第三篇 数学分支中的相关数学模型
§ 1 高等数学相关模型
1.1卫星轨道长度 1.2射击命中概率
1.3人口增长率
§ 2 线性代数相关模型
2.1投入产出综合平衡分析 2.2输电网络
§ 3 概率统计相关模型
3.1合金强度与碳含量 3.2年龄与运动能力
3.3商品销售量与价格
§ 1 高等数学相关模型问题
1.1 卫星轨道长度人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆,
分析 卫星轨道椭圆的参数方程
)20(s i n,c o s ttbytax
椭圆长度分别是长、短半轴ba,
1
2 2 2 22 2
0
4 ( si n c os )L dl a t b t dt
椭圆积分无法解析计算近地点距地球表面 439km.
远地点距地球表面 2384km.
地球半径 6371km.
求该卫星的轨道长度,
输出
MATLAB程序 function y=x5(t)
a=8755;b=6810;
y=sqrt(a^2*sin(t).^2+b^2*cos(t).^2);
t=0:pi/10,pi/2
y1=x5(t);
L1=4*trapz(t,y1)
L2=4*quad(‘x5’,0,pi/2,le-6)
L1=4.908996526785276e+004
L2=4.908996531830460e+004
输出求解梯形公式辛普森公式
6 8 1 04396 3 7 1,8 7 5 52 3 8 46 3 7 1 ba
评注问题1.2 射击命中概率射击目标为正椭圆形区域,弹着点与中心有随机偏差,
分析 设目标中心 x=0,y=0,
)(
2
1
2
2
2
2
2
1),( yx
yx
yx
eyxp
无法解析计算弹着点围绕中心成二维正态分布,偏差在 X,Y方向独立,
求炮弹落在椭圆形区域内的概率,
则弹着点 (x,y)概率密度函数
myx 1 0 0
1:,),( 2
2
2
2
b
y
a
xd x d yyxpP
炮弹命中椭圆形区域的概率
80,120 ba
椭圆在 X方向半轴长 120m,Y方向半轴长 80m.
设弹着点偏差的均方差在 X和 Y方向均为 100m.
求解,蒙特卡罗方法 作变换,,bvyaux
以 100(m)为 1单位，则 8.0,2.1,1 ba
yx
dudvvupabP ),(
1:,2 1),( 22)(2
1 2222
vuevup vbua?
MATLAB程序输出
a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;
n=100000;
for i=1:n
x=rand(1,2);
y=0;
if x(1)^2+x(2)^2<=1
y=exp(- 0.5*(a^2*
P=0.3752,m=78552
x(1)^2+b^2*x(2)^2));
z=z+y;m=m+1;
end
end
p=4*a*b*z/2/pi/n,m
评注问题 11.3 人口增长率
20世纪美国人口数据 (106 ),
年份 190 0 191 0 192 0 193 0
人口 76,0 92,0 106,5 123,2
194 0 195 0 196 0 197 0 198 0 199 0
131,7 150,7 179,3 204,0 226,5 251,4
计算各年份人口增长率,
记时刻 t人口为 x(t)，则人口相对增长率为分析
)(
/)(
tx
dtdxtr?记 1900年为 k=0
求解,数值微分三点公式 8,,2,1,
20
11 k
x
xxr
k
kk
k
9
987
9
0
210
0 20
34,
20
43
x
xxxr
x
xxxr
年增长率 2.20 1.66 1.46 1.02 1.04 1.58 1.49 1.16 1.05 1.04
评注问题 2 已知某地区 20世纪 70年代的人口增长率,且 1970年人口为 210（百万），
年份 1 9 7 0 1 9 7 2 1 9 7 4
年增长率（ % ） 0.8 7 0.8 5 0.8 9
197 6 197 8 198 0
0.9 1 0.9 5 1.1 0
试估计 1980年的人口,
记时刻 t人口为 x(t)，则人口增长满足微分方程分析
)()( txtrdtdx?
记 1970年为 k=0
求解 t duurextx 0 )(0)( 评注
0)0( xx?
