模糊控制的基本原理和方法
● 模糊逻辑控制器的基本结构
● 模糊控制系统的设计
● PID 控制器模糊增益调节
● 模糊系统的稳定性分析
● 利用 MATLAB设计模糊控制器
● 模糊逻辑控制器的基本结构决策逻辑去模糊化知识库过程模糊化模糊控制器
ee?和计算
+
-
模糊推理单元精确值模糊值模糊值精确值
ry
ky
1
,
kkk
krk
eee
yye
k 为：误差和误差的变化定义在采样时刻输出设定值
▲ 模糊化部件
▲ 知识库
▲ 决策逻辑 — 模糊控制系统的核心
▲ 去模糊化部件模糊控制中，模糊系统行为按专家知识，以语言规则描述：
多输入多输出（ MIMO）转化为多输入单输出（ MISO）。
一般规则表示如下：
n
n
nn
nn
n
nn
nn
Cyt h enAxAxAxifR
Cyt h enAxAxAxifR
Cyt h enAxAxAxifR
,,,:
,,,:
,,,:
2211
2
22
22
2
112
1
11
22
1
111
是是，是是是是，是是是是，是是
)()( yxCAR
VUyx
iii B
j
iARi
j
j
ii
ii
或
，用模糊隐含表示：和的论域分别为和
● 模糊控制系统的设计
1,模糊化的策略
▲ 采用单点模糊化
▲ 选择合适的模糊函数
☆ 考虑噪声的概率密度函数。使
nfW?5?
)( u?
U
f
W
n
2
)( uP
1
0
(b)
U
)( uP
1
0
(a)
)(u?
n?2
fW
☆ 对应于输入测量（确定的）的范围，语言变量域中应取多少元素,即 xi 中,i 取何值？一般 5~30。
☆ 模糊变量术语集合的数目选取。在细分和粗分之间进行折中。一般为 2~10。
2,模糊规则的合理调整按照系统的动态行为可以合理地选择和确定模糊规则：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
i ii iii iv v vi vii viii ix x x i xii 8
根据 e和△ e的方向和大小，选择控制量的增量△ u的大小和方向。
有四种情况：
); x i iv i i iiv( 0 0,4
);xi v i iiii( 0 0,3
);x viii( 0 0,2
);ixv i( 0 0,1
区、、相当于区、、相当于区、、相当于区、、相当于
ee
ee
ee
ee
有交叉点和峰、谷点。
),,( 0 0
),,( 0 0
),,( 0,00 2,
),,( 0,00,1
mieee
kgcee
lhdeee
jfbeee
，谷点：
，峰点：
交叉点：
控制 元 规则：
1。如果 e和△ e二者都为零，△ u=0,保持现状。
2。如果 e以满意的速率趋向零,△ u=0,保持现状。
3。如果 e不是自校正,△ u不为零，取决于 e和△ e的符号和大小。
● 对交叉点,△ u符号和△ e符号一样。
0,, ujfb,对
0,, ulhd,对
0,, ukgc,对
0,, umie,对
● 对峰、谷点，△ u符号和 e符号一样。
6
。或当接近设定值时，；，大时，要缩短上升时间区，当、、对
00
0ixv i
u
ue
0xviii u区，应防止超调，、、对
●
●
。或当接近设定值时，；，大时，要缩短上升时间区，当、、对
00
0xi v i iiii
u
ue
●
。谷点的峰值，区，应防止超调，减小、、对 0x i iv i i iiv u●
根据以上规则，我们可以选择和设计模糊控制器的规则表
6
规则号 e △ e △ u 参 考 点
1 PB ZE PB a
2 PM ZE PM e
3 PS ZE PS i
4 ZE NB NB b
5 ZE NM NM f
6 ZE NS NS j
7 NB ZE NB c
8 NS ZE NM g
9 ZE ZE NS k
10 ZE PB PB d
11 ZE PM PM h
12 ZE PS PS i
13 ZE ZE ZE 设置点关于语言相平面方法调整规则线性或非线性。表示模糊关系，可以是可以写成：控制规则为是和误差导数是误差
F
keKkeKFkuK
Ct h e nBeAeifR iiii
)](),([)]([
,:
213
调节 K1,K2,K3 可以修正规则。
什么叫语言相平面？
按误差 e(E) 和误差变化 △ e(△ E)语言值和相应的规则，构成语言相平面 E × △ E,
什么叫语言轨迹？
在相平面中，隶属函数为最大的点的连线，
改变 K1,K2,K3 改变相应 语言轨迹，就可调节系统的动态行为（品质）。
13
