方向导数与梯度实例,一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是
(1,1),(5,1),(1,3),(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在 (3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的 实质,应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．
一、方向导数的定义讨论函数 在一点 P沿某一方向的变化率问题．
),( yxfz?
．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数
lP
PUyxP
yxfz
)(),(
),(?
).(
),(,
pUPl
yyxxP
lx
上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设
o
y
x
l
P
x?
y
P?
|| PP?,)()( 22 yx
),,(),( yxfyyxxfz且
,?z?考虑 当 沿着 趋于 时，P? Pl
),(),(lim
0
yxfyyxxf
是否存在？
的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义
lP
PlP
yxPP
yxfyyxxf
22
)()(
),(),(
记为,),(),(lim
0
yxfyyxxf
l
f
依定义，函数 ),( yxf 在点 P 沿着 x 轴正向 }0,1{1?e
、
y 轴正向 }1,0{2?e
的方向导数分别为 yx ff,；
沿着 x 轴负向,y 轴负向的方向导数是 yx ff,.
方向导数的几何意义
),(),(lim),( 0000
0
00 yxfyyxxf
l
yxf
x
yyy
xxx
0
0过直线 作平行于 z 轴的平面?
与曲面 z = f ( x,y ) 所交的曲线记为 C
C上考察在? 对应的方向与 lPP?0
),(),( 0000 yxfyyxxf 表示 C 的割线向量的交角的正切值与 lPP?0 即 的斜率关于 lPP?0
时当 0 ),(),( 0000 yxyyxx即割线转化为切线上式极限存在就意味着当点
),( 00 yyxx
),( 00 yx趋于点曲线 C在点 P0 有唯一的切线它关于 方向的斜率l?
就是方向导数 ),( 00 yxlf
L
C
M0
TP0
P
M
l
定理 如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yxP 是可微分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有 si nco s
y
f
x
f
l
f
，
其中? 为 x 轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
)(),(),(?oyyfxxfyxfyyxxf
两边同除以,? 得到
)(),(),( oy
y
fx
x
fyxfyyxxf
故有方向导数
lf
),(),(lim
0
yxfyyxxf
.s i nco s yfxf
cos?sin
例 1 求函数 yxez 2? 在点 )0,1(P 处沿从点
)0,1(P 到点 )1,2(?Q 的方向的方向导数,
解 这里方向 l? 即为 }1,1{PQ,
故 x 轴到方向 l
的转角 4,;1)0,1(2
)0,1(
yexz?,22
)0,1(
2
)0,1(
yxeyz
所求方向导数
lz )4s i n (2)4co s (,22
例 2 求函数
22
),( yxyxyxf 在点 （ 1,1 ）
沿与 x 轴方向夹角为? 的方向射线 l
的方向导数,并问在怎样的方向上此方向导 数有
（ 1 ）最大值； （ 2 ）最小值； （ 3 ）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
s i n)1,1(cos)1,1(
)1,1(
yx ffl
f
,s i n)2(c os)2( )1,1()1,1( xyyx
s inc o s ),4s i n (2
故 （ 1 ）当
4
时，方向导数达到最大值 2 ;
（ 2 ）当 45 时，方向导数达到最小值 2? ;
（ 3 ）当 43 和 47 时，方向导数等于 0,
推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数 ),,( zyxfu?,它在空间一点
),,( zyxP 沿着方向 L 的方向导数,可定义为,),,(),,(lim
0
zyxfzzyyxxf
l
f
（ 其中 222 )()()( zyx ）
设方向 L 的方向角为,,
,c o s x,c o s y,c o s z
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
.coscoscos
z
f
y
f
x
f
l
f
例 3 设 n
是曲面 632
222
zyx 在点
)1,1,1(P 处的指向外侧的法向量，求函数
2
1
22
)86(
1
yx
z
u 在此处沿方向 n
的方向导数,
解 令,632),,( 222 zyxzyxF
,44 PPx xF,66 PPy yF,22 PPz zF
故zyx FFFn,,,2,6,4?
,142264 222n? 方向余弦为
,142co s,143cos,141co s
PP yxz
x
x
u
22 86
6
;146?
PP yxz
y
y
u
22 86
8
;148?
PP z
yx
z
u
2
22 86?
