a0 a1 a2 a3
a4a6a5a6a7a6a8a6a9 3:2
a10a6a11
3:2 A a9a6a12a14a13a6a15a17a16a19a18a6a20 AX = 0
a21
a10a22a11a24a23a26a25a28a27 AX = 0 a9a24a20a26a13a24a15a28a9a26a29a28a30a24a31 A a23a24a32a26a33a28a34a24a35a24a36
a9a24a37
a33
a31a19a38a40a39
X = 0 a23a40a41
a9a40a20a40a31a19a42 A
a23a40a43a40a44a45a33a47a46a19a48 X = 0 a23a40a49a40a35
a20a40a31a19a42 A
a50a51a43a40a44a40a46a19a48
AX = 0 a52a51a53
a12a6a20a6a31a55a54a6a56a6a20 X
a57a6a58a6a27 A a9a6a12a14a13a6a15a17a31a55a59a14a60a17a61a6a62a6a63a6a64a14a65a17a66 a52 a9 a21a6a67
a20
a46a19a68a6a69
a21 a56a6a70a6a63a6a9a6a71a14a13a6a15a17a31
a72a24a73 a16 A a9a24a12a26a13a24a15
a23a26a74 AX = 0
a9a24a66
a52
a9a24a20a26a75a28a76a24a77a24a78a24a9a24a79a24a80a26a13a24a15a28a31a82a81a24a83
N(A) a31
a84a24a85 a66
a52
a9a24a20a26a75a28a76a24a77a24a78
a35
a56a40a71a26a13a40a15a28a31a82a86a24a87a40a20a26a75a47a76 X;Y 2 N(A)
a88 AX =
0;AY = 0 a31 a74
a37
a33a28a89a24a90a24a52 A(X + Y )=0+0=0,A(cX)=c AX=c 0=0 a31a51a91a28a92
X + Y,cX 2N(A) a93 N(A) a83a6a71a14a13a6a15a17a31
a94a6a95
a35a6a96
a16a97a20a14a75a17a76
a52 n a56 a11
a76a6a31 a21a6a67 a20a14a75a17a76 X
a57a6a23 Rn a98 a9a14a75a17a76a6a31 a93 N(A) a23
Rn a9a6a71a14a13a6a15a17a31a19a99a14a13a6a15 C(A) a100a6a23 Rn a9a6a71a14a13a6a15a17a31
a42 AX = b;b6= 0
a46a97a48 AX = b a9a6a20 a50
a77a6a78
a35
a56a6a71a14a13a6a15a17a31a102a101
a52 b = 0 a103
a75a17a76
X = 0 a104a17a23a6a32a6a105
a9a6a20
a46a47a106a14a107
a20a6a108a6a109
a98
a50a14a110a17a111 X = 0 a103a6a46
a20a19a108a6a109
a50
a77a6a78a6a71a14a13a6a15a17a31
3.4 a112a17a113a6a114a14a115 AX = b a9a6a20a6a9a6a116a6a77a6a31
a117 1a16 x+2y+3z = 0
a46a118a88 AX = 0a46a120a119
a98 A=
h
1 2 3
i
a46 X =
2
64 xy
z
3
75 a31
AX = 0 a9a6a20a14a13a6a15 a23a6a121a6a122a6a96
a9
a35
a56a6a123a14a60a17a31 a21 a56a6a123a14a60a17a124
a23 A a9a6a12a14a13a6a15a17a31 a32a6a105 x +
2y + 3z = 6 a9a6a20a14a75a17a76 a100
a77a6a78
a35
a56a6a123a14a60
a46a19a125a6a50a6a23a6a35
a56a6a71a14a13a6a15a17a31
a117 2 a16a19a126a6a127 A =
"
1 2
3 6
#
a9a6a12a6a128a14a13a6a15a17a31
a20a6a16a19a129
a27 AX = 0 a46a19a130a14a131a17a132a6a90
1
"
x1 + 2x2 = 0
3x1 + 6x2 = 0
#
!
"
x1 + 2x2 = 0
0 = 0
#
a133a45a134a47a135
a46
a101
a52a40a35
a56
a32a40a105
a31 a21
a23
a91a47a83a45a136a47a137a40a56
a32a40a105a40a138a45a107a47a27
a136
a35
a56
a32a40a105
a9a40a139a40a140a45a141
a89a45a142
3 a31 a93 x1 + 2x2 = 0 a143 3x1 + 6x2 = 0 a23a24a138
a141a28a9a24a31a19a144a24a79 x
1 + 2x2 = 0 a88
a83
N(A) a31
a126a6a127a6a20a6a9a6a144a6a79a6a9
a35a6a145a6a52a6a146
a9
a32a6a90a6a23a6a147
a65a17a144a6a79a6a135
a35a6a96a6a46a51a88a17a35
a56a6a148a6a20a6a31a19a144a6a79a6a135a6a66
a52
a9
a96a24a57a24a43a26a142a28a130
a21
a35
a148a24a20a24a9a24a149a24a150a24a151a24a152a24a153a24a31a19a61a19a62a24a154 x
2 = 1 a46a19a155 x1 + 2x2 = 0 a156
x2 = 2 a31 a48
a148a6a20 ( 2;1)
a157
a78a6a12a14a13a6a15 N(A) a16
N(A) =fc sjc2R;s =
"
2
1
#
ga31
a158
a121 AX=0 a9a159a148a159a20a159a160a159a161 N(A) a31 a21 a23
a126a159a127 N(A) a9
a35a159a145a159a162a159a163
a9
a32a159a90
a31 N(A)
a23
a21a6a67 a148a6a20a6a9a6a66
a52
a9a6a79a6a80a6a164a6a109a6a31 a21 a56 a117 a71
a98
a46
a61a6a62a14a101
a52a6a35
a56a6a148a6a20
a46
a66
a142
a160a6a161a6a9a6a12
a13a6a15
a23a6a35a6a165
a144a6a79a6a31
a129
a27
a117 1
a98
a9a6a123a14a60
a46
a61a6a62
a52 2 a56a6a148a6a20a6a16 s1=
2
64 21
0
3
75
a46 s2=
2
64 30
1
3
75
a41
a62a6a166
A =
h
1 2 3
i
a9a24a12a26a13a24a15 x + 2y + 3z = 0 a135a24a31 a21 a56a24a123a26a60a28a135a24a9a24a66
a52
a75a28a76a24a167a24a83
s1;s2 a9a6a79a6a80a6a164a6a109a6a31
a168a6a169a6a21 a56 a117 a71
a98
a9a6a148a6a20 s
1;s2
a9a6a148a6a170a6a171a6a172a6a16a19a173a6a174
a46a19a41
a62a6a9a6a175a6a139a6a56
a11
a76
a98
a57a6a111
a52 1 a46 0
a31 a21a159a67
a11
a76
a23a177a176a55a74
a9a159a31a178a61a159a62
a43a179a142a180a147a159a41
a62
a142
a148a159a181a159a9a159a182a6a31
a106
a136
a35
a56
a11
a76 2
a46
3 a48a6a23a14a74 AX = 0 a183
a72 a9a6a31
A =
h
1 2 3
i
a9a14a136
a35
a99
a111a6a52a6a184a6a132 1 a46a19a93 X a9a14a136 a35
a56
a11
a76
a50a24a23a185a176a17a74
a9
a46
a61a6a62a14a101a17a186a6a129a6a187
a52a6a184a6a132
a9a6a188 a67 a99a24a66a6a129a24a189a6a9
a176a17a74a28a11
a76
a147a14a142
a148 a72 a9a24a182 0
a46 1 a31 a158 a121
a59
a60a17a9a6a190a6a56 a117 a71
a46
a61a6a62a6a191
a69a14a192
a9a6a193a6a161 a21
a145a6a130
a148a6a20a6a151a6a126a6a127a6a12a14a13a6a15a17a9a14a194a17a195a6a80a6a31
a117 3,a126a6a127
a142
a59 3 a56a6a37
a33
a9a6a12a14a13a6a15a17a31
A =
"
1 2
3 8
#
a46 B =
"
A
2A
#
=
2
66
64
1 2
3 8
2 4
6 16
3
77
75a46 C =
h
A 2A
i
=
"
1 2 2 4
3 8 6 16
#
a20a159a16 AX = 0 a101
a52
a12a159a20 X=0 a31a196a12a179a13a159a15 N(A) = Z a101
a52a159a35
a56a159a12a179a75a180a76 X=0 a31
2
a74a6a131a17a132a6a90
"
1 2
3 8
# "
x1
x2
#
=
"
0
0
#
!
