iiiiii rrr
22
2
1)(
2
1
iiii rrr )2(2
1
ii
iii rrrr
2
)(
,iii rr
.)s i n,co s(),(
DD
r d r drrfd x d yyxf
Ao
D
i
i
ii
irr?
ii rrr
二重积分的计算法（ 2）
一、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图极点在区域之外
A
D
o
)(1r )(2r
, ).()(
21 r

D
r d r drrf )s i n,c o s(
.)s in,c o s()( )(2
1
r d rrrfd
区域特征如图
Ao
D
)(1r
)(2r, ).()(
21 r
D
r d r drrf )s i n,c o s(
.)s in,c o s()( )(2
1
r d rrrfd
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图（极点在 D的边界上）
Ao
D
)(r

,
).(0 r

D
r d r drrf )s i n,c o s(
.)s i n,c os()(0 r drrrfd
注意内下限未必全为 0
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
（极点在 D的内部）
D
o A
)(r
,20 ).(0 r

D
r d r drrf )s i n,c o s(
.)s i n,c os()(020 r drrrfd
极坐标系下区域的面积,
D
r d r d
例 1 写出积分
D
dx dyyxf ),( 的极坐标二次积分形式，其中积分区域
,11|),{(
2
xyxyxD }10 x,
解 在极坐标系下

s in
c o s
ry
rx
1yx
122 yx所以圆方程为 1?r,
直线方程为 c o ss i n 1r,

D
d x d yyxf ),(
.)s in,c os(2
0
1
c o ss i n
1

r drrrfd例 2 计算 dx dye
D
yx 22,其中 D 是由中心在原点，半径为 a 的圆周所围成的闭区域,
解 在极坐标系下
D,ar0, 20,
dxdye
D
yx 22 a r r dred
0
2
0
2 ).1( 2ae
例 3 求广义积分0 2 dxe x,
解 }|),{( 2221 RyxyxD S
1D
2D
}2|),{( 2222 RyxyxD
}0,0|),{( RyRxyxS
}0,0{ yx 显然有 21 DSD
,022 yxe?

1
22
D
yx dxdye
S
yx dxdye 22,
2
22
D
yx dxd ye
又
S
yx d xd yeI 22?
R yR x dyedxe 00 22 ;)( 20 2 R x dxe
1I
1
22
D
yx dxdye R r r d red
00
22 );1(
4
Re
同理?2I
2
22
D
yx d x d ye);1(
4
22 Re
,21 III
);1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee
当R 时,,
41
I,
42
I
故当R 时,,4I 即
2
0
)( 2 dxe x 4?,
所求广义积分

0
2 dxe x
2
,
例 4 计算 dx dyyx
D
)(
22
,其 D 为由圆
yyx 2
22
,yyx 4
22
及直线 yx 3? 0?,
03 xy 所围成的平面闭区域,
解 03 xy 32
yyx 422s i n4 r
03 yx 61

yyx 222s i n2 r
dx dyyx
D
)( 22

3
6
s i n4
s i n2
2 r d rrd ).3
2(15?
例 5 计算二重积分

D
dxdy
yx
yx
22
22 )s i n (
,
其中积分区域为 }41|),{(
22 yxyxD
,
解 由对称性，可只考虑第一象限部分,
14 DD?
注意,被积函数也要有对称性,

D
dxdy
yx
yx
22
22 )s in ( 4

1
22
22 )s i n (
D
dxdy
yx
yx
210 s i n4 2 r d rr rd,4
例 6 求曲线 )(2)( 222222 yxayx
和 222 ayx 所围成的图形的面积,
解 根据对称性有 14 DD?
在极坐标系下
,222 arayx
)(2)( 222222 yxayx,2c o s2?ar
由
ar
ar?2co s2
,得交点 )
6,(
aA,
所求面积
D
d x d y
1
4
D
d xd y
2c o s20 64 aa r d rd ).33(2 a
例 7 计算 RxyxDdyxR
D
22222,,?
解
r drrRdI
R


2
2
c o s
0
22

2
2
2
3
22
0
c o s
)(
3
1
d
R
rR

2
2
2
3
2223 ])co s([
3
1
dRRR

d
R
]s i n1[
3
2
2
3
3


2
0
3
3
)s i n1(
3
2
dR
)34(3
3
R
|)s i n|)( s i n( 32
3
2注意思考题交换积分次序,
).0(),(
c o s
0
2
2

adrrfdI
a
二、小结二重积分在极坐标下的计算公式

D
r d r drrf )s i n,c o s(
.)s i n,c os()( )(2
1
r drrrfd
.)s i n,c os()(0 r drrrfd
.)s i n,c os()(020 r drrrfd
（在积分中注意使用 对称性 ）
思考题解答
o x
y
cosar?
a
D
a
ra rc c o s
a
ra rcc o s
,
c o s0
22:



ar
D
.),(a r c co s
a r c co s0
a
r
a
r
a drfdrI
练 习 题一,填空题,
1,将

D
d x d yyxf ),(,D 为 xyx 2
22
,表示为极坐标形式的二次积分,为 __ _ __ __ __ _ __ __ _ _ _ _ _ __,
2,将

D
d x d yyxf ),(,
D
为
xy 10
,
10 x
,表示为极坐标形式的二次积分为 __ _ __ __ _ _ _ _ _ __,
3,将
x
x
dyyxfdx
3
22
2
0
)( 化为极坐标形式的二次积分为 __ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __ __ _.
4,将
2
0
1
0
),(
x
dyyxfdx
化为极坐标形式的二次积分为 __ __ _ __ _ __ __ __ _ __ __ _ __,
5,将

x
x
dyyxdx
2
2
1
)(
22
1
0
化为极坐标形式的二次积分为 ___ ___ ___ _ ___ __,其值为 ___ __ ___ __ ___ _ _.
二,计算下列二重积分,
1,


D
dyx?)1l n (
22
,其中
D
是由圆周 1
22
yx
及坐标轴所围成的在第一象限内的区域,
2,
D
dyx?)(
22
其中
D
是由直线
xy?
,
)0(3,, aayayaxy
所围成的区域,
3,

D
dyxR?
222
,其中
D
是由圆周
Rxyx
22
所围成的区域,
4,

D
dyx?2
22
,其中
D
:
3
22
yx
.
三、试将对极坐标的二次积分


c o s2
0
4
4
)s i n,co s(
a
r d rrrfdI 交换积分次序,
四、设平面薄片所占的闭区域 D 是由螺线?2?r 上一段弧 (
2
0
) 与直线
2
所围成,它的面密度为
22
),( yxyx
,求这薄片的质量,
五,计算以 xoy 面上的圆周
axyx
22
围成的闭区域为底，而以曲面
22
yxz
为顶的曲顶柱体的体积,
练习题答案一,1,r d rrrfd


c o s2
0
2
2
)s i n,co s( ；
2,



1
)s i n( c o s
0
2
0
)s i n,co s( r d rrrfd ；
3,

s e c2
0
3
4
)( r d rrfd ；
4,



s e c
t a ns e c
4
0
)s i n,co s( r d rrrfd ；
5,


2
c o s
s i n
0
4
0
1
r d r
r
d,
12?
,
二,1,)12ln2(
4
； 2,
4
14 a；
3,)
3
4
(
3
3

R； 4,?
2
5
.
三、


4
4
2
0
)s i n,co s( drrfr d rI
a


a
r
a
r
a
a
drrfr d r
2
a r c c o s
2
a r c c o s
2
2
)s i n,co s(,
四、
40
5
.
五、
4
32
3
a
.