,14
故
PP z
u
y
u
x
u
n
u )c o sc o sc o s(
,711?
二、梯度的概念
,最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题 P
定义 设函数 ),( yxfz? 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP?),(,
都可定出一个向量 j
y
f
i
x
f
，这向量称为函数
),( yxfz? 在点 ),( yxP 的梯度，记为
),( yxgradf j
y
f
i
x
f
.
设 jie s i nc o s 是方向 l? 上的单位向量，
由方向导数公式知
}s i n,{ c o s},{ yfxf s i nc o s yfxflf
eyxg r a d f ),(,c o s|),(|?yxg r a d f?
其中 )),((,eyxg r a d f
当 1)),,(c o s(?eyxg ra d f? 时，l
f
有最大值,
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为
22
|),(|?
y
f
x
f
yxg r a d f,gradf
gradf?
P
当 xf 不为零时，
x 轴到梯度的转角的正切为
x
f
y
f
t a n,
),( yxfz?在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得cz?,
),(
cz
yxfz
所得曲线在 xoy面上投影如图
o
y
x
1),( cyxf?
2),( cyxf?
P
cyxf?),(
),( yxg r a d f
梯度为等高线上的法向量等高线等高线的画法例如,图形及其等高线图形．函数 xyz s i n?
梯度与等高线的关系：
向导数．
的方于函数在这个法线方向模等高的等高线，而梯度的值较值较低的等高线指向数从数线的一个方向相同，且在这点的法高线的等的梯度的方向与点在点函数
cyxf
P
yxPyxfz
),(
),(),(
此时 f ( x,y ) 沿该法线方向的方向导数为
2222
yx
y
y
yx
x
x
ff
f
f
ff
f
f
n
f
0 g r a d f
故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。
梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 ),,( zyxfu? 在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 GzyxP?),,(,
都可定义一个向量 ( 梯度 )
.),,( kzfjyfixfzyxg r a d f
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，
其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值,
类似地,设曲面 czyxf?),,( 为函数 ),,( zyxfu?
的等量面，此函数在点 ),,( zyxP 的梯度的方向与过点 P 的等量面 czyxf?),,( 在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数,
例 4 求函数 yxzyxu 2332 222 在点
)2,1,1( 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
k
z
uj
y
ui
x
uzyxg r a d u
),,(
,6)24()32( kzjyix
故,1225)2,1,1( kjig r a d u
在 )0,21,23(0?P 处梯度为 0,
例 5 求函数 )(1 2
2
2
2
b
y
a
xz
沿曲线 12
2
2
2
byax
在点 )2,2(
ba 处的内法线方向的方向导数解一 用方向导数计算公式
即要求出从 x 轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角在 12
2
2
2
byax 两边对 x 求导
022 22 dxdyb ya x
解得 ya xbdxdy 2
2
a
b
dx
dy
M 0（切线斜率）
故法线斜率为 bata n
内法线方向的方向余弦为
22c os ba
b
22
c os ba a
而由 )(1 2
2
2
2
b
y
a
xz 得
22
2,2
b
y
y
z
a
x
x
z
by
z
ax
z
MM
2,2
00
co sco s yzxzlz
))(2()(2 2222 ba abba ba
)(21 22 baab
解二 用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向从等高线的角度来看,f( x,y ) 在点 P 的梯度方向与过点 P 的等高线 f ( x,y ) = C 在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线
)(1),( 2
2
2
2
b
y
a
xyxfz 等高线为 f ( x,y ) = C
即 Cbyax 12
2
2
2
2121 11 CCCC若椭圆 12
2
2
2
1 Cbyax 22
2
2
2
1 Cbyax大于椭圆因此 12
2
2
2
byax 在点 )2,2( ba
处的内法线恰好是梯度方向故 22 )()(|| yzxzg r ad zlz
Pb
y
a
x
4
2
4
2 44
)(21 22 baab
1),( cyxf?
2),( cyxf?
三、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的 区别 ）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个 向量 ）
3、方向导数与梯度的关系
.
),(
最快的方向在这点增长梯度的方向就是函数 yxf
思考题
讨论函数 22),( yxyxfz 在 )0,0(
点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
思考题解答
x
fxf
x
z
x?
