无 穷 级 数从 18世纪以来，无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分，是高等数学的重要内容，同时也是有力的数学工具，在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用，在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数 ——幂级数和三角级数，主要围绕三个问题展开讨论：①级数的收敛性判定问题，②把已知函数表示成级数问题，③级数求和问题。
重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的 Fourier 展开式；
难点常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法,Fourier 展开，级数求和；
基本要求
① 掌握级数敛散性概念和性质
② 掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法
③ 掌握交错级数的 Leibniz审敛法
④ 掌握绝对收敛和条件收敛概念
⑤ 掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的幂级数的和函数
⑥ 熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及其收敛半径
⑦ 掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形式的 Fourier 系数
⑧ 掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数一、问题的提出
1,计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积n23?
naaaA21即
n10 31 0 0 031 0 0310 331.2
1a
21 aa?
naaa21
R
二、级数的概念
1,级数的定义,
n
n
n uuuuu 321
1
一般项
(常数项 )无穷级数级数的部分和?
n
i
inn uuuus
1
21?
部分和数列
,11 us?,212 uus,,3213?uuus
,21 nn uuus
2,级数的收敛与发散,
当 n 无限增大时,如果级数?
1n
n
u 的部分和数列
n
s 有极限 s,即 ss
n
n
l i m 则称无穷级数
1n
n
u 收敛,这时极限 s 叫做级数?
1n
n
u 的和,并写成 321 uuus
如果 ns 没有极限,则称无穷级数?
1n
nu 发散,
即 常数项级数收敛 ( 发散 )? n
n
s
lim 存在 ( 不存在 )
余项 nn ssr 21 nn uu?
1i
inu
即 ss n? 误差为 nr )0lim( nn r
无穷级数收敛性举例,Koch雪花,
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的 1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形 ——“Koch雪花,,
观察雪花分形过程;
4
3
,3
1
1
A
P
面积为周长为设三角形第一次分叉：;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
面积为周长为依次类推第 次分叉：n
周长为?,2,1)34( 11 nPP nn
面积为
]})91[(4{3 1121 AAA nnnn
1
12
1
2
11 )9
1(43)
9
1(43
9
13 AAAA nn
]})94(31)94(31)94(3131[1{ 221 nA?
,3,2?n
于是有
nn Pli m )
9
4
1
3
1
1(lim 1
AA n
n,
5
32)
5
31(
1 A
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数 ( 几何级数 )
n
n
n
aqaqaqaaq
2
0
)0(?a
的收敛性,
解 时如果 1?q
12 nn aqaqaqas?
q
aqa n
1,11 q
aq
q
a n
,1时当?q 0lim nn q? qas nn 1lim 收敛
,1时当?q nn qlim nn sl i m 发散时如果 1?q
,1时当?q nas n 发散
,1时当q aaaa级数变为不存在nn s l i m 发散综上
发散时当收敛时当
,1
,1
0 q
q
aq
n
n
例 2 判别无穷级数
)12()12(
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
解 )12)(12( 1 nnu n? ),12 112 1(21 n
)12()12(
1
53
1
31
1
nns n?
)12 112 1(21)5131(21)311(21 nn?
),12 11(21 n
)12 11(21limlim
n
s
nnn
,21?
.21,和为级数收敛?
三、基本性质性质 1 如果级数?
1n
nu 收敛,则?
1n
nku 亦收敛,
结论,级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
性质 2 设两收敛级数?
1n
n
us,?
1n
n
v,
则级数?
1
)(
n
nn
vu 收敛,其和为s,
结论,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
性质 3 若级数?
1n
n
u 收敛,则?
1kn
n
u 也收敛
)1(?k,且其逆亦真,
证明 nkkk uuu 21
nkkkn uuu21
,kkn ss
knknnnn ss limlimlim?则类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和,
证明 )()( 54321 uuuuu
,21 s,52 s,93 s
,,nm s
.limlim ss nnmm则注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
)11()11(例如 收敛
1111 发散事实上，对级数?
1n
nu 任意加括号
)(
)()(
1
11
1
211
kk pp
ppp
uu
uuuu
若记 kk ppk uub11
则加括号后级数成为?
1k
kb
记?
1n
nu 的部分和为 ns?
1k
kb 的部分和记为 k?
则 kpk s 由数列和子数列的关系知存在，n
n slim kklim 必定存在
kklim 存在 nn slim 未必存在推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散,
四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件,
即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun
级数收敛,0lim nn u
1n
nus?证明,1 nnn ssu则
1limlimlim nnnnnn ssuss,0?
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
1)1(433221 1 n nn例如 发散
2.必要条件不充分,
n131211例如调和级数
,0lim 但级数是否收敛有 nn u
讨论
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2,2
1
2 n
n
.,s其和为假设调和级数收敛
)lim( 2 nn
n
ss?
于是 ss,0?
)(210 n便有,这是不可能的
.级数发散?
