.7.1 一般化的形式由需要求导区间邻近若干节点的数据构成 Lagrange插值多项式
n
ij
j
jin
n
i
i
iin
in
n
i
iinnn
nn
xxxD
y
xD
xD
yxBxLxP
xRxPxf
0
,
0,
,
0
,
0x 1x x ix 1?nx nx
xPy n''?
xfy ''?
xPy n?
xfy?
in xP'
ixf'
图 5.24 插值求导与插值的关系浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 61
5.7.1
iniinii
iin
n
in
in
n
in
inin
i
n
n
n
n
n
n
i
n
ij
j
n
ik
jk
k
k
iin
i
n
i
in
iin
i
n
nn
n
i
n
ij
j
jn
n
i
in
n
n
n
xLxfxLxfxx
xD
n
f
xR
x
n
f
xR
xRx
xx
f
dx
d
n
x
x
dx
d
n
f
xR
xx
xD
y
xD
dx
d
xD
y
xL
xRxLxf
xxxxxx
x
n
f
xR
''
,
1
'
'
1
'
1
1
'
0 0 0
,
0
,
,
'
'''
0 0
'
0
1
,
0
!1
!1
00
!1!1
!1
处在处在
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 62
5.7.1
221100
210
2
102
2
2
1
1
2
1
0
2
1
'
2
1201
3
210
20
2110
3
'
2
2
1202
10
2
2101
20
0
2010
21
'
2
3
2102
2
1202
10
2
2101
20
0
2010
21
2
22
,,
2
2
2
22
2
2
,
6
6
6
1
xffxffxff
fff
h
xx
h
ff
f
h
hxx
f
h
xx
f
h
hxx
xL
hxxhxx
f
dx
dxxxxxx
xxxx
xxxxxxxx
f
xR
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
xL
fxxxxxxxR
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
xL
xRxLxf
等间距情况下三点求导算式
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 63
等间距的常用推导方法
PBbac k w ar dpo
f
h
fff
h
xf
PCc e nt r alpo
f
h
ff
h
xf
PFf or w ar dpo
f
h
fff
h
xf
sss
f
dx
dsss
hssssss
f
xR
fsfsfs
h
xL
hf
sss
xR
f
ss
fssf
ss
xL
ihxx
dshdxshxx
i
3i n t3
3
34
2
1
3i n t3
62
1
3i n t3
3
43
2
1
2,1,0
6
21
2211
6
124432
2
1
6
21
2
1
2
2
21
3
2
2102
'
3
2
201
'
3
2
2100
'
3
2
3
'
2
210
'
2
33
2
2102
0
0
三点向后三点中心三点向前节点上的导数值为
5.7.1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 64
可以写成紧凑的形式
31
61
31
341
101
143
2
1 32
2
1
0
2
'
1
'
0
'
fh
f
f
f
h
xf
xf
xf
][ 13BB i c k l e y矩阵三点求一次导数的
351041145611
1120641
11630161
1462011
115611410435
12
1
5
5
5
5
5
254836163
3101861
18081
1618103
316364825
12
1
5
242
2
1
2
2
5
1
5
2102
''
2
h
B
PB
P bB
PC
P bF
PF
h
B
fff
h
xL
点求导的算式
5.7.1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 65
5.7.2 等间距节点数据求导 （ 差分法 ）
根据 Newton--Gregory向前差分多项式
11
1'
0
3
0
2
0
'
0
1
1
1
0010
00
111
00
2
00
1
1
1221
6
1
1
2
11
1
2
nn
nn
n
nnn
nnn
i
nnn
n
n
n
nn
f
dx
d
h
n
s
n
s
ds
d
fhxR
fssssss
fssf
h
dx
ds
xN
ds
d
xN
dx
d
xN
ffffff
dshdxihxxshxx
hOfh
n
s
xR
f
n
s
f
s
fsfxN
xRxNxf
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 66
5.7.2
0
2
1
0
1
0
'
0
1
0
1
0
3
0
2
00
'
1
0
'
1
1
0
'
0
2
1
1
1
11
3
1
2
11
1
1
!1
!1
1
!1
!1
!1
21
!1
221
1
0
!1
1
1
,0
f
n
f
n
xR
f
i
f
i
fff
h
xN
hOfh
n
xR
n
n
fh
n
s
ds
d
fhxR
n
n
n
nsss
n
nsssnsss
n
s
ds
d
n
nsss
n
s
xxs
n
n
n
n
n
n
i
i
i
n
nnn
n
n
n
nn
nn
n
n
显然而且
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 67
示例 表 5.3 求导用差分表
I x
i
y
i
y
i
y
i + 1
- y
i
2
y
i
y
i + 1
-? y
i
3
y
i
2
y
i + 1
-?
2
y
i
4
y
i
3
y
i
-?
3
y
i
5
y
i
4
y
i + 1
-?
4
y
i
0
1
2
3
4
5
6
7
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
2,7
3,6 6 9
4,4 8 2
5,4 7 4
6,6 8 6
8,1 6 6
9,9 7 4
1 2,1 8 2
1 4,8 8 0
0,8 1 3
0,9 9 2
1,2 1 2
1,4 8 0
1,8 0 8
2,2 0 8
2,6 9 8
0,1 7 9
0,2 2 0
0,2 6 8
0,3 2 8
0,4 0 0
0,4 9 0
0,0 4 1
0,0 4 8
0,0 6 0
0,0 7 2
0,0 9 0
0,0 0 7
0,0 1 2
0,0 1 2
0,0 1 8
0,0 0 5
0,0 0 0
0,0 0 6
这一位数误差可能很大这些数已不可靠
4 7 4.57.1e x p7.1
4 7 5.5
4
0 1 2.0
3
0 6 0.0
2
2 6 8.0
2 1 2.1
2.0
1
7.1
4 9 0.5
3
0 6 0.0
2
2 6 8.0
2 1 2.1
2.0
1
7.1
3 9 0.52 6 8.0
2
1
2 1 2.1
2.0
1
7.1
0 6 0.62 1 2.1
2.0
1
7.17.1
2.0
'
'
4
'
3
'
2
'
1
'
x
e
dx
d
y
N
N
N
Ny
h
5.7.2
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 68
5.7.2
001.0475.5474.5
004.0
002.0
5
0016.0
5.27.12.0
5
1
7.1
016.0490.5474.5
020.0
011.0
4
008.0
3.27.12.0
4
1
7.1
084.0390.5474.5
109.0
073.0
3
04.0
1.27.12.0
3
1
7.1
586.0060.6474.5
669.0
547.0
2
2.0
9.17.12.0
2
1
7.1
5.2
7.1
5
4
4
'
4
3.2
7.1
4
3
3
'
3
1.2
7.1
'''
2
2
'
2
9.1
7.1
''
1
'
1
er
e
e
fR
er
e
e
fR
er
e
e
fR
er
e
e
fR
实际误差的误差较大由于舍入误差，
不可靠注意：小数点第三位已
iy
4?
