a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
a10a12a11a14a13a14a15a14a16a18a17 a19a21a20a14a22a14a23a18a24a12a25a14a26a14a11a14a27a18a17 A = (a
ij) a28a21a29
a10a14a30a14a31a12a32a18a33 i
a34a18a35a12a36a14a37
a33 j
a34a38a35a39a36a38a40a39a41a43a42
a25a43a44a43a45a43a46a48a47
a28 aij = 1;a49a43a50 aij = 0a51a53a52a43a54a43a42a43a34a43a55a38a56
a10
a41 A = AT a51
a57a14a58a14a59a14a60 a19 T(v) = Av + v
0 = a61a14a62
a59a14a60 +
a63a14a64a14a51
a65a14a66a14a67 a19 (AB)C = A(BC)
a51a69a68a71a70a48a72a48a73a75a74a71a76a48a77
a19 ABC = (AB)C = A(BC)
a51
a78a18a79 a16a18a17 a19a80a27a14a81 Ax = b a11 a78a18a79 a16a18a17a12a82 [A b]
a51
a31 b
a29 A a11a14a83 a56a12a84a18a85a14a40 a30a12a47 a28
a27a14a81 Ax = b
a86a87a73a14a88
a11a14a89 [A b]
a90 A a41
a45a18a91a12a11a14a92
a51a87a29 [A b] a93a18a94a12a95a14a96a14a97a14a98
a27a14a81
a11
a88a14a99
a59
a51
a56a12a100a14a101
a60 a19a87a102
a73a14a88
a11
a93a14a103a18a104a12a105
a27a14a81a14a106a14a107 x
n a37 x1
a11a14a108a14a109a14a110
a88
a11a14a27
a96a14a51
V a11a14a111 a19 V a30 a42
a106a14a112a14a113
a61a14a62a14a55a18a114
a11
a56a12a84 v1;v2; ;vd a51 V a30a12a115a14a116 a56a12a84 v a117
a73a14a118a87a119
a82a14a120a14a106
a56a12a84
a11
a61a14a62
a106a14a66
a105a14a121a14a51a87a42a14a34a18a56a12a84a18a85a14a40a12a73a14a41a14a122a18a123
a106a14a111
a51
n a124a14a125
a83
a121
a11a14a126a14a127
a121
a19 Det(A)
a86 n! a128
a11a48a129
a51a131a130a48a128a48a117a48a86 a1 an! (det(P) =
1) a11 a105a14a121a14a28a87a132
a30 P
a86a14a42a14a34
a83a14a133a14a60a134a16a18a17 (det P = 1)
a51a87a130a14a42a14a128a14a135a14a136
a30a12a115a14a116a14a137
a34a14a135a14a138a14a117a14a99a14a29
a91
a42
a83a18a30
a51
a139a14a140 a16a18a17 a19a141a102
a42a48a34
a16a75a17a71a107
a125a48a142
a83a48a143
a125
a139a14a144a48a145a14a146
a34a48a147
a16a18a17
a28a141a148a14a130a14a42a48a34a14a147
a16a75a17
a117
a31a12a149
a138a48a150a48a151a48a152a48a28
a120a48a153a48a11a48a16a75a17a71a154a14a82 a139a14a140 a16a18a17
a51
a139a14a140 a16a18a17 AB a11
a135a14a96
a19a156a155a48a157a48a16a75a17 A a11a48a83
a11 a139
a96a48a90 B a11 a125
a11 a139
a96a48a42a48a158a48a28a159a50
a139a48a140 a16a75a17 AB a11
a135a48a96a48a73
a107a48a16a75a17a71a45
a135a48a28a159a160
a82 AB
a51
Cayley-Hamilton a161a14a152
a19 p( ) = det(A I)
a41 p(A) = CAc > XUs a51
a111a14a59a14a60a14a16a18a17 M a19a131a162
a150
a11a48a111
a56a71a84 vj a86a48a163
a11a48a111
a56a71a84 wi a11 a61a48a62
a106a48a66 m
ijwi a105a48a121a48a51
c1v1 + c2v2 + cnvn = d1w1 + d2w2 + dnwn a11a14a164a14a165 a86a18a166 d = Mc a167a14a168
a169
a51 (a52a14a54 n = 2 a47 a28a87a170 v1 = m11w1 + m21w2;v2 = m12w1 + m22w2)
1
a171a14a172 a27a14a81 a19 det(A I) = 0
a51 n a34a14a173a14a86 n a124
a16a18a17 A a11 a171a14a172
a173a14a51
Cholesky a174a12a175a14a176
a19a87a102a134a177
a161
a16a178a17 A a139
a88
a82 A = CCT = (L
pD)(LpD)T
a11
a105
a121a14a51
a179a14a180a14a16a18a17 C a19
a130
a25
a52a18a104a12a61a14a93
a82a14a181a14a182a14a89a14a82a14a179a134a180a14a183
a64
a17
a167a14a184a134a185
a11a134a16a18a17
a28
a179a134a180a14a16a178a17
a105
a155 C
0E + C1S1 + + Cn 1Sn 1 a51 Cx = a184a87a136 c x a28 F
a30a12a11 a171a14a172
a56a12a84a14a51
a101a14a138a14a186a14a175a14a121 Cij a19 a29 n a124a14a125
a83
a121
a30
a28a188a187a14a76a14a95a14a189 aij a167a14a29
a11a18a33 i
a125
a129a18a33 j a83
a28a188a190
a23
a11
a95a14a189
a107a14a162
a150a14a191
a109a14a106 a144 a11 n 1
a124a14a125
a83
a121a14a160
a82 M
ij a28a192a170 Cij = ( 1)i+jMij a28
a154
Cij a82 aij a11 a101a14a138a14a186a14a175a14a121a14a51
Ax = b a11a14a83a18a10 a19 b a144 a82 A a11a14a83 a56a12a84
a11
a61a14a62
a106a14a66
a51
a31 b
a29 A a11a14a83 a85a14a40 C(A)
a30a12a27a14a81a14a106
a73a14a88a14a51
a83
a85a14a40 C(A) = A
a11a14a83
a56a12a84
a11
a167a14a41a14a61a14a62
a106a14a66
a167
a144
a85a14a40a12a51
a73a14a193
a60a14a16a18a17 AB = BA
a51
a145 A;B
a73a14a52a18a104a12a176a14a28a87a50a14a194a14a195a14a41
a45a18a91a12a11 a171a14a172
a56a12a84a14a51
a196a14a16a18a17 a19a197a33 n
a125
a11
a95a43a189
a82 c
1;c2; ;cn a28a198a132a43a186
a126
a52a38a104a39a61a43a95a43a189
a82 n 1
a34 1a11a43a27a38a17 a51
a199
a88
a19a197a27a48a81 Ax = b a11 a199
a88
a82 x = x
p+xn a51a131a68 (
a171
a88 xp)+(a200a75a85a48a40
a30
a95a48a189 xn) a51
a201a14a202a14a203 a19 a201
a138 z = a + ib a11 a201a14a202a14a203 a86 z = a ib a51 zz = jzj2 a51
a25a14a26
a138
a19 cond(A) = (A) = kAkkA 1k =
max= min a51a87a29 Ax = b
a30a12a45
a52
a59a14a60 k (x)k=kxk
a204a14a205 cond(A) a135a18a74
a45
a52
a59a14a60 k bk=kbk
a147a14a51
a25a14a26
a138a14a206a14a84a18a166a12a54
a207a14a208 a11a14a59
a176a14a209a18a210a12a211
a11 a207 a169 a59
a176
a11a14a212a14a213a14a214
a51
a202a14a203a14a215 a214a14a27
a96
a19 a199a134a216
a29
a78a134a217 a11 Krylov
a175a178a85a134a40a218a93
a112
a147a134a176
1
2x
T Ax xT b
a150
a110
a88
a177
a161
a16a219a17 A a11a14a27a14a81 Ax = b a11
a42a18a220
a83a18a221a12a222
a51 (a33a12a223a14a224a14a225 )
a226 a27a14a227a14a16a18a17 a19a219a31a12a228a14a229a14a59
a84 xi a41a14a230
a182 =0 a47
a28a87a194a14a195
a11 a226 a27a14a227
ij a86 xixj
a11
a230
a182
a51a188a41a14a230
a182 x
i a28 = (x x)(x x)T
a11
a230
a182
a86 (a231 ) a177 a161
a11
a51
a145 x
i a86a14a232a14a233
a11
a28
a50a14a194a14a86a14a73a14a52a18a104a12a176
a11
a51
Ax = b a11a14a234 a150a14a235a14a96a14a50
a19
a170 Bj a86a14a236 b a101a14a237 A a11a18a33 j a83 a167a14a238a14a37
a11a14a16a18a17
a28a87a50
a27a14a81
a11
a88
a82 x
j = det(Bj)=det(A) a51
2
R3 a30a12a239 a135 u v a19a87a129 u;v a177 a193
a11
a56a218a84a134a28
a217 a214a134a82 kukkvk j sin j= u;v
a167a134a240
a144
a63a134a125a134a241
a44
a105
a11a178a24
a136a134a51
a145 u = (u
1;u2;u3);v = (v1;v2;v3) a28a87a50 u v a73a178a74a218a236
[i j k; u1 u2 u3; v1 v2 v3] a11a243a242 a125
a83
a121a14a244a87a150a14a245a14a246a14a51
a179a14a180a14a183
a64
a17 S a19 s
21 = 1;s32 = 1; ;s1n = 1
a11a43a133a43a60a48a16a38a17 S
a51a53a194
a11 a171a43a172 a182
a86 1a11
n a34
a171a48a172
a173 e2 ikn a28 k = 0;1; ;n 1 a51
a171a48a172
a56a71a84a48a86 Fourier a16a75a17 F a11a48a83 a56a71a84a48a51
a125
a83
a121 jAj = det(A) a19 a161a14a247 det(I) = 1 a28a12a125
a83
a121
a60
a125a14a248
a59a14a249
a72
a89
a132
a137
a125a14a61a14a62
a45
a250
a99a14a248
a59
a125
a83
a121
a11a14a182
a51
a31 A
a86a14a251a14a252
a16a18a17a12a47 jAj = 0
a51a87a253
a89
a41 jABj = jAjjBj a28
jA 1j = 1=jAj a129 jATj = jAj a51a219a114a12a54 det(A) a11a14a126a14a127 a121a14a86 n! a128
a11a14a129
a28a87a186a14a175a14a121
a127
a121a14a236 n 1 a124a14a125
a83
a121a14a150a14a118a14a119a14a28a87a254a14a255a14a255a14a136 = jdet(A)j a51
a52a18a104
a16a18a17 a19a1a0a12a126
a52a18a104a12a61a14a93a14a95a14a189a14a117
a82
a200
a11a14a16a18a17
a51
a139a14a140
a52a18a104
a16a18a17 a19a3a2a14a16a18a17 a140 D
ii a4a6a5
a16a18a17
a95a14a189a14a230
a82
a200a14a51
a73a14a52a18a104a12a176
a16a18a17 A a19a8a7a6a9
a41 n a34a14a61a14a62a14a55a18a114
a11 a171a14a172
a56a12a84 (a29 S a11a14a83 a56a12a84
