曲线的凹凸与拐点前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。
o
y
x
L3 L2
L1
A
B
如右图所示 L1,L2,L3
虽然都是从 A点单调上升到
B点，但它们的弯曲方向却不一样。
L1 是“凸”弧,L2是“凹”弧,L3既有凸弧，也有凹弧，
这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。
一、曲线凹凸的定义问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
x
y
o 1x 2x
)(xfy?
图形上任意弧段位于所张弦的上方
x
y
o
)(xfy?
1x 2x
图形上任意弧段位于所张弦的下方
A
B
C
定义;),()(
,
2
)()(
)
2
(,,
),(,),()(
2121
21
内的图形是凹的在那末称恒有两点内任意如果对内连续在设
baxf
xfxfxx
fxx
babaxf
;),()(
,
2
)()(
)
2
(
,,),(
2121
21
内的图形是凸的在那末称恒有内任意两点如果对
baxf
xfxfxx
f
xxba
;)(],[)(,)(
),(,],[)(
的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果
baxf
babaxf
二、曲线凹凸的判定
x
y
o
)(xfy?
x
y
o
)(xfy?
a b
A
B
递增)( xf?
a b
B
A
0y 递减)( xf? 0y
定理 1
.],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(
),(,
),(,],[)(
上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在二阶导数内具有在上连续在如果
baxfxf
baxfxf
ba
babaxf
证明 2121 ),,(,)2( xxbaxx
0210
21
0,2 xxxxh
xxx记上在对 ],[],,[)( 2001 xxxxxf 分别应用 L— 定理，得
hfxfxf )()()( 110 )( 011 xx
hfxfxf )()()( 202 )( 220 xx
两式相减，得
hffxfxfxf )]()([)]()([)(2 21210
由假设 0)( xf 内单调减在 ],[)( baxf
0)()( 2121 ff由
0)]()([)(2 210 xfxfxf
2
)()(
2
2121 xfxfxxf
即这就证明了 内是上凸的在 ),()( baxf
同理可证（ 1）
注 定理的结论可推广到任意区间上例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy?
解,3 2xy,6 xy
时，当 0?x,0y
为凸的；在曲线 ]0,(
时，当 0?x,0y 为凹的；在曲线 ),0[
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0"?xf,
1.定义注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2.拐点的求法证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf,条件由可导函数取得极值的
.0)( xf
方法 1:
,0)(
,)(
0
0
xf
xxf
且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1( 000 即为拐点点变号两近旁 xfxxfx
.))(,(,)()2( 000 不是拐点点不变号两近旁 xfxxfx
例 2
.
143 34
凹、凸的区间的拐点及求曲线 xxy
解 ),(,D?
,1212 23 xxy ).32(36 xxy
,0y令,32,0 21 xx得
x )0,( ),32()32,0(0 32
)(xf
)(xf
0 0
凹的 凸的 凹的拐点 拐点)1,0( )2711,32(
).,32[],32,0[],0,(凹凸区间为方法 2:
.)(
))(,(,0)(,0)(
,)(
0000
0
的拐点线是曲那末而且的邻域内三阶可导在设函数
xfy
xfxxfxf
xxf
例 3,)]2,0([c o ss i n 的拐点内求曲线 xxy
解,s inc os xxy,c oss in xxy
.s inc o s xxy
,0y令,47,43 21 xx得
2)43(f,0? 2)47(f,0?
内曲线有拐点为在 ]2,0[ ).0,47(),0,43(
.)(
))(,(,)( 000
的拐点是连续曲线也可能点不存在若
xfy
xfxxf
注意,
例 4 假定 f(x)在 x=x0处具有直到 n阶的连续导数，且
0)(,0)()()( 0)(0)1(00 xfxfxfxf nn 但?
这里 n为奇数 ≥3,是拐点则 ))(,( 00 xfx
证 )()( xfxg记 0)()( 0)(0)3( xfxg nn则由高阶导数判定极值的方法知处取得极值在 0)( xxg 不妨设为 极小值的左、右两侧邻近，有在 0x?
