1
《金融时间序列分析》讲义
主讲教师,徐占东
登录,www.dufe.org 徐占东,金融时间序列模型,
参考教材,
1．,金融时间序列的经济计量学模型,经济科学出版社 米尔斯著
2．,经济计量学手册》章节
3．,Introductory Econometrics for Finance,Chris Brooks 剑桥大学出版社
4．,金融计量学：资产定价实证分析,周国富著 北京大学出版社
5．,金融市场的经济计量学,Andrew lo 等 上海财经大学出版社
6．,动态经济计量学,Hendry 著 上海人民出版社
7．,商业和经济预测中的时间序列模型》中国人民大学出版社 弗朗西斯著
8．,No Linear Econometric Modeling in Time series Analysis,剑桥大学出版社
9．,时间序列分析,汉密尔顿 中国社会科学出版社
10．,高等时间序列经济计量学,陆懋祖 上海人民出版社
11．,计量经济分析,张晓峒 经济科学出版社
12．,经济周期的波动与预测方法,董文泉 高铁梅著 吉林大学出版社
13．,宏观计量的若干前言理论与应用,王少平著 南开大学出版社
14．,协整理论与波动模型——金融 时间序列分析与应用》张世英、
樊智著 清华大学出版社
15．,协整理论与应用,马薇著 南开大学出版社
16,（ NBER working paper） www.nber.org
2
17,（ Journal of Finance） www.afajof.org
18,（中国金融学术研究网） www.cfrn.com.cn
教学目的,
1） 能够掌握时间序列分析的基本方法；
2） 能够应用时间序列方法解决问题。
教学安排
1 单变量线性随机模型,ARMA ; ARIMA; 单位根检验。
2 单变量非线性随机模型,ARCH,GARCH 系列模型。
3 谱分析方法。
4 混沌模型。
5 多变量经济计量分析,VA R 模型，协整过程；误差修正模型。
3
第一章 引论
第一节 金融学简介
一,金融学概论
1．金融学：研究人们在不确定环境 中进行资源最优配置的学科。金融学的三个核心问题,资产时间价值,资产定价理论 （资源配置系统）
和风险管理理论。
2．金融理论分类,
1) 中国传统的金融理论：货币银行和国际金融。
货币银行理论主要研究构成金融学基础的货币的产生、职能、货币系统的构建、货币系统的工作机理、以及货币市场等理论。目前货币银行理论的重点转向中央银行利用货币政策进行宏观调控的研究上来。而银行理论逐渐转向微观金融理论的研究范畴。
国际金融理论是研究国际贸易中发生的货币（汇率）支付问题，
主要包括汇率决定制度、汇率稳定制度，汇率危机理论。
2) 西方金融理论：是与资本市场有关 的各种理论。包括金融经济学
financial economics；公司金融 corporate finance；金融市场学 financial
market； 行为金融理论 behavioral finance；
3）理论金融学和实证金融学：金融学的核心问题是结果的不确定性。
理论金融主要以数理金融和金融工程为主； 数理金融和金融工程主要研究金融模型，包括资产定价理 论，风险管理理论两部分。资产配置系统中核心问题就是资产的价格,而金融资产的最大特点就是结果的不确定性,因此金融资产的定价也就是金融理论中最重要的问题之一。因此资产定价理论是任何一个金融理论教材都要研究的问题。
而目前对资产定价的研究逐渐从最传统的高斯分布条件下的研究开始向偏离正态分布下如何定价的研究。传统金融资产定价的参考书：
4
Merton 的连续时间金融； Duffie 的动态资产定价理论； Jorrow 的金融决策制定理论；黄奇辅的金融经济学 基础；风险管理理论探讨的是金融资产管理问题的另一方面。由于东 亚金融危机的爆发，全世界越来越重视金融资产的风险问题。由于结 果的不确定性，某些资产就体现出风险特征。而目前风险管理不仅涉及到个人资产组合的风险管理，
证券市场的风险管理，还包括银行的 信用风险管理，操作风险管理等各个金融领域，可以说，金 融理论的中心已经从定价转向风险管理这一课题。
实证金融的重点研究方法就是金融经济计量学； 实证金融主要是对经济理论的检验。不仅包括对金融 理论前提的检验，还包括对金融理论模型结果的检验。应该说,实证金融问题是学术界探讨最多的问题，人们更关心金融资产的实际情况,而对于理论模型中不符合实际情况的问题产生质疑。 因此实证金融问题对金融理论的发展起到了促进作用。经典的参考书,Andrew 的金融市场的经济计量学；布鲁克斯的金融经济计量学引论；米尔斯的金融时间序列模型；
二．金融理论研究的两个问题：收益率和风险
收益率度量的是资产的价格。风险是 对结果不确定性的一种度量。
（一） 收益率
1．收益率的定义,
（ 1） （ simple net return）简单净收益：
1
1
t
t
t
P
R
P
=? 。
（ 2） (simple gross return)简单总收益 1
t
R+,等于 1 加上简单净收益,。
（ 3）复利：如果时期 t-k 到时期 t 内可以分为 k 个时期，则总收益
()( ) ( )
11
12 1
123
1 1 1,...,1
....
ttr tk
tt t tk t
tt t tk tk
RRR R
PP P P P
PPP P P
+
+
+≡+ + +
≡=
净收益等于总收益减 1。
5
这里强调：收益率一定是有时间限制 的，即它是一个流量指标。学术文献中的收益率通常为年收益率。
对于多年收益率，需要进行年度化（转换成年度收益率形式）,公式为,
() ()
1
1 1
00
1
11
k
k k
ttjtj
jj
Annualized R k R R
k
==
=+
∑∏
null
近似解根据的是 Taylor 分解。使用近似值要依据实际情况来决定。
（ 4）连续复利（或对数收益率）,
()
1
1
log 1 log
t
tt tt
t
P
rR pp
P
≡+= =?
这里的 log
tt
p P= 为价格的对数。
（ 5）股息：如果期间存在股息时，则期末的价格
t
P 称为除息价格，
此时的收益率就应该考虑股息，即
1
1
tt
t
t
PD
R
P
+
=? ( ) ( )
1
log log
ttt t
rPD P
=+?