a30a11a10
a52a6a12 n
a34a14a99
a91a12a11 a171a14a172 a182 )
a51a87a50 S 1AS = = a171a14a172 a182a14a16a18a17 a51
a52a18a104a12a176 = S 1AS a19 = a171a14a172 a182a14a16a18a17 a51 S = a171a14a172 a56a12a84
a16a18a17
a51 A a7a6a9 a41 n a34
a61a14a62a14a55a18a114
a11 a171a14a172
a56a12a84a6a13 S a73a6a14a14a51 Ak = S kS 1 a51
a56a12a84a18a85a14a40 V a11a6a15 a138
a19 dim(V ) = V a11
a42
a106a14a111a18a30
a56a12a84
a11
a34a14a138a14a51
a139a6a16 a67 a19 A(B + C) = AB + AC
a51a219a68a11a17
a250
a100a14a135a14a90a6a17a14a135a14a100
a250
a65a14a157a14a45a18a91
a51
a36a14a136
a19 xTy = x
1y1 + x2y2 + + xnyn a51
a201
a36a14a136a14a86 xTy a51
a177
a193a18a56a12a84
a11
a36a14a136
a82
a200a14a51 (AB)ij = (A a11a18a33 i a125 ) (B a11a18a33 j a83 ) a51
a124
a215
a105
a16a18a17 U a19 a145
a42a14a34
a27a18a17a14a33 i
a125
a11a6a18
a34
a0
a200a14a95a14a189a14a117
a169a11a19
a29a14a132a14a93a14a42a14a125
a18
a34
a0
a200
a95
a11a6a20a14a44
a28
a91a12a47a6a21
a41a14a42
a0
a200a14a125
a169a11a19
a29a14a200a14a125
a4
a23
a28a3a22
a27a18a17a12a154a14a82
a124
a215
a105
a16a18a17
a51
a171a14a172 a182 a129 a171a14a172
a56a12a84 x a19 Ax = x;x 6= 0 a51a3a13a14a238 det(A I) = 0 a51
Eigshow a19a219a10 a88 2 2 a16a18a17a12a11 a171a14a172 a182a14a129 a251a14a252
a182
a51 (MATLAB or Java)
a94a12a95a14a96
a19
a42a18a220
a83
a148 A a94
a144
a42a14a34a14a93a14a103a18a104a12a105
a16a18a17 U
a23a18a94
a144
a105a14a121 R = rref(A) a11 a125
a24
a246a14a51 A = LU a28a87a132
a30 ‘
ij a86 L
a30a12a11
a135a14a175a14a28a3a23 PA = LU a89 a166 P a52 A a143 a125a14a125
a59a14a60
a28a3a23 EA = R a89 E a73a6a14a14a51
3
a94a12a76
a16a18a17 =
a25a6a26
a16a18a17 E
ij
a19a11a27
a26
a16a18a17
a250
a93
a33a29a28 i;j
a30 (i 6= j) a95a14a189a14a86 ‘ij a11a14a16
a17
a51 EijA a32 A a11a18a33 i a125a6a31a14a76 A a11a18a33 j a125
a11 ‘
ij
a11a6a32
a51
a33a35a34 (
a23
a33a6a36 )xT Ax = 1 a19
a204
a110 A
a86
a177
a161
a11a6a10 a33a6a36 a11a6a37
a86 A a11 a171a14a172 a56a12a84a14a28
a89
a217 a214a134a82 1=
p
a10 (
a52a134a54 kxk = 1 a56a218a84 y = Ax a183 a54a178a166 Eigshow a167a39a38a134a119
a11 a33a40a34
kA 1yk2 = yT (AAT ) 1y = 1 a93
a10a3a37 a217
i)
a41
a138
a16a18a17 eAt = I +At+ (At)2
2! + a132a43a42a48a138
a82 AeAt a10 u0 = Au
a41a48a88 eAtu(0) a51
a174a12a175a14a176 A = LU a19 a99a14a236a14a125
a59a14a60
a148 A a176
a144 U
a28a21a236a6a44a14a135a14a175 ‘ij(a129 ‘ii = 1) a11a14a23 a103a18a104
a16a18a17 L
a73a14a148 U a45
a162a14a82 A
a51
a46a6a47 Fourier a59a14a60a48a28 FFT
a30
a19 Fourier a16a18a17 F
n a174a12a175a14a176
a144 ‘ = log
2 n a34
a16a18a17 S
i
a135a18a74a12a42a14a34
a133a14a60a14a16a18a17
a51a192a130a87a34 Si
a49a6a50
n
2 a191a14a135a14a96a14a28a87a174a11a22 Fnx
a129 F 1
n c a73a14a236 n‘2 a191a14a135a14a96
a150a14a245a14a246a14a51
Fibonacci a138
a19 0;1;1;2;3;5; a20a14a22 F
n = Fn 1 + Fn 2 = ( n1 n2)=( 1
2) a51
a78a14a217a6a51
1 = 1+
p5
2 a86 Fibonacci
a16a18a17
"
1 1
1 0
#a52
a113a14a11 a171a14a172 a182
a51
A a11 a241a14a34
a111a6a53
a175a18a85a14a40
a19 C(A);N(A);C(AT );N(AT )
a51
Fourier a16a18a17 F a19a87a16a18a17 a95 Fjk = e2 ijkn a168
a169 a177
a193
a83 FT F = nI
a28 y = Fc a86
(a73a6a14 ) a54a11a55 Fourier a59a14a60 y = Pcke2 ijkn a51
A a11a57a56 a166
a83
a56a12a84
a19a3a21
a41
a126
a95
a11a14a83a6a10
a22
a83
a73a14a118a14a119
a82a6a58a18a24a12a83a14a11
a61a14a62
a106a14a66
a51
a56
a166
a59
a84 xi a19a71a33 i a83 a29a75a94a71a95a48a100
a21
a41
a126
a95a48a51 n r a34
a59
a84a48a73a43a59
a115a48a116a48a182
a51a156a50 Ax = b
a60
a161a57a61
a120 r
a34
a126a14a59
a95 (a145 a73a14a88a29a62) a51
a83a14a20a14a92 r = n a19a87a83
a56a12a84a14a61a14a62a14a55a18a114a12a51 N(A) = f0g a28
a21
a41
a56
a166
a59
a84a14a51
a125
a20a14a92 r = m a19
a125a178a56a218a84a134a61a134a62a134a55a178a114a218a51 Ax = b a63a40a64a218a41a134a42a134a34a134a88a134a28
a83
a85a134a40a218a86 Rm a51
a20a87a92
a86a14a125
a20a14a92
a23
a83a14a20a14a92
a51
a111a6a53
a161a14a152
a19
a166
a27a14a81 Ax = 0
a73a6a65a14a200a18a85a14a40 N(A) a129 a125a18a85a14a40 C(AT ) a86a6a66
a82a14a177
a193a39a67
(Rn a41
a15
a138
a82 r a129 n r a11a14a45
a66
a177
a193
a11
a175a18a85a14a40 ) a51a68a12a14a236a14a54 AT a28
a83
a85a14a40 C(A) a86
N(AT ) a11a14a177 a193a6a67a14a51
4
Gauss-Jordan a27 a96
a19 a199a48a216
a25a43a26
a59a48a60
a148 [A I] a59a48a82 [I A 1] a110 a169 A a11 a14
a16a75a17 A 1
a11a14a27
a96a14a51
Gram-Schmidt a165a6a69a14a177 a193a14a176
a27
a96
a19 A = QR
a51 A a30a12a83 a56a12a84a14a86a14a61a14a62a14a55a18a114
a11
a28 Q
a30a12a83
a56a12a84
a165a6a69a14a177
a193a14a51 Q a11 a130a14a34
a83
a56a12a84 qj a86 A a11a6a58 j a83 a56a12a84
a11
a61a14a62
a106a14a66
a51
a28 R
a86a14a93a14a103a18a104
a16a18a17
a30a51a1a70a12a161
a19 diag(R) > 0
a51
a10 G a19
a166 m a25 a44 a137 a137 a45 a46 a11 n a34 a35 a36
a11a72a71 a66
a51a87a42 a34a74a73a11a75
a10
a29 a35 a36 a40
a202
a41
n(n 1)=2 a25a134a44 a51a87a42a134a34a48a76
a49
a41 n 1 a25a134a44a134a89a39a21 a41a40a77a39a78a218a51a87a42a134a34 a41a18a56
a10 a11a134a44
a93
a44a14a41
a27
a56a11a79a6a80a14a51
Hankel a16a18a17 H a19 a130
a25a6a81
a52a18a104a12a61a14a93a14a95a14a189a14a230
a82a14a181a14a182a14a11a14a16a18a17a11a10 h
ij a82a6a83
a54 i + j a51
Hermitian a16a18a17 a19a87a20a134a22a134a25a134a26 AH = AT = A a11 a201 a16a178a17 A a28a87a52
a154a134a16a178a17a218a11 a201 a11a40a84
a85 a19 a
ji = aij a51
Hessenberg a16a18a17 H a19 a191a14a52a18a104a12a61a14a95a14a189
a0
a200
a11
a103a18a104
a16a18a17
a51
Hlibert a16a18a17 hilb(n) a51
a16a18a17
a95 Hij = 1=(i + j 1) = R10 xi 1xj 1dx a51
a171a14a172 a182
min a122a14a147
a89a14a25a14a26
a138a14a122
a113a14a11a14a177
a161
a16a18a17
a51
a86
a233
a27a14a16a18a17 P2
L
a19a134a33 n + 1
a125a14a95a14a189
a107 Rn a30
a42a14a34a14a233
a27
a255
a11
a104a12a28
a44
a28
a24 a11
a34a14a138
a245a14a246a14a51
a27
a26
a16a18a17 I(
a23 In) a19a87a126 a52a18a104a12a95a14a189
a82 1
a28
a0a12a126
a52a18a104a12a95a14a189
a82 0 a11a14a16a18a17
a51
a42a14a34a14a41a18a56
a10a12a11
a114a11a87
a16a18a17 a19 m a25a14a44 n
a34a18a35a12a36
a11a18a10a12a11
a114a11a87
a16a18a17
a86
a32
a35a12a36 i a37a18a35a12a36
j a11a14a120a14a25a14a44 a52a6a12a14a42a14a125a18a56a12a84a14a28a87a132
a33 i a83a14a129a18a33 j a83
a95a14a189
a139a6a88 a82 1 a129 1
a51
a99a14a161
a16a18a17 a19 a171a14a172 a182
a41
a177
a41a35a89
a11
a52
a154a14a16a18a17
a51
a61a14a62a14a55a18a114a14a56a12a84
a106 v
1;v2; ;vk
a19 a145 c
1v1 +c2v2 + +ckvk = 0
a144
a233
a31a71a89
a49
a31
a167a14a41 ci = 0 a51
a145 v
1;v2; ;vk a86 A
a11
a125a18a56a12a84a14a28a12a50 Ax = 0 a11 a88
a49
a41 x = 0 a51
a14
a16a18a17 A 1 a19a87a20a134a22 AA 1 = I a129 A 1A = I a11a134a27a178a17 A 1
a51
a145 det(A) = 0
a23 rank(A) < n a23 Ax = 0 a41
a0
a200 a88 a28a87a50 A a99a219a73a72a14 a28a219a68 A a21 a41a72a14
a16 a17
a51
(AB) 1 = B 1A 1 a28 (AT ) 1 = (A 1)T a51 a186a43a175a43a121
a127
a121 (A 1)ij = Cij=det(A)a51
5
a90
a101a14a96
a19 a199a14a216
a42a6a91
a27
a96a14a238a14a37a14a167a6a92a35a93
a11
a88
a11
a42a18a220
