第四篇 典型案例分析
§ 1 投篮的出手角度
§ 2 水塔流量估计
§ 3 钢管订购和运输
§ 1.1 问题的提出
v
1Q 2Q
L
H
0
P
h
从罚球点投篮示意图
§ 1 投篮的出手角度问题
不考虑篮球和篮筐大小,讨论球心命中框心的条件
考虑篮球和篮筐大小,讨论球心命中框心且入框条件
保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差
考虑空气阻力的影响
d
0
△ x
D
§ 1.2 问题的分析
0
d
D
篮球入筐球心偏前
不考虑篮球和篮筐大小,讨论球心命中框心的条件
考虑篮球和篮筐大小,讨论球心命中框心且入框条件
保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差
考虑空气阻力的影响
§ 1.3 基本模型
★ 不考虑篮球和篮筐大小,不考虑空气阻力的影响
22
2
c o s2t a n v
gxxy则球心运动轨迹为抛物线球可视为质点（球心）的斜抛运动，其运动方程以 代入上式，就得到球心命中筐心的条件hHyLx,
)
2
(211t a n 2
2
2
2
v
gLhH
v
g
gL
v?
且有
0)2(21 2
2
2 v
gLhH
v
g
最小出手速度
])([ 222 hHLhHgv
tvtxc o s)(
2s in)(
2gt
tvty
★ 球入篮筐时的入射角度 计算公式?
L
hH )(2t a nt a n
★ 考虑篮球和篮筐的大小,球心命中 筐 心且球入 筐 的条件为
D
dsin
2 4,6d c m? 45.0D c m? 代入得 01.33将
ta n
XL
dy
dx
22
2
c o s2t a n v
gxxy
0
d
D
§ 1.4 出手角度和出手速度最大偏差估计球入 筐 时球心偏前 (偏后 )的最大距离
s in22
dDx
0t a nc o s2 222 hHxv gx
hHy
xgLvL vgL )t a n( c o ss i n2
2
22
2
c o s2t a n v
gxxy因为
c o ss i n
)t a n(
2
2
vgL
gLvL
d
dx
Lx?
★ 出手角度最大偏差估计
★ 出手速度最大偏差估计 xv
gL
vgLv
2
2 c o ss i n
v 的相对偏差为
)t a n(
2
gLvv v
d 0
x
D
k
evtx kt 1c o s)(?
只考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比
2
c o sc o s)( 2tkvtvtx
2s in)(
2gt
tvty
02c o sc o s
2
Ltkvtv
0)(2s in
2
hHgttv?
§ 1.5 空气阻力的影响
'' ' 0,x k x,0)0(?x ' ( 0 ) c o sxv
不考虑篮球和篮 筐 大小，确定球心命中 筐 心的条件水平方向的运动为解得
h(m) v(m/s) (度 )
1.8 7.6789 52.6012
1.9 7.5985 52.0181
2.0 7.5186 51.4290
2.1 7.4392 50.8344
§ 1.6 算法实现和计算结果
★ 对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度
0?
])([ 222m i n hHLhHgv
)2(211t a n 2
2
2
2
v
gLhH
v
g
gL
v?
gL
v 2
0t a n
v（ m/s） h (m) (度 ) (度 ) (度 ) (度 )
8.0
1.8
1.9
2.0
2.1
62.4099
63.1147
63.7281
64.2670
42.7925
40.9188
39.1300
37.4017
53.8763
55.8206
57.4941
58.9615
20.9213
20.1431
19.6478
19.3698
8.5
1.8
1.9
2.0
2.1
67.6975
68.0288
68.3367
68.6244
37.5049
36.0075
34.5214
33.0444
62.1726
63.1884
64.1179
64.9279
12.6250
12.7753
13.0240
13.3583
9.0
1.8
1.9
2.0
2.1
71.0697
71.2749
71.4700
71.6561
34.1327
32.7614
31.3881
30.0127
67.1426
67.7974
68.4098
68.9840
7.6550
8.1663
8.7321
9.3472
1? 2? 1? 2?
★ 对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
)2(211t a n 2
2
2
2
v
gLhH
v
g
gL
v?