1980年该地区人口为 230.2（百万）数值积分梯形公式为算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：
以由西向东方向为 x轴，由南到北方向为 y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在 x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的 y方向测出南边界点和北边界点的坐标，得到表中数据（单位 mm）,
习题,国土面积问题根据地图比例,18mm相当于 40km，试由测量数据计算瑞士国土的近似面积，与它的精确值 41288km比较,
§ 2 线性代数相关模型背景
2.1 投入产出综合平衡分析国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系,
投入产出综合平衡模型,根据各部门间的投入 —产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求,
设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、
外部需求、初始投入等如表（产值单位为亿元）
简化问题每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）,
产出投入 农业 制造业 服务业外部需求 总产出农业 15 20 30 35 100
制造业 30 10 45 115 200
服务业 20 60 / 70 150
初始投入 35 110 75
总投入 100 200 150
说明假定每个部门的产出与投入是成正比的，由上表能够确定这三个部门的投入产出表产出投入 农业 制造业 服务业农业 0.15 0.10 0.20
制造业 0.30 0.05 0.30
服务业 0.20 0.30 0 说明表中数字称为 投入系数 或 消耗系数 假设系数是常数
设有 n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建立求解各部门总产出的模型,
如果今年对农业、制造业、服务业的外部需求分别为 50,150,100亿元，三个部门总产出？
模型可行,对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到非负的总产出,为使模型可行,投入系数满足？
如果三个部门的外部需求分别增加 1个单位，他们的总产出应分别增加多少？
分析 投入产出综合平衡分析
① 若有 n个部门，记一定时期内第 i个部门的总产出为 xi，
其中对第 j个部门的投入为 xij，满足的外部需求为 di，则
nidxx i
n
j
iji,,2,1,
1
投入产出表每一行都满足记第 j个部门的单位产出需要第 i个部门的投入为 aij，
在每个部门的产出与投入成正比的假定下，有
nji
x
x
a
j
ij
ij,,2,1,, nidxax i
n
j
jiji,,2,1,
1
记 投入系数矩阵
nnijaA )(
产出向量
Tnxxx ),( 1
需求向量
Tnddd ),( 1
dAxx dxAI )(则 或若 I-A可逆，则 dAIx 1)( 各部门总产出
MATLAB程序
a=[0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0];
d=[50 150 100]; b=eye(3)-a;x=b\d,c=inv(b)
三部门总产出,139.2801,267.6056,208.1377亿元
外部需求分别增加 1个单位时，总产出分别增加
C=1.3459 0.2504 0.3443
0.5634 1.2676 0.4930
0.4382 0.4304 1.2167 部门关联系数当对农业的需求增加 1个单位时,农业、制造业、和服务业的总产出分别增加 1.3459,0.5634,0.4382单位
dAIx 1)(
模型可行
nja
n
i
ij,,2,1,1
1
若问题
2.2 输电网络 一种大型输电网络可简化为电路负载电阻
nRRR,,,21?
线路内阻
nrrr,,,21?
电源电压 V
TnIII ),( 1
负载电流
列出各负载上电流的方程
设
讨论情况
18,6,1,,11 VRrrrrRRR nn
n=10,求
nIII,,,21?
及总电流
0I
n
2r1r nr
2R1R
nR
2I nI1IV
2i1i ni
分析? 记
nrr,,1?
上的电流为
niii,,,21?
根据电路中电流、电压关系,列出
11
112222
1111
nnnnnn
IRIRir
IRIRir
VIRir
nn
nnn
iI
iiI
iiI
iiI
11
232
121
0)(
0)(
)(
11
222211
121111
nnnnn
n
n
IrRIR
IrIrRIR
VIrIrIrR
消
niii,,,21?
和求电流方程?
