刘军电话,3607873
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化学楼,926
谱学原理参考书目
1。谱学导论 范康年 高等教育出版社
2。 Physical methods for chemists Drago
3。谱学原理 李重德第一章 量子力学基础
§ 1.1 量子力学的术语
（ a)算符（ Operator）
所谓算符，就是一种运算的符号,我们用符号,∧,来标明算符。算符常写在运算对象的左边,
(i)两个算符相等 。
对于任意函数 f(x),如果
)x(fG?)x(fF
我们说算符相等
G?F
(ii)两个算符的和与差由如下方程定义
)x(fG?)x(fF?)x(f)G?F?(
)x(fG?)x(fF?)x(f)G?F?(
(iii)两个算符相乘由方程 （ 1。 4） 定义
)]x(fG?[F?)x(fG?F
也就是说两个相乘的算符右边的算符先对函数 f(x)作用得到一个新的函数，
然后用左边的算符再对这个新的函数作用。
算符相乘满足结合律
)x(f)C?B?(A?)x(fC?)B?A?(?
但一般说来，算符相乘不满足交换律，即
F?G?G?F
定义 算符 的对易子 （ commutator）G?F?和
F?G?G?F?]G?,F?[
如果,那么 对易 。
F?G?G?F G?F?和如果,那么 不对易 。
F?G?G?F G?F?和例：计算 ]x,
dx
d[
1]x,
dx
d
[
)x(f
)x('xf)x('xf)x(f)x(f
dx
d
x?)x(fx?
dx
d
)x(f)
dx
d
x?x?
dx
d
()x(f]x,
dx
d
[
量子力学中讨论的所有力学量都对应一个算符，而且这些算符都是线性算符，所以我们必须掌握线性算符的概念。
算符 是线性算符的充分必要条件是它满足如下两个性质
F?
)x(gF?)x(fF?)]x(g)x(f[F
)x(fF?c)]x(cf[F
例,是线性算符吗？
*)(,dxd
)x(gdxd)x(fdxd)]x(g)x(f[dxd
)x(fdxdc)]x(cf[dxd?
所以它是线性算符。
量子力学中的力学量算符除了必需有“线性”的性质以外，它还必须有一个性质：厄米性 。
如果线性算符 满足F?
d*)fF?(ggdF?*f
那么是厄米算符 。
例如算符 是线性算符,但不是厄米算符 。
dx
d
dg*fgddxd*f v d uu d v)uv(d
*g d f)g*f(d
由于 f,g均为量子力学中的合格函数，必须收敛，
即当 x → ± ∞时,f,g→0.
ddx *dfgg*f gd*)fdxd(0
（ b） 本征方程 （ eigenvalue equation）
定义：力学量算符 有其相应的本征方程
F?
ffF
是力学量算符； λ为本征值,一般是实数； f是本征函数 。 原则上,已知算符的具体形式,就可以从其本征方程中求出其本征值和本征函数 。 本征值通常用于描述算符所对应的力学量的可能取值,而本征函数则描述相应的体系状态 。
F?
例：动量算符
)2h(xiP? x
)P()x(fP)x(fxi xx
dxiP)x(f )x(df x dxiP)x(flnd x
)xPie x p (C)x(f x
在没有边界条件的限制下,Px可取连续值,
当设立边界条件时,例如周期性的边界条件,f(0)=f(L),则有
)LiPe x p (C)0iPe x p (C xx 1)LiPe x p ( z?
利用 exp(ix)=cosx+isinx,可得出
n2LP x LhnLn2P x,Lh3,Lh2,Lh,0?
Px只能取一些分立的值；当一种力学量只能取一些分立的值时,我们称这种力学量是 量子化 的 。
解本征方程时，在同一本征值下往往可解出对应的 m个本征函数 f1,f2 …,f m,
它们之间必须是线性独立的，即其中任一本征函数不能由其它本征函数的线性组合来表示，我们称这个本征值的 简并度 为 m.