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 69
5.8 数值求导的误差分析本节讨论 方法误差 和 舍入误差 在数值求导中的影响。
5.8.1 数值求导中的方法误差
hxfxffhxfxffxff
f
h
ffff
h
xf
PC
di f f e r e nc ec e nt r alpo
f
h
fffff
h
xf
PF
di f f e r e nc ef or w ar dpo
f
h
ff
h
xf
PC
di f f e r e nc ec e nt r alpo
f
h
fff
h
xf
PF
di f f e r e nc ef or w ar dpo
01101100
5
4
21120
'
5
4
432100
'
3
2
110
'
3
2
2100
'
,,
30
88
12
1
5
i n t5
5
316364825
12
1
5
i n t5
62
1
3
i n t3
3
43
2
1
3
i n t3
五点中心差分五点向前差分三点中心差分三点向前差分浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 70
5.8.1
15.3'f计算示例：由以下表格数据
x f( x )
2,9 5
3,0 5
3,1 5
3,2 5
3,3 5
3,4 5
3,5 5
1 3,3 6 4 8 7 5
1 4,6 6 5 1 2 5
1 6,0 8 8 3 7 5
1 7,6 4 0 6 2 5
1 9,3 2 7 8 7 5
2 1,1 5 6 1 2 5
2 3,1 3 1 3 7 5
0.0
15.3
0.6
15.3
8675.14
15.3
5
'''
'
f
f
f
精确值
2'
2
'
2
'
3
2
'
2
'
002.06
3
001.0
15.3
8475.14
35.325.3415.33
2.0
1
15.3
3,1.02
008.06
3
004.0
3
15.3
7875.14
55.335.3415.33
4.0
1
15.3
3,2.01
hOxRR
ffff
PFh
f
h
R
ffff
PFh
66
463
243
''
2'
23
xxf
xxxf
xxxxf
0
6
4
'''
xf
xf
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 71
5.8.1
00
30
15.3
8675.14
55.33
25.3805.3895.2
2.1
1
15.3
5,1.06
0
5
15.3
8675.14
55.3345.316
35.33625.34815.325
2.1
1
15.3
5,1.05
2
1
001.06
6
001.0
15.3
8775.14
25.305.3
2.0
1
15.3
3,1.04
004.06
6
004.0
6
15.3
9075.14
35.395.2
4.0
1
15.3
3,2.03
55
4
'
4
'
5
4
'
4
'
33
2'
2
'
2
'
3
2
'
2
'
xff
h
R
f
ffff
PCh
f
h
R
ff
ffff
PFh
RR
hOxR
R
fff
PCh
f
h
R
fff
PCh
PFPC
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 72
5.8.2 舍入误差对数值求导的影响
值对计算结果的影响不同时计算用已知函数
h
ffx
xxf
0.10,0.100.0
e x p
'''
(1) IBM360 单精度运算结果
h? f? ( 0 )? f ( 0 )
0,1 E 0 0
0,1 E - 0 1
0,1 E - 0 2
0,1 E - 0 3
0,1 E - 0 4
0,1 E - 0 5
0,1 E - 0 6
0,1 E - 0 7
0,1 E - 0 8
0,1 E - 0 9
0,1 0 0 1 6 6 3 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 1 E 0 1
0,9 9 9 9 5 6 9 E 0 0
0,9 9 5 9 9 3 0 E 0 0
0,9 7 7 5 1 5 8 E 0 0
0,9 8 3 4 7 6 3 E 0 0
0,5 9 6 0 4 6 3 E 0 0
0,2 9 8 0 2 3 0 E 0 1
0,2 9 8 0 2 2 9 E 0 2
0,2 9 8 0 2 2 9 E 0 3
0,1 0 0 0 7 6 1 E 0 1
0,9 9 5 9 9 3 4 E 0 0
0,8 9 4 0 6 9 3 E 0 0
0,8 3 4 4 6 4 0 E 0 2
0,4 7 6 8 3 6 3 E 0 4
0,5 9 6 0 4 6 2 E 0 5
0,1 1 9 2 0 9 3 E 0 8
0,5 9 6 0 4 5 8 E 0 9
0,5 9 6 0 4 5 9 E 1 1
0,5 9 6 0 4 5 6 E 1 3
表 5.4 Results with single precision
以下误差大于 10%
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 73
5.8.2
(2) IBM360 双精度运算结果
h? f? ( 0 )? f ( 0 )
0,1 E 0 0
0,1 E - 0 1
0,1 E - 0 2
0,1 E - 0 3
0,1 E - 0 4
0,1 E - 0 5
0,1 E - 0 6
0,1 E - 0 7
0,1 E - 0 8
0,1 E - 0 9
0,1 0 0 1 6 6 7 E 0 1
0,1 0 0 0 0 1 6 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,1 0 0 0 8 3 4 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 8 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,1 0 0 0 0 3 1 E 0 1
0,9 8 9 4 8 3 4 E 0 0
0,4 1 6 3 3 2 2 E 0 0
0,4 1 6 3 3 1 9 E 0 2
0,2 7 7 5 5 4 5 E 0 4
表 5.5 Results with double precision
区域也呈现一适宜的计算一直能达到较高精度计算双精度达不到较高精度计算升，有适宜区开始误差下降，最后上计算单精度
hf
f
DP
f
f
SP
''
'
''
'
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 74
5.8.3 步长 (h)对误差的综合影响算式考虑 PC3
32021' 62 fhh ffxf
hEM
h
hh
gg
xfER
Mfee
f
h
h
ee
ER
h
gg
xf
efgefg
ggff
62
,,,
622
2
02'
3
02
3
2
0202
1
'
000222
0202
则设所以有和为时由于舍入误差而实际和计算机中表示可见数值求导的误差不能由不断减小 h而降低数值求导是 一种不稳定的算法
3
3
22
3
3
3
,0
3
M
h
M
h
h
M
h
h
M
hdh
dE
hhE
，必须满足：达到最小的使浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 75
5.8.3
027819.0
69671.0
000005.0
3
000005.0
69671.0
c osm a x
m a x
2
9.09.0
9.0
3
9.0
s in
6.5
3
0.1,8.0
'''
0.1,8.0
'
'
op
op
h
fM
h
h
hfhf
f
PC
f
xxf
估计最适宜的算式用需从数表求构成系由表示例
x f ( x )
0,8 0 0
0,8 5 0
0,8 8 0
0,8 9 0
0,8 9 5
0,8 9 8
0,8 9 9
0,9 0 1
0,9 0 2
0,9 0 5
0,9 1 0
0,9 2 0
0,9 5 0
1,0 0 0
0,7 1 7 3 6
0,7 5 1 2 8
0,7 7 0 7 4
0,7 7 7 0 7
0,7 8 0 2 1
0,7 8 2 0 8
0,7 8 2 7 0
0,7 8 3 9 5
0,7 8 4 5 7
0,7 8 6 4 3
0,7 8 9 5 0
0,7 8 5 6 0
0,8 1 3 4 2
0,8 4 1 4 7
表 5.6 sin(x)函数表浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 76
5.8.3
表 5.7 计算试验结果
62161.09.0c o s?精确值
h 数值求导? f? (0,9 ) 误差
0,00 1
0,00 2
0,00 5
0,01
0,02
0,05
0,1
0,62 50 0
0,62 25 0
0,62 20 0
0,62 15 0
0,62 15 0
0,62 14 0
0,62 05 5
0,00 33 9
0,00 08 9
0,00 03 9
0,00 01 1
0,00 01 1
0,00 02 1
0,00 10 6
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 77
第五章 习题
5.1 Write a FORTRAN subroutine which implements Simplified
Adaptive Quadrature Algorithm based on Trapezoidal Rule
by using the following nomenclature：
SUBROUTINE SAQAT(FUN,XL,XU,N,TOL,HM,AQ,ER,NF)
where the input variables are：
FUN -- name of the integrand function subprogram FUN(X),
XL -- lower quadrature limit of X,
XU -- upper quadrature limit of X,
N -- number of basic subintervals,
TOL -- tolerance of relative error,
HM -- maximum step size allowed
and the output variables are：
AQ -- result of quadrature,
ER -- estimated relative error bound,
NF -- vector of length N containing the numbers of function
values used in each subinterval.
Verify your program by executing the quadrature of the function：
Derive numerical differentiation algorithm based upon
spline interpolation.
