中值定理第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、
法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的应用问题。
我们知道，函数
)()( 00 xfxxfy
)( xfy? 在区间 xxx?00,
上的增量 可用它的微分
xxfdy?)( 0 来近似计算 其误差是比 x?
高阶的无穷小
)( 0xfxy即 是近似关系 )|(| 充分小x?
)(l i m 0
0
xfxy
x
而 是极限关系,都不便应用我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系。对此,Lagrange
中值定理给出了圆满的解答：
xxxfy )( 0
—— 导数应用的理论基础本章我们先给出 Rolle定理（它是 Lagrange定理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明
Lagrange定理和 Cauchy定理，有了 Cauchy定理就可以给出 Taylor中值定理及 L,Hospital法则，
这就是本章理论部分的主要内容。
理论部分结构图
Lagrange定理特例
Rolle定理推广
Cauchy定理推广
Taylor定理本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论的，利用 Lagrange定理给出了可导函数的单调性和凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的条件；有了 L,Hospital法则，可以进一步讨论
1,,0,,0,,
0
0 00
等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和单调性还可证明一些不等式。
重点 微分中值定理 L,Hospital法则
Taylor公式求函数的极值和最值难点 中值定理
L,Hospital法则的运用利用中值定理证明不等式基本要求
① 正确理解和掌握 R,L,C,T定理及它们之间的关系
② 熟练运用 L— 法则求未定式的极限
③ 掌握函数展开成 Taylor公式的方法，熟记
)1(),1l n(,c o s,s i n,xxxxe x
的 Taylor公式
④ 熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性来证明不等式
⑤ 正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定条件及求法
⑥ 掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点
⑦ 会用中值定理证明不等式先讲中值定理，以提供必要的理论基础一、罗尔 (Rolle)定理定理 (Rolle) 若函数 f ( x ) 满足
（ 1）在闭区间 [a,b]上连续
（ 2）在开区间 (a,b)内可导
（ 3）在区间端点处的函数值相等 f(a)=f(b)
0)()(
),(,),(
fxf
baba
在该点的导数为零，即使得函数内至少存在一点则在例如,32)( 2 xxxf ).1)(3( xx
,]3,1[ 上连续在?,)3,1( 上可导在?,0)3()1( ff且
),1(2)( xxf? ))3,1(1(,1取,0)(f
几何解释,
x
y
o
)( xfy?
a b
C
1? 2?
若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，
.
,
切线是水平的在该点处的上至少有一点在曲线弧 CAB
物理解释,
变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零,
证,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)1( mM?若,)( Mxf?则
.0)( xf由此得 ),,( ba,0)(f都有
.)2( mM?若 ),()( bfaf
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM?设
.)(),( Mfba 使内至少存在一点则在
),()( fxf?,0)()( fxf
,0 x若 ;0)()( x fxf则有
,0 x若 ;0)()( x fxf则有;0)()(l i m)( 0 x fxff x;0)()(lim)( 0 x fxff x,)( 存在f?
).()( ff,0)( f只有注
① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导区间端点处的函数值相等；
这三个条件只是充分条件，而非必要条件如,y=x2在 [-1,2]上满足 (1),(2)，不满足 (3)
却在 (-1,2)内有一点 x=0 使
02 00 xx xy
但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。
例如,];2,2[, xxy
,
,)0(]2,2[
一切条件满足罗尔定理的不存在外上除在 f
.0)( xf但在内找不到一点能使又例如,;0)0(],1,0(,1)( fxxxf
在 [0,1]上除去 x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件,0)( xf但在内找不到一点能使再例如 ].1,0[,)( xxxf
在 [0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件,0)( 的点但也找不到使 xf
② 罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等 0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
另外还要注意点 ξ并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点 ξ也不一定能指出是哪一点，
如 )2l n()( xxxf
在 [-1,0]上满足罗尔定理的全部条件，而
)2l n (2)( xx xxf
但却不易找到使?的点0)( xf
但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用例 1
.1
0155
的正实根有且仅有一个小于证明方程 xx
证,15)( 5 xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ff且 由介值定理
.0)(),1,0( 00 xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx设另有,0)( 1?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx
)1(5)( 4 xxf但 ))1,0((,0 x 矛盾,.为唯一实根?