2项
)
2
1
22
1
12
1
(
)
16
1
10
1
9
1
()
8
1
7
1
6
1
5
1
()
4
1
3
1
()
2
1
1(
1mmm
2项 4项 8项项m2
2
1每项均大于
2
1)1(1 mm 项大于即前
.级数发散?
由性质 4推论,调和级数发散,
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
ns n
1
2
11
以 1 为底的的矩形面积把每一项看成是以 为高n1
就是图中 n 个矩形的面积之和ns
dxx
n
1
1
1
即
nS n
1
2
11
,)1l n (1
1
1
ndxx
n
)(n
故调和级数发散调和级数的部分和五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法
1,由定义,若 ss n?,则级数收敛 ;
2,当 0l i m nn u,则级数发散 ;
3,按基本性质,
思考题设?
1n
n
b 与?
1n
n
c 都收敛，且
nnn
cab
),2,1(n,能否推出?
1n
n
a 收敛？
思考题解答能,由柯西审敛原理即知．
观察雪花分形过程;
4
3
,3
1
1
A
P
面积为周长为设三角形第一次分叉：;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
面积为周长为依次类推
1
2
3
4
5
练习题一,填空题,
1,若
n
n
a
n
242
)12(31
,则?
5
1n
n
a = ____________ ；
2,若
n
n
n
n
a
!
,则
5
1n
n
a = ______________________ ；
3,若级数为
642422
xxxx
则
n
a
_______ ；
4,若级数为
9753
5432
aaaa
则
n
a
__ _ _ _ _ __ ；
5,若级数为
6
1
5
4
1
3
2
1
1 则当
n
_____
时
n
a
_____ ；当
n
______ 时
n
a
________ ；
6,等比级数?
0n
n
aq
,当 _____ 时收敛；当 ____ 时发散,
三、由定义判别级数
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
四、判别下列级数的收敛性,
1,
n3
1
9
1
6
1
3
1；
2, )
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
()
3
1
2
1
(
3322 nn；
3,
n
n
10
1
2
1
20
1
4
1
10
1
2
1
,
五、利用柯西收敛原理判别级数
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1 的敛散性,
练习题答案一,1,
108642
97531
8642
7531
642
531
42
21
2
1
；
2,
54321
5
!5
4
!4
3
!3
2
!2
1
!1
；
3,
)2(642
2
n
x
n
； 4,
12
)1(
1
1
n
a
n
n；
5,
k
kkk
2
1
,2,12.12 ； 6,1,1 qq,
三、收敛,四,1,发散； 2,收敛；
3,发散,[?
n
k
kn
k
s
1
2
)
10
1
2
1
( ],
五、发散,[ 取
np 2?
]
重点级数的敛散性，常数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数的幂级数展开式，函数的 Fourier 展开式；
难点常数项级数审敛法，函数展开成幂级数的直接法和间接法,Fourier 展开，级数求和；
基本要求
① 掌握级数敛散性概念和性质
② 掌握正项级数的比较审敛法、检比法、检根法
③ 掌握交错级数的 Leibniz审敛法
④ 掌握绝对收敛和条件收敛概念
⑤ 掌握幂级数及主要性质，会求收敛半径和收敛区间，会求简单的幂级数的和函数
⑥ 熟记五个基本初等函数的 Taylor 级数展开式及其收敛半径
⑦ 掌握 Fourier 级数概念，会熟练地求出各种形式的 Fourier 系数
⑧ 掌握奇、偶函数的 Fourier 级数的特点及如何将函数展开成正弦级数或余弦级数一、问题的提出
1,计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积n23?
naaaA21即
n10 31 0 0 031 0 0310 331.2
1a
21 aa?
naaa21
R
二、级数的概念
1,级数的定义,
n
n
n uuuuu 321
1
一般项
(常数项 )无穷级数级数的部分和?
n
i
inn uuuus
1
21?
部分和数列
,11 us?,212 uus,,3213?uuus
,21 nn uuus
2,级数的收敛与发散,
当 n 无限增大时,如果级数?
1n
n
u 的部分和数列
n
s 有极限 s,即 ss
n
n
l i m 则称无穷级数
1n
n
u 收敛,这时极限 s 叫做级数?
1n
n
u 的和,并写成 321 uuus
如果 ns 没有极限,则称无穷级数?
1n
nu 发散,
即 常数项级数收敛 ( 发散 )? n
n
s
lim 存在 ( 不存在 )
余项 nn ssr 21 nn uu?
1i
inu
即 ss n? 误差为 nr )0lim( nn r
无穷级数收敛性举例,Koch雪花,
做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的 1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形 ——“Koch雪花,,
观察雪花分形过程;
4
3
,3
1
1
A
P
面积为周长为设三角形第一次分叉：;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
面积为周长为依次类推第 次分叉：n
周长为?,2,1)34( 11 nPP nn
面积为
]})91[(4{3 1121 AAA nnnn
1
12
1
2
11 )9
1(43)
9
1(43
9
13 AAAA nn
]})94(31)94(31)94(3131[1{ 221 nA?