ERI?求电流方程? 其中
nnn
rRR
rrrRR
rrrrR
R
1
22221
11111
TTn VEIIIIR 0,,0,,,,,21
MATLAB计算电流 程序
r=1;R=6;v=18;n=10;
b1=sparse(1,1,v,n,1);
b=full(b1);
a1=triu(r*ones(n,n));
a2=diag(R*ones(1,n));
a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+
tril(R*ones(n,n),-2);
a=a1+a2+a3; I=a\b;I0=sum(I)
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.9970
6.0000
2.0005
2.0000
1.3344
1.3333
0.8907
0.8889
0.5955
0.5926
0.3995
0.3951
0.2702
0.2634
0.1858
0.1756
0.1324
0.1171
0.1011
0.0780
0.0867
0.0520
k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.0347 0.0231 0.0154 0.0103 0.0069 0.0047 0.0032 0.0023 0.0018 0.0015
)20(
)10(
nI
nI
k
k
)20(?nIk
说明 从 n=10到 n=20,I0几乎不变,I1-I5变化也很小
Ik+1差不多是 Ik的 2/3倍如果 n增加到 50,100? 可以得到类似的结论证明
习题：种群的繁殖与稳定收获
种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，
对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变,种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性,
种群年龄记作 当年年龄 的种群数量记作,繁殖率记作 （每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作 为一年的死亡率），收获量记作,则来年年龄的种群数量 应为
,,,2,1 nk k
kx kb
kkk dds,1(
kh k
kx~
),,2,1(~,~ 11
1
11 nkhxsxhxbx kkkk
n
k
kk
（ 1）若 已知，给定收获量,建立求各年龄的稳定种群数量 的模型（用矩阵、向量表示）。
（ 2）设
如要求 为 500,400,200,100,100,
求 。
（ 3）使 均为 500，如何达到?
kk sb,kh
kx
,6.0,4.0,3,5,0,5 324143521 ssssbbbbbn
51 ~ hh
51 ~ xx
51 ~ hh
Matlab用法
v=diag(x)若输入向量 x，则输出 v是 x为 对角元素的对角阵；若输入矩阵 x,则输出 v是 x的的对角元素构成的向量 ;
v=triu(x)输入矩阵 x,输出 v是 x的上三角矩阵 ;
v=tril(x)输入矩阵 x,输出 v是 x的下三角矩阵 ;
a=sparse(r,c,v,m,n)表示在第 r行,第 c列输入数值 v,矩阵共 m行 n列,输出 a给出 (r,c)及 v,a为一稀疏矩阵,
aa=full(a)输入稀疏矩阵 a,输出 aa为满矩阵 (包含零元素 ).
liti01 liti02
§ 3 概率统计相关模型问题
3.1合金强度与碳含量合金的强度 y(kg/mm)与其中的碳含量 x(%)有比较密切的关系，从生产中收集一批数据,
求拟合函数 y(x),再用回归分析进行检验,
x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23
y 42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5
描点作图?分析 0,1 0,1 2 0,1 4 0,1 6 0,1 8 0,2 0,2 2 0,2 4
40
45
50
55
60
65
y与 x近似 为线性拟合 y=ax+b
MATLAB程序
x=0.1:0.01:0.23;
x=[x(1:9),x(11:12),x(14)];
y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,
49,55,50,55,55.5,60.5];
pp=polyfit(x,y,1);
xx=0.08:0.01:0.25;
yy=polyval(pp,xx);
plot(x,y,'r*',xx,yy)
0,0 8 0,1 0,1 2 0,1 4 0,1 6 0,1 8 0,2 0,2 2 0,2 4 0,2 6
35
40
45
50
55
60
65
拟合 y=ax+b
a=140.6194,b=27.0269
评注? 是否线性显著
有无异常点
预测
MATLAB统计工具箱 多元线性回归 语法
b=regress(Y,X)
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
Y,X为按列排列的数据说明
b,bint为回归系数估计值及其置信区间
m
^
1
^
0
^,,,
alpha为显著性水平（缺省时设定为 0.05）
stats包括 R2,F，概率 p
r,rint为残差及置信区间，可用 rcoplot(r,rint)画图合金强度与碳含量问题 回归模型 xy 10
回归模型与统计检验MATLAB程序
x1=0.1:0.01:0.18;
x=[x1 0.2 0.21 0.23]’;
y=[42 41.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.5]’;
x=[ones(12,1) x];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)
b= 27.0269 140.6194
bint=22.3226 31.7313
111.7842 169.4546
stats=0.9219 118.0670 0.0000
6 1 9 4.1 4 0,0 2 6 9.27 1^0^ y=27.0269+140.6194x
线性显著模型成立
有无异常点画残差分布图
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