L
hH )(2t a nt a n
h(m) (度 ) v(m/s)
1.8
62.4099 8.0
67.6975 8.5
71.0697 9.0
-0.7562 0.0528
-0.5603 0.0694
-0.4570 0.0803
1.2261 0.6597
0.8276 0.8167
0.6431 0.8925
2.0
63.7281 8.0
68.3367 8.5
71.4700 9.0
-0.7100 0.0601
-0.5411 0.0734
-0.4463 0.0832
1.1140 0.7511
0.7918 0.8640
0.6244 0.9243
★ 出手角度和出手速度最大偏差
v?
v
v?
xgLvL vgL )t a n( c o ss i n2
2
xv
gL
vgLv
2
2 c o ss i n
★ 空气阻力的影响
1?度 2?度v(m/s） h (m)
8.0
1.8
1.9
2.0
2.1
60.7869 43.5424
61.6100 41.5693
62.3017 39.7156
62.9012 37.9433
62.4099 42.7925
63.1147 40.9188
63.7281 39.1300
64.2670 37.4017
8.5
1.8
1.9
2.0
2.1
66.5719 37.7905
66.9244 36.2870
67.2505 34.7982
67.5541 33.3209
67.6975 37.5049
68.0288 36.0075
68.3367 34.5214
68.6244 33.0444
9.0
1.8
1.9
2.0
2.1
70.1198 34.2736
70.3328 32.9087
70.5352 31.5428
70.7279 30.1756
71.0697 34.1327
71.2749 32.7614
71.4700 31.3881
71.6561 30.0127
1?度 2?度对不同出手速度和出手高度的出手角度
§ 1.7 结果分析
1．最小出手速度和出手角度（表 4-1-1）
2．出手速度和出手高度对出手角度的影响（表 4-
1-2）
3．出手角度和出手速度的允许偏差（表 4-1-3）
4．空气阻力的影响思考 若出手高度和角度固定，考察阻力对出手速度的影响。
§ 2 水塔流量估计
§ 2.1 问题的提出时刻（ h）
水位 (cm)
0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97
968 948 931 913 898 881 869 852 839 822
时刻（ h）
水位 (cm)
9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83
// // 1082 1050 1021 994 965 941 918
时刻（ h）
水位 (cm)
17.93 19.04 19.96 20.84 22.014 22.96 23.88 24.99 25.91
892 866 843 822 // // 1059 1035 1018
已知一天水位测量记录,
圆柱形水塔,高 12.2、直径 17.4米水位降至约 8.2米升到约 10.8米时,水泵工作,
水泵每天供水一两次，每次约两小时,
估计任何时刻流水量、一天总用水量,
§ 2.2 问题的分析 流量是单位时间流出的水的体积,
(2)拟合水位 ~时间函数、求导数，得连续时间流量,
★ 水泵不工作时段流量计算：水位对时间的变化率,
★ 水泵供水时段的流量计算,(1) 数值微分、拟合 ;
★ 模型检验,t=0-8.97,水位下降 968-822=146,
这一时段用水量 =146*水塔的截面积,
§ 2.3 模型假设
1．流量只取决于水位差，与水位本身无关,
2．水泵第 1次供水,t=9-11; 第 2次供水,t=20.8-23.
3．水泵工作时单位时间的供水量大致为常数,
4．流量是时间的连续函数,5流量与水泵是否工作无关,
6．流量,单位时间流出的水的高度 *水塔截面积,
1．拟合水位 ~时间函数,
§ 2.4 流量估计
3．一天总用水量的估计,
2．确定流量 ~时间函数,
§ 2.5 算法设计与编程
1．拟合第 1,2时段的水位，并导出流量,
2．拟合供水时段的流量,
3．一天总用水量的估计,
4．流量及总用水量的检验,
§ 2.6 计算结果各时段和一天总用水量 及两个供水时段水泵的功率
(n1,n2) y1 y2 y12 y3 y p1 p2
(3,4) 146.18 258.10 48.50 78.50 1263.4 154.25 143.59
(5,6) 146.52 257.76 46.13 76.30 1252.5 153.06 142.67
§ 2.7 分析及改进 数据拟合、数值积分精度足够,
流量曲线与原始记录基本上相吻合，零点到十点钟流量很低，十点到下午三点是用水高峰,
)(106.1 2 5 501.08.2 3 72422 3 L
供水时段用 3次曲线拟合 4点不够好,
全天平均流量 22(cm/h).一天总用水量：
§ 3 钢管订购和运输要铺设一条
1521 AAA
721,,,SSS?
3.1 问题的提出经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有的输送天然气的主管道,如 图一 所示。
A1
3
2
5
80
10
10
31
20
12
42 70 10
88
10
70
62
70
30
20 20
30
450
104 301
750 606
194 205
201
680
480 300
220 210
420
500
600
306
195
202
720
690
520
170
690
462
160 320
160
110
290
1150
1100
1200
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9 A10
A11
A12
A13
A14
A15
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
图一铁路钢管厂公路天然气管道火车站里程（单位 km）
1 2 3 4 5 6 7
800 800 1000 2000 2000 2000 3000
160 155 155 160 155 150 160
1km主管道钢管称为 1单位钢管,
i
is
ip
一钢厂如果承担制造这种钢管,至少生产 500个单位,
钢厂 在指定期限内能生产该钢管最大数量为 个单位,iS is
钢管出厂销价 1单位钢管为 万元,ip
1单位钢管的铁路运价如表：
里程 (km) ≤300 301～ 350 351～ 400 401～ 450 451～ 500
运价 (万元 ) 20 23 26 29 32
里程 (km) 501～ 600 601～ 700 701～ 800 801～ 900 901～1000
运价 (万元 ) 37 44 50 55 60
1000km以上每增加 1至 100km运价增加 5万元,
公路运输费用为 1单位钢管每公里 0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）,
钢管可由铁路、公路运往铺设地点 和管道全线,
,,,,1521 AAA?