例 2 证明 0)( 2 cbxaxe x 至多有三个实根证 )()( 2 cbxaxexf x记直接证明有困难，采用反证法设 0)(?xf 有四个实根 4321 xxxx
)()( 2 cbxaxexf x记 连续、可导对 )(xf ],[],,[],,[ 433221 xxxxxx在 用罗尔定理得
4332211 xxxx
0)()()( 321 fff使
baxexf x 2)( 连续、可导对 )(xf? ],[],,[ 3221在 用罗尔定理得
32211
0)()( 21 ff使
aexf x 2)( 连续、可导对 )(xf ],[ 21在 用罗尔定理得
],[],[ 4121 xx 0)( xf使
0)( xexf但 矛盾得证结论成立二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理拉格朗日 （ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
))(()()(
'
abfafbf 成立,
)1(
)2(
).()(,bfaf?去掉了与罗尔定理相比条件中注意
).()()( fab afbf结论亦可写成几何解释,
xo
y
)( xfy?
A
B
a b
C
1?
D
2?
.
,
AB
C
AB
线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证 分析,).()( bfaf?条件中与罗尔定理相差弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy
x
N
M
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
作辅助函数
) ],()()()([)()( axab afbfafxfxF
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ab afbff即
).)(()()( abfafbf或 拉格朗日中值公式注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
,),()( 内可导在在设 baxf 则有),,(,00 baxxx
).10()()()( 000 xxxfxfxxf
).10()( 0 xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
微分中值定理推论 1
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
推论 2
CxgxfI
xgxfI
)()(
),()(
上在区间那末上在区间如果例 2 ).11(2a r c c o sa r c s i n xxx证明证 ]1,1[,a r c co sa r c s i n)( xxxxf设
)1 1(1 1)( 22 xxxf
]1,1[,)( xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0(f?又 20,2
.2C即
.2a r cco sa r cs i n xx
0?
例 3,)1l n(1,0 xxxxx 时证明当证 ),1l n ()( xxf设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf
,1 1)(,0)0( xxff 由上式得,1)1l n ( xx
x0?又 x 111,11 11 1 x
,11 xxxx,)1l n (1 xxxx即例 4
Maaff
axfMxfa
|)(||)0(|
),0()(,|)(|,],0[
最大值，试证内取得在且上设在证 内可导在上连续在由于 ),0(,],0[)( aaxf
内取得最大值在且 ),0()( axf
0)(),,0(, cfacF er m a t 使定理知由上分别使用在对 ],[],,0[)( accxf? Lagrange定理
cffcf )()0()( 1?)0( 1 c
)()()()( 2 cafcfaf)( 2 ac
)(|)(||)(||)(||)0(| 21 cafcfaff
)( cacM Ma?
例 5 设抛物线 CBxxy 2与 x 轴有两个交点
)(,babxax 函数 f(x)在 [a,b]上二阶可导
0)()( bfaf 曲线 y = f ( x )与抛物线
CBxxy 2在（ a,b）内有一个交点证明 2)(),,( fba 使证 如图所示
o x
y CBxxy 2
y=f(x)
a bc
M
N
)()()( 2 cBxxxfxF令内可导在上连续在则 ),(),,(,],[],,[)( bccabccaxF
0)()()( bFcFaF且由罗尔定理，得 bca 21
0)()( 21 FF使内可导在上连续在又 ),(,],[)( 2121xF?
0)()( 21 FF且再由罗尔定理，得 ),(),( 21 ba
0)(F使
BxxfxF 2)()(而 2)()( xfxF
2)(f
三、柯西 (Cauchy)中值定理柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
F
f
bFaF
bfaf
成立,
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y )( )(xfY xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧
证 作辅助函数
)].()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( FfaFbF afbf
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF?当,1)(,)()( xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
F
f
aFbF
afbf ).()()(
f
ab
afbf
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
)].0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数例 6
证 分析,结论可变形为
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2
xx
xf,)( 2xxg?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0(
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff即例 7 设 f(x)在 x=0的某邻域内具有二阶导数，且
0)0()0( ff 试证
)10(!2 )()( 2 xfx xf
证 的某邻域内的任一点为设 00 xx
由题设知 上在 xxxgxf,0)(),( 2
满足 Cauchy定理的条件 由 Cauchy公式得
)0()(
)0()()(
2 gxg
fxf
x
xf
1
1
2
)(
f x,0
1?
