习 题 课洛必达法则
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理常用的泰勒公式型00,1,0
型 型0型0
0
型
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF?)(
)()( bfaf?
0?n
gfgf 1 fg
fggf 11 11 取对数令 gfy?
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数图形的描绘 ;
曲率 ;求根方法,
导数的应用一、主要内容
1、罗尔中值定理
2、拉格朗日中值定理
3、柯西中值定理
4、洛必达法则型未定式型及00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,
注意,洛必达法则的使用条件,
5、泰勒中值定理常用函数的麦克劳林公式
)1(,)1ln (,c o s,s in,xxxxe x
Fermat 定理
0)())()()(()(
,)(
000
00
xfxfxfxfxf
xxxf
，则或有的某一邻域内处可导，且在在若中值定理揭示了导数与函数之间的关系，是导数应用的理论基础，是利用导数研究函数性质的有效工具。是沟通导数的局部性质与函数在区间上的整体性质的重要桥梁。
6、导数的应用
(1) 函数单调性的判定法
(2) 函数的极值及其求法极值必要条件、第一、第二充分条件求极值的步骤,
(3) 最大值、最小值问题
(4) 曲线的凹凸与拐点
(5) 函数图形的描绘
(6) 弧微分 曲率 曲率圆例 1
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的正确性上在验证罗尔定理对
xy
解 ),1,0(,22, kkxkD
.]65,6[ 上连续且在
内处处存在在又 )65,6(co t xy
)65()6( ff并且 2ln
二、典型例题
.
]
6
5
,
6
[s inln
的条件上满足罗尔定理在函数
xy
,0co t xy由内显然有解在 )65,6(,2x
,2取,0)(f则这就验证了命题的正确性,
例 2 Darboux定理,内可导在设 ],[)( baxf
之间的每一个值与必至少有一次取得介于则 )()()( bfafxf
证 首先假定 0)()( bfaf
不妨设 0)(,0)( bfaf
如右图所示
o
y
x
a b?
由假设知 上连续在 ],[)( baxf
处取得最大值在某点故?)( xf
ba,这里由 0)( af 的在 axxf )( 右方邻近，有
)()( afxf?
由 0)( bf 的在 bxxf )( 左侧邻近，有
)()( bfxf?
ba由 Fermat 定理,得
0)(f
其次，取介于 )()( bfaf 与 之间的任意数 C
为明确起见，不妨设 )()( bfCaf
引进辅助函数 CxxfxF )()(
内可导在则 ],[)( baxF CxfxF )()(
0)()( CafaF
0)()( CbfbF
由上述已证知 0)(),( Fba 使
Cf )(?即例 3 证明方程 cbacxbxax 234 23
在 (0,1)内至少有一实根
[分析 ] 如令 )(234)( 23 cbacxbxaxxf
)1(),0( ff则 的符号不易判别不便使用介值定理用 Rolle 定理来证证 令 xcbacxbxaxxf )()( 234
则 内可导上连续，在 )1,0(]1,0[)( xf
且 0)1()0( ff
故由 Rolle 定理知 0)()1,0( f使即 cbacxbxax 234 23 在 (0,1)内有一实根例 4
c
cf
cfc
ff
xf
)(
)()1,0(
,0)1(,1)0(
)1,0(]10[)(
使证明且内可导，上连续，在在已知证 )()( xxfxF?记上在则 ]1,0[)( xF 满足 Rolle 定理的条件
0)()1,0( cFc 使例 5,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x
求极限解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx
)(21 22 xoxx
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x
原式,21
例 6 cpcx
x
xx
px,,0
1
1lna r c t a n2
lim
0
求设
解 p
x x
x
xx
1
1lna r ct a n2
l i m
0
px x
xxx )1l n ()1l n (a r ct a n2l i m
0
)00(
1
2
0
1
1
1
1
1
2
l i m?
px px
xxx
1
22
0
1
1
1
1
lim2?
px x
xx
p
340 )1(
1l i m4
px xxp 0 c
3 p 34 c
例 7
nx
x
n
xx
x n
aaa
11
2
1
1lim? )1(?
