模糊系统辨识模糊系统辨识的问题分类
1、静态系统的辨识，它包括：
1）参数辨识
2）结构辨识
2、动态系统的辨识
1）结构辨识
2）系统行为的辨识
● 一般情况下的静态模糊辨识问题在一般情况下，规则具有以下的形式：
R,If f(x1是 A1,…,xk是 Ak),Then y = g(x1,x2…,xk)
这里,x1 ～ xk 是前提（前件）变量；
y:是结论（后件）变量；
A1 ～ Ak 是具有非线性的隶属函数的模糊集合。它表示模糊子空间。规则 R在 子空间所组成的空间中推理。
f,连结前件命题的逻辑函数
g,非线性函数，当 x1 ～ xk满足前件条件时，表明 y的值辨识对象输入数据 期望数据模糊规则模糊辨识的基本要求
.,.,,2,1
.,,
,.,,,,,
110
2211
ni
xpxppyT h e n
AxAxAxIf
k
i
k
ii
i
kk
ii
是是是
ix
ikA
ikp
iAix
iU
ix
32121 2T h e n b i g,s m a l l,xxxyxxIf为式中 即为无条件满足。在前提中 可不必列出。3x
在线性的情况下，规则可以写成：
Ri:
这是 Takagi—Sugeno一阶模型。要辨识的内容有：
1） 前件变量 的数目，决定系统的阶次，属于结构辨识
2） 隶属函数 — 前件参数
3） 后件参数在前件中，如果 等于 的整个论域，（即 ），此项可略去,无限定，成为无条件。譬如：
3x
4 4,5 7,0 8,5 10
R2
R3
R1
在输入空间已划分的情况下，模糊辨识的实质就是在所定义的空间下，给出规则的集合。
X
Y举例,
用 3条规则逼近原函数（如右图 )。输入 -输出对的数据已知，这里假定只有 1个输入变量,它被划分为 3个模糊集合,即大、中、小。可描述的规则如下：
R1
R2
R3
If x 是
If x 是
If x 是
big
small
middle
4 10
0 7
4 7 8.5
Then y = 0.2x + 9
Then y = 0.6x + 0.2
Then y = 1.2x - 3
与传统的辨识方法相比，模糊辨识的特点在于：
1）可以用较少的规则来逼近函数；
2）可以用语言变量来表达。
模糊辨识的一种方法及步骤针对 Takagi—Sugeno（ T—S）模型，辨识步骤：
⑴ 选择前件变量
⑵ 前件参数辨识
⑶ 后件参数辨识非线性规划法最小二乘法算法的框架
1
4 7 8,5 10
前件变量的组合前件参数的辨识后件参数的辨识搜索法
small middle big
.,,
,.,,,,,
1
1
1
1
1
0
1
11
22
1
11
kk
kk
xpxppyT h en
AxAxAxIf 是是是
..,
,..,,,,
110
2211
k
n
k
nnn
n
kk
nn
xpxppyTh e n
AxAxAxIf
是是是
★ 后件参数辨识考虑一般化系统，由 n条规则组成：
R1
Rn
k
i
ki
iii
i
R
ii
R
xpxppy
y
y
10式中则
n
i
k
i
k
i
n
i
k
i
ki
ii
k
i
k
i
xAxA
xpxppxAxA
y
1
11
1
1011
)( )(
) ()( )(
得输出：，对输入 ),.,,,( 1 kxx
n
i
k
i
k
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k
i
k
i
i
xAxA
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1
11
11
)( )(
)( )(
令
) (
) (
110
110
ik
i
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i
i
i
n
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ii
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i
i
xpxpp
xpxppy
则当输入数据
ni
yyyYxxxx
imiii
mikiii
,.,,,2,1 ),.,,,,(
),.,,,,( ),.,,,,(
21
2111
给定，
已知，
),.,,,,.,,,,,,,.,,,,,,.,,,,( 211211102010 nkkknn pppppppppP?
后件参数可以用最小二乘法进行计算。
输入与输出的关系用矩阵形式表示：
XPY?
m
xxxx
xxxx
xxxx
X
kn
nmkmmknmmmnmm
nkmknmn
nkmknmn
)1(
1111111
2121211211212
1111111111111
...............
...............
...............
)1(
...............