定理,(1)不同本征值对应的本征函数之间的线性组合不再是此算符的本征函数,
但它们仍是体系的一种可能状态,此即为态迭加原理 ；
(2)在简并度内的本征函数之间的任何线性组合仍然是属于同一算符的本征函数 。
（ c）厄米算符本征函数的三个性质：
定理一：厄米算符的本征值一定是实数；
证明：设 是厄米算符，本征方程为F?
ffF 以 作用 d*f
fd*ffdF?*f fd*f
对本征方程取共轭有
*f*)*fF?( 以 作用 df
d*f*fd*)fF?(f d*ff*
根据厄米算符的定义有
d*)fF?(ffdF?*f
fd*f*fd*f
0fd*f*)(
只有当 λ-λ*=0,即 λ=λ*时,上式成立,
∴ λ是实数。
定理二：厄米算符中属于不同本征值的本征函数互相正交。
证明,111 ffF 222 ffF )( 21
第一式以 作用 d*f 2
df*fdfF?*f 11212
第二式取共轭再以 作用df1
d*)f(fd*)fF?(f 22121
因为是厄米算符,有
d*)fF?(fdfF?*f 2112
d*f*fdf*f 221112
0df*f*)( 1221
0*21
0df*f 12
上式也是函数 f1,f2正交的定义 。
定理三 厄米算符的本征函数构成一个完备集合（完全系 complete set）。
函数空间中当 f1,f2,…,fn,… = { fi } 构成一完备集合时,则任意函数 ψ（ 含同样的变量和边界条件 ） 都可以对它进行展开,
或者说,可用完备集合的线性组合方式来精确地表达 ψ。
nn22f1 fcfcfc
§ 1.2 量子力学的几个基本假设假设 1：体系的状态可用波函数（ wave
function） ψ充分描述。
一个包含 N个微观粒子的体系，波函数的变量可由各个粒子的坐标变量和时间变量确定 。
)t,z,y,x,,z,y,x,z,y,x( NNN222111
合格的（品优 well-behaved ）波函数必须满足三个条件：单值，连续，平方可积。
一个体系的波函数给出了体系所拥有的全部信息。在经典力学中，牛顿力学可以告诉我们时间 t时，一个粒子在空间某处的确切位置。然而在量子力学中不是这样。那么一个单粒子波函数 ψ（ x,y,z,t）能告诉我们在时间 t时这个粒子在空间的位置吗？ Max Born回答了这个问题。
马克思 ·波恩
Max Born （ 1882—— 1970），
德国物理学家,1954 Nobel
Laureate in Physics.
波恩早在 1926年就发表了获奖论文 (关于波函数的统计分析 )。当他获奖时激动地说了这样一段发人深省的话：
“压倒多数的物理学家都承认我的波函数统计分析，但是也有不承认的，诸如像普郎克、爱因斯坦、薛定锷等著名科学家，因此，我的这项研究成果足足等待了 28年才获得诺贝尔奖。,
他说：
d)t,z,y,x(*)t,z,y,x(d)t,z,y,x( 2
为时间 t时在空间 dτ发现粒子的几率，
是几率密度。 2)t,z,y,x(?
准确的理解合格波函数的三个条件
空间一点发现粒子的几率是一个定值，
所以波函数也必须是单值；
为了获得波函数的能量，我们必须解一个二阶偏微分方程（薛定谔方程），只有波函数连续，这个方程才有解；
在整个空间中发现粒子的几率为 1,所以波函数必须平方可积 。
Ψ 和 cψ (c为任意常数 )描述了同一状态 。 因为在所有空间中发现粒子的几率为 1,为了计算方便起见,我们可以给波函数归一化 。 归一化的波函数满足
1d)t,z,y,x( 2
归一化过程如下,φ为任意波函数，设 Ψ=cφ,c
为归一化系数；
1d*cdc**cd 22
2d*/1c
假设 2：体系的每一个可观测物理量，必存在对应的线性厄米算符。
以直角坐标系中坐标，动量和时间等变量表达相应原经典物理量，再将上述三种变量依下列变换，
即得相应的量子力学物理量算符。
xip,tt,xx x?
例 经典力学中动能为
)ppp(m2 1T 2z2y2x
])zi()yi()xi[(m2 1T? 222
)]z()y()x[(m2 2
2
2
2
2
22
22
m2
位能为 )t,x(VV?
)t,x(VV
假设 3：体系若处在某物理量算符的本征函数（本征态）所描述状态中，则体系的该物理量有确定值，并且测得的物理量即为此本征态所属的本征值。
g1(x)态中只能测得 G1值)x(gG)x(gG?
111?
g2(x)态中只能测得 G2值)x(gG)x(gG?
222?
