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关系代数概述
关系是一个属性数目相同的元组的集合。
关系代数
Relational Algebra
什么是代数？
2
“关系代数,前传
数学，从总体上划分：
代数学：研究数的部分；
几何学：研究形的部分；
分析学：沟通形与数且涉及极限运算的部分。
代数学范畴：
算术
初等代数
高等代数
数论
抽象代数
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“关系代数,前传
一、算术
(一 )、含义
现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
如果是在高等数学中，则有“数论”的含义；
(二 )发展
10世纪或 11世纪，起源于印度；后来被阿拉伯人采用；
之后传到西欧；
15世纪，它被改造成现在的形式；
19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；
(三 )地位
深刻地反映了世界的客观规律性；
构成了数学其它分支的最坚实的基础。
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“关系代数,前传
二、初等代数
(一 )含义
中学数学课程主要内容的初等代数，其 中心内容是方程理论 。
代数一词的拉丁文原意是“归位”。
代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：
1、增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组 (主要是一次方程组 )；
2、增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在 16世纪便已基本上发展完备了。
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“关系代数,前传
二、初等代数
(二 )发展
1、解方程
公元前 19世纪～前 17世纪，古巴比伦解决一次和二次方程；
公元前 4世纪，欧几里得的,原本,中就有用几何形式解二次方程的方法；
公元 1世纪，我国的,九章算术,中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数；
3世纪，丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解；
13世纪，我国出现的天元术 (李冶,测圆海镜,)是有关一元高次方程的数值解法；
16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法；
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“关系代数,前传
二、初等代数
(二 )发展
2、代数符号发展三个阶段
代数学符号发展的历史，可分为三个阶段：
三世纪之前,文字叙述代数,对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文；
三世纪至 16世纪,简化代数,对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法；丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。
16世纪以后,符号代数,对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系。 16世纪韦达的名著,分析方法入门,,
对符号代数的发展有不少贡献。 16世纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形式。
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“关系代数,前传
二、初等代数
(二 )发展
3、基础符号
1489年，魏德曼，“＋”、“－”号第一次在数学书中出现；
1514年，由荷伊克开始大家所公认；
1540年，雷科德开始使用现在使用“＝”；
1600年，哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”；
1631年，奥屈特给出,×,、,÷,作为乘除运算符；
1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。
4、数
公元前 4世纪，古希腊人发现无理数；
公元前 2世纪 (西汉时期 )，我国开始应用负数；
1545年，意大利的卡尔达诺开始使用虚数；
1614年，英国的耐普尔发明对数；
17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。
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“关系代数,前传
三、高等代数
(一 )含义
在高等代数中，一次方程组 (即线性方程组 )发展成为线性代数理论；是包含向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科；
—、二次方程发展成为多项式理论；是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。
作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
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“关系代数,前传
三、高等代数
(二 )发展
1683年，关孝和 (日本人 )最早引入 行列式 概念；
1841年，雅可比,行列式理论最系统的论述；
1855年，凯雷引入了 矩阵 的概念； (在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正相反；行列式和矩阵在数学上并不是大的改革，而是 速记的一种表达式 。不过已经证明它们是 高度有用的工具 )。
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“关系代数,前传
三、高等代数
(二 )发展
1515年，菲洛解决了被简化为 缺 2次项的 3次方程 的求解问题；
1540年，费尔拉里成功地发现了 一般 4次方程 的代数解法。人们继续寻求 5次,6次或更高次方程的求根公式，但这些努力在 200
多年中付诸东流。 (多项式代数的研究始于对 3,4次方程求根公式的探索。 )
1746年，达朗贝尔首先给出了“代数学基本定理”的证明,断言：
一般地说,n次代数方程应当有 n个根 ；
1799年,22岁的高斯在写博士论文中，给出了这个定理的第一个严格的证明；
1824年,22岁的阿贝尔证明了：高于 4次的一般方程的全部系数组成的根式，不可能是它的根；
1828年，年仅 17岁的伽罗华创立了,伽罗华理论,，包含了方程能用根号解出的充分必要条件。
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“关系代数,前传
四、数论
含义
以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，
数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。
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“关系代数,前传
五、抽象代数
抽象代数又称近世代数，他的基本观念与目标都决定于十九世纪。
由于代数可以处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次的效率，这就是抽象代数诞生的场景。
抽象代数的研究已成为二十世纪的热潮之一，而且现在它已经拓展到悠远的境界，前面所提过的数学家，都曾经在抽象代数的发展作出重大的贡献，我们也可以说寻求方程式有无根的表示法是开发抽象代数的原动力。
抽象代数中所介绍的结构是以群、环 (ring)、体为主。
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“关系代数,前传
关系代数是以关系为运算对象的一组高级运算的集合。
一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。