]ln)[ l n (
11
2
1
1lim naaanx
x
xnxxe
]ln)[ l n (lim
11
2
1
1 naaanx xnxxxe
]ln)[ ln (li m
11
2
1
1 naaanx xnxxx而
x
naa
n
x
n
x
x 1
ln)l n (
lim
11
1
)00(
2
2
1
1
1
111
1
1
1
lnln
1
lim
x
x
aaaa
aa
n
n
x
n
x
x
n
x
x
n
aaan nlnlnln 21)l n (
21 naaa
x
x
n
xx
x n
aaa
11
2
1
1l i m?
)ln ( 21 naaae
naaa?21?
.
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
使内存在不同的在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设例 8
证,均为正数与 ba? 10 ba a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af使得 ),1,0(存在有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)(xf
),0(),()0()0()( fff
)1,(),()1()()1( fff
（ 1）
（ 2）
,1)1(,0)0( ff注意到 由（ 1）,（ 2）有
))(())((1 baf
b
baf
a
)(?f
ba
a
（ 3） （ 4） )( )(11 f f )(?f
ba
b
（ 3） + （ 4）,得
)(
)(
f
f
.)()( baf bf a
例 9 问方程 )0(ln aaxx 有几个实根解 )0(ln)( xaxxxf记
axxf 1)( axxf 10)( 得令时当 ax 1? 0)( xf
时当 ax 1? 0)( xf
11ln)1(m a x aaff 同时也是最大值分三种情况讨论
① 011ln)1( aaf ea
由于
)(li m xfx )(lim 0 xfx
方程有两个实根，分别位于 ),1(),1,0(aa
② 011ln)1( aaf ea 1
方程仅有一个实根，即 ax 1?
③ 011ln)1( aaf 方程无实根
① ② ③
])1,0[(
2
1
)(:,1)(),1(
)0(,]1,0[)(
xxfxff
fxf
证明且上二阶可微在若函数例 10
证 ],1,0[0?x设 有展成一阶泰勒公式处把在,)(0 xfx
2
0000 ))((2
1))(()()( xxfxxxfxfxf
则有令,1,0 xx
2
01000 )(2
1)()()0( xfxxfxff
2
02000 )1)((2
1)1)(()()1( xfxxfxff
（ 1）
（ 2）
2
02
2
010 )1)((2
1)(
2
1)( xfxfxf
（ 1） – （ 2）,),1()0( ff?注意到 则有
,1)( xf?
2
0
2
00 )1(2
1
2
1)( xxxf
4
1)
2
1( 2
0 x
,]1,0[0 知又由?x,2
1
2
1
0x 2
1)(
0 xf于是有
.,0 可知命题成立的任意性由 x
.
,
,)1,
2
(s i n
2
程两曲线的公共曲率圆方点处并写出向点具有相同的曲率和凹在使抛物线与正弦曲线一抛物线求作处上点过正弦曲线
MM
cbxaxy
Mxy
例 11
解为曲率圆的圆心坐标分别曲率半径和处的曲率在点曲线,),()( yxxfy?
,
])(1[ 2
3
2y
yk
,1k
y
y
yy
y
yy
xx
2
0
2
0
)(1
])(1[
,s i n)( xxfy对于曲线
,1)2(f有 )2(f,1?
,2 cbxaxy对于曲线
)2(f有,24
2
cba )2(f,ba )2(f,2a
若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有
,124
2
cba,0 ba,12?a
)2(f,0
解此方程组得,21a,2b,
81
2?
c
故所求作抛物线的方程为
.81221
2
2 xxy
),0,2(?
,1曲率半径曲率圆的方程为,1)2( 22 yx
两曲线在点处的曲率圆的圆心为
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数
x
x
xy
例 12
解,)1( 定义域,1x
),,1()1,1()1,(即
1)( 2?
x
xxxf? ),( xf 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
x
x,
)1(
)3(
22
22
x
xx
,0y令,3,0,3x得
y? 22
2
)1(
)3(2
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 xx
,0y令,0?x得可能拐点的横坐标
,l i m)3( yx? ;没有水平渐近线?
,lim 01 yx又,l im 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
,li m 01 yx,lim 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
x
ya
x
lim? )1(1l i m 2
x
xx
xx,1?
)(lim axyb x )(lim xyx 1lim 2 x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点
xx
xx
列表如下,
x )3,( )1,0()1,3(3? )0,1(?
y?
y
y?