"
1 2
0 2
# "
x1
x2
#
=
"
0
0
#
a160
"
x1 = 0
x2 = 0
#
a31
a74a17a27a6a32a14a33 A a23a6a43a6a44
a9
a46a19a93
a187
a52a6a119a6a41
a20a6a31 N(A) a101
a111a6a52 X = 0 a31
a129
a27
a37
a33 B a46 N(B) = Z a31 BX = 0 a98 a9a6a197 2 a56 a32a6a105
a63a6a18 X = 0
a46
a175 2
a56
a32a6a105a6a100
a63a6a18 X = 0 a31
a107
a61a6a62a6a198a6a199a6a200
a35
a67
a32a6a105a19a103a22a46
a12a14a13a6a15
a23a6a50
a191a6a201a24a202a6a9a24a31
a107
a61
a62
a147
a37
a33 B a199a6a200 a35a6a203a6a103a6a46
a166a6a12a14a13a6a15
a98
a61a6a62
a113
a129 X a199a6a200a6a4a6a9a6a204a6a205
a165a6a206
a31
a129
a27
a37
a33 C
a124
a50
a141a14a207a208a31
a41a6a23
a166 A a135a6a199a6a200a185a207a208a190a6a99
a46a209a106a6a50a6a23
a190
a203
a31a209a20a14a75a17a76 X
a52
4 a56 a11 a76a6a31 a131a17a132a6a90a6a210 a160a19a197a6a139a6a99 a98a17a211 a157a6a184a6a132a6a46a19a106
a175a6a139a6a56
a53a17a184a6a132
a99
a23a185a176a17a74
a9
C =
"
1 2 2 4
3 8 6 16
#
!U=
"
1 2 2 4
0 2 0 4
#
" " " "
a184a6a132
a99
a176a17a74
a99
a129
a27a177a176a180a74
a201a159a76 x
3;x4 a46
a61a159a62
a43a179a142a180a147
a148 a72 a9a159a182 0
a46 1 a31 a106a179a53a179a176a180a74
a201a159a76 x
1;x2 a48
a74 UX = 0 a147
a65a17a31 a21a6a212 a124
a43a14a142
a160a6a161 N(C)(N(U)) a9a19a139a6a56a6a148a6a20a6a31
a148a6a20
a23 s1=
2
66
64
2
0
1
0
3
77
75
a213
s2 =
2
66
64
0
2
0
1
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75
pivot
variables
free
variables
a59a14a60
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a60a17a218a24a219a6a128a14a222
a21 a56a6a37
a33
a31
1,a189 a130
a75a17a135
a131a17a132a6a90a6a46a19a113a6a184a6a132
a135a14a60a17a9
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a128a6a83 0 a31
2,a130a14a224a17a203a6a225a14a142a17a41
a9
a184a6a132a6a46a19a113a6a184a6a132
a128a6a83 1 a31
a142
a135a6a9 a21a6a67 a201a6a226
a50
a191a6a227a6a201
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a9a6a12a14a75a17a76a6a31a19a12a14a13a6a15a17a230a6a39
a50
a201a6a31
a107
a61a6a62
a130
a135
a60a17a9a6a201a6a226a6a160a6a161 R
a103a6a46
a12a14a13a6a15
a113a6a231a6a232a14a233
a193a14a65a17a16
3
U =
"
1 2 2 4
0 2 0 4
#
!R =
"
1 0 2 0
0 1 0 2
#
a136 1
a203a6a234a6a235
a136 2
a203a6a236
a83a6a4a6a9a14a136 1
a203a6a46
a136 2
a203a6a89a14a142 1=2 a236
a83a6a4a6a9a14a136 2
a203a6a46a51a88
a160 R a31
a162a6a237
a9a6a139a6a56
a32a6a105a6a43a14a142
a128a14a222a17a83 x
1 + 2x3 = 0;x2 + 2x4 = 0
a31
a41
a62a6a238
a163a6a23
a32a6a105 RX = 0 a31 a119
a98 R
a9
a184a6a132
a99
a23a6a239a6a240
a37
a33
a31a55a148a6a20a6a230a6a39
a23 s1;s2 a31 a21 a155 RX=0
a98
a214a6a232a14a233
a193a14a65a17a31
a166
a216a6a217 m n a37 a33 A a46 N(A) a46a17a241 N(A) a98 a9a6a148a6a20a6a171a6a197 a46 a174 a94a6a95 a35a6a96 a16a17a129
a27a6a242a14a215
a37
a33
a151
a114a6a46 AX = 0
a9a6a20a14a101
a52 X = 0 a41
a62a6a9a6a12a14a13a6a15a6a101
a111a6a52a6a35
a56a14a75a17a76
a46a159a88
a12a14a75a17a76a6a31
a157
a78 b = 0 a9a6a99a6a9a6a164a6a109
a23a244a243
a12a6a164a6a109a6a245
a34a244a243
a123a6a246a6a164a6a109a24a245
a46a19a119
a20
a23
a123a6a246a24a9
a88
X = 0 a46a19a125a19a119a6a247a6a248a6a249a6a23a6a50
a123a6a246a6a9a6a31
a21
a145
a123a6a246a6a12a14a13a6a15 Z a9a6a250a6a251
a23a6a231
a70a6a63a6a9
a46
a21
a114a14a115 A
a9a6a99a14a75a17a76
a23
a79a6a80a6a252
a25
a9
a46
a225
a207a208a12a6a164a6a109
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a99
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a158
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a98
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a23
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a52
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a33
a151
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a9
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a31
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a35
a99a6a187
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a145
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3
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a136
a35
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a31
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a46 3
A!
2
64 1 1 2 30 0 4 4
0 0 4 4
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a135
a23 0 a46
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a46
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a59a14a60a17a9
a132a6a223a6a100a6a23 0 a46
a66
a142
a136 2 a99
a131a17a132a6a90a6a50a1a29a1a30a6a130a1a31
a21
a155
4
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a52a6a96a1a33a1a34a6a46
a91a17a83a6a61a6a62a1a35a10a36a17a160a6a161a6a9
a23a6a35
a56a6a37a6a251a6a37
a33
a31
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a166a26a136 3 a99 )
a46a19a155
a136 3
a203
a98
a234a24a235
a136 2
a203
a98
a9
a132a6a223a6a46a19a210
a160
a184a6a132a14a142
a59
a132a6a223
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a46
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a135
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a166
a41
a59a14a60a17a187
a52
a170a6a9
a203a6a43a14a142
a28
a226
a46
a91a17a92a14a75a17a197
a131a17a132
a90
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a33a17a52 3 a203 4
a99
a46a19a125
a101
a52
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a184a6a132
a31
a122a6a32a6a105 AX = 0
a193
a29
a151
a111a6a52
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a213
a46a159a107
a197a6a139a6a56
a32a6a105a1a39a1a40a6a103a6a46a180a41a6a23a185a176a42a41
a39a1a40
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a130
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a90
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a52
a20a6a31a19a129
a52 4
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a23
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a213
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a21
a23
a91a17a83 2
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a31
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2
a213
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a98
a187
a52a159a35
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a52
