数量积与向量积一物体在常力 F
作用下沿直线从点 1M 移动到点 2M,以 s
表示位移，则力 F
所作的功为
cos|||| sFW ( 其中? 为 F? 与 s? 的夹角 )
启示向量 a? 与 b? 的 数量积 为 ba
c o s|||| baba ( 其中? 为 a? 与 b? 的夹角 )
实例两向量作这样的运算,结果是一个数量,
定义一、两向量的数量积
a?
bc o s|||| baba
,Prc o s|| bjb a 方向上的投影在向量向量 ab
,Prc o s|| aja b 方向上的投影在向量向量 ba
ajbba b Pr||,Pr|| bja a
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积,
数量积也称为,点积,、,内积,,
关于数量积的说明：
0)2( ba,ba
)(?,0 ba,0||?a?,0||?b?
,0c o s,ba
.||)1( 2aaa
)(?,ba,0c o s
.0c o s||||baba
,0,||c o s|||| 2aaaaa证证
,2?
,2
数量积符合下列运算规律：
（ 1）交换律,;abba
（ 2）分配律,;)( cbcacba
（ 3）若 为数? ),()()( bababa
若,为数, ).()()( baba
证明 （ 1）、（ 3）由定义可证余下证明（ 2）
仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明
a?
b?ba
c?
cba )(
)(Pr|| bajc c
)Pr( P r|| bjajc cc
ajc c Pr||? bjc c?Pr||?
ca cb
,kajaiaa zyx kbjbibb zyx设
ba )( kajaia zyx )( kbjbib zyx
,kji,0 ikkjji
,1|||||| kji
.1 kkjjii
zzyyxx babababa
数量积的坐标表达式
c o s|||| baba,||||cos ba
ba
222222co s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
两向量夹角余弦的坐标表示式
ba 0 zzyyxx bababa
由此可知两向量垂直的充要条件为例 1 已知 }4,1,1{a?,}2,2,1{b
，求（ 1 ）
ba
；（ 2 ） a? 与 b
的夹角；（ 3 ） a? 在 b
上的投影,
解 ba)1( 2)4()2(111,9
222222c o s)2(
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
,21
ajbba b Pr||)3(,3||Pr
b
baaj
b?
,43?
例 2 证明向量 c? 与向量 acbbca )()( 垂直,
证 cacbbca ])()[(
])()[( cacbcbca
])[( cacabc
0?
cacbbca ])()[(
例 3 应用向量证明 Cauchy— Schwarz不等式
232221232221332211 || bbbaaabababa
证 记321,,aaaa321,,bbbb
则 232221|| aaaa 232221|| bbbb
332211 babababa
|),c o s (||||||| bababa
|||| ba 232221232221 bbbaaa
232221232221332211 || bbbaaabababa
例 4 应用向量证明直径所对的圆周角是直角证 如图所示
x
y
o
A
B C
圆的方程,222 Ryx
设 A 点的坐标为
)0,,( yx
则0,,yxRAB
0,,yxRAC
ACAB0,,0,,yxRyxR
222 Ryx 0?
ACAB
例 5 设 cba,,是三个单位向量 始于同一点 O
且 0 cba 证明它们终点的连线构成一等边三角形证一
A
B C
O
a?
b? c?
abAB
bcBC
caCA
)()(|| 2 ababAB
baba 2|||| 22
又 cba
)()( baba baa 2|||| 22
)()( cc 2|| c
由 1|||||| cba 21 ba
3|| 2 AB
同理 3|| 2?BC 3|| 2?AC
故它们终点的连线构成等边三角形证二 由 0 cba 得
0)()( cbacba
2
3 cacbba
又 acb
1 aacaba
2
1 cb
同理 21 caba
故由余弦定理，有
babaAB 2|||||| 222 3?
cbcbBC 2|||||| 222 3
cacaAC 2|||||| 222 3?
故它们终点的连线构成等边三角形设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F
作用于这杠杆上 P 点处．力 F
与 OP 的夹角为?,力 F
对支点 O 的力矩是一向量 M
，它的模
|||||| FOQM
s i n|||| FOPM
的方向垂直于 OP 与 F
所决定的平面,指向符合右手系,
实例二、两向量的向量积
L
F?
P
QO
向量 a? 与 b? 的 向量积 为 bac
si n|||||| bac ( 其中? 为 a? 与 b? 的夹角 )
定义
c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b
，指向符合右手系,
关于向量积的说明：
.0)1( aa )0s i n0(
ba)2( //,0 ba )0,0( ba
向量积也称为,叉积,、,外积,,
向量积符合下列运算规律：
（ 1）,abba
（ 2） 分配律,.)( cbcacba
（ 3） 若 为数? ).()()( bababa
)(?,0 ba,0||?a?,0||?b?
