高 等 数 学 公 式 手 册
二〇〇六年七月
导数公式,
基本积分表,
三角函数的有理式积分,
22
2
2
1
2
21
1
cos
1
2
sin
u
du
dx
x
tgu
u
u
x
u
u
x
+
==
+
=
+
=,　，　，　
ax
x
aaa
ctgxxx
tgxxx
xctgx
xtgx
a
xx
ln
1
)(log
ln)(
csc)(csc
sec)(sec
csc)(
sec)(
2
2
=′
=′
=′
=′
=′
=′
2
2
2
2
1
1
)(
1
1
)(
1
1
)(arccos
1
1
)(arcsin
x
arcctgx
x
arctgx
x
x
x
x
+
=′
+
=′
=′
=′
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫∫
+±+=
±
+=
+=
+=
+?=?
+=?
+?==
+==
Caxx
ax
dx
Cshxchxdx
Cchxshxdx
C
a
a
dxa
Cxctgxdxx
Cxdxtgxx
Cctgxxdx
x
dx
Ctgxxdx
x
dx
x
x
)ln(
ln
csccsc
secsec
csc
sin
sec
cos
22
22
2
2
2
2
C
a
x
xa
dx
C
xa
xa
axa
dx
C
ax
ax
aax
dx
C
a
x
arctg
axa
dx
Cctgxxxdx
Ctgxxxdx
Cxctgxdx
Cxtgxdx
+=
+
+
=
+
+
=
+=
+
+?=
++=
+=
+?=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
arcsin
ln
2
1
ln
2
1
1
csclncsc
seclnsec
sinln
cosln
22
22
22
22
∫
∫
∫
∫∫
++?=?
+?+=?
+++++=+
===
C
a
xa
xa
x
dxxa
Caxx
a
ax
x
dxax
Caxx
a
ax
x
dxax
I
n
n
xdxxdxI
n
nn
n
arcsin
22
ln
22
)ln(
22
1
cossin
2
2222
22
2
2222
22
2
2222
2
2
0
2
0
ππ
一些初等函数,两个重要极限,
三角函数公式,
·诱导公式,
函数角 A
sin cos tg ctg
-α -sinα cosα -tgα -ctgα
90°-α cosα sinα ctgα tgα
90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα
180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα
180°+α -sinα -cosα tgα ctgα
270°-α -cosα -sinα ctgα tgα
270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα
360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα
360°+α sinα cosα tgα ctgα
·和差角公式,·和差化积公式,
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
2
sin
2
cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
βαβα
βα
βαβα
βα
βαβα
βα
+
=?
+
=+
+
=?
+
=+
αβ
βα
βα
βα
βα
βα
βαβαβα
βαβαβα
ctgctg
ctgctg
ctg
tgtg
tgtg
tg
±
=±
±
=±
=±
±=±
1
)(
1
)(
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(
m
m
m
x
x
arthx
xxarchx
xxarshx
ee
ee
chx
shx
thx
ee
chx
ee
shx
xx
xx
xx
xx
+
=
+±=
++=
+
==
+
=
=
1
1
ln
2
1
)1ln(
1ln(
:
2
:
2
:
2
2
）
双曲正切双曲余弦双曲正弦
...590457182818284.2)
1
1(lim
1
sin
lim
0
==+
=
∞→
→
e
x
x
x
x
x
x
·倍角公式,
·半角公式,
α
α
α
α
α
αα
α
α
α
α
α
αα
αααα
cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2cos1
sin
sin
cos1
cos1
cos1
2
2
cos1
2
cos
2
cos1
2
sin
=
+
=
+
±=
+
=
=
+
±=
+
±=
±=
ctgtg
·正弦定理,R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
=== ·余弦定理,Cabbac cos2
222
+=
·反三角函数性质,arcctgxarctgxxx?=?=
2
arccos
2
arcsin
ππ
　
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式,
)()()()2()1()(
0
)()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)(
nkknnnn
n
k
kknk
n
n
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvu
vuCuv
++
+
++′′
+′+=
=

=
∑
L
L
L
中值定理与导数应用,
拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：
拉格朗日中值定理：
xx
F
f
aFbF
afbf
abfafbf
=
′
′
=
′=?
