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高等数学简明公式
第一章 初等数学
一、初等代数
1,乘法公式与因式分解
1,2.()
22
2
2 bababa +±=± ( ) bcacabcbacba 222
222
2
++++++=++
3,()( )bababa +?=?
22
4,( )
3223
3
33 babbaaba ±+±=±
5,()( )
2233
babababa +±=± m 6,
()( )
122321
+++++?=?
nnnnnnn
babbabaababa LL
2．比例
d
c
b
a
=
（ 1）合比定理
d
dc
b
ba +
=
+
（ 2）分比定理
d
dc
b
ba?
=
（ 3）合分比定理
dc
dc
ba
ba
+
=
+
（4）若
f
e
d
c
b
a
==,则令 t
f
e
d
c
b
a
=== 于是
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
++
++
===
（ 5）若 与y x成正比，则 （ 为比例系数） （ 6）若 与kxy = k y x成反比，则
x
k
y = （ 为比例系数）
k
3．不等式
（1）设,则 （2）设 为正整数，则0,0 >>> nba
nn
ba > nba,0>>
nn
ba >
（3）设
d
c
b
a
<,则
d
c
db
ca
b
a
<
+
+
<
（4）非负数的算术平均值不小于其几何平均值，即
,
2
ab
ba
≥
+
3
3
abc
cba
≥
++
,n
n
n
aaaa
n
aaaa
L
L
321
321
≥
+++
（ 5）绝对值不等式
1） baba +≤+ 2） baba +≤? 3） baba?≥? 4） aaa ≤≤?
4．二次方程 0
2
=++ cbxax
（ 1）根：
a
acbb
x
2
4
2
1
+?
=
a
acbb
x
2
4
2
2
=
（ 2）韦达定理：
a
c
xx
a
b
xx =?=+
2121
,（ 3）判别式
<
=
>
=Δ
方程没有实根方程有两相等实根方程有了两不等实数 根
,0
,0
,0
4
2
acb
5．一元三次方程组的韦达定理,
1
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若 的三个根分别为 则 0
23
=+++ rqxpxx
321
xxx,、
pxxx?=++
321
,qxxxxxx =?+?+?
133221
,rxxx?=
321
6．指数
（ 1） （ 2） （ 3）
nmnm
aaa
+
=?
nmnm
aaa
=÷ ( )
mn
n
m
aa =
（ 4） （ 5）()
mm
m
baab =
m
m
m
b
a
b
a
=
（ 6）
m
m
a
a
1
=
7．对数 ()0,1,0,log >≠> NaaN
a
（ 1）对数恒等式,更常用 （ 2）
N
a
aN
log
=
N
eN
ln
= ( ) NMMN
aaa
logloglog +=
（ 3） NM
N
M
aaa
logloglog?=
（ 4） ( ) MnM
a
n
a
loglog =
（ 5） M
n
M
a
n
a
log
1
log = （ 6）换底公式
a
M
M
b
b
a
log
log
log =
（ 7） （ 8）01log =
a
1log =a
a
8．数列
（ 1）等差数列
设 －首项 －通项 d －公差 －前 项和
1
a
n
a
n
S n
1） 2）()dnaa
n
1
1
+=
()
d
nn
nan
aa
S
n
n
2
1
2
1
+=
+
=
3）设 成等差数列，则等差数列中项 cba,,()cab +=
2
1
（ 2）等比数列
设 －首项 －公比 －通项，则
1
a q
n
a
1）通项 2）前 项和
1
1
=
n
n
qaa n
( )
q
qaa
q
qa
S
n
n
n
=
=
11
1
11
（ 3）常用的几种数列的和
1 ） (1
2
1
321 +=++++ nnnL ) 2）
()(121
6
1
321
2222
++=++++ nnnnL )
3 ） ()
2
3333
1
2
1
321
+=++++ nnnL 4）
2
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() ()(21
3
1
1433221 ++=+++?+?+? nnnnnL )
5） ()() ()()(321
4
1
2143232 )+++=+++++ nnnnnnnK
)
1
9．排列、组合与二项式定理
（ 1）排列
()() ([]121P= mnnnn
m
n
L
（ 2 ）全排列 ()( ) !12321P nnnn
n
n
== L （ 3 ）组合
()( )
()!!