...............
...............
1
2
1
3
0
2
0
1
0
)1(
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p
p
p
p
p
p
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Y
n
k
n
k
k
k
kn
nmkmmknmmmnmm
nkmknmn
nkmknmn
的参数矩阵是 )1( knmX
n
i
kj
i
kj
i
kj
i
kj
i
ij
xAxA
xAxA
1
11
11
)( )(
)( )(
其中后件参数按最小二乘法计算 YXXXP TT 1)(
★ 前件参数辨识在已知输入空间（变量）划分和后件参数的条件下，给定性能指标，求解非线性规划，使隶属函数的参数最优化，即：
KkniAts
AA
yy
i
k
i
k
,..,,2,1,,..,2,1 10,.
M i n
2
y? 是期望输出维向量。为矩阵；为系数向量；为此处 mYknmXknP )1( 1)1(
★ 前件空间（变量）的划分开始第一步第二步第三步
x1 x i x k
xi-xj
xi-xk
xi -xj-x1
解决 2个问题：
①变量空间的划分；
②模糊子空间的选择,2个
（大、小）,3个（大、中小）或多个 。
步骤 1 把 xi (i=1,2,…k)
划分成 2个模糊子集,从中选择使特性指标为最小的 xi,称 1-i模型的稳态。
用搜索法步骤 2 从稳态开始，将 xi 与其它变量组合,xi –xj,称 2-j
模型，各模型有 4个组合，选其中最小的 1组，形成 2-j的稳态；
稳态稳态稳态步骤 3 将 xi – xj 与其它变量进行 3变量的组合，形成 xi-xj-xk,
选择最优者，直到
1）特性指标达到预定值；或
2）稳态隐含 过预定值
● 模糊聚类 —模糊结构辨识的一种方法基本思想,设置合理的指标，按此指标，确定模糊聚类中心，
使模糊输入空间划分优化。
优点,① 分类可自动进行；
② 可利用非结构知识，实行搜索或智能方法。
原理,假定 p维实数空间有 n个样本（模式），即
pn Rxxx?,.,,,,21
假定结构有 c类，设定目标函数为：
c
i
n
k
ik
m
ikJ
1 1
)(
18(样本）
1
1
c
i
ik?
n
k
ik in
1
0 对所有?
2/1
1
22
22
)),((
]1,0[ )1(
r
j
jikikik
ikik
ikikik
svxvxD
vxd
ggdDg?
式中,]1,0[?
ik? 是第 k个模式属于第 i类的程度，满足：
ⅰ ）
ⅱ ）所有类非空，
m为参数，控制隶属对指标的影响，
ik? 描述第 k个模式（ x K）和聚类中心 vi 之间的距离。
1/1
1
1
mc
i jk
ik
ik
n
k
m
ik
n
k
k
m
ik
i
x
v
1
1
)(
)(
i
n
k
T
ikikik vxvx
1
))((?
xk
vi
siikd
ikD
是 xk 与 vi 之间的距离，
的第二项维数为 r的线性簇，
用标积＜ ·,·＞表示，其大小反映了样本的分布密度。该簇由通过 vi,r 个线性独立变量张成。 r = 1时线性簇的表示rsss,...,,21
g 是 0,1之间参数定义,1) 划分矩阵 U
2) 聚类中心
3)广义扩充矩阵
ikU
kx
ikd ikD
iv is
js
r = 2的情况下几何解释模糊聚类的算法流程计算 v
i
计算∑
i
更新 U
计算 r 个主特征值和相应特征向量
S
j,
j =1,2,… r
| U
t
- U
t +1
| ＜?
初始化,确定 c,r,m,v 和 μ
i k
的初值停止
C = 1,2,…,
( 计算特性指标 )
14
2/1
1
22 )),((
r
j jikikik
svxvxD
)1( 22 ikikik gdDg
c
i
n
k
ik
m
ikJ
1 1
)(
可以证明,只有当 为上述表达式时,特性指标iik v 和?