2．为什么研究收益率，而不研究价格。
（ 1）投资的规模收益特性：平均而 言，金融市场可以认为是完全竞争的，所以投资规模不会影响收益率 。因此收益是度量投资机会的合适的指标。
（ 2）收益率具有平稳性和遍历性。 比价格具有更好的统计特性。尤其是，动态一般均衡模型一般得到的 是非平稳的价格，但得到的收益率是平稳的。
3．简单收益率和对数收益率的比较
（ 1）简单收益率的缺点,
a．正态分布假设违背了有限负债原则。 b．单期收益服从正态分布，
多期收益却不服从正态分布。
6
（ 2） 对数收益率的优点,
1）多期收益情形，对数多期收益等于单期连续复利的和,
() ()()( )( ) ( )( )
()( ) ( )
11
11
11
log 1 log 1 1,.,1
log 1 log 1,.,log 1
....
tt tttk
tt tk
tt tk
rk Rk R R R
RR R
rr r
+
+
=+ = ++ +
=++++++
=+ ++
对数收益率使收益率的统计建模更为简单。
2）价格取对数，能够降低数值；
3）价格取对数，能够消除某些过程 的非平稳性，既当方差为均值的某种函数形式时,取对数可以消除这方面的影响,从而得到常数方差。
4）为了估计变量弹性的需要。
(3) 对数收益率的缺点,
对于投资组合收益
1
N
pt ip it
R wR=
∑
，但投资组合的对数收益率不等于资产的对数收益率的和,即
1
N
pt ip it
rwr≠
∑
。 当 0t? →,则
1
N
pt ip it
rwr→
∑
。
因此，当我们研究资产之间关系时,一般使用简单收益率；而当研究收益的跨期行为时，使用对数收益率。
4．剩余收益（收益率溢价）
即考察资产收益和另外一种参考资产（如无风险资产）的收益的比较，表示为
0it it t
Z RR=?,
0it it t
zrr=?
这种溢价可以认为是一种套利投资组合，此投资组合中资产为多头，
参考资产为空头。因此，净投资为零,所以称为套利投资组合。
（二） 风险
1．风险的定义：是指在决策过程中,由于各种不确定因素的作用，
决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性以及可能损失的程度。
包括损失的概率、可能损失的数量以及损失的易变性。
2．风险的分类,
7
1）信用风险 credit risk,The risk of a trading partner not fulfilling his
obligations in full on due date or at any time。 Including aggregation,
probability of default and expected loss measurements。
2）市场风险 Market Risk,an institution's financial condition resulting
from adverse movements in the level or volatility of market prices of
interest rate instruments,equities,commodities and currencies,Market
risk is usually measured as the potential gain/loss in a position/portfolio
that is associated with a price movement of a given probability over a
specified time horizon,This is typically known as value-at-risk (VAR),
3）清算风险 Settlement Risk,Settlement risk is the risk that a settlement
in a transfer system does not take place as expected,settlement risk
comprises both credit and liquidity risks,The former arises when a
counterparty cannot meet an obligation for full value on due date and
thereafter because it is insolvent,Liquidity risk refers to the risk that a
counterparty will not settle for full value at due date but could do so at
some unspecified time thereafter; causing the party which did not receive
its expected payment to finance the shortfall at short notice,
4）其它风险 Other Risks,
（ 1）流动性风险 liquidity risk,which comes in two forms,Market
liquidity risk arises when a firm is unable to conclude a large transaction
in a particular instrument at anything near the current market price,
Funding liquidity risk is defined as the inability to obtain funds to meet
cashflow obligations,
（ 2）法律风险 legal risk,which is the risk that a transaction proves
unenforceable in law or because it has been inadequately documented;
（ 3）操作风险 operational risk,i.e,the risk of unexpected losses arising
from deficiencies in a firm's management information,support and
control systems and procedures,
8
3．风险的度量：方差，半方差,var 等方法。 Garch 模型常用来度量金融资产风险。
三．金融市场的标准：有效市场假设
金融市场的一个理论基础是有效市场假设。
1,有效市场理论的发展,起源于巴舍利耶 （ 1900） 年,1933 年,Cowles
作出了一些贡献。在 1965 年，萨缪尔森开始了有效市场的现代经济学研究。 1970 年，法马（ Fama）对有效市场理论进行了总结。