5.2
0.20.0
04.09.0
1
01.03.0
1
22
xtoxf r o m
xx
xf
<<实用数值计算方法 >> 1
第五章 求积与求导
5.1 数值求积问题
5.2 插值多项式求积
5.3 控制精度的求积方法
5.4 待定系数法
5.5 Gauss开式求积
5.6 其他求积方法
5.7 插值多项式求导
5.8 数值求导的误差分析
5.9 其他求导方法浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 2
5.1 数值求积问题
Q uadr at ur e
bFaFbFdxxfy
axay
xFyxf
dx
dy
E quat ionalD if f e r e nt iO r d inar yofnI nt e gr at io
xFdxxyfy
axyy
xyf
dx
dy
aF
b
a
a
称为求积问题求原函数其中称为常微分方程的积分原函数求
0)(
@0
,
@
,
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 3
5.1.1 机械求积方法
积方法：机械求积因而提出了一类数值求下，易于求得但在给定的不一定易于找出，如：原函数
xfx
x
x
x
xxf
xFy
23
e x p,
s i n
,1
xf
xbx
n?ixax?0
ii xff?
UfAdxxfxFI n
i
ii
b
a
b
a
0
节点 权 函数值 余值图 5.1 函数值计算过程简单浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 4
5.1.2 不同的求积形式
xf
xa b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
闭式外延式开式半闭式图 5.2 不同的求积形式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 5
5.1.3 代数精度
10
0
.
0,0
0
0
mk
xU
mk
mkxU
xxf
fAdxxffQfIfU
fUfQ
fUfAdxxffI
k
k
k
n
i
ii
b
a
n
i
ii
b
a
代数精度为对于余值误差机械求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 6
5.2 插值多项式求值
y
iy
xLxP nn?
xPn
xfy?
a b0x nxix
fUfQfI
dxxRdxxPdxxf
xRxPxf
b
a
n
b
a
n
b
a
nn
均可用以求积任何插值多项式图 5.3 插值多项式的函数形式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 7
5.2.1 用 Lagrange多项式求积
n
i
ii
b
a
i
b
a
n
i iin
b
a
in
n
b
a
nn
n
n
n
iniin
i
n
niiin
n
i
i
iin
in
n
i
iinnn
yAdxxf
y
xD
dxxD
dxxLdxxf
xRxPxf
x
n
f
xR
xxD
xx
x
xxxxxxxxxD
y
xD
xD
yxBxLxP
0
0,
,
1
'
,
110,
0,
,
0
,
!1
并有其中
iin
b
a in
i xD
dxxDA
,
,
n
i
i
i
abA
xba
0
,,
可用于检查系数并可证明确定后为具体值当浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 8
y
0y
1y
2y
0?a b?1
xfy?
0x 1x 2x
612132
1
0
2102
1
0
2
3
0
1
0
2
3
0
1
0
2
3
0
1
0
22
1
0
21
1
0
20
1
0
2
2102
210
1
0
2
1
2
1
12
1
3
1
3
12
19
1
12
5
3
18
1
3
1
12
7
3
6
1
12
1
6
4
12
118
2
6
5
18
1
6
2
6
7
6
1
2
1
3
2
6
1
3
2
2
1
6
1
3
2
2
1
6
1
2
1
3
2
6
1
3
2
6
1
2
1
6
1
3
2
2
1
3
2
,
2
1
,
6
1
插值多项式求积公式不等间距开式取节点例：要求
yyydxxL
xx
xy
xx
xy
xx
xy
dxxx
y
dxxx
y
dxxx
y
dxxL
y
xx
y
xx
y
xx
xL
xxx
dxxf
5.2.1
图 5.4 不等间距开式求积示例浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 9
5.2.1
abax
abax
abax
x
dxxf
yyydxxL
fU
fI
fQyyyfI
yx
yx
yx
dxxfI
b
a
3
2
2
1
6
1
2
1
2
1
005593.0
43233.0
437923075.0
2
1
2
1
26359714.0
3
4
e x p,
3
2
36787944.01e x p,
2
1
71653131.0
3
1
e x p,
6
1
2e x p
2
1
0
21
1
0
02
210
22
11
00
1
0
坐标作一线性变换只需将用于若将以上公式例：计算浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 10
5.2.2 等间距闭式求积公式
Newton-Cotes 求积公式
0xa? 1x ix 1?ix bxn? x
求积公式插值多项式将以上关系式代入为正实数为正整数，
间距
L agr ange
si
hisxx
dshdxshxx
hjixxihxx
xx
n
ab
h
i
jii
ii
0
0
1
图 5.5 等间距求积示意浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 11
5.2.2
一般形式求积公式及余值的这就是 C ot e sN e w t on
dxx
n
f
dxxRfU
fUxfNabdxxf
ds
is
nsss
inin
N
NabA
ds
is
nsss
inin
ab
hinii
dshnsisisssh
xD
dxxD
A
b
a
n
n
b
a
nn
b
a
n
i
niin
n
in
in
ini
n
in
n
n
n
iin
b
a
in
i
!1
1
!!
1
1
!!
1
111
111
1
0
,
0
,
,
0
0
,
,
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 12
5.2.2
33
1
3
2
2
3
2
32
2
11
110
110
1
0
1,1
1
0
0,1
1
12
12
232
!2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
hhOfU
habnh
f
baf
ab
abxx
baxf
dxbxax
f
dxxRfU
R ul elT r ape z oi da
fUff
ab
fUffabfI
s dsN
dssN
n
b
a
b
a
b
a
时，对误差余值这就是梯形公式时当
ax?0 bx?1
xf
xP1
1f
0f
图 5.6 当 n=1时浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 13
5.2.2
公式这就是其中时当
Si m ps o n
bff
ba
ff
aff
fUfff
ab
fI
dsssN
dsssN
dsssN
n
2
1
0
2210
2
0
2,2
2
0
1,2
2
0
0,2
2
4
6
6
1
2
4
1
6
4
2
2
1
6
1
21
4
1
2
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 14
5.2.2
依次类推得到 Newton-Cotes系数表
C
n,i
n d
n
I= 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
2
6
8
90
288
840
1 7 2 8 0
2 8 3 5 0
1
1
1
7
19
41
751
989
1
4
3
32
75
216
3577
5888
1
3
12
50
27
1323
-9 2 8
1
32
50
272
2989
1 0 4 9 6
7
75
27
2989
-4 5 4 0
19
216
1323
1 0 4 9 6
41
3577
-9 2 8
751
5888 989
运算数相减之出现负数，意味着有两时
in
n
n
i
iin
n
b
a
Cn
fUxfC
d
ab
dxxffI
,
0
,
8?
表 5.1 Newton--Cotes 系数表浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 15
5.2.2
以及相应的误差余值估计式
ii
xxh
fhfUn
fhfUn
fhfUn
f
h
fUn
f
h
fUn
1
67
5
67
4
45
3
4
5
2
2
3
1
12096
275
5
945
8
4
80
5
3
90
2
12
1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 16
5.2.3 复合求积方法
Composite Quadrature
高阶插值多项式有产生严重震荡的可能故采取用低阶复合的方法
xP1
xPn
xf
xP1
xP1xP1xP1
0xa? 1x bxn?
