4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
1
P
z
*O
F?
r?
d
FdFrMs i n
,力臂d
FrM
对转轴 z 的力矩F?
一 力矩
M?
用来描述力对刚体的转动作用．
0,0
i
i
i
i MF
F?F
0,0
i
i
i
i MF
F?
F
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
2
z
O
k?
F?
r?
讨论
FFF z
FrkM z
s i n rFM z
zF
F?
（ 1） 若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
F?
其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩
zF
F?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
3
O
（ 2） 合力矩等于各分力矩的矢量和
321 MMMM
（ 3） 刚体内 作用力 和 反作用力 的力矩互相抵消．
jiij MM
jr
ir?
i
j
ijF
jiF?
d
ijM?
jiM?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
4
例 1 有一大型水坝高 110 m、长 1 000 m,
水深 100m,水面与大坝表面垂直，如图所示,求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
Q
y
O
x
y
O
h
x
L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
5
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元,作用在此面积元上的力yLA dd?
ypLApF ddd
y
O
h
x
y
Ad
yd
Q
y
O
x
L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
6
)(0 yhgpp令大气压为,则0p
yLyhgpAPF d)]([dd 0
h yLyhgpF 0 0 d)]([?
代入数据，得
N1091.5 10F
y
O
h
x
y
Ad
yd
2
0 2
1 g L hLhp
L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
7
Q
y
O
y
yd
F?dh
FyM dd?对通过点 Q的轴的力矩F?d
yLyhgpF d)]([d 0
h yLyhgpyM 0 0 d)]([?
32
0 6
1
2
1 LhgLhp
代入数据，得：
mN10142 12,M
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
8
O
r? m
z
二 转动定律
F?
tF
nF
θrFM s in?
mrmaF tt
M?
（ 1） 单个质点与转轴刚性连接
m
2mrM?
2t mrrFM
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
9
2ie jjjj rmMM
（ 2） 刚体质量元受 外 力,
内 力 jFe
jFi
外 力矩 内 力矩
O
z
jm?
jr
jFe
jFi
2ie jj
j
j
j
j rmMM
0
j
ijjiij MMM?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
10
刚体定轴转动的角加速度与它所受的 合外力矩 成正比，与刚体的 转动惯量 成反比,
) αrmM jj
j
j
2
e (
转动定律?JM?
2
j
j
j rmJ
定义转动惯量 O
z
jm?
jr
jFe
jFi
mrJ d2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
11
讨论
J
M（ 1）
t
JJM
d
d（ 2）
（ 3） =常量ωM,0?
转动定律?JM?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
12
三 转动惯量
J 的 意义,转动惯性的量度,
转动惯量的单位,kg·m2
2
j
j
j rmJ mrJ d
2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
13
质量离散分布
22
22
2
11
2
jjjj rmrmrmrmJ
J 的计算方法
质量连续分布
Vr
mrrmJ
V
j
j
j
d
d
2
22
：质量元md
：体积元Vd
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
14
刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
（ 3） 与转轴的位置 有关．
（ 1） 与刚体的体密度 有关．
（ 2） 与刚体的几何形状 (及体密度 的分布 )有关．
说 明
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
15
2mdJJ
CO
四 平行轴定理质量为 的刚体,
如果对其质心轴的转动惯量为,则对任一与该轴平行,相距为 的转轴的转动惯量
CJ
m
d
d
C O
m
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
16
质量为 m，长为 L的细棒绕其一端的 J
P
22
2
1 mRmRJ
P
圆盘对 P轴的转动惯量 R mO
22
3
1)
2
( mLLmJJ c
2mdJJ c
2
12
1 mLJ
c?
O1
d=L/2
O1’
O2 O2’
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
17
竿子长些还是短些较安全
？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
18
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中 与平动中地位相同．
maFJM?
(1),与 方向相同．JM? M?