(1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用 ).
(2)请就 (1)的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果,
(3)如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对 图二 按 (1)的要求给出模型和结果,
问题
A1
3
2
5
80
10
10
31
20
12
42
70 10
88
10
70
62
70
30
20 20
450
104 301
750 606
194 205
201
680
480 300
220
210
420
500
600
306
195
202
720
690
520
170
690
462
160 320
160
110
290
1150
1100
1200
A19
130
190
260
100
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9 A10
A11
A12
A13
A14
A15
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
A16 A17
A18
A20
(A21)
图二
30
3.2.1 模型的假设
3.2 模型的假设与符号约定铺设钢管各线段运输费以 1公里为单位 (1公里内不计 ).
钢管的铺设情况以从某一头向另一头铺设为准,
承担生产任务的钢管厂，供应量至少为 500个单位,
3.2.2 符号约定 )14,2,1(il
i
第 i 段长度,
)14,2,1(id i 第 i 段内的运费,
i 段用 j 厂单位钢管最小费用,)7,,1;14,,1( jia
ij
)7,,1;14,,1( jiy ij i 段用 j工厂钢管的数量,
)7,2,1(jp j
)7,,2,1(js j
j工厂单位钢管生产价格,
j工厂生产钢管的上限,
(3)要铺设一个树形管道网络图,解决办法,
(1)制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小,
铺设钢管的总费用包括三部分
3.3 问题的分析
？？
？？
？
钢管生产成本 运到各段的费用 铺设时的运输费用问题：求各厂单位钢管运到各段的最小费用、最优运量
(2)哪个厂销价的变化（产量上限的变化）对购运计划和总费用影响最大,
处理问题的方法与问题 (1)类似,
将各厂的最大生产上限和生产价格逐一进行变动，在一厂变动时，其他厂不变,
1w
2w
21 www
1
1
1.0
il
k
i kd
3.4 模型的建立与处理
14
1
2
i
idw
目标函数是总费用
:从工厂到各段的运费及其材料费之和
:铺设时的运费
0.1为单位钢管的每公里运费其中为一定值设单位生产价格与单位运费相加之和为单位运费
ija
则
14
1
7
1
1
i j
ijij yaw
14
1
14
1
7
1
1.0
i
i
i j
ijij dyaw
)14,,1(
7
1
ily i
j
ij )7,,1(5 0 0
14
1
jsy j
i
ij
目标函数的限定条件
1)各厂运往各段的钢管量之和为此段铺设钢管的总量,2)各路段所需各厂的钢管量之和应小于此厂的最大生产量，大于其最小生产量,
3.4.1 问题一
14
1
2
i
idw
2.1 2 2 3 8 72?w
2w
的计算：
1w
的计算：
ija
的计算方法：观察法、枚举法和动态规划法采用观察法和枚举法,比较得出工厂到各路段的单位产品的最优费用
714)( ijaA
1 6 21 6 12 2 82 4 32 6 83 3 32 8 8
1 8 61 6 12.2 2 62.2 3 62.2 6 12.3 2 62.2 8 1
2.1 9 81 7 62 0 62 2 12 4 63 1 12 6 6
2 1 61 9 51 8 82 1 12 3 63 0 12 5 6
2 2 62 0 11 8 82 1 12 3 22 9 72 5 2
2 3 72 1 22 1 22 2 22.1 9 82.2 6 92.2 2 4
2.2 5 92.2 3 42.2 3 42.2 2 42.1 9 82.2 2 62.1 8 1
2.2 9 11.2 7 12.2 6 62.2 7 62.2 3 62.2 2 61.1 6 3
3 0 12 8 12 7 61.2 9 32 4 62 4 11.1 6 3
5.3 1 05.2 9 05.2 9 55.2 9 05.2 5 55.2 5 05.1 8 0
3 2 63 0 63 0 13 1 62 7 12 6 61 9 8
6.3 8 66.3 6 66.3 6 16.3 7 66.3 3 16.3 2 66.2 5 8
2.4 0 52.3 8 52.3 8 02.3 9 52.3 5 02.3 4 52.3 0 0
3.4 3 53.4 0 53.4 0 03.4 1 03.3 7 03.3 6 03.3 2 0
A
单位供应量 800 800 1000 500 854 717 500
ijy
)7,,2,1(,0 is i 1.1 1 7 5 5 4 41?w
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
利用 MATLAB解线性规划，得 考虑各厂均供应各厂供应量得
7s
由于 生产量全部供应给了 1514 AA 为使全局更优
07?s 计算可得 1.1 1 7 5 0 4 41?w
各厂供应量单位供应量 800 800 1000 500 767 1304 0
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
4s
同样可知 供应给了
10965,AAAA
然而 的材料价格运输情况相对 更高
5s 4s
即使使用 代替 其供应量不会有影响