再对函数 上在 1,02)(),(?xxgxf
应用 Cauchy公式，有
)0()(
)0()()(
1
1
2 gg
ff
x
xf
!2
)( 2?f
12,0
之间与在由于 x02? )10(2 x
)10(!2 )()( 2 xfx xf
若 f(x)在 x=0的某邻域内具有 n 阶导数，且
0)0()0()0( )1(nfff?
!
)()( )(
n
xf
x
xf n
n
则
—— 这就是 Taylor公式例 8 设 f(x)在 [a,b]上连续，在 (a,b)内可导,0?a
证明 ),(,,321 baxxx
3
322
2
2
1 3
)()(
2
)()()(
x
xfaabb
x
xfabxf使证 f(x)在 [a,b]上满足 Lagrange定理的条件
),(1 bax ))(()()( 1 abxfafbf使上在又 ],[)(),( 21 baxxgxf?满足 Cauchy定理的条件
),(2 bax
2
2
22 2
)()()(
x
xf
ab
afbf
使上在又 ],[)(),( 32 baxxgxf?满足 Cauchy定理的条件
),(3 bax 2
3
3
33 3
)()()(
x
xf
ab
afbf
使
))((
3
)(
))((
2
)(
))((
22
2
3
3
2
2
1
aabbab
x
xf
abab
x
xf
abxf
)(3 )()(2 )()( 222
3
3
2
2
1 aabbx
xfab
x
xfxf
注 这类所谓多中值问题的证明一般不作辅助函数而是分别求出一个函数的 Lagrange公式，另一个函数的 Cauchy公式，利用 f(b)－ f(a)或某种运算建立关系。
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
返回四、小结
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF?)()()( bfaf?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可,
思考题解答
1,3
10,)( 2
1 x
xxxf
不满足在闭区间上 连续 的条件；
],[,1)(2 baxxxf且 0?ab
不满足在开区间内 可微 的条件；
以上两个例子都可说明问题,
法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的应用问题。
我们知道，函数
)()( 00 xfxxfy
)( xfy? 在区间 xxx?00,
上的增量 可用它的微分
xxfdy?)( 0 来近似计算 其误差是比 x?
高阶的无穷小
)( 0xfxy即 是近似关系 )|(| 充分小x?
)(l i m 0
0
xfxy
x
而 是极限关系,都不便应用我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既不是极限关系，也不是近似关系。对此,Lagrange
中值定理给出了圆满的解答：
xxxfy )( 0
—— 导数应用的理论基础本章我们先给出 Rolle定理（它是 Lagrange定理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明
Lagrange定理和 Cauchy定理，有了 Cauchy定理就可以给出 Taylor中值定理及 L,Hospital法则，
这就是本章理论部分的主要内容。
理论部分结构图
Lagrange定理特例
Rolle定理推广
Cauchy定理推广
Taylor定理本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论的，利用 Lagrange定理给出了可导函数的单调性和凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的条件；有了 L,Hospital法则，可以进一步讨论
1,,0,,0,,
0
0 00
等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和单调性还可证明一些不等式。
重点 微分中值定理 L,Hospital法则
Taylor公式求函数的极值和最值难点 中值定理
L,Hospital法则的运用利用中值定理证明不等式基本要求
① 正确理解和掌握 R,L,C,T定理及它们之间的关系
② 熟练运用 L— 法则求未定式的极限
③ 掌握函数展开成 Taylor公式的方法，熟记
)1(),1l n(,c o s,s i n,xxxxe x
的 Taylor公式
④ 熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性来证明不等式
⑤ 正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定条件及求法
⑥ 掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点
⑦ 会用中值定理证明不等式先讲中值定理，以提供必要的理论基础一、罗尔 (Rolle)定理定理 (Rolle) 若函数 f ( x ) 满足
（ 1）在闭区间 [a,b]上连续
（ 2）在开区间 (a,b)内可导
（ 3）在区间端点处的函数值相等 f(a)=f(b)
0)()(
),(,),(
fxf
baba
在该点的导数为零，即使得函数内至少存在一点则在例如,32)( 2 xxxf ).1)(3( xx
,]3,1[ 上连续在?,)3,1( 上可导在?,0)3()1( ff且
),1(2)( xxf? ))3,1(1(,1取,0)(f
几何解释,
x
y
o
)( xfy?
a b
C
1? 2?