0
2
4
6
R e s i d u a l C a s e O r d e r P l o t
R
e
s
i
d
u
a
l
s
C a s e N u m b e r
除第 8个数据外其余残差的置信区间均包含零点第 8个点应视为异常点，
剔除后重新计算，可得
b= 26.8968 139.9043
bint=24.1330 29.6606
122.7939 157.0148
stats=0.9744 342.1259 0.0000
评注? 预测问题
3.2 年龄与运动能力将 17至 29岁的运动员每两岁一组分为 7组，
求年龄对这种运动能力的影响关系,
多项式回归年龄 17 19 21 23 25 27 29
第一人 20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35
第二人 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3
分析 MATLAB散点图程序每组两人测量其旋转定向能力,
x=17:2:29;
y1=[20.48,25.13,26.15,30.0,
26.1,20.3,19.35];
y2=[24.35,28.11,26.3,31.4,2
6.92,25.7,21.3];
plot(x,y1,'+',x,y2,'+')
axis([15 30 15 35])
15 20 25 30
15
20
25
30
35
应拟合一条二次曲线可利用 ployfit
一元多项式回归 年龄与运动能力的二次模型
axaxay 221MATLAB程序
x1=17:2:29;x=[x1,x1];
y=[20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35
24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3];
[p,s]=polyfit(x,y,2); p
p=-0.2003 8.9782 -72.2150
a1=-0.2003 a2=8.9782 a3=-72.2150
S是一个数据结构 [Y,delta]=polyconf(p,x,s);Y
得到 x与 y的拟合效果求解
16 18 20 22 24 26 28 30
16
18
20
22
24
26
28
30
32
统计检验
y1=mean(y);
resquare=sum((Y-y1).^2)./sum((y-y1).^2),
s=sqrt(sum((y-Y).^2)./12),
rsquare=0.6980 s=2.0831 衡量拟合优劣的指标问题
3.3 商品销售量与价格某厂生产电器的销售量 y与竞争对手的价格 x1
和本厂的价格 x2有关,在 10个城市的销售记录
建立 y与 x1和 x2的关系式,
x1元 120 140 190 130 155 175 125 145 180 150
x2元 100 110 90 150 210 150 250 270 300 250
y个 102 100 120 77 46 93 26 69 65 85
分析
对模型和系数进行检验,
若本厂售价 160元，对手售价 170元，预测销售量,
画 散点图
100 150 200
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
( x 1,y )
0 100 200 300
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
( x 2,y )
y与 x2有较明显的线性关系，而 y与 x1之间的关系则难以确定，作几种尝试，用统计分析决定优劣,
设回归模型?
22110 xxy
MATLAB程序
x1=[120 140 190 130 155 175 125 145 180 150];
x2=[100 110 90 150 210 150 250 270 300 250];
y=[102 100 120 77 46 93 26 69 65 85];
x=[ones(10,1) x1’ x2’];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);
b=66.5176 0.4139 –0.2698
bint=-32.5060 165.5411
-0.2018 1.0296
-0.4611 -0.0785
stats=0.6527 6.5786 0.0247
评注 结果不是太好二次函数改进
MATLAB统计工具箱 多元二项式回归 rstool
rstool(x,y,model,alpha)
x,y 分别 为 nxm 矩阵和 n 维向量说明
alpha 为显著性水平（缺省时为 0.05）
Model 由下列 4个模型中选择 1个（缺省时为线性模型）
linear线性
mm xxy110
purequadratic纯二次?
n
j
jijmm xxxy
1
2
110
interaction交叉?
n
mkj
kjjkmm xxxxy
1
110
quadratic完全二次?
n
mkj
kjjkmm xxxxy
,1
110
纯二次模型? 2
222211122110 xxxxy
程序x1=[120,140,190,130,155,175,125,145,180,150];
x2=[100 110 90 150 210 150 250 270 300 250];
y=[102 100 120 77 46 93 26 69 65 85];
x=[x1’,x2’];
rstool(x,y,’ purequadratic’)
130 140 150 160 170 180
- 5 0
0
50
100
150
200
250
150 200 250
评注? 预测
§ 1 高等数学相关模型
1.1卫星轨道长度 1.2射击命中概率
1.3人口增长率
§ 2 线性代数相关模型
2.1投入产出综合平衡分析 2.2输电网络
§ 3 概率统计相关模型
3.1合金强度与碳含量 3.2年龄与运动能力
3.3商品销售量与价格
§ 1 高等数学相关模型问题
1.1 卫星轨道长度人造地球卫星轨道可视为平面上的椭圆,
分析 卫星轨道椭圆的参数方程
)20(s i n,c o s ttbytax
椭圆长度分别是长、短半轴ba,
1
2 2 2 22 2
0
4 ( si n c os )L dl a t b t dt
椭圆积分无法解析计算近地点距地球表面 439km.