关系代数概述
关系是一个属性数目相同的元组的集合。
关系代数
Relational Algebra
什么是代数？
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“关系代数,前传
数学，从总体上划分：
代数学：研究数的部分；
几何学：研究形的部分；
分析学：沟通形与数且涉及极限运算的部分。
代数学范畴：
算术
初等代数
高等代数
数论
抽象代数
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“关系代数,前传
一、算术
(一 )、含义
现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
如果是在高等数学中，则有“数论”的含义；
(二 )发展
10世纪或 11世纪，起源于印度；后来被阿拉伯人采用；
之后传到西欧；
15世纪，它被改造成现在的形式；
19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；
(三 )地位
深刻地反映了世界的客观规律性；
构成了数学其它分支的最坚实的基础。
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“关系代数,前传
二、初等代数
(一 )含义
中学数学课程主要内容的初等代数，其 中心内容是方程理论 。
代数一词的拉丁文原意是“归位”。
代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：
1、增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组 (主要是一次方程组 )；
2、增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在 16世纪便已基本上发展完备了。
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“关系代数,前传
二、初等代数
(二 )发展
1、解方程
公元前 19世纪～前 17世纪，古巴比伦解决一次和二次方程；
公元前 4世纪，欧几里得的,原本,中就有用几何形式解二次方程的方法；
公元 1世纪，我国的,九章算术,中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数；
3世纪，丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解；
13世纪，我国出现的天元术 (李冶,测圆海镜,)是有关一元高次方程的数值解法；
16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法；
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“关系代数,前传
二、初等代数
(二 )发展
2、代数符号发展三个阶段
代数学符号发展的历史，可分为三个阶段：
三世纪之前,文字叙述代数,对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文；
三世纪至 16世纪,简化代数,对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法；丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。
16世纪以后,符号代数,对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系。 16世纪韦达的名著,分析方法入门,,
对符号代数的发展有不少贡献。 16世纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形式。
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“关系代数,前传
二、初等代数
(二 )发展
3、基础符号
1489年，魏德曼，“＋”、“－”号第一次在数学书中出现；
1514年，由荷伊克开始大家所公认；
1540年，雷科德开始使用现在使用“＝”；
1600年，哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”；
1631年，奥屈特给出,×,、,÷,作为乘除运算符；
1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。
4、数
公元前 4世纪，古希腊人发现无理数；
公元前 2世纪 (西汉时期 )，我国开始应用负数；
1545年，意大利的卡尔达诺开始使用虚数；
1614年，英国的耐普尔发明对数；
17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。
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“关系代数,前传
三、高等代数
(一 )含义
在高等代数中，一次方程组 (即线性方程组 )发展成为线性代数理论；是包含向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科；
—、二次方程发展成为多项式理论；是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。
作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
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“关系代数,前传
三、高等代数
(二 )发展
1683年，关孝和 (日本人 )最早引入 行列式 概念；
1841年，雅可比,行列式理论最系统的论述；
1855年，凯雷引入了 矩阵 的概念； (在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正相反；行列式和矩阵在数学上并不是大的改革，而是 速记的一种表达式 。不过已经证明它们是 高度有用的工具 )。
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“关系代数,前传
三、高等代数
(二 )发展
1515年，菲洛解决了被简化为 缺 2次项的 3次方程 的求解问题；
1540年，费尔拉里成功地发现了 一般 4次方程 的代数解法。人们继续寻求 5次,6次或更高次方程的求根公式，但这些努力在 200
多年中付诸东流。 (多项式代数的研究始于对 3,4次方程求根公式的探索。 )
1746年，达朗贝尔首先给出了“代数学基本定理”的证明,断言：
一般地说,n次代数方程应当有 n个根 ；
1799年,22岁的高斯在写博士论文中，给出了这个定理的第一个严格的证明；
1824年,22岁的阿贝尔证明了：高于 4次的一般方程的全部系数组成的根式，不可能是它的根；
1828年，年仅 17岁的伽罗华创立了,伽罗华理论,，包含了方程能用根号解出的充分必要条件。
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“关系代数,前传
四、数论
含义
以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，
数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。
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“关系代数,前传
五、抽象代数
抽象代数又称近世代数，他的基本观念与目标都决定于十九世纪。
由于代数可以处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集的分别是依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次的效率，这就是抽象代数诞生的场景。
抽象代数的研究已成为二十世纪的热潮之一，而且现在它已经拓展到悠远的境界，前面所提过的数学家，都曾经在抽象代数的发展作出重大的贡献，我们也可以说寻求方程式有无根的表示法是开发抽象代数的原动力。
抽象代数中所介绍的结构是以群、环 (ring)、体为主。
13
“关系代数,前传
关系代数是以关系为运算对象的一组高级运算的集合。
一种抽象的查询语言，用对关系的运算来表达查询。