法则构成复合梯形求积方求积，即梯形法个区间内都用在或等分分为将
xPn
h
ab
nh
n
ab
nba
1
,
,
图 5.7 低阶复合公式示意浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 17
5.2.3
2
2
2
3
22
2
2
3
1
2
31
1
0
1
2
3
10
1
12
1212
122
12
2
2
1
1
0
n
f
n
ab
hf
abh
fn
h
fU
nf
h
xfhxfxf
h
f
h
xfxfxf
h
dxxfdxxf
xxhdxxffI
n
n
i
in
n
i
in
x
x
x
x
ii
b
a
n
n
221 1nOhOfU n
4
42
2
4
5
12
1
2
2/
1
120
1
22880
2
24
3
n
OhOfU
f
nh
xfxfxfxf
h
fI
Si m ps on
n
n
i
ni
n
i
i
公式对于复合浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 18
5.3 控制精度的求积方法
5.3.1 外推原则
Richardson's Extrapolation
复合梯形法求积的误差表示为
nnn
nnn
nn
n
n
n
n
n
n
n
TSSI
Si m ps onSSTTI
T r ape z oi dTTITI
n
n
E
E
TI
TI
I
Tn
TxPn
ba
n
E
222
22
2
2
2
22
2
1
2
:
3
1
3
4
:44
4
12
2
,
误差估计：
为未知，但准确的积求积得个等间隔由用设在浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 19
5.3.1
bf
cf
af
ax cx bx
逐步加精步骤可不断提高精度若多次使用外推原则，
公式根据梯形公式
L im itt hetoA ppr oac hD e f e r r e d
Si m ps onSfff
xx
ff
xx
fff
xx
TTI
fff
xx
T
ff
xx
T
bca
ab
ba
ab
bca
ab
bca
ab
ba
ab
2
12
2
1
4
6
6
2
3
3
1
3
4
2
4
2
图 5.8 Richardson's 外推浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 20
5.3.1
mXmXmX
mXmXmXmX
mXmXmXmX
mXmXmXmX
mXmXmXmX
n
En
n
En
n
En
xP
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kn
k
n
n
k
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2223
1112
22
2
2
2
1
2
14
1
2
14
4
2
22
14
1
22
22
14
1
22
24
15
1
44
2
3
1
22
4
2
4
2
或推原则由此可得到一般化的外个等分间隔的误差用求积时由依次类推
0?k
1?k
k
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 21
5.3.2 Romberg 求积
更加一般化的计算步骤
nnnnnn
nnnnnn
nnnnnn
CCCCCR
SSSSSC
TTTTTS
484888
242444
2222
63
1
63
64
63
1
15
1
15
16
15
1
3
1
3
4
3
1
精度控制的算法
y
0xa? 1?ix ix 1?ix bxn?
xf
根据规定精度的要求，在每一分段中取不同的加精步数－－ 精度控制的自适应求积算法弯度较大分段弯度较小分段利用外推原则图 5.9 自适应求积过程浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 22
5.3.2
444
4
44
222
2
2
1
,
23
33
21
12
22
1
11
1
XXE
CXX
XX
XXE
SXX
X
TXX
xx
ii
估计误差界再次外推得到分为四分求积是否满足精度要求？
估计误差界外推一次得到再分为二分后梯形求积先用梯形法求积中在每个分段二分次数 k
分隔数
2
k
T S C R …
0
1
2
3
4
1
2
4
8
16
X
1
(1 )
X
1
(2 )
X
1
(4 )
X
1
(8 )
…
X
2
(1 )
X
2
(4 )
X
2
(8 )
…
X
3
(4 )
X
3
(8 )
…
X
4
(8 )
… …
表 5.2 Romberg求积格式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 23
5.3.3 简易的自适应求积算法
Adaptive Quadrature Algorithm
xf
0x 1?ix ix 1?ix nx
n
n
xx ii
2
,1
间隔求积的误差分对任一分段用复合梯形算法?
22
2
222
2
2
2
2
22
2
2
21
2
2
n
nn
TT
n
TIE
n
TIE
nn
nn
n
nn
n
nn
(?
nn
pnpn
nnn
nn
n
XXE
n
E
TTE
TT
E
22
2222
2
2
12
1
12
1
12
1
的求积方法：对或所以
图 5.10 求积函数区间分隔浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 24
图 5.11 简易自适应梯形求积算法框图
Simplified Adaptive Quadrature Algorithm Based on Trapezoidal Rule
开始
ep shnxxxf n,,,,,0给定
0?i
0?k
k=0?
k
ki
jj
hjxf
2,,5,3,1
2
计算hxfxf ii?,计算
kT 2用复合梯形求积得
k=0?
12 2212 1 kkk TTE计算
Ek<eps?
k=n?结束
1ii
是否否 是
1kk
否是是 否
5.3.3
eps,精度要求允许误差
Tolerance
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 25
5.3.3
库程序 QUANC8
Quadrature,Adaptive,Newton-Cotes,8-panel
用于求积
布图示函数形状及节点分处有两个峰在 9.0,3.0
6
04.09.0
1
01.03.0
1
22
xx
xx
xf
图 5.12 Behavior of adaptive quadrature routine QUANC8
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 26
5.3.3
1e x p12.1 xxxxfF u n c t io nTe s t
M e t h o d sQ u a d r a t u r eofTe s t
0 1 x
0 1 x
20
,1.0
CaseDifficult
2.0
,2
CaseSmooth
图 5.13 求积简单的情形图 5.14 求积困难的情形浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 27
5.3.3
8
7
6
5
4
3
2
10
10
10
10
10
10
10
1 0 0 01 0 010
Er
ro
r o
f m
eth
od
(lo
g s
ca
le)
DIFFICULT CASE
Slope=-2 slope=-1.1
A
S
T
S A T
Slope=-2
SMOOTH CASE
f(x) evaluations (log scale)
Rate of convergence for quadrature methods test
T--Trapezoidal rule
S--Simpson rule
A--Adaptive algorithm
图 5.15
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 28
5.4 待定系数法和求积公式
Method of Undetermined Coefficients
n
i
ii
b
a
xfAdxxfI
0
机械求积通式
5.4.1 以闭式求积为例 Closed Quadrature
即梯形公式解得因此：
根据代数精度的概念最简单情况
10
10
22
2
10
10
1100
10
11001100
0
2
,
2
1
2
1
2
1111
,
1
,
ff
ab
I
abAabA
ab
x
bAaA
abxAA
xAxAx dxxxf
AAdxxf
xffxfffAfAI
n
xbxa
b
a
b
a
b
a
b
a
n
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 29
5.4.1
公式即解得因此根据精度条件对于
Si m ps on
ab
hfff
h
I
abAabAabA
ab
bA
ba
AaA
ab
bA
ba
AaA
abAAA
dxxxAxAxAxxf
x dxxAxAxAxxf
dxAAAxf
abhbbxhaxax
dxxfIfAfAfAI
n
b
a
b
a
b
a
b
a
2
,4
3
6
1
,
6
4
,
6
1
332
222
11
2
1;,,
2
210
210
33
2
2
2
1
2
0
22
210
210
22
22
2
11
2
00
2
221100
210
210
221100
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 30
5.4.2 其它等间隔求积公式
10123 xxxxx
h3? h0h?h2?
0123
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
0
3
3
2
2
2
1
2
0
2
0
2
3210
03210
03122130
5559379
24
4
023
3
023
2
023
11111
1
0
ffff
h
I
x
AhAhAhAxxf
x
AhAhAhAxxf
x
AhAhAhAxxf
xAAAAxf
fAfAfAfAdxxfI
h
h
h
h
x
x
得到
xf
图 5.16 4节点外延式等间距求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 31
5.4.2
1012 xxxx
h?h2? 0 h
1012
4
3
32
3
1
3
0
3
3
2
32
2
1
2
0
2
2
3210
3210
13021120
9195
24
4
02
3
02
2
02
11111
1
0
ffff
h
I
h
hAAhAhAxxf
h
hAAhAhAxxf
h
hAAhAhAxxf
hAAAAxf
fAfAfAfAdxxfI
x
x
得到
xf
图 5.18 4节点等间距外延求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 32
5.4.2
32101 xxxxx?
h? h2h0 h3
20
210
3
3
2
2
2
10
2
3
2
210
210
221100
3
22
3
4
,
3
8
,
3
4
,
3
8
3
20
2
20
41111
fff
h
I
hAhAhA
x
hAhAAxxf
x
hAhAAxxf
hAAAxf
fAfAfAdxxfI
h
h
h
h
h
h
得到
xf
图 5.19 3节点开式等间距求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 33
5.4.2
xf
432101 xxxxxx?