2．有效市场的定义（ Malkiel,1992）,如果资本市场能够完全并且正确地反映了所有决定证券价格的相关信息，则资本市场就是有效的；或者说，如果对所有投资者进行信息披露，不会影响证券价格，
则市场是有效的。在有效市场中，根 据信息不能够获得经济利润。
这里的有效市场假设和经济学的帕雷托有效是不同的。
根据有效市场的定义，可以确定 两种检验市场有效性的方法,
（ 1）披露信息，检验股票价格是否有所反映。
（ 2）检验基金经理以及其他信息交易者是否会获得超额利润。
（ 3）根据信息，信息交易者是否会得到超额利润。
3．根据信息集的划分，可以将有效市场分为三类,
（ 1）弱式有效市场：信息集仅包括价格和收益的历史信息。
（ 2）半强式有效市场：所有市场信息。
（ 3）强式有效市场：任何市场信息。
4．有效市场的含义,（ 1）没有专门信息，就没有利润。 （ 2）即便有专门信息，也很难利用专门信息获利。 因为价格调整迅速，并且一次调整就达到目标。
5．市场有效性的检验
（ 1）有效性检验依赖于收益的分布 假设。因此检验拒绝有效性要区
9
分,a．市场真的无效 ; b．模型不正确；所以应该进行联合检验。
（ 2）完全有效性在实际当中不是现 实的基准。现实当中存在收集信息的成本和信息加工的成本，这些成本可以解释不正常的收益问题。
但成本很难精确的估计。
（ 3）相对有效性的检验比较有意义 。通过类比的手段，可以确定相对的有效性。
（ 4）有效性度量和检验的方法：方差界（ variance bounds）检验、欧拉方程检验,CAPM 检验和 APT 检验。这些都是检验市场有效性和市场均衡的联合检验方法。
第二节 时间序列模型介绍
金融方面的研究分为两个部分：一是理论上的定性研究，既规范研究；他探讨的是金融问题应该是什 么样的，这就是我们的系统金融经济学，主要内容包括资产定价理论（ CAPM 资本资产定价理论、套利定价理论 APT、多因素模型、期权定价理论等等）,使用的数学工具主要是分析工具：如简单的微积分,随机规划等分析性工具和优化工具。二是经验研究，或实 证研究，它侧重于研究现实问题到底是什么样的，也就是对现实世界的描述问题。 使用的方法就是经济计量理论和统计理论，如时间序列分析,经典的经济计量学。实证研究和规范研究相辅相成，构成了整个金融理论。 实证研究为规范研究提供支持和改进方向，规范研究为实证研究提供参照物和基准点。
金融时间序列分析是一门应用性极强的学科,它的主题就是应用时间序列的分析方法,对资本市场和所有的金融研究领域进行经验研究，为进一步的规范研究提供方向。
一．经济计量学的发展
1,Econometrics:经济计量学或计量经济学定义：利用经济理论、数
10
学、统计推断等工具对经济现象进行 分析的一门社会科学。运用数理统计知识分析经济数据,对构建于数理经济学基础之上的数学模型提供经验支持，并得出数量结果。
2．经济计量学的发展
（ 1） 1933 年《计量经济学》杂志的正式出版发行，标志着经济计量学学科体系的建立。创始人物为耶鲁大学的教授 I.Fisher，主要以单方程的计量经济模型为主，而且都是基于经济学理论设定模型，并进行 OLS(最小二乘估计） 。
（ 2） 1955 年，经济计量学得到了革命性的突破，首先建立了精确的概率统计框架,其次建立了多方程的联立方程模型,包含设定,识别、
估计和检验。代表人物为诺贝尔经济学奖获得者克莱因。
（ 3） 1970 年，随着 Box 和 Jenkins 的《时间序列分析：预测与控制》
的出版，标志着时间序列经济计量学的诞生。之后时间序列分析方法得到快速的发展。代表人物为 Box 和 Jenkins。
（ 4） 80 年代,Hendry 等提出动态经济计量学理论。
3．经济计量学的分类,
（ 1）经典经济计量学（理论驱动建模）,主要指 Fisher 建立的经济计量学，它的主要特征是以 OLS 估计为基础，以经济理论为依据设定模型。
（ 2） 时间序列分析 （数据驱动建模）,以经济变量本身数据出发，
研究变量的自身变化。
（ 3）动态经济计量模型（理论和数据相结合）,从一般到特殊的经济计量建模方法。
（ 4）非参数非线性的经济计量模型。
二,金融实证分析手段,
11
1．经典经济计量学方法：主要是以 回归分析为主的，以经济理论为前提的经济计量分析手段。 数据主要是混合数据。 例如,CAPM 检验，
单因素模型方法。
2．统计分析手段：以统计分析手段,对金融问题进行分析的方法，
例如 APT 多因素模型，利用主成分分析手段对混合数据进行研究。
3．时间序列方法：分为时域分析和频域分析。
1）时域分析主要是对时间序列的数 据生成过程的研究，力求找到能够更好数据生成的过程。分为单序列方法,多序列方法。单序列方法有分为线性方法和非线性方法。线性方法主要以 Box 和 Jenkins 建立的 ARMA 模型。非线性方法主要以 arch 模型为主。根据平稳性，又可分为平稳的时间序列建模和非平稳的时间序列建模。
2）谱分析方法：主要利用傅立叶分 解手段，将时间序列分解成不同频率的和，从而分析控制时间序列发展的周期和频率。
4）其他方法：如利用随机过程中的 first-stage time 方法进行研究。
三、时间序列模型
（一）线性随机模型
金融领域最早研究的领域是资产的价格,价格分析是金融时间序列研究的一个重要主题,最早的关于价格的假设是价格变化本身服从正态分布,这意味着价格序列是由布朗运动（维纳过程）生成的。
价格变化假设
1tt t
p pa
= （ 1-1）
这里
t
a 服从正态分布，是一个均值为零，相互独立的误差项。在这个模型我们发现前后价格之间存在完全的依赖关系。 当期价格是前一期价格加上一个正态分布的扰动项。
布朗运动（维纳过程）,
12
标准维纳过程
() [ ]{ }
,0,1Pt t∈ 是定义在闭区间上的连续变化的单变量的随机过程，满足以下条件,（ 1） ( )00P = ； （ 2）闭区间上任何一组有限分割
12
0,..,1
k
tt t≤<< <=,
( )
,1,2,...,
j
Pt j k= 的变化量
() () () () ( ) ( )
21 32 1
,,...,
kk
Pt Pt Pt Pt Pt Pt
为相互独立的随机变量；
（ 3）对任何 01st≤ <≤,( ) ( ) ( )0,Pt Ps N t s～ 。
可见，如果价格变化服从假设（ 1-1）,则我们说价格服从布朗运动或随机漫步。而价格差分服从正态 分布，不过这个正态分布的方差依赖于价格之间的时间差。
价格变化（ 1-1）连续反向代换：
1
t
ti
i
Pa
=
=
∑
，此时说明价格是由纯随机变化的累积生成的。可见金融资产价格服从布朗运动，则价格由服从正态分布的扰动项累积而成,从而我们无法预测下一期的价格变化，此时预测不起作用。因此，在 完全的金融市场中，这样的价格变化是有效金融市场假设的一部分。
如何检验,一个检验方法就是检查价格序列的自相关性质，使用的模型是自回归整移动平均（ ARIMA）模型。
i,非线性随机模型。
随机漫步，游走模型（价格变化服从正态分布）限制性太强，过于理想化。
一只股票的收益率定义为股息率和资本利得之和，即
1
1
ttt
t
t
PDP
r
P
+
+
+?