远地点距地球表面 2384km.
地球半径 6371km.
求该卫星的轨道长度,
输出
MATLAB程序 function y=x5(t)
a=8755;b=6810;
y=sqrt(a^2*sin(t).^2+b^2*cos(t).^2);
t=0:pi/10,pi/2
y1=x5(t);
L1=4*trapz(t,y1)
L2=4*quad(‘x5’,0,pi/2,le-6)
L1=4.908996526785276e+004
L2=4.908996531830460e+004
输出求解梯形公式辛普森公式
6 8 1 04396 3 7 1,8 7 5 52 3 8 46 3 7 1 ba
评注问题1.2 射击命中概率射击目标为正椭圆形区域,弹着点与中心有随机偏差,
分析 设目标中心 x=0,y=0,
)(
2
1
2
2
2
2
2
1),( yx
yx
yx
eyxp
无法解析计算弹着点围绕中心成二维正态分布,偏差在 X,Y方向独立,
求炮弹落在椭圆形区域内的概率,
则弹着点 (x,y)概率密度函数
myx 1 0 0
1:,),( 2
2
2
2
b
y
a
xd x d yyxpP
炮弹命中椭圆形区域的概率
80,120 ba
椭圆在 X方向半轴长 120m,Y方向半轴长 80m.
设弹着点偏差的均方差在 X和 Y方向均为 100m.
求解,蒙特卡罗方法 作变换,,bvyaux
以 100(m)为 1单位，则 8.0,2.1,1 ba
yx
dudvvupabP ),(
1:,2 1),( 22)(2
1 2222
vuevup vbua?
MATLAB程序输出
a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;
n=100000;
for i=1:n
x=rand(1,2);
y=0;
if x(1)^2+x(2)^2<=1
y=exp(- 0.5*(a^2*
P=0.3752,m=78552
x(1)^2+b^2*x(2)^2));
z=z+y;m=m+1;
end
end
p=4*a*b*z/2/pi/n,m
评注问题 11.3 人口增长率
20世纪美国人口数据 (106 ),
年份 190 0 191 0 192 0 193 0
人口 76,0 92,0 106,5 123,2
194 0 195 0 196 0 197 0 198 0 199 0
131,7 150,7 179,3 204,0 226,5 251,4
计算各年份人口增长率,
记时刻 t人口为 x(t)，则人口相对增长率为分析
)(
/)(
tx
dtdxtr?记 1900年为 k=0
求解,数值微分三点公式 8,,2,1,
20
11 k
x
xxr
k
kk
k
9
987
9
0
210
0 20
34,
20
43
x
xxxr
x
xxxr
年增长率 2.20 1.66 1.46 1.02 1.04 1.58 1.49 1.16 1.05 1.04
评注问题 2 已知某地区 20世纪 70年代的人口增长率,且 1970年人口为 210（百万），
年份 1 9 7 0 1 9 7 2 1 9 7 4
年增长率（ % ） 0.8 7 0.8 5 0.8 9
197 6 197 8 198 0
0.9 1 0.9 5 1.1 0
试估计 1980年的人口,
记时刻 t人口为 x(t)，则人口增长满足微分方程分析
)()( txtrdtdx?
记 1970年为 k=0
求解 t duurextx 0 )(0)( 评注
0)0( xx?