5s 4s
04?s为使全局最优再次考虑
1.1 1 7 0 6 2 61?w计算可得各厂供应量单位供应量 800 800 1000 0 1201 1370 0
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
各厂供应量（即 （ ）
代表路段,代表供应厂）分配如下：
ijy 7,2,1;14,2,1 ji i
j
供应厂路段
A1----A2 0 104 0 0 0 0 0
A2----A3 0 125.7778 67.4444 0 107.7778 0 0
A3----A4 272.5 184.6111 126.2778 0 166.6111 0 0
A4----A5 128.5 184.6111 126.2778 0 166.6111 0 0
A5----A6 194 0 0 0 0 0 0
A6----A7 205 0 0 0 0 0 0
A7----A8 0 201 0 0 0 0 0
A8----A9 0 0 680 0 0 0 0
A9----A10 0 0 0 0 240 240 0
A10---A11 0 0 0 0 300 0 0
A11---A12 0 0 0 0 220 0 0
A12---A13 0 0 0 0 0 210 0
A13---A14 0 0 0 0 0 420 0
A14---A15 0 0 0 0 0 500 0
1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S
分别将各厂的生产价格与生产上限变化一个单位，看他们对总费用的影响。
S变化为 1时
103 35 30 0 0 0 0
P变化为 1时
800 800 1000 500 854 717 500
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
w?
1p 2p 3p 4p 5p 6p 7p
w?
厂的销价变化对总费用的影响大
3s
3.4.2 问题二
1s
厂的产量上限变化对购运计划总费用影响最大评注程序计算可得：
21
7
1
14
1
7
1
1.0m i nm i n wwdya
i
i
i j
ijij
=1170626.1+122387.2=1293013.3
对于更一般的情况，如树形图，考虑情况可与
（ 1）类似。 在厂的取舍过程中亦同。具体模型与求解 的最佳方案一致，从而再次重复 的求解过程，可得,=1296491.1; =128973.8.1
w 1w
1w 2w
9.1425464)m i n (m i n 21 www
3.4.3 问题三各厂供应量单位供应量 800 800 1000 0 1673 1630 0
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
各厂供应量（即 （ ）
代表路段,代表供应厂）分配如下：
ijy 7,2,1;20,2,1 ji
i j
供应厂路段
A1----A2 0 104 0 0 0 0 0
A2----A3 0 125.7778 53.4444 0 121.7778 0 0
A3----A4 272.5 184.6111 22.2778 0 180.6111 0 0
A4----A5 128.5 184.6111 22.2778 0 180.6111 0 0
A5----A6 194 0 0 0 0 0 0
A6----A7 205 0 0 0 0 0 0
A7----A8 0 201 0 0 0 0 0
A8----A9 0 0 680 0 0 0 0
A9----A10 0 0 0 0 480 0 0
A10---A11 0 0 0 0 300 0 0
A11---A12 0 0 0 0 220 0 0
A12---A13 0 0 0 0 0 210 0
A13---A14 0 0 0 0 0 420 0
A14---A15 0 0 0 0 0 500 0
A15---A16 0 0 42 0 0 0 0
A16---A17 0 0 0 0 0 10 0
A17---A18 0 0 0 0 0 130 0
A18---A19 0 0 0 0 190 0 0
A19---A20 0 0 0 0 0 260 0
A20---A21 0 0 0 0 0 100 0
1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S
3.5 模型的优点与改进改进,在实际情况中，可考虑从某一段从两头对铺，使模型更优化,对于供应量较多，运费和单价较低情况下应就近考虑 (如,) 。在无软件帮助的情况下，可考虑一些不可能的情况，使计算规模缩小。
15146 ~?As
优点,本模型适用范围较广，在辅助软件的求解下，结果易得出，管道数量的变化对算法几乎没有影响。
§ 1 投篮的出手角度
§ 2 水塔流量估计
§ 3 钢管订购和运输
§ 1.1 问题的提出
v
1Q 2Q
L
H
0
P
h
从罚球点投篮示意图
§ 1 投篮的出手角度问题
不考虑篮球和篮筐大小,讨论球心命中框心的条件
考虑篮球和篮筐大小,讨论球心命中框心且入框条件
保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差
考虑空气阻力的影响
d
0
△ x
D
§ 1.2 问题的分析
0
d
D
篮球入筐球心偏前
不考虑篮球和篮筐大小,讨论球心命中框心的条件
考虑篮球和篮筐大小,讨论球心命中框心且入框条件
保证球入框,出手角度和出手速度允许的最大偏差
考虑空气阻力的影响
§ 1.3 基本模型
★ 不考虑篮球和篮筐大小,不考虑空气阻力的影响
22
2
c o s2t a n v
gxxy则球心运动轨迹为抛物线球可视为质点（球心）的斜抛运动，其运动方程以 代入上式，就得到球心命中筐心的条件hHyLx,
)
2
(211t a n 2
2
2
2
v
gLhH
v
g
gL
v?