a83a18a221a12a222
a51
Jordan a94
a19 J = M 1AM
a51
a145 A
a41 s a34a14a61a14a62a14a232a14a233
a11 a171a14a172
a56a12a84a14a28a219a166a12a194
a11 a242 a79
a247a14a244
a171a87a172
a56a12a84
a16a18a17 M
a238a14a37 J = diag(J1;J2; Js) a51
a16a18a17 a140 J
k= kIk + Nk a28
a132
a30 N
k a86a14a42
a25
a191a14a52a18a104a12a61a14a93
a82 1
a28a87a132a14a194a14a95a14a189
a82 0 a11a14a16a18a17
a28a87a130a14a34
a16a18a17 a140
a117a14a41a14a42a14a34
a171a14a172 a182
k
a129
a42a14a34
a171a14a172
a56a12a84 (1;0; ;0) a51
Kirchho ’s a161
a67 a19a96a95a11a97
a161
a67a14a19
a35a12a36a6a98
a95a11a97 (a97a14a143
a23
a97 a169 )
a86 0 a51
a95a11a99
a161
a67a14a19a96a100
a185
a115a6a101
a77a12a61a35a78
a95a11a102a14a227 (a95a103a99a6a104a6a105 ) a59
a176
a82 0
a51
Kronecker a136
a28a107a106
a84a14a136a57a30
a19 ANB
a51a131a132
a16a75a17 a140 a82 a
ijB
a10 a171a48a172 a182a48a82
p(A) q(B) a51
Krylov a175a18a85a14a40 Kj(A;b) a19 a120 a34a48a175a75a85a48a40a48a166 b;Ab; ;Aj 1b a106 a144 a51 a73a48a236 xj a150a48a138
a182a6a108a6a109 A 1b
a28a3a22
a47 b Ax
j a29a6a110a14a175a18a85a14a40a6a111a12a51 Kj
a11
a42
a106a6a112a14a11a14a111
a49
a204
a110
a29a14a130a14a42
a221a14a30
a236 A a76a14a135a14a51
a52
a147a6a113a14a135a14a88 bx a19a87a110a134a27a134a81 AT Abx = AT b a20a134a22a134a112 a147a39a114
a227 kek2 a25a134a26a134a11
a88 bx a28a87a132
a30
e = b Abx a129 A a11 a167a14a41
a83
a56a12a84a14a117a14a86
a177
a193
a11
a51
a115
a14 A
+ a19 a145 A
a41
a83a14a20a14a92 n
a28a87a50 A+ = (AT A) 1AT a51a219a174a11a22 A+A = In a51
a115
a200a18a85a14a40 N(AT ) a19 a174
a82 yT A = 0T
a28 a167a75a74 AT a11 a200a75a85a48a40 = A a11 a242 a115 a200a75a85a48a40a71a244 a51
a217 a214 kxk a19 xT x a11
a63
a27
a173a14a51 (n a15 a85a14a40
a30
a41a6a116a6a117a6a118a6a119a6a120a14a161a14a152 ) a51
a61a14a62
a106a14a66 a19 cv + dw
a23
Pc
jvj a51a87a41a18a56a12a84
a250
a96
a129
a138a14a135
a137a6a121 a24
a246a14a51
a61a14a62
a59a14a60 T a19
a29 a61 a62
a59 a60 T a23
a28a219a56 a84 v a59 a82 T(v) a28a87a253
a89 a20 a22
a61 a62 a62a72a122
a19
T(cv + dw) = cT(v) + dT(w) a51a3a123
a155a14a19a87a16a18a17
a135a14a96 Av a28a3a124a14a138a18a85a14a40a12a93
a11a6a125 a139
a51
v1;v2; ;vn a61a14a62
a45
a114
a19a3a126
a29a14a99a6a75
a82
a200
a11 c
i a28a3a13a14a238
Pc
ivi = 0 a51
Lucas a138
a19 L
n = 2;1;3;4; a28
a20a14a22 L
n = Ln 1 + Ln 2 = n1 + n2 a28 Fibo-
racci a16a75a17
"
1 1
1 0
#
a11 a171a48a172 a182
1; 2 = (1
p5)
2 a51
a129 Fiboracci
a138
a45
a205 L0 = 2 a51
Markov a16a18a17 M a19 a167a134a41 mij 0 a51
a89
a130
a83a134a129a134a82 1
a51
a52
a113 a171a134a172 a182a134a82 = 1
a51
a145
6
mij > 0 a28a87a50 Mk a11a14a83 a56a12a84
a15a6a109a6a127
a161a6a128a6a129
a11 a171a14a172
a56a12a84 Ms = s > 0 a51
a16a18a17
a135a14a96 AB a19 AB a11a178a33 i a125
a33 j a83
a95a134a189a134a86 A a11a178a33 i a125 B a11a178a33 j a83a134a45 a135
= Paikbkj a51
a83
a56a12a84
a19 AB a11a18a33 j a83 = A
a135 B a11a18a33 j a83 a51a87a125a18a56a12a84
a19 AB a11
a33 i
a125 =A a11a18a33 i a125a14a135 B a51
a83
a135a14a125
a19 AB = P(k a83 )(k
a125 ) a51a71a167a14a41
a120
a91a6a26a6a130a14a161
a247a14a117a14a150
a56
a54a6a131a14a50
a19 ABx = A Bx
a51
A a11a14a112 a147a18a123a12a128a14a121
a19a87a20a134a22 m(A) = 0 a11
a191a134a138
a52
a147
a11
a123a218a128a134a121a134a51 m a11 a173a134a86
a171a134a172 a182
a28
m( ) a86 det(A I) a11 a174a12a175a14a51
a135a14a96
a19 Ax = x
1(
a33 1 a83 )+ +x
n(
a33 n a83 )= a83
a56a12a84
a11a14a106a14a66
a51
a132
a138 AM a129 GM a19 a42a48a34
a171a48a172 a182 a11
a101a48a138
a132
a138 AM a86
a41 a149a48a82 det(A I) = 0
a11
a173
a11a6a132
a138a14a51a103a133
a101a6a132
a138 GM a86a6a22
a171a14a172 a182
a167a14a52a6a12
a11
a61a14a62a14a232a14a233
a11 a171a14a172
a56a12a84
a11
a34a14a138
=( a167a14a52a6a12
a11 a171a14a172
a85a14a40
a11a6a15
a138 ) a51
a135a14a175 ‘ij a19a219a33 j a125
a11 a126
a95 a135 ‘ij a100 a28a87a29 i a125 a148 a132a72a31 a77 a209 a94 a76 (i,j) a151
a11
a95 a189
a19
‘ij=(a94a12a76a14a95 )/(a33 j a125
a126
a95 ) a51
a134a11a135 a19
a42a14a34a14a41 c1;c2; ;cm a34
a181a14a182
a90 m a25a14a44a14a45 a52a6a12
a11
a41a18a56
a10
a51
a136
a200
a16a18a17 N a19 N a11a35a137
a191
a136
a86a14a200
a16a18a17
a28a219a68
a126
a29
a177a35a138
a138 k a13a14a238 Nk = 0 a51
a49
a41
a11
a171a14a172 a182
a86 = 0(k a132 ) a51a3a123
a155
a28a87a52a18a104a12a61
a82
a200
a11
a103a18a104
a16a18a17
a51
a16a18a17a12a11a35a139
a138 kAka19a159a242 l2 a139 a138a43a244a198a86
kAxk
kxk
a11
a52
a113
a205
a182 =
max a51a198a50 kAxk kAkkxka28
kABk kAkkBk a129 kA + Bk kAk + kBk a51 Frobenius a139 a138 kAk2F =PP
a2ij a10 ‘1 a129 ‘1 a11a140a139 a138 a139a72a88 a86 j aij j a83 a30 a95 a189 a129 a11
a52
a113 a182 a129
a125
a30
a95 a189
a129a14a11
a52
a113a14a182
a51
a165a6a69a14a27a14a81 AT Abx = AT b a19 a145 A
a41
a20a14a92 n
a28a14a166
a165a6a69a14a27a14a81
a73a14a238a14a37 Ax = b a11
a52
a147
a113a14a135a14a88a14a51
a27a14a81a6a141a35a142 (A a11a14a83 ) (b Abx)=0
a51
a177
a131
a16a18a17 N a19 NNT = NT N
a28a87a41
a165a6a69a14a177
a193
a11 (a201 ) a171a14a172
a56a12a84a14a51
a200a18a85a14a40 N(A) a19 N(A) = fAx = 0 a11 a88 g a51
a15
a138
a82 n r=(a83
a138 ) rank a51
a200a18a85a14a40
a16a18a17 N a19 N a11a14a83
a86 As = 0 a11 n r a34
a171
a88a14a51
a177
a193
a16a18a17 Q
a86a14a41
a165a6a69
a177
a193
a83
a56a12a84
a11a14a27a18a17
a51 a54a14a86a18a166 QT Q = I a238 QT = Q 1 a51
a16a18a17 Q
a97a18a104
a89
a97a6a143a14a28 a68
7
kQxk = kxk a129 (Qx)T (Qy) = xT y a51a12a167a14a41 j j = 1 a28
a89 a171a14a172
a56a12a84
a177
a193a14a51a11a123
a155 a19
a144a6a145
a28
a81a14a58
a28
a133a14a60
a51
a177
a193a14a175a18a85a14a40
a19 V a30a12a115a14a116
a56a12a84 v a129 W a30 a167a14a41a18a56a12a84 w a117
a177
a193a14a51
a165a6a69a14a177
a193a18a56a12a84 q1;q2; ;qn a19 a36a14a135
a20a14a22 qT
i qi = 1
a129 qT
i qj = 0 (i 6= j) a51
a74
a120
a91
a165a72a69 a177
a193 a56 a84
a149 a82 a83
a56a87a84
a11a219a16 a17 Q
a41 QT Q = I a51
a145 m = n
a28a87a50
QT = Q 1 a89 a29 Rn a30 q1;q2; ;qn a86a14a42
a106a14a165a6a69a14a177
a193
a111a14a19
a130a14a34a18a56a12a84 v a73a87a118a14a119
a82 v = P(vT q
j)qj a51
a5
a136
a19 uvT = a83
a135a18a74a12a125 = a52a14a42a14a34
a16a18a17a12a110a14a92
a51
a146 a139a6a147 a126
a95
a19
a29a18a94a12a95a14a96
a30
a28
a33 j
a34
a126
a95a14a86
a147
a59
a33 j a83a18a30a11a148
a52
a182
a52
a113
a95a14a189a14a51a87a167a14a41
a135a14a175a14a41 j‘ijj 1 a51a3a149
a208
a114
a227
a86a14a73a6a150a6a151
a11 (
a82a6a83
a54
a16a18a17a12a11a14a25a14a26
a138 ) a51
a171
a88 xp a19 Ax = b a11a14a115a14a116 a88
a10 a199 a181 x
p
a11a57a56
a166
a59
a84
a147 a82 0
a51
Pascal a16a18a17 a19 Ps =Pascal(n) a28a87a95a134a189
a82
a113a134a128a134a121a178a220a218a138
i + j 2
i 1
!
a11
a52
a154a134a16
a17
a51 Ps = PLPU
a152a154a153
a61a156a167a48a41
a11 det = 1a11 Pascal
a103a75a104
a16a75a17 (
a155a75a123a71a62a43a122a43a156a43a157a159a158 )a51
a133a14a60a14a16a18a17 P a19a87a102 1;2; ;n a132a6a160
a28
a202
a41 n! a34
a160a14a83
a28
a120 n!