说明
转动定律应用
JM?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
19
例 2 质量为 mA的物体 A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 mC的圆柱形滑轮
C，并系在另一质量为 mB 的物体 B上,B竖直悬挂,滑轮与绳索间无滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计,(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？ (2)物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
20
解 (1) 用 隔离法分别对各物体作受力分析，
取如图所示坐标系．
A
B
C
Am
Bm
Cm
AP
O x
T1F
NF
Am
y
O
T2F?
BP
Bm
T2F
T1F?
CP
CF
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
21
amF AT1?
amFgm BT2B
JRFRF T1T2
Ra?
y
O
T2F?
BP
Bm
T2F
T1F?
CP
CF
AP
O x
T1F
NF
Am
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
22
2CBA
B
mmm
gma
2CBA
BA
T1 mmm
gmm
F
2
)2(
CBA
BCA
T2 mmm
gmmm
F
解得：
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
23
如令,可得
BA
BA
T2T1 mm
gmm
FF
（ 2） B由静止出发作匀加速直线运动，
下落的速率
2/
22
CBA
B
mmm
gymay
v
0C?m
2CBA
BA
T1 mmm
gmmF
2
)2(
CBA
BCA
T2 mmm
gmmmF
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
24
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度．
例 3 一长为 l,质量为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链 O相接，并可绕其转动,由于此竖直放置的细杆处于非
m,l
O mg
θ
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
25
解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得 N
F?
Jm g l?s in
2
1
式中
2
3
1 mlJ?
得
s in
2
3
l
g?
NF
m,l
O mg
θ
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
26
t
θ
θ
ω
t
ω
d
d
d
d
d
d
由角加速度的定义对上式积分，利用初始条件，
θ
ωω
d
d? NF
m,l
O mg
θ
)co s1(
3
θ
l
g
ω
解得：
θθ
l
gωω ds i n
2
3d?有第四章 刚体的转动物理学第五版
27
4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
1
P
z
*O
F?
r?
d
FdFrMs i n
,力臂d
FrM
对转轴 z 的力矩F?
一 力矩
M?
用来描述力对刚体的转动作用．
0,0
i
i
i
i MF
F?F
0,0
i
i
i
i MF
F?
F
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
2
z
O
k?
F?
r?
讨论
FFF z
FrkM z
s i n rFM z
zF
F?
（ 1） 若力 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
F?
其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩
zF
F?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
3
O
（ 2） 合力矩等于各分力矩的矢量和
321 MMMM
（ 3） 刚体内 作用力 和 反作用力 的力矩互相抵消．
jiij MM
jr
ir?
i
j
ijF
jiF?
d
ijM?
jiM?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
4
例 1 有一大型水坝高 110 m、长 1 000 m,
水深 100m,水面与大坝表面垂直，如图所示,求作用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩,
Q
y
O
x
y
O
h
x
L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
5
解 设水深 h，坝长 L，在坝面上取面积元,作用在此面积元上的力yLA dd?
ypLApF ddd
y
O
h
x
y
Ad
yd
Q
y
O
x
L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
6
)(0 yhgpp令大气压为,则0p
yLyhgpAPF d)]([dd 0
h yLyhgpF 0 0 d)]([?
代入数据，得
N1091.5 10F
y
O
h
x
y
Ad
yd
2
0 2
1 g L hLhp
L
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
7
Q
y
O
y
yd
F?dh
FyM dd?对通过点 Q的轴的力矩F?d
yLyhgpF d)]([d 0
h yLyhgpyM 0 0 d)]([?
32
0 6
1
2
1 LhgLhp
代入数据，得：
mN10142 12,M
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
8
O
r? m
z
二 转动定律
F?
tF
nF
θrFM s in?
mrmaF tt
M?
（ 1） 单个质点与转轴刚性连接
m
2mrM?
2t mrrFM
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
9
2ie jjjj rmMM
（ 2） 刚体质量元受 外 力,
内 力 jFe
jFi
外 力矩 内 力矩
O
z
jm?
jr
jFe
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2ie jj
j
j
j
j rmMM
0
j
ijjiij MMM?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
10
刚体定轴转动的角加速度与它所受的 合外力矩 成正比，与刚体的 转动惯量 成反比,
) αrmM jj
j
j
2
e (
转动定律?JM?