!
!
11
C
mnm
n
m
mnnn
m
n
=
+
=
L
组合的性质,
1） 2） C
mn
n
m
n
= CC
1
11
CC
+=
m
n
m
n
m
n
（ 4）二项式定理
()
() ( ) ( )[ ]
nkknnnnn
bba
k
knnn
ba
nn
bnaaba ++
++
++=+
L
L
L
!
11
!2
1
221
二、平面几何
1．图形面积
3
h
a
b
o
r
l
θ
R
H
l
（ 1）任意三角形
()()()csbsassCabbhS=== sin
2
1
2
1
其中
()cbas
++=
2
1
（ 2）平行四边形?sinabbhS ==
（ 3）梯形 S=中位线×高 （ 4）扇形 θ
2
2
1
2
1
rrlS ==
2．旋转体
（ 1）圆柱 设 R －底圆半径,H －柱高，则
1）侧面积,2 RHS π＝
侧
2）全面积 ( )RHRS +π2＝
全
3）体积 V （ 2）圆锥
（
HR
2
π＝
22
HRl 母线） +=
b
A
C
B
h
c
a
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1）侧面积 RlS π＝
侧
2）侧面积 (RlRS + )π＝
全
3)体积 HRV
2
3
1
π=
（ 3）球
4
设 R －半径,d －直径，则
1） 全面积 2）体积
2
4 RS π=
全
3
3
4
RV
h
r
R
π=
（ 4）球缺（球被一个平面所截面得到的部分）
1）面积 RHS π2= （不包括底面） 2）体积
=
3
2
h
RhV π
3．棱柱及棱锥：设 －底面半径,S H －高
（ 1） 棱柱体积 V SH= （ 2） 棱锥体积 SHV （ 3）正棱锥侧面积
3
1
=
2
1
=A ×
底面积×母线长
三、平面三角
1,三角函数间的关系
（ 1） sin 1secα =α （ 2） 1csccos =αα （ 3） tan 1cotα =α
（ 4） sin 1cos
22
=+ αα
=+ =+（ 5） 1 （ 6） 1 （ 7）αα
22
sectan αα
22
csccot
α
α
α
cos
sin
tan =
（ 8）
α
α
α
sin
cos
cot =
2．倍角三角函数
（ 1） ααα cossin22sin （ 2） cos =
2222
=?=?= ααααα 1cos2sin21sincos2
（ 3）
α
α
α
2
tan1
tan2
2tan
=
（ 4）
α
α
α
cot2
cot1
2cot
2
= （ 5）
2
2cos1
sin
α
=
（ 6）
2
2cos1
cos
2
α
α
+
=
2
α
3．三角函数的合差化积公式
（ 1）
2
cos
2
sin2sinsin
α β α β
βα
+
=+
（ 2）
2
sin
2
cos2sinsin
α βαβ
βα
+
=?
（ 3）
2
cos
2
cos2coscos
α β α β
βα
+
=+
（ 4）
2
sin
2
sin2coscos
α β α β
βα
+
=?
（ 5）
()([]βαβαβα?++= sinsin
2
1
cos )sin
（ 6）
()([]βαβαβα?++= coscos
2
1
cos )cos
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（ 7）
()([]βαβαβα+= sinsin
2
1
sincos )
（ 8）
()([]βαβαβα+?= coscos
2
1
sinsin )
4．边角关系
（ 1）正弦定理,
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===
,R 为外接圆半径
（ 2）余弦定理
Abccba cos2
222
+=,,
Bcaacb cos2
222
+=
Cabbac cos2
222
+=
5．反三角函数
恒等式
（ 1）
( )
22
11arcsinarcsinarcsin xyyxyx?±?=±
（ 2）
()( )( )
22
11arccosarccos yxxyarccoyx=± m
（ 3）
±
=±
xy
yx
yx
m1
arctanarctanarctan
（ 4）
2
arccosarcsin
π
=+ xx
（ 5）
2
cotarctan
π
=+ xarcx
5
高等数学简明公式
第一章 初等数学
一、初等代数
1,乘法公式与因式分解
1,2.()
22
2
2 bababa +±=± ( ) bcacabcbacba 222
222
2
++++++=++
3,()( )bababa +?=?