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a201a6a76 )
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a213
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a158
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,a55 x2=0 a46 x4=1 a46
a158
a121
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a98
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a54
a35
a56a6a20
a57a6a23a6a41
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2
2
66
64
1
1
0
0
3
77
75 + x4
2
66
64
1
0
1
1
3
77
75 =
2
66
64
x2 x4
x2
x4
x4
3
77
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a46
a21
a23
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a184
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a160a6a161a6a9a6a31a19a66
a52
a9a6a20
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a39
a207
a224
a56a6a12a14a13a6a15a17a31
MATLAB a12a58a62a58a63a58a64 a43a26a142a66a65a58a67
a21a24a67 a148a24a20
a46a19a41
a62a58a68
a43a26a142a66a69a71a70
a12a26a13a24a15a28a37
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a23
a21a6a67 a99a6a9a6a79a6a80a6a164a6a109a24a31
a35a58a72
a61a24a62
a52
a207 a148a6a20
a46
a61a24a62a6a124
a43a26a142
a160
a161
a224
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a129
a27
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a57a6a52a6a35
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a52a185a176a17a74
a201a6a76
a46a209a48
a169a1a73a1a74
a52 n a56 a184a6a132
a201
a76
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a213
AX = 0 a9a6a20 a23a6a49a6a35
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a66
a52
a9a6a201a6a76
a57a6a23a6a184a6a132
a201
a76
a46
a21
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a213
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a46a51a88
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a57a6a52a24a184a24a132
a9
a250a1a75a6a59
a46a19a155
a12a1a62a6a160a6a161a6a9a6a182
a113a6a23a6a35
a56 0 a37
a33
a31
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a46a19a119
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"
1 5 7
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a9
a46a19a52
a148a24a20 x
2=1
a31
a74
a75a28a175a58a76a58a77
a90a24a52
9x3=0 a46
a160 x
3=0
a31a24a78
a74 x1+5x2=0 a46
a160 x
1=-5
a31 UX = 0 a9a6a20a6a83a6a150
a89a14a142
a148
a20a6a16
X = x2
2
64 51
0
3
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a23 R3 a98 a9 a35a6a165 a144a6a79
a41a6a23a14a74
a92a6a148a6a20a6a9a6a149a6a150a6a77a6a78
a35
a56
a176a17a74
a201a6a76
a46
N = nulbasis(U) a101 a52a6a35
a99
a61a6a62a6a218a6a219a6a129 U
a210a6a130a14a131a17a132a6a90a6a46a19a210
a160
a184a6a132a14a142
a135
a132a6a223a6a57
a83 0
a46a19a184a6a132
a172a6a83 1 a31 7
a43
a142a12a79a14a131a17a235a6a46a19a184a6a132a14a74 9 a201a19a83 1 a31 a162a1a80a6a113 U a128 R a16
U =
"
1 5 7
0 0 9
#
a128a14a222a17a83 R =
"
1 5 0
0 0 1
#
a21a6a212
a43a14a142a17a69a14a192a12a81
a193a6a161a6a148a6a20 s =
h
5 1 0
i
a82a1a83 a251a6a37
a33
a75a17a197
a131a17a132a6a90a6a210
a160 A a201a6a83 U
a46
a21 a56
a121a6a105a6a23a6a155a6a35
a56 m n a37
a33 A a51a1a84
a9a6a31 a158
a121a6a203
a201a6a226
a46a19a119
a98
a110a17a111a6a203
a201a19a226a22a31
a107a6a107
a197a6a99a6a187
a52a6a184a6a132a6a103a6a46
a218a6a219a6a59
a35
a99a6a31 m n a9 U
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a33
a31
a21a1a86
a52a6a35
a56 4 7 a82a1a83 a251a6a37
a33
a31
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a65a17a31
6
U =
2
66
64
x x x x x x x
0 x x x x x x
0 0 0 0 0 x x
0 0 0 0 0 0 0
3
77
75 a220a24a56 a184a24a132 a201a24a76 a23 x1;x2;x6
a93
a56
a176a28a74
a201a24a76
a23 x3;x4;x5;x7 N(U) a98 a52 4 a56a6a148a6a20
a29a17a30a6a16 a21 a56a6a37
a33
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a241
a12a6a128a14a13a6a15
a23a1a94a10a95a10a96
a97
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a74a180a27
a54a159a56a159a99a179a75a180a76
a57a159a52 4
a56
a11
a76
a46
a91a180a92
a41
a62
a57
a166 R4
a98
a31 (
a50
a166 R3
a98a99a98)
a31
a74
a54a6a56a19a99a14a75a17a76a6a9a14a136 4 a56
a11
a76
a57a6a23 0 a46a19a156
a99a14a75a17a76a6a9a6a86 a169 a9a6a79a6a80a6a164a6a109 { a99a14a13a6a15
a98
a9a6a86
a169 a75a17a76
a46 a41
a9a14a136 4 a56
a11
a76
a57a6a23 0 a31 a99a14a13a6a15 C(U) a23a14a74
a66
a52
a251
a46 b = (b1;b2;b3;0)
a9a14a75a17a76a6a77a6a78a6a31a47a129
a27
a21a6a67 a75a17a76a6a61a6a62
a130
a75a17a175a1a15a1a77
a90
a20 UX = b a31 a21a6a67 a75a17a76 b
a23 7 a56
a99a14a75a17a76a6a9a6a66
a52a6a43a1a19
a9a19a79a6a80a6a164a6a109a6a31
a12a179a13a159a15 N(U)
a23 R7 a9 a35 a56a159a71a179a13a159a15a180a31 a129 a27 a54a159a56 a176a180a74 a201a159a76a159a167 a52a159a35 a56a159a148a159a20 a46 UX =
0 a9a6a20a6a108a6a109 a23a14a74
a93
a56a6a148a6a20a6a9a6a66
a52
a79a6a80a6a164a6a109a6a77a6a78a6a9a6a31
1,a74a17a27
a136 3
a46 4 a46 5 a46 7 a99a6a187 a52a6a184a6a132a6a46
a91a17a92
a176a17a74
a201a6a76a6a83 x
3;x4;x5;x7
a31
2,a87 a35
a56
a176a17a74
a201a6a76a6a83 1
a46a19a119a1a100
a9
a176a17a74
a201a6a76a6a87a6a182a6a167a6a83 0 a31
3,a129 a27a6a184a6a132
a201a6a76 x
1;x2;x6
a20 UX = 0 a31
4,a21 a147
a65a14a207a208a12a14a13a6a15a17a37
a33 N a98 4 a56a6a148a6a20 a98 a9 a35
a56a6a31
a173a6a174
a46
a61a6a62
a43a14a142
a160a6a161 a82a1a83 a251a6a37
a33
a98
a9
a53
a12
a203
a31 a21a6a67
a53
a12
a203
a98
a9a14a136
a35
a56
a53
a12a6a9
a132a6a223
a83
a184a6a132a6a46a19a41
a62a1a101 a82a1a83 a251a14a75a17a59a1a102a6a99a24a31 a158a1a103 a9
a203
a201a6a226 (a166a6a5a10a104a12a63a1a64 plu
a98 )
a43a6a210
a160a6a54a6a56
a184a6a132a14a142
a59a6a9
a132a6a223
a167a6a128a6a83 0 a31
a158
a121a58a105a58a65a24a184a24a132
a150
a46
a61a24a62
a43a26a142
a160a24a161
a35
a56
a53
a103 a70a24a63a40a9 a72a58a106 a31a19a154 A a9a24a99a24a150a24a202
a27a24a203
a150
a46 a100a14a88 n > m a46
a21
a103a1a107a10a108a17a52a6a35
a56
a176a17a74
a201a6a76 a31 AX=0
a162a10a108a17a52a6a35
a56a6a148a6a20
a46a66a56a6a23
a53
a12a6a9a6a31
3B a42 AX = 0 a9a1a2 a156
a76a6a9a6a56a6a150a6a202
a27a6a32a6a105
a9a6a56a6a150 (A a9a6a99a6a150a6a202
a27a6a203
a150 )
a46a19a48a6a41a6a52
a53
a12a6a20a6a31
a226a10a109a12a110
a114 m n a37 a33
a9a6a12a14a13a6a15
a98a12a111