h? 0 h h2 h3 h4
3210
3210
4
4
3
3
3
2
3
10
3
4
3
2
3
2
2
2
10
2
4
2
3210
3210
33221100
4
1111
24
5
24
55
,
24
5
,
24
5
,
24
55
4
320
3
320
2
320
511111
ffffhI
AAAA
x
hAhAhAAxxf
x
hAhAhAAxxf
x
hAhAhAAxxf
hAAAAxf
fAfAfAfAdxxfI
h
h
h
h
h
h
h
h
得到图 5.20 4节点等间距开式求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 34
5.4.2
543210 xxxxxx
0 h h2 h3 h4 h5
构成复合求积算法以上任一公式均可用于
45
4321
34
321
23
21
12
1
1
1
0
9375955
24
51623
12
3
2
fhOffff
h
I
fhOfff
h
I
fhOff
h
I
fhOhfI
fhOfAdxxfI
nn
n
i
ii
h
图 5.21 5节点等间距外延求积浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 35
5.4.2
4
3
321 5162312 n
fOfffhI
例如使用：
3210 xxxx
hhh 320
1?ix ix 1?ix
ih
hi 1hi 1?
nx 1?nx 2?nx
nhhn 2?
hn 1?
23 -16 5
23 -16 5
23 -16 5
23 -16 5
……………..
23 -16 5
23 -16 5
23 -16 5
…………….
23 -16 5
23 -16 5
23 -16 5
23 7 12 12 ……………………….,12 12 12 -11 5
只有一个负号
33
21
3
21 5111272312
0
nfO
fffff
h
dxxf nn
n
i
i
x
x
n
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 36
5.5 Gauss 开式求积
Gaussian Open Quadratrue
5.5.1 Gauss 求积方法的构思
tPz 1?A
C
D
Btgxfy
1? 0t 0 1t 1? t
ax?0 bx?0 x
1
1
1
1
1
1
1
1
22
dttPdttg
tP
dttgdxxf
t
abba
x
b
a
使得寻找某一合适的直线得到作自变量的线性变换，
令图 5.23 Gauss 开式求积示意图浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 37
5.5.1
F or m ul arQ uadr at ur eL e ge ndr eG aus s
m
tPznmxL
L e ge ndr emt
t
G aus sIG
c
ccc
t
c
t
c
t
c
tc
dttctctccdttgI
tcc
tctctcctctctcc
tgtg
tgtg
G
ADtt
tctctcctg
nm
2
,1
8962657735 02691.0
3
1
,
3
2
3
2
2
432
2
11
2
,
1
1
2
020
1
1
4
3
3
2
2
1
0
1
1
3
3
2
210
1
1
2
120
3
13
2
12110
3
13
2
12110
11
10
10
3
3
2
210
这是最低阶的一种的根值，
多项式次的位置是可以证明节点：只要取为了使分值为而三次多项式的准确积下的面积为则直线取设有
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 38
5.5.2 Legendre 多项式的性质
Gauss开式求积方法
3
1
,0.1
3
1
,0.1,1
0
11
00
1
0
1
1
1
1
tb
tbn
tLt
tgbdttPdttg
ni
n
i
iin
对的根是
tPPolynomial
n
2
2tg
Integrand
1? 0t 1t 2t1?
31
03
nm
tLLe g e n d r e 多项式图 5.24 Gauss节点与 Legendre多项式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 39
Legendre 多项式的递推算式
dt
tt
tt
b
b
ttL
tL
m
m
tLt
m
m
tL
tttL
tttL
ttL
ttL
tL
m
ij
j ji
j
i
i
i
mmm
1
1
0
2
21
24
4
3
3
2
2
1
0
31,0
112
33035
8
1
35
2
1
13
2
1
1
的算式为权系数如
l
j
jjl
km
tLdtP
L e ge ndr e
mktLtL
L e ge ndr e
0
1
1
1,0
成任何多项式多项式的线性组合可构多项式是正交多项式
5.5.2
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 40
5.5.2
次多项式的求积结果得到可以准确地个函数值的线性组合，即：用所以能使既然的余项对任何多项式多项式的正交性因为
12
0
1,
12
0
12,1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m
m
tgbdttg
tqtqtPtLtg
tLt
tqbdttqdttg
dttqdttPtLdttg
tqtPtLtg
mktqtLtg
mltg
dttLtLdxth
mjmktLtLth
L e ge ndr e
k
i
ilil
ikikikimil
imi
k
i
ikikl
kkml
kkml
kml
l
kmj
kmj
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 41
5.5.3 Gauss 求积法示例对一定的 m,ti和 bi均为固定值
m t
i
b
i
2? 0,5 7 7 3 5 0 2 6 9 1 8 9 6 2 6 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3
0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,7 7 9 5 9 6 6 6 9 2 4 1 4 8 3
0,8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
0,5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
4
0,3 3 9 9 8 1 0 4 3 5 8 4 8 5 6
0,8 6 1 1 3 6 3 1 1 5 9 4 0 5 3
0,6 5 2 1 4 5 1 5 4 8 6 2 5 4 6
0,3 4 7 8 5 4 8 4 5 1 3 7 4 5 4
5
0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0,5 3 8 4 6 9 3 1 0 1 0 5 6 8 3
0,9 0 6 1 7 9 8 4 5 9 3 8 6 6 4
0,5 6 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9
0,4 7 8 6 2 8 6 7 0 4 9 9 3 6 6
0,2 3 6 9 2 6 8 8 5 0 5 6 1 8 9
m
i
ii tgbdttg
1
1
1
表 5.2 Gauss开式求积的系数浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 42
5.5.3
dt
ab
dx
t
abba
x
dttg
ab
dxxf
E
xdxxG
G
dtdx
xt
xt
tt
abba
x
m
dxxG
b
a
2
22
2
1053.1
0.1c oss i n
99847.0
39434.0s i n0.110566.0s i n0.1
4
4
39434.0,5773.0
10566.0,5773.0
4422
2
s i n
1
1
3
2
0
2
0
11
00
2
0
误差精确解根据选例
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 43
5.6 其他求积方法
5.6.1 样条函数求值
Spline Quadrature
1
0
32
1
0
1
0
1
0
1
1
0
3
1
2
11
1
0
32
1
0
2
21
32
32
1
32
32
1
1
n
i
ii
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
iii
n
i
ii
i
ii
i
iii
x
x
n
i
i
i
i
i
ii
n
i
x
x
iiiii
iiiii
i
i
h
c
h
b
ha
c
h
bhahI
hxxh
xx
c
xx
b
xxa
xx
c
xx
b
xxa
dxxxcxxbaI
xxcxxbaxf
i
i
i
i
所以对于等间距的情况若用二次样条浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 44
5.6.2 多重求积 Multiple Quadrature
l
i
m
j
n
k
kjikji
n
k
kk
m
j
jj
l
i
ii
c
ic
c
m
i
iim
zyxcba
zcybxa
dzzdyydxx
dx dy dzzyx
zyxdzyxP
dx dy dzzyxPdx dy dzzyxf
xfbxPdxxfI
0 0 0
000
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
,,
,,,,
取其中一项为代表其中对于多变量的情况标准化后为单个自变量求积的通式浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 45
5.6.2
因而可以得到例前页最后等式之证明示
3
1
2
1
231322122111
21321
2
1
3
1
i j
ji
j
j
i
i
vu
vuvuvuvuvuvu
vvuuuvu
公式也可根据公式可以根据为权系数其中