= （ 1.2）
t
D 为股票在时段 t内支付的股息。如果期望收益率
( )
1tt
E rr
+
= 为常数，
则此时
t
r 为一个公平游戏（ fair game） 。对（ 1.2）取期望，并整理，
有
()( )
1
1
1
tttt
PrEPD
+
=+ + （ 1.3）
13
这表明时刻 t的股价等于未来期望价格和股息总和的贴现，贴现率为
r。如果股息可以再投资，则假设在时刻 t，持有
t
h 股股票，则在时刻
1t+ 的投资价值
( )
111 1ttttt t
x hP hP D
+++ +
==
两边取期望
() ( ) ( ) ( )()
111 1
11
tt ttt ttt t tt t
Ex EhP hEP D rhP rx
+++ +
== =+=+。
则
t
x 为鞅。
鞅,如果对一切 n，
{ }
n
Ex <∞，并且
11 2
,,...,
nnn
E xxx x x
+
=
。公平游戏。
如果 0r ≥,则 ()
1tt t
Ex x
+
≥,
t
x 为下鞅； 0r ≤,则 ( )
1tt t
Ex x
+
≤,
t
x 为上鞅。
如果加入股息率，则一般来说股票价格不是鞅：对（ 1.2）取期望，
并整理,( ) ()
1
1
tt t tt t
rEDPEP P
+
=+?，发现除非 ( )
tt t
ED P为常数，
t
P 才为鞅。
（三）随机漫步和鞅的区别,
鞅仅消除了条件期望对时刻 t信息的依赖性；而随机漫步还消除了高阶矩对时刻 t信息的依赖性。从而鞅假设可以允许我们用连续条件方差的自相关特性来建模，也就是 ARCH 模型。
1．随机游走和鞅假设的一般形式
( ) ( ),0
ttk
Cov f r g r
+
=
这里,
ttk
rr
+
为时刻 t,tk+ 的收益率,其中 ( )
t
f r 和 ( )
kt
gr
+
分别表示,
ttk
rr
+
的两个任意函数。通过选择 ( )
t
f r 和 ( )
kt
gr
+
的恰当形式，能够得到各种类型的随机游走和鞅假设。这个条件称为正交条件。
（ 1）如果
( )
t
f r 和
()
kt
gr
+
都是线性的，则
( )
t
f r 和
( )
kt
gr
+
序列不相关。
此时的模型为随机游走 3 模型。
（ 2）如果 ()
kt
gr
+
为线性函数，则此时的模型为鞅假设。
（ 3）如果 ()
t
f r 和
()
kt
gr
+
对所有的函数成立，则此时的模型称为随
14
机游走模型 1 和 2。
表 2.1.1 随机游走模型和鞅假设的分类
() ( ),0
ttk
Cov f r g r
+
=
()
kt
gr
+
线性函数
( )
kt
gr
+
任意函数
()
t
f r 为线性函数 增量不相关，随机游走 3,
则线性投影
Pr
tk t
oj r r u
+
=
non
()
t
f r 任意函数 鞅或公平游戏
tk t
E rr u
+
=
独立增量，随机游走 1,2
()
tk t tk
pdf r r pdf r
++
=
2,鞅模型（金融资产定价的最早的模型）
（ 1）起源于赌博和概率理论。
（ 2）鞅（公平游戏）的定义：如果随机过程 { }
t
P 满足下列条件
11
,,....
ttt t
E PPP P
+?
=
或
11
,,...,0
tttt
EP PPP
+?
=
如果
t
P表示时刻 t 的价格，则鞅假设表示基于过去的历史信息，下一个时期的预期价格于当前时期的价格。 也就是说，在最小均方误差意义上，明天的最佳预测就是今天的价 格，这意味着价格上涨或下跌的可能性是相等的。
鞅假设另外一层意义是,没有相互迭代的时间间隔的价格变化是不相关的。也就是说基于历史信息，未 来价格变化的线性预测无效。鞅假设是有效资本市场的一个必要条件，过去信息持续不断的、完全并且永久的影响着资产的当前价格。如 果市场是有效的，则基于历史信息，未来价格变化的期望必定为零。
市场越有效，价格序列的变化越随机。
（ 3） 鞅假设的缺点：没有考虑风险问题。因为风险和预期收益的平
15
衡问题是现代金融经济学的核心问题。因此已经证明，股票价格的鞅特性既不是理性资产定价的充分条件也不是必要条件。
（ 4） 鞅假设的应用,
1） 如果考虑风险调整的资产收益，则鞅特性成立。而且在一般条件下，边际效用加权价格服从鞅过程。
2） 风险调整的鞅特性，促进了复杂金融工具，如期权、掉期
（ swaps）和其他衍生证券的定价。
3） 鞅特性促进了随机游走假设理论的发展。
3．随机游走 1（ RW1）,IID 增量（独立同分布增量）
（ 1） IID 是随机游走模型中的最简单情形，其形式为
1ttt
PPeμ
=+ +
( )
2
0,
t
eIIDσ～ （ Ar(1)模型）
称为有漂移的随机游走模型。 μ 为漂移项，
( )
2
0,
t
eIIDσ～ 表示服从均值为 0,方差为
2
σ 的独立同分布的随机变量。独立意味着，不仅变量之间线性不相关，而且对于非线性函数也不相关。
（ 2）随机游走模型的特征,
考虑条件均值和条件方差，条件是基于时刻 0 的价格
0
P,
00t
E PP P tμ=+
2
0
var
t
PP tσ=
明显随机游走模型非平稳的，条件均值为时间的线性函数。
（ 3）如果
()
2
0,
t
eIIDNσ～,此时模型变为几何布朗运动（ arithmetic
Brownian motion） 。但此时违反了有限责任条款。因此，采用对数正态模型形式,
1ttt
p peμ
=+ +
( )
2
0,
t
eIIDNσ～
这里 log
tt
p P= 。
4,随机随走 2（ RW2）,独立增量
独立同分布增量过程不可理解。经济,社会、技术、机构和管制环境
16
都发生了变化，从而断言股票收益的概率同分布也不可理解。此时引入独立增量过程。并且 RW2 假设扰动项非条件异方差。可以描述金融时间序列的时变波动性问题。
5．随机游走 3（ RW3）,不相关增量
这是最弱的形式,
[ ]
,0
ttk
Cov e e
=,0k ≠ 。此时增量过程不相关，但增量的平方确有可能相关。
四,其他的非线性随机模型还包括随机方差模型（ stochastic
variance）,双线性过程 (bilinear process)，马尔科夫转换过程 (markov
switching process)，平滑转换 (smooth transition)以及混沌模型 (chaotic