)(F
)(
)(
)()(
)()(
))(()()(
ξ
ξ
ξ
α
αα
α
ααα
ααα
2
3
3
3
31
3
3
cos3cos43cos
sin4sin33sin
tg
tgtg
tg
=
=
=
α
α
α
α
α
α
ααααα
ααα
2
2
2222
1
2
2
2
1
2
sincossin211cos22cos
cossin22sin
tg
tg
tg
ctg
ctg
ctg
=
=
=?=?=
=
曲率,
.
1;0
.
)1(
limM
sMM:.
,1
320
2
a
Ka
K
y
y
ds
d
s
K
MM
s
K
tgydxyds
s
=
=
′+
′′
==
Δ
Δ
=
′Δ′Δ
Δ
Δ
=
=′′+=
→Δ
的圆：半径为直线：
点的曲率：
弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：
其中弧微分公式：
αα
α
α
α
定积分的近似计算,
∫
∫
∫

+++++++++
≈
++++
≈
+++
≈
b
a
nnn
b
a
nn
b
a
n
yyyyyyyy
n
ab
xf
yyyy
n
ab
xf
yyy
n
ab
xf
)](4)(2)[(
3
)(
])(
2
1
[)(
)()(
1312420
110
110
LL
L
L
抛物线法：
梯形法：
矩形法：
定积分应用相关公式,
∫
∫
=
=
=
=
b
a
b
a
dttf
ab
dxxf
ab
y
k
r
mm
kF
ApF
sFW
)(
1
)(
1
,
2
2
21
均方根：
函数的平均值：
为引力系数引力：
水压力：
功：
空间解析几何和向量代数,
。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：
例：线速度：
两向量之间的夹角：
是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：
点的距离：空间
αα
θ
θ
θ

,cos)(][
..sin,
cos
,,cos
PrPr)(Pr
,cosPr
)()()(2
222222
2121
2
12
2
12
2
1221
cba
ccc
bbb
aaa
cbacba
rwvbac
bbb
aaa
kji
bac
bbbaaa
bababa
bababababa
ajajaaj
uABABABj
zzyyxxMMd
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
zyxzyx
zzyyxx
zzyyxx
u
u
v
v
vv
v
vv
v
v
vvv
v
vv
v
vv
v
v
v
v
vvvv
×==?×=
×=?==×=
++?++
++
=
++=?=?
+=+
=
+?+?==
（马鞍面）双叶双曲面：
单叶双曲面：
、双曲面：
同号）（、抛物面：
、椭球面：
二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：
面的距离：平面外任意一点到该平
、截距世方程：
、一般方程：
，其中、点法式：
平面的方程：
1
1
3
,,
22
2
11
};,,{,
13
02
),,(},,,{0)()()(1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
0
0
0
000
222
000
0000000
=+?
=?+
=+
=++
+=
+=
+=
==
=
=
++
+++
=
=++
=+++
==?+?+?
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
qpz
q
y
p
x
c
z
b
y
a
x
ptzz
ntyy
mtxx
pnmst
p
zz
n
yy
m
xx
CBA
DCzByAx
d
c
z
b
y
a
x
DCzByAx
zyxMCBAnzzCyyBxxA
v
v
多元函数微分法及应用
z
y
z
x
y
x
y
x
y
x
yx
F
F
y
z
F
F
x
z
zyxF
dx
dy
F
F
yF
F
xdx
yd
F
F
dx
dy
yxF
dy
y
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dx
x
v
dvdy
y
u
dx
x
u
du
yxvvyxuu
x
v
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z
x
u
u
z
x
z
yxvyxufz
t
v
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z
t
u
u
z
dt
dz
tvtufz
yyxfxyxfdzz
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
dudy
y
z
dx
x
z
dz
=
=
=

=?==
+
=
+
=
==
+
=
=
+
==
Δ+Δ=≈Δ
+
+
=
+
=
，,　隐函数
＋，,隐函数隐函数的求导公式：
时，，当
：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：
　全微分：
0),,(
)()(0),(
),(),(
)],(),,([
)](),([
),(),(
2
2
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(1
),(
),(
0),,,(
0),,,(
yu
GF
Jy
v
vy
GF
Jy
u
xu
GF
Jx
v
vx
GF
Jx
u
GG
FF
v
G
u
G
v
F
u
F
vu
GF
J
vuyxG
vuyxF
vu
vu
=
=
=
=
=
=
=
=
=
　隐函数方程组：
微分法在几何上的应用,
),,(),,(),,(
3
0))(,,())(,,())(,,(2
)},,(),,,(),,,({1
),,(0),,(
},,{,
0),,(
0),,(
0))(())(())((
)()()(
),,(
)(
)(
)(
000
0
000
0
000
0
000000000000
000000000
000
000000
0
0
0
0
0
0
000
zyxF
zz
zyxF
yy
zyxF
xx
zzzyxFyyzyxFxxzyxF
zyxFzyxFzyxFn
zyxMzyxF
GG
FF
GG
FF
GG
FF
T
zyxG
zyxF
zztyytxxtM
t
zz
t
yy
t
xx
zyxM
tz
ty
tx
zyx
zyx
zyx
yx
yx
xz
xz
zy
zy
=
=
=?+?+?