1980年该地区人口为 230.2（百万）数值积分梯形公式为算出瑞士的国土面积，首先对瑞士地图作如下测量：
以由西向东方向为 x轴，由南到北方向为 y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在 x轴上的区间适当地划分为若干段，在每个分点的 y方向测出南边界点和北边界点的坐标，得到表中数据（单位 mm）,
习题,国土面积问题根据地图比例,18mm相当于 40km，试由测量数据计算瑞士国土的近似面积，与它的精确值 41288km比较,
§ 2 线性代数相关模型背景
2.1 投入产出综合平衡分析国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系,
投入产出综合平衡模型,根据各部门间的投入 —产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会的需求,
设国民经济仅由农业、制造业、和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、
外部需求、初始投入等如表（产值单位为亿元）
简化问题每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品经过加工（投入）变为自己的产品（产出）,
产出投入 农业 制造业 服务业外部需求 总产出农业 15 20 30 35 100
制造业 30 10 45 115 200
服务业 20 60 / 70 150
初始投入 35 110 75
总投入 100 200 150
说明假定每个部门的产出与投入是成正比的，由上表能够确定这三个部门的投入产出表产出投入 农业 制造业 服务业农业 0.15 0.10 0.20
制造业 0.30 0.05 0.30
服务业 0.20 0.30 0 说明表中数字称为 投入系数 或 消耗系数 假设系数是常数
设有 n个部门，已知投入系数，给定外部需求，建立求解各部门总产出的模型,
如果今年对农业、制造业、服务业的外部需求分别为 50,150,100亿元，三个部门总产出？
模型可行,对于任意给定的、非负的外部需求,都能得到非负的总产出,为使模型可行,投入系数满足？
如果三个部门的外部需求分别增加 1个单位，他们的总产出应分别增加多少？
分析 投入产出综合平衡分析
① 若有 n个部门，记一定时期内第 i个部门的总产出为 xi，
其中对第 j个部门的投入为 xij，满足的外部需求为 di，则
nidxx i
n
j
iji,,2,1,
1
投入产出表每一行都满足记第 j个部门的单位产出需要第 i个部门的投入为 aij，
在每个部门的产出与投入成正比的假定下，有
nji
x
x
a
j
ij
ij,,2,1,, nidxax i
n
j
jiji,,2,1,
1
记 投入系数矩阵
nnijaA )(
产出向量
Tnxxx ),( 1
需求向量
Tnddd ),( 1
dAxx dxAI )(则 或若 I-A可逆，则 dAIx 1)( 各部门总产出
MATLAB程序
a=[0.15 0.1 0.2;0.3 0.05 0.3;0.2 0.3 0];
d=[50 150 100]; b=eye(3)-a;x=b\d,c=inv(b)
三部门总产出,139.2801,267.6056,208.1377亿元
外部需求分别增加 1个单位时，总产出分别增加
C=1.3459 0.2504 0.3443
0.5634 1.2676 0.4930
0.4382 0.4304 1.2167 部门关联系数当对农业的需求增加 1个单位时,农业、制造业、和服务业的总产出分别增加 1.3459,0.5634,0.4382单位
dAIx 1)(
模型可行
nja
n
i
ij,,2,1,1
1
若问题
2.2 输电网络 一种大型输电网络可简化为电路负载电阻
nRRR,,,21?
线路内阻
nrrr,,,21?
电源电压 V
TnIII ),( 1
负载电流
列出各负载上电流的方程
设
讨论情况
18,6,1,,11 VRrrrrRRR nn
n=10,求
nIII,,,21?
及总电流
0I
n
2r1r nr
2R1R
nR
2I nI1IV
2i1i ni
分析? 记
nrr,,1?
上的电流为
niii,,,21?
根据电路中电流、电压关系,列出
11
112222
1111
nnnnnn
IRIRir
IRIRir
VIRir
nn
nnn
iI
iiI
iiI
iiI
11
232
121
0)(
0)(
)(
11
222211
121111
nnnnn
n
n
IrRIR
IrIrRIR
VIrIrIrR
消
niii,,,21?
和求电流方程?