13
E E
△ E △ E △ E
合适太大,21 KK太小合适,21 KK 合适合适,21 KK
举例：
K3是由 K1,K2 决定的，增加模糊输出语言值，就应增加 K3。
EE
举例：一阶系统的调节。
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPMPSZEZEZE
PBPSPSZEZEZENS
PMPSPSZENSNSNM
PSZEZEZENSNSNB
ZEZEZENSNMNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
△ E
E
△ E
E
上升时间慢，超调量大。
11
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPBPMZEZEZE
PBPMPSZEZEZENM
PMPMPSZENSNMNB
PMZEZEZENSNMNB
ZEZEZENMNMNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
E
△ E
△ E
E
少了一个 NS减少超调。 PM与前图相同。
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPBPBZEZEZE
PBPSPSZENSZENM
PBPMPSZENSNMNB
PBPMPSZENBNB
ZEZEZENBNBNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
NB
△ E
△ E
E E
3,模糊规则的完整性、一致性和交换性
● 对过程的每一状态，都能推导出一个合适的控制规则，
—— 控制规则的完整性。
● 子集的并，应该以一定程度?覆盖有关论域 —— 控制规则的?完整性。 0.5.?
5.0
● 规则之间不存在矛盾,
● PID 控制器模糊增益调节模糊控制器应用的模式过程
+
-
k
y
k
y
r
y
PID 控制器模糊规则与推理控制信号
● 模糊 PID调节器过程推理机
Z/Z -1
1
K
2
K
1?
Z
+
-
+
-
e
e?
E
u?U?
模糊量
m
j
m
j
UKu
11
3
/
精确量连续量
k
y
k
y
r
y
3
K
E?
模糊控制在 MATLAB中的实现
设计一模糊控制器使其超调量不超过 1%，输出的上升时间 <0.3。
步骤
1,确定 e,de和 u的论域
2,e,de和 u语言变量的选取
3,规则的制定
4,推理方法的确定
4 5 6.864.15.0 2 2 8.422 sssG
假定被控对象的传递函数为：
1,根据系统实际情况，选择 e,de和 u的论域
e range,[-1 1]
de range,[-0.1 0.1]
u range,[0 2]
2,e,de和 u语言变量的选取
e 8个,NB,NM,NS,NZ,PZ,PS,PM,PB
de 7个,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB
U 7个,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB
利用 MATLAB的 Toolbox工具
e
U NB NM NS NZ PZ PS PM PB
PB PL PM NM NM NM NL NL NB
PM PL PM NM NM NM NS NS NB
PS PL
PM
NS NS NS NS NM NB
Z
PL PM PS
Z Z
NS NM NB
NS PL PM PS PS PS PS NM NB
NM PL PL PS PS PM PM NM NB
de
NB PL PL PL PM PM PM NM NB
3.模糊规则确定
4,隐含和推理方法的制定
隐含采用 ‘ mamdani’方法,‘max-min‘
推理方法,即 ‘ min‘ 方法
去模糊方法：面积中心法。
选择隶属函数的形式,三角型
MATLAB
0.11 -0.1-1 0 2
也可以用 viewsurf菜单命令看模糊控制器的输出量
Scope 2Scope 1
Scope 3
● 模糊系统的稳定性分析
.,.,,2,1
.,,
,.,,,,,
110
2211
ni
xpxppyTh e n
AxAxAxIf
k
i
k
ii
i
kk
ii
是是是Ri:
这是 Takagi— Sugeno一阶模型。改写为：
为了分析模糊系统的稳定性，把常用的一阶模糊系统改写：
