例8.6 用弦截法求方程x3-5x2+16x-80=0的根。
方法如下:
(1) 取两个不同点x1\,x2,如果f(x1)和f(x2)符号相反,则(x1,x2)区间内必有一个根。如果f(x1)与f(x2)同符号,则应改变x1\,x2,直到f(x1)、f(x2)异号为止。注意x1、x2的值不应差太大,以保证(x1,x2)区间内只有一个根。
(2) 连接f(x1)和f(x2)两点,此线(即弦)交x轴于x,见图8.6。
x点坐标可用下式求出:
x=x1·f(x2)-x2·f(x1)f(x2)-f(x1)
再从x求出f(x)\.
(3) 若f(x)与f(x1)同符号,则根必在(x,x2)区间内,此时将x作为新的x1。如果f(x)与f(x2)同符号,则表示根在(x1,x)区间内,将x作为新的x2。
(4) 重复步骤 (2) 和 (3),直到 ｜f(x)｜<ε 为止,ε为一个很小的数,例如 10-6\,此时认为 f(x)≈0\.根据上述思路画出NS流程图,见图8.7。
分别用几个函数来实现各部分功能:
(1) 用函数f(x)来求x的函数:x3-5x2+16x-80\.
(2) 用函数xpoint (x1,x2)来求f(x1)和f(x2)的连线与x轴的交点x的坐标。
(3) 用函数root (x1,x2)来求(x1,x2)区间的那个实根。显然,执行root函数过程中要用到函数xpoint,而执行xpoint函数过程中要用到f函数。
请读者先分析下面的程序。
#include <math.h>
float f(float x) /* 定义f函数，以实现f(x)＝x3-5x2+16x-80 */
｛
　float y；
　y＝((x-5．0)*x+16．0)*x-80．0；
　return(y)；
｝
float xpoint(float x1，float x2) /*定义xpoint函数，求出弦与x轴交点 */
｛
　float y；
　y=(x1*f(x2)-x2*f(x1))/(f(x2)-f(x1))；
　return(y)；
｝
float root(float x1，float x2) /定义root函数，求近似根 */
｛
　int i；
　float x，y，y1；
　y1＝f(x1)；
　do
　｛
　x＝xpoint(x1，x2)；
y＝f(x)；
　 if(y*y1>0) /f(x)与f(x1)同符号 */
　 ｛y1＝y；
　 x1＝x；｝
　else
x2＝x；
｝while(fabs(y)>＝0．0001)；
return(x)；
｝
main() /主函数/
｛
　float x1，x2，f1，f2，x；
　do
　｛
printf("input x1，x2：\n")；
scanf("%f，%f"，&x1，&x2)；
f1＝f(x1)；
f2＝f(x2)；
｝while(f1*f2>＝0)；
　x＝root(x1，x2)；
printf("A root of equation is%8．4f"，x)；
｝
运行情况如下：
input x1，x2：
2，6
A root of equation is　5．0000