1? 0
极大值
0
拐点
0 0?
x 31
y?
y
y?
极小值
0?
)3,1( ),3(
3xy极大值,323?
3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图例 13 Rolle 定理的推广形式
①
0)(),(
)(lim)(lim),()(
fba
xfxfbaxf
bxax
，使则内可微，且在若证?
baxxfxf
baxxf
xF
bxax
,)(l i m)(l i m
),()(
)(令内可微上连续在则 ),(,],[)( babaxF
)()( bFaF?且 由 Rolle 定理知
0)(),( fba
②
0)(),(
)(lim)(lim),()(
f
xfxfxf
xx
，使则内可微，且在若证一 )
2,2()( t a n)(
ttftF记则由题设知
AxftF
xt
)(l i m)(l i m
02?
AxftF
xt
)(lim)(lim
02?
存在且 ttftF 2s e c)( t a n)(
故由①知
0s ec)( t a n)(),2,2( 2 ttfF 使而 0se c 2?t
),(t an0)(f
证二 若 Axf?)( 则结论显然成立下设 Axf?)(
不妨设有 Axfx )(),,( 00 使
Axf )( 00?记知由 Axfxf xx )(lim)(lim
时，有当 XxxX |||,| 0
0)( Axf )( 0xf?
上连续在又 ],[)( XXxf?必存在最大值 M
即 MfXX )(],,[ 使
)()()(|| 0?fMxfxfXx 时，有又当上的最大值在也是 ),()()( xfMf?
故由 Fermat 定理 知 0)(f
③
0)(),(
)(lim)(lim),()(
fa
xfxfaxf
xax
，使则内可微，且在若证一 类似于②证一，作变换
)2,0(t a n ttax
证二 作变换
1
1
axt 1
1 a
tx
证三 若 Axf?)( 则结论显然成立下设 Axf?)(
不妨设有 Axfax )(),,( 00 使知由 Axfxf xax )(lim)(lim
)( 00 xfA对时，有当 ),(,||,|,| 00 aaxXxaxxX
AxfAxf )()( 0 )()( 0xfxf
上连续在又 ],[)( Xaxf必存在最小值 m
即 mfXa )(],,[ 使
)()()(
),(,||
0?
fmxfxf
aaxXx
都有时，又当上的最小值在也是 ),()()( xfmf?
故由 Fermat 定理 知 0)(f
④
0)(),(
)(lim)(lim),()(
fb
xfxfbxf
bxx
，使则内可微，且在若证明与③类似例 14
)()1()(])1([
),(,),1,0(
0)(),()(
2121
21
xfxfxxf
baxx
xfbaxf
，有试证：对内有二阶导数，在设证 不妨设 21 xx? 210 )1( xxx记
201 xxx则
)(,))(1( 12021210 xxxxxxxx
由 Lagrange定理，有
)1())(1)(()()( 12110 xxfxfxf
)2()()()()( 12202 xxfxfxf
)( 22011 xxx
)(0)( xfxf )()( 21 ff
)1)(2()1( 得
)]()1()([)( 210 xfxfxf
))(1()]()([ 1221 xxff 0?
)()1()(])1([ 2121 xfxfxxf
注这个结论其实就是 Jensen 不等式 (n=2的情况 )
其几何意义，如下图所示
o x
y
1x 2x
A
B
0x
弦 AB的方程
)()()()( 112 12 xxxx xfxfxfy
则弦 AB上相应于 x0的纵坐标为
))(1()()()( 12
12
12
10 xxxx
xfxfxfy
xx
)()1()()1()( 121 xfxfxf
)()1()( 21 xfxf
凹弧：曲线上的点低于弦上的对应点
0xxy?
)( 0xf
Rolle
定理
Lagrange
中值 定理常用的泰勒公式型00,1,0
型 型0型0
0
型
Cauchy
中值定理
Taylor
中值定理
xxF?)(
)()( bfaf?
0?n
gfgf 1 fg
fggf 11 11 取对数令 gfy?