22
4,( )
3223
3
33 babbaaba ±+±=±
5,()( )
2233
babababa +±=± m 6,
()( )
122321
+++++?=?
nnnnnnn
babbabaababa LL
2．比例
d
c
b
a
=
（ 1）合比定理
d
dc
b
ba +
=
+
（ 2）分比定理
d
dc
b
ba?
=
（ 3）合分比定理
dc
dc
ba
ba
+
=
+
（4）若
f
e
d
c
b
a
==,则令 t
f
e
d
c
b
a
=== 于是
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
++
++
===
（ 5）若 与y x成正比，则 （ 为比例系数） （ 6）若 与kxy = k y x成反比，则
x
k
y = （ 为比例系数）
k
3．不等式
（1）设,则 （2）设 为正整数，则0,0 >>> nba
nn
ba > nba,0>>
nn
ba >
（3）设
d
c
b
a
<,则
d
c
db
ca
b
a
<
+
+
<
（4）非负数的算术平均值不小于其几何平均值，即
,
2
ab
ba
≥
+
3
3
abc
cba
≥
++
,n
n
n
aaaa
n
aaaa
L
L
321
321
≥
+++
（ 5）绝对值不等式
1） baba +≤+ 2） baba +≤? 3） baba?≥? 4） aaa ≤≤?
4．二次方程 0
2
=++ cbxax
（ 1）根：
a
acbb
x
2
4
2
1
+?
=
a
acbb
x
2
4
2
2
=
（ 2）韦达定理：
a
c
xx
a
b
xx =?=+
2121
,（ 3）判别式
<
=
>
=Δ
方程没有实根方程有两相等实根方程有了两不等实数 根
,0
,0
,0
4
2
acb
5．一元三次方程组的韦达定理,
1
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若 的三个根分别为 则 0
23
=+++ rqxpxx
321
xxx,、
pxxx?=++
321
,qxxxxxx =?+?+?
133221
,rxxx?=
321
6．指数
（ 1） （ 2） （ 3）
nmnm
aaa
+
=?
nmnm
aaa
=÷ ( )
mn
n
m
aa =
（ 4） （ 5）()
mm
m
baab =
m
m
m
b
a
b
a
=
（ 6）
m
m
a
a
1
=
7．对数 ()0,1,0,log >≠> NaaN
a
（ 1）对数恒等式,更常用 （ 2）
N
a
aN
log
=
N
eN
ln
= ( ) NMMN
aaa
logloglog +=
（ 3） NM
N
M
aaa
logloglog?=
（ 4） ( ) MnM
a
n
a
loglog =
（ 5） M
n
M
a
n
a
log
1
log = （ 6）换底公式
a
M
M
b
b
a
log
log
log =
（ 7） （ 8）01log =
a
1log =a
a
8．数列
（ 1）等差数列
设 －首项 －通项 d －公差 －前 项和
1
a
n
a
n
S n
1） 2）()dnaa
n
1
1
+=
()
d
nn
nan
aa
S
n
n
2
1
2
1
+=
+
=
3）设 成等差数列，则等差数列中项 cba,,()cab +=
2
1
（ 2）等比数列
设 －首项 －公比 －通项，则
1
a q
n
a
1）通项 2）前 项和
1
1
=
n
n
qaa n
( )
q
qaa
q
qa
S
n
n
n
=
=
11
1
11
（ 3）常用的几种数列的和
1 ） (1
2
1
321 +=++++ nnnL ) 2）
()(121
6
1
321
2222
++=++++ nnnnL )
3 ） ()
2
3333
1
2
1
321
+=++++ nnnL 4）
2
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() ()(21
3
1
1433221 ++=+++?+?+? nnnnnL )
5） ()() ()()(321
4
1
2143232 )+++=+++++ nnnnnnnK
)
1
9．排列、组合与二项式定理
（ 1）排列
()() ([]121P= mnnnn
m
n
L
（ 2 ）全排列 ()( ) !12321P nnnn
n
n
== L （ 3 ）组合
()( )
()!!