L e ge ndr eG a us s
C o t e sN e w t o n
cba
cbafcba
dx dy dzzyxP
dx dy dzzyxfI
kji
l
i
m
j
n
k
kjikji
,,
,,
,,
0 0 0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 46
多重积分计算示例
58760.01e x p
4
1
58758.0
}
7746.0e x p15774.015774.0
9
5
11{
16
1
7746.0,0,7746.0;
9
5
,
9
8
,
9
5
5774.0,5774.0;0.1,0.1
5774.0,5774.0;0.1,0.1
e x p11
16
1
e x p11
16
1
2
1
,1
2
1
2
1
,1
2
1
2,3
e x p
210210
1010
1010
1
0
1
0
2
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
eI
I
xxxccc
vvbb
uuaa
xvucba
dx dud vxvuI
dvdzvz
dudyuy
L e ge ndr eG aus szyx
dx dy dzzyxI
i j k
kjikji
解析法得到：
所以：
因为：
原题成为变换法节点，用各取节点，取对
5.6.2
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 47
5.6.3 特殊求积
Improper Integrals
几种类型：
1,被积函数在积分上限或下限处的极限存在，
但函数值不存在
2,积分上限是,或积分下限是 。
3,在积分限的两端存在积分奇异点
4,在积分上限和下限之间的某已知点处存在积分奇点。
5,在积分区间内某未知点处存在积分奇点
0
s in
xx
x例
02
1
xx例如：
不可积这类不确定的积分称为以及对于
dxxdxx c o s
1
1
（ Impossible Integration）
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 48
类型 1的求积方法,只要采用开式求积公式即可以解决问题类型 2问题的的解法,
变量置换方法,常用的变量置换公式有：
0
111
1 2
1
1
00
ab
dt
t
f
t
dxxf
dx
x
xg
dyyf
a
b
t
xb
a
ex
y
极限过程：
的一个数列。是收敛于这里时，停止计算。当
n
r
r
r
r
r
r
r
rrr
dxxf
dxxfdxxfdxxfdxxf
n
n
n
n
10
00
0
1
11
0
0
5.6.3
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 49
例,计算
n
n
r xx
r
dxxedxxe n
2
11 0 40 4
这里取
n I
n 函数计算点个数
0
1
2
3
4
精确值
0,57 20 25 82
0,62 74 59 52
0,63 04 39 90
0,63 04 77 61
0,63 04 77 66
0,63 04 77 83
35
52
100
178
322
无穷区间的截断 —— 略去无穷区间的“尾巴”
而把无穷区间化为一个有限区间。
例,计算
k
x
k
xk xx
dxe
dxedxedxe
2
222
:
00
估算
5.6.3
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 50
0
2
00
2
4
00
8
22
s i n
1
1s i n
s i n
1
,
43
10,4
1
22
2
22
dx
x
x
x
dx
x
x
dxx
x
x
xfxxr
xgxrxgxf
dxedxe
k
e
k
e
k
dxedxe
kxxkxxkx
xx
k
k
k
kx
k
x
例：
式。致收敛或导致渐近展开反复运用此原理，可导更快地趋近于零。时比则当方法可求积，而残差公式可供利用或有其它有闭型这里设强度”。：采用降低奇异性的“问题的解法，类型要求了。
结果，精度就符合用某种标准方法求积的字计算，则有：所以，若作七位有效数则对于则：
即有对于因为
5.6.3
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 51
积分算法总结
Gauss 求积公式的定义
线性方程组。
的非有以及有其中知数个未有系数法可以解一个包含用待定根据代数精度的概念，
也是插值型公式。
型求积公式可以证明，
点。为求积节点的型求积公式，并称相应为
，则称之若代数精度达到了对于一般的求积公式：
11
22
,,,,
12
10
0
nxnA
n
G a us s
G a us s
baxxx
G a us s
n
xfAdxxf
kk
n
n
k
kk
b
a
G1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 52
G2
nkA
G aus s
baxnkx
G aus s
nba
G aus sn
k
kk
,,2,1,0
2;,,,,1,0
1,1
1
系数点确定求积然后利用并有点次正交多项式确定上的先利用区间较为简便的方法是：
相当大的。公式。但计算工作量是型求积点从而构造浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 53
R1
Romberg 算法原理可得：
由梯形积分法的误差阶?
2
1
n
O
22
2
2 n
TI
n
TI
n
n
,,,:
3
1
3
1
3
1
421
2
2
22
22
22
SSSS
Si m ps onT
S
TTTT
TTT
TTTI
k
n
n
nnnn
nnn
nnn
序列到更接近于真值，即可得能比
。可期望得到新的近似值的一种补偿，作为启发：用导出：
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 54
R2
10 21 14 dxx例题验证：
k T
k
1
2
3.
3.1
4
8
3.131 17647
3.133898849
16
32
3.14094161
3.14142989
512
3.14159202
57
1
9
14159250.3
3
1
3
4
5 1 2
484
的作量为计算
。其计算工的个点上只涉及求
T
xf
TTS
i
!5 1 2T效果好于浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 55
R3
得：
积分法的误差阶同样：由 S im p s o n
42
4
2 n
SI
n
SI
n
n
算法。
这种加速的方法就称为
，越来越快的新序列逐步地加工成收敛速度的梯形序列定义：将收敛速度缓慢序列：类似地，可以得到
：序列即导出：
R om be r g
R
CS
T
RRR
CC
R
R om be r g
CCCCC ot e s
SS
SSSCI
k
kk
k
k
k
nn
n
nn
nnnn
2
22
2
21
23
2
3
421
2
2
2
2
22
,,:
14
4
,,,
14
4
15
1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 56
R4
10 214 xdx例题验证：
k
0 3
1 3,1 3,1 3 3 3 3 3
2 3,1 3 1 1 7 6 3,1 4 1 5 6 9 3,1 4 2 1 1 8
3 3,1 3 8 9 8 8 3,1 4 1 5 9 3 3,1 4 1 5 9 4 3,1 4 1 5 8 8
321 2222 kkkk RCST
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 57
kk
k
kk
k
fhdE
k
fhcE
k
C ot e sN e w t on
212
212
,2
12
则误差余值：
，如若插值点的个数为偶数
，则误差余值：
，如若插值点的个数为奇数一个特点是：
积分法则的
N1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 58
其结果如下：
的值。法则计算积分个点的一系列到例：用含
1
0 21
1
4
212
x
C o t e sN e w t on
N2
2 3,0 0 0 0 0 0 0
3 3,1 3 3 3 3 3 3
4 3,1 3 8 4 6 1 5
5 3,1 4 2 1 1 7 6
6 3,1 4 1 8 7 8 1
7 3,1 4 1 5 7 0 8
8 3,1 4 1 5 7 8 9
9 3,1 4 1 5 9 2 5
10 3,1 4 1 5 9 2 6
11 3,1 4 1 5 9 2 5
12 3,1 4 1 5 9 2 5
13 3,1 4 1 5 9 2 6
14 3,1 4 1 5 9 2 0
15 3,1 4 1 5 9 3 2
16 3,1 4 1 5 9 2 5
17 3,1 4 1 5 9 6 2
18 3,1 4 1 5 9 3 5
19 3,1 4 1 5 8 9 6
20 3,1 4 1 5 9 2 0
21 3,1 4 1 5 7 7 5
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 59
N3
btgtgbyy
battytgbay
battytgbay
batyAD
tgtgyyyy
AD
TSSIn
n
nn
TS
IITS
TI
SI
TSSI
nnn
nn
nn
n
n
nnn
2211
1
1
11211
2
1
2
2
2
2
2
1
10
011
000
10
222
2
24
1
122
1
122
21
2
222
而的直线方程为设的面积证明时，有故当
，上式即可满足只要即要使证明：
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 60
5.7 插值多项式求导以下诸节讨论不能以 x显式的形式表达的函数对 x的求导。
5.7.1 一般化的形式由需要求导区间邻近若干节点的数据构成 Lagrange插值多项式
n
ij
j
jin
n
i
i
iin
in
n
i
iinnn
nn
xxxD
y
xD
xD
yxBxLxP
xRxPxf
0
,
0,
,
0
,
0x 1x x ix 1?nx nx
xPy n''?