.,.,,2,1
)(.,,)( )1(
,)1(.,,,,)1(,)(
1
21
li
kxakxakxTh e n
AnkxAkxAkxIf
i
n
i
i
n
ii
是是是Ri:
进一步，写成矩阵形式：
x(k+1)= Ai x(k)
推理得到的模糊输出：
0100
0000
0000
0010
0001
)]1(,),1(),([)1(
,)(
121
i
n
i
n
ii
i
T
nn
i
n
aaaa
A
nkxkxkxkx
RRARkx
li iili i wkxAwkx 11 /)()1(
n
p
i
p
i pkxAw
l
1
)]1([
是模糊隐含的数目，
li iili i wkxAwkx 11 /)()1(
这是一个模糊系统，可以看成是一个离散系统，它由许多子系统组成。
这系统在什么条件下能够稳定呢？
根据 Lyapunov稳定理论，只要存在一个 公共的正定矩阵 P,使：
0 PAA iTi
则该系统必定全局渐近稳定。
可以证明，此结论是正确的。证明见书本。
举例：
是权值。和模型的输出是是型：考虑一个过程的模糊模
21
222
111
)(1 2 0.1)1(3 6 1.0)(2 5 6.2)1(,)(,
)(6 0 3.0)1(5 8 8.0)(1 7 8.2)1(,)(,
ww
kukxkxkxt h e nAkxifR
kukxkxkxt h e nAkxifR
模糊控制器为：
)1(0 5 3.0)(2 0 5.1(,)(,
)1(4 7 5.0)(1 0 9.2(,)(,
222
111
kxkxkut h enAkxifR
kxkxkut h enAkxifR
）是
）是
)/()]1()1([)1( 212211 wwkxwkxwkx
合成的模糊控制器为：
)/()]()([)( 212211 wwkuwkuwku
合成的总系统
])(2) / [ (
) ] }1()(3 0 2.0)()(9 0 6.0{[
)]1()(3 8 5.0)()(3 4 5.1[
)]1()(3 0 2.0)()(9 0 6.0{[)1(
222121
2222
2121
2121
wwww
kxwkxw
kxwwkxww
kxwkxwkx
l
i
i
i
l
i
i wkxAwkx
11
/)()1(
对照下式：
合成的总系统可以分解如下：
01
19 3.067 2.0,
01
30 2.090 6.0
122211 AAA
)()1( ),()(,
)()1( ),()(,
)()1( ),()(,
22
222211
12
122112
11
111111
kxAkxt h enAAkxifR
kxAkxt h enAAkxifR
kxAkxt h enAAkxifR
和是和是和是
= 0.906 x(k) － 0.302 x(k－ 1)
= 0.672 x(k) － 0.193 x(k－ 1)
= 0.906 x(k) － 0.302 x(k－ 1)
形式上，一个模糊大系统，分成三个模糊子系统。为了保证此系统稳定，必须存在一个正定矩阵 P满足一定的条件。
38.188.0
88.019.4P
0
0
0
2222
1212
1111
PPAA
PPAA
PPAA
T
T
T
目前情况下，我们可以找到正定矩阵 P，
满足：
所以，该系统是可以稳定的。
要注意：这个条件是比较严格的，一般情况下很难予以满足！
要注意：各个模糊子系统稳定，并不能保证整个模糊系统稳定！
举例：
有二个子系统：
)1(5.0)()1( )1(,11 kxkxkxt h e niskxifR
)1(5.0)()1( )1(,22 kxkxkxt h e niskxifR
01
5.01
1A
01
5.01
2A
该二个子系统分别是稳定的。但合成的总系统却是不稳定的。
因为：
5.01
5.01A
是不稳定的。
如果 Ai是 稳定非奇异矩阵,i=1,2,● ● ●,l,如果存在公共正定矩阵 P,使得：
0 PPAA iTi
则 Ai A j是稳定矩阵，就能保证整个系统的稳定。
由于要找的依然是全局正定矩阵，因此其条件仍然是十分苛刻的！
—— 模糊控制完 ——
第一章习题
1,
4,
9,
15.1,
16
● 模糊逻辑控制器的基本结构
● 模糊控制系统的设计
● PID 控制器模糊增益调节
● 模糊系统的稳定性分析
● 利用 MATLAB设计模糊控制器
● 模糊逻辑控制器的基本结构决策逻辑去模糊化知识库过程模糊化模糊控制器
ee?和计算
+
-
模糊推理单元精确值模糊值模糊值精确值
ry
ky