,0s in,0
)(? 0si n
.0s i n||||||baba
证
ba//
ba // 或0
,kajaiaa zyx kbjbibb zyx设
ba )( kajaia zyx )( kbjbib zyx
,kji
,0 kkjjii
,jik,ij
,kij,jki,ijk
kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy )()()(
向量积的坐标表达式向量积还可借助于三阶行列式表示
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
kbb
aa
jbb aaibb
aa
yx
yx
zx
zx
zy
zy
由上式可推出
ba// 0 ba
0 zyzy abba
0 zxzx abba
0 yxyx abba
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
xb,yb,zb 不能同时为零，但允许两个为零,
例如，
z
zyx
b
aaa
00 0,0 yx aa
补充
|| ba
表示以 a? 和 b
为邻边的平行四边形的面积,a?
b?
bac
例 6 求与 kjia
423,kjib
2 都垂直的单位向量,
解
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
bac
211
423
kji
,510 kj
,55510|| 22c
||
0
c
cc,
5
1
5
2?
kj
例 7 在顶点为 )2,1,1(?A,)2,6,5(?B 和
)1,3,1(?C 的三角形中，求 AC 边上的高 BD,
A
B
C
解
D
}3,4,0{AC
}0,5,4{AB
三角形 ABC的面积为
||21 ABACS 222 16121521,225?
|| AC,5)3(4 22 ||21 BDS || AC
||521225 BD,5|| BD
例 8 设向量 pnm,,两两垂直，符合右手规则，且
4||?m?,2||?n?,3||?p?,计算 pnm )(,
解 ),s i n (|||||| nmnmnm
,8124
0),( pnm
pnm )(?c os|||| pnm,2438
依题意知 nm 与 p? 同向，
定义设已知三个向量 a
,b
,c
，数量 cba
)(
称为这三个向量的 混合积,记为 ][ cba
.
][ cba cba )(
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
,kajaiaa zyx,kbjbibb zyx设
,kcjcicc zyx
混合积的坐标表达式三、向量的混合积
（ 1）向量混合积的几何意义：
向量的混合积
][ cba
cba
)( 是这样的一个数，它的绝对值表示以向量 a
,b
,c
为棱的平行六面体的体积,
a?
c?
b?
ba
关于混合积的说明：
][)2( cba cba )( acb )(,)( bac
—— 轮换对称性
（ 3 ）三向量 a?,b
,c? 共面,0][?cba
证明 )(? 由 cba,,共面
cba )(
0),c os ( cba
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba
)(
0?
)(? 设
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba
)(
0?
由混合积的几何意义知
0|)(| cba 0),c o s ( cba
cba )( 得 cba,,共面已知 2][?cba?
，
计算 )()]()[( accbba
,
解 )()]()[( accbba
)()][ accbbbcaba
ccbcccacba )(0)()(
acbaacaaba )(0)()(
0? 0?
0? 0? cba )(
cba )(2 ][2 cba,4?
例 9
例 10 已知空间内不在一平面上的四点
),,( 111 zyxA,),,( 222 zyxB,),,( 333 zyxC,
),,( 444 zyxD,求四面体的体积,
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB,
AC,AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一,
][61 ADACABV?
},,{ 121212 zzyyxxAB
},,{ 131313 zzyyxxAC
},,{ 141414 zzyyxxAD
141414
131313
121212
6
1
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
V
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致,
例 11 设 dcba,,,是四个已知向量，其中 cba,,
不共面，试利用矢量运算将 d? 表示为 cba,,
的线性组合
[分析 ] 依题意 czbyaxd
其中 x,y,z 待定为求得 x,须消去 y,z
由上式可见，若能用一个与 cb,都垂直的向量，则 y,z 可同时消去，自然想到 cb
解 设有 czbyaxd
以 cb 与上式两端作点积，得
)()( cbaxcbd
由于 cba,,不共面 0)( cba
)(
)(
cba
cbdx
同理 )( )( acb acdy
)(
)(
bac
badz
又由轮换对称性知 )()()( bacacbcba
])()()([)( 1 cbadbacdacbdcbad
向量的数量积向量的向量积向量的混合积
（结果是一个数量）
（结果是一个向量）
（结果是一个数量）
（注意共线、共面的条件）
四、小结思考题已知向量 0
a,0
b,
证明 2222 )(|||||| bababa
,
思考题解答
)(s i n||||||,2222 bababa
)](c o s1[||||,222 baba
22 |||| ba )(c o s|||,222 baba
22 |||| ba,)( 2ba
作用下沿直线从点 1M 移动到点 2M,以 s
表示位移，则力 F
所作的功为
cos|||| sFW ( 其中? 为 F? 与 s? 的夹角 )
启示向量 a? 与 b? 的 数量积 为 ba
c o s|||| baba ( 其中? 为 a? 与 b? 的夹角 )
实例两向量作这样的运算,结果是一个数量,
定义一、两向量的数量积
a?
bc o s|||| baba
,Prc o s|| bjb a 方向上的投影在向量向量 ab
,Prc o s|| aja b 方向上的投影在向量向量 ba
ajbba b Pr||,Pr|| bja a
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积,
数量积也称为,点积,、,内积,,
关于数量积的说明：
0)2( ba,ba
)(?,0 ba,0||?a?,0||?b?