a52a14a53
a12a14a75a17a76a6a31a51a91a28a83
a184a24a132
a56a24a150
a50
a191a1a112
a121 m; a107
a108a17a52 n m a56 a176a17a74
a201a6a76a6a31 (a37
a33
a101
a52 m a203a6a46a209a106
a54
a203a6a50
a191
a52
a139a6a56
a184a6a132
a31 )
a107
a39
a34a6a242
a21
a203
a187
a52a6a184a6a132a6a46
a21a6a169a1a73a1a74 a78
a52a6a35
a56
a176a17a74
a201a6a76a6a31 a94a6a95
a35a6a96
a16
a107a17a52a6a35
a56
a176a17a74
a201a6a76
a103a6a46
a43
a154
a41
a83 1
a46a19a48a6a32a6a105 AX = 0 a52a6a35
a56
a53
a12a6a20a6a31
a70a1a113
a114a6a35
a59a6a16 a21a1a86
a162a14a215a17a52
a56 m a56
a184a6a132
a31 n > m
a103a6a46 AX = 0 a107a10a108a17a52a6a35
a56
a176
7
a74
a201a6a76
a213
a35
a56
a53
a12a6a20a6a31a209a133a14a134a17a135
a46a209a41a19a52
a252a1a114
a215
a56a6a20a6a31 a21
a23
a91a17a83 cX
0 a100a6a23a6a35
a56a6a20 (
a119
a98 X0
a83a6a148a6a20 ) a31a19a12a14a13a6a15
a107a10a108a6a110a17a111
a207
a35a6a165
a20a6a144a6a79a6a31
a107a17a52
a139a6a56
a176a17a74
a201a6a76
a103a6a46a19a52
a139a6a56
a148a6a20
a46
a21
a103
a12a14a13a6a15
a214
a202a6a31
a12a14a13a6a15
a23a6a35
a56a6a71a14a13a6a15a17a31
a41
a9
a243a116a115
a150a6a245
a23a185a176a17a74
a201a6a76a24a9a6a56a24a150a6a31 a21
a145
a98a12a117
a247a6a248
a166a1a16
a17
a98
a23a6a52a1a118a1a90
a72a6a73
a213
a119a1a120 a20a1a121a6a9a6a31
a122 a128a6a9 a82a1a83 a251a6a37
a33 R
a129
a27
a82a1a83 a251a6a37
a33 U =
2
64 1 1 2 30 0 4 4
0 0 0 0
3
75
a46
a218a6a219
a130a6a203
a201a6a226a6a31 a136 2
a203a6a225a14a142 4 a46 a210
a160a6a139a6a56
a184a6a132
a167a6a83 1 a31
a155
a136 1
a203
a98
a234a6a235
a4a6a9a14a136 2
a203
h
0 0 1 1
i
a9 2 a149
a46
a21a6a212
a124
a210
a160a14a136 2 a56
a184a6a132
a135a51a60
a213
a59a14a60a17a9
a132a6a223a6a57
a83 0 a31 a122 a128a6a9 a82a1a83 a251a6a37
a33a17a23
R =
2
64 1 1 0 10 0 1 1
0 0 0 0
3
75 a31
R a9 a184a6a132 a83 1 a46a19a184a6a132
a99a6a135
a53a17a184a6a132
a172a6a9
a132a6a223
a167a6a83 0 a31
a130
a75a17a135
a131a17a132a6a90a6a43a14a142a17a210
a160
a184a6a132
a142
a135
a132a6a223
a167a6a83 0 a31
a42 A
a23a6a43a6a44
a9
a46a19a48a6a41
a9 a122 a128a6a9
a203
a82a1a83 a251a6a37
a33 R = I a46a19a119
a98 I
a83
a239a6a240
a37
a33
a31
a21
a23a1a123a6a130a6a203
a201a6a226a6a160a6a161a6a9a6a31
R a98 a9 0 a210
a160a6a61a6a62
a231a6a232a14a233
a124a6a64a6a161
a119
a148a6a20 (
a213
a197a14a60
a35
a212 ) a16
1,a87 x2 = 1;x4 = 0 a31a19a20 RX = 0 a46a19a48a6a52 x1 = 1;x3 = 0 a31
2,a87 x2 = 0;x4 = 1 a31a19a20 RX = 0 a46a19a48a6a52 x1 = 1;x3 = 1 a31
1
a213
0 a23
a166 R a9a14a136 2 a99
a98 (
a199a6a200
a35
a56a1a124a1a32 ) a31 1
a213
1 a23
a166 R a9a14a136 4 a99
a98
(a199a6a200 a35 a56a1a124a1a32 ) a31 a158 a121 a201a1a32 a46 a61a6a62 a43a14a142a17a155 R a98 a160a6a161a6a148a6a20a6a31 AX = 0 a34 UX = 0
a34 RX = 0 a9 a158 a20 a23
a21 a139a6a56a6a148a6a20a6a9a6a79a6a80a6a164a24a109a6a31a82a12a14a13a24a15 N(A) = N(U) = N(R)
a23a14a74a6a142
a59a14a75a17a76a6a77a6a78a6a9a6a16
X = x2
2
66
64
1
1
0
0
3
77
75 + x4
2
66
64
1
0
1
1
3
77
75 =(AX = 0 a9 a158 a20 ) a31
a16a24a8a24a9a24a59
a35a24a10a40a11a24a113
a74 a70
a216a24a217 R
a31
a130 MATLAB a125a58a55 [R;pivcol] = rref(A) a43
8
a142
a160a6a161 R
a241 A a9 a184a6a132
a99a6a9a6a99a6a152a6a31
a184
a63
a247a6a248
a97a12a126
1,a12a14a13a6a15 N(A) a23a14a74 AX = 0 a9a6a66 a52
a20a6a77a6a78a6a9a6a31
2,a158 a121a14a131a17a132a6a90a6a43a14a142
a160a6a161 a82a1a83 a251a6a37
a33 U a34
a122 a128a6a9
a203
a82a1a83
a33 R a46a19a155
a98
a61a6a62
a231a6a232a14a233
a193a6a161
a184a6a132
a99
a213
a176a17a74
a99a6a31
3,a129 a27
a54a6a56
a176a17a74
a99
a57a6a43a14a142
a160a6a161 AX = 0 a9
a35
a56a6a148a6a20a6a31a180a87
a176a17a74
a201a6a76a6a83 1
a46a180a119a6a41
a9
a176a17a74
a201a6a76a6a83 0
a46
a20 AX = 0
a88a17a43
a160a6a161a6a31
4.AX = 0 a9 a158 a20 a23
a148a6a20a6a9a6a79a6a80a6a164a6a109a6a31
5,a42 n > m a46a19a48 A a107a10a108a17a52a6a35
a99a6a187
a52a6a184a6a132a6a46a24a56a1a107a10a108a17a52a6a35
a56a6a148a6a20a6a31a51a91a17a92 N(A)
a98
a107a10a108a17a52a6a35
a56
a53
a12a14a75a17a76 X a31
9
a4a6a5a6a7a6a8a6a9 3:2
a10a6a11
3:2 A a9a6a12a14a13a6a15a17a16a19a18a6a20 AX = 0
a21
a10a22a11a24a23a26a25a28a27 AX = 0 a9a24a20a26a13a24a15a28a9a26a29a28a30a24a31 A a23a24a32a26a33a28a34a24a35a24a36
a9a24a37
a33
a31a19a38a40a39
X = 0 a23a40a41
a9a40a20a40a31a19a42 A
a23a40a43a40a44a45a33a47a46a19a48 X = 0 a23a40a49a40a35
a20a40a31a19a42 A
a50a51a43a40a44a40a46a19a48
AX = 0 a52a51a53
a12a6a20a6a31a55a54a6a56a6a20 X
a57a6a58a6a27 A a9a6a12a14a13a6a15a17a31a55a59a14a60a17a61a6a62a6a63a6a64a14a65a17a66 a52 a9 a21a6a67
a20
a46a19a68a6a69
a21 a56a6a70a6a63a6a9a6a71a14a13a6a15a17a31
a72a24a73 a16 A a9a24a12a26a13a24a15
a23a26a74 AX = 0
a9a24a66
a52
a9a24a20a26a75a28a76a24a77a24a78a24a9a24a79a24a80a26a13a24a15a28a31a82a81a24a83
N(A) a31
a84a24a85 a66
a52
a9a24a20a26a75a28a76a24a77a24a78
a35
a56a40a71a26a13a40a15a28a31a82a86a24a87a40a20a26a75a47a76 X;Y 2 N(A)
a88 AX =
0;AY = 0 a31 a74
a37
a33a28a89a24a90a24a52 A(X + Y )=0+0=0,A(cX)=c AX=c 0=0 a31a51a91a28a92
X + Y,cX 2N(A) a93 N(A) a83a6a71a14a13a6a15a17a31
a94a6a95
a35a6a96
a16a97a20a14a75a17a76
a52 n a56 a11
a76a6a31 a21a6a67 a20a14a75a17a76 X
a57a6a23 Rn a98 a9a14a75a17a76a6a31 a93 N(A) a23
Rn a9a6a71a14a13a6a15a17a31a19a99a14a13a6a15 C(A) a100a6a23 Rn a9a6a71a14a13a6a15a17a31
a42 AX = b;b6= 0
a46a97a48 AX = b a9a6a20 a50
a77a6a78
a35
a56a6a71a14a13a6a15a17a31a102a101
a52 b = 0 a103
a75a17a76
X = 0 a104a17a23a6a32a6a105
a9a6a20
a46a47a106a14a107
a20a6a108a6a109
a98
a50a14a110a17a111 X = 0 a103a6a46
a20a19a108a6a109
a50
a77a6a78a6a71a14a13a6a15a17a31
3.4 a112a17a113a6a114a14a115 AX = b a9a6a20a6a9a6a116a6a77a6a31
a117 1a16 x+2y+3z = 0
a46a118a88 AX = 0a46a120a119
a98 A=
h
1 2 3
i
a46 X =
2
64 xy
z
3
75 a31
AX = 0 a9a6a20a14a13a6a15 a23a6a121a6a122a6a96
a9
a35
a56a6a123a14a60a17a31 a21 a56a6a123a14a60a17a124
a23 A a9a6a12a14a13a6a15a17a31 a32a6a105 x +
2y + 3z = 6 a9a6a20a14a75a17a76 a100
a77a6a78
a35
a56a6a123a14a60
a46a19a125a6a50a6a23a6a35
a56a6a71a14a13a6a15a17a31
a117 2 a16a19a126a6a127 A =
"
1 2
3 6
#
a9a6a12a6a128a14a13a6a15a17a31
a20a6a16a19a129
a27 AX = 0 a46a19a130a14a131a17a132a6a90
1
"
x1 + 2x2 = 0
3x1 + 6x2 = 0
#
!