xfy ''?
xPy n?
xfy?
in xP'
ixf'
图 5.24 插值求导与插值的关系浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 61
5.7.1
iniinii
iin
n
in
in
n
in
inin
i
n
n
n
n
n
n
i
n
ij
j
n
ik
jk
k
k
iin
i
n
i
in
iin
i
n
nn
n
i
n
ij
j
jn
n
i
in
n
n
n
xLxfxLxfxx
xD
n
f
xR
x
n
f
xR
xRx
xx
f
dx
d
n
x
x
dx
d
n
f
xR
xx
xD
y
xD
dx
d
xD
y
xL
xRxLxf
xxxxxx
x
n
f
xR
''
,
1
'
'
1
'
1
1
'
0 0 0
,
0
,
,
'
'''
0 0
'
0
1
,
0
!1
!1
00
!1!1
!1
处在处在
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 62
5.7.1
221100
210
2
102
2
2
1
1
2
1
0
2
1
'
2
1201
3
210
20
2110
3
'
2
2
1202
10
2
2101
20
0
2010
21
'
2
3
2102
2
1202
10
2
2101
20
0
2010
21
2
22
,,
2
2
2
22
2
2
,
6
6
6
1
xffxffxff
fff
h
xx
h
ff
f
h
hxx
f
h
xx
f
h
hxx
xL
hxxhxx
f
dx
dxxxxxx
xxxx
xxxxxxxx
f
xR
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
xL
fxxxxxxxR
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
f
xxxx
xxxx
xL
xRxLxf
等间距情况下三点求导算式
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 63
等间距的常用推导方法
PBbac k w ar dpo
f
h
fff
h
xf
PCc e nt r alpo
f
h
ff
h
xf
PFf or w ar dpo
f
h
fff
h
xf
sss
f
dx
dsss
hssssss
f
xR
fsfsfs
h
xL
hf
sss
xR
f
ss
fssf
ss
xL
ihxx
dshdxshxx
i
3i n t3
3
34
2
1
3i n t3
62
1
3i n t3
3
43
2
1
2,1,0
6
21
2211
6
124432
2
1
6
21
2
1
2
2
21
3
2
2102
'
3
2
201
'
3
2
2100
'
3
2
3
'
2
210
'
2
33
2
2102
0
0
三点向后三点中心三点向前节点上的导数值为
5.7.1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 64
可以写成紧凑的形式
31
61
31
341
101
143
2
1 32
2
1
0
2
'
1
'
0
'
fh
f
f
f
h
xf
xf
xf
][ 13BB i c k l e y矩阵三点求一次导数的
351041145611
1120641
11630161
1462011
115611410435
12
1
5
5
5
5
5
254836163
3101861
18081
1618103
316364825
12
1
5
242
2
1
2
2
5
1
5
2102
''
2
h
B
PB
P bB
PC
P bF
PF
h
B
fff
h
xL
点求导的算式
5.7.1
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 65
5.7.2 等间距节点数据求导 （ 差分法 ）
根据 Newton--Gregory向前差分多项式
11
1'
0
3
0
2
0
'
0
1
1
1
0010
00
111
00
2
00
1
1
1221
6
1
1
2
11
1
2
nn
nn
n
nnn
nnn
i
nnn
n
n
n
nn
f
dx
d
h
n
s
n
s
ds
d
fhxR
fssssss
fssf
h
dx
ds
xN
ds
d
xN
dx
d
xN
ffffff
dshdxihxxshxx
hOfh
n
s
xR
f
n
s
f
s
fsfxN
xRxNxf
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 66
5.7.2
0
2
1
0
1
0
'
0
1
0
1
0
3
0
2
00
'
1
0
'
1
1
0
'
0
2
1
1
1
11
3
1
2
11
1
1
!1
!1
1
!1
!1
!1
21
!1
221
1
0
!1
1
1
,0
f
n
f
n
xR
f
i
f
i
fff
h
xN
hOfh
n
xR
n
n
fh
n
s
ds
d
fhxR
n
n
n
nsss
n
nsssnsss
n
s
ds
d
n
nsss
n
s
xxs
n
n
n
n
n
n
i
i
i
n
nnn
n
n
n
nn
nn
n
n
显然而且
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 67
示例 表 5.3 求导用差分表
I x
i
y
i
y
i
y
i + 1
- y
i
2
y
i
y
i + 1
-? y
i
3
y
i
2
y
i + 1
-?
2
y
i
4
y
i
3
y
i
-?
3
y
i
5
y
i
4
y
i + 1
-?
4
y
i
0
1
2
3
4
5
6
7
1,3
1,5
1,7
1,9
2,1
2,3
2,5
2,7
3,6 6 9
4,4 8 2
5,4 7 4
6,6 8 6
8,1 6 6
9,9 7 4
1 2,1 8 2
1 4,8 8 0
0,8 1 3
0,9 9 2
1,2 1 2
1,4 8 0
1,8 0 8
2,2 0 8
2,6 9 8
0,1 7 9
0,2 2 0
0,2 6 8
0,3 2 8
0,4 0 0
0,4 9 0
0,0 4 1
0,0 4 8
0,0 6 0
0,0 7 2
0,0 9 0
0,0 0 7
0,0 1 2
0,0 1 2
0,0 1 8
0,0 0 5
0,0 0 0
0,0 0 6
这一位数误差可能很大这些数已不可靠
4 7 4.57.1e x p7.1
4 7 5.5
4
0 1 2.0
3
0 6 0.0
2
2 6 8.0
2 1 2.1
2.0
1
7.1
4 9 0.5
3
0 6 0.0
2
2 6 8.0
2 1 2.1
2.0
1
7.1
3 9 0.52 6 8.0
2
1
2 1 2.1
2.0
1
7.1
0 6 0.62 1 2.1
2.0
1
7.17.1
2.0
'
'
4
'
3
'
2
'
1
'
x
e
dx
d
y
N
N
N
Ny
h
5.7.2
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 68
5.7.2
001.0475.5474.5
004.0
002.0
5
0016.0
5.27.12.0
5
1
7.1
016.0490.5474.5
020.0
011.0
4
008.0
3.27.12.0
4
1
7.1
084.0390.5474.5
109.0
073.0
3
04.0
1.27.12.0
3
1
7.1
586.0060.6474.5
669.0
547.0
2
2.0
9.17.12.0
2
1
7.1
5.2
7.1
5
4
4
'
4
3.2
7.1
4
3
3
'
3
1.2
7.1
'''
2
2
'
2
9.1
7.1
''
1
'
1
er
e
e
fR
er
e
e
fR
er
e
e
fR
er
e
e
fR
实际误差的误差较大由于舍入误差，
不可靠注意：小数点第三位已
iy
4?
