直线及其方程
x
y
z
o
1?
2?
定义 空间直线可看成两平面的交线．
0,11111 DzCyBxA
0,22222 DzCyBxA
0
0
2222
1111
DzCBxA
DzCyBxA
空间直线的一般方程
L
一、空间直线的一般方程
x
y
z
o
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的 方向向量,
s? L
),,,( 0000 zyxM
0M?
M?
,LM
),,,( zyxM
sMM?0 //
},,,{ pnms },,{ 0000 zzyyxxMM
二、空间直线的对称式方程与参数方程
p
zz
n
yy
m
xx 000
直线的对称式方程
tp zzn yym xx 000令
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
直线的一组 方向数方向向量的余弦称为直线的 方向余弦,
直线的参数方程例 1 求经过 ),,(),,,( 22221111 zyxMzyxM
两点的直线方程解 因为直线过 21,MM 两点因此可取 21MM 作为直线的方向向量
21 MMs121212,,zzyyxx
由点向式即得所求直线的方程为
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
—— 直线的两点式方程例 2 用对称式方程及参数方程表示直线
.0432 01
zyx
zyx
解一 用点向式在直线上任取一点 ),,( 000 zyx
取 10?x,063
02
00
00
zy
zy
解得 2,0 00 zy
点坐标 ),2,0,1(?
因所求直线与两平面的法向量都垂直取 21 nns },3,1,4{
对称式方程,3 21 04 1 zyx
参数方程
.
32
41
tz
ty
tx
解二 用两点式已求出一点 )2,0,1(? 再求出一点令 1y 得
0 zx
532 zx
解得 5,5 zx
点坐标 ),5,1,5(
所求直线方程为,3 21 04 1 zyx
参数方程
.
32
41
tz
ty
tx
解三 由,0432
01
zyx
zyx
两式相加得 0543 zx
)54(31 zx
代入方程组得 )2(31 zy
即
)54(31 zx
)2(31 zy —— 称为 投影方程实际上这就是所求直线的参数方程对称式方程 31 3
2
4
3
5
zyx
例 3 一直线过点 )4,3,2(?A,且和 y 轴垂直相交，求其方程,
解 因为直线和 y 轴垂直相交,
所以交点为 ),0,3,0(?B
取 BAs },4,0,2{?
所求直线方程,4 40 32 2 zyx
由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：
两定 —— 定点、定向例 4 求过点 A ( 1,2,－ 2 ),且通过直线 L
1
21
3
2
zyx 的平面方程解 设所求平面的法向量为 n?
由题设知点 )2,1,2(?M 为直线 L上一点其方向向量 kjis 3
由于所求平面通过点 A及 L
kjiAMn 43
AMsn
431
113
kji
kji 1013
由点法式得所求平面方程为
0)2(10)1(13)2( zyx
即 051013 zyx
例 5 求直线 412 31 2 zyx
与平面 062 zyx 的交点解 所给直线的参数方程为
tx 2
ty 3
tz 24
代入平面方程，得
06)24()3()2(2 ttt
解得 1t
将 1t 代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为 2,2,1 zyx
即交点为 )2,2,1(M
定义直线,1L,
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx
直线,2L,
2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
^
两直线的方向向量的夹角称之,（锐角）
两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：
21)1( LL?,0212121 ppnnmm
21)2( LL//
,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
直线,1L
直线,2L
},0,4,1{1s?
},1,0,0{2?s?
,021 ss,21 ss
例如，
.21 LL?即例 6 求过点 )5,2,3(? 且与两平面 34 zx 和
152 zyx 的交线平行的直线方程,
解 设所求直线的方向向量为 },,,{ pnms
根据题意知,1ns,2ns
取 21 nns },1,3,4{
.1 53 24 3 zyx所求直线的方程例 7 求过点 )3,1,2(M 且与直线
12
1
3
1
zyx
垂直相交的直线方程,
解 先作一过点 M且与已知直线垂直的平面?
0)3()1(2)2(3 zyx
再求已知直线与该平面的交点 N,
令 tzyx 12 13 1
.12
13
tz
ty
tx
代入平面方程得,73?t 交点 )73,713,72(?N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373,1713,272{ },724,76,12{
所求直线方程为,4 31 12 2 zyx
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．
,,000 p zzn yym xxL
,0, DCzByAx
},,,{ pnms
},,,{ CBAn
2),( ns^ 2),( ns^
四、直线与平面的夹角
0,2?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
直线与平面的夹角公式直线与平面的 位置关系：
L)1(,p
C
n
B
m
A
L)2( //,0 CpBnAm
,c o s 2 c o ss i n 2?