"
x1 + 2x2 = 0
0 = 0
#
a133a45a134a47a135
a46
a101
a52a40a35
a56
a32a40a105
a31 a21
a23
a91a47a83a45a136a47a137a40a56
a32a40a105a40a138a45a107a47a27
a136
a35
a56
a32a40a105
a9a40a139a40a140a45a141
a89a45a142
3 a31 a93 x1 + 2x2 = 0 a143 3x1 + 6x2 = 0 a23a24a138
a141a28a9a24a31a19a144a24a79 x
1 + 2x2 = 0 a88
a83
N(A) a31
a126a6a127a6a20a6a9a6a144a6a79a6a9
a35a6a145a6a52a6a146
a9
a32a6a90a6a23a6a147
a65a17a144a6a79a6a135
a35a6a96a6a46a51a88a17a35
a56a6a148a6a20a6a31a19a144a6a79a6a135a6a66
a52
a9
a96a24a57a24a43a26a142a28a130
a21
a35
a148a24a20a24a9a24a149a24a150a24a151a24a152a24a153a24a31a19a61a19a62a24a154 x
2 = 1 a46a19a155 x1 + 2x2 = 0 a156
x2 = 2 a31 a48
a148a6a20 ( 2;1)
a157
a78a6a12a14a13a6a15 N(A) a16
N(A) =fc sjc2R;s =
"
2
1
#
ga31
a158
a121 AX=0 a9a159a148a159a20a159a160a159a161 N(A) a31 a21 a23
a126a159a127 N(A) a9
a35a159a145a159a162a159a163
a9
a32a159a90
a31 N(A)
a23
a21a6a67 a148a6a20a6a9a6a66
a52
a9a6a79a6a80a6a164a6a109a6a31 a21 a56 a117 a71
a98
a46
a61a6a62a14a101
a52a6a35
a56a6a148a6a20
a46
a66
a142
a160a6a161a6a9a6a12
a13a6a15
a23a6a35a6a165
a144a6a79a6a31
a129
a27
a117 1
a98
a9a6a123a14a60
a46
a61a6a62
a52 2 a56a6a148a6a20a6a16 s1=
2
64 21
0
3
75
a46 s2=
2
64 30
1
3
75
a41
a62a6a166
A =
h
1 2 3
i
a9a24a12a26a13a24a15 x + 2y + 3z = 0 a135a24a31 a21 a56a24a123a26a60a28a135a24a9a24a66
a52
a75a28a76a24a167a24a83
s1;s2 a9a6a79a6a80a6a164a6a109a6a31
a168a6a169a6a21 a56 a117 a71
a98
a9a6a148a6a20 s
1;s2
a9a6a148a6a170a6a171a6a172a6a16a19a173a6a174
a46a19a41
a62a6a9a6a175a6a139a6a56
a11
a76
a98
a57a6a111
a52 1 a46 0
a31 a21a159a67
a11
a76
a23a177a176a55a74
a9a159a31a178a61a159a62
a43a179a142a180a147a159a41
a62
a142
a148a159a181a159a9a159a182a6a31
a106
a136
a35
a56
a11
a76 2
a46
3 a48a6a23a14a74 AX = 0 a183
a72 a9a6a31
A =
h
1 2 3
i
a9a14a136
a35
a99
a111a6a52a6a184a6a132 1 a46a19a93 X a9a14a136 a35
a56
a11
a76
a50a24a23a185a176a17a74
a9
a46
a61a6a62a14a101a17a186a6a129a6a187
a52a6a184a6a132
a9a6a188 a67 a99a24a66a6a129a24a189a6a9
a176a17a74a28a11
a76
a147a14a142
a148 a72 a9a24a182 0
a46 1 a31 a158 a121
a59
a60a17a9a6a190a6a56 a117 a71
a46
a61a6a62a6a191
a69a14a192
a9a6a193a6a161 a21
a145a6a130
a148a6a20a6a151a6a126a6a127a6a12a14a13a6a15a17a9a14a194a17a195a6a80a6a31
a117 3,a126a6a127
a142
a59 3 a56a6a37
a33
a9a6a12a14a13a6a15a17a31
A =
"
1 2
3 8
#
a46 B =
"
A
2A
#
=
2
66
64
1 2
3 8
2 4
6 16
3
77
75a46 C =
h
A 2A
i
=
"
1 2 2 4
3 8 6 16
#
a20a159a16 AX = 0 a101
a52
a12a159a20 X=0 a31a196a12a179a13a159a15 N(A) = Z a101
a52a159a35
a56a159a12a179a75a180a76 X=0 a31
2
a74a6a131a17a132a6a90
"
1 2
3 8
# "
x1
x2
#
=
"
0
0
#
!
"
1 2
0 2
# "
x1
x2
#
=
"
0
0
#
a160
"
x1 = 0
x2 = 0
#
a31
a74a17a27a6a32a14a33 A a23a6a43a6a44
a9
a46a19a93
a187
a52a6a119a6a41
a20a6a31 N(A) a101
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a129
a27
a37
a33 B a46 N(B) = Z a31 BX = 0 a98 a9a6a197 2 a56 a32a6a105
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a46
a175 2
a56
a32a6a105a6a100
a63a6a18 X = 0 a31
a107
a61a6a62a6a198a6a199a6a200
a35
a67
a32a6a105a19a103a22a46
a12a14a13a6a15
a23a6a50
a191a6a201a24a202a6a9a24a31
a107
a61
a62
a147
a37
a33 B a199a6a200 a35a6a203a6a103a6a46
a166a6a12a14a13a6a15
a98
a61a6a62
a113
a129 X a199a6a200a6a4a6a9a6a204a6a205
a165a6a206
a31
a129
a27
a37
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a124
a50
a141a14a207a208a31
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a166 A a135a6a199a6a200a185a207a208a190a6a99
a46a209a106a6a50a6a23
a190
a203
a31a209a20a14a75a17a76 X
a52
4 a56 a11 a76a6a31 a131a17a132a6a90a6a210 a160a19a197a6a139a6a99 a98a17a211 a157a6a184a6a132a6a46a19a106
a175a6a139a6a56
a53a17a184a6a132
a99
a23a185a176a17a74
a9
C =
"
1 2 2 4
3 8 6 16
#
!U=
"
1 2 2 4
0 2 0 4
#
" " " "
a184a6a132
a99
a176a17a74
a99
a129
a27a177a176a180a74
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3;x4 a46
a61a159a62
a43a179a142a180a147
a148 a72 a9a159a182 0
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a201a159a76 x
1;x2 a48
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2
66
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2
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1
0
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77
75
a213
s2 =
2
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64
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2
0
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variables
free
variables
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a33
a31
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a75a17a135
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a135a6a9 a21a6a67 a201a6a226
a50
a191a6a227a6a201
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a50
a201a6a31
a107
a61a6a62
a130
a135
a60a17a9a6a201a6a226a6a160a6a161 R
a103a6a46
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a193a14a65a17a16
3
U =
"
1 2 2 4
0 2 0 4
#
!R =
"
1 0 2 0
0 1 0 2
#
a136 1
a203a6a234a6a235
a136 2
a203a6a236
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a203a6a89a14a142 1=2 a236