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 69
5.8 数值求导的误差分析本节讨论 方法误差 和 舍入误差 在数值求导中的影响。
5.8.1 数值求导中的方法误差
hxfxffhxfxffxff
f
h
ffff
h
xf
PC
di f f e r e nc ec e nt r alpo
f
h
fffff
h
xf
PF
di f f e r e nc ef or w ar dpo
f
h
ff
h
xf
PC
di f f e r e nc ec e nt r alpo
f
h
fff
h
xf
PF
di f f e r e nc ef or w ar dpo
01101100
5
4
21120
'
5
4
432100
'
3
2
110
'
3
2
2100
'
,,
30
88
12
1
5
i n t5
5
316364825
12
1
5
i n t5
62
1
3
i n t3
3
43
2
1
3
i n t3
五点中心差分五点向前差分三点中心差分三点向前差分浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 70
5.8.1
15.3'f计算示例：由以下表格数据
x f( x )
2,9 5
3,0 5
3,1 5
3,2 5
3,3 5
3,4 5
3,5 5
1 3,3 6 4 8 7 5
1 4,6 6 5 1 2 5
1 6,0 8 8 3 7 5
1 7,6 4 0 6 2 5
1 9,3 2 7 8 7 5
2 1,1 5 6 1 2 5
2 3,1 3 1 3 7 5
0.0
15.3
0.6
15.3
8675.14
15.3
5
'''
'
f
f
f
精确值
2'
2
'
2
'
3
2
'
2
'
002.06
3
001.0
15.3
8475.14
35.325.3415.33
2.0
1
15.3
3,1.02
008.06
3
004.0
3
15.3
7875.14
55.335.3415.33
4.0
1
15.3
3,2.01
hOxRR
ffff
PFh
f
h
R
ffff
PFh
66
463
243
''
2'
23
xxf
xxxf
xxxxf
0
6
4
'''
xf
xf
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 71
5.8.1
00
30
15.3
8675.14
55.33
25.3805.3895.2
2.1
1
15.3
5,1.06
0
5
15.3
8675.14
55.3345.316
35.33625.34815.325
2.1
1
15.3
5,1.05
2
1
001.06
6
001.0
15.3
8775.14
25.305.3
2.0
1
15.3
3,1.04
004.06
6
004.0
6
15.3
9075.14
35.395.2
4.0
1
15.3
3,2.03
55
4
'
4
'
5
4
'
4
'
33
2'
2
'
2
'
3
2
'
2
'
xff
h
R
f
ffff
PCh
f
h
R
ff
ffff
PFh
RR
hOxR
R
fff
PCh
f
h
R
fff
PCh
PFPC
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 72
5.8.2 舍入误差对数值求导的影响
值对计算结果的影响不同时计算用已知函数
h
ffx
xxf
0.10,0.100.0
e x p
'''
(1) IBM360 单精度运算结果
h? f? ( 0 )? f ( 0 )
0,1 E 0 0
0,1 E - 0 1
0,1 E - 0 2
0,1 E - 0 3
0,1 E - 0 4
0,1 E - 0 5
0,1 E - 0 6
0,1 E - 0 7
0,1 E - 0 8
0,1 E - 0 9
0,1 0 0 1 6 6 3 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 1 E 0 1
0,9 9 9 9 5 6 9 E 0 0
0,9 9 5 9 9 3 0 E 0 0
0,9 7 7 5 1 5 8 E 0 0
0,9 8 3 4 7 6 3 E 0 0
0,5 9 6 0 4 6 3 E 0 0
0,2 9 8 0 2 3 0 E 0 1
0,2 9 8 0 2 2 9 E 0 2
0,2 9 8 0 2 2 9 E 0 3
0,1 0 0 0 7 6 1 E 0 1
0,9 9 5 9 9 3 4 E 0 0
0,8 9 4 0 6 9 3 E 0 0
0,8 3 4 4 6 4 0 E 0 2
0,4 7 6 8 3 6 3 E 0 4
0,5 9 6 0 4 6 2 E 0 5
0,1 1 9 2 0 9 3 E 0 8
0,5 9 6 0 4 5 8 E 0 9
0,5 9 6 0 4 5 9 E 1 1
0,5 9 6 0 4 5 6 E 1 3
表 5.4 Results with single precision
以下误差大于 10%
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 73
5.8.2
(2) IBM360 双精度运算结果
h? f? ( 0 )? f ( 0 )
0,1 E 0 0
0,1 E - 0 1
0,1 E - 0 2
0,1 E - 0 3
0,1 E - 0 4
0,1 E - 0 5
0,1 E - 0 6
0,1 E - 0 7
0,1 E - 0 8
0,1 E - 0 9
0,1 0 0 1 6 6 7 E 0 1
0,1 0 0 0 0 1 6 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,1 0 0 0 8 3 4 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 8 E 0 1
0,1 0 0 0 0 0 0 E 0 1
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,9 9 9 9 9 9 9 E 0 0
0,1 0 0 0 0 3 1 E 0 1
0,9 8 9 4 8 3 4 E 0 0
0,4 1 6 3 3 2 2 E 0 0
0,4 1 6 3 3 1 9 E 0 2
0,2 7 7 5 5 4 5 E 0 4
表 5.5 Results with double precision
区域也呈现一适宜的计算一直能达到较高精度计算双精度达不到较高精度计算升，有适宜区开始误差下降，最后上计算单精度
hf
f
DP
f
f
SP
''
'
''
'
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 74
5.8.3 步长 (h)对误差的综合影响算式考虑 PC3
32021' 62 fhh ffxf
hEM
h
hh
gg
xfER
Mfee
f
h
h
ee
ER
h
gg
xf
efgefg
ggff
62
,,,
622
2
02'
3
02
3
2
0202
1
'
000222
0202
则设所以有和为时由于舍入误差而实际和计算机中表示可见数值求导的误差不能由不断减小 h而降低数值求导是 一种不稳定的算法
3
3
22
3
3
3
,0
3
M
h
M
h
h
M
h
h
M
hdh
dE
hhE
，必须满足：达到最小的使浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 75
5.8.3
027819.0
69671.0
000005.0
3
000005.0
69671.0
c osm a x
m a x
2
9.09.0
9.0
3
9.0
s in
6.5
3
0.1,8.0
'''
0.1,8.0
'
'
op
op
h
fM
h
h
hfhf
f
PC
f
xxf
估计最适宜的算式用需从数表求构成系由表示例
x f ( x )
0,8 0 0
0,8 5 0
0,8 8 0
0,8 9 0
0,8 9 5
0,8 9 8
0,8 9 9
0,9 0 1
0,9 0 2
0,9 0 5
0,9 1 0
0,9 2 0
0,9 5 0
1,0 0 0
0,7 1 7 3 6
0,7 5 1 2 8
0,7 7 0 7 4
0,7 7 7 0 7
0,7 8 0 2 1
0,7 8 2 0 8
0,7 8 2 7 0
0,7 8 3 9 5
0,7 8 4 5 7
0,7 8 6 4 3
0,7 8 9 5 0
0,7 8 5 6 0
0,8 1 3 4 2
0,8 4 1 4 7
表 5.6 sin(x)函数表浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 76
5.8.3
表 5.7 计算试验结果
62161.09.0c o s?精确值
h 数值求导? f? (0,9 ) 误差
0,00 1
0,00 2
0,00 5
0,01
0,02
0,05
0,1
0,62 50 0
0,62 25 0
0,62 20 0
0,62 15 0
0,62 15 0
0,62 14 0
0,62 05 5
0,00 33 9
0,00 08 9
0,00 03 9
0,00 01 1
0,00 01 1
0,00 02 1
0,00 10 6
浙江大学研究生学位课程
<<实用数值计算方法 >> 77
第五章 习题
5.1 Write a FORTRAN subroutine which implements Simplified
Adaptive Quadrature Algorithm based on Trapezoidal Rule
by using the following nomenclature：
SUBROUTINE SAQAT(FUN,XL,XU,N,TOL,HM,AQ,ER,NF)
where the input variables are：
FUN -- name of the integrand function subprogram FUN(X),
XL -- lower quadrature limit of X,
XU -- upper quadrature limit of X,
N -- number of basic subintervals,
TOL -- tolerance of relative error,
HM -- maximum step size allowed
and the output variables are：
AQ -- result of quadrature,
ER -- estimated relative error bound,
NF -- vector of length N containing the numbers of function
values used in each subinterval.
Verify your program by executing the quadrature of the function：
Derive numerical differentiation algorithm based upon
spline interpolation.
5.2
0.20.0
04.09.0
1
01.03.0
1
22
xtoxf r o m
xx
xf