ERI?求电流方程? 其中
nnn
rRR
rrrRR
rrrrR
R
1
22221
11111
TTn VEIIIIR 0,,0,,,,,21
MATLAB计算电流 程序
r=1;R=6;v=18;n=10;
b1=sparse(1,1,v,n,1);
b=full(b1);
a1=triu(r*ones(n,n));
a2=diag(R*ones(1,n));
a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+
tril(R*ones(n,n),-2);
a=a1+a2+a3; I=a\b;I0=sum(I)
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5.9970
6.0000
2.0005
2.0000
1.3344
1.3333
0.8907
0.8889
0.5955
0.5926
0.3995
0.3951
0.2702
0.2634
0.1858
0.1756
0.1324
0.1171
0.1011
0.0780
0.0867
0.0520
k 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.0347 0.0231 0.0154 0.0103 0.0069 0.0047 0.0032 0.0023 0.0018 0.0015
)20(
)10(
nI
nI
k
k
)20(?nIk
说明 从 n=10到 n=20,I0几乎不变,I1-I5变化也很小
Ik+1差不多是 Ik的 2/3倍如果 n增加到 50,100? 可以得到类似的结论证明
习题：种群的繁殖与稳定收获
种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，
对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变,种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性,
种群年龄记作 当年年龄 的种群数量记作,繁殖率记作 （每个雌性个体一年繁殖的数量），自然存活率记作 为一年的死亡率），收获量记作,则来年年龄的种群数量 应为
,,,2,1 nk k
kx kb
kkk dds,1(
kh k
kx~
),,2,1(~,~ 11
1
11 nkhxsxhxbx kkkk
n
k
kk
（ 1）若 已知，给定收获量,建立求各年龄的稳定种群数量 的模型（用矩阵、向量表示）。
（ 2）设
如要求 为 500,400,200,100,100,
求 。
（ 3）使 均为 500，如何达到?
kk sb,kh
kx
,6.0,4.0,3,5,0,5 324143521 ssssbbbbbn
51 ~ hh
51 ~ xx
51 ~ hh
Matlab用法
v=diag(x)若输入向量 x，则输出 v是 x为 对角元素的对角阵；若输入矩阵 x,则输出 v是 x的的对角元素构成的向量 ;
v=triu(x)输入矩阵 x,输出 v是 x的上三角矩阵 ;
v=tril(x)输入矩阵 x,输出 v是 x的下三角矩阵 ;
a=sparse(r,c,v,m,n)表示在第 r行,第 c列输入数值 v,矩阵共 m行 n列,输出 a给出 (r,c)及 v,a为一稀疏矩阵,
aa=full(a)输入稀疏矩阵 a,输出 aa为满矩阵 (包含零元素 ).
liti01 liti02
§ 3 概率统计相关模型问题
3.1合金强度与碳含量合金的强度 y(kg/mm)与其中的碳含量 x(%)有比较密切的关系，从生产中收集一批数据,
求拟合函数 y(x),再用回归分析进行检验,
x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23
y 42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5
描点作图?分析 0,1 0,1 2 0,1 4 0,1 6 0,1 8 0,2 0,2 2 0,2 4
40
45
50
55
60
65
y与 x近似 为线性拟合 y=ax+b
MATLAB程序
x=0.1:0.01:0.23;
x=[x(1:9),x(11:12),x(14)];
y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,
49,55,50,55,55.5,60.5];
pp=polyfit(x,y,1);
xx=0.08:0.01:0.25;
yy=polyval(pp,xx);
plot(x,y,'r*',xx,yy)
0,0 8 0,1 0,1 2 0,1 4 0,1 6 0,1 8 0,2 0,2 2 0,2 4 0,2 6
35
40
45
50
55
60
65
拟合 y=ax+b
a=140.6194,b=27.0269
评注? 是否线性显著
有无异常点
预测
MATLAB统计工具箱 多元线性回归 语法
b=regress(Y,X)
[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)
Y,X为按列排列的数据说明
b,bint为回归系数估计值及其置信区间
m
^
1
^
0
^,,,
alpha为显著性水平（缺省时设定为 0.05）
stats包括 R2,F，概率 p
r,rint为残差及置信区间，可用 rcoplot(r,rint)画图合金强度与碳含量问题 回归模型 xy 10
回归模型与统计检验MATLAB程序
x1=0.1:0.01:0.18;
x=[x1 0.2 0.21 0.23]’;
y=[42 41.5 45 45.5 45 47.5 49 55 50 55 55.5 60.5]’;
x=[ones(12,1) x];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);
b,bint,stats,rcoplot(r,rint)
b= 27.0269 140.6194
bint=22.3226 31.7313