)0,0()0,(lim
0)0,0(
.||lim
0 x
x
x?
同理,)0,0(yz yy
y?
||lim
0故两个偏导数均不存在,
沿任意方向 },,{ zyxl 的方向导数,
)0,0(),(l i m
0)0,0(
fyxf
l
z
1
)()(
)()(lim
22
22
0
yx
yx
故沿任意方向的方向导数均存在且相等,
练 习 题一,填空题,
1,函数
22
yxz 在点 )2,1( 处沿从点 )2,1( 到点
)32,2(? 的方向的方向导数为 __ ___ __ __ ___ _,
2,设 xyzyxzyxf
222
32),,( zyx 623,
则?)0,0,0(g r a d f __ ___ __ ___ __ __ ___ _.
3,已知场,),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyxu 沿则 u 场的梯度方向的方向导数是 ___ _ __ ___ __ __ ___ __,
4,称向量场
a 为有势场,是指向量
a 与某个函数
),,( zyxu
的梯度有关系 ___ __ ___ __ __ ___ __ _.
三,设 vu,都是 zyx,,的函数,vu,的各偏导数都存在且连续,证明,u g r a d vv g r a d uuvg r a d)(
四,求
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
u 在点 ),,( 000 zyxM 处沿点的向径 0r 的方向导数,问 cba,,具有什么关系时此方向导数等于梯度的模?
二、求函数 )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z 在点 )
2
,
2
(
ba
处沿曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
在这点的内法线方向的方向导数,
一,1,321? ； 2,
kji 623 ；
3,g r a d u
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
)
2
()
2
()
2
( ；
4,g r a d ua?
.
二,)(2
1
22
ba
ab
,
四,cba
zyx
zyxu
r
u
M
;
),,(2
2
0
2
0
2
0
000
0
.
练习题答案
(1,1),(5,1),(1,3),(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在 (3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？
问题的 实质,应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．
一、方向导数的定义讨论函数 在一点 P沿某一方向的变化率问题．
),( yxfz?
．引射线内有定义，自点的某一邻域在点设函数
lP
PUyxP
yxfz
)(),(
),(?
).(
),(,
pUPl
yyxxP
lx
上的另一点且为并设为的转角轴正向到射线设
o
y
x
l
P
x?
y
P?
|| PP?,)()( 22 yx
),,(),( yxfyyxxfz且
,?z?考虑 当 沿着 趋于 时，P? Pl
),(),(lim
0
yxfyyxxf
是否存在？
的方向导数．沿方向则称这极限为函数在点在，时，如果此比的极限存趋于沿着当之比值，两点间的距离与函数的增量定义
lP
PlP
yxPP
yxfyyxxf
22
)()(
),(),(
记为,),(),(lim
0
yxfyyxxf
l
f
依定义，函数 ),( yxf 在点 P 沿着 x 轴正向 }0,1{1?e
、
y 轴正向 }1,0{2?e
的方向导数分别为 yx ff,；
沿着 x 轴负向,y 轴负向的方向导数是 yx ff,.
方向导数的几何意义
),(),(lim),( 0000
0
00 yxfyyxxf
l
yxf
x
yyy
xxx
0
0过直线 作平行于 z 轴的平面?
与曲面 z = f ( x,y ) 所交的曲线记为 C
C上考察在? 对应的方向与 lPP?0
),(),( 0000 yxfyyxxf 表示 C 的割线向量的交角的正切值与 lPP?0 即 的斜率关于 lPP?0
时当 0 ),(),( 0000 yxyyxx即割线转化为切线上式极限存在就意味着当点
),( 00 yyxx
),( 00 yx趋于点曲线 C在点 P0 有唯一的切线它关于 方向的斜率l?
