幂级数习题课一、主要内容函数项级数幂级数收敛半径 R
收敛域
Taylor级数
0)(?xR n
Taylor展开式
１．幂级数
(1) 定义形如 n
n
n xxa )(
0
0?
的级数称为 幂级数,
,00 时当?x n
n
n xa?
0
其中 na 为幂级数系数,
(2) 收敛性
Abel 定理当 Rx? 时,幂级数绝对收敛 ;
当 Rx? 时,幂级数发散 ;
当 RxRx 与 时,幂级数可能收敛也可能发散,
对?
1n
n
n xa 总存在正数Ｒ使得
Ｒ－－ 收敛半径 （－Ｒ，Ｒ）－－ 收敛区间设

n
n
n a
a 1
l i m ( 或

n
n
n
alim )
( 1) 则当 0 时, 1R ; ( 2 ) 当 0 时,R ;
( 3 ) 当 时,0?R,
注 ① 形如? nn xa )]([?的级数，求收敛域
nn ya 的收敛半径Ｒ
Rx?|)(|? －－原级数的收敛点应先求出
Rx?|)(|? －－原级数的发散点再研究 Rx?|)(|?
② 用公式
1
lim

n
n
n a
aR
求收敛半径
1,?nn aa 应是 1,?nn xx 的系数,否则可作代换或直接利用检比法或检根法来确定
③ 求出收敛半径后 必须用常数项级数审敛法判定端点 Rx 处的敛散性的点的敛散性
(3)幂级数的运算
a.代数运算性质,
21,m i n RRR?
b.和函数的分析运算性质,
和函数连续，逐项微分，逐项积分收敛半径不变
⑷ 幂级数求和函数利用几个已知的展开式，如?)1(,1 1,s i n,xxxe x
通过某些简单运算而求得
ⅰ,化成两个幂级数的和，差，积，商
ⅱ,作变量代换 )( xy
ⅲ,求导或积分通项形如 12
12
n
x
n
x nn 或 先微后积通项形如 nn xnnx 21 )12( 或 先积后微步骤：
① 求收敛域?
1
)(
n
n
n xaxs设
② 对?
1
)(
n
n
n xaxs 进行运算
)(xs 保留所有的运算记号

1n
n
n xa 的运算结果要具体算出化成易求和的形式
③ 再进行上述运算的逆运算得 )(xs
２．幂级数展开式
(1) 定义
(2) 充要条件
(3) 唯一性
(４ ) 展开方法
a.直接法 (泰勒级数法 )
步骤,;! )()1( 0
)(
n
xfa n
n?求
,)(0l i m)2( )( MxfR nnn 或讨论
).( xf敛于则级数在收敛区间内收根据唯一性,利用常见展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分 等方法,求展开式,
b.间接法
(５ ) 常见函数展开式
(６ ) 应用欧拉公式
,si nco s xixe ix,
2c o s
itit ee
t

,2s i n ieet
itit
xxxe
x
1
1,)1(,s i n,?
的展开式，并且要十分熟悉几何级数及函数间的微分关系
２,求函数的幂级数展开式，必须相应地写出展开式成立的范围，
３,对于不同类型的函数注意采用不同的展开方法和步骤有理分式 －－化部分分式，利用几何级数展开反三角函数或对数函数 －－先展开其导数，再逐项积分，但此时必须注意 积分的下限注 １,几个基本初等函数须直接展开，其它函数应尽量采用间接展开，但间接展开法必须牢记二、典型例题例１求收敛域 n
n
n
n
xnbna )( 2
1

)0,0( ba
解 n
n
n
xna?
1
收敛半径 aR 11?
n
n
n
xnb?
1
2 收敛半径 bR
1
2? )
1,1m i n (
baR
若 ba? 则 aR 1?
ax
1 原级数成为
1
)1(
n
n
n
由于 22
1)()1(
na
b
n
n
n

收敛

1
1
n n
ax
1? 原级数成为发散故 收敛域为 )1,1[ aa?ba?
若 ba? 则
bR
1?
n
n
n
a
b
n )(
)1(
1
2?

收敛 收敛收敛n
n
n
a
b
n )(
)1(
1
2?