,3,2?n
于是有
nn Pli m )
9
4
1
3
1
1(lim 1
AA n
n,
5
32)
5
31(
1 A
雪花的面积存在极限（收敛）．
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数 ( 几何级数 )
n
n
n
aqaqaqaaq
2
0
)0(?a
的收敛性,
解 时如果 1?q
12 nn aqaqaqas?
q
aqa n
1,11 q
aq
q
a n
,1时当?q 0lim nn q? qas nn 1lim 收敛
,1时当?q nn qlim nn sl i m 发散时如果 1?q
,1时当?q nas n 发散
,1时当q aaaa级数变为不存在nn s l i m 发散综上
发散时当收敛时当
,1
,1
0 q
q
aq
n
n
例 2 判别无穷级数
)12()12(
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
解 )12)(12( 1 nnu n? ),12 112 1(21 n
)12()12(
1
53
1
31
1
nns n?
)12 112 1(21)5131(21)311(21 nn?
),12 11(21 n
)12 11(21limlim
n
s
nnn
,21?
.21,和为级数收敛?
三、基本性质性质 1 如果级数?
1n
nu 收敛,则?
1n
nku 亦收敛,
结论,级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变,
性质 2 设两收敛级数?
1n
n
us,?
1n
n
v,
则级数?
1
)(
n
nn
vu 收敛,其和为s,
结论,收敛级数可以逐项相加与逐项相减,
性质 3 若级数?
1n
n
u 收敛,则?
1kn
n
u 也收敛
)1(?k,且其逆亦真,
证明 nkkk uuu 21
nkkkn uuu21
,kkn ss
knknnnn ss limlimlim?则类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性,
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和,
证明 )()( 54321 uuuuu
,21 s,52 s,93 s
,,nm s
.limlim ss nnmm则注意 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛,
)11()11(例如 收敛
1111 发散事实上，对级数?
1n
nu 任意加括号
)(
)()(
1
11
1
211
kk pp
ppp
uu
uuuu
若记 kk ppk uub11
则加括号后级数成为?
1k
kb
记?
1n
nu 的部分和为 ns?
1k
kb 的部分和记为 k?
则 kpk s 由数列和子数列的关系知存在，n
n slim kklim 必定存在
kklim 存在 nn slim 未必存在推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散,
四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件,
即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun
级数收敛,0lim nn u
1n
nus?证明,1 nnn ssu则
1limlimlim nnnnnn ssuss,0?
注意
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散 ;
1)1(433221 1 n nn例如 发散
2.必要条件不充分,
n131211例如调和级数
,0lim 但级数是否收敛有 nn u
讨论
nnnss nn 2
1
2
1
1
1
2,2
1
2 n
n
.,s其和为假设调和级数收敛
)lim( 2 nn
n
ss?
于是 ss,0?
)(210 n便有,这是不可能的
.级数发散?
2项
)
2
1
22
1
12
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16
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()
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1
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()
2
1
1(
1mmm
2项 4项 8项项m2
2
1每项均大于
2
1)1(1 mm 项大于即前
.级数发散?
由性质 4推论,调和级数发散,
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
ns n
1
2
11
以 1 为底的的矩形面积把每一项看成是以 为高n1
就是图中 n 个矩形的面积之和ns
dxx
n
1
1
1
即
nS n
1
2
11
,)1l n (1
1
1
ndxx
n
)(n
故调和级数发散调和级数的部分和五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法
1,由定义,若 ss n?,则级数收敛 ;
2,当 0l i m nn u,则级数发散 ;
3,按基本性质,
思考题设?
1n
n
b 与?
1n
n
c 都收敛，且
nnn
cab
),2,1(n,能否推出?
1n
n
a 收敛？
思考题解答能,由柯西审敛原理即知．
观察雪花分形过程;
4
3
,3
1
1
A
P
面积为周长为设三角形第一次分叉：;
9
1
3
,
3
4
112
12
AAA
PP
面积为周长为依次类推
1
2
3
4
5
练习题一,填空题,
1,若
n
n
a
n
242
)12(31
,则?
5
1n
n
a = ____________ ；
2,若
n
n
n
n
a
!
,则
5
1n
n
a = ______________________ ；
3,若级数为
642422
xxxx
则
n
a
_______ ；
4,若级数为
9753
5432
aaaa
则
n
a
__ _ _ _ _ __ ；
5,若级数为
6
1
5
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1
3
2
1
1 则当
n
_____
时
n
a
_____ ；当
n
______ 时
n
a
________ ；
6,等比级数?
0n
n
aq
,当 _____ 时收敛；当 ____ 时发散,
三、由定义判别级数
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
nn
的收敛性,
四、判别下列级数的收敛性,
1,
n3
1
9
1
6
1
3
1；
2, )
3
1
2
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()
3
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五、利用柯西收敛原理判别级数
6
1
5
1
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1
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1
1 的敛散性,
练习题答案一,1,
108642
97531
8642
7531
642
531
42
21
2
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2,
54321
5
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1
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2
1
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三、收敛,四,1,发散； 2,收敛；
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n
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10
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五、发散,[ 取
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