若体系处在非本征态中，测不能在测量前预先估计出所要测定的物理量的值，其值可能为 G1，
G2，。。。，但必须是本征值之一。
在经典力学中，当体系的状态确定后，所有的 物理量都有确定值；
在量子力学中,当体系的状态确定后,并不是所有的物理量都有确定值 。
1927年海森堡（ Werner Heisenberg）发现的不确定原理（ uncertainty principle）指出,
2
ht
2
hxp
x
Werner Heisenberg
2
ht
2
hxp
x
量子力学中那些物理量是可能同时确定的呢？
定理：两算符对易，则两算符有共同的本征函数完全系。
证明,对易,那么G?F?和 F?G?G?F
F?设 fi 是算符 的本征函数,即 iii ffF
iii fG?fG?F
用 左乘：G?
iii fG?fF?G
)fG?()fG?(F? iii
当 λi非简并时,fi与 fi 只能相差一个常数因子,
即
G?
gi 为一常数
iii fgfG
这是 的本征方程，所以 fi 也是 的本征函数。G? G?
当 λi简并时，命题也成立（证明从略）
因此当体系处于上述 fi状态时，由于它同时是的本征函数，故 对应的物理量同时有确定值。
G?F?和G?F?和换名话说,体系中两个物理量同时有确定值的充分必要条件是两个相应的算符对易 。
不对易的算符，其物理量不会同时确定 。
例如坐标算符 和动量算符xx xiP?x
0i]xi,x[
∴ x和 px 不会同时有确定值。
假设 4：体系处在算符 的非本征态 ψ
中，测出 的期望值为,G?
G?
d*
dG?*
G
若 ψ已归一化，则
dG?*G
从 的本征方程 中,可得本征方程完全系 {fi },非本征态 ψ可对 {fi }展开
G? iii fgfG
i
ii2211 fcfcfc?
ψ已归一化，即
1cd)fc(*)fc(d*
i
2
i
i
ii
i
ii
ci2可视为 ψ表现为 fi 态的几率。
d)fc(G?*)fc(dG?*G
i
ii
i
ii
dffgc*c j*ij
j
ji
i
i
i
2
i gc?
上式可视为在 ψ中,表现为 fi 态,从而测的 G物理量为 gi值的几率为 ci2,即在测量中得到 g1 的几率为 c12,
得到 g2 的几率为 c22,
得到 g3 的几率为 c32,… 。
因此 <G>是在一次测量中该物理量可能取值的几率平均值。
要注意到在测量物理量 G时，测得的值只能该物理量算符的本征值之一，而不可能出现其它值。
在多次测量中,<G>是该物理量的真正平均值 。
假设 5：含时薛定谔方程（ time-
dependent schr?dinger epuation）
)t,x(ti)t,x()Um2( 2
2
或
)t,x(ti)t,x(H
定态薛定谔方程（ time-independent
schr?dinger epuation）
)x(E)x()Um2( 2
2
或
)x(E)x(H
定态时
)Etie x p ()x()t,x(
这样，体系的几率密度在空间的分布与时间无关
22 )x()t,x()t,x(*)t,x(
体系所有的物理量的期望值也不随时间而改变
d)x(G?*)x(d)t,x(G?*)t,x(
§ 1.3 微扰理论（ perturbation theory）
绝大多数体系薛定谔方程的精确求解都是不可能的。因此量子力学发展了两个重要的近似方法，
一个是变分法，一个是微扰理论。
在光谱中，常用微扰理论来处理。光谱的发生是电磁辐射（辐射场）与分子或原子体系相互作用。
微扰法是把体系的哈密顿算符分成两部分,
'0 H?H?H
可以理解 为孤立体系的哈密顿算符,为体系与辐射场的相互作用能 。 孤立体系的分子轨道和能量由薛定谔方程确定
0H? 'H?
