? 上次课重要内容：
第三章 长期水文过程的因子挑选
物理考察,大气环流、太阳、宇宙、地球物理、
前期下垫面、前期地面水文气象因素,经验和韵律的应用
统计考察：相关概率、单相关系数、等级相关系数
第四章 回归分模型
概念、一元回归模型、回归系数的求解和意义
本次课主要内容：
一元回归效果的检验、多元回归、逐步回归三、多元线性回归分析
（一）模型 p 50
预报对象Ｙ,m个预报因子 xi(i=1,2……m) 。 建立它们之间的相关关系得到多元线性回归方程。如下：
（ 4-18）
bi (i=0,1,2……m) 为回归系数；根据实测资料确定。
t=1,2,……..n,为资料长度。
多元 —— 是指因变量 y依赖于不止一个自变量 x；
线性 —— 是指回归方程是关于参数 bi (i=0,1,2……m)
的线性函数
mtmttt xbxbxbby,,,,,,? 22110
（二）回归系数的最小二乘估计
把各个 xt的每个观测值代入方程（ 4-18）后，得到 n个 y
的估计值 。这样就有 n方程,m+1未知数。
总残差平方和为,
,
（ 4-23）
其依赖于 bi (i=0,1,2……m),要使其最小，则
.
ty
n
t
mtmttt
n
t
tt
xbxbxbby
yyQ
1
2
22110
1
2
)......(
)?(
0
ib
Q
将（ 4-20）式分别对 求导，令其为零。
经归并整理后，得到如下正规方程组,
（ 4-24）
其中：
当资料给定,为已知，解此方程组,可以一一求出。
mbbb,.....,10
mymmmmm
ymm
ymm
SbSbSbS
SbSbSbS
SbSbSbS
.,,,,,
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22222121
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1
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t
n
t
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n
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ss,
（三）多元回归系数的物理意义 p54
在一元的情况下，得：
表示 x 距平变化一个单位 y平均变化的大小。以此类比，
的 物理意义为：其他因素不变的情况下，
xi 距平变化一个单位 y平均变化的大小 。
xx
yyb
1
ib
（四）标准回归系数
为消除单位的影响，引入标准回归系数的概念。对式
（ 4-24）进行变换。
令：
有如下方程组：
).,,,,,2,1.(.,,,,,,,,,.,,,,,,,,,
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mib
S
S
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方程组（ 4-25）关于标准化回归系数的标准化正规方程组，其中的回归系数 b’i与 x及 y所取的单位无关。称为标准回归系数。它的绝对值越大，相应的因素对 y的影响就越大。
资料一定,已知,b’I可以求得，因子的相对
重要性可通过比较 的大小来确定。
预报对象的相关系数因子与为因子的相关系数因子与为
jir
jir
iy
ij
iyij rr,
'ib
（五）回归效果的检验
1.离差分析及复相关系数
与一元线性回归相似。
总离差平方和 =回归平方和 +离差平方和。即
R为复相关系数，这一无量纲指标 R可用来衡量回归效果的好坏。 R越接近 1，回归效果越好。
当自变量只有一个时,R为一元回归中的单相关系数。
nt tt yyQ 1 2)?(
UQS yy
).,,,,,2,1.,,,,,,(
1
miSbU m
t iyi
yyyy S
QR
S
UR 12 或
讨论,P56
问题,P56
R显著性检验（ t检验）：
据 m,n及给定的信度查表（ P57表 4-1）得
2.剩余标准差
多元残差平方和的自由度：
剩余标准差：
（ 4-29）
sy越小回归效果越好。
回归效果不显著回归效果显著
RR
RR
mnfff UQ 1
mn
Qs
y 1
R
3.回归效果的 F检验 （回归平方和明显大于残差平方和的检验）
（ 1）定义
（ 4-30）
可见,F值越大，回归方差越大，回归效果越好。
（ 2）讨论 P59
（ 3） 检验查表：给定一信度?,查出相应的临界值 F?
比较：若 F>F?,回归效果显著。反之，不显著。
1
mn
Q
m
U
F
残差方差回归方差方差分析表来源 平方和 自由度 F 检验回归?
m
t
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1
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残差?