a34
a160a14a83
a52a6a12
a27
a26
a16a18a17
I a11 n! a34a14a125
a160a14a83
a51 PA a107a87a133a14a60 P a132a6a160 A a11 a125a14a28 P a86a14a125
a59a14a60 P
ij
a11
a136a14a51 P a86
a251
a11
a23a6a161
a11 (detP = 1(
a23 1)
a82a6a83
a54a14a52
a60a14a11
a34a14a138 ) a51
A a11a14a126 a95
a83
a56a12a84
a19
a29a48a125a48a176a159a162a71a100
a153
a41
a126
a95
a11a43a163
a91
a83
a56a71a84
a10
a99a48a86
a58a75a24a71a83
a56a71a84
a11a14a106a48a66
a51
a126
a95
a83
a56a12a84a14a86
a83
a85a14a40
a11
a42
a106a14a111
a51
a126
a95 d a19a219a31 a236a14a42a14a125
a143
a125a18a94a12a95
a47
a28a87a52a18a104a12a61a14a93
a18
a34
a0
a200a14a95
a154a14a82a14a126
a95a14a51
Rn a30a12a11 a63
a24 (
a23
a86
a63
a24 ) a19 aT x = 0 a11
a88a14a86a14a42a14a34a6a164a6a165a14a54
a0
a200a14a95 a a11 (n 1) a15
a63
a24
a51
a112 a139
a88
a19 A = QH
a28 Q a82a14a177 a193
a16a18a17
a28 H a82 (a231 ) a177 a161
a16a18a17
a51
a177
a161
a16a18a17 A a19a3a166
a41
a177 a171 a172 a182 a129 a177 a126
a95
a11
a52
a154 a16 a17
a51a87a161 a247
a19a87a16 a17 A
a52 a54
a115 a116 a11
x 6= 0 a28 xT Ax > 0 a27 a144 a233a14a28a87a50
a154 A a82a14a177
a161
a16a18a17
a51
a37
a199a14a216 a a11
a165a14a61a14a93
a11a6a167a6a168 p = a(aT b=aT a) a19 P = aaT =aT a
a41
a92 1
a51
8
a37a14a175a18a85a14a40 S a93
a11a6a167a6a168a14a16a18a17 P a19a3a167a72a168 p = Pb
a86 S a30 a37 b
a52
a109 a11
a36 a28a3a114
a227
e = b Pb a129 S a177 a193 a51
a171a14a172 a182
a86 1 a23 0 a51
a171a14a172
a56a12a84a14a29 S a23 S? a30 a51
a145 A a11a14a83
a56a12a84 = S a11a14a111 a28a87a50 P=A(AT A) 1AT a51
a79
a247a6a14
a16a18a17 A+(Moore
a169 Penrose a14 ) a19 a148 A a11a134a83 a85a134a40
a59a40a170
a37 A a11 a125a178a85a134a40
a11
n m a16a18a17 a28
a89 N(A+) = N(AT )
a51 A+A a129 AA+ a86a14a37a14a125a18a85a14a40
a129a14a83
a85a14a40a12a93
a11
a167a6a168a14a16a18a17
a51 Rank(A+) = rank(A) a51
a228a14a229a14a16a18a17 rand(n)
a23 randn(n)a19 MATLAB a30 a166
a228a43a229a43a182a172a171 a144 a11a43a16a38a17
a51 a52a43a54 rand
a228a14a229a14a182a6a173a14a32 [0;1]
a93
a11
a42a14a158
a139a6a174
a51a87a52a14a54 randn a228a14a229a14a182a6a173a14a32a14a165a6a69a14a177 a129
a139a6a174
a51
a92a14a82 1 a11a14a16a18a17 a19 A = uvT 6= 0
a51
a83a14a129
a125a18a85a14a40 = a165a14a61 cu a129 cv a51
a92 a19 r(A)= a126
a95a14a138
a11
a34a14a138 = a83 a85a14a40
a15
a138 = a125a18a85a14a40
a15
a138a14a51
Rayleigh a175
a19
a52a14a54a14a52
a154a14a16a18a17 A
a28 Rayleigh a175 q(x) = xT Ax=xT x a51 min
q(x) max a51 q(x) a11a14a112a14a182 a29
a45
a12a14a54 min a129 max a11 a171a14a172 a56a12a84 x] a93a6a59a14a37a14a51
a70a12a176
a11
a125a14a124
a215 a16a18a17 R a19 R = rref(A)
a51
a126
a95a14a230
a82 1 a10a87a126
a95a14a93
a24a12a129a14a23a18a24a12a11
a95a14a189
a230
a82 0
a51 R a11 r a34
a0
a200a14a125a18a56a12a84a14a168
a169
a61 A a11 a125a18a85a14a40
a11
a42
a106a14a111
a51
a81a14a58a14a16a18a17 a19 Q = I 2uuT
a51a154a176
a183
a56a12a84 u a177
a81a14a58
a37 Qu = u a51a71a167a14a41a14a29a14a63
a24a11a178
uT x = 0 a30a192a11 a56a71a84 x a117a48a41 Qx = x a28 a174a71a209a48a29a43a22
a81a48a58a48a23
a97a48a98a48a99
a59
a51
a242 Hourseholder
a16a18a17
a244a87a41 QT = Q 1 = Q a51
a20
a14
a16a18a17 A+ a19 a155a48a157 A
a41a48a125
a20a48a92 m
a28 a170 A+ = AT (AAT ) 1 a50a48a41 AA+ = Im a51
a144a6a145 a16a18a17 a19 R =
"
cos sin
sin cos
#
a148a14a63
a24 a144a6a145
a104a12a28 a209 R 1 = RT a148a14a63
a24 a144
a145
a104a12a51 R a86
a177
a193
a16a18a17
a28
a171a14a172 a182a14a82 ei a129 e i
a28
a171a14a172
a56a12a84
a82 (1; i)
a51
Ax = b a11 a125
a10 a19
a130a14a34
a27a14a81
a168
a169
a61 Rn a30a12a11 a42a14a34a14a63
a24a11a10
a29 x a36a14a63
a24a12a45
a193a14a51
a125a18a85a14a40 C(AT ) a19 A a11 a125a18a56a12a84
a11
a167a14a41a14a61a14a62
a106a14a66
a167a14a105
a144 a11
a85a14a40a12a51
a83
a85a14a40
a91a12a153
a51
f(x1; ;xn) a11a6a179 a36
a19 f a11
a42a43a124a172a42a43a138
a82 0
a28a180a113a43a124a172a42a43a138
a16a38a17 (@2f=@x
i@xj=Hessian
a16a18a17 ) a82
a99a14a161
a16a18a17a12a11
a36a14a51
9
Schur a186
a16a18a17 S a19 S = D CA 1B
a28
a169a11a19
a29
"
A B
C D
#
a11 a139a14a140
a94a12a95
a30
a51
Schwarz a99a6a26a14a121
a19 jv wj kvkkwk
a51
a145 A = CT C
a28a87a50 jvT Avj2
(vT Av)(wT Aw) a51
a231a14a161
a16a18a17 A a19
a231 (a177 ) a161
a16a178a17
a86a134a52a134a167a134a41 x;xT Ax 0 a117
a144
a233
a11
a52
a154a134a16a178a17
a51a87a194
a11
a167a14a41
a171a14a172 a182 0 a10a3a21
a41a35a89
a126
a95a14a51
a45 a85 a16a18a17 A a129 B a19
a130a14a34 B a73a35a181
a144 B = M 1AM a11
a105a14a121a14a51 B a129 A a41
a45a18a91a12a11
a171a14a172 a182
a51
a61a14a62a6a131a14a187
a11
a176a6a182
a27
a96
a19 a199a134a216a39a183a39a184
a73a134a125
a71a134a66a134a11a134a44a134a32
a104a218a64a39a185a134a37a39a186a39a187
a144 a53a134a11
a104a218a150a39a188
a112
a147
a144 a53
a56a12a84 x a11a14a27 a96a14a51 (a132
a30
a204
a110a14a20a14a22
a70a11a189
a25a14a26 Ax = b a129 x 0)
a51a87a29a14a42a18a104
a11a14a112
a147
a144 a53
a62
a251a14a252
a16a18a17 A a19
a42a14a34
a21
a41a6a14
a16a18a17a12a11a14a27a18a17a12a19 detA = 0
a251a14a252
a182 a139
a88 (SVD) a19 A = U V T =(a177 a193
a16a18a17 U) (
a52a18a104
a16a18a17 ) ( a177
a193
a16
a17 V T )
a28 U a129 V a11a6a58 r a34
a83
a56a12a84
a139a6a88
a86 C(A) a129 C(AT ) a11a14a165a6a69a14a177 a193
a111
a51
a89
a41 Avi = iui a129 a251a14a252
a182
i > 0 a51 U
a129 V
a100
a24
a167a14a186
a11a14a83
a56a12a84
a139a6a88
a86 A a129 AT
a11
a200a18a85a14a40
a11a14a165a6a69a14a177
a193
a111
a51
a81
a52
a154a14a16a18a17 K a19a87a20a14a22 K
ij = Kji
a11a14a16a18a17 K
a28a87a132
a145 a133
a86 K a28
a171a14a172 a182
a86a6a182a6a190
a138a14a28
a171a14a172
a56a12a84a14a86
a177
a193
a11
a51 eKt a86
a177
a193
a16a18a17
a51
a73a14a88a18a220a11a191 Ax = b a19 b a29 A a11a14a83 a85a14a40
a30
a51
v1; ;vm a11 a61a14a62a6a192
a106 V a19 V a30
a130a14a34a18a56a12a84a14a117a14a86 v1; ;vm a11 a61a14a62
a106a14a66
a51
As = 0 a11 a171 a88
a19
a42a14a34
a56
a166
a59
a84a14a86 si = 1,a132a14a194
a56
a166
a59
a84a14a86 0 a11 a88a14a51
a193
a161a14a152
a19 A = Q QT
a51a1a194a12a52
a154a14a16a18a17 A
a41a35a194
a171a14a172 a182
i
a129a14a165a6a69a14a177
a193
a171a14a172
a56a12a84 qi
a13a14a238 Aqi = iqi a51a87a29a6a185a35a195a6a196
a30
a28 qi a86
a126a6a37
a51
A a11 a193 a19 a171a14a172 a182 f 1; ; ng a11a6a71a14a66 a51
a193
a231a6a197 =j maxj a51
Rn a11a14a165a6a69a14a111 a19 n a124
a27
a26
a16a18a17a12a11a14a83
a56a12a84a14a51 (a29 R3 a30 a160
a149 i;j;k)
a51
10
a198
a62
a16a18a17 K a19 a145
a29a35a54a11a55
a65
a240
a30
a28 x a168
a169
a61a199a122a14a36
a11 a24
a185a6a128a6a129a14a28a21a50 Kx a168
a169 a11
a86a35a111
a195
a149
a236a14a51
a199 a181
a41 K = AT CA a51a87a132
a30 C
a153
a41a6a200
a234
a161
a67a18a30a12a11a6a201
a62a18a220a12a138a14a51
a89 Ax
a86
a166 x a11 a24 a185a14a167a6a202
a171a14a11
a119a6a203 (a204a6a205 ) a51
V a11 a175a18a85a14a40 S a19 V a30a39a11a43a115a172a101 a42a43a34a38a56a39a84a43a175a38a85a43a40a39a51 V a129 Z = f0ga206a43a86 V a11 a175a38a85a43a40a39a51
a175a18a85a14a40
a11a14a129 V + W a19
a68a71a175a75a85a48a40 fv+wjv 2 V;w 2 Wga51a199a165
a129 a19 dim(V +W) =
dimV + dimW a28a87a132
a30 V a129 W a11
a193
a71
a86 f0g a51
a52
a154
a174a12a175a14a176
a19 A = LDLT a129 A = Q QT
a51 D a30a12a177a14a126 a95a14a138
a129 a30a12a177 a171a14a172 a182
a138
a86
a45a18a91a12a11
a51
a52
a154a14a16a18a17 a19 a145 a133 AT = A a129 a
ij = aji a51 A 1 a206a14a86a14a52
a154a14a11
a51a87a167a14a41a14a105
a155 RT R a129
LDLT a129 Q QT a11a14a16a18a17 a86a14a52
a154a14a11
a51 a52
a154a14a16a18a17
a29 a30 a41a35a194
a171a14a172 a182a14a129
a29 Q a30 a41
a165
a69a14a177
a193
a171a14a172
a56a12a84a14a51
Toeplitz a16a18a17 T a19 a52a75a104a71a61