a83a6a4a6a9a14a136 2
a203a6a46a51a88
a160 R a31
a162a6a237
a9a6a139a6a56
a32a6a105a6a43a14a142
a128a14a222a17a83 x
1 + 2x3 = 0;x2 + 2x4 = 0
a31
a41
a62a6a238
a163a6a23
a32a6a105 RX = 0 a31 a119
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a9
a184a6a132
a99
a23a6a239a6a240
a37
a33
a31a55a148a6a20a6a230a6a39
a23 s1;s2 a31 a21 a155 RX=0
a98
a214a6a232a14a233
a193a14a65a17a31
a166
a216a6a217 m n a37 a33 A a46 N(A) a46a17a241 N(A) a98 a9a6a148a6a20a6a171a6a197 a46 a174 a94a6a95 a35a6a96 a16a17a129
a27a6a242a14a215
a37
a33
a151
a114a6a46 AX = 0
a9a6a20a14a101
a52 X = 0 a41
a62a6a9a6a12a14a13a6a15a6a101
a111a6a52a6a35
a56a14a75a17a76
a46a159a88
a12a14a75a17a76a6a31
a157
a78 b = 0 a9a6a99a6a9a6a164a6a109
a23a244a243
a12a6a164a6a109a6a245
a34a244a243
a123a6a246a6a164a6a109a24a245
a46a19a119
a20
a23
a123a6a246a24a9
a88
X = 0 a46a19a125a19a119a6a247a6a248a6a249a6a23a6a50
a123a6a246a6a9a6a31
a21
a145
a123a6a246a6a12a14a13a6a15 Z a9a6a250a6a251
a23a6a231
a70a6a63a6a9
a46
a21
a114a14a115 A
a9a6a99a14a75a17a76
a23
a79a6a80a6a252
a25
a9
a46
a225
a207a208a12a6a164a6a109
a142a17a253a6a46
a198a6a187
a52a6a254
a56a6a99a14a75a17a76a6a9a6a79a6a80a19a164a6a109
a43a14a142a17a147
a65a17a12a14a75a17a76a6a31
a155a6a106
a66
a52
a9a6a99
a57a6a23a6a184a6a132
a99
a46
a187
a52a6a35
a99
a23a185a176a17a74
a9a6a31
a142
a175a6a255a6a191a6a198a1a0a6a193a6a161 a21
a145
a252
a25
a80
a247a6a248
a130a179a131a180a132a159a90
a20
a32a159a105 AX = 0
a21
a23a159a231
a70a159a63a159a9a159a31a196a61a159a62a159a20
a52 n a56a3a2 a156 a76a159a9 m a56 a32a159a105 a31 a130a179a131a180a132a159a90a159a46a196a32a159a105 a9 a228 a140 a57
a23 0 a46
a158
a121a6a203
a201a6a226
a46a5a4
a140
a43a14a142
a160a6a161a14a222a17a128
a46a5a6
a175a6a61a6a62a6a191a6a160a6a161
a32a6a105
a9a6a20a6a31a5a7a6a81a1a8a6a20
a32
a105
a9a6a139a6a56a10a9a12a11 1,a75a17a197
a131a17a132a6a90a6a46a180a210
a160 A a201a6a83a6a135a6a220a14a221
a33 U a13 a34a6a23a6a41
a9a14a222a17a128a6a251a1a14 R)
2,a75a17a175a1a15a6a226 a90a6a46 a20 UX = 0 a34 RX = 0
a255a6a191 a168a6a169 a161
a107 A
a213
U a9 a184a6a132
a56a6a150 n
a103
a75a17a175a1a15a6a226
a90
a9
a35a6a96a6a50
a141a17a31 a166a1a16a1a17
a98
a61a6a62
a23
a129a6a66
a52
a9a6a37
a33
a151
a216a6a217
a9
a46a19a106a6a50a1a18a1a18a6a23a6a43a6a44a6a32a14a33
a31
a184a6a132a6a23a14a53
a12a6a9a6a31
a184a6a132a14a142
a59a6a9
a132a6a223a6a57a6a23 0 a31 a125a6a43a1a19
a191a14a65a12a20a10a21
a35
a99a6a187
a52a6a184a6a132
a31a28a166
a21
a145
a250a6a251a6a59
a46a19a50
a63a1a22a1a23
a46
a7a6a218a6a219a19a59
a35
a99a6a31a24a7a6a193a24a59a14a60a28a9 a117 a71
a46
a136
a35
a56 a117 a71
a23 3 4
a37
a33
A=
2
64 1 1 2 32 2 8 10
3 3 10 13
3
75
a38a6a39 a
11 = 1 a23
a136
a35
a56
a184a6a132
a31
a131a17a235a6a184a6a132
a59a14a60a17a9 2
a46 3
A!
2
64 1 1 2 30 0 4 4
0 0 4 4
3
75
a136 2 a99
a184a6a132a1a25a1a26
a135
a23 0 a46
a61a6a62
a155 0 a9a6a59a14a60a17a64a14a65 a35
a56
a53
a12a6a9
a132a6a223a6a46
a39a6a175a1a27
a203a6a203
a28
a226
a46
a91a17a83 a21 a56 0
a132a6a223
a59a14a60a17a9
a132a6a223a6a100a6a23 0 a46
a66
a142
a136 2 a99
a131a17a132a6a90a6a50a1a29a1a30a6a130a1a31
a21
a155
4
a81a1a32a6a135a6a193
a52a6a96a1a33a1a34a6a46
a91a17a83a6a61a6a62a1a35a10a36a17a160a6a161a6a9
a23a6a35
a56a6a37a6a251a6a37
a33
a31
a37 a59a24a151a24a193a26a136 3 a99
a46
a136 2 a56
a184a24a132a24a23 4(a125a24a41
a166a26a136 3 a99 )
a46a19a155
a136 3
a203
a98
a234a24a235
a136 2
a203
a98
a9
a132a6a223a6a46a19a210
a160
a184a6a132a14a142
a59
a132a6a223
a167a6a83 0
a46
a160a6a161a6a16
U =
2
64 1 1 2 30 0 4 4
0 0 0 0
3
75 (a101
a52 2 a56 a184a6a132 )(a162
a175
a35
a56
a32a6a105
a201a6a83 0=0) a31
a136 4 a99
a184a6a132a1a25a1a26
a135
a100a6a23
a12
a46a180a125
a166
a41
a59a14a60a17a187
a52
a170a6a9
a203a6a43a14a142
a28
a226
a46
a91a17a92a14a75a17a197
a131a17a132
a90
a116a1a38a6a31 a21 a56a6a37
a33a17a52 3 a203 4
a99
a46a19a125
a101
a52
a139a6a56
a184a6a132
a31
a122a6a32a6a105 AX = 0
a193
a29
a151
a111a6a52
3 a56 a50 a141a17a9 a32a6a105a6a46a180a125 a136a17a220a6a56 a32a6a105a6a23 a197a6a139a6a56a6a9
a213
a46a159a107
a197a6a139a6a56
a32a6a105a1a39a1a40a6a103a6a46a180a41a6a23a185a176a42a41
a39a1a40
a9 (0=0) a31
a131a17a132a6a90a1a43
a153a185a207
a32a6a105
a164a6a9
a35
a56a10a44a17a166a1a16a1a45a6a31
a20a6a166
a130
a75a17a175a1a15a6a226
a90
a151a6a18 UX = 0 a9a6a66
a52
a20a6a31a19a129
a52 4
a56a1a2
a156
a76
a46 2
a56
a184a6a132
a9
a32a6a105a6a23a6a52a6a242a14a215
a20a6a9a6a31a17a29a17a30
a23a1a46a1a47a1a48a6a41
a62a1a49
a10a10a50
a65a17a151a6a31
a35
a56
a231a6a163
a9
a32a6a90a159a23a1a48a6a184a159a132
a201
a76
a143a185a176a17a74
a201a6a76
a11a1a51
a31
P,a184a6a132
a201a6a76
a23 x1
a213
x3 a46
a21
a23
a91a17a83 1
a46 3 a99 a111a6a52a6a184a6a132a1a31
F,a176a17a74
a201a6a76
a23 x2
a213
x4 a46
a21
a23
a91a17a83 2
a46 4 a99 a50a6a111a6a184a6a132
a31
a176a180a74
a201a159a76 x
2
a213
x4 a43a179a142
a86 a169 a87a159a182a159a31 a75a180a175a3a15a159a226
a90a159a43a179a142
a64a159a161
a184a159a132
a201a159a76 x
1
a213
x3(a166
a136 2 a17a159a9 a117 a71
a98
a187
a52a159a35