,0c o s,ba
.||)1( 2aaa
)(?,ba,0c o s
.0c o s||||baba
,0,||c o s|||| 2aaaaa证证
,2?
,2
数量积符合下列运算规律：
（ 1）交换律,;abba
（ 2）分配律,;)( cbcacba
（ 3）若 为数? ),()()( bababa
若,为数, ).()()( baba
证明 （ 1）、（ 3）由定义可证余下证明（ 2）
仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明
a?
b?ba
c?
cba )(
)(Pr|| bajc c
)Pr( P r|| bjajc cc
ajc c Pr||? bjc c?Pr||?
ca cb
,kajaiaa zyx kbjbibb zyx设
ba )( kajaia zyx )( kbjbib zyx
,kji,0 ikkjji
,1|||||| kji
.1 kkjjii
zzyyxx babababa
数量积的坐标表达式
c o s|||| baba,||||cos ba
ba
222222co s
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
两向量夹角余弦的坐标表示式
ba 0 zzyyxx bababa
由此可知两向量垂直的充要条件为例 1 已知 }4,1,1{a?,}2,2,1{b
，求（ 1 ）
ba
；（ 2 ） a? 与 b
的夹角；（ 3 ） a? 在 b
上的投影,
解 ba)1( 2)4()2(111,9
222222c o s)2(
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
,21
ajbba b Pr||)3(,3||Pr
b
baaj
b?
,43?
例 2 证明向量 c? 与向量 acbbca )()( 垂直,
证 cacbbca ])()[(
])()[( cacbcbca
])[( cacabc
0?
cacbbca ])()[(
例 3 应用向量证明 Cauchy— Schwarz不等式
232221232221332211 || bbbaaabababa
证 记321,,aaaa321,,bbbb
则 232221|| aaaa 232221|| bbbb
332211 babababa
|),c o s (||||||| bababa
|||| ba 232221232221 bbbaaa
232221232221332211 || bbbaaabababa
例 4 应用向量证明直径所对的圆周角是直角证 如图所示
x
y
o
A
B C
圆的方程,222 Ryx
设 A 点的坐标为
)0,,( yx
则0,,yxRAB
0,,yxRAC
ACAB0,,0,,yxRyxR
222 Ryx 0?
ACAB
例 5 设 cba,,是三个单位向量 始于同一点 O
且 0 cba 证明它们终点的连线构成一等边三角形证一
A
B C
O
a?
b? c?
abAB
bcBC
caCA
)()(|| 2 ababAB
baba 2|||| 22
又 cba
)()( baba baa 2|||| 22
)()( cc 2|| c
由 1|||||| cba 21 ba
3|| 2 AB
同理 3|| 2?BC 3|| 2?AC
故它们终点的连线构成等边三角形证二 由 0 cba 得
0)()( cbacba
2
3 cacbba
又 acb
1 aacaba
2
1 cb
同理 21 caba
故由余弦定理，有
babaAB 2|||||| 222 3?
cbcbBC 2|||||| 222 3
cacaAC 2|||||| 222 3?
故它们终点的连线构成等边三角形设 O 为一根杠杆 L 的支点，有一力 F
作用于这杠杆上 P 点处．力 F
与 OP 的夹角为?,力 F
对支点 O 的力矩是一向量 M
，它的模
|||||| FOQM
s i n|||| FOPM
的方向垂直于 OP 与 F
所决定的平面,指向符合右手系,
实例二、两向量的向量积
L
F?
P
QO
向量 a? 与 b? 的 向量积 为 bac
si n|||||| bac ( 其中? 为 a? 与 b? 的夹角 )
定义
c? 的方向既垂直于 a?,又垂直于 b
，指向符合右手系,
关于向量积的说明：
.0)1( aa )0s i n0(
ba)2( //,0 ba )0,0( ba
向量积也称为,叉积,、,外积,,
向量积符合下列运算规律：
（ 1）,abba
（ 2） 分配律,.)( cbcacba
（ 3） 若 为数? ).()()( bababa
)(?,0 ba,0||?a?,0||?b?