1
,
kkk
krk
eee
yye
k 为：误差和误差的变化定义在采样时刻输出设定值
▲ 模糊化部件
▲ 知识库
▲ 决策逻辑 — 模糊控制系统的核心
▲ 去模糊化部件模糊控制中，模糊系统行为按专家知识，以语言规则描述：
多输入多输出（ MIMO）转化为多输入单输出（ MISO）。
一般规则表示如下：
n
n
nn
nn
n
nn
nn
Cyt h enAxAxAxifR
Cyt h enAxAxAxifR
Cyt h enAxAxAxifR
,,,:
,,,:
,,,:
2211
2
22
22
2
112
1
11
22
1
111
是是，是是是是，是是是是，是是
)()( yxCAR
VUyx
iii B
j
iARi
j
j
ii
ii
或
，用模糊隐含表示：和的论域分别为和
● 模糊控制系统的设计
1,模糊化的策略
▲ 采用单点模糊化
▲ 选择合适的模糊函数
☆ 考虑噪声的概率密度函数。使
nfW?5?
)( u?
U
f
W
n
2
)( uP
1
0
(b)
U
)( uP
1
0
(a)
)(u?
n?2
fW
☆ 对应于输入测量（确定的）的范围，语言变量域中应取多少元素,即 xi 中,i 取何值？一般 5~30。
☆ 模糊变量术语集合的数目选取。在细分和粗分之间进行折中。一般为 2~10。
2,模糊规则的合理调整按照系统的动态行为可以合理地选择和确定模糊规则：
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
i ii iii iv v vi vii viii ix x x i xii 8
根据 e和△ e的方向和大小，选择控制量的增量△ u的大小和方向。
有四种情况：
); x i iv i i iiv( 0 0,4
);xi v i iiii( 0 0,3
);x viii( 0 0,2
);ixv i( 0 0,1
区、、相当于区、、相当于区、、相当于区、、相当于
ee
ee
ee
ee
有交叉点和峰、谷点。
),,( 0 0
),,( 0 0
),,( 0,00 2,
),,( 0,00,1
mieee
kgcee
lhdeee
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，谷点：
，峰点：
交叉点：
控制 元 规则：
1。如果 e和△ e二者都为零，△ u=0,保持现状。
2。如果 e以满意的速率趋向零,△ u=0,保持现状。
3。如果 e不是自校正,△ u不为零，取决于 e和△ e的符号和大小。
● 对交叉点,△ u符号和△ e符号一样。
0,, ujfb,对
0,, ulhd,对
0,, ukgc,对
0,, umie,对
● 对峰、谷点，△ u符号和 e符号一样。
6
。或当接近设定值时，；，大时，要缩短上升时间区，当、、对
00
0ixv i
u
ue
0xviii u区，应防止超调，、、对
●
●
。或当接近设定值时，；，大时，要缩短上升时间区，当、、对
00
0xi v i iiii
u
ue
●
。谷点的峰值，区，应防止超调，减小、、对 0x i iv i i iiv u●
根据以上规则，我们可以选择和设计模糊控制器的规则表
6
规则号 e △ e △ u 参 考 点
1 PB ZE PB a
2 PM ZE PM e
3 PS ZE PS i
4 ZE NB NB b
5 ZE NM NM f
6 ZE NS NS j
7 NB ZE NB c
8 NS ZE NM g
9 ZE ZE NS k
10 ZE PB PB d
11 ZE PM PM h
12 ZE PS PS i
13 ZE ZE ZE 设置点关于语言相平面方法调整规则线性或非线性。表示模糊关系，可以是可以写成：控制规则为是和误差导数是误差
F
keKkeKFkuK
Ct h e nBeAeifR iiii
)](),([)]([
,:
213
调节 K1,K2,K3 可以修正规则。
什么叫语言相平面？
按误差 e(E) 和误差变化 △ e(△ E)语言值和相应的规则，构成语言相平面 E × △ E,
什么叫语言轨迹？
在相平面中，隶属函数为最大的点的连线，
改变 K1,K2,K3 改变相应 语言轨迹，就可调节系统的动态行为（品质）。
13
13
E E
△ E △ E △ E
合适太大,21 KK太小合适,21 KK 合适合适,21 KK
举例：
K3是由 K1,K2 决定的，增加模糊输出语言值，就应增加 K3。
EE
举例：一阶系统的调节。
