4.旋转轴晶体结构中存在的对称性必须与点阵的周期性相适应,如下定理是这个原则的体现,
定理,晶体中的对称轴 (旋转轴,螺旋轴 )的轴次 n只限于 n=1,2,3,4,
6.
证明：如图 2.10所示,设点阵点 A1,A2,A3,A4相隔为 a,有一个 n重旋转轴通过点阵点 。 因为每个点阵点周围环境都相同,每一对称操作都存在对应的逆操作,以 α作半径转动角 α＝ 2π／ n,将会得到另一点阵点 。 绕 A2点顺时针方向转 α角,可得点阵点 B1; 绕 A3点逆时针方向转 α角,可得点阵点 B2。 B1 和 B2线平行于 A1和 A4线,B1和 B2间的距离必须为 a的整数倍,设为 ma,m为整数,得
a+2cosα ＝ ma
cosα=(m-1)／ 2,|(m-1)／ 2|≤ 1
满足这方程的 α值只能为 0o,60o,90o,120o,180o,360o。 这就证明点阵结构中旋转轴的轴次只有 1,2,3,4,6五种 。
二,三,四,六次旋转轴的国际符号分别为 2,3,4,6；熊夫利符号分别为 C2，
C3,C4,C6.
4.1 2（ C2）旋转轴一般地,Cn 轴 k (k＝ 1,2,…,n) 次对称操作的矩阵表示为结晶学中,公式中的 n只等于 2,4.
旋转轴 2（ C2） 的对称操作是旋转 2（ C2） 。
如果 2（ C2） 轴与 z 轴重合,其矩阵表示为,
等效点坐标为 (x,y,z),(-x,-y,z).
2 (C2) 投影图的图示表示如图
4.2 4（ C4）旋转轴
除非特别说明,我们所讨论的 4（ C4） 旋转轴总是与 z 轴平行 。
4（ C4） 的矩阵表示为




z
x
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
100
001
010
]001[4
)1(
)1(
)1(
等效点坐标为 (x,y,z),(-y,x,z),(-x,-y,
z),(y,-x,z),
4（ C4）是 4阶。


z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
100
010
001
]0 0 1[4 2
)2(
)2(
)2(




z
x
y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
100
001
010
]001[4 3
)3(
)3(
)3(
4（ C4）投影图的图示表示
4.3 6（ C6）旋转轴
结晶学总是在六角坐标系中讨论 3,6重轴,
六角坐标系中 X,Y轴交角为 1200，且与
Z轴垂直,
6（ C6） 旋转轴永远与 z轴平行 。
任意点 （ x,y,z） 在 6（ C6） 的作用下,
运动到 （ x-y,x,z） 的位置,如下图 所示 。 即

z
y
x
100
001
011
z
y
x
]001[6
'z
'y
'x
六角坐标系中两个等效点位置易知

100
001
011
]0 0 1[6


100
011
010
100
001
011
100
001
011
]0 0 1[6
2;
100
010
001
]001[6
3
;
100
001
011
]0 0 1[6
4

100
011
010
]001[6
5
6（ C6）的投影图图示表示显然,6（ C6） 的阶次为 6。
4.4 3（ C3）旋转轴因为 62(C26） =3(C3） ;
64(C46） = 32（ C23）,
当对 6(C6)的表示方法熟悉了,那么
3(C3） 的表示方法也就明白了,
5,螺旋轴螺旋轴对应的对称操作是旋转和平移的联合对称操作,螺旋轴的国际符号是 nm,它没有熊夫利符号,nm 的基本操作是旋转 2π/n再沿轴的方向平移 m/n个单位矢量,
各螺旋轴的图示符号
42螺旋轴的投影图图示表示
42螺旋轴的矩阵表示为,

z
x
y
z
y
x
z
y
x
C
z
y
x
z
y
x
2
1
2
1
2
1
42
)1(
)1(
)1(
0
0
100
001
010
0
0
)(44

z
y
x
z
x
y
z
x
y
C
z
y
x
z
y
x
2
1
2
1
2
1
2
1
42
2
)2(
)2(
)2(
0
0
100
001
010
0
0
)(44


z
x
y
z
y
x
z
y
x
C
z
y
x
z
y
x
2
1
2
1
2
1
42
3
)3(
)3(
)3(
0
0
100
001
010
0
0
)(44
各等效点坐标,(x,y,z),（ -y,x,1/2+z）,(-x,-y,z),(y,
-x,1/2+z).
那么 42螺旋轴的阶次如何?
因为 42螺旋轴包含有平移，无论操作多少次，都不会回到出发点，所以 42螺旋轴的阶次是 ∞,
所有包含平移的对称元素都是无穷阶的,
6,反轴反轴有三,四,六次反轴 (习题 7说明了为什么没有二次反轴 ),
反轴的国际符号为,对应的熊夫利符号为 S65,S43,S35,6,4,3
反轴的图示符号三重反轴投影图的图示表示的距阵表示为)(3 5
6S



z
xy
y
z
y
x
z
y
x
Ci
z
y
x
S
z
y
x
100
011
010
100
010
001
)(3)(1)(3 356
)1(
)1(
)1(




z
x
xy
z
xy
y
z
xy
y
Ci
z
xy
y
S
z
y
x
100
011
010
100
010
001
)(3)(1)(3 356
)2(
)2(
)2(


z
y
x
z
x
xy
z
x
xy
Ci
z
x
xy
S
z
y
x
100
011
010
100
010
001
)(3)(1)(3 356
)3(
)3(
)3(


z
yx
y
z
y
x
z
y
x
Ci
z
y
x
S
z
y
x
100
011
010
100
010
001
)(3)(1)(3 356
)4(
)4(
)4(


z
x
yx
z
yx
y
z
yx
y
Ci
z
yx
y
S
z
y
x
100
011
010
100
010
001
)(3)(1)(3 356
)5(
)5(
)5(
等效点坐标 (x,y,z); (y,y-x,-z); (y-x,-x,z); (-x,-y,-z); (-y,x-
y,z); (x-y,x,-z).
请同学们注意,三个反轴的熊夫列符号有不同的表示方法,例如周公度
(P349)的熊夫列符号分别是 C3i,S4,C3h,
两者之间有一微小差别,S65和 C3i是相同的 ; 和 S4有相同的四个等效点,只是它们作用于一任意点后,没有得到另一相同的等效点,和 C3h也是这样,本课程中可认为这些熊夫列符号通用,
4
6
以上我们讨论的对称性中只有一部分可能在晶体的理想外形中表现出来，这些对称性称之为宏观对称性。
独立的宏观对称元素只有 1（ E）,2
（ C2）,3（ C3）,4C4）,6（ C6）,
（ S43）,m（?）和 ī (i)。
4
晶体的微观对称性由平移和宏观对称元素组合而成,即原有的旋转轴由旋转轴或螺旋轴取代,原有的镜面由镜面或滑移面取代,
独立的微观对称元素由独立的宏观对称元素和平移组成,
在晶体的理想外形中，晶体微观对称操作中包含的平移被晶体的连续性和均匀性所掩盖,