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t
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1
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n
t
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1
2
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mn
Q
m
U
F
（六）优缺点
1.比较全面地综合多个因子的作用，使预报定量化。
2.回归方程反映了预报因子和对象之间的平均关系，异常情况反映不出。
3.预报因子主次不分，因子间相互不独立。从衡量预报的精度看，回归中可能包含了对预报对象作用不大的因子，从而降低了预报精度，
影响方程的稳定性。
4.检验滞后。
5.从实用的角度，因子太多使用上不方便。
四、逐步回归分析
（一）基本思想 p61
1、定义衡量因子对预报对象重要性的 指标,
将可供选择的变量，逐步引入回归方程。要求所引入的变量是可供选择变量中使 残差平方和
Q下降最多 的一个，即对预报对象影响最显著的因子。且要通过 F检验。
2、因子的挑选是逐步进行的。随着变量的引入，又可能使原来进入方程的变量显得不重要，
要随时剔除。使得逐步回归最后得到的方程只包含对预报对象影响显著的因子。
（二）实现逐步回归思想的关键 p72
1、寻求解正规化方程组的合适方法。
2、寻找合适的衡量因子重要性的指标 — 方差贡献，以判别对预报对象影响显著的因子。
3、引入或剔除因子的 F 检验。
(三 ) 求解正规方程组的方法
1.关于 的相关矩阵 （零步增广矩阵）
P72
'ib )0(R
逐步回归中的正规方程组为标准化正规方程组：
相应的增广矩阵：
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.,,,,,
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''
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'
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1
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ij
矩阵的特点：主对角线上的元素为 1，其余要素关于主
对角线对称。
2.引入或剔除变量利用变换公式（ 4-32）对相关矩阵作变换 p74
（ 1）变换公式的性质变换公式
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1
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kj
l
ikl
ij
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ij
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ij
为高斯约当求解求逆紧凑方案的矩阵变换公式。
性质,P76 （ a） — （ d）
（ 3） 方法
例：矩阵变换进行到在第 L步
L+1步要引入（剔除）,对 用（ 4-32）对所在的列变换一次，相当于消元（加元）过程。
为 的标准回归系数（没有引入 前的数据）
3.回归系数的计算
设经过 m步矩阵变换，引入了 L个因子，
kx )(lR k
x
)1(?lkyr
kx kx
)()0( mRR?
矩阵的最后一列就是
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2
)(
1
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2
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(四 )引入和剔除变量的选择 — 方差贡献的计算
1.概念 p76
回归方程中有 m个预报因子,
令,Q（ m） 为包含全部预报因子 x1,x2…….x m的残差平
方和
Q（ m-1） 为去掉因子 xi 所有 m-1个因子的 残差平方
和
Vi= Q（ m-1） - Q（ m） (4-33)
为预报因子 xi对预报对象 y的方差贡献。 P76
显然,Q（ m-1） > Q（ m）,其值越大,Vi 越大，因子 xi
对 y的作用越大。
2、方差贡献的计算
（ 1）剔除因子
方程中有 L个因子，其中第 k个因子的方差贡献为：
（ 2）引入因子
方程中已有 L个因子，现要把 xk 作为第 l+1个因子引入方程，其方差贡献为：
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r
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3、以 Vi 为标准引入（ 剔除）因子
（ 1）对已入选的因子，分别计算各因子的 Vi值，
MinVi 对应的因子，可考虑剔除。
（ 2）对未入选的因子，分别计算各因子的 Vi值，
MaxVi 对应的因子，可考虑引入。
（ 五）引入或剔除变量的 F检验
1.公式
定义方差比：
（ 4-36）
Vi为预报因子 xi对预报对象 y的方差贡献。一个因子，
自由度 =1
Q（ L） 为逐步回归进行到 L步，考虑 P个因子作用后的残差平方和。 f=n-1,fu=p,fQ=f- fu= n-p-1
)1(
1
)( pnQ
VF
l
i
i
在 的假设条件下,Fi服从 F分布，给定自由度（ 1，
n-p-1),信度 查表得
若 拒绝原假设,xi作用显著，用（ 4-32）对矩阵
作变换 — 引进。
若 接受原假设,xi作用不显著，用（ 4-32）对矩
阵作变换 — 剔除。
2,步骤
引入因子：
(1)对未入选的（ m-p)个因子，分别计算各因子的 Vi值,
引进因子 m=P+1 fQ=n-m-1=n-P-2
公式,
(4-38)
(2)挑选 MaxVi 进行 F检验
0?iB
F
FFi?
FFi?