2
j
j
j rmJ
定义转动惯量 O
z
jm?
jr
jFe
jFi
mrJ d2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
11
讨论
J
M（ 1）
t
JJM
d
d（ 2）
（ 3） =常量ωM,0?
转动定律?JM?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
12
三 转动惯量
J 的 意义,转动惯性的量度,
转动惯量的单位,kg·m2
2
j
j
j rmJ mrJ d
2
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
13
质量离散分布
22
22
2
11
2
jjjj rmrmrmrmJ
J 的计算方法
质量连续分布
Vr
mrrmJ
V
j
j
j
d
d
2
22
：质量元md
：体积元Vd
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
14
刚体的转动惯量与以下三个因素有关：
（ 3） 与转轴的位置 有关．
（ 1） 与刚体的体密度 有关．
（ 2） 与刚体的几何形状 (及体密度 的分布 )有关．
说 明
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
15
2mdJJ
CO
四 平行轴定理质量为 的刚体,
如果对其质心轴的转动惯量为,则对任一与该轴平行,相距为 的转轴的转动惯量
CJ
m
d
d
C O
m
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
16
质量为 m，长为 L的细棒绕其一端的 J
P
22
2
1 mRmRJ
P
圆盘对 P轴的转动惯量 R mO
22
3
1)
2
( mLLmJJ c
2mdJJ c
2
12
1 mLJ
c?
O1
d=L/2
O1’
O2 O2’
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
17
竿子长些还是短些较安全
？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
18
(2) 为瞬时关系．
(3) 转动中 与平动中地位相同．
maFJM?
(1),与 方向相同．JM? M?
说明
转动定律应用
JM?
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
19
例 2 质量为 mA的物体 A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质量为 mC的圆柱形滑轮
C，并系在另一质量为 mB 的物体 B上,B竖直悬挂,滑轮与绳索间无滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计,(1)两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？ (2)物体 B 从静止落下距离 y 时，其速率是多少？
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
20
解 (1) 用 隔离法分别对各物体作受力分析，
取如图所示坐标系．
A
B
C
Am
Bm
Cm
AP
O x
T1F
NF
Am
y
O
T2F?
BP
Bm
T2F
T1F?
CP
CF
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
21
amF AT1?
amFgm BT2B
JRFRF T1T2
Ra?
y
O
T2F?
BP
Bm
T2F
T1F?
CP
CF
AP
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T1F
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4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
22
2CBA
B
mmm
gma
2CBA
BA
T1 mmm
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F
2
)2(
CBA
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T2 mmm
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F
解得：
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
23
如令,可得
BA
BA
T2T1 mm
gmm
FF
（ 2） B由静止出发作匀加速直线运动，
下落的速率
2/
22
CBA
B
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gymay
v
0C?m
2CBA
BA
T1 mmm
gmmF
2
)2(
CBA
BCA
T2 mmm
gmmmF
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
24
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度．
例 3 一长为 l,质量为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链 O相接，并可绕其转动,由于此竖直放置的细杆处于非
m,l
O mg
θ
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
25
解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得 N
F?
Jm g l?s in
2
1
式中
2
3
1 mlJ?
得
s in
2
3
l
g?
NF
m,l
O mg
θ
4-2 力矩 转动定律 转动惯量第四章 刚体的转动物理学第五版
26
t
θ
θ
ω
t
ω
d
d
d
d
d
d
由角加速度的定义对上式积分，利用初始条件，
θ
ωω
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θ
)co s1(
3
θ
l
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ω
解得：
θθ
l
gωω ds i n
2
3d?有第四章 刚体的转动物理学第五版
27
4-1 刚体的定轴转动
4-2 力矩 转动定律 转动惯量
4-3 角动量 角动量守恒定律本章目录
4-4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理
4-0 教学基本要求
*4-5 刚体的平面平行运动选择进入下一节：