a82a48a181a48a182a48a11a48a16a75a17
a28
a16a75a17
a95a48a189 tij
a49a43a82a43a83
a54 j i a51 Toeplitz
a16a18a17
a29a6a207a14a72a14a151a14a152
a30
a101a14a118a57a61
a47
a40a12a99
a59a14a11
a61a14a62a6a208a6a209a14a51
A a11a6a210 = Aa126 a52a38a104a39a61a43a95a43a189
a11a43a129 = Aa11 a171a43a172 a182a43a11a43a129
a51
a89
a41 TraceAB = TraceBAa51
a145 a133a14a16a18a17 AT a19a71a16a18a17
a95 (AT )ij = Aji a51 AT a86 n m a124a14a51 AT A a86a14a52
a154a14a89
a231
a177
a161
a11a14a16a18a17
a51 AB a129 A 1 a11 a145 a133 a139a6a88 a86 BTAT a129 (AT ) 1 a51
a103a18a104a12a99a6a26a14a121
a19 ku + vk kuk + kvk
a51a87a52a14a54
a16a18a17a6a139
a138a14a28a87a41a14a99a39a26a14a121 kA + Bk
kAk + kBk a51
a103a14a52a18a104
a16a18a17 T a19a87a16a18a17
a95a14a189 tij a20a14a22a14a19 a145 ji jj > 1 a28a87a50 tij = 0 a51 T 1 a126 a52a18a104
a61a18a74a12a93 (
a23 ) a146 a139
a240
a144 a11a14a16a18a17a12a92a14a82 1
a211 a16a18a17 a19 UH = UT = U 1,a165a6a69a14a177
a193
a83
a56a12a84 (Q a11 a201 a11a6a212 a105
a11a35a84a11a213 )
a51
Vandermonde a16a18a17 V a19 V c = b a168
a169
a123a12a128a14a121 p(x) = c0 + + cn 1xn 1 a89
a29 n a34a14a36a14a93 p(xi) = bi a51 Vij = (xi)j 1 a129 det V = Qk>i(xk xi) a51
Rn a30a12a11 a56a12a84 v a19 n a34a35a194a12a138
a11a14a109a14a83 v = (v
1; ;vn) = Rn
a30a12a11
a36a14a51
a56a12a84
a250
a96
a19 a145
a56a218a84 v = (v1;v2; ;vn);w = (w1;w2; ;wn) a28a87a50 v + w =
11
(v1 + w1;v2 + w2; ;vn + wn) = a56a12a84 v;w a167a14a240
a144 a11
a63a14a125a14a241
a44
a105
a11
a52a18a104a12a61a14a51
a56a12a84a18a85a14a40 V a19 a52a14a54 V a30a12a115a14a116a14a137 a34a18a56a12a84 v;w a28a87a61a14a62
a106a14a66 cv + dw
a206a14a86 V a30a12a11
a56a12a84a14a51a87a52a14a54 cv + dw a204
a20a14a22 3.1
a35a12a167a14a168
a169 a11a6a214a14a25
a131a14a50a14a51
a254a14a255a14a255a14a136
a19 A a11
a125 (a23
a83 ) a171 a144
a42a14a34a14a255a14a136
a82 jdet(A)j a11
a254a14a255a14a51
a147a6a209 wjk(t) a23a18a56a12a84 wjk a19 a119
a217 a129
a63a14a64
a47
a40
a37a6a171 a144 w
jk(t) = w00(2jt k) a51a219a166
w00 = (1;1; 1; 1) a28a87a238a14a37a18a56a12a84 ( 1; 1;0;0) a129 (0;0;1; 1) a51
12
a10a12a11a14a13a14a15a14a16a18a17 a19a21a20a14a22a14a23a18a24a12a25a14a26a14a11a14a27a18a17 A = (a
ij) a28a21a29
a10a14a30a14a31a12a32a18a33 i
a34a18a35a12a36a14a37
a33 j
a34a38a35a39a36a38a40a39a41a43a42
a25a43a44a43a45a43a46a48a47
a28 aij = 1;a49a43a50 aij = 0a51a53a52a43a54a43a42a43a34a43a55a38a56
a10
a41 A = AT a51
a57a14a58a14a59a14a60 a19 T(v) = Av + v
0 = a61a14a62
a59a14a60 +
a63a14a64a14a51
a65a14a66a14a67 a19 (AB)C = A(BC)
a51a69a68a71a70a48a72a48a73a75a74a71a76a48a77
a19 ABC = (AB)C = A(BC)
a51
a78a18a79 a16a18a17 a19a80a27a14a81 Ax = b a11 a78a18a79 a16a18a17a12a82 [A b]
a51
a31 b
a29 A a11a14a83 a56a12a84a18a85a14a40 a30a12a47 a28
a27a14a81 Ax = b
a86a87a73a14a88
a11a14a89 [A b]
a90 A a41
a45a18a91a12a11a14a92
a51a87a29 [A b] a93a18a94a12a95a14a96a14a97a14a98
a27a14a81
a11
a88a14a99
a59
a51
a56a12a100a14a101
a60 a19a87a102
a73a14a88
a11
a93a14a103a18a104a12a105
a27a14a81a14a106a14a107 x
n a37 x1
a11a14a108a14a109a14a110
a88
a11a14a27
a96a14a51
V a11a14a111 a19 V a30 a42
a106a14a112a14a113
a61a14a62a14a55a18a114
a11
a56a12a84 v1;v2; ;vd a51 V a30a12a115a14a116 a56a12a84 v a117
a73a14a118a87a119
a82a14a120a14a106
a56a12a84
a11
a61a14a62
a106a14a66
a105a14a121a14a51a87a42a14a34a18a56a12a84a18a85a14a40a12a73a14a41a14a122a18a123
a106a14a111
a51
n a124a14a125
a83
a121
a11a14a126a14a127
a121
a19 Det(A)
a86 n! a128
a11a48a129
a51a131a130a48a128a48a117a48a86 a1 an! (det(P) =
1) a11 a105a14a121a14a28a87a132
a30 P
a86a14a42a14a34
a83a14a133a14a60a134a16a18a17 (det P = 1)
a51a87a130a14a42a14a128a14a135a14a136
a30a12a115a14a116a14a137
a34a14a135a14a138a14a117a14a99a14a29
a91
a42
a83a18a30
a51
a139a14a140 a16a18a17 a19a141a102
a42a48a34
a16a75a17a71a107
a125a48a142
a83a48a143
a125
a139a14a144a48a145a14a146
a34a48a147
a16a18a17
a28a141a148a14a130a14a42a48a34a14a147
a16a75a17
a117
a31a12a149
a138a48a150a48a151a48a152a48a28
a120a48a153a48a11a48a16a75a17a71a154a14a82 a139a14a140 a16a18a17
a51
a139a14a140 a16a18a17 AB a11
a135a14a96
a19a156a155a48a157a48a16a75a17 A a11a48a83
a11 a139
a96a48a90 B a11 a125
a11 a139
a96a48a42a48a158a48a28a159a50
a139a48a140 a16a75a17 AB a11
a135a48a96a48a73
a107a48a16a75a17a71a45
a135a48a28a159a160
a82 AB
a51
Cayley-Hamilton a161a14a152
a19 p( ) = det(A I)
a41 p(A) = CAc > XUs a51
a111a14a59a14a60a14a16a18a17 M a19a131a162
a150
a11a48a111
a56a71a84 vj a86a48a163
a11a48a111
a56a71a84 wi a11 a61a48a62
a106a48a66 m
ijwi a105a48a121a48a51
c1v1 + c2v2 + cnvn = d1w1 + d2w2 + dnwn a11a14a164a14a165 a86a18a166 d = Mc a167a14a168
a169
a51 (a52a14a54 n = 2 a47 a28a87a170 v1 = m11w1 + m21w2;v2 = m12w1 + m22w2)
1
a171a14a172 a27a14a81 a19 det(A I) = 0
a51 n a34a14a173a14a86 n a124
a16a18a17 A a11 a171a14a172
a173a14a51
Cholesky a174a12a175a14a176
a19a87a102a134a177
a161
a16a178a17 A a139
a88
a82 A = CCT = (L
pD)(LpD)T
a11
a105
a121a14a51
a179a14a180a14a16a18a17 C a19
a130
a25
a52a18a104a12a61a14a93
a82a14a181a14a182a14a89a14a82a14a179a134a180a14a183
a64
a17
a167a14a184a134a185
a11a134a16a18a17
a28
a179a134a180a14a16a178a17
a105
a155 C
0E + C1S1 + + Cn 1Sn 1 a51 Cx = a184a87a136 c x a28 F
a30a12a11 a171a14a172
a56a12a84a14a51
a101a14a138a14a186a14a175a14a121 Cij a19 a29 n a124a14a125
a83
a121
a30
a28a188a187a14a76a14a95a14a189 aij a167a14a29
a11a18a33 i
a125
a129a18a33 j a83
a28a188a190
a23
a11
a95a14a189
a107a14a162
a150a14a191
a109a14a106 a144 a11 n 1
a124a14a125
a83
a121a14a160
a82 M
ij a28a192a170 Cij = ( 1)i+jMij a28
a154
Cij a82 aij a11 a101a14a138a14a186a14a175a14a121a14a51
Ax = b a11a14a83a18a10 a19 b a144 a82 A a11a14a83 a56a12a84
a11
a61a14a62
a106a14a66
a51
a31 b
a29 A a11a14a83 a85a14a40 C(A)
a30a12a27a14a81a14a106
a73a14a88a14a51
a83
a85a14a40 C(A) = A
a11a14a83
a56a12a84
a11
a167a14a41a14a61a14a62
a106a14a66
a167
a144
a85a14a40a12a51
a73a14a193
a60a14a16a18a17 AB = BA
a51
a145 A;B
a73a14a52a18a104a12a176a14a28a87a50a14a194a14a195a14a41
a45a18a91a12a11 a171a14a172
a56a12a84a14a51
a196a14a16a18a17 a19a197a33 n
a125
a11
a95a43a189
a82 c
1;c2; ;cn a28a198a132a43a186
a126
a52a38a104a39a61a43a95a43a189
a82 n 1
a34 1a11a43a27a38a17 a51
a199
a88
a19a197a27a48a81 Ax = b a11 a199
a88
a82 x = x
p+xn a51a131a68 (
a171
a88 xp)+(a200a75a85a48a40
a30
a95a48a189 xn) a51
a201a14a202a14a203 a19 a201
a138 z = a + ib a11 a201a14a202a14a203 a86 z = a ib a51 zz = jzj2 a51
a25a14a26
a138
a19 cond(A) = (A) = kAkkA 1k =
max= min a51a87a29 Ax = b
a30a12a45
a52
a59a14a60 k (x)k=kxk
a204a14a205 cond(A) a135a18a74
a45
a52
a59a14a60 k bk=kbk
a147a14a51
a25a14a26
a138a14a206a14a84a18a166a12a54
a207a14a208 a11a14a59
a176a14a209a18a210a12a211
a11 a207 a169 a59
a176
a11a14a212a14a213a14a214
a51
a202a14a203a14a215 a214a14a27
a96
a19 a199a134a216
a29
a78a134a217 a11 Krylov
a175a178a85a134a40a218a93
a112
a147a134a176
1
2x
T Ax xT b
a150
a110
a88
a177
a161
a16a219a17 A a11a14a27a14a81 Ax = b a11
a42a18a220
a83a18a221a12a222
a51 (a33a12a223a14a224a14a225 )
a226 a27a14a227a14a16a18a17 a19a219a31a12a228a14a229a14a59
a84 xi a41a14a230
a182 =0 a47
a28a87a194a14a195
a11 a226 a27a14a227
ij a86 xixj
a11
a230
a182
a51a188a41a14a230
a182 x
i a28 = (x x)(x x)T
a11
a230
a182
a86 (a231 ) a177 a161
a11
a51
a145 x
i a86a14a232a14a233
a11
a28
a50a14a194a14a86a14a73a14a52a18a104a12a176
a11
a51
Ax = b a11a14a234 a150a14a235a14a96a14a50
a19
a170 Bj a86a14a236 b a101a14a237 A a11a18a33 j a83 a167a14a238a14a37
a11a14a16a18a17
a28a87a50
a27a14a81
a11
a88
a82 x
j = det(Bj)=det(A) a51
2
R3 a30a12a239 a135 u v a19a87a129 u;v a177 a193
a11
a56a218a84a134a28
a217 a214a134a82 kukkvk j sin j= u;v