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)(
1
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l
i
l
yy
l
i
i Vr
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给定信度，自由度（ n-p-2)查表得：
当 引进因子。
剔除因子：
方程中已有 p个因子
(1)对已经进入方程的 P个因子，分别计算各因子的 Vi
值,
公式：
（ 4-38） ’
(2)挑选 MinVi 进行 F检验
当 剔除因子
F
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（六）逐步回归方程的获得和回归效果检验
1.标准回归方程 P83
2.回归方程
代入关系式,
得,回归方程 P83
(4-40)
i
p
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1
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3.回归效果检验
(1)复相关系数
可以证明：
（ 4-41）
R越接近 1越好。
（ 2）剩余标准差
（ 4-42）
越小越好。
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)(
pn
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（七）逐步回归计算步骤及个例
步骤：见 P87 计算过程示意图
数值例子,P84
（八）逐步回归中与多元回归的讨论
p92
第三章 长期水文过程的因子挑选
物理考察,大气环流、太阳、宇宙、地球物理、
前期下垫面、前期地面水文气象因素,经验和韵律的应用
统计考察：相关概率、单相关系数、等级相关系数
第四章 回归分模型
概念、一元回归模型、回归系数的求解和意义
本次课主要内容：
一元回归效果的检验、多元回归、逐步回归三、多元线性回归分析
（一）模型 p 50
预报对象Ｙ,m个预报因子 xi(i=1,2……m) 。 建立它们之间的相关关系得到多元线性回归方程。如下：
（ 4-18）
bi (i=0,1,2……m) 为回归系数；根据实测资料确定。
t=1,2,……..n,为资料长度。
多元 —— 是指因变量 y依赖于不止一个自变量 x；
线性 —— 是指回归方程是关于参数 bi (i=0,1,2……m)
的线性函数
mtmttt xbxbxbby,,,,,,? 22110
（二）回归系数的最小二乘估计
把各个 xt的每个观测值代入方程（ 4-18）后，得到 n个 y
的估计值 。这样就有 n方程,m+1未知数。
总残差平方和为,
,
（ 4-23）
其依赖于 bi (i=0,1,2……m),要使其最小，则
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经归并整理后，得到如下正规方程组,
（ 4-24）
其中：
当资料给定,为已知，解此方程组,可以一一求出。
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（三）多元回归系数的物理意义 p54
在一元的情况下，得：
表示 x 距平变化一个单位 y平均变化的大小。以此类比，
的 物理意义为：其他因素不变的情况下，
xi 距平变化一个单位 y平均变化的大小 。
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（四）标准回归系数
为消除单位的影响，引入标准回归系数的概念。对式
（ 4-24）进行变换。
令：
有如下方程组：
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方程组（ 4-25）关于标准化回归系数的标准化正规方程组，其中的回归系数 b’i与 x及 y所取的单位无关。称为标准回归系数。它的绝对值越大，相应的因素对 y的影响就越大。
资料一定,已知,b’I可以求得，因子的相对
重要性可通过比较 的大小来确定。
预报对象的相关系数因子与为因子的相关系数因子与为
jir
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（五）回归效果的检验
1.离差分析及复相关系数
与一元线性回归相似。
总离差平方和 =回归平方和 +离差平方和。即
R为复相关系数，这一无量纲指标 R可用来衡量回归效果的好坏。 R越接近 1，回归效果越好。
当自变量只有一个时,R为一元回归中的单相关系数。
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讨论,P56
问题,P56
R显著性检验（ t检验）：
据 m,n及给定的信度查表（ P57表 4-1）得
2.剩余标准差
多元残差平方和的自由度：
剩余标准差：
（ 4-29）
sy越小回归效果越好。
回归效果不显著回归效果显著
RR
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mn
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3.回归效果的 F检验 （回归平方和明显大于残差平方和的检验）
（ 1）定义
（ 4-30）
可见,F值越大，回归方差越大，回归效果越好。
（ 2）讨论 P59
（ 3） 检验查表：给定一信度?,查出相应的临界值 F?
比较：若 F>F?,回归效果显著。反之，不显著。
1
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残差方差回归方差方差分析表来源 平方和 自由度 F 检验回归?