0i0i0i0 EH
电磁辐射对体系微扰的效果可由下式确定
iii EH
可以证明分子轨道能级的一级较正为
dH?*E 0i'0i1i
请注意,0级波函数给出了能量的 1级较正。
波函数的 1级较正为
)ik(EE
dH?*
a 0
i
0
k
0
i
'0
k
ik
0
k
ik
ik
1
i a
因此,受微扰后态的能量是
dH?*EE 0i'0i0ii
波函数是
)ik(
EE
dH?*
0
k0
k
0
i
0
i
'0
k
ik
0
ii
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化学楼,926
谱学原理参考书目
1。谱学导论 范康年 高等教育出版社
2。 Physical methods for chemists Drago
3。谱学原理 李重德第一章 量子力学基础
§ 1.1 量子力学的术语
（ a)算符（ Operator）
所谓算符，就是一种运算的符号,我们用符号,∧,来标明算符。算符常写在运算对象的左边,
(i)两个算符相等 。
对于任意函数 f(x),如果
)x(fG?)x(fF
我们说算符相等
G?F
(ii)两个算符的和与差由如下方程定义
)x(fG?)x(fF?)x(f)G?F?(
)x(fG?)x(fF?)x(f)G?F?(
(iii)两个算符相乘由方程 （ 1。 4） 定义
)]x(fG?[F?)x(fG?F
也就是说两个相乘的算符右边的算符先对函数 f(x)作用得到一个新的函数，
然后用左边的算符再对这个新的函数作用。
算符相乘满足结合律
)x(f)C?B?(A?)x(fC?)B?A?(?
但一般说来，算符相乘不满足交换律，即
F?G?G?F
定义 算符 的对易子 （ commutator）G?F?和
F?G?G?F?]G?,F?[
如果,那么 对易 。
F?G?G?F G?F?和如果,那么 不对易 。
F?G?G?F G?F?和例：计算 ]x,
dx
d[
1]x,
dx
d
[
)x(f
)x('xf)x('xf)x(f)x(f
dx
d
x?)x(fx?
dx
d
)x(f)
dx
d
x?x?
dx
d
()x(f]x,
dx
d
[
量子力学中讨论的所有力学量都对应一个算符，而且这些算符都是线性算符，所以我们必须掌握线性算符的概念。
算符 是线性算符的充分必要条件是它满足如下两个性质
F?
)x(gF?)x(fF?)]x(g)x(f[F
)x(fF?c)]x(cf[F
例,是线性算符吗？
*)(,dxd
)x(gdxd)x(fdxd)]x(g)x(f[dxd
)x(fdxdc)]x(cf[dxd?
所以它是线性算符。
量子力学中的力学量算符除了必需有“线性”的性质以外，它还必须有一个性质：厄米性 。
如果线性算符 满足F?
d*)fF?(ggdF?*f
那么是厄米算符 。
例如算符 是线性算符,但不是厄米算符 。
dx
d
dg*fgddxd*f v d uu d v)uv(d
*g d f)g*f(d
由于 f,g均为量子力学中的合格函数，必须收敛，
即当 x → ± ∞时,f,g→0.
ddx *dfgg*f gd*)fdxd(0
（ b） 本征方程 （ eigenvalue equation）
定义：力学量算符 有其相应的本征方程
F?
ffF
是力学量算符； λ为本征值,一般是实数； f是本征函数 。 原则上,已知算符的具体形式,就可以从其本征方程中求出其本征值和本征函数 。 本征值通常用于描述算符所对应的力学量的可能取值,而本征函数则描述相应的体系状态 。
F?
例：动量算符
)2h(xiP? x
)P()x(fP)x(fxi xx
dxiP)x(f )x(df x dxiP)x(flnd x
)xPie x p (C)x(f x
在没有边界条件的限制下,Px可取连续值,
当设立边界条件时,例如周期性的边界条件,f(0)=f(L),则有
)LiPe x p (C)0iPe x p (C xx 1)LiPe x p ( z?
利用 exp(ix)=cosx+isinx,可得出
n2LP x LhnLn2P x,Lh3,Lh2,Lh,0?
Px只能取一些分立的值；当一种力学量只能取一些分立的值时,我们称这种力学量是 量子化 的 。
解本征方程时，在同一本征值下往往可解出对应的 m个本征函数 f1,f2 …,f m,
它们之间必须是线性独立的，即其中任一本征函数不能由其它本征函数的线性组合来表示，我们称这个本征值的 简并度 为 m.