!
!
11
C
mnm
n
m
mnnn
m
n
=
+
=
L
组合的性质,
1） 2） C
mn
n
m
n
= CC
1
11
CC
+=
m
n
m
n
m
n
（ 4）二项式定理
()
() ( ) ( )[ ]
nkknnnnn
bba
k
knnn
ba
nn
bnaaba ++
++
++=+
L
L
L
!
11
!2
1
221
二、平面几何
1．图形面积
3
h
a
b
o
r
l
θ
R
H
l
（ 1）任意三角形
()()()csbsassCabbhS=== sin
2
1
2
1
其中
()cbas
++=
2
1
（ 2）平行四边形?sinabbhS ==
（ 3）梯形 S=中位线×高 （ 4）扇形 θ
2
2
1
2
1
rrlS ==
2．旋转体
（ 1）圆柱 设 R －底圆半径,H －柱高，则
1）侧面积,2 RHS π＝
侧
2）全面积 ( )RHRS +π2＝
全
3）体积 V （ 2）圆锥
（
HR
2
π＝
22
HRl 母线） +=
b
A
C
B
h
c
a
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1）侧面积 RlS π＝
侧
2）侧面积 (RlRS + )π＝
全
3)体积 HRV
2
3
1
π=
（ 3）球
4
设 R －半径,d －直径，则
1） 全面积 2）体积
2
4 RS π=
全
3
3
4
RV
h
r
R
π=
（ 4）球缺（球被一个平面所截面得到的部分）
1）面积 RHS π2= （不包括底面） 2）体积
=
3
2
h
RhV π
3．棱柱及棱锥：设 －底面半径,S H －高
（ 1） 棱柱体积 V SH= （ 2） 棱锥体积 SHV （ 3）正棱锥侧面积
3
1
=
2
1
=A ×
底面积×母线长
三、平面三角
1,三角函数间的关系
（ 1） sin 1secα =α （ 2） 1csccos =αα （ 3） tan 1cotα =α
（ 4） sin 1cos
22
=+ αα
=+ =+（ 5） 1 （ 6） 1 （ 7）αα
22
sectan αα
22
csccot
α
α
α
cos
sin
tan =
（ 8）
α
α
α
sin
cos
cot =
2．倍角三角函数
（ 1） ααα cossin22sin （ 2） cos =
2222
=?=?= ααααα 1cos2sin21sincos2
（ 3）
α
α
α
2
tan1
tan2
2tan
=
（ 4）
α
α
α
cot2
cot1
2cot
2
= （ 5）
2
2cos1
sin
α
=
（ 6）
2
2cos1
cos
2
α
α
+
=
2
α
3．三角函数的合差化积公式
（ 1）
2
cos
2
sin2sinsin
α β α β
βα
+
=+
（ 2）
2
sin
2
cos2sinsin
α βαβ
βα
+
=?
（ 3）
2
cos
2
cos2coscos
α β α β
βα
+
=+
（ 4）
2
sin
2
sin2coscos
α β α β
βα
+
=?
（ 5）
()([]βαβαβα?++= sinsin
2
1
cos )sin
（ 6）
()([]βαβαβα?++= coscos
2
1
cos )cos
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（ 7）
()([]βαβαβα+= sinsin
2
1
sincos )
（ 8）
()([]βαβαβα+?= coscos
2
1
sinsin )
4．边角关系
（ 1）正弦定理,
R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===
,R 为外接圆半径
（ 2）余弦定理
Abccba cos2
222
+=,,
Bcaacb cos2
222
+=
Cabbac cos2
222
+=
5．反三角函数
恒等式
（ 1）
( )
22
11arcsinarcsinarcsin xyyxyx?±?=±
（ 2）
()( )( )
22
11arccosarccos yxxyarccoyx=± m
（ 3）
±
=±
xy
yx
yx
m1
arctanarctanarctan
（ 4）
2
arccosarcsin
π
=+ xx
（ 5）
2
cotarctan
π
=+ xarcx
5