=
=
=
=
=
=?′+?′+?′
′
=
′
=
′
=
=
=
、过此点的法线方程：
：、过此点的切平面方程
、过此点的法向量：
，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：
处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线
v
v
ωψ?
ωψ?
ω
ψ
方向导数与梯度,
上的投影。在是单位向量。
方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数
lyxf
l
f
ljieeyxf
l
f
j
y
f
i
x
f
yxfyxpyxfz
lx
y
f
x
f
l
f
lyxpyxfz
),(grad
sincos),(grad
),(grad),(),(
sincos),(),(
∴
+?=?=
+
==
+
=
=
vv
vv
vv


多元函数的极值及其求法,
=?
<?
>
<
>?
=====
　不确定时值时,无极为极小值为极大值时，
则：
,令：设
,0
0
),(,0
),(,0
0
),(,),(,),(0),(),(
2
2
00
002
0000000000
BAC
BAC
yxA
yxA
BAC
CyxfByxfAyxfyxfyxf
yyxyxxyx
重积分及其应用,
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫∫
++
=
++
=
++
=
=>
==
====
+
+==
=
′
D
z
D
y
D
x
zyx
D
y
D
x
D
D
y
D
x
D
DD
ayx
xdyx
faF
ayx
ydyx
fF
ayx
xdyx
fF
FFFFaaMzxoy
dyxxIydyxyIx
dyx
dyxy
M
M
y
dyx
dyxx
M
M
x
dxdy
y
z
x
z
Ayxfz
rdrdrrfdxdyyxf
2
3
222
2
3
222
2
3
222
22
D
2
2
)(
),(
)(
),(
)(
),(
},,{)0(),,0,0(
),(,),(
),(
),(
,
),(
),(
1),(
)sin,cos(),(
σρσρσρ
σρσρ
σρ
σρ
σρ
σρ
θθθ
，,
，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量：
平面薄片的重心：
的面积曲面
柱面坐标和球面坐标,
∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫
∫∫∫ ∫∫∫
ΩΩΩ
ΩΩΩΩ
ΩΩ
ΩΩ
+=+=+=
=====
==
==
=
=
=
=
=
=
=
=
dvyxIdvzxIdvzyI
dvxMdvz
M
zdvy
M
ydvx
M
x
drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf
ddrdrdrdrrddv
rz
ry
rx
zrrfzrF
dzrdrdzrFdxdydzzyxf
zz
ry
rx
zyx
r
ρρρ
ρρρρ
θθθθ?
θθ
θ?
θ?
θθθ
θθθ
θ
ππ θ?
)()()(
1
,
1
,
1
sin),,(sin),,(),,(
sinsin
cos
sinsin
cossin
),sin,cos(),,(
,),,(),,(,sin
cos
222222
2
00
),(
0
22
2
，,转动惯量：
,其中 重心：
,球面坐标：
其中：
　柱面坐标：
曲线积分,
=
=
<′+′=
≤≤
=
=
∫∫
)(
)()()()](),([),(
),(,
)(
)(
),(
22
ty
tx
dtttttfdsyxf
t
ty
tx
LLyxf
L
βαψ?ψ?
βα
ψ
β
α
特殊情况,
则,的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧
。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在
：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，
，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、
是一个单连通区域；、
无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：
的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关
，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐
0),(),(),(
),(
·
)0,0(),(),(2
1
·
2
1
2,
)()(
)coscos(
)}()](),([)()](),([{),(),(
)(
)(
00
),(
),(
00
==+=
+
===
=?=
+=
+=
+=+
′+′=+
=
=
∫
∫∫ ∫
∫∫ ∫∫∫ ∫
∫∫
∫∫
yxdyyxQdxyxPyxu
yxuQdyPdx
y
P
x
Q
y
P
x
Q
GyxQyxP
G
ydxxdydxdyAD
y
P
x
Q
xQyP
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
QdyPdxdxdy
y
P
x
Q
L
dsQPQdyPdx
dttttQtttPdyyxQdxyxP
ty
tx
L
yx
yx
DL
DLDL
LL
L
βαβα
ψψψ?