a56a159a201a159a76
a23a185a176a180a74
a9a6a31
a107 A a43a159a44a159a103
a66
a52
a9a159a201a159a76
a57a159a23a159a184a6a132
a201a6a76 )
a129
a27a185a176a17a74
a201a6a76
a162
a222a12a52a6a9a1a53a1a54
a23 0
a213
1 a31 a21a6a212 a124 a147 a65a14a207a208a148a6a20a6a31
a148a6a20
,a55 x2=1 a46 x4=0 a46
a158
a121
a75a17a175a1a15a6a226
a90a6a156 x3 = 0;x1 = 1 a31
,a55 x2=0 a46 x4=1 a46
a158
a121
a75a17a175a1a15a6a226
a90a6a156 x3 = 1;x1 = 1 a31
a21a6a67
a88a17a23 UX = 0
a9a6a148a6a20
a46
a91a17a92
a100 AX = 0
a9a6a148a6a20a6a31
a41
a62a6a166a6a12a14a13a6a15
a98
a46a42a56
a54
a35
a56a6a20
a57a6a23a6a41
a62a6a9a6a79a6a80a6a164a6a109a6a31
a158 a20a6a83 X = x
2
2
66
64
1
1
0
0
3
77
75 + x4
2
66
64
1
0
1
1
3
77
75 =
2
66
64
x2 x4
x2
x4
x4
3
77
75 (1)
a148a6a20 a148a6a20 a158 a20
a7a24a198a24a193 a21 a56a58a57a58a59
a46
a21
a23
a16a58a17a24a9
a184
a63a24a116a58a60a24a31a51a75a28a76 s
1 =
h
1 1 0 0
i
a23a58a55
5
x2 = 1;x4 = 0 a103
a9a6a148a6a20a6a31a51a136 2 a56a6a148a6a20
a23a1a55 x2 = 0;x4=1 a106
a160a6a161a6a9a6a31a19a66
a52
a9a6a20
a57a6a23 s1 a46 s2 a9a6a79a6a80a6a164a6a109a6a31 a21 a139a6a56a6a148a6a20a6a166a6a12a14a13a24a15 N(A) a98 a46a19a41
a62a6a9a6a79a6a80a6a164a6a109a1a61
a39
a207
a224
a56a6a12a14a13a6a15a17a31
MATLAB a12a58a62a58a63a58a64 a43a26a142a66a65a58a67
a21a24a67 a148a24a20
a46a19a41
a62a58a68
a43a26a142a66a69a71a70
a12a26a13a24a15a28a37
a33 N a9
a99a6a31 AX = 0 a9 a158 a20
a23
a21a6a67 a99a6a9a6a79a6a80a6a164a6a109a24a31
a35a58a72
a61a24a62
a52
a207 a148a6a20
a46
a61a24a62a6a124
a43a26a142
a160
a161
a224
a56a6a12a14a13a6a15a17a31
a129
a27
a54a6a56
a176a17a74
a201a6a76
a57a6a52a6a35
a56a6a148a6a20a6a31a209a42a6a187
a52a185a176a17a74
a201a6a76
a46a209a48
a169a1a73a1a74
a52 n a56 a184a6a132
a201
a76
a46a55a48 UX = 0
a213
AX = 0 a9a6a20 a23a6a49a6a35
a9
a46a19a88 X = 0 a46
a66
a52
a9a6a201a6a76
a57a6a23a6a184a6a132
a201
a76
a46
a21
a103 N(A)
a213
N(U) a57a1a18a6a111
a12a14a75a17a76a6a31a19a166a6a187
a52a185a176a17a74
a201a6a76
a46a51a88
a54a6a99
a57a6a52a24a184a24a132
a9
a250a1a75a6a59
a46a19a155
a12a1a62a6a160a6a161a6a9a6a182
a113a6a23a6a35
a56 0 a37
a33
a31
a117 4 a18 N(U)
a46a19a119
a98 U =
"
1 5 7
0 0 9
#
U a9a26a136 2 a99a24a187 a52a24a184a24a132a24a46a19a93 x2 a23 a176a28a74
a9
a46a19a52
a148a24a20 x
2=1
a31
a74
a75a28a175a58a76a58a77
a90a24a52
9x3=0 a46
a160 x
3=0
a31a24a78
a74 x1+5x2=0 a46
a160 x
1=-5
a31 UX = 0 a9a6a20a6a83a6a150
a89a14a142
a148
a20a6a16
X = x2
2
64 51
0
3
75 N(U)
a23 R3 a98 a9 a35a6a165 a144a6a79
a41a6a23a14a74
a92a6a148a6a20a6a9a6a149a6a150a6a77a6a78
a35
a56
a176a17a74
a201a6a76
a46
N = nulbasis(U) a101 a52a6a35
a99
a61a6a62a6a218a6a219a6a129 U
a210a6a130a14a131a17a132a6a90a6a46a19a210
a160
a184a6a132a14a142
a135
a132a6a223a6a57
a83 0
a46a19a184a6a132
a172a6a83 1 a31 7
a43
a142a12a79a14a131a17a235a6a46a19a184a6a132a14a74 9 a201a19a83 1 a31 a162a1a80a6a113 U a128 R a16
U =
"
1 5 7
0 0 9
#
a128a14a222a17a83 R =
"
1 5 0
0 0 1
#
a21a6a212
a43a14a142a17a69a14a192a12a81
a193a6a161a6a148a6a20 s =
h
5 1 0
i
a82a1a83 a251a6a37
a33
a75a17a197
a131a17a132a6a90a6a210
a160 A a201a6a83 U
a46
a21 a56
a121a6a105a6a23a6a155a6a35
a56 m n a37
a33 A a51a1a84
a9a6a31 a158
a121a6a203
a201a6a226
a46a19a119
a98
a110a17a111a6a203
a201a19a226a22a31
a107a6a107
a197a6a99a6a187
a52a6a184a6a132a6a103a6a46
a218a6a219a6a59
a35
a99a6a31 m n a9 U
a85 a83 a82a1a83 a251a6a37
a33
a31
a21a1a86
a52a6a35
a56 4 7 a82a1a83 a251a6a37
a33
a31
a41a6a52 3 a56 a184a6a132a6a46a88a87a208a130a1a89a1a90a1a91a1a92
a65a17a31
6
U =
2
66
64
x x x x x x x
0 x x x x x x
0 0 0 0 0 x x
0 0 0 0 0 0 0
3
77
75 a220a24a56 a184a24a132 a201a24a76 a23 x1;x2;x6
a93
a56
a176a28a74
a201a24a76
a23 x3;x4;x5;x7 N(U) a98 a52 4 a56a6a148a6a20
a29a17a30a6a16 a21 a56a6a37
a33
a9a6a99a14a13a6a15
a241
a12a6a128a14a13a6a15
a23a1a94a10a95a10a96
a97
a57a159a16
a74a180a27
a54a159a56a159a99a179a75a180a76
a57a159a52 4
a56
a11
a76
a46
a91a180a92
a41
a62
a57
a166 R4
a98
a31 (
a50
a166 R3
a98a99a98)
a31
a74
a54a6a56a19a99a14a75a17a76a6a9a14a136 4 a56
a11
a76
a57a6a23 0 a46a19a156
a99a14a75a17a76a6a9a6a86 a169 a9a6a79a6a80a6a164a6a109 { a99a14a13a6a15
a98
a9a6a86
a169 a75a17a76
a46 a41
a9a14a136 4 a56
a11
a76
a57a6a23 0 a31 a99a14a13a6a15 C(U) a23a14a74
a66
a52
a251
a46 b = (b1;b2;b3;0)
a9a14a75a17a76a6a77a6a78a6a31a47a129
a27
a21a6a67 a75a17a76a6a61a6a62
a130
a75a17a175a1a15a1a77
a90
a20 UX = b a31 a21a6a67 a75a17a76 b
a23 7 a56
a99a14a75a17a76a6a9a6a66
a52a6a43a1a19
a9a19a79a6a80a6a164a6a109a6a31
a12a179a13a159a15 N(U)
a23 R7 a9 a35 a56a159a71a179a13a159a15a180a31 a129 a27 a54a159a56 a176a180a74 a201a159a76a159a167 a52a159a35 a56a159a148a159a20 a46 UX =
0 a9a6a20a6a108a6a109 a23a14a74
a93
a56a6a148a6a20a6a9a6a66
a52
a79a6a80a6a164a6a109a6a77a6a78a6a9a6a31
1,a74a17a27
a136 3
a46 4 a46 5 a46 7 a99a6a187 a52a6a184a6a132a6a46
a91a17a92
a176a17a74
a201a6a76a6a83 x
3;x4;x5;x7
a31
2,a87 a35
a56
a176a17a74
a201a6a76a6a83 1
a46a19a119a1a100
a9
a176a17a74
a201a6a76a6a87a6a182a6a167a6a83 0 a31
3,a129 a27a6a184a6a132
a201a6a76 x
1;x2;x6
a20 UX = 0 a31