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPMPSZEZEZE
PBPSPSZEZEZENS
PMPSPSZENSNSNM
PSZEZEZENSNSNB
ZEZEZENSNMNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
△ E
E
△ E
E
上升时间慢，超调量大。
11
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPBPMZEZEZE
PBPMPSZEZEZENM
PMPMPSZENSNMNB
PMZEZEZENSNMNB
ZEZEZENMNMNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
E
△ E
△ E
E
少了一个 NS减少超调。 PM与前图相同。
PBPMPMPSZEZEZE
PBPMPBPBZEZEZE
PBPSPSZENSZENM
PBPMPSZENSNMNB
PBPMPSZENBNB
ZEZEZENBNBNMNB
ZEZEZENSNMNMNB
NB
△ E
△ E
E E
3,模糊规则的完整性、一致性和交换性
● 对过程的每一状态，都能推导出一个合适的控制规则，
—— 控制规则的完整性。
● 子集的并，应该以一定程度?覆盖有关论域 —— 控制规则的?完整性。 0.5.?
5.0
● 规则之间不存在矛盾,
● PID 控制器模糊增益调节模糊控制器应用的模式过程
+
-
k
y
k
y
r
y
PID 控制器模糊规则与推理控制信号
● 模糊 PID调节器过程推理机
Z/Z -1
1
K
2
K
1?
Z
+
-
+
-
e
e?
E
u?U?
模糊量
m
j
m
j
UKu
11
3
/
精确量连续量
k
y
k
y
r
y
3
K
E?
模糊控制在 MATLAB中的实现
设计一模糊控制器使其超调量不超过 1%，输出的上升时间 <0.3。
步骤
1,确定 e,de和 u的论域
2,e,de和 u语言变量的选取
3,规则的制定
4,推理方法的确定
4 5 6.864.15.0 2 2 8.422 sssG
假定被控对象的传递函数为：
1,根据系统实际情况，选择 e,de和 u的论域
e range,[-1 1]
de range,[-0.1 0.1]
u range,[0 2]
2,e,de和 u语言变量的选取
e 8个,NB,NM,NS,NZ,PZ,PS,PM,PB
de 7个,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB
U 7个,NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB
利用 MATLAB的 Toolbox工具
e
U NB NM NS NZ PZ PS PM PB
PB PL PM NM NM NM NL NL NB
PM PL PM NM NM NM NS NS NB
PS PL
PM
NS NS NS NS NM NB
Z
PL PM PS
Z Z
NS NM NB
NS PL PM PS PS PS PS NM NB
NM PL PL PS PS PM PM NM NB
de
NB PL PL PL PM PM PM NM NB
3.模糊规则确定
4,隐含和推理方法的制定
隐含采用 ‘ mamdani’方法,‘max-min‘
推理方法,即 ‘ min‘ 方法
去模糊方法：面积中心法。
选择隶属函数的形式,三角型
MATLAB
0.11 -0.1-1 0 2
也可以用 viewsurf菜单命令看模糊控制器的输出量
Scope 2Scope 1
Scope 3
● 模糊系统的稳定性分析
.,.,,2,1
.,,
,.,,,,,
110
2211
ni
xpxppyTh e n
AxAxAxIf
k
i
k
ii
i
kk
ii
是是是Ri:
这是 Takagi— Sugeno一阶模型。改写为：
为了分析模糊系统的稳定性，把常用的一阶模糊系统改写：
.,.,,2,1
)(.,,)( )1(
,)1(.,,,,)1(,)(
1
21
li
kxakxakxTh e n
AnkxAkxAkxIf
i
n
i
i
n
ii
是是是Ri:
进一步，写成矩阵形式：
x(k+1)= Ai x(k)
推理得到的模糊输出：
0100
0000
0000
0010
0001
)]1(,),1(),([)1(
,)(
121