ψ
β
α
曲面积分,
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫ ∫∫
∑∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++
±=
±=
±=
++
++=
dsRQPRdxdyQdzdxPdydz
dzdxzxzyxQdzdxzyxQ
dydzzyzyxPdydzzyxP
dxdyyxzyxRdxdyzyxR
dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP
dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf
zx
yz
xy
xy
D
D
D
D
yx
)coscoscos(
]),,(,[),,(
],),,([),,(
)],(,,[),,(
),,(),,(),,(
),(),(1)],(,,[),,(
22
γβα系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正
，其中：对坐标的曲面积分：
对面积的曲面积分：
高斯公式,
∫∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫∫∫
∫∫∫∫∫ ∫∫
Ω∑
∑∑∑
∑Ω∑
=
++==?
<
+
+
=
++=++=
+
+
dsAdvA
dsRQPdsAdsnA
z
R
y
Q
x
P
dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv
z
R
y
Q
x
P
n
n
v
v
v
vv
div
)coscoscos(
...,0div,div
)coscoscos()(
成：因此，高斯公式又可写
，通量：
则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：
—通量与散度：—高斯公式的物理意义
γβα
νν
γβα
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系,
∫∫
∫∫∫∫
∫∫ ∫
ΓΓ
∑∑
∑ Γ
=++Γ
=
=
=
=
=
++=
+
+
dstARdzQdyPdxA
RQP
zyx
A
y
P
x
Q
x
R
z
P
z
Q
y
R
RQP
zyx
RQP
zyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdxdxdy
y
P
x
Q
dzdx
x
R
z
P
dydz
z
Q
y
R
v
vv
v
的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：
，　，　关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：
kji
rot
coscoscos
)()()(
γβα
常数项级数,
是发散的调和级数：
等差数列：
等比数列：
n
nn
n
q
q
qqq
n
n
1
3
1
2
1
1
2
)1(
321
1
1
1
12
++++
+
=++++
=++++
L
L
L
级数审敛法,
散。存在，则收敛；否则发
、定义法：
时，不确定时，级数发散时，级数收敛
，则设：
、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散时，级数收敛
，则设：
别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
suuus
U
U
u
∞→
+
∞→
∞→
+++=
=
>
<
=
=
>
<
=
lim;
3
1
1
1
lim
2
1
1
1
lim
1
21
1
L
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足
—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数
11
1
3214321
,
0lim
)0,(
+
∞→
+
≤≤
=
≥
>+?+?+?+?
nnn
n
n
nn
n
urrus
u
uu
uuuuuuuu LL
绝对收敛与条件收敛,
∑
∑
∑∑
>
≤
+++++
++++
时收敛
１时发散ｐ
级数,
收敛； 级数：
收敛；发散，而调和级数：
为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中
1
1
1
)1(1
)1()1()2(
)1()2(
)2(
)1(
2
321
21
pn
p
n
nn
uuuu
uuuu
p
n
n
nn
LL
LL
幂级数,
0
0
1
0
)3(lim
)3(
1
1
1
1
1
1
1
2
210
32
=+∞=
+∞==
=≠
=
=
>
<
+++++
≥
<
++++++
+
+
∞→
R
R
R
aa
a
a
R
Rx
Rx
Rx
R
xaxaxaa
x
x
x
xxxx
nn
n
n
n
n
n
n
时，
时，
时，
的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散时，收敛于
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
LL
LL
函数展开成幂级数,
LL
LL
+++
′′
+′+==
=?
+
=
+?++?