4,a21 a147
a65a14a207a208a12a14a13a6a15a17a37
a33 N a98 4 a56a6a148a6a20 a98 a9 a35
a56a6a31
a173a6a174
a46
a61a6a62
a43a14a142
a160a6a161 a82a1a83 a251a6a37
a33
a98
a9
a53
a12
a203
a31 a21a6a67
a53
a12
a203
a98
a9a14a136
a35
a56
a53
a12a6a9
a132a6a223
a83
a184a6a132a6a46a19a41
a62a1a101 a82a1a83 a251a14a75a17a59a1a102a6a99a24a31 a158a1a103 a9
a203
a201a6a226 (a166a6a5a10a104a12a63a1a64 plu
a98 )
a43a6a210
a160a6a54a6a56
a184a6a132a14a142
a59a6a9
a132a6a223
a167a6a128a6a83 0 a31
a158
a121a58a105a58a65a24a184a24a132
a150
a46
a61a24a62
a43a26a142
a160a24a161
a35
a56
a53
a103 a70a24a63a40a9 a72a58a106 a31a19a154 A a9a24a99a24a150a24a202
a27a24a203
a150
a46 a100a14a88 n > m a46
a21
a103a1a107a10a108a17a52a6a35
a56
a176a17a74
a201a6a76 a31 AX=0
a162a10a108a17a52a6a35
a56a6a148a6a20
a46a66a56a6a23
a53
a12a6a9a6a31
3B a42 AX = 0 a9a1a2 a156
a76a6a9a6a56a6a150a6a202
a27a6a32a6a105
a9a6a56a6a150 (A a9a6a99a6a150a6a202
a27a6a203
a150 )
a46a19a48a6a41a6a52
a53
a12a6a20a6a31
a226a10a109a12a110
a114 m n a37 a33
a9a6a12a14a13a6a15
a98a12a111
a52a14a53
a12a14a75a17a76a6a31a51a91a28a83
a184a24a132
a56a24a150
a50
a191a1a112
a121 m; a107
a108a17a52 n m a56 a176a17a74
a201a6a76a6a31 (a37
a33
a101
a52 m a203a6a46a209a106
a54
a203a6a50
a191
a52
a139a6a56
a184a6a132
a31 )
a107
a39
a34a6a242
a21
a203
a187
a52a6a184a6a132a6a46
a21a6a169a1a73a1a74 a78
a52a6a35
a56
a176a17a74
a201a6a76a6a31 a94a6a95
a35a6a96
a16
a107a17a52a6a35
a56
a176a17a74
a201a6a76
a103a6a46
a43
a154
a41
a83 1
a46a19a48a6a32a6a105 AX = 0 a52a6a35
a56
a53
a12a6a20a6a31
a70a1a113
a114a6a35
a59a6a16 a21a1a86
a162a14a215a17a52
a56 m a56
a184a6a132
a31 n > m
a103a6a46 AX = 0 a107a10a108a17a52a6a35
a56
a176
7
a74
a201a6a76
a213
a35
a56
a53
a12a6a20a6a31a209a133a14a134a17a135
a46a209a41a19a52
a252a1a114
a215
a56a6a20a6a31 a21
a23
a91a17a83 cX
0 a100a6a23a6a35
a56a6a20 (
a119
a98 X0
a83a6a148a6a20 ) a31a19a12a14a13a6a15
a107a10a108a6a110a17a111
a207
a35a6a165
a20a6a144a6a79a6a31
a107a17a52
a139a6a56
a176a17a74
a201a6a76
a103a6a46a19a52
a139a6a56
a148a6a20
a46
a21
a103
a12a14a13a6a15
a214
a202a6a31
a12a14a13a6a15
a23a6a35
a56a6a71a14a13a6a15a17a31
a41
a9
a243a116a115
a150a6a245
a23a185a176a17a74
a201a6a76a24a9a6a56a24a150a6a31 a21
a145
a98a12a117
a247a6a248
a166a1a16
a17
a98
a23a6a52a1a118a1a90
a72a6a73
a213
a119a1a120 a20a1a121a6a9a6a31
a122 a128a6a9 a82a1a83 a251a6a37
a33 R
a129
a27
a82a1a83 a251a6a37
a33 U =
2
64 1 1 2 30 0 4 4
0 0 0 0
3
75
a46
a218a6a219
a130a6a203
a201a6a226a6a31 a136 2
a203a6a225a14a142 4 a46 a210
a160a6a139a6a56
a184a6a132
a167a6a83 1 a31
a155
a136 1
a203
a98
a234a6a235
a4a6a9a14a136 2
a203
h
0 0 1 1
i
a9 2 a149
a46
a21a6a212
a124
a210
a160a14a136 2 a56
a184a6a132
a135a51a60
a213
a59a14a60a17a9
a132a6a223a6a57
a83 0 a31 a122 a128a6a9 a82a1a83 a251a6a37
a33a17a23
R =
2
64 1 1 0 10 0 1 1
0 0 0 0
3
75 a31
R a9 a184a6a132 a83 1 a46a19a184a6a132
a99a6a135
a53a17a184a6a132
a172a6a9
a132a6a223
a167a6a83 0 a31
a130
a75a17a135
a131a17a132a6a90a6a43a14a142a17a210
a160
a184a6a132
a142
a135
a132a6a223
a167a6a83 0 a31
a42 A
a23a6a43a6a44
a9
a46a19a48a6a41
a9 a122 a128a6a9
a203
a82a1a83 a251a6a37
a33 R = I a46a19a119
a98 I
a83
a239a6a240
a37
a33
a31
a21
a23a1a123a6a130a6a203
a201a6a226a6a160a6a161a6a9a6a31
R a98 a9 0 a210
a160a6a61a6a62
a231a6a232a14a233
a124a6a64a6a161
a119
a148a6a20 (
a213
a197a14a60
a35
a212 ) a16
1,a87 x2 = 1;x4 = 0 a31a19a20 RX = 0 a46a19a48a6a52 x1 = 1;x3 = 0 a31
2,a87 x2 = 0;x4 = 1 a31a19a20 RX = 0 a46a19a48a6a52 x1 = 1;x3 = 1 a31
1
a213
0 a23
a166 R a9a14a136 2 a99
a98 (
a199a6a200
a35
a56a1a124a1a32 ) a31 1
a213
1 a23
a166 R a9a14a136 4 a99
a98
(a199a6a200 a35 a56a1a124a1a32 ) a31 a158 a121 a201a1a32 a46 a61a6a62 a43a14a142a17a155 R a98 a160a6a161a6a148a6a20a6a31 AX = 0 a34 UX = 0
a34 RX = 0 a9 a158 a20 a23
a21 a139a6a56a6a148a6a20a6a9a6a79a6a80a6a164a24a109a6a31a82a12a14a13a24a15 N(A) = N(U) = N(R)
a23a14a74a6a142
a59a14a75a17a76a6a77a6a78a6a9a6a16
X = x2
2
66
64
1
1
0
0
3
77
75 + x4
2
66
64
1
0
1
1
3
77
75 =(AX = 0 a9 a158 a20 ) a31
a16a24a8a24a9a24a59
a35a24a10a40a11a24a113
a74 a70
a216a24a217 R
a31
a130 MATLAB a125a58a55 [R;pivcol] = rref(A) a43
8
a142
a160a6a161 R
a241 A a9 a184a6a132
a99a6a9a6a99a6a152a6a31
a184
a63
a247a6a248
a97a12a126
1,a12a14a13a6a15 N(A) a23a14a74 AX = 0 a9a6a66 a52
a20a6a77a6a78a6a9a6a31
2,a158 a121a14a131a17a132a6a90a6a43a14a142
a160a6a161 a82a1a83 a251a6a37
a33 U a34
a122 a128a6a9
a203
a82a1a83
a33 R a46a19a155
a98
a61a6a62
a231a6a232a14a233
a193a6a161
a184a6a132
a99
a213
a176a17a74
a99a6a31
3,a129 a27
a54a6a56
a176a17a74
a99
a57a6a43a14a142
a160a6a161 AX = 0 a9
a35
a56a6a148a6a20a6a31a180a87
a176a17a74
a201a6a76a6a83 1
a46a180a119a6a41
a9
a176a17a74
a201a6a76a6a83 0
a46
a20 AX = 0
a88a17a43
a160a6a161a6a31
4.AX = 0 a9 a158 a20 a23
a148a6a20a6a9a6a79a6a80a6a164a6a109a6a31
5,a42 n > m a46a19a48 A a107a10a108a17a52a6a35
a99a6a187
a52a6a184a6a132a6a46a24a56a1a107a10a108a17a52a6a35
a56a6a148a6a20a6a31a51a91a17a92 N(A)
a98
a107a10a108a17a52a6a35
a56
a53
a12a14a75a17a76 X a31
9