才能达到最小,
对 求特征值,选择 r个最大的特征值,对应于其中第 j个特征值的特征向量,即为
i
js
结论,模糊聚类比试探性 的搜索法,能更好的划分输入变量空间,
12 回到结构辨识
111
1
2
3
4
5
1
1聚类中心隶属函数 1
2
聚类中心隶属函数 2
3
聚类中心隶属函数 3
4
聚类中心隶属函数 4
5
聚类中心隶属函数 5
1、静态系统的辨识，它包括：
1）参数辨识
2）结构辨识
2、动态系统的辨识
1）结构辨识
2）系统行为的辨识
● 一般情况下的静态模糊辨识问题在一般情况下，规则具有以下的形式：
R,If f(x1是 A1,…,xk是 Ak),Then y = g(x1,x2…,xk)
这里,x1 ～ xk 是前提（前件）变量；
y:是结论（后件）变量；
A1 ～ Ak 是具有非线性的隶属函数的模糊集合。它表示模糊子空间。规则 R在 子空间所组成的空间中推理。
f,连结前件命题的逻辑函数
g,非线性函数，当 x1 ～ xk满足前件条件时，表明 y的值辨识对象输入数据 期望数据模糊规则模糊辨识的基本要求
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在线性的情况下，规则可以写成：
Ri:
这是 Takagi—Sugeno一阶模型。要辨识的内容有：
1） 前件变量 的数目，决定系统的阶次，属于结构辨识
2） 隶属函数 — 前件参数
3） 后件参数在前件中，如果 等于 的整个论域，（即 ），此项可略去,无限定，成为无条件。譬如：
3x
4 4,5 7,0 8,5 10
R2
R3
R1
在输入空间已划分的情况下，模糊辨识的实质就是在所定义的空间下，给出规则的集合。
X
Y举例,
用 3条规则逼近原函数（如右图 )。输入 -输出对的数据已知，这里假定只有 1个输入变量,它被划分为 3个模糊集合,即大、中、小。可描述的规则如下：
R1
R2
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If x 是
If x 是
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Then y = 0.6x + 0.2
Then y = 1.2x - 3
与传统的辨识方法相比，模糊辨识的特点在于：
1）可以用较少的规则来逼近函数；
2）可以用语言变量来表达。
模糊辨识的一种方法及步骤针对 Takagi—Sugeno（ T—S）模型，辨识步骤：
⑴ 选择前件变量
⑵ 前件参数辨识
⑶ 后件参数辨识非线性规划法最小二乘法算法的框架
1
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★ 前件参数辨识在已知输入空间（变量）划分和后件参数的条件下，给定性能指标，求解非线性规划，使隶属函数的参数最优化，即：
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x1 x i x k
xi-xj
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解决 2个问题：
①变量空间的划分；
②模糊子空间的选择,2个
（大、小）,3个（大、中小）或多个 。
步骤 1 把 xi (i=1,2,…k)
划分成 2个模糊子集,从中选择使特性指标为最小的 xi,称 1-i模型的稳态。
用搜索法步骤 2 从稳态开始，将 xi 与其它变量组合,xi –xj,称 2-j
模型，各模型有 4个组合，选其中最小的 1组，形成 2-j的稳态；
稳态稳态稳态步骤 3 将 xi – xj 与其它变量进行 3变量的组合，形成 xi-xj-xk,
选择最优者，直到
1）特性指标达到预定值；或
2）稳态隐含 过预定值
● 模糊聚类 —模糊结构辨识的一种方法基本思想,设置合理的指标，按此指标，确定模糊聚类中心，
使模糊输入空间划分优化。
优点,① 分类可自动进行；
② 可利用非结构知识，实行搜索或智能方法。
原理,假定 p维实数空间有 n个样本（模式），即
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假定结构有 c类，设定目标函数为：
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1 1
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ⅰ ）
ⅱ ）所有类非空，
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用标积＜ ·,·＞表示，其大小反映了样本的分布密度。该簇由通过 vi,r 个线性独立变量张成。 r = 1时线性簇的表示rsss,...,,21
g 是 0,1之间参数定义,1) 划分矩阵 U
2) 聚类中心
3)广义扩充矩阵
ikU
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r = 2的情况下几何解释模糊聚类的算法流程计算 v
i
计算∑
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计算 r 个主特征值和相应特征向量
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初始化,确定 c,r,m,v 和 μ
i k
的初值停止
C = 1,2,…,
( 计算特性指标 )
14
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1
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12 回到结构辨识
111
1
2
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2
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