0)()( 0 xfxf )( xf
时0xx 0)()( 0 xfxf
时0xx 0)()( 0 xfxf
二阶导数变号,是拐点则 ))(,( 00 xfx
例 5,3 的拐点求曲线 xy?
解,0时当?x,31 3
2?
xy,94 3
5?
xy
.,,0 均不存在是不可导点 yyx
,0,)0,( y内但在 ;]0,( 上是凹的曲线在
,0,),0( y内在,),0[ 上是凸的曲线在
.)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy
例 6 求曲线 )0(s i n
t
tey
ex
t
t
的拐点解
t
tt
e
tete
dx
dy c oss i n tt c o ss in
)(2
2
dx
dy
dx
d
dx
yd
dx
dttt
dt
d )co ss i n
tett )s in( c o s
02
2
dx yd令 tt s i nc o s 4 t
时当 40 t 02
2
dx yd
时当 t4 02
2
dx yd
)21,( 44
ee? 是拐点例 7
)()(,0)(
1,,,
11
1
21
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
in
xfpxpfxf
pppp
则若是一组正数，且设?
—— Jensen不等式证?
n
i
ii xpx
1
0记 }m a x {}m i n { 0 ii xxx则由 Taylor公式，得
2
0000 )(2
)())(()()( xxfxxxfxfxf
0)( xf? ))(()()( 000 xxxfxfxf
),,2,1())(()()( 000 nixxxfxfxf ii
各式乘以 ip 再相加，得
])[()()(
1
0
1
0
1
0
1
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii pxxpxfpxfxfp
=1 =1
0x?)(
0xf?
n
i
ii
n
i
ii xfpxpf
11
)()(
四、小结曲线的弯曲方向 —— 凹凸性 ;
改变弯曲方向的点 —— 拐点 ;
凹凸性的判定,
拐点的求法 1,2.
思考题设 )( xf 在 ),( ba 内二阶可导，且 0)( 0 xf,
其中 ),(0 bax?,则,( 0x ))( 0xf 是否一定为曲线 )( xf 的拐点？举例说明,
思考题解答因为 0)( 0 xf 只是,( 0x ))( 0xf 为拐点的 必要条件,
故,( 0x ))( 0xf 不一定是拐点,
例 4)( xxf? ),( 0)0(f
但 )0,0( 并不是曲线 )( xf 的拐点,
o
y
x
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虽然都是从 A点单调上升到
B点，但它们的弯曲方向却不一样。
L1 是“凸”弧,L2是“凹”弧,L3既有凸弧，也有凹弧，
这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。
一、曲线凹凸的定义问题,如何研究曲线的弯曲方向?
x
y
o
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二、曲线凹凸的判定
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同理可证（ 1）
注 定理的结论可推广到任意区间上例 1,3 的凹凸性判断曲线 xy?
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时，当 0?x,0y
为凸的；在曲线 ]0,(
时，当 0?x,0y 为凹的；在曲线 ),0[
.)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到,
三、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点,
定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导数,则点)(,00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0"?xf,
1.定义注意,拐点处的切线必在拐点处穿过曲线,
2.拐点的求法证,)( 二阶可导xf?,)( 存在且连续xf
,])([)( 0 两边变号在则 xxfxf
,))(,( 00 是拐点又 xfx?
,)( 0 取得极值在 xxf,条件由可导函数取得极值的
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.
143 34
凹、凸的区间的拐点及求曲线 xxy
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例 4 假定 f(x)在 x=x0处具有直到 n阶的连续导数，且
0)(,0)()()( 0)(0)1(00 xfxfxfxf nn 但?
这里 n为奇数 ≥3,是拐点则 ))(,( 00 xfx
证 )()( xfxg记 0)()( 0)(0)3( xfxg nn则由高阶导数判定极值的方法知处取得极值在 0)( xxg 不妨设为 极小值的左、右两侧邻近，有在 0x?
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改变弯曲方向的点 —— 拐点 ;
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