且有
0)2(21 2
2
2 v
gLhH
v
g
最小出手速度
])([ 222 hHLhHgv
tvtxc o s)(
2s in)(
2gt
tvty
★ 球入篮筐时的入射角度 计算公式?
L
hH )(2t a nt a n
★ 考虑篮球和篮筐的大小,球心命中 筐 心且球入 筐 的条件为
D
dsin
2 4,6d c m? 45.0D c m? 代入得 01.33将
ta n
XL
dy
dx
22
2
c o s2t a n v
gxxy
0
d
D
§ 1.4 出手角度和出手速度最大偏差估计球入 筐 时球心偏前 (偏后 )的最大距离
s in22
dDx
0t a nc o s2 222 hHxv gx
hHy
xgLvL vgL )t a n( c o ss i n2
2
22
2
c o s2t a n v
gxxy因为
c o ss i n
)t a n(
2
2
vgL
gLvL
d
dx
Lx?
★ 出手角度最大偏差估计
★ 出手速度最大偏差估计 xv
gL
vgLv
2
2 c o ss i n
v 的相对偏差为
)t a n(
2
gLvv v
d 0
x
D
k
evtx kt 1c o s)(?
只考虑水平方向的阻力，且阻力与速度成正比
2
c o sc o s)( 2tkvtvtx
2s in)(
2gt
tvty
02c o sc o s
2
Ltkvtv
0)(2s in
2
hHgttv?
§ 1.5 空气阻力的影响
'' ' 0,x k x,0)0(?x ' ( 0 ) c o sxv
不考虑篮球和篮 筐 大小，确定球心命中 筐 心的条件水平方向的运动为解得
h(m) v(m/s) (度 )
1.8 7.6789 52.6012
1.9 7.5985 52.0181
2.0 7.5186 51.4290
2.1 7.4392 50.8344
§ 1.6 算法实现和计算结果
★ 对不同出手高度的最小出手速度和相应的出手角度
0?
])([ 222m i n hHLhHgv
)2(211t a n 2
2
2
2
v
gLhH
v
g
gL
v?
gL
v 2
0t a n
v（ m/s） h (m) (度 ) (度 ) (度 ) (度 )
8.0
1.8
1.9
2.0
2.1
62.4099
63.1147
63.7281
64.2670
42.7925
40.9188
39.1300
37.4017
53.8763
55.8206
57.4941
58.9615
20.9213
20.1431
19.6478
19.3698
8.5
1.8
1.9
2.0
2.1
67.6975
68.0288
68.3367
68.6244
37.5049
36.0075
34.5214
33.0444
62.1726
63.1884
64.1179
64.9279
12.6250
12.7753
13.0240
13.3583
9.0
1.8
1.9
2.0
2.1
71.0697
71.2749
71.4700
71.6561
34.1327
32.7614
31.3881
30.0127
67.1426
67.7974
68.4098
68.9840
7.6550
8.1663
8.7321
9.3472
1? 2? 1? 2?
★ 对不同出手速度和出手高度的出手角度和入射角度
)2(211t a n 2
2
2
2
v
gLhH
v
g
gL
v?
