单调性及其判定
Lagrange定理 xxxfy )( 0给出了函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值最值、凹凸、拐点和曲率。
一、单调性的判别法函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
0)( xf 0)( xfa b
B
A
从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升
（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）
角，曲线就是上升（下降）的这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？回答是肯定的。
定理
.],[)(
0)(),()2(],[
)(0)(),(1.
),(],[)(
上单调减少在那末函数
，内如果在上单调增加；在
，那末函数内如果在）（导内可上连续，在在设函数
baxfy
xfbaba
xfyxfba
babaxfy
证 ),,(,21 baxx,21 xx?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf
,012 xx?
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调增加在 baxfy
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调减少在 baxfy
注 ① 若在 (a,b)内至多有有限个导数等 0的点和至多有限个不可导点，而在其余点处均有
)0)((0)( xfxf 则由连续性，结论仍成立
② 此判定法则对其它各种类型的区间仍适用例 1,1 的单调性讨论函数 xey x
解,1 xey? ).,(,D?又
,)0,( 内在,0y
函数单调减少；?
,),0( 内在,0y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
二、单调区间求法问题,如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调．
定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的 单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．
方法,
.
,)(
)(0)(
数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程
xf
xfxf
例 2
.312
92)( 23
的单调区间确定函数
x
xxxf
解 ).,(,D?
12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
得，解方程 0)( xf,2,1 21 xx
时，当 1 x,0)(f 上单调增加；在 ]1,(
时，当 21 x,0)( xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 x2,0)( xf 上单调增加；在 ),2[
单调区间为,]1,(,]2,1[ ).,2[
例 3,)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf?
解 ).,(,D?
)0(,3 2)( 3 xxxf
.,0 导数不存在时当?x
时，当 0 x,0)( xf 上单调减少；在 ]0,(
时，当 x0,0)( xf 上单调增加；在 ),0[
单调区间为,]0,( ).,0[
3 2xy?
例 4
证
.)1l n(,0 成立试证时当 xxx
),1l n ()( xxxf设,1)( xxxf则
,0)(),0(,),0[)( xfxf 可导，且上连续在?
上单调增加；在 ),0[,0)0(?f?
时，当 0 x,0)1ln( xx ).1l n ( xx即注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy?,00xy,),( 上单调增加但在
例 5 证明 时0?x 22 1)1l n(1 xxxx
证 22 1)1ln (1)( xxxxxf令
22
2
11
1)1ln ()(
x
x
xxxxxf
)1l n ( 2xx
21
1)(
xxf 0?
)( xf时0 x 0)0()( fxf
时0 x?)(xf 0)0()( fxf
22 1)1ln (1 xxxx
例 6 设 20 x 证明 xxx?2s i n
[分析 ] 如图所示
o x
y
xy sin?
xy?2?
2
结论是显然的证一 xxxf?2s i n)(令
2co s)( xxf则
2a r cco s0)(
0 xxf
时当 0xx? 0co sco s xx? 0)( xf
时当 0xx? 0co sco s xx? 0)( xf
时00 xx)(xf 0)0()( fxf
时20 xx?)(f 0)2()(fxf
总之有 0)(?xf xx?2s i n
证二 )2,0(s i n)( xx xxf记
2
s i nco s)(
x
xxxxf则
)t a n(co s 2 xxx x 0?
或令 xxxxg s inc o s)(
0s in)( xxxg
)( xg 0)0()( gxg
2
s i nco s)(
x
xxxxf则 0)(
2 x
xg
)( xf 2)2()( fxf
)2,0(2s i n xxx
例 7 xxxx 2t ans i n,20 时证明?
证 xxxxf 2t a ns i n)(记
2s e cc o s)( 2 xxxf则
2co s1co s 2 xx 2co s1co s xx 0?
或 xxxxf t a ns e c2s in)( 2
]1co s2[s i n 3 xx 0?
)( xf 0)0()( fxf )( xf
0)0()( fxf xxx 2t a ns i n即利用单调性证明不等式的步骤：
① 将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使一端为 0另一端即为所作的辅助函数 f(x)
② 求 )(xf? 验证 f(x)在指定区间上的单调性
③ 与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,
定理中的区间换成其它有限或无限区间，
结论仍然成立,
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,
思考题若 0)0(f,是否能断定 )( xf 在原点的充分小的邻域内单调递增？
思考题解答不能断定,例?
0,0
0,
1
s i n2
)(
2
x
x
x
xx
xf
)0(f )1s i n21(lim 0 xxx 01
但 0,1c o s21s i n41)( xxxxxf
)
2
1
2(
1
k
x
当 时，
0
)
2
1
2(
4
1)(?
k
xf
kx 2
1当 时,01)( xf
注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内,都不单调递增．
k 00?x
)(xf
Lagrange定理 xxxfy )( 0给出了函数在某区间上的增量与函数在区间内某点处的导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、极值最值、凹凸、拐点和曲率。
一、单调性的判别法函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
0)( xf 0)( xfa b
B
A
从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升
（下降）的。进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）
角，曲线就是上升（下降）的这就启示我们：能否利用导数的符号来判定单调性？回答是肯定的。
定理
.],[)(
0)(),()2(],[
)(0)(),(1.