a167a134a240
a144
a63a134a125a134a241
a44
a105
a11a178a24
a136a134a51
a145 u = (u
1;u2;u3);v = (v1;v2;v3) a28a87a50 u v a73a178a74a218a236
[i j k; u1 u2 u3; v1 v2 v3] a11a243a242 a125
a83
a121a14a244a87a150a14a245a14a246a14a51
a179a14a180a14a183
a64
a17 S a19 s
21 = 1;s32 = 1; ;s1n = 1
a11a43a133a43a60a48a16a38a17 S
a51a53a194
a11 a171a43a172 a182
a86 1a11
n a34
a171a48a172
a173 e2 ikn a28 k = 0;1; ;n 1 a51
a171a48a172
a56a71a84a48a86 Fourier a16a75a17 F a11a48a83 a56a71a84a48a51
a125
a83
a121 jAj = det(A) a19 a161a14a247 det(I) = 1 a28a12a125
a83
a121
a60
a125a14a248
a59a14a249
a72
a89
a132
a137
a125a14a61a14a62
a45
a250
a99a14a248
a59
a125
a83
a121
a11a14a182
a51
a31 A
a86a14a251a14a252
a16a18a17a12a47 jAj = 0
a51a87a253
a89
a41 jABj = jAjjBj a28
jA 1j = 1=jAj a129 jATj = jAj a51a219a114a12a54 det(A) a11a14a126a14a127 a121a14a86 n! a128
a11a14a129
a28a87a186a14a175a14a121
a127
a121a14a236 n 1 a124a14a125
a83
a121a14a150a14a118a14a119a14a28a87a254a14a255a14a255a14a136 = jdet(A)j a51
a52a18a104
a16a18a17 a19a1a0a12a126
a52a18a104a12a61a14a93a14a95a14a189a14a117
a82
a200
a11a14a16a18a17
a51
a139a14a140
a52a18a104
a16a18a17 a19a3a2a14a16a18a17 a140 D
ii a4a6a5
a16a18a17
a95a14a189a14a230
a82
a200a14a51
a73a14a52a18a104a12a176
a16a18a17 A a19a8a7a6a9
a41 n a34a14a61a14a62a14a55a18a114
a11 a171a14a172
a56a12a84 (a29 S a11a14a83 a56a12a84
a30a11a10
a52a6a12 n
a34a14a99
a91a12a11 a171a14a172 a182 )
a51a87a50 S 1AS = = a171a14a172 a182a14a16a18a17 a51
a52a18a104a12a176 = S 1AS a19 = a171a14a172 a182a14a16a18a17 a51 S = a171a14a172 a56a12a84
a16a18a17
a51 A a7a6a9 a41 n a34
a61a14a62a14a55a18a114
a11 a171a14a172
a56a12a84a6a13 S a73a6a14a14a51 Ak = S kS 1 a51
a56a12a84a18a85a14a40 V a11a6a15 a138
a19 dim(V ) = V a11
a42
a106a14a111a18a30
a56a12a84
a11
a34a14a138a14a51
a139a6a16 a67 a19 A(B + C) = AB + AC
a51a219a68a11a17
a250
a100a14a135a14a90a6a17a14a135a14a100
a250
a65a14a157a14a45a18a91
a51
a36a14a136
a19 xTy = x
1y1 + x2y2 + + xnyn a51
a201
a36a14a136a14a86 xTy a51
a177
a193a18a56a12a84
a11
a36a14a136
a82
a200a14a51 (AB)ij = (A a11a18a33 i a125 ) (B a11a18a33 j a83 ) a51
a124
a215
a105
a16a18a17 U a19 a145
a42a14a34
a27a18a17a14a33 i
a125
a11a6a18
a34
a0
a200a14a95a14a189a14a117
a169a11a19
a29a14a132a14a93a14a42a14a125
a18
a34
a0
a200
a95
a11a6a20a14a44
a28
a91a12a47a6a21
a41a14a42
a0
a200a14a125
a169a11a19
a29a14a200a14a125
a4
a23
a28a3a22
a27a18a17a12a154a14a82
a124
a215
a105
a16a18a17
a51
a171a14a172 a182 a129 a171a14a172
a56a12a84 x a19 Ax = x;x 6= 0 a51a3a13a14a238 det(A I) = 0 a51
Eigshow a19a219a10 a88 2 2 a16a18a17a12a11 a171a14a172 a182a14a129 a251a14a252
a182
a51 (MATLAB or Java)
a94a12a95a14a96
a19
a42a18a220
a83
a148 A a94
a144
a42a14a34a14a93a14a103a18a104a12a105
a16a18a17 U
a23a18a94
a144
a105a14a121 R = rref(A) a11 a125
a24
a246a14a51 A = LU a28a87a132
a30 ‘
ij a86 L
a30a12a11
a135a14a175a14a28a3a23 PA = LU a89 a166 P a52 A a143 a125a14a125
a59a14a60
a28a3a23 EA = R a89 E a73a6a14a14a51
3
a94a12a76
a16a18a17 =
a25a6a26
a16a18a17 E
ij
a19a11a27
a26
a16a18a17
a250
a93
a33a29a28 i;j
a30 (i 6= j) a95a14a189a14a86 ‘ij a11a14a16
a17
a51 EijA a32 A a11a18a33 i a125a6a31a14a76 A a11a18a33 j a125
a11 ‘
ij
a11a6a32
a51
a33a35a34 (
a23
a33a6a36 )xT Ax = 1 a19
a204
a110 A
a86
a177
a161
a11a6a10 a33a6a36 a11a6a37
a86 A a11 a171a14a172 a56a12a84a14a28
a89
a217 a214a134a82 1=
p
a10 (
a52a134a54 kxk = 1 a56a218a84 y = Ax a183 a54a178a166 Eigshow a167a39a38a134a119
a11 a33a40a34
kA 1yk2 = yT (AAT ) 1y = 1 a93
a10a3a37 a217
i)
a41
a138
a16a18a17 eAt = I +At+ (At)2
2! + a132a43a42a48a138
a82 AeAt a10 u0 = Au
a41a48a88 eAtu(0) a51
a174a12a175a14a176 A = LU a19 a99a14a236a14a125
a59a14a60
a148 A a176
a144 U
a28a21a236a6a44a14a135a14a175 ‘ij(a129 ‘ii = 1) a11a14a23 a103a18a104
a16a18a17 L
a73a14a148 U a45
a162a14a82 A
a51
a46a6a47 Fourier a59a14a60a48a28 FFT
a30
a19 Fourier a16a18a17 F
n a174a12a175a14a176
a144 ‘ = log
2 n a34
a16a18a17 S
i
a135a18a74a12a42a14a34
a133a14a60a14a16a18a17
a51a192a130a87a34 Si
a49a6a50
n
2 a191a14a135a14a96a14a28a87a174a11a22 Fnx
a129 F 1
n c a73a14a236 n‘2 a191a14a135a14a96
a150a14a245a14a246a14a51
Fibonacci a138
a19 0;1;1;2;3;5; a20a14a22 F
n = Fn 1 + Fn 2 = ( n1 n2)=( 1
2) a51
a78a14a217a6a51
1 = 1+
p5
2 a86 Fibonacci
a16a18a17
"
1 1
1 0
#a52
a113a14a11 a171a14a172 a182
a51
A a11 a241a14a34
a111a6a53
a175a18a85a14a40
a19 C(A);N(A);C(AT );N(AT )
a51
Fourier a16a18a17 F a19a87a16a18a17 a95 Fjk = e2 ijkn a168
a169 a177
a193
a83 FT F = nI
a28 y = Fc a86
(a73a6a14 ) a54a11a55 Fourier a59a14a60 y = Pcke2 ijkn a51
A a11a57a56 a166
a83
a56a12a84
a19a3a21
a41
a126
a95
a11a14a83a6a10
a22
a83
a73a14a118a14a119
a82a6a58a18a24a12a83a14a11
a61a14a62
a106a14a66
a51
a56
a166
a59
a84 xi a19a71a33 i a83 a29a75a94a71a95a48a100
a21
a41
a126
a95a48a51 n r a34
a59
a84a48a73a43a59
a115a48a116a48a182
a51a156a50 Ax = b
a60
a161a57a61
a120 r
a34
a126a14a59
a95 (a145 a73a14a88a29a62) a51
a83a14a20a14a92 r = n a19a87a83
a56a12a84a14a61a14a62a14a55a18a114a12a51 N(A) = f0g a28
a21
a41
a56
a166
a59
a84a14a51
a125
a20a14a92 r = m a19
a125a178a56a218a84a134a61a134a62a134a55a178a114a218a51 Ax = b a63a40a64a218a41a134a42a134a34a134a88a134a28
a83
a85a134a40a218a86 Rm a51
a20a87a92
a86a14a125
a20a14a92
a23
a83a14a20a14a92
a51
a111a6a53
a161a14a152
a19
a166
a27a14a81 Ax = 0
a73a6a65a14a200a18a85a14a40 N(A) a129 a125a18a85a14a40 C(AT ) a86a6a66
a82a14a177
a193a39a67
(Rn a41
a15
a138
a82 r a129 n r a11a14a45
a66
a177
a193
a11
a175a18a85a14a40 ) a51a68a12a14a236a14a54 AT a28
a83
a85a14a40 C(A) a86
N(AT ) a11a14a177 a193a6a67a14a51
4
Gauss-Jordan a27 a96
a19 a199a48a216
a25a43a26
a59a48a60
a148 [A I] a59a48a82 [I A 1] a110 a169 A a11 a14
a16a75a17 A 1
a11a14a27
a96a14a51
Gram-Schmidt a165a6a69a14a177 a193a14a176
a27
a96
a19 A = QR
a51 A a30a12a83 a56a12a84a14a86a14a61a14a62a14a55a18a114
a11
a28 Q
a30a12a83
a56a12a84
a165a6a69a14a177
a193a14a51 Q a11 a130a14a34
a83
a56a12a84 qj a86 A a11a6a58 j a83 a56a12a84
a11
a61a14a62
a106a14a66
a51
a28 R
a86a14a93a14a103a18a104
a16a18a17
a30a51a1a70a12a161
a19 diag(R) > 0
a51
a10 G a19
a166 m a25 a44 a137 a137 a45 a46 a11 n a34 a35 a36
a11a72a71 a66
a51a87a42 a34a74a73a11a75
a10
a29 a35 a36 a40
a202
a41
n(n 1)=2 a25a134a44 a51a87a42a134a34a48a76
a49
a41 n 1 a25a134a44a134a89a39a21 a41a40a77a39a78a218a51a87a42a134a34 a41a18a56
a10 a11a134a44
a93
a44a14a41
a27
a56a11a79a6a80a14a51
Hankel a16a18a17 H a19 a130
a25a6a81
a52a18a104a12a61a14a93a14a95a14a189a14a230
a82a14a181a14a182a14a11a14a16a18a17a11a10 h
ij a82a6a83
a54 i + j a51
Hermitian a16a18a17 a19a87a20a134a22a134a25a134a26 AH = AT = A a11 a201 a16a178a17 A a28a87a52
a154a134a16a178a17a218a11 a201 a11a40a84
a85 a19 a
ji = aij a51
Hessenberg a16a18a17 H a19 a191a14a52a18a104a12a61a14a95a14a189
a0
a200
a11
a103a18a104
a16a18a17
a51
Hlibert a16a18a17 hilb(n) a51
a16a18a17
a95 Hij = 1=(i + j 1) = R10 xi 1xj 1dx a51
a171a14a172 a182
min a122a14a147
a89a14a25a14a26
a138a14a122
a113a14a11a14a177
a161
a16a18a17
a51
a86
a233
a27a14a16a18a17 P2
L
a19a134a33 n + 1
a125a14a95a14a189
a107 Rn a30
a42a14a34a14a233
a27
a255
a11
a104a12a28
a44
a28
a24 a11
a34a14a138
a245a14a246a14a51
a27
a26
a16a18a17 I(
a23 In) a19a87a126 a52a18a104a12a95a14a189
a82 1
a28
a0a12a126
a52a18a104a12a95a14a189
a82 0 a11a14a16a18a17
a51
a42a14a34a14a41a18a56
a10a12a11
a114a11a87
a16a18a17 a19 m a25a14a44 n
a34a18a35a12a36
a11a18a10a12a11
a114a11a87
a16a18a17
a86
a32
a35a12a36 i a37a18a35a12a36
j a11a14a120a14a25a14a44 a52a6a12a14a42a14a125a18a56a12a84a14a28a87a132
a33 i a83a14a129a18a33 j a83
a95a14a189
a139a6a88 a82 1 a129 1
a51
a99a14a161
a16a18a17 a19 a171a14a172 a182