′′
+?=
∞→
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
f
x
f
xffxfx
Rxfxx
n
f
R
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxf
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(0
0lim)(,)(
)!1(
)(
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()(
)(
2
0
1
0
)1(
0
0
)(
2
0
0
00
时即为麦克劳林公式：
充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：
函数展开成泰勒级数：
ξ
一些函数展开成幂级数,
)(
)!12(
)1(
!5!3
sin
)11(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
12
1
53
2
+∞<<?∞+
+?+?=
<<?+
+
++
++=+
x
n
xxx
xx
xx
n
nmmm
x
mm
mxx
n
n
nm
　
　
LL
L
L
L
欧拉公式,
=
+
=
+=
2
sin
2
cos
sincos
ixix
ixix
ix
ee
x
ee
x
xixe 　或
三角级数,
。上的积分＝
在任意两个不同项的乘积正交性：
。，，，其中，
0
],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1
cossin
)sincos(
2
)sin()(
00
1
0
1
0
ππ
ω
ω
====
++=++=
∑∑
∞
=
∞
=
LL nxnxxxxx
xtAbAaaAa
nxbnxa
a
tnAAtf
nnnnnn
n
nn
n
nn
傅立叶级数,
是偶函数 　，余弦级数：
是奇函数 　，正弦级数：
（相减）
（相加）
　
　
　
其中
，周期
∑
∫
∑
∫
∫
∫
∑
+====
====
=+?+?
=++++
=+++
=+++
==
==
=++=
∞
=
nxa
a
xfnnxdxxfab
nxbxfnxdxxfba
nnxdxxfb
nnxdxxfa
nxbnxa
a
xf
nnn
nnn
n
n
n
nn
cos
2
)(2,1,0cos)(
2
0
sin)(3,2,1nsin)(
2
0
124
1
3
1
2
1
1
64
1
3
1
2
1
1
246
1
4
1
2
1
85
1
3
1
1
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
2)sincos(
2
)(
0
0
0
2
222
2
222
2
222
2
22
1
0
L
L
L
L
L
L
L
L
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
周期为 l2 的周期函数的傅立叶级数,
==
==
=++=
∫
∫
∑
∞
=
l
l
n
l
l
n
n
nn
ndx
l
xn
xf
l
b
ndx
l
xn
xf
l
a
l
l
xn
b
l
xn
a
a
xf
)3,2,1(sin)(
1
)2,1,0(cos)(
1
2)sincos(
2
)(
1
0
L
L
　
　
其中
，周期
π
π
ππ
微分方程的相关概念,
即得齐次方程通解。
，代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。 得：
的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程
　或　一阶微分方程：
u
x
y
uu
du
x
dx
u
dx
du
u
dx
du
xu
dx
dy
x
y
u
x
y
yxyxf
dx
dy
CxFyGdxxfdyyg
dxxfdyyg
dyyxQdxyxPyxfy
=∴=++==
==
+==
=
=+=′
∫∫
)(
)(
),(),(
)()()()(
)()(
0),(),(),(
一阶线性微分方程,
)1,0()()(2
))((0)(
,0)(
)()(1
)()(
)(
≠=+
∫
+
∫
=≠
∫
==
=+
∫
nyxQyxP
dx
dy
eCdxexQyxQ
CeyxQ
xQyxP
dx
dy
n
dxxPdxxP
dxxP
，、贝努力方程：
时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当
、一阶线性微分方程：
全微分方程,
通解。应该是该全微分方程的
，，其中：
分方程，即：中左端是某函数的全微如果
Cyxu
yxQ
y
u
yxP
x
u
dyyxQdxyxPyxdu
dyyxQdxyxP
=∴
=
=
=+=
=+
),(
),(),(0),(),(),(
0),(),(
二阶微分方程,
时为非齐次时为齐次
，
0)(
0)(
)()()(
2
2
≠
≡
=++
xf
xf
xfyxQ
dx
dy
xP
dx
yd
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法,
21
22
,)(2
,,(*)0)(1
,0(*)
rr
yyyrrqprr
qpqyypy
式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：
求解步骤：
为常数；，其中
Δ
′′′=++Δ
=+′+′′
式的通解：出的不同情况，按下表写、根据 (*),3
21
rr
的形式，
21
rr
(*)式的通解
两个不相等实根 )04(
2
>? qp
xrxr
ececy
21
21
+=
两个相等实根 )04(
2
=? qp
xr
exccy
1
)(
21
+=
一对共轭复根 )04(
2
<? qp
2
4
2
2
21
pqp
irir
=?=
=+=
βα
βαβα
，
，
)sincos(
21
xcxcey
x
ββ
α
+=
二阶常系数非齐次线性微分方程
型为常数；型，
为常数，
]sin)(cos)([)(
)()(
,)(
xxPxxPexf
xPexf
qpxfqyypy
nl
x
m
x
ωω
λ
λ
λ
+=
=
=+′+′′