),(],[)(
上单调减少在那末函数
，内如果在上单调增加；在
，那末函数内如果在）（导内可上连续，在在设函数
baxfy
xfbaba
xfyxfba
babaxfy
证 ),,(,21 baxx,21 xx?且 应用拉氏定理,得
)())(()()( 211212 xxxxfxfxf
,012 xx?
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调增加在 baxfy
,0)(),( xfba 内，若在,0)(f则
).()( 12 xfxf,],[)( 上单调减少在 baxfy
注 ① 若在 (a,b)内至多有有限个导数等 0的点和至多有限个不可导点，而在其余点处均有
)0)((0)( xfxf 则由连续性，结论仍成立
② 此判定法则对其它各种类型的区间仍适用例 1,1 的单调性讨论函数 xey x
解,1 xey? ).,(,D?又
,)0,( 内在,0y
函数单调减少；?
,),0( 内在,0y,函数单调增加?
注意,函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
二、单调区间求法问题,如上例，函数在定义区间上不是单调的，
但在各个部分区间上单调．
定义,若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的 单调区间,
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．
方法,
.
,)(
)(0)(
数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程
xf
xfxf
例 2
.312
92)( 23
的单调区间确定函数
x
xxxf
解 ).,(,D?
12186)( 2 xxxf )2)(1(6 xx
得，解方程 0)( xf,2,1 21 xx
时，当 1 x,0)(f 上单调增加；在 ]1,(
时，当 21 x,0)( xf 上单调减少；在 ]2,1[?
时，当 x2,0)( xf 上单调增加；在 ),2[
单调区间为,]1,(,]2,1[ ).,2[
例 3,)( 3 2 的单调区间确定函数 xxf?
解 ).,(,D?
)0(,3 2)( 3 xxxf
.,0 导数不存在时当?x
时，当 0 x,0)( xf 上单调减少；在 ]0,(
时，当 x0,0)( xf 上单调增加；在 ),0[
单调区间为,]0,( ).,0[
3 2xy?
例 4
证
.)1l n(,0 成立试证时当 xxx
),1l n ()( xxxf设,1)( xxxf则
,0)(),0(,),0[)( xfxf 可导，且上连续在?
上单调增加；在 ),0[,0)0(?f?
时，当 0 x,0)1ln( xx ).1l n ( xx即注意,区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,
例如,,3xy?,00xy,),( 上单调增加但在
例 5 证明 时0?x 22 1)1l n(1 xxxx
证 22 1)1ln (1)( xxxxxf令
22
2
11
1)1ln ()(
x
x
xxxxxf
)1l n ( 2xx
21
1)(
xxf 0?
)( xf时0 x 0)0()( fxf
时0 x?)(xf 0)0()( fxf
22 1)1ln (1 xxxx
例 6 设 20 x 证明 xxx?2s i n
[分析 ] 如图所示
o x
y
xy sin?
xy?2?
2
结论是显然的证一 xxxf?2s i n)(令
2co s)( xxf则
2a r cco s0)(
0 xxf
时当 0xx? 0co sco s xx? 0)( xf
时当 0xx? 0co sco s xx? 0)( xf
时00 xx)(xf 0)0()( fxf
时20 xx?)(f 0)2()(fxf
总之有 0)(?xf xx?2s i n
证二 )2,0(s i n)( xx xxf记
2
s i nco s)(
x
xxxxf则
)t a n(co s 2 xxx x 0?
或令 xxxxg s inc o s)(
0s in)( xxxg
)( xg 0)0()( gxg
2
s i nco s)(
x
xxxxf则 0)(
2 x
xg
)( xf 2)2()( fxf
)2,0(2s i n xxx
例 7 xxxx 2t ans i n,20 时证明?
证 xxxxf 2t a ns i n)(记
2s e cc o s)( 2 xxxf则
2co s1co s 2 xx 2co s1co s xx 0?
或 xxxxf t a ns e c2s in)( 2
]1co s2[s i n 3 xx 0?
)( xf 0)0()( fxf )( xf
0)0()( fxf xxx 2t a ns i n即利用单调性证明不等式的步骤：
① 将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使一端为 0另一端即为所作的辅助函数 f(x)
② 求 )(xf? 验证 f(x)在指定区间上的单调性
③ 与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用,
定理中的区间换成其它有限或无限区间，
结论仍然成立,
应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式,
思考题若 0)0(f,是否能断定 )( xf 在原点的充分小的邻域内单调递增？
思考题解答不能断定,例?
0,0
0,
1
s i n2
)(
2
x
x
x
xx
xf
)0(f )1s i n21(lim 0 xxx 01
但 0,1c o s21s i n41)( xxxxxf
)
2
1
2(
1
k
x
当 时，
0
)
2
1
2(
4
1)(?
k
xf
kx 2
1当 时,01)( xf
注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内,都不单调递增．
k 00?x
)(xf