例 8 设直线,L
2
1
12
1?
zyx
，平面
:? 32 zyx,求直线与平面的夹角,
解 },2,1,1{n? },2,1,2{s?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
96
|22)1()1(21|
,
63
7?
63
7a r c s in 为所求夹角．
五、平面束设有直线
:L )(0 11111 DzCyBxA
)(0 22222 DzCyBxA
考虑
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA
其中 022
因 222111,,,,CBACBA 与不成比例 故
212121,,CCBBAA 不全为 0
从而
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA
表示一个平面若一点 P 在 L 上满足 和 的方程1? 2?
P则点 的坐标必同时
P则点 的坐标也满足因而 L表示过 的平面对于 的不同值,L表示过 的所有平面
—— 过 的平面束L
一般在具体应用时，常取 11 或而考虑缺 或 的平面束1? 2?
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA?
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA?
例 9 求直线
01
01
zyx
zyx
在平面 0 zyx 上的投影直线的方程
[分析 ] 过所给直线作一平面与已知平面垂直，
两平面的交线即位所求解 过所给直线的 平面束 方程为
0)1()1( zyxzyx?
即
0)1()1(
)1()1(
z
yx
这平面与已知平面垂直的条件是
01)1(1)1(1)1(
1
所求平面方程为 01 zy
这就是过已知直线且垂直于平面 0 zyx
的平面的方程它与已知平面 的交线,0 zyx
0 zyx
01 zy
即为所求的投影直线的方程空间直线的一般方程,
空间直线的对称式方程与参数方程,
两直线的夹角,
直线与平面的夹角,
（注意两直线的位置关系）
（注意直线与平面的位置关系）
六、小结思考题在直线方程
p
z
n
y
m
x
6
2
2
4
中,m,
n,p 各怎样取值时，直线与坐标面 x o y,
y o z 都平行,
思考题解答
},6,,2{ pnms 且有,0s
,0 ks,0 is
02
06
m
p
,0,6 mp
,0s,0 n
故当 时结论成立．,0?m 6p,0?n
x
y
z
o
1?
2?
定义 空间直线可看成两平面的交线．
0,11111 DzCyBxA
0,22222 DzCyBxA
0
0
2222
1111
DzCBxA
DzCyBxA
空间直线的一般方程
L
一、空间直线的一般方程
x
y
z
o
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的 方向向量,
s? L
),,,( 0000 zyxM
0M?
M?
,LM
),,,( zyxM
sMM?0 //
},,,{ pnms },,{ 0000 zzyyxxMM
二、空间直线的对称式方程与参数方程
p
zz
n
yy
m
xx 000
直线的对称式方程
tp zzn yym xx 000令
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
直线的一组 方向数方向向量的余弦称为直线的 方向余弦,
直线的参数方程例 1 求经过 ),,(),,,( 22221111 zyxMzyxM
两点的直线方程解 因为直线过 21,MM 两点因此可取 21MM 作为直线的方向向量
21 MMs121212,,zzyyxx
由点向式即得所求直线的方程为
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
—— 直线的两点式方程例 2 用对称式方程及参数方程表示直线
.0432 01
zyx
zyx
解一 用点向式在直线上任取一点 ),,( 000 zyx
取 10?x,063
02
00
00
zy
zy
解得 2,0 00 zy
点坐标 ),2,0,1(?
因所求直线与两平面的法向量都垂直取 21 nns },3,1,4{
对称式方程,3 21 04 1 zyx
参数方程
.
32
41
tz
ty
tx
解二 用两点式已求出一点 )2,0,1(? 再求出一点令 1y 得
0 zx
532 zx
解得 5,5 zx
点坐标 ),5,1,5(
所求直线方程为,3 21 04 1 zyx
参数方程
.
32
41
tz
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tx
解三 由,0432
01
zyx
zyx
两式相加得 0543 zx
)54(31 zx
代入方程组得 )2(31 zy
即
)54(31 zx
)2(31 zy —— 称为 投影方程实际上这就是所求直线的参数方程对称式方程 31 3
2
4
3
5
zyx
例 3 一直线过点 )4,3,2(?A,且和 y 轴垂直相交，求其方程,
解 因为直线和 y 轴垂直相交,
所以交点为 ),0,3,0(?B
取 BAs },4,0,2{?
所求直线方程,4 40 32 2 zyx
由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤：
两定 —— 定点、定向例 4 求过点 A ( 1,2,－ 2 ),且通过直线 L
1
21
3
2
zyx 的平面方程解 设所求平面的法向量为 n?