若连续曲线弧的两个端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处处有不垂直于横轴的切线，
.
,
切线是水平的在该点处的上至少有一点在曲线弧 CAB
物理解释,
变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零,
证,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)1( mM?若,)( Mxf?则
.0)( xf由此得 ),,( ba,0)(f都有
.)2( mM?若 ),()( bfaf
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM?设
.)(),( Mfba 使内至少存在一点则在
),()( fxf?,0)()( fxf
,0 x若 ;0)()( x fxf则有
,0 x若 ;0)()( x fxf则有;0)()(l i m)( 0 x fxff x;0)()(lim)( 0 x fxff x,)( 存在f?
).()( ff,0)( f只有注
① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导区间端点处的函数值相等；
这三个条件只是充分条件，而非必要条件如,y=x2在 [-1,2]上满足 (1),(2)，不满足 (3)
却在 (-1,2)内有一点 x=0 使
02 00 xx xy
但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。
例如,];2,2[, xxy
,
,)0(]2,2[
一切条件满足罗尔定理的不存在外上除在 f
.0)( xf但在内找不到一点能使又例如,;0)0(],1,0(,1)( fxxxf
在 [0,1]上除去 x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件,0)( xf但在内找不到一点能使再例如 ].1,0[,)( xxxf
在 [0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件,0)( 的点但也找不到使 xf
② 罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等 0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
另外还要注意点 ξ并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点 ξ也不一定能指出是哪一点，
如 )2l n()( xxxf
在 [-1,0]上满足罗尔定理的全部条件，而
)2l n (2)( xx xxf
但却不易找到使?的点0)( xf
但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用例 1
.1
0155
的正实根有且仅有一个小于证明方程 xx
证,15)( 5 xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ff且 由介值定理
.0)(),1,0( 00 xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx设另有,0)( 1?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xx
)1(5)( 4 xxf但 ))1,0((,0 x 矛盾,.为唯一实根?
例 2 证明 0)( 2 cbxaxe x 至多有三个实根证 )()( 2 cbxaxexf x记直接证明有困难，采用反证法设 0)(?xf 有四个实根 4321 xxxx
)()( 2 cbxaxexf x记 连续、可导对 )(xf ],[],,[],,[ 433221 xxxxxx在 用罗尔定理得
4332211 xxxx
0)()()( 321 fff使
baxexf x 2)( 连续、可导对 )(xf? ],[],,[ 3221在 用罗尔定理得
32211
0)()( 21 ff使
aexf x 2)( 连续、可导对 )(xf ],[ 21在 用罗尔定理得
],[],[ 4121 xx 0)( xf使
0)( xexf但 矛盾得证结论成立二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理拉格朗日 （ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
))(()()(
'
abfafbf 成立,
)1(
)2(
).()(,bfaf?去掉了与罗尔定理相比条件中注意
).()()( fab afbf结论亦可写成几何解释,
xo
y
)( xfy?
A
B
a b
C
1?
D
2?
.
,
AB
C
AB
线平行于弦在该点处的切一点上至少有在曲线弧证 分析,).()( bfaf?条件中与罗尔定理相差弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy
x
N
M
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
作辅助函数
) ],()()()([)()( axab afbfafxfxF
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ab afbff即
).)(()()( abfafbf或 拉格朗日中值公式注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
,),()( 内可导在在设 baxf 则有),,(,00 baxxx
).10()()()( 000 xxxfxfxxf
).10()( 0 xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
微分中值定理推论 1
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
推论 2
CxgxfI
xgxfI
)()(
),()(
上在区间那末上在区间如果例 2 ).11(2a r c c o sa r c s i n xxx证明证 ]1,1[,a r c co sa r c s i n)( xxxxf设
)1 1(1 1)( 22 xxxf
]1,1[,)( xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0(f?又 20,2
.2C即
.2a r cco sa r cs i n xx
0?
例 3,)1l n(1,0 xxxxx 时证明当证 ),1l n ()( xxf设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf
,1 1)(,0)0( xxff 由上式得,1)1l n ( xx
x0?又 x 111,11 11 1 x
,11 xxxx,)1l n (1 xxxx即例 4
Maaff
axfMxfa
|)(||)0(|
),0()(,|)(|,],0[
最大值，试证内取得在且上设在证 内可导在上连续在由于 ),0(,],0[)( aaxf
内取得最大值在且 ),0()( axf
0)(),,0(, cfacF er m a t 使定理知由上分别使用在对 ],[],,0[)( accxf? Lagrange定理
cffcf )()0()( 1?)0( 1 c
)()()()( 2 cafcfaf)( 2 ac
)(|)(||)(||)(||)0(| 21 cafcfaff
)( cacM Ma?