就是方向导数 ),( 00 yxlf
L
C
M0
TP0
P
M
l
定理 如果函数 ),( yxfz? 在点 ),( yxP 是可微分的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有 si nco s
y
f
x
f
l
f
，
其中? 为 x 轴到方向 L 的转角．
证明 由于函数可微，则增量可表示为
)(),(),(?oyyfxxfyxfyyxxf
两边同除以,? 得到
)(),(),( oy
y
fx
x
fyxfyyxxf
故有方向导数
lf
),(),(lim
0
yxfyyxxf
.s i nco s yfxf
cos?sin
例 1 求函数 yxez 2? 在点 )0,1(P 处沿从点
)0,1(P 到点 )1,2(?Q 的方向的方向导数,
解 这里方向 l? 即为 }1,1{PQ,
故 x 轴到方向 l
的转角 4,;1)0,1(2
)0,1(
yexz?,22
)0,1(
2
)0,1(
yxeyz
所求方向导数
lz )4s i n (2)4co s (,22
例 2 求函数
22
),( yxyxyxf 在点 （ 1,1 ）
沿与 x 轴方向夹角为? 的方向射线 l
的方向导数,并问在怎样的方向上此方向导 数有
（ 1 ）最大值； （ 2 ）最小值； （ 3 ）等于零？
解 由方向导数的计算公式知
s i n)1,1(cos)1,1(
)1,1(
yx ffl
f
,s i n)2(c os)2( )1,1()1,1( xyyx
s inc o s ),4s i n (2
故 （ 1 ）当
4
时，方向导数达到最大值 2 ;
（ 2 ）当 45 时，方向导数达到最小值 2? ;
（ 3 ）当 43 和 47 时，方向导数等于 0,
推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数 ),,( zyxfu?,它在空间一点
),,( zyxP 沿着方向 L 的方向导数,可定义为,),,(),,(lim
0
zyxfzzyyxxf
l
f
（ 其中 222 )()()( zyx ）
设方向 L 的方向角为,,
,c o s x,c o s y,c o s z
同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都存在，且有
.coscoscos
z
f
y
f
x
f
l
f
例 3 设 n
是曲面 632
222
zyx 在点
)1,1,1(P 处的指向外侧的法向量，求函数
2
1
22
)86(
1
yx
z
u 在此处沿方向 n
的方向导数,
解 令,632),,( 222 zyxzyxF
,44 PPx xF,66 PPy yF,22 PPz zF
故zyx FFFn,,,2,6,4?
,142264 222n? 方向余弦为
,142co s,143cos,141co s
PP yxz
x
x
u
22 86
6
;146?
PP yxz
y
y
u
22 86
8
;148?
PP z
yx
z
u
2
22 86?
,14
故
PP z
u
y
u
x
u
n
u )c o sc o sc o s(
,711?
二、梯度的概念
,最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题 P
定义 设函数 ),( yxfz? 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 DyxP?),(,
都可定出一个向量 j
y
f
i
x
f
，这向量称为函数
),( yxfz? 在点 ),( yxP 的梯度，记为
),( yxgradf j
y
f
i
x
f
.
设 jie s i nc o s 是方向 l? 上的单位向量，
由方向导数公式知
}s i n,{ c o s},{ yfxf s i nc o s yfxflf
eyxg r a d f ),(,c o s|),(|?yxg r a d f?
其中 )),((,eyxg r a d f
当 1)),,(c o s(?eyxg ra d f? 时，l
f
有最大值,
函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值．梯度的模为
22
|),(|?
y
f
x
f
yxg r a d f,gradf
gradf?
P
当 xf 不为零时，
x 轴到梯度的转角的正切为
x
f
y
f
t a n,
),( yxfz?在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得cz?,
),(
cz
yxfz
所得曲线在 xoy面上投影如图
o
y
x
1),( cyxf?
2),( cyxf?
P
cyxf?),(
),( yxg r a d f
梯度为等高线上的法向量等高线等高线的画法例如,图形及其等高线图形．函数 xyz s i n?
梯度与等高线的关系：
向导数．
的方于函数在这个法线方向模等高的等高线，而梯度的值较值较低的等高线指向数从数线的一个方向相同，且在这点的法高线的等的梯度的方向与点在点函数
cyxf
P
yxPyxfz
),(
),(),(
此时 f ( x,y ) 沿该法线方向的方向导数为
2222
yx
y
y
yx
x
x
ff
f
f
ff
f
f
n
f
0 g r a d f
故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。
梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数 ),,( zyxfu? 在空间区域 G 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 GzyxP?),,(,
都可定义一个向量 ( 梯度 )
.),,( kzfjyfixfzyxg r a d f
类似于二元函数，此梯度也是一个向量，
其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值,
类似地,设曲面 czyxf?),,( 为函数 ),,( zyxfu?