i
n
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ii
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T
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A
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RRARkx
li iili i wkxAwkx 11 /)()1(
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i
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l
1
)]1([
是模糊隐含的数目，
li iili i wkxAwkx 11 /)()1(
这是一个模糊系统，可以看成是一个离散系统，它由许多子系统组成。
这系统在什么条件下能够稳定呢？
根据 Lyapunov稳定理论，只要存在一个 公共的正定矩阵 P,使：
0 PAA iTi
则该系统必定全局渐近稳定。
可以证明，此结论是正确的。证明见书本。
举例：
是权值。和模型的输出是是型：考虑一个过程的模糊模
21
222
111
)(1 2 0.1)1(3 6 1.0)(2 5 6.2)1(,)(,
)(6 0 3.0)1(5 8 8.0)(1 7 8.2)1(,)(,
ww
kukxkxkxt h e nAkxifR
kukxkxkxt h e nAkxifR
模糊控制器为：
)1(0 5 3.0)(2 0 5.1(,)(,
)1(4 7 5.0)(1 0 9.2(,)(,
222
111
kxkxkut h enAkxifR
kxkxkut h enAkxifR
）是
）是
)/()]1()1([)1( 212211 wwkxwkxwkx
合成的模糊控制器为：
)/()]()([)( 212211 wwkuwkuwku
合成的总系统
])(2) / [ (
) ] }1()(3 0 2.0)()(9 0 6.0{[
)]1()(3 8 5.0)()(3 4 5.1[
)]1()(3 0 2.0)()(9 0 6.0{[)1(
222121
2222
2121
2121
wwww
kxwkxw
kxwwkxww
kxwkxwkx
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i
i
i
l
i
i wkxAwkx
11
/)()1(
对照下式：
合成的总系统可以分解如下：
01
19 3.067 2.0,
01
30 2.090 6.0
122211 AAA
)()1( ),()(,
)()1( ),()(,
)()1( ),()(,
22
222211
12
122112
11
111111
kxAkxt h enAAkxifR
kxAkxt h enAAkxifR
kxAkxt h enAAkxifR
和是和是和是
= 0.906 x(k) － 0.302 x(k－ 1)
= 0.672 x(k) － 0.193 x(k－ 1)
= 0.906 x(k) － 0.302 x(k－ 1)
形式上，一个模糊大系统，分成三个模糊子系统。为了保证此系统稳定，必须存在一个正定矩阵 P满足一定的条件。
38.188.0
88.019.4P
0
0
0
2222
1212
1111
PPAA
PPAA
PPAA
T
T
T
目前情况下，我们可以找到正定矩阵 P，
满足：
所以，该系统是可以稳定的。
要注意：这个条件是比较严格的，一般情况下很难予以满足！
要注意：各个模糊子系统稳定，并不能保证整个模糊系统稳定！
举例：
有二个子系统：
)1(5.0)()1( )1(,11 kxkxkxt h e niskxifR
)1(5.0)()1( )1(,22 kxkxkxt h e niskxifR
01
5.01
1A
01
5.01
2A
该二个子系统分别是稳定的。但合成的总系统却是不稳定的。
因为：
5.01
5.01A
是不稳定的。
如果 Ai是 稳定非奇异矩阵,i=1,2,● ● ●,l,如果存在公共正定矩阵 P,使得：
0 PPAA iTi
则 Ai A j是稳定矩阵，就能保证整个系统的稳定。
由于要找的依然是全局正定矩阵，因此其条件仍然是十分苛刻的！
—— 模糊控制完 ——
第一章习题
1,
4,
9,
15.1,
16