例 5 设抛物线 CBxxy 2与 x 轴有两个交点
)(,babxax 函数 f(x)在 [a,b]上二阶可导
0)()( bfaf 曲线 y = f ( x )与抛物线
CBxxy 2在（ a,b）内有一个交点证明 2)(),,( fba 使证 如图所示
o x
y CBxxy 2
y=f(x)
a bc
M
N
)()()( 2 cBxxxfxF令内可导在上连续在则 ),(),,(,],[],,[)( bccabccaxF
0)()()( bFcFaF且由罗尔定理，得 bca 21
0)()( 21 FF使内可导在上连续在又 ),(,],[)( 2121xF?
0)()( 21 FF且再由罗尔定理，得 ),(),( 21 ba
0)(F使
BxxfxF 2)()(而 2)()( xfxF
2)(f
三、柯西 (Cauchy)中值定理柯西 （ C a u c h y ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且 )(
'
xF
在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内至少有一点 )( ba,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
F
f
bFaF
bfaf
成立,
几何解释,
)( 1?F )( 2?F xo
y )( )(xfY xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦该点处的切线平行于在一点上至少有在曲线弧
证 作辅助函数
)].()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( FfaFbF afbf
.0)(,),( 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF?当,1)(,)()( xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
F
f
aFbF
afbf ).()()(
f
ab
afbf
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
)].0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
使至少存在一点证明内可导在上连续在设函数例 6
证 分析,结论可变形为
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2
xx
xf,)( 2xxg?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0(
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff即例 7 设 f(x)在 x=0的某邻域内具有二阶导数，且
0)0()0( ff 试证
)10(!2 )()( 2 xfx xf
证 的某邻域内的任一点为设 00 xx
由题设知 上在 xxxgxf,0)(),( 2
满足 Cauchy定理的条件 由 Cauchy公式得
)0()(
)0()()(
2 gxg
fxf
x
xf
1
1
2
)(
f x,0
1?
再对函数 上在 1,02)(),(?xxgxf
应用 Cauchy公式，有
)0()(
)0()()(
1
1
2 gg
ff
x
xf
!2
)( 2?f
12,0
之间与在由于 x02? )10(2 x
)10(!2 )()( 2 xfx xf
若 f(x)在 x=0的某邻域内具有 n 阶导数，且
0)0()0()0( )1(nfff?
!
)()( )(
n
xf
x
xf n
n
则
—— 这就是 Taylor公式例 8 设 f(x)在 [a,b]上连续，在 (a,b)内可导,0?a
证明 ),(,,321 baxxx
3
322
2
2
1 3
)()(
2
)()()(
x
xfaabb
x
xfabxf使证 f(x)在 [a,b]上满足 Lagrange定理的条件
),(1 bax ))(()()( 1 abxfafbf使上在又 ],[)(),( 21 baxxgxf?满足 Cauchy定理的条件
),(2 bax
2
2
22 2
)()()(
x
xf
ab
afbf
使上在又 ],[)(),( 32 baxxgxf?满足 Cauchy定理的条件
),(3 bax 2
3
3
33 3
)()()(
x
xf
ab
afbf
使
))((
3
)(
))((
2
)(
))((
22
2
3
3
2
2
1
aabbab
x
xf
abab
x
xf
abxf
)(3 )()(2 )()( 222
3
3
2
2
1 aabbx
xfab
x
xfxf
注 这类所谓多中值问题的证明一般不作辅助函数而是分别求出一个函数的 Lagrange公式，另一个函数的 Cauchy公式，利用 f(b)－ f(a)或某种运算建立关系。
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
xo
y
)( xfy?
A
B
返回四、小结
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF?)()()( bfaf?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可,
思考题解答
1,3
10,)( 2
1 x
xxxf
不满足在闭区间上 连续 的条件；
],[,1)(2 baxxxf且 0?ab
不满足在开区间内 可微 的条件；
以上两个例子都可说明问题,