的等量面，此函数在点 ),,( zyxP 的梯度的方向与过点 P 的等量面 czyxf?),,( 在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数,
例 4 求函数 yxzyxu 2332 222 在点
)2,1,1( 处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
k
z
uj
y
ui
x
uzyxg r a d u
),,(
,6)24()32( kzjyix
故,1225)2,1,1( kjig r a d u
在 )0,21,23(0?P 处梯度为 0,
例 5 求函数 )(1 2
2
2
2
b
y
a
xz
沿曲线 12
2
2
2
byax
在点 )2,2(
ba 处的内法线方向的方向导数解一 用方向导数计算公式
即要求出从 x 轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角在 12
2
2
2
byax 两边对 x 求导
022 22 dxdyb ya x
解得 ya xbdxdy 2
2
a
b
dx
dy
M 0（切线斜率）
故法线斜率为 bata n
内法线方向的方向余弦为
22c os ba
b
22
c os ba a
而由 )(1 2
2
2
2
b
y
a
xz 得
22
2,2
b
y
y
z
a
x
x
z
by
z
ax
z
MM
2,2
00
co sco s yzxzlz
))(2()(2 2222 ba abba ba
)(21 22 baab
解二 用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向从等高线的角度来看,f( x,y ) 在点 P 的梯度方向与过点 P 的等高线 f ( x,y ) = C 在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线
)(1),( 2
2
2
2
b
y
a
xyxfz 等高线为 f ( x,y ) = C
即 Cbyax 12
2
2
2
2121 11 CCCC若椭圆 12
2
2
2
1 Cbyax 22
2
2
2
1 Cbyax大于椭圆因此 12
2
2
2
byax 在点 )2,2( ba
处的内法线恰好是梯度方向故 22 )()(|| yzxzg r ad zlz
Pb
y
a
x
4
2
4
2 44
)(21 22 baab
1),( cyxf?
2),( cyxf?
三、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的 区别 ）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个 向量 ）
3、方向导数与梯度的关系
.
),(
最快的方向在这点增长梯度的方向就是函数 yxf
思考题
讨论函数 22),( yxyxfz 在 )0,0(
点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
思考题解答
x
fxf
x
z
x?
)0,0()0,(lim
0)0,0(
.||lim
0 x
x
x?
同理,)0,0(yz yy
y?
||lim
0故两个偏导数均不存在,
沿任意方向 },,{ zyxl 的方向导数,
)0,0(),(l i m
0)0,0(
fyxf
l
z
1
)()(
)()(lim
22
22
0
yx
yx
故沿任意方向的方向导数均存在且相等,
练 习 题一,填空题,
1,函数
22
yxz 在点 )2,1( 处沿从点 )2,1( 到点
)32,2(? 的方向的方向导数为 __ ___ __ __ ___ _,
2,设 xyzyxzyxf
222
32),,( zyx 623,
则?)0,0,0(g r a d f __ ___ __ ___ __ __ ___ _.
3,已知场,),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyxu 沿则 u 场的梯度方向的方向导数是 ___ _ __ ___ __ __ ___ __,
4,称向量场
a 为有势场,是指向量
a 与某个函数
),,( zyxu
的梯度有关系 ___ __ ___ __ __ ___ __ _.
三,设 vu,都是 zyx,,的函数,vu,的各偏导数都存在且连续,证明,u g r a d vv g r a d uuvg r a d)(
四,求
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
u 在点 ),,( 000 zyxM 处沿点的向径 0r 的方向导数,问 cba,,具有什么关系时此方向导数等于梯度的模?
二、求函数 )(1
2
2
2
2
b
y
a
x
z 在点 )
2
,
2
(
ba
处沿曲线
1
2
2
2
2
b
y
a
x
在这点的内法线方向的方向导数,
一,1,321? ； 2,
kji 623 ；
3,g r a d u
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
)
2
()
2
()
2
( ；
4,g r a d ua?
.
二,)(2
1
22
ba
ab
,
四,cba
zyx
zyxu
r
u
M
;
),,(2
2
0
2
0
2
0
000
0
.
练习题答案