L
hH )(2t a nt a n
h(m) (度 ) v(m/s)
1.8
62.4099 8.0
67.6975 8.5
71.0697 9.0
-0.7562 0.0528
-0.5603 0.0694
-0.4570 0.0803
1.2261 0.6597
0.8276 0.8167
0.6431 0.8925
2.0
63.7281 8.0
68.3367 8.5
71.4700 9.0
-0.7100 0.0601
-0.5411 0.0734
-0.4463 0.0832
1.1140 0.7511
0.7918 0.8640
0.6244 0.9243
★ 出手角度和出手速度最大偏差
v?
v
v?
xgLvL vgL )t a n( c o ss i n2
2
xv
gL
vgLv
2
2 c o ss i n
★ 空气阻力的影响
1?度 2?度v(m/s） h (m)
8.0
1.8
1.9
2.0
2.1
60.7869 43.5424
61.6100 41.5693
62.3017 39.7156
62.9012 37.9433
62.4099 42.7925
63.1147 40.9188
63.7281 39.1300
64.2670 37.4017
8.5
1.8
1.9
2.0
2.1
66.5719 37.7905
66.9244 36.2870
67.2505 34.7982
67.5541 33.3209
67.6975 37.5049
68.0288 36.0075
68.3367 34.5214
68.6244 33.0444
9.0
1.8
1.9
2.0
2.1
70.1198 34.2736
70.3328 32.9087
70.5352 31.5428
70.7279 30.1756
71.0697 34.1327
71.2749 32.7614
71.4700 31.3881
71.6561 30.0127
1?度 2?度对不同出手速度和出手高度的出手角度
§ 1.7 结果分析
1．最小出手速度和出手角度（表 4-1-1）
2．出手速度和出手高度对出手角度的影响（表 4-
1-2）
3．出手角度和出手速度的允许偏差（表 4-1-3）
4．空气阻力的影响思考 若出手高度和角度固定，考察阻力对出手速度的影响。
§ 2 水塔流量估计
§ 2.1 问题的提出时刻（ h）
水位 (cm)
0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97
968 948 931 913 898 881 869 852 839 822
时刻（ h）
水位 (cm)
9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83
// // 1082 1050 1021 994 965 941 918
时刻（ h）
水位 (cm)
17.93 19.04 19.96 20.84 22.014 22.96 23.88 24.99 25.91
892 866 843 822 // // 1059 1035 1018
已知一天水位测量记录,
圆柱形水塔,高 12.2、直径 17.4米水位降至约 8.2米升到约 10.8米时,水泵工作,
水泵每天供水一两次，每次约两小时,
估计任何时刻流水量、一天总用水量,
§ 2.2 问题的分析 流量是单位时间流出的水的体积,
(2)拟合水位 ~时间函数、求导数，得连续时间流量,
★ 水泵不工作时段流量计算：水位对时间的变化率,
★ 水泵供水时段的流量计算,(1) 数值微分、拟合 ;
★ 模型检验,t=0-8.97,水位下降 968-822=146,
这一时段用水量 =146*水塔的截面积,
§ 2.3 模型假设
1．流量只取决于水位差，与水位本身无关,
2．水泵第 1次供水,t=9-11; 第 2次供水,t=20.8-23.
3．水泵工作时单位时间的供水量大致为常数,
4．流量是时间的连续函数,5流量与水泵是否工作无关,
6．流量,单位时间流出的水的高度 *水塔截面积,
1．拟合水位 ~时间函数,
§ 2.4 流量估计
3．一天总用水量的估计,
2．确定流量 ~时间函数,
§ 2.5 算法设计与编程
1．拟合第 1,2时段的水位，并导出流量,
2．拟合供水时段的流量,
3．一天总用水量的估计,
4．流量及总用水量的检验,
§ 2.6 计算结果各时段和一天总用水量 及两个供水时段水泵的功率
(n1,n2) y1 y2 y12 y3 y p1 p2
(3,4) 146.18 258.10 48.50 78.50 1263.4 154.25 143.59
(5,6) 146.52 257.76 46.13 76.30 1252.5 153.06 142.67
§ 2.7 分析及改进 数据拟合、数值积分精度足够,
流量曲线与原始记录基本上相吻合，零点到十点钟流量很低，十点到下午三点是用水高峰,
)(106.1 2 5 501.08.2 3 72422 3 L
供水时段用 3次曲线拟合 4点不够好,
全天平均流量 22(cm/h).一天总用水量：
§ 3 钢管订购和运输要铺设一条
1521 AAA
721,,,SSS?