定理,(1)不同本征值对应的本征函数之间的线性组合不再是此算符的本征函数,
但它们仍是体系的一种可能状态,此即为态迭加原理 ；
(2)在简并度内的本征函数之间的任何线性组合仍然是属于同一算符的本征函数 。
（ c）厄米算符本征函数的三个性质：
定理一：厄米算符的本征值一定是实数；
证明：设 是厄米算符，本征方程为F?
ffF 以 作用 d*f
fd*ffdF?*f fd*f
对本征方程取共轭有
*f*)*fF?( 以 作用 df
d*f*fd*)fF?(f d*ff*
根据厄米算符的定义有
d*)fF?(ffdF?*f
fd*f*fd*f
0fd*f*)(
只有当 λ-λ*=0,即 λ=λ*时,上式成立,
∴ λ是实数。
定理二：厄米算符中属于不同本征值的本征函数互相正交。
证明,111 ffF 222 ffF )( 21
第一式以 作用 d*f 2
df*fdfF?*f 11212
第二式取共轭再以 作用df1
d*)f(fd*)fF?(f 22121
因为是厄米算符,有
d*)fF?(fdfF?*f 2112
d*f*fdf*f 221112
0df*f*)( 1221
0*21
0df*f 12
上式也是函数 f1,f2正交的定义 。
定理三 厄米算符的本征函数构成一个完备集合（完全系 complete set）。
函数空间中当 f1,f2,…,fn,… = { fi } 构成一完备集合时,则任意函数 ψ（ 含同样的变量和边界条件 ） 都可以对它进行展开,
或者说,可用完备集合的线性组合方式来精确地表达 ψ。
nn22f1 fcfcfc
§ 1.2 量子力学的几个基本假设假设 1：体系的状态可用波函数（ wave
function） ψ充分描述。
一个包含 N个微观粒子的体系，波函数的变量可由各个粒子的坐标变量和时间变量确定 。
)t,z,y,x,,z,y,x,z,y,x( NNN222111
合格的（品优 well-behaved ）波函数必须满足三个条件：单值，连续，平方可积。
一个体系的波函数给出了体系所拥有的全部信息。在经典力学中，牛顿力学可以告诉我们时间 t时，一个粒子在空间某处的确切位置。然而在量子力学中不是这样。那么一个单粒子波函数 ψ（ x,y,z,t）能告诉我们在时间 t时这个粒子在空间的位置吗？ Max Born回答了这个问题。
马克思 ·波恩
Max Born （ 1882—— 1970），
德国物理学家,1954 Nobel
Laureate in Physics.
波恩早在 1926年就发表了获奖论文 (关于波函数的统计分析 )。当他获奖时激动地说了这样一段发人深省的话：
“压倒多数的物理学家都承认我的波函数统计分析，但是也有不承认的，诸如像普郎克、爱因斯坦、薛定锷等著名科学家，因此，我的这项研究成果足足等待了 28年才获得诺贝尔奖。,
他说：
d)t,z,y,x(*)t,z,y,x(d)t,z,y,x( 2
为时间 t时在空间 dτ发现粒子的几率，
是几率密度。 2)t,z,y,x(?
准确的理解合格波函数的三个条件
空间一点发现粒子的几率是一个定值，
所以波函数也必须是单值；
为了获得波函数的能量，我们必须解一个二阶偏微分方程（薛定谔方程），只有波函数连续，这个方程才有解；
在整个空间中发现粒子的几率为 1,所以波函数必须平方可积 。
Ψ 和 cψ (c为任意常数 )描述了同一状态 。 因为在所有空间中发现粒子的几率为 1,为了计算方便起见,我们可以给波函数归一化 。 归一化的波函数满足
1d)t,z,y,x( 2
归一化过程如下,φ为任意波函数，设 Ψ=cφ,c
为归一化系数；
1d*cdc**cd 22
2d*/1c
假设 2：体系的每一个可观测物理量，必存在对应的线性厄米算符。
以直角坐标系中坐标，动量和时间等变量表达相应原经典物理量，再将上述三种变量依下列变换，
即得相应的量子力学物理量算符。
xip,tt,xx x?
例 经典力学中动能为
)ppp(m2 1T 2z2y2x
])zi()yi()xi[(m2 1T? 222
)]z()y()x[(m2 2
2
2
2
2
22
22
m2
位能为 )t,x(VV?
)t,x(VV
假设 3：体系若处在某物理量算符的本征函数（本征态）所描述状态中，则体系的该物理量有确定值，并且测得的物理量即为此本征态所属的本征值。
g1(x)态中只能测得 G1值)x(gG)x(gG?
111?
g2(x)态中只能测得 G2值)x(gG)x(gG?
222?