,0s in,0
)(? 0si n
.0s i n||||||baba
证
ba//
ba // 或0
,kajaiaa zyx kbjbibb zyx设
ba )( kajaia zyx )( kbjbib zyx
,kji
,0 kkjjii
,jik,ij
,kij,jki,ijk
kbabajbabaibaba xyyxzxxzyzzy )()()(
向量积的坐标表达式向量积还可借助于三阶行列式表示
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
kbb
aa
jbb aaibb
aa
yx
yx
zx
zx
zy
zy
由上式可推出
ba// 0 ba
0 zyzy abba
0 zxzx abba
0 yxyx abba
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
xb,yb,zb 不能同时为零，但允许两个为零,
例如，
z
zyx
b
aaa
00 0,0 yx aa
补充
|| ba
表示以 a? 和 b
为邻边的平行四边形的面积,a?
b?
bac
例 6 求与 kjia
423,kjib
2 都垂直的单位向量,
解
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
bac
211
423
kji
,510 kj
,55510|| 22c
||
0
c
cc,
5
1
5
2?
kj
例 7 在顶点为 )2,1,1(?A,)2,6,5(?B 和
)1,3,1(?C 的三角形中，求 AC 边上的高 BD,
A
B
C
解
D
}3,4,0{AC
}0,5,4{AB
三角形 ABC的面积为
||21 ABACS 222 16121521,225?
|| AC,5)3(4 22 ||21 BDS || AC
||521225 BD,5|| BD
例 8 设向量 pnm,,两两垂直，符合右手规则，且
4||?m?,2||?n?,3||?p?,计算 pnm )(,
解 ),s i n (|||||| nmnmnm
,8124
0),( pnm
pnm )(?c os|||| pnm,2438
依题意知 nm 与 p? 同向，
定义设已知三个向量 a
,b
,c
，数量 cba
)(
称为这三个向量的 混合积,记为 ][ cba
.
][ cba cba )(
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
,kajaiaa zyx,kbjbibb zyx设
,kcjcicc zyx
混合积的坐标表达式三、向量的混合积
（ 1）向量混合积的几何意义：
向量的混合积
][ cba
cba
)( 是这样的一个数，它的绝对值表示以向量 a
,b
,c
为棱的平行六面体的体积,
a?
c?
b?
ba
关于混合积的说明：
][)2( cba cba )( acb )(,)( bac
—— 轮换对称性
（ 3 ）三向量 a?,b
,c? 共面,0][?cba
证明 )(? 由 cba,,共面
cba )(
0),c os ( cba
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba
)(
0?
)(? 设
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba
)(
0?
由混合积的几何意义知
0|)(| cba 0),c o s ( cba
cba )( 得 cba,,共面已知 2][?cba?
，
计算 )()]()[( accbba
,
解 )()]()[( accbba
)()][ accbbbcaba
ccbcccacba )(0)()(
acbaacaaba )(0)()(
0? 0?
0? 0? cba )(
cba )(2 ][2 cba,4?
例 9
例 10 已知空间内不在一平面上的四点
),,( 111 zyxA,),,( 222 zyxB,),,( 333 zyxC,
),,( 444 zyxD,求四面体的体积,
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量 AB,
AC,AD 为棱的平行六面体的体积的六分之一,
][61 ADACABV?
},,{ 121212 zzyyxxAB
},,{ 131313 zzyyxxAC
},,{ 141414 zzyyxxAD
141414
131313
121212
6
1
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
V
式中正负号的选择必须和行列式的符号一致,
例 11 设 dcba,,,是四个已知向量，其中 cba,,
不共面，试利用矢量运算将 d? 表示为 cba,,
的线性组合
[分析 ] 依题意 czbyaxd
其中 x,y,z 待定为求得 x,须消去 y,z
由上式可见，若能用一个与 cb,都垂直的向量，则 y,z 可同时消去，自然想到 cb
解 设有 czbyaxd
以 cb 与上式两端作点积，得
)()( cbaxcbd
由于 cba,,不共面 0)( cba
)(
)(
cba
cbdx
同理 )( )( acb acdy
)(
)(
bac
badz
又由轮换对称性知 )()()( bacacbcba
])()()([)( 1 cbadbacdacbdcbad
向量的数量积向量的向量积向量的混合积
（结果是一个数量）
（结果是一个向量）
（结果是一个数量）
（注意共线、共面的条件）
四、小结思考题已知向量 0
a,0
b,
证明 2222 )(|||||| bababa
,
思考题解答
)(s i n||||||,2222 bababa
)](c o s1[||||,222 baba
22 |||| ba )(c o s|||,222 baba
22 |||| ba,)( 2ba