3.1 问题的提出经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有的输送天然气的主管道,如 图一 所示。
A1
3
2
5
80
10
10
31
20
12
42 70 10
88
10
70
62
70
30
20 20
30
450
104 301
750 606
194 205
201
680
480 300
220 210
420
500
600
306
195
202
720
690
520
170
690
462
160 320
160
110
290
1150
1100
1200
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9 A10
A11
A12
A13
A14
A15
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
图一铁路钢管厂公路天然气管道火车站里程（单位 km）
1 2 3 4 5 6 7
800 800 1000 2000 2000 2000 3000
160 155 155 160 155 150 160
1km主管道钢管称为 1单位钢管,
i
is
ip
一钢厂如果承担制造这种钢管,至少生产 500个单位,
钢厂 在指定期限内能生产该钢管最大数量为 个单位,iS is
钢管出厂销价 1单位钢管为 万元,ip
1单位钢管的铁路运价如表：
里程 (km) ≤300 301～ 350 351～ 400 401～ 450 451～ 500
运价 (万元 ) 20 23 26 29 32
里程 (km) 501～ 600 601～ 700 701～ 800 801～ 900 901～1000
运价 (万元 ) 37 44 50 55 60
1000km以上每增加 1至 100km运价增加 5万元,
公路运输费用为 1单位钢管每公里 0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）,
钢管可由铁路、公路运往铺设地点 和管道全线,
,,,,1521 AAA?
(1)请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用 ).
(2)请就 (1)的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果,
(3)如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对 图二 按 (1)的要求给出模型和结果,
问题
A1
3
2
5
80
10
10
31
20
12
42
70 10
88
10
70
62
70
30
20 20
450
104 301
750 606
194 205
201
680
480 300
220
210
420
500
600
306
195
202
720
690
520
170
690
462
160 320
160
110
290
1150
1100
1200
A19
130
190
260
100
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9 A10
A11
A12
A13
A14
A15
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
A16 A17
A18
A20
(A21)
图二
30
3.2.1 模型的假设
3.2 模型的假设与符号约定铺设钢管各线段运输费以 1公里为单位 (1公里内不计 ).
钢管的铺设情况以从某一头向另一头铺设为准,
承担生产任务的钢管厂，供应量至少为 500个单位,
3.2.2 符号约定 )14,2,1(il
i
第 i 段长度,
)14,2,1(id i 第 i 段内的运费,
i 段用 j 厂单位钢管最小费用,)7,,1;14,,1( jia
ij
)7,,1;14,,1( jiy ij i 段用 j工厂钢管的数量,
)7,2,1(jp j
)7,,2,1(js j
j工厂单位钢管生产价格,
j工厂生产钢管的上限,
(3)要铺设一个树形管道网络图,解决办法,
(1)制定钢管的订购和运输计划，使总费用最小,
铺设钢管的总费用包括三部分
3.3 问题的分析
？？
？？
？
钢管生产成本 运到各段的费用 铺设时的运输费用问题：求各厂单位钢管运到各段的最小费用、最优运量
(2)哪个厂销价的变化（产量上限的变化）对购运计划和总费用影响最大,
处理问题的方法与问题 (1)类似,
将各厂的最大生产上限和生产价格逐一进行变动，在一厂变动时，其他厂不变,
1w
2w
21 www
1
1
1.0
il
k
i kd
3.4 模型的建立与处理
14
1
2
i
idw
目标函数是总费用
:从工厂到各段的运费及其材料费之和
:铺设时的运费
0.1为单位钢管的每公里运费其中为一定值设单位生产价格与单位运费相加之和为单位运费
ija
则
14
1
7
1
1
i j
ijij yaw
14
1
14
1
7
1
1.0
i
i
i j
ijij dyaw
)14,,1(
7
1
ily i
j
ij )7,,1(5 0 0
14
1
jsy j
i
ij
目标函数的限定条件
1)各厂运往各段的钢管量之和为此段铺设钢管的总量,2)各路段所需各厂的钢管量之和应小于此厂的最大生产量，大于其最小生产量,
3.4.1 问题一
14
1
2
i
idw
2.1 2 2 3 8 72?w
2w
的计算：
1w
的计算：
ija
的计算方法：观察法、枚举法和动态规划法采用观察法和枚举法,比较得出工厂到各路段的单位产品的最优费用
714)( ijaA
1 6 21 6 12 2 82 4 32 6 83 3 32 8 8
1 8 61 6 12.2 2 62.2 3 62.2 6 12.3 2 62.2 8 1
2.1 9 81 7 62 0 62 2 12 4 63 1 12 6 6
2 1 61 9 51 8 82 1 12 3 63 0 12 5 6
2 2 62 0 11 8 82 1 12 3 22 9 72 5 2
2 3 72 1 22 1 22 2 22.1 9 82.2 6 92.2 2 4
2.2 5 92.2 3 42.2 3 42.2 2 42.1 9 82.2 2 62.1 8 1