a41
a177
a41a35a89
a11
a52
a154a14a16a18a17
a51
a61a14a62a14a55a18a114a14a56a12a84
a106 v
1;v2; ;vk
a19 a145 c
1v1 +c2v2 + +ckvk = 0
a144
a233
a31a71a89
a49
a31
a167a14a41 ci = 0 a51
a145 v
1;v2; ;vk a86 A
a11
a125a18a56a12a84a14a28a12a50 Ax = 0 a11 a88
a49
a41 x = 0 a51
a14
a16a18a17 A 1 a19a87a20a134a22 AA 1 = I a129 A 1A = I a11a134a27a178a17 A 1
a51
a145 det(A) = 0
a23 rank(A) < n a23 Ax = 0 a41
a0
a200 a88 a28a87a50 A a99a219a73a72a14 a28a219a68 A a21 a41a72a14
a16 a17
a51
(AB) 1 = B 1A 1 a28 (AT ) 1 = (A 1)T a51 a186a43a175a43a121
a127
a121 (A 1)ij = Cij=det(A)a51
5
a90
a101a14a96
a19 a199a14a216
a42a6a91
a27
a96a14a238a14a37a14a167a6a92a35a93
a11
a88
a11
a42a18a220
a83a18a221a12a222
a51
Jordan a94
a19 J = M 1AM
a51
a145 A
a41 s a34a14a61a14a62a14a232a14a233
a11 a171a14a172
a56a12a84a14a28a219a166a12a194
a11 a242 a79
a247a14a244
a171a87a172
a56a12a84
a16a18a17 M
a238a14a37 J = diag(J1;J2; Js) a51
a16a18a17 a140 J
k= kIk + Nk a28
a132
a30 N
k a86a14a42
a25
a191a14a52a18a104a12a61a14a93
a82 1
a28a87a132a14a194a14a95a14a189
a82 0 a11a14a16a18a17
a28a87a130a14a34
a16a18a17 a140
a117a14a41a14a42a14a34
a171a14a172 a182
k
a129
a42a14a34
a171a14a172
a56a12a84 (1;0; ;0) a51
Kirchho ’s a161
a67 a19a96a95a11a97
a161
a67a14a19
a35a12a36a6a98
a95a11a97 (a97a14a143
a23
a97 a169 )
a86 0 a51
a95a11a99
a161
a67a14a19a96a100
a185
a115a6a101
a77a12a61a35a78
a95a11a102a14a227 (a95a103a99a6a104a6a105 ) a59
a176
a82 0
a51
Kronecker a136
a28a107a106
a84a14a136a57a30
a19 ANB
a51a131a132
a16a75a17 a140 a82 a
ijB
a10 a171a48a172 a182a48a82
p(A) q(B) a51
Krylov a175a18a85a14a40 Kj(A;b) a19 a120 a34a48a175a75a85a48a40a48a166 b;Ab; ;Aj 1b a106 a144 a51 a73a48a236 xj a150a48a138
a182a6a108a6a109 A 1b
a28a3a22
a47 b Ax
j a29a6a110a14a175a18a85a14a40a6a111a12a51 Kj
a11
a42
a106a6a112a14a11a14a111
a49
a204
a110
a29a14a130a14a42
a221a14a30
a236 A a76a14a135a14a51
a52
a147a6a113a14a135a14a88 bx a19a87a110a134a27a134a81 AT Abx = AT b a20a134a22a134a112 a147a39a114
a227 kek2 a25a134a26a134a11
a88 bx a28a87a132
a30
e = b Abx a129 A a11 a167a14a41
a83
a56a12a84a14a117a14a86
a177
a193
a11
a51
a115
a14 A
+ a19 a145 A
a41
a83a14a20a14a92 n
a28a87a50 A+ = (AT A) 1AT a51a219a174a11a22 A+A = In a51
a115
a200a18a85a14a40 N(AT ) a19 a174
a82 yT A = 0T
a28 a167a75a74 AT a11 a200a75a85a48a40 = A a11 a242 a115 a200a75a85a48a40a71a244 a51
a217 a214 kxk a19 xT x a11
a63
a27
a173a14a51 (n a15 a85a14a40
a30
a41a6a116a6a117a6a118a6a119a6a120a14a161a14a152 ) a51
a61a14a62
a106a14a66 a19 cv + dw
a23
Pc
jvj a51a87a41a18a56a12a84
a250
a96
a129
a138a14a135
a137a6a121 a24
a246a14a51
a61a14a62
a59a14a60 T a19
a29 a61 a62
a59 a60 T a23
a28a219a56 a84 v a59 a82 T(v) a28a87a253
a89 a20 a22
a61 a62 a62a72a122
a19
T(cv + dw) = cT(v) + dT(w) a51a3a123
a155a14a19a87a16a18a17
a135a14a96 Av a28a3a124a14a138a18a85a14a40a12a93
a11a6a125 a139
a51
v1;v2; ;vn a61a14a62
a45
a114
a19a3a126
a29a14a99a6a75
a82
a200
a11 c
i a28a3a13a14a238
Pc
ivi = 0 a51
Lucas a138
a19 L
n = 2;1;3;4; a28
a20a14a22 L
n = Ln 1 + Ln 2 = n1 + n2 a28 Fibo-
racci a16a75a17
"
1 1
1 0
#
a11 a171a48a172 a182
1; 2 = (1
p5)
2 a51
a129 Fiboracci
a138
a45
a205 L0 = 2 a51
Markov a16a18a17 M a19 a167a134a41 mij 0 a51
a89
a130
a83a134a129a134a82 1
a51
a52
a113 a171a134a172 a182a134a82 = 1
a51
a145
6
mij > 0 a28a87a50 Mk a11a14a83 a56a12a84
a15a6a109a6a127
a161a6a128a6a129
a11 a171a14a172
a56a12a84 Ms = s > 0 a51
a16a18a17
a135a14a96 AB a19 AB a11a178a33 i a125
a33 j a83
a95a134a189a134a86 A a11a178a33 i a125 B a11a178a33 j a83a134a45 a135
= Paikbkj a51
a83
a56a12a84
a19 AB a11a18a33 j a83 = A
a135 B a11a18a33 j a83 a51a87a125a18a56a12a84
a19 AB a11
a33 i
a125 =A a11a18a33 i a125a14a135 B a51
a83
a135a14a125
a19 AB = P(k a83 )(k
a125 ) a51a71a167a14a41
a120
a91a6a26a6a130a14a161
a247a14a117a14a150
a56
a54a6a131a14a50
a19 ABx = A Bx
a51
A a11a14a112 a147a18a123a12a128a14a121
a19a87a20a134a22 m(A) = 0 a11
a191a134a138
a52
a147
a11
a123a218a128a134a121a134a51 m a11 a173a134a86
a171a134a172 a182
a28
m( ) a86 det(A I) a11 a174a12a175a14a51
a135a14a96
a19 Ax = x
1(
a33 1 a83 )+ +x
n(
a33 n a83 )= a83
a56a12a84
a11a14a106a14a66
a51
a132
a138 AM a129 GM a19 a42a48a34
a171a48a172 a182 a11
a101a48a138
a132
a138 AM a86
a41 a149a48a82 det(A I) = 0
a11
a173
a11a6a132
a138a14a51a103a133
a101a6a132
a138 GM a86a6a22
a171a14a172 a182
a167a14a52a6a12
a11
a61a14a62a14a232a14a233
a11 a171a14a172
a56a12a84
a11
a34a14a138
=( a167a14a52a6a12
a11 a171a14a172
a85a14a40
a11a6a15
a138 ) a51
a135a14a175 ‘ij a19a219a33 j a125
a11 a126
a95 a135 ‘ij a100 a28a87a29 i a125 a148 a132a72a31 a77 a209 a94 a76 (i,j) a151
a11
a95 a189
a19
‘ij=(a94a12a76a14a95 )/(a33 j a125
a126
a95 ) a51
a134a11a135 a19
a42a14a34a14a41 c1;c2; ;cm a34
a181a14a182
a90 m a25a14a44a14a45 a52a6a12
a11
a41a18a56
a10
a51
a136
a200
a16a18a17 N a19 N a11a35a137
a191
a136
a86a14a200
a16a18a17
a28a219a68
a126
a29
a177a35a138
a138 k a13a14a238 Nk = 0 a51
a49
a41
a11
a171a14a172 a182
a86 = 0(k a132 ) a51a3a123
a155
a28a87a52a18a104a12a61
a82
a200
a11
a103a18a104
a16a18a17
a51
a16a18a17a12a11a35a139
a138 kAka19a159a242 l2 a139 a138a43a244a198a86
kAxk
kxk
a11
a52
a113
a205
a182 =
max a51a198a50 kAxk kAkkxka28
kABk kAkkBk a129 kA + Bk kAk + kBk a51 Frobenius a139 a138 kAk2F =PP
a2ij a10 ‘1 a129 ‘1 a11a140a139 a138 a139a72a88 a86 j aij j a83 a30 a95 a189 a129 a11
a52
a113 a182 a129
a125
a30
a95 a189
a129a14a11
a52
a113a14a182
a51
a165a6a69a14a27a14a81 AT Abx = AT b a19 a145 A
a41
a20a14a92 n
a28a14a166
a165a6a69a14a27a14a81
a73a14a238a14a37 Ax = b a11
a52
a147
a113a14a135a14a88a14a51
a27a14a81a6a141a35a142 (A a11a14a83 ) (b Abx)=0
a51
a177
a131
a16a18a17 N a19 NNT = NT N
a28a87a41
a165a6a69a14a177
a193
a11 (a201 ) a171a14a172
a56a12a84a14a51
a200a18a85a14a40 N(A) a19 N(A) = fAx = 0 a11 a88 g a51
a15
a138
a82 n r=(a83
a138 ) rank a51
a200a18a85a14a40
a16a18a17 N a19 N a11a14a83
a86 As = 0 a11 n r a34
a171
a88a14a51
a177
a193
a16a18a17 Q
a86a14a41
a165a6a69
a177
a193
a83
a56a12a84
a11a14a27a18a17
a51 a54a14a86a18a166 QT Q = I a238 QT = Q 1 a51
a16a18a17 Q
a97a18a104
a89
a97a6a143a14a28 a68
7
kQxk = kxk a129 (Qx)T (Qy) = xT y a51a12a167a14a41 j j = 1 a28
a89 a171a14a172
a56a12a84
a177
a193a14a51a11a123
a155 a19
a144a6a145
a28
a81a14a58
a28
a133a14a60
a51
a177
a193a14a175a18a85a14a40
a19 V a30a12a115a14a116
a56a12a84 v a129 W a30 a167a14a41a18a56a12a84 w a117
a177
a193a14a51
a165a6a69a14a177
a193a18a56a12a84 q1;q2; ;qn a19 a36a14a135
a20a14a22 qT
i qi = 1
a129 qT
i qj = 0 (i 6= j) a51
a74
a120
a91
a165a72a69 a177
a193 a56 a84
a149 a82 a83
a56a87a84
a11a219a16 a17 Q
a41 QT Q = I a51
a145 m = n
a28a87a50
QT = Q 1 a89 a29 Rn a30 q1;q2; ;qn a86a14a42
a106a14a165a6a69a14a177
a193
a111a14a19
a130a14a34a18a56a12a84 v a73a87a118a14a119
a82 v = P(vT q
j)qj a51
a5
a136
a19 uvT = a83
a135a18a74a12a125 = a52a14a42a14a34
a16a18a17a12a110a14a92
a51
a146 a139a6a147 a126
a95
a19
a29a18a94a12a95a14a96
a30
a28
a33 j
a34
a126
a95a14a86
a147
a59
a33 j a83a18a30a11a148
a52
a182
a52
a113
a95a14a189a14a51a87a167a14a41
a135a14a175a14a41 j‘ijj 1 a51a3a149
a208
a114
a227
a86a14a73a6a150a6a151
a11 (
a82a6a83
a54
a16a18a17a12a11a14a25a14a26
a138 ) a51
a171
a88 xp a19 Ax = b a11a14a115a14a116 a88
a10 a199 a181 x
p
a11a57a56
a166
a59
a84
a147 a82 0
a51
Pascal a16a18a17 a19 Ps =Pascal(n) a28a87a95a134a189
a82
a113a134a128a134a121a178a220a218a138
i + j 2
i 1
!
a11
a52
a154a134a16
a17
a51 Ps = PLPU
a152a154a153
a61a156a167a48a41
a11 det = 1a11 Pascal
a103a75a104
a16a75a17 (
a155a75a123a71a62a43a122a43a156a43a157a159a158 )a51
a133a14a60a14a16a18a17 P a19a87a102 1;2; ;n a132a6a160
a28
a202
a41 n! a34
a160a14a83
a28
a120 n!