111.7842 169.4546
stats=0.9219 118.0670 0.0000
6 1 9 4.1 4 0,0 2 6 9.27 1^0^ y=27.0269+140.6194x
线性显著模型成立
有无异常点画残差分布图
2 4 6 8 10 12
-6
-4
-2
0
2
4
6
R e s i d u a l C a s e O r d e r P l o t
R
e
s
i
d
u
a
l
s
C a s e N u m b e r
除第 8个数据外其余残差的置信区间均包含零点第 8个点应视为异常点，
剔除后重新计算，可得
b= 26.8968 139.9043
bint=24.1330 29.6606
122.7939 157.0148
stats=0.9744 342.1259 0.0000
评注? 预测问题
3.2 年龄与运动能力将 17至 29岁的运动员每两岁一组分为 7组，
求年龄对这种运动能力的影响关系,
多项式回归年龄 17 19 21 23 25 27 29
第一人 20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35
第二人 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3
分析 MATLAB散点图程序每组两人测量其旋转定向能力,
x=17:2:29;
y1=[20.48,25.13,26.15,30.0,
26.1,20.3,19.35];
y2=[24.35,28.11,26.3,31.4,2
6.92,25.7,21.3];
plot(x,y1,'+',x,y2,'+')
axis([15 30 15 35])
15 20 25 30
15
20
25
30
35
应拟合一条二次曲线可利用 ployfit
一元多项式回归 年龄与运动能力的二次模型
axaxay 221MATLAB程序
x1=17:2:29;x=[x1,x1];
y=[20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35
24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3];
[p,s]=polyfit(x,y,2); p
p=-0.2003 8.9782 -72.2150
a1=-0.2003 a2=8.9782 a3=-72.2150
S是一个数据结构 [Y,delta]=polyconf(p,x,s);Y
得到 x与 y的拟合效果求解
16 18 20 22 24 26 28 30
16
18
20
22
24
26
28
30
32
统计检验
y1=mean(y);
resquare=sum((Y-y1).^2)./sum((y-y1).^2),
s=sqrt(sum((y-Y).^2)./12),
rsquare=0.6980 s=2.0831 衡量拟合优劣的指标问题
3.3 商品销售量与价格某厂生产电器的销售量 y与竞争对手的价格 x1
和本厂的价格 x2有关,在 10个城市的销售记录
建立 y与 x1和 x2的关系式,
x1元 120 140 190 130 155 175 125 145 180 150
x2元 100 110 90 150 210 150 250 270 300 250
y个 102 100 120 77 46 93 26 69 65 85
分析
对模型和系数进行检验,
若本厂售价 160元，对手售价 170元，预测销售量,
画 散点图
100 150 200
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
( x 1,y )
0 100 200 300
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
( x 2,y )
y与 x2有较明显的线性关系，而 y与 x1之间的关系则难以确定，作几种尝试，用统计分析决定优劣,
设回归模型?
22110 xxy
MATLAB程序
x1=[120 140 190 130 155 175 125 145 180 150];
x2=[100 110 90 150 210 150 250 270 300 250];
y=[102 100 120 77 46 93 26 69 65 85];
x=[ones(10,1) x1’ x2’];
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);
b=66.5176 0.4139 –0.2698
bint=-32.5060 165.5411
-0.2018 1.0296
-0.4611 -0.0785
stats=0.6527 6.5786 0.0247
评注 结果不是太好二次函数改进
MATLAB统计工具箱 多元二项式回归 rstool
rstool(x,y,model,alpha)
x,y 分别 为 nxm 矩阵和 n 维向量说明
alpha 为显著性水平（缺省时为 0.05）
Model 由下列 4个模型中选择 1个（缺省时为线性模型）
linear线性
mm xxy110
purequadratic纯二次?
n
j
jijmm xxxy
1
2
110
interaction交叉?
n
mkj
kjjkmm xxxxy
1
110
quadratic完全二次?
n
mkj
kjjkmm xxxxy
,1
110
纯二次模型? 2
222211122110 xxxxy
程序x1=[120,140,190,130,155,175,125,145,180,150];
x2=[100 110 90 150 210 150 250 270 300 250];
y=[102 100 120 77 46 93 26 69 65 85];
x=[x1’,x2’];
rstool(x,y,’ purequadratic’)
130 140 150 160 170 180
- 5 0
0
50
100
150
200
250
150 200 250
评注? 预测