若体系处在非本征态中，测不能在测量前预先估计出所要测定的物理量的值，其值可能为 G1，
G2，。。。，但必须是本征值之一。
在经典力学中，当体系的状态确定后，所有的 物理量都有确定值；
在量子力学中,当体系的状态确定后,并不是所有的物理量都有确定值 。
1927年海森堡（ Werner Heisenberg）发现的不确定原理（ uncertainty principle）指出,
2
ht
2
hxp
x
Werner Heisenberg
2
ht
2
hxp
x
量子力学中那些物理量是可能同时确定的呢？
定理：两算符对易，则两算符有共同的本征函数完全系。
证明,对易,那么G?F?和 F?G?G?F
F?设 fi 是算符 的本征函数,即 iii ffF
iii fG?fG?F
用 左乘：G?
iii fG?fF?G
)fG?()fG?(F? iii
当 λi非简并时,fi与 fi 只能相差一个常数因子,
即
G?
gi 为一常数
iii fgfG
这是 的本征方程，所以 fi 也是 的本征函数。G? G?
当 λi简并时，命题也成立（证明从略）
因此当体系处于上述 fi状态时，由于它同时是的本征函数，故 对应的物理量同时有确定值。
G?F?和G?F?和换名话说,体系中两个物理量同时有确定值的充分必要条件是两个相应的算符对易 。
不对易的算符，其物理量不会同时确定 。
例如坐标算符 和动量算符xx xiP?x
0i]xi,x[
∴ x和 px 不会同时有确定值。
假设 4：体系处在算符 的非本征态 ψ
中，测出 的期望值为,G?
G?
d*
dG?*
G
若 ψ已归一化，则
dG?*G
从 的本征方程 中,可得本征方程完全系 {fi },非本征态 ψ可对 {fi }展开
G? iii fgfG
i
ii2211 fcfcfc?
ψ已归一化，即
1cd)fc(*)fc(d*
i
2
i
i
ii
i
ii
ci2可视为 ψ表现为 fi 态的几率。
d)fc(G?*)fc(dG?*G
i
ii
i
ii
dffgc*c j*ij
j
ji
i
i
i
2
i gc?
上式可视为在 ψ中,表现为 fi 态,从而测的 G物理量为 gi值的几率为 ci2,即在测量中得到 g1 的几率为 c12,
得到 g2 的几率为 c22,
得到 g3 的几率为 c32,… 。
因此 <G>是在一次测量中该物理量可能取值的几率平均值。
要注意到在测量物理量 G时，测得的值只能该物理量算符的本征值之一，而不可能出现其它值。
在多次测量中,<G>是该物理量的真正平均值 。
假设 5：含时薛定谔方程（ time-
dependent schr?dinger epuation）
)t,x(ti)t,x()Um2( 2
2
或
)t,x(ti)t,x(H
定态薛定谔方程（ time-independent
schr?dinger epuation）
)x(E)x()Um2( 2
2
或
)x(E)x(H
定态时
)Etie x p ()x()t,x(
这样，体系的几率密度在空间的分布与时间无关
22 )x()t,x()t,x(*)t,x(
体系所有的物理量的期望值也不随时间而改变
d)x(G?*)x(d)t,x(G?*)t,x(
§ 1.3 微扰理论（ perturbation theory）
绝大多数体系薛定谔方程的精确求解都是不可能的。因此量子力学发展了两个重要的近似方法，
一个是变分法，一个是微扰理论。
在光谱中，常用微扰理论来处理。光谱的发生是电磁辐射（辐射场）与分子或原子体系相互作用。
微扰法是把体系的哈密顿算符分成两部分,
'0 H?H?H
可以理解 为孤立体系的哈密顿算符,为体系与辐射场的相互作用能 。 孤立体系的分子轨道和能量由薛定谔方程确定
0H? 'H?
0i0i0i0 EH
电磁辐射对体系微扰的效果可由下式确定
iii EH
可以证明分子轨道能级的一级较正为
dH?*E 0i'0i1i
请注意,0级波函数给出了能量的 1级较正。
波函数的 1级较正为
)ik(EE
dH?*
a 0
i
0
k
0
i
'0
k
ik
0
k
ik
ik
1
i a
因此,受微扰后态的能量是
dH?*EE 0i'0i0ii
波函数是
)ik(
EE
dH?*
0
k0
k
0
i
0
i
'0
k
ik
0
ii