model)，神经网络模型 (artificial neural network)。
《金融时间序列分析》讲义
主讲教师,徐占东
登录,www.dufe.org 徐占东,金融时间序列模型,
参考教材,
1．,金融时间序列的经济计量学模型,经济科学出版社 米尔斯著
2．,经济计量学手册》章节
3．,Introductory Econometrics for Finance,Chris Brooks 剑桥大学出版社
4．,金融计量学：资产定价实证分析,周国富著 北京大学出版社
5．,金融市场的经济计量学,Andrew lo 等 上海财经大学出版社
6．,动态经济计量学,Hendry 著 上海人民出版社
7．,商业和经济预测中的时间序列模型》中国人民大学出版社 弗朗西斯著
8．,No Linear Econometric Modeling in Time series Analysis,剑桥大学出版社
9．,时间序列分析,汉密尔顿 中国社会科学出版社
10．,高等时间序列经济计量学,陆懋祖 上海人民出版社
11．,计量经济分析,张晓峒 经济科学出版社
12．,经济周期的波动与预测方法,董文泉 高铁梅著 吉林大学出版社
13．,宏观计量的若干前言理论与应用,王少平著 南开大学出版社
14．,协整理论与波动模型——金融 时间序列分析与应用》张世英、
樊智著 清华大学出版社
15．,协整理论与应用,马薇著 南开大学出版社
16,（ NBER working paper） www.nber.org
2
17,（ Journal of Finance） www.afajof.org
18,（中国金融学术研究网） www.cfrn.com.cn
教学目的,
1） 能够掌握时间序列分析的基本方法；
2） 能够应用时间序列方法解决问题。
教学安排
1 单变量线性随机模型,ARMA ; ARIMA; 单位根检验。
2 单变量非线性随机模型,ARCH,GARCH 系列模型。
3 谱分析方法。
4 混沌模型。
5 多变量经济计量分析,VA R 模型，协整过程；误差修正模型。
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第一章 引论
第一节 金融学简介
一,金融学概论
1．金融学：研究人们在不确定环境 中进行资源最优配置的学科。金融学的三个核心问题,资产时间价值,资产定价理论 （资源配置系统）
和风险管理理论。
2．金融理论分类,
1) 中国传统的金融理论：货币银行和国际金融。
货币银行理论主要研究构成金融学基础的货币的产生、职能、货币系统的构建、货币系统的工作机理、以及货币市场等理论。目前货币银行理论的重点转向中央银行利用货币政策进行宏观调控的研究上来。而银行理论逐渐转向微观金融理论的研究范畴。
国际金融理论是研究国际贸易中发生的货币（汇率）支付问题，
主要包括汇率决定制度、汇率稳定制度，汇率危机理论。
2) 西方金融理论：是与资本市场有关 的各种理论。包括金融经济学
financial economics；公司金融 corporate finance；金融市场学 financial
market； 行为金融理论 behavioral finance；
3）理论金融学和实证金融学：金融学的核心问题是结果的不确定性。
理论金融主要以数理金融和金融工程为主； 数理金融和金融工程主要研究金融模型，包括资产定价理 论，风险管理理论两部分。资产配置系统中核心问题就是资产的价格,而金融资产的最大特点就是结果的不确定性,因此金融资产的定价也就是金融理论中最重要的问题之一。因此资产定价理论是任何一个金融理论教材都要研究的问题。
而目前对资产定价的研究逐渐从最传统的高斯分布条件下的研究开始向偏离正态分布下如何定价的研究。传统金融资产定价的参考书：
4
Merton 的连续时间金融； Duffie 的动态资产定价理论； Jorrow 的金融决策制定理论；黄奇辅的金融经济学 基础；风险管理理论探讨的是金融资产管理问题的另一方面。由于东 亚金融危机的爆发，全世界越来越重视金融资产的风险问题。由于结 果的不确定性，某些资产就体现出风险特征。而目前风险管理不仅涉及到个人资产组合的风险管理，
证券市场的风险管理，还包括银行的 信用风险管理，操作风险管理等各个金融领域，可以说，金 融理论的中心已经从定价转向风险管理这一课题。
实证金融的重点研究方法就是金融经济计量学； 实证金融主要是对经济理论的检验。不仅包括对金融 理论前提的检验，还包括对金融理论模型结果的检验。应该说,实证金融问题是学术界探讨最多的问题，人们更关心金融资产的实际情况,而对于理论模型中不符合实际情况的问题产生质疑。 因此实证金融问题对金融理论的发展起到了促进作用。经典的参考书,Andrew 的金融市场的经济计量学；布鲁克斯的金融经济计量学引论；米尔斯的金融时间序列模型；
二．金融理论研究的两个问题：收益率和风险
收益率度量的是资产的价格。风险是 对结果不确定性的一种度量。
（一） 收益率
1．收益率的定义,
（ 1） （ simple net return）简单净收益：
1
1
t
t
t
P
R
P
=? 。
（ 2） (simple gross return)简单总收益 1
t
R+,等于 1 加上简单净收益,。
（ 3）复利：如果时期 t-k 到时期 t 内可以分为 k 个时期，则总收益
()( ) ( )
11
12 1
123
1 1 1,...,1
....
ttr tk
tt t tk t
tt t tk tk
RRR R
PP P P P
PPP P P
+
+
+≡+ + +
≡=
净收益等于总收益减 1。
5
这里强调：收益率一定是有时间限制 的，即它是一个流量指标。学术文献中的收益率通常为年收益率。
对于多年收益率，需要进行年度化（转换成年度收益率形式）,公式为,
() ()
1
1 1
00
1
11
k
k k
ttjtj
jj
Annualized R k R R
k
==
=+
∑∏
null
近似解根据的是 Taylor 分解。使用近似值要依据实际情况来决定。
（ 4）连续复利（或对数收益率）,
()
1
1
log 1 log
t
tt tt
t
P
rR pp
P
≡+= =?
这里的 log
tt
p P= 为价格的对数。
（ 5）股息：如果期间存在股息时，则期末的价格
t
P 称为除息价格，
此时的收益率就应该考虑股息，即
1
1
tt
t
t
PD
R
P
+
=? ( ) ( )
1
log log
ttt t
rPD P
=+?