2.2 9 11.2 7 12.2 6 62.2 7 62.2 3 62.2 2 61.1 6 3
3 0 12 8 12 7 61.2 9 32 4 62 4 11.1 6 3
5.3 1 05.2 9 05.2 9 55.2 9 05.2 5 55.2 5 05.1 8 0
3 2 63 0 63 0 13 1 62 7 12 6 61 9 8
6.3 8 66.3 6 66.3 6 16.3 7 66.3 3 16.3 2 66.2 5 8
2.4 0 52.3 8 52.3 8 02.3 9 52.3 5 02.3 4 52.3 0 0
3.4 3 53.4 0 53.4 0 03.4 1 03.3 7 03.3 6 03.3 2 0
A
单位供应量 800 800 1000 500 854 717 500
ijy
)7,,2,1(,0 is i 1.1 1 7 5 5 4 41?w
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
利用 MATLAB解线性规划，得 考虑各厂均供应各厂供应量得
7s
由于 生产量全部供应给了 1514 AA 为使全局更优
07?s 计算可得 1.1 1 7 5 0 4 41?w
各厂供应量单位供应量 800 800 1000 500 767 1304 0
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
4s
同样可知 供应给了
10965,AAAA
然而 的材料价格运输情况相对 更高
5s 4s
即使使用 代替 其供应量不会有影响
5s 4s
04?s为使全局最优再次考虑
1.1 1 7 0 6 2 61?w计算可得各厂供应量单位供应量 800 800 1000 0 1201 1370 0
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
各厂供应量（即 （ ）
代表路段,代表供应厂）分配如下：
ijy 7,2,1;14,2,1 ji i
j
供应厂路段
A1----A2 0 104 0 0 0 0 0
A2----A3 0 125.7778 67.4444 0 107.7778 0 0
A3----A4 272.5 184.6111 126.2778 0 166.6111 0 0
A4----A5 128.5 184.6111 126.2778 0 166.6111 0 0
A5----A6 194 0 0 0 0 0 0
A6----A7 205 0 0 0 0 0 0
A7----A8 0 201 0 0 0 0 0
A8----A9 0 0 680 0 0 0 0
A9----A10 0 0 0 0 240 240 0
A10---A11 0 0 0 0 300 0 0
A11---A12 0 0 0 0 220 0 0
A12---A13 0 0 0 0 0 210 0
A13---A14 0 0 0 0 0 420 0
A14---A15 0 0 0 0 0 500 0
1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S
分别将各厂的生产价格与生产上限变化一个单位，看他们对总费用的影响。
S变化为 1时
103 35 30 0 0 0 0
P变化为 1时
800 800 1000 500 854 717 500
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
w?
1p 2p 3p 4p 5p 6p 7p
w?
厂的销价变化对总费用的影响大
3s
3.4.2 问题二
1s
厂的产量上限变化对购运计划总费用影响最大评注程序计算可得：
21
7
1
14
1
7
1
1.0m i nm i n wwdya
i
i
i j
ijij
=1170626.1+122387.2=1293013.3
对于更一般的情况，如树形图，考虑情况可与
（ 1）类似。 在厂的取舍过程中亦同。具体模型与求解 的最佳方案一致，从而再次重复 的求解过程，可得,=1296491.1; =128973.8.1
w 1w
1w 2w
9.1425464)m i n (m i n 21 www
3.4.3 问题三各厂供应量单位供应量 800 800 1000 0 1673 1630 0
1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s
各厂供应量（即 （ ）
代表路段,代表供应厂）分配如下：
ijy 7,2,1;20,2,1 ji
i j
供应厂路段
A1----A2 0 104 0 0 0 0 0
A2----A3 0 125.7778 53.4444 0 121.7778 0 0
A3----A4 272.5 184.6111 22.2778 0 180.6111 0 0
A4----A5 128.5 184.6111 22.2778 0 180.6111 0 0
A5----A6 194 0 0 0 0 0 0
A6----A7 205 0 0 0 0 0 0
A7----A8 0 201 0 0 0 0 0
A8----A9 0 0 680 0 0 0 0
A9----A10 0 0 0 0 480 0 0
A10---A11 0 0 0 0 300 0 0
A11---A12 0 0 0 0 220 0 0
A12---A13 0 0 0 0 0 210 0
A13---A14 0 0 0 0 0 420 0
A14---A15 0 0 0 0 0 500 0
A15---A16 0 0 42 0 0 0 0
A16---A17 0 0 0 0 0 10 0
A17---A18 0 0 0 0 0 130 0
A18---A19 0 0 0 0 190 0 0
A19---A20 0 0 0 0 0 260 0
A20---A21 0 0 0 0 0 100 0
1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S
3.5 模型的优点与改进改进,在实际情况中，可考虑从某一段从两头对铺，使模型更优化,对于供应量较多，运费和单价较低情况下应就近考虑 (如,) 。在无软件帮助的情况下，可考虑一些不可能的情况，使计算规模缩小。
15146 ~?As
优点,本模型适用范围较广，在辅助软件的求解下，结果易得出，管道数量的变化对算法几乎没有影响。