单调性,极值与最值,
凹凸性,拐点,函数图形的描绘 ;
曲率 ;求根方法,
导数的应用一、主要内容
1、罗尔中值定理
2、拉格朗日中值定理
3、柯西中值定理
4、洛必达法则型未定式型及00.1 0
型未定式000,1,0,,0.2
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型,
注意,洛必达法则的使用条件,
5、泰勒中值定理常用函数的麦克劳林公式
)1(,)1ln (,c o s,s in,xxxxe x
Fermat 定理
0)())()()(()(
,)(
000
00
xfxfxfxfxf
xxxf
，则或有的某一邻域内处可导，且在在若中值定理揭示了导数与函数之间的关系，是导数应用的理论基础，是利用导数研究函数性质的有效工具。是沟通导数的局部性质与函数在区间上的整体性质的重要桥梁。
6、导数的应用
(1) 函数单调性的判定法
(2) 函数的极值及其求法极值必要条件、第一、第二充分条件求极值的步骤,
(3) 最大值、最小值问题
(4) 曲线的凹凸与拐点
(5) 函数图形的描绘
(6) 弧微分 曲率 曲率圆例 1
.
]
6
5
,
6
[s i nln
的正确性上在验证罗尔定理对
xy
解 ),1,0(,22, kkxkD
.]65,6[ 上连续且在
内处处存在在又 )65,6(co t xy
)65()6( ff并且 2ln
二、典型例题
.
]
6
5
,
6
[s inln
的条件上满足罗尔定理在函数
xy
,0co t xy由内显然有解在 )65,6(,2x
,2取,0)(f则这就验证了命题的正确性,
例 2 Darboux定理,内可导在设 ],[)( baxf
之间的每一个值与必至少有一次取得介于则 )()()( bfafxf
证 首先假定 0)()( bfaf
不妨设 0)(,0)( bfaf
如右图所示
o
y
x
a b?
由假设知 上连续在 ],[)( baxf
处取得最大值在某点故?)( xf
ba,这里由 0)( af 的在 axxf )( 右方邻近，有
)()( afxf?
由 0)( bf 的在 bxxf )( 左侧邻近，有
)()( bfxf?
ba由 Fermat 定理,得
0)(f
其次，取介于 )()( bfaf 与 之间的任意数 C
为明确起见，不妨设 )()( bfCaf
引进辅助函数 CxxfxF )()(
内可导在则 ],[)( baxF CxfxF )()(
0)()( CafaF
0)()( CbfbF
由上述已证知 0)(),( Fba 使
Cf )(?即例 3 证明方程 cbacxbxax 234 23
在 (0,1)内至少有一实根
[分析 ] 如令 )(234)( 23 cbacxbxaxxf
)1(),0( ff则 的符号不易判别不便使用介值定理用 Rolle 定理来证证 令 xcbacxbxaxxf )()( 234
则 内可导上连续，在 )1,0(]1,0[)( xf
且 0)1()0( ff
故由 Rolle 定理知 0)()1,0( f使即 cbacxbxax 234 23 在 (0,1)内有一实根例 4
c
cf
cfc
ff
xf
)(
)()1,0(
,0)1(,1)0(
)1,0(]10[)(
使证明且内可导，上连续，在在已知证 )()( xxfxF?记上在则 ]1,0[)( xF 满足 Rolle 定理的条件
0)()1,0( cFc 使例 5,)1(51lim 5
2
0 xx
x
x
求极限解,2的次数为分子关于 x?
5
1
5 )51(51 xx
)()5()151(51!21)5(511 22 xoxx
)(21 22 xoxx
)1()](21[lim 22
2
0 xxoxx
x
x
原式,21
例 6 cpcx
x
xx
px,,0
1
1lna r c t a n2
lim
0
求设
解 p
x x
x
xx
1
1lna r ct a n2
l i m
0
px x
xxx )1l n ()1l n (a r ct a n2l i m
0
)00(
1
2
0
1
1
1
1
1
2
l i m?
px px
xxx
1
22
0
1
1
1
1
lim2?
px x
xx
p
340 )1(
1l i m4
px xxp 0 c
3 p 34 c
例 7
nx
x
n
xx
x n
aaa
11
2
1
1lim? )1(?
]ln)[ l n (
11
2
1
1lim naaanx
x
xnxxe
]ln)[ l n (lim
11
2
1
1 naaanx xnxxxe
]ln)[ ln (li m
11
2
1
1 naaanx xnxxx而
x
naa
n
x
n
x
x 1
ln)l n (
lim
11
1
)00(
2
2
1
1
1
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1
1
1
lnln
1
lim
x
x
aaaa
aa
n
n
x
n
x
x
n
x
x
n
aaan nlnlnln 21)l n (
21 naaa
x
x
n
xx
x n
aaa
11
2
1
1l i m?