2．为什么研究收益率，而不研究价格。
（ 1）投资的规模收益特性：平均而 言，金融市场可以认为是完全竞争的，所以投资规模不会影响收益率 。因此收益是度量投资机会的合适的指标。
（ 2）收益率具有平稳性和遍历性。 比价格具有更好的统计特性。尤其是，动态一般均衡模型一般得到的 是非平稳的价格，但得到的收益率是平稳的。
3．简单收益率和对数收益率的比较
（ 1）简单收益率的缺点,
a．正态分布假设违背了有限负债原则。 b．单期收益服从正态分布，
多期收益却不服从正态分布。
6
（ 2） 对数收益率的优点,
1）多期收益情形，对数多期收益等于单期连续复利的和,
() ()()( )( ) ( )( )
()( ) ( )
11
11
11
log 1 log 1 1,.,1
log 1 log 1,.,log 1
....
tt tttk
tt tk
tt tk
rk Rk R R R
RR R
rr r
+
+
=+ = ++ +
=++++++
=+ ++
对数收益率使收益率的统计建模更为简单。
2）价格取对数，能够降低数值；
3）价格取对数，能够消除某些过程 的非平稳性，既当方差为均值的某种函数形式时,取对数可以消除这方面的影响,从而得到常数方差。
4）为了估计变量弹性的需要。
(3) 对数收益率的缺点,
对于投资组合收益
1
N
pt ip it
R wR=
∑
，但投资组合的对数收益率不等于资产的对数收益率的和,即
1
N
pt ip it
rwr≠
∑
。 当 0t? →,则
1
N
pt ip it
rwr→
∑
。
因此，当我们研究资产之间关系时,一般使用简单收益率；而当研究收益的跨期行为时，使用对数收益率。
4．剩余收益（收益率溢价）
即考察资产收益和另外一种参考资产（如无风险资产）的收益的比较，表示为
0it it t
Z RR=?,
0it it t
zrr=?
这种溢价可以认为是一种套利投资组合，此投资组合中资产为多头，
参考资产为空头。因此，净投资为零,所以称为套利投资组合。
（二） 风险
1．风险的定义：是指在决策过程中,由于各种不确定因素的作用，
决策方案在一定时间内出现不利结果的可能性以及可能损失的程度。
包括损失的概率、可能损失的数量以及损失的易变性。
2．风险的分类,
7
1）信用风险 credit risk,The risk of a trading partner not fulfilling his
obligations in full on due date or at any time。 Including aggregation,
probability of default and expected loss measurements。
2）市场风险 Market Risk,an institution's financial condition resulting
from adverse movements in the level or volatility of market prices of
interest rate instruments,equities,commodities and currencies,Market
risk is usually measured as the potential gain/loss in a position/portfolio
that is associated with a price movement of a given probability over a
specified time horizon,This is typically known as value-at-risk (VAR),
3）清算风险 Settlement Risk,Settlement risk is the risk that a settlement
in a transfer system does not take place as expected,settlement risk
comprises both credit and liquidity risks,The former arises when a
counterparty cannot meet an obligation for full value on due date and
thereafter because it is insolvent,Liquidity risk refers to the risk that a
counterparty will not settle for full value at due date but could do so at
some unspecified time thereafter; causing the party which did not receive
its expected payment to finance the shortfall at short notice,
4）其它风险 Other Risks,
（ 1）流动性风险 liquidity risk,which comes in two forms,Market
liquidity risk arises when a firm is unable to conclude a large transaction
in a particular instrument at anything near the current market price,
Funding liquidity risk is defined as the inability to obtain funds to meet
cashflow obligations,
（ 2）法律风险 legal risk,which is the risk that a transaction proves
unenforceable in law or because it has been inadequately documented;
（ 3）操作风险 operational risk,i.e,the risk of unexpected losses arising
from deficiencies in a firm's management information,support and
control systems and procedures,
8
3．风险的度量：方差，半方差,var 等方法。 Garch 模型常用来度量金融资产风险。
三．金融市场的标准：有效市场假设
金融市场的一个理论基础是有效市场假设。
1,有效市场理论的发展,起源于巴舍利耶 （ 1900） 年,1933 年,Cowles
作出了一些贡献。在 1965 年，萨缪尔森开始了有效市场的现代经济学研究。 1970 年，法马（ Fama）对有效市场理论进行了总结。
2．有效市场的定义（ Malkiel,1992）,如果资本市场能够完全并且正确地反映了所有决定证券价格的相关信息，则资本市场就是有效的；或者说，如果对所有投资者进行信息披露，不会影响证券价格，