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（六）优缺点
1.比较全面地综合多个因子的作用，使预报定量化。
2.回归方程反映了预报因子和对象之间的平均关系，异常情况反映不出。
3.预报因子主次不分，因子间相互不独立。从衡量预报的精度看，回归中可能包含了对预报对象作用不大的因子，从而降低了预报精度，
影响方程的稳定性。
4.检验滞后。
5.从实用的角度，因子太多使用上不方便。
四、逐步回归分析
（一）基本思想 p61
1、定义衡量因子对预报对象重要性的 指标,
将可供选择的变量，逐步引入回归方程。要求所引入的变量是可供选择变量中使 残差平方和
Q下降最多 的一个，即对预报对象影响最显著的因子。且要通过 F检验。
2、因子的挑选是逐步进行的。随着变量的引入，又可能使原来进入方程的变量显得不重要，
要随时剔除。使得逐步回归最后得到的方程只包含对预报对象影响显著的因子。
（二）实现逐步回归思想的关键 p72
1、寻求解正规化方程组的合适方法。
2、寻找合适的衡量因子重要性的指标 — 方差贡献，以判别对预报对象影响显著的因子。
3、引入或剔除因子的 F 检验。
(三 ) 求解正规方程组的方法
1.关于 的相关矩阵 （零步增广矩阵）
P72
'ib )0(R
逐步回归中的正规方程组为标准化正规方程组：
相应的增广矩阵：
)304.,,,,,,(.,,,,,,,,,
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),.,,2,1;,.,,2,1.(),,,,,,,,,(0 ymjymirR
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矩阵的特点：主对角线上的元素为 1，其余要素关于主
对角线对称。
2.引入或剔除变量利用变换公式（ 4-32）对相关矩阵作变换 p74
（ 1）变换公式的性质变换公式
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为高斯约当求解求逆紧凑方案的矩阵变换公式。
性质,P76 （ a） — （ d）
（ 3） 方法
例：矩阵变换进行到在第 L步
L+1步要引入（剔除）,对 用（ 4-32）对所在的列变换一次，相当于消元（加元）过程。
为 的标准回归系数（没有引入 前的数据）
3.回归系数的计算
设经过 m步矩阵变换，引入了 L个因子，
kx )(lR k
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矩阵的最后一列就是
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(四 )引入和剔除变量的选择 — 方差贡献的计算
1.概念 p76
回归方程中有 m个预报因子,
令,Q（ m） 为包含全部预报因子 x1,x2…….x m的残差平
方和
Q（ m-1） 为去掉因子 xi 所有 m-1个因子的 残差平方
和
Vi= Q（ m-1） - Q（ m） (4-33)
为预报因子 xi对预报对象 y的方差贡献。 P76
显然,Q（ m-1） > Q（ m）,其值越大,Vi 越大，因子 xi
对 y的作用越大。
2、方差贡献的计算
（ 1）剔除因子
方程中有 L个因子，其中第 k个因子的方差贡献为：
（ 2）引入因子
方程中已有 L个因子，现要把 xk 作为第 l+1个因子引入方程，其方差贡献为：
80.,,,,,,,,][ )(
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3、以 Vi 为标准引入（ 剔除）因子
（ 1）对已入选的因子，分别计算各因子的 Vi值，
MinVi 对应的因子，可考虑剔除。
（ 2）对未入选的因子，分别计算各因子的 Vi值，
MaxVi 对应的因子，可考虑引入。
（ 五）引入或剔除变量的 F检验
1.公式
定义方差比：
（ 4-36）
Vi为预报因子 xi对预报对象 y的方差贡献。一个因子，
自由度 =1
Q（ L） 为逐步回归进行到 L步，考虑 P个因子作用后的残差平方和。 f=n-1,fu=p,fQ=f- fu= n-p-1
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在 的假设条件下,Fi服从 F分布，给定自由度（ 1，
n-p-1),信度 查表得
若 拒绝原假设,xi作用显著，用（ 4-32）对矩阵
作变换 — 引进。
若 接受原假设,xi作用不显著，用（ 4-32）对矩
阵作变换 — 剔除。
2,步骤
引入因子：
(1)对未入选的（ m-p)个因子，分别计算各因子的 Vi值,
引进因子 m=P+1 fQ=n-m-1=n-P-2
公式,
(4-38)
(2)挑选 MaxVi 进行 F检验
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FFi?
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1
)2(
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i
l
yy
l
i
i Vr
pnVF
给定信度，自由度（ n-p-2)查表得：
当 引进因子。
剔除因子：
方程中已有 p个因子
(1)对已经进入方程的 P个因子，分别计算各因子的 Vi
值,
公式：
（ 4-38） ’
(2)挑选 MinVi 进行 F检验
当 剔除因子
F
FF i?1
)(
)(
2
)1(
l
yy
l
i
i r
pnVF
FF i?2
（六）逐步回归方程的获得和回归效果检验
1.标准回归方程 P83
2.回归方程
代入关系式,
得,回归方程 P83
(4-40)
i
p
i
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1
i
ii
yy
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ii
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xxx
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1
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iy
p
i ii
yy
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s
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3.回归效果检验
(1)复相关系数
可以证明：
（ 4-41）
R越接近 1越好。
（ 2）剩余标准差
（ 4-42）
越小越好。
11
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pn
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s
pn
Qs lyy
yyy
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QR 1
（七）逐步回归计算步骤及个例
步骤：见 P87 计算过程示意图
数值例子,P84
（八）逐步回归中与多元回归的讨论
p92