1
2 )(
)1(
n
n
n
a
b
n
发散 收敛
bx
1 原级数成为
n
n
n
b
a
n )(
)1(
1



1
2
1)1(
n
n
n
n
nn
n
n
b
a
nb
a
n )(
1)()1(
11


b
a
nu nn
n n
n
1limlim

1 ba
n
n
n
b
a
n )(
)1(
1
绝对收敛收敛 绝对收敛原级数收敛
bx
1? 原级数成为

1
2
1
1)(1
n
n
n nb
a
n 收敛原级数收敛故 ba? 收敛域为 ]1,1[ bb?
n
n
xnn?
1
2 1
解
1
l i m

n
n
n a
aR
收敛域 )1,1(?
1?
例２ 求和函数
n
n
xnn?
1
2 1

1 1
1
n n
nn x
nnx


1 1
1
n n
nn nxxnx
令

1
1
1 )(
n
nnxxs 积分

x
n
nxdxxs
0 1
1 )( xx
x
1
11
1
21 )1(
1)(
xxs

1
1 )(
n
n xxsnx
2)1( x
x
)11( x
求导令?
1
2 )(
n
n
n
xxs 求导

1
1
2 )(
n
nxxs
x 1
1 积分

x
dxxssxs
0
222 )()0()( )1ln( x
)11( x)0)0(( 2?s
故 )1ln ()1(1 2
1
2
xxxxnn n
n

)11( x
注意 先微后积，收敛域可能扩张先积后微，收敛域可能收缩例３求级数和?
1
2
!
)1(
n n
n
解 考虑幂级数
1
2
!
)1(
n
nx
n
nR
由 xn
n
ex
n

1 !
1 乘以 x xn
n
xexn
1
1 !
1
求导 xn
n
exxnn )1(! )1(
1

再乘以 x
xn
n
exxxnn )1(! )1( 1
1

再求导
xn
n
exxxnn )13(! )1( 2
1
2

enn
n
5! )1(
1
2

例４,)1)(1(
0
敛域及和函数收求级数?

n
nxn
解,1)1)(1(
0

Rxn
n
n 敛半径为的收?
,111 x收敛域为,20 x即则有设此级数的和函数为 ),( xs
.)1)(1()(
0


n
nxnxs
两边逐项积分


0 11
)1)(1()(
n
x nx dxxndxxs

0
1
1)1(
n
xnx?

0
1)1(
n
nx
)1(1
1


x
x
,2 1xx
求导，得两边再对 x
)2 1()( xxxs,)2( 1 2x
例５
.
1lna r c t a n)( 2
克劳林级数展开成麦将 xxxxf
解,
32)1ln (
32
xxxx
,)1(32)1ln (
2
1
64
22
n
xxxxx nn
)11( x?

x dx
xx 0 21
1a r ct a n又
x nn dxxxxx0 2642 ])1(1[

12)1(753
12753
n
xxxxx nn
)11( x





0
)1(2
0
22
2
1
)1(
2
1
12
)1(
1lna rc t a n
n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
xxx故


0
22
0
22
1)1(2
1
12)1( n
n
n
n
n
n
n
x
n
x
.)22)(12()1(
0
22
n
n
n
nn
x
)11( x
或 x
xx
xxxf 2
1
1
2
1
1a r ct a n)( 22
xa r c t a n?
dx
x
x

0
21
1


x
n
nn dxx
0 0
2)1(

0
12
12)1(n
n
n
n
x )11( x
积分
x
dxxfxf
0
)()( dx
n
xx
n
n
n

0 0
12
12
)1(

0
22
)22)(12()1(n
n
n
nn
x)11( x
例６
的幂级数．成的和函数展开将级数
)1(
)!12(2
)1( 12
1
1
1

x
n
x n
n
n
n
解
．设法用已知展开式来解的展开式，是分析 x
n
x
n
n
n s in
)!12(
)1(
1
12
1?

)0)0((?f




1
12
1
1
12
1
1
)2()!12( )1(2)!12(2 )1(
n
n
n
n
n
n
n x
nn
x
2s in2
x?
2
11s i n2 x
2
1s i n
2
1co s2
2
1co s
2
1s i n2 xx

0
12
0
2
)
2
1
(
)!12(
)1(
2
1
c os2
)
2
1
(
)!2(
)1(
2
1
s i n2
n
n
n
n
n
n
x
n
x
n
),(

0
)(
n
n
n xaxf Rx?||
求 xxfxF 1 )()( 的幂级数展开式及其收敛半径 并求 )0()(nF
解 由于?
0
)(
n
n
n xaxf Rx?||


01
1
n
nx
x 1||?x


0 0
))(()(
n n
nn
n xxaxF
n
n
n
k
k xa )(
0 0


收敛半径为 )1,m in( R 且?
n
k
k
n anF
0
)( !)0(
例 7 设例 8 设 xxf ar c t an)(?求 )0()(nf
解一
21
1)(
xxf 1)()1( 2 xfx
由 Leibniz公式 0)]()1[( )(2 nxfx
0)(!2 )1(2)(2)()1( )1()()1(2 xfnnxn x fxfx nnn
令 0?x 得
)0()1()0( )1()1( nn fnnf
由 0)0(?f 1)0(f 得
0)0()2(?nf )!2()1()0()12( nf nn
解二 21 1)( xxf

0
2)1(
n
nn x )11( x


0
12
12
)1()(
n
n
n
xnxf )11( x
kk akf !)0()(?
故 0)0()2(?nf )!2()1()0()12( nf nn