由题设知点 )2,1,2(?M 为直线 L上一点其方向向量 kjis 3
由于所求平面通过点 A及 L
kjiAMn 43
AMsn
431
113
kji
kji 1013
由点法式得所求平面方程为
0)2(10)1(13)2( zyx
即 051013 zyx
例 5 求直线 412 31 2 zyx
与平面 062 zyx 的交点解 所给直线的参数方程为
tx 2
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tz 24
代入平面方程，得
06)24()3()2(2 ttt
解得 1t
将 1t 代入直线的参数方程，即得所求交点的坐标为 2,2,1 zyx
即交点为 )2,2,1(M
定义直线,1L,
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx
直线,2L,
2
2
2
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2
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p
zz
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yy
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1
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1
2
1
212121
21
||),c o s (
pnmpnm
ppnnmmLL
^
两直线的方向向量的夹角称之,（锐角）
两直线的夹角公式三、两直线的夹角两直线的位置关系：
21)1( LL?,0212121 ppnnmm
21)2( LL//
,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
直线,1L
直线,2L
},0,4,1{1s?
},1,0,0{2?s?
,021 ss,21 ss
例如，
.21 LL?即例 6 求过点 )5,2,3(? 且与两平面 34 zx 和
152 zyx 的交线平行的直线方程,
解 设所求直线的方向向量为 },,,{ pnms
根据题意知,1ns,2ns
取 21 nns },1,3,4{
.1 53 24 3 zyx所求直线的方程例 7 求过点 )3,1,2(M 且与直线
12
1
3
1
zyx
垂直相交的直线方程,
解 先作一过点 M且与已知直线垂直的平面?
0)3()1(2)2(3 zyx
再求已知直线与该平面的交点 N,
令 tzyx 12 13 1
.12
13
tz
ty
tx
代入平面方程得,73?t 交点 )73,713,72(?N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373,1713,272{ },724,76,12{
所求直线方程为,4 31 12 2 zyx
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．
,,000 p zzn yym xxL
,0, DCzByAx
},,,{ pnms
},,,{ CBAn
2),( ns^ 2),( ns^
四、直线与平面的夹角
0,2?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
直线与平面的夹角公式直线与平面的 位置关系：
L)1(,p
C
n
B
m
A
L)2( //,0 CpBnAm
,c o s 2 c o ss i n 2?
例 8 设直线,L
2
1
12
1?
zyx
，平面
:? 32 zyx,求直线与平面的夹角,
解 },2,1,1{n? },2,1,2{s?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
96
|22)1()1(21|
,
63
7?
63
7a r c s in 为所求夹角．
五、平面束设有直线
:L )(0 11111 DzCyBxA
)(0 22222 DzCyBxA
考虑
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA
其中 022
因 222111,,,,CBACBA 与不成比例 故
212121,,CCBBAA 不全为 0
从而
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA
表示一个平面若一点 P 在 L 上满足 和 的方程1? 2?
P则点 的坐标必同时
P则点 的坐标也满足因而 L表示过 的平面对于 的不同值,L表示过 的所有平面
—— 过 的平面束L
一般在具体应用时，常取 11 或而考虑缺 或 的平面束1? 2?
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA?
0)()( 22221111 DzCyBxADzCyBxA?
例 9 求直线
01
01
zyx
zyx
在平面 0 zyx 上的投影直线的方程
[分析 ] 过所给直线作一平面与已知平面垂直，
两平面的交线即位所求解 过所给直线的 平面束 方程为
0)1()1( zyxzyx?
即
0)1()1(
)1()1(
z
yx
这平面与已知平面垂直的条件是
01)1(1)1(1)1(
1
所求平面方程为 01 zy
这就是过已知直线且垂直于平面 0 zyx
的平面的方程它与已知平面 的交线,0 zyx
0 zyx
01 zy
即为所求的投影直线的方程空间直线的一般方程,
空间直线的对称式方程与参数方程,
两直线的夹角,
直线与平面的夹角,
（注意两直线的位置关系）
（注意直线与平面的位置关系）
六、小结思考题在直线方程
p
z
n
y
m
x
6
2
2
4
中,m,
n,p 各怎样取值时，直线与坐标面 x o y,
y o z 都平行,
思考题解答
},6,,2{ pnms 且有,0s
,0 ks,0 is
02
06
m
p
,0,6 mp
,0s,0 n
故当 时结论成立．,0?m 6p,0?n