a34
a160a14a83
a52a6a12
a27
a26
a16a18a17
I a11 n! a34a14a125
a160a14a83
a51 PA a107a87a133a14a60 P a132a6a160 A a11 a125a14a28 P a86a14a125
a59a14a60 P
ij
a11
a136a14a51 P a86
a251
a11
a23a6a161
a11 (detP = 1(
a23 1)
a82a6a83
a54a14a52
a60a14a11
a34a14a138 ) a51
A a11a14a126 a95
a83
a56a12a84
a19
a29a48a125a48a176a159a162a71a100
a153
a41
a126
a95
a11a43a163
a91
a83
a56a71a84
a10
a99a48a86
a58a75a24a71a83
a56a71a84
a11a14a106a48a66
a51
a126
a95
a83
a56a12a84a14a86
a83
a85a14a40
a11
a42
a106a14a111
a51
a126
a95 d a19a219a31 a236a14a42a14a125
a143
a125a18a94a12a95
a47
a28a87a52a18a104a12a61a14a93
a18
a34
a0
a200a14a95
a154a14a82a14a126
a95a14a51
Rn a30a12a11 a63
a24 (
a23
a86
a63
a24 ) a19 aT x = 0 a11
a88a14a86a14a42a14a34a6a164a6a165a14a54
a0
a200a14a95 a a11 (n 1) a15
a63
a24
a51
a112 a139
a88
a19 A = QH
a28 Q a82a14a177 a193
a16a18a17
a28 H a82 (a231 ) a177 a161
a16a18a17
a51
a177
a161
a16a18a17 A a19a3a166
a41
a177 a171 a172 a182 a129 a177 a126
a95
a11
a52
a154 a16 a17
a51a87a161 a247
a19a87a16 a17 A
a52 a54
a115 a116 a11
x 6= 0 a28 xT Ax > 0 a27 a144 a233a14a28a87a50
a154 A a82a14a177
a161
a16a18a17
a51
a37
a199a14a216 a a11
a165a14a61a14a93
a11a6a167a6a168 p = a(aT b=aT a) a19 P = aaT =aT a
a41
a92 1
a51
8
a37a14a175a18a85a14a40 S a93
a11a6a167a6a168a14a16a18a17 P a19a3a167a72a168 p = Pb
a86 S a30 a37 b
a52
a109 a11
a36 a28a3a114
a227
e = b Pb a129 S a177 a193 a51
a171a14a172 a182
a86 1 a23 0 a51
a171a14a172
a56a12a84a14a29 S a23 S? a30 a51
a145 A a11a14a83
a56a12a84 = S a11a14a111 a28a87a50 P=A(AT A) 1AT a51
a79
a247a6a14
a16a18a17 A+(Moore
a169 Penrose a14 ) a19 a148 A a11a134a83 a85a134a40
a59a40a170
a37 A a11 a125a178a85a134a40
a11
n m a16a18a17 a28
a89 N(A+) = N(AT )
a51 A+A a129 AA+ a86a14a37a14a125a18a85a14a40
a129a14a83
a85a14a40a12a93
a11
a167a6a168a14a16a18a17
a51 Rank(A+) = rank(A) a51
a228a14a229a14a16a18a17 rand(n)
a23 randn(n)a19 MATLAB a30 a166
a228a43a229a43a182a172a171 a144 a11a43a16a38a17
a51 a52a43a54 rand
a228a14a229a14a182a6a173a14a32 [0;1]
a93
a11
a42a14a158
a139a6a174
a51a87a52a14a54 randn a228a14a229a14a182a6a173a14a32a14a165a6a69a14a177 a129
a139a6a174
a51
a92a14a82 1 a11a14a16a18a17 a19 A = uvT 6= 0
a51
a83a14a129
a125a18a85a14a40 = a165a14a61 cu a129 cv a51
a92 a19 r(A)= a126
a95a14a138
a11
a34a14a138 = a83 a85a14a40
a15
a138 = a125a18a85a14a40
a15
a138a14a51
Rayleigh a175
a19
a52a14a54a14a52
a154a14a16a18a17 A
a28 Rayleigh a175 q(x) = xT Ax=xT x a51 min
q(x) max a51 q(x) a11a14a112a14a182 a29
a45
a12a14a54 min a129 max a11 a171a14a172 a56a12a84 x] a93a6a59a14a37a14a51
a70a12a176
a11
a125a14a124
a215 a16a18a17 R a19 R = rref(A)
a51
a126
a95a14a230
a82 1 a10a87a126
a95a14a93
a24a12a129a14a23a18a24a12a11
a95a14a189
a230
a82 0
a51 R a11 r a34
a0
a200a14a125a18a56a12a84a14a168
a169
a61 A a11 a125a18a85a14a40
a11
a42
a106a14a111
a51
a81a14a58a14a16a18a17 a19 Q = I 2uuT
a51a154a176
a183
a56a12a84 u a177
a81a14a58
a37 Qu = u a51a71a167a14a41a14a29a14a63
a24a11a178
uT x = 0 a30a192a11 a56a71a84 x a117a48a41 Qx = x a28 a174a71a209a48a29a43a22
a81a48a58a48a23
a97a48a98a48a99
a59
a51
a242 Hourseholder
a16a18a17
a244a87a41 QT = Q 1 = Q a51
a20
a14
a16a18a17 A+ a19 a155a48a157 A
a41a48a125
a20a48a92 m
a28 a170 A+ = AT (AAT ) 1 a50a48a41 AA+ = Im a51
a144a6a145 a16a18a17 a19 R =
"
cos sin
sin cos
#
a148a14a63
a24 a144a6a145
a104a12a28 a209 R 1 = RT a148a14a63
a24 a144
a145
a104a12a51 R a86
a177
a193
a16a18a17
a28
a171a14a172 a182a14a82 ei a129 e i
a28
a171a14a172
a56a12a84
a82 (1; i)
a51
Ax = b a11 a125
a10 a19
a130a14a34
a27a14a81
a168
a169
a61 Rn a30a12a11 a42a14a34a14a63
a24a11a10
a29 x a36a14a63
a24a12a45
a193a14a51
a125a18a85a14a40 C(AT ) a19 A a11 a125a18a56a12a84
a11
a167a14a41a14a61a14a62
a106a14a66
a167a14a105
a144 a11
a85a14a40a12a51
a83
a85a14a40
a91a12a153
a51
f(x1; ;xn) a11a6a179 a36
a19 f a11
a42a43a124a172a42a43a138
a82 0
a28a180a113a43a124a172a42a43a138
a16a38a17 (@2f=@x
i@xj=Hessian
a16a18a17 ) a82
a99a14a161
a16a18a17a12a11
a36a14a51
9
Schur a186
a16a18a17 S a19 S = D CA 1B
a28
a169a11a19
a29
"
A B
C D
#
a11 a139a14a140
a94a12a95
a30
a51
Schwarz a99a6a26a14a121
a19 jv wj kvkkwk
a51
a145 A = CT C
a28a87a50 jvT Avj2
(vT Av)(wT Aw) a51
a231a14a161
a16a18a17 A a19
a231 (a177 ) a161
a16a178a17
a86a134a52a134a167a134a41 x;xT Ax 0 a117
a144
a233
a11
a52
a154a134a16a178a17
a51a87a194
a11
a167a14a41
a171a14a172 a182 0 a10a3a21
a41a35a89
a126
a95a14a51
a45 a85 a16a18a17 A a129 B a19
a130a14a34 B a73a35a181
a144 B = M 1AM a11
a105a14a121a14a51 B a129 A a41
a45a18a91a12a11
a171a14a172 a182
a51
a61a14a62a6a131a14a187
a11
a176a6a182
a27
a96
a19 a199a134a216a39a183a39a184
a73a134a125
a71a134a66a134a11a134a44a134a32
a104a218a64a39a185a134a37a39a186a39a187
a144 a53a134a11
a104a218a150a39a188
a112
a147
a144 a53
a56a12a84 x a11a14a27 a96a14a51 (a132
a30
a204
a110a14a20a14a22
a70a11a189
a25a14a26 Ax = b a129 x 0)
a51a87a29a14a42a18a104
a11a14a112
a147
a144 a53
a62
a251a14a252
a16a18a17 A a19
a42a14a34
a21
a41a6a14
a16a18a17a12a11a14a27a18a17a12a19 detA = 0
a251a14a252
a182 a139
a88 (SVD) a19 A = U V T =(a177 a193
a16a18a17 U) (
a52a18a104
a16a18a17 ) ( a177
a193
a16
a17 V T )
a28 U a129 V a11a6a58 r a34
a83
a56a12a84
a139a6a88
a86 C(A) a129 C(AT ) a11a14a165a6a69a14a177 a193
a111
a51
a89
a41 Avi = iui a129 a251a14a252
a182
i > 0 a51 U
a129 V
a100
a24
a167a14a186
a11a14a83
a56a12a84
a139a6a88
a86 A a129 AT
a11
a200a18a85a14a40
a11a14a165a6a69a14a177
a193
a111
a51
a81
a52
a154a14a16a18a17 K a19a87a20a14a22 K
ij = Kji
a11a14a16a18a17 K
a28a87a132
a145 a133
a86 K a28
a171a14a172 a182
a86a6a182a6a190
a138a14a28
a171a14a172
a56a12a84a14a86
a177
a193
a11
a51 eKt a86
a177
a193
a16a18a17
a51
a73a14a88a18a220a11a191 Ax = b a19 b a29 A a11a14a83 a85a14a40
a30
a51
v1; ;vm a11 a61a14a62a6a192
a106 V a19 V a30
a130a14a34a18a56a12a84a14a117a14a86 v1; ;vm a11 a61a14a62
a106a14a66
a51
As = 0 a11 a171 a88
a19
a42a14a34
a56
a166
a59
a84a14a86 si = 1,a132a14a194
a56
a166
a59
a84a14a86 0 a11 a88a14a51
a193
a161a14a152
a19 A = Q QT
a51a1a194a12a52
a154a14a16a18a17 A
a41a35a194
a171a14a172 a182
i
a129a14a165a6a69a14a177
a193
a171a14a172
a56a12a84 qi
a13a14a238 Aqi = iqi a51a87a29a6a185a35a195a6a196
a30
a28 qi a86
a126a6a37
a51
A a11 a193 a19 a171a14a172 a182 f 1; ; ng a11a6a71a14a66 a51
a193
a231a6a197 =j maxj a51
Rn a11a14a165a6a69a14a111 a19 n a124
a27
a26
a16a18a17a12a11a14a83
a56a12a84a14a51 (a29 R3 a30 a160
a149 i;j;k)
a51
10
a198
a62
a16a18a17 K a19 a145
a29a35a54a11a55
a65
a240
a30
a28 x a168
a169
a61a199a122a14a36
a11 a24
a185a6a128a6a129a14a28a21a50 Kx a168
a169 a11
a86a35a111
a195
a149
a236a14a51
a199 a181
a41 K = AT CA a51a87a132
a30 C
a153
a41a6a200
a234
a161
a67a18a30a12a11a6a201
a62a18a220a12a138a14a51
a89 Ax
a86
a166 x a11 a24 a185a14a167a6a202
a171a14a11
a119a6a203 (a204a6a205 ) a51
V a11 a175a18a85a14a40 S a19 V a30a39a11a43a115a172a101 a42a43a34a38a56a39a84a43a175a38a85a43a40a39a51 V a129 Z = f0ga206a43a86 V a11 a175a38a85a43a40a39a51
a175a18a85a14a40
a11a14a129 V + W a19
a68a71a175a75a85a48a40 fv+wjv 2 V;w 2 Wga51a199a165
a129 a19 dim(V +W) =
dimV + dimW a28a87a132
a30 V a129 W a11
a193
a71
a86 f0g a51
a52
a154
a174a12a175a14a176
a19 A = LDLT a129 A = Q QT
a51 D a30a12a177a14a126 a95a14a138
a129 a30a12a177 a171a14a172 a182
a138
a86
a45a18a91a12a11
a51
a52
a154a14a16a18a17 a19 a145 a133 AT = A a129 a
ij = aji a51 A 1 a206a14a86a14a52
a154a14a11
a51a87a167a14a41a14a105
a155 RT R a129
LDLT a129 Q QT a11a14a16a18a17 a86a14a52
a154a14a11
a51 a52
a154a14a16a18a17
a29 a30 a41a35a194
a171a14a172 a182a14a129
a29 Q a30 a41
a165
a69a14a177
a193
a171a14a172
a56a12a84a14a51
Toeplitz a16a18a17 T a19 a52a75a104a71a61
a82a48a181a48a182a48a11a48a16a75a17
a28
a16a75a17
a95a48a189 tij
a49a43a82a43a83
a54 j i a51 Toeplitz
a16a18a17
a29a6a207a14a72a14a151a14a152
a30
a101a14a118a57a61
a47
a40a12a99
a59a14a11
a61a14a62a6a208a6a209a14a51
A a11a6a210 = Aa126 a52a38a104a39a61a43a95a43a189
a11a43a129 = Aa11 a171a43a172 a182a43a11a43a129
a51
a89
a41 TraceAB = TraceBAa51
a145 a133a14a16a18a17 AT a19a71a16a18a17
a95 (AT )ij = Aji a51 AT a86 n m a124a14a51 AT A a86a14a52
a154a14a89
a231
a177
a161
a11a14a16a18a17
a51 AB a129 A 1 a11 a145 a133 a139a6a88 a86 BTAT a129 (AT ) 1 a51
a103a18a104a12a99a6a26a14a121
a19 ku + vk kuk + kvk
a51a87a52a14a54
a16a18a17a6a139
a138a14a28a87a41a14a99a39a26a14a121 kA + Bk
kAk + kBk a51
a103a14a52a18a104
a16a18a17 T a19a87a16a18a17
a95a14a189 tij a20a14a22a14a19 a145 ji jj > 1 a28a87a50 tij = 0 a51 T 1 a126 a52a18a104
a61a18a74a12a93 (
a23 ) a146 a139
a240
a144 a11a14a16a18a17a12a92a14a82 1
a211 a16a18a17 a19 UH = UT = U 1,a165a6a69a14a177
a193
a83
a56a12a84 (Q a11 a201 a11a6a212 a105
a11a35a84a11a213 )
a51
Vandermonde a16a18a17 V a19 V c = b a168
a169
a123a12a128a14a121 p(x) = c0 + + cn 1xn 1 a89
a29 n a34a14a36a14a93 p(xi) = bi a51 Vij = (xi)j 1 a129 det V = Qk>i(xk xi) a51
Rn a30a12a11 a56a12a84 v a19 n a34a35a194a12a138
a11a14a109a14a83 v = (v
1; ;vn) = Rn
a30a12a11
a36a14a51
a56a12a84
a250
a96
a19 a145
a56a218a84 v = (v1;v2; ;vn);w = (w1;w2; ;wn) a28a87a50 v + w =
11
(v1 + w1;v2 + w2; ;vn + wn) = a56a12a84 v;w a167a14a240
a144 a11
a63a14a125a14a241
a44
a105
a11
a52a18a104a12a61a14a51
a56a12a84a18a85a14a40 V a19 a52a14a54 V a30a12a115a14a116a14a137 a34a18a56a12a84 v;w a28a87a61a14a62
a106a14a66 cv + dw
a206a14a86 V a30a12a11
a56a12a84a14a51a87a52a14a54 cv + dw a204
a20a14a22 3.1
a35a12a167a14a168
a169 a11a6a214a14a25
a131a14a50a14a51
a254a14a255a14a255a14a136
a19 A a11
a125 (a23
a83 ) a171 a144
a42a14a34a14a255a14a136
a82 jdet(A)j a11
a254a14a255a14a51
a147a6a209 wjk(t) a23a18a56a12a84 wjk a19 a119
a217 a129
a63a14a64
a47
a40
a37a6a171 a144 w
jk(t) = w00(2jt k) a51a219a166
w00 = (1;1; 1; 1) a28a87a238a14a37a18a56a12a84 ( 1; 1;0;0) a129 (0;0;1; 1) a51
12