则市场是有效的。在有效市场中，根 据信息不能够获得经济利润。
这里的有效市场假设和经济学的帕雷托有效是不同的。
根据有效市场的定义，可以确定 两种检验市场有效性的方法,
（ 1）披露信息，检验股票价格是否有所反映。
（ 2）检验基金经理以及其他信息交易者是否会获得超额利润。
（ 3）根据信息，信息交易者是否会得到超额利润。
3．根据信息集的划分，可以将有效市场分为三类,
（ 1）弱式有效市场：信息集仅包括价格和收益的历史信息。
（ 2）半强式有效市场：所有市场信息。
（ 3）强式有效市场：任何市场信息。
4．有效市场的含义,（ 1）没有专门信息，就没有利润。 （ 2）即便有专门信息，也很难利用专门信息获利。 因为价格调整迅速，并且一次调整就达到目标。
5．市场有效性的检验
（ 1）有效性检验依赖于收益的分布 假设。因此检验拒绝有效性要区
9
分,a．市场真的无效 ; b．模型不正确；所以应该进行联合检验。
（ 2）完全有效性在实际当中不是现 实的基准。现实当中存在收集信息的成本和信息加工的成本，这些成本可以解释不正常的收益问题。
但成本很难精确的估计。
（ 3）相对有效性的检验比较有意义 。通过类比的手段，可以确定相对的有效性。
（ 4）有效性度量和检验的方法：方差界（ variance bounds）检验、欧拉方程检验,CAPM 检验和 APT 检验。这些都是检验市场有效性和市场均衡的联合检验方法。
第二节 时间序列模型介绍
金融方面的研究分为两个部分：一是理论上的定性研究，既规范研究；他探讨的是金融问题应该是什 么样的，这就是我们的系统金融经济学，主要内容包括资产定价理论（ CAPM 资本资产定价理论、套利定价理论 APT、多因素模型、期权定价理论等等）,使用的数学工具主要是分析工具：如简单的微积分,随机规划等分析性工具和优化工具。二是经验研究，或实 证研究，它侧重于研究现实问题到底是什么样的，也就是对现实世界的描述问题。 使用的方法就是经济计量理论和统计理论，如时间序列分析,经典的经济计量学。实证研究和规范研究相辅相成，构成了整个金融理论。 实证研究为规范研究提供支持和改进方向，规范研究为实证研究提供参照物和基准点。
金融时间序列分析是一门应用性极强的学科,它的主题就是应用时间序列的分析方法,对资本市场和所有的金融研究领域进行经验研究，为进一步的规范研究提供方向。
一．经济计量学的发展
1,Econometrics:经济计量学或计量经济学定义：利用经济理论、数
10
学、统计推断等工具对经济现象进行 分析的一门社会科学。运用数理统计知识分析经济数据,对构建于数理经济学基础之上的数学模型提供经验支持，并得出数量结果。
2．经济计量学的发展
（ 1） 1933 年《计量经济学》杂志的正式出版发行，标志着经济计量学学科体系的建立。创始人物为耶鲁大学的教授 I.Fisher，主要以单方程的计量经济模型为主，而且都是基于经济学理论设定模型，并进行 OLS(最小二乘估计） 。
（ 2） 1955 年，经济计量学得到了革命性的突破，首先建立了精确的概率统计框架,其次建立了多方程的联立方程模型,包含设定,识别、
估计和检验。代表人物为诺贝尔经济学奖获得者克莱因。
（ 3） 1970 年，随着 Box 和 Jenkins 的《时间序列分析：预测与控制》
的出版，标志着时间序列经济计量学的诞生。之后时间序列分析方法得到快速的发展。代表人物为 Box 和 Jenkins。
（ 4） 80 年代,Hendry 等提出动态经济计量学理论。
3．经济计量学的分类,
（ 1）经典经济计量学（理论驱动建模）,主要指 Fisher 建立的经济计量学，它的主要特征是以 OLS 估计为基础，以经济理论为依据设定模型。
（ 2） 时间序列分析 （数据驱动建模）,以经济变量本身数据出发，
研究变量的自身变化。
（ 3）动态经济计量模型（理论和数据相结合）,从一般到特殊的经济计量建模方法。
（ 4）非参数非线性的经济计量模型。
二,金融实证分析手段,
11
1．经典经济计量学方法：主要是以 回归分析为主的，以经济理论为前提的经济计量分析手段。 数据主要是混合数据。 例如,CAPM 检验，
单因素模型方法。
2．统计分析手段：以统计分析手段,对金融问题进行分析的方法，
例如 APT 多因素模型，利用主成分分析手段对混合数据进行研究。
3．时间序列方法：分为时域分析和频域分析。
1）时域分析主要是对时间序列的数 据生成过程的研究，力求找到能够更好数据生成的过程。分为单序列方法,多序列方法。单序列方法有分为线性方法和非线性方法。线性方法主要以 Box 和 Jenkins 建立的 ARMA 模型。非线性方法主要以 arch 模型为主。根据平稳性，又可分为平稳的时间序列建模和非平稳的时间序列建模。
2）谱分析方法：主要利用傅立叶分 解手段，将时间序列分解成不同频率的和，从而分析控制时间序列发展的周期和频率。
4）其他方法：如利用随机过程中的 first-stage time 方法进行研究。
三、时间序列模型
（一）线性随机模型
金融领域最早研究的领域是资产的价格,价格分析是金融时间序列研究的一个重要主题,最早的关于价格的假设是价格变化本身服从正态分布,这意味着价格序列是由布朗运动（维纳过程）生成的。
价格变化假设
1tt t
p pa
= （ 1-1）
这里
t
a 服从正态分布，是一个均值为零，相互独立的误差项。在这个模型我们发现前后价格之间存在完全的依赖关系。 当期价格是前一期价格加上一个正态分布的扰动项。
布朗运动（维纳过程）,
12
标准维纳过程
() [ ]{ }
,0,1Pt t∈ 是定义在闭区间上的连续变化的单变量的随机过程，满足以下条件,（ 1） ( )00P = ； （ 2）闭区间上任何一组有限分割
12
0,..,1
k
tt t≤<< <=,
( )
,1,2,...,
j
Pt j k= 的变化量
() () () () ( ) ( )
21 32 1
,,...,
kk
Pt Pt Pt Pt Pt Pt
为相互独立的随机变量；
（ 3）对任何 01st≤ <≤,( ) ( ) ( )0,Pt Ps N t s～ 。
可见，如果价格变化服从假设（ 1-1）,则我们说价格服从布朗运动或随机漫步。而价格差分服从正态 分布，不过这个正态分布的方差依赖于价格之间的时间差。
价格变化（ 1-1）连续反向代换：
1
t
ti
i
Pa
=
=
∑
，此时说明价格是由纯随机变化的累积生成的。可见金融资产价格服从布朗运动，则价格由服从正态分布的扰动项累积而成,从而我们无法预测下一期的价格变化，此时预测不起作用。因此，在 完全的金融市场中，这样的价格变化是有效金融市场假设的一部分。
如何检验,一个检验方法就是检查价格序列的自相关性质，使用的模型是自回归整移动平均（ ARIMA）模型。
i,非线性随机模型。
随机漫步，游走模型（价格变化服从正态分布）限制性太强，过于理想化。
一只股票的收益率定义为股息率和资本利得之和，即
1
1
ttt
t
t
PDP
r
P
+
+
+?