)ln ( 21 naaae
naaa?21?
.
)()(
,)1,0(
,:,1)1(,0)0(
,)1,0(,]1,0[)(
ba
f
b
f
a
baff
xf
使内存在不同的在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设例 8
证,均为正数与 ba? 10 ba a
,]1,0[)( 上连续在又 xf? 由介值定理,
,)( ba af使得 ),1,0(存在有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)(xf
),0(),()0()0()( fff
)1,(),()1()()1( fff
（ 1）
（ 2）
,1)1(,0)0( ff注意到 由（ 1）,（ 2）有
))(())((1 baf
b
baf
a
)(?f
ba
a
（ 3） （ 4） )( )(11 f f )(?f
ba
b
（ 3） + （ 4）,得
)(
)(
f
f
.)()( baf bf a
例 9 问方程 )0(ln aaxx 有几个实根解 )0(ln)( xaxxxf记
axxf 1)( axxf 10)( 得令时当 ax 1? 0)( xf
时当 ax 1? 0)( xf
11ln)1(m a x aaff 同时也是最大值分三种情况讨论
① 011ln)1( aaf ea
由于
)(li m xfx )(lim 0 xfx
方程有两个实根，分别位于 ),1(),1,0(aa
② 011ln)1( aaf ea 1
方程仅有一个实根，即 ax 1?
③ 011ln)1( aaf 方程无实根
① ② ③
])1,0[(
2
1
)(:,1)(),1(
)0(,]1,0[)(
xxfxff
fxf
证明且上二阶可微在若函数例 10
证 ],1,0[0?x设 有展成一阶泰勒公式处把在,)(0 xfx
2
0000 ))((2
1))(()()( xxfxxxfxfxf
则有令,1,0 xx
2
01000 )(2
1)()()0( xfxxfxff
2
02000 )1)((2
1)1)(()()1( xfxxfxff
（ 1）
（ 2）
2
02
2
010 )1)((2
1)(
2
1)( xfxfxf
（ 1） – （ 2）,),1()0( ff?注意到 则有
,1)( xf?
2
0
2
00 )1(2
1
2
1)( xxxf
4
1)
2
1( 2
0 x
,]1,0[0 知又由?x,2
1
2
1
0x 2
1)(
0 xf于是有
.,0 可知命题成立的任意性由 x
.
,
,)1,
2
(s i n
2
程两曲线的公共曲率圆方点处并写出向点具有相同的曲率和凹在使抛物线与正弦曲线一抛物线求作处上点过正弦曲线
MM
cbxaxy
Mxy
例 11
解为曲率圆的圆心坐标分别曲率半径和处的曲率在点曲线,),()( yxxfy?
,
])(1[ 2
3
2y
yk
,1k
y
y
yy
y
yy
xx
2
0
2
0
)(1
])(1[
,s i n)( xxfy对于曲线
,1)2(f有 )2(f,1?
,2 cbxaxy对于曲线
)2(f有,24
2
cba )2(f,ba )2(f,2a
若两曲线满足题设条件,必在该点处具有相同的一阶导数和二阶导数,于是有
,124
2
cba,0 ba,12?a
)2(f,0
解此方程组得,21a,2b,
81
2?
c
故所求作抛物线的方程为
.81221
2
2 xxy
),0,2(?
,1曲率半径曲率圆的方程为,1)2( 22 yx
两曲线在点处的曲率圆的圆心为
.,,,
,,
12
并作函数的图形渐近线拐点区间凹凸极值的单调区间求函数
x
x
xy
例 12
解,)1( 定义域,1x
),,1()1,1()1,(即
1)( 2?
x
xxxf? ),( xf 奇函数
y?)2( 22
2
)1(
11
x
x,
)1(
)3(
22
22
x
xx
,0y令,3,0,3x得
y? 22
2
)1(
)3(2
x
xx,
)1(
1
)1(
1
33 xx
,0y令,0?x得可能拐点的横坐标
,l i m)3( yx? ;没有水平渐近线?
,lim 01 yx又,l im 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
,li m 01 yx,lim 01 yx;1 的铅直渐近线为曲线 yx
x
ya
x
lim? )1(1l i m 2
x
xx
xx,1?
)(lim axyb x )(lim xyx 1lim 2 x xx,0?
.的斜渐近线为曲线直线 yxy
,)3,0
,3(),1()4(
分点和可能拐点的横坐标为驻点以函数的不连续点
xx
xx
列表如下,
x )3,( )1,0()1,3(3? )0,1(?
y?
y
y?
1? 0
极大值
0
拐点
0 0?
x 31
y?
y
y?
极小值
0?
)3,1( ),3(
3xy极大值,323?
3xy极小值,323
).0,0(拐点为
x
y
o
xy?
1? 1
作图例 13 Rolle 定理的推广形式
①
0)(),(
)(lim)(lim),()(
fba
xfxfbaxf
bxax
，使则内可微，且在若证?
baxxfxf
baxxf
xF
bxax
,)(l i m)(l i m
),()(
)(令内可微上连续在则 ),(,],[)( babaxF
)()( bFaF?且 由 Rolle 定理知
0)(),( fba
②
0)(),(
)(lim)(lim),()(
f
xfxfxf
xx
，使则内可微，且在若证一 )
2,2()( t a n)(
ttftF记则由题设知
AxftF
xt
)(l i m)(l i m
02?
AxftF
xt
)(lim)(lim
02?
存在且 ttftF 2s e c)( t a n)(
故由①知
0s ec)( t a n)(),2,2( 2 ttfF 使而 0se c 2?t
),(t an0)(f
证二 若 Axf?)( 则结论显然成立下设 Axf?)(
不妨设有 Axfx )(),,( 00 使
Axf )( 00?记知由 Axfxf xx )(lim)(lim
时，有当 XxxX |||,| 0
0)( Axf )( 0xf?
上连续在又 ],[)( XXxf?必存在最大值 M
即 MfXX )(],,[ 使
)()()(|| 0?fMxfxfXx 时，有又当上的最大值在也是 ),()()( xfMf?
故由 Fermat 定理 知 0)(f
③
0)(),(
)(lim)(lim),()(
fa
xfxfaxf
xax
，使则内可微，且在若证一 类似于②证一，作变换
)2,0(t a n ttax
证二 作变换
1
1
axt 1
1 a
tx
证三 若 Axf?)( 则结论显然成立下设 Axf?)(
不妨设有 Axfax )(),,( 00 使知由 Axfxf xax )(lim)(lim
)( 00 xfA对时，有当 ),(,||,|,| 00 aaxXxaxxX
AxfAxf )()( 0 )()( 0xfxf
上连续在又 ],[)( Xaxf必存在最小值 m
即 mfXa )(],,[ 使
)()()(
),(,||
0?
fmxfxf
aaxXx
都有时，又当上的最小值在也是 ),()()( xfmf?
故由 Fermat 定理 知 0)(f
④
0)(),(
)(lim)(lim),()(
fb
xfxfbxf
bxx
，使则内可微，且在若证明与③类似例 14
)()1()(])1([
),(,),1,0(
0)(),()(
2121
21
xfxfxxf
baxx
xfbaxf
，有试证：对内有二阶导数，在设证 不妨设 21 xx? 210 )1( xxx记
201 xxx则
)(,))(1( 12021210 xxxxxxxx
由 Lagrange定理，有
)1())(1)(()()( 12110 xxfxfxf
)2()()()()( 12202 xxfxfxf
)( 22011 xxx
)(0)( xfxf )()( 21 ff
)1)(2()1( 得
)]()1()([)( 210 xfxfxf
))(1()]()([ 1221 xxff 0?
)()1()(])1([ 2121 xfxfxxf
注这个结论其实就是 Jensen 不等式 (n=2的情况 )
其几何意义，如下图所示
o x
y
1x 2x
A
B
0x
弦 AB的方程
)()()()( 112 12 xxxx xfxfxfy
则弦 AB上相应于 x0的纵坐标为
))(1()()()( 12
12
12
10 xxxx
xfxfxfy
xx
)()1()()1()( 121 xfxfxf
)()1()( 21 xfxf
凹弧：曲线上的点低于弦上的对应点
0xxy?
)( 0xf