= （ 1.2）
t
D 为股票在时段 t内支付的股息。如果期望收益率
( )
1tt
E rr
+
= 为常数，
则此时
t
r 为一个公平游戏（ fair game） 。对（ 1.2）取期望，并整理，
有
()( )
1
1
1
tttt
PrEPD
+
=+ + （ 1.3）
13
这表明时刻 t的股价等于未来期望价格和股息总和的贴现，贴现率为
r。如果股息可以再投资，则假设在时刻 t，持有
t
h 股股票，则在时刻
1t+ 的投资价值
( )
111 1ttttt t
x hP hP D
+++ +
==
两边取期望
() ( ) ( ) ( )()
111 1
11
tt ttt ttt t tt t
Ex EhP hEP D rhP rx
+++ +
== =+=+。
则
t
x 为鞅。
鞅,如果对一切 n，
{ }
n
Ex <∞，并且
11 2
,,...,
nnn
E xxx x x
+
=
。公平游戏。
如果 0r ≥,则 ()
1tt t
Ex x
+
≥,
t
x 为下鞅； 0r ≤,则 ( )
1tt t
Ex x
+
≤,
t
x 为上鞅。
如果加入股息率，则一般来说股票价格不是鞅：对（ 1.2）取期望，
并整理,( ) ()
1
1
tt t tt t
rEDPEP P
+
=+?，发现除非 ( )
tt t
ED P为常数，
t
P 才为鞅。
（三）随机漫步和鞅的区别,
鞅仅消除了条件期望对时刻 t信息的依赖性；而随机漫步还消除了高阶矩对时刻 t信息的依赖性。从而鞅假设可以允许我们用连续条件方差的自相关特性来建模，也就是 ARCH 模型。
1．随机游走和鞅假设的一般形式
( ) ( ),0
ttk
Cov f r g r
+
=
这里,
ttk
rr
+
为时刻 t,tk+ 的收益率,其中 ( )
t
f r 和 ( )
kt
gr
+
分别表示,
ttk
rr
+
的两个任意函数。通过选择 ( )
t
f r 和 ( )
kt
gr
+
的恰当形式，能够得到各种类型的随机游走和鞅假设。这个条件称为正交条件。
（ 1）如果
( )
t
f r 和
()
kt
gr
+
都是线性的，则
( )
t
f r 和
( )
kt
gr
+
序列不相关。
此时的模型为随机游走 3 模型。
（ 2）如果 ()
kt
gr
+
为线性函数，则此时的模型为鞅假设。
（ 3）如果 ()
t
f r 和
()
kt
gr
+
对所有的函数成立，则此时的模型称为随
14
机游走模型 1 和 2。
表 2.1.1 随机游走模型和鞅假设的分类
() ( ),0
ttk
Cov f r g r
+
=
()
kt
gr
+
线性函数
( )
kt
gr
+
任意函数
()
t
f r 为线性函数 增量不相关，随机游走 3,
则线性投影
Pr
tk t
oj r r u
+
=
non
()
t
f r 任意函数 鞅或公平游戏
tk t
E rr u
+
=
独立增量，随机游走 1,2
()
tk t tk
pdf r r pdf r
++
=
2,鞅模型（金融资产定价的最早的模型）
（ 1）起源于赌博和概率理论。
（ 2）鞅（公平游戏）的定义：如果随机过程 { }
t
P 满足下列条件
11
,,....
ttt t
E PPP P
+?
=
或
11
,,...,0
tttt
EP PPP
+?
=
如果
t
P表示时刻 t 的价格，则鞅假设表示基于过去的历史信息，下一个时期的预期价格于当前时期的价格。 也就是说，在最小均方误差意义上，明天的最佳预测就是今天的价 格，这意味着价格上涨或下跌的可能性是相等的。
鞅假设另外一层意义是,没有相互迭代的时间间隔的价格变化是不相关的。也就是说基于历史信息，未 来价格变化的线性预测无效。鞅假设是有效资本市场的一个必要条件，过去信息持续不断的、完全并且永久的影响着资产的当前价格。如 果市场是有效的，则基于历史信息，未来价格变化的期望必定为零。
市场越有效，价格序列的变化越随机。
（ 3） 鞅假设的缺点：没有考虑风险问题。因为风险和预期收益的平
15
衡问题是现代金融经济学的核心问题。因此已经证明，股票价格的鞅特性既不是理性资产定价的充分条件也不是必要条件。
（ 4） 鞅假设的应用,
1） 如果考虑风险调整的资产收益，则鞅特性成立。而且在一般条件下，边际效用加权价格服从鞅过程。
2） 风险调整的鞅特性，促进了复杂金融工具，如期权、掉期
（ swaps）和其他衍生证券的定价。
3） 鞅特性促进了随机游走假设理论的发展。
3．随机游走 1（ RW1）,IID 增量（独立同分布增量）
（ 1） IID 是随机游走模型中的最简单情形，其形式为
1ttt
PPeμ
=+ +
( )
2
0,
t
eIIDσ～ （ Ar(1)模型）
称为有漂移的随机游走模型。 μ 为漂移项，
( )
2
0,
t
eIIDσ～ 表示服从均值为 0,方差为
2
σ 的独立同分布的随机变量。独立意味着，不仅变量之间线性不相关，而且对于非线性函数也不相关。
（ 2）随机游走模型的特征,
考虑条件均值和条件方差，条件是基于时刻 0 的价格
0
P,
00t
E PP P tμ=+
2
0
var
t
PP tσ=
明显随机游走模型非平稳的，条件均值为时间的线性函数。
（ 3）如果
()
2
0,
t
eIIDNσ～,此时模型变为几何布朗运动（ arithmetic
Brownian motion） 。但此时违反了有限责任条款。因此，采用对数正态模型形式,
1ttt
p peμ
=+ +
( )
2
0,
t
eIIDNσ～
这里 log
tt
p P= 。
4,随机随走 2（ RW2）,独立增量
独立同分布增量过程不可理解。经济,社会、技术、机构和管制环境
16
都发生了变化，从而断言股票收益的概率同分布也不可理解。此时引入独立增量过程。并且 RW2 假设扰动项非条件异方差。可以描述金融时间序列的时变波动性问题。
5．随机游走 3（ RW3）,不相关增量
这是最弱的形式,
[ ]
,0
ttk
Cov e e
=,0k ≠ 。此时增量过程不相关，但增量的平方确有可能相关。
四,其他的非线性随机模型还包括随机方差模型（ stochastic
variance）,双线性过程 (bilinear process)，马尔科夫转换过程 (markov
switching process)，平滑转换 (smooth transition)以及混沌模型 (chaotic
model)，神经网络模型 (artificial neural network)。
