Fourier 级数 习题课常数项级数 函数项级数一般项级数正项级数幂级数 三角级数收敛半径
R
泰勒展开式数或函数 函 数数任意项级数傅氏展开式傅氏级数泰勒级数
0)(?xR
为常数nu )( xuu nn 为函数满足狄 氏条件
0xx?取在收敛 级数与数条件下 相互转化

1n
nu
一、主要内容一、主要内容
1。 Fourier 级数


1
0 )s inc o s(
2~)( n nn nxbnxa
axf
Fourier 系数




),2,1(,s i n)(
1
),2,1,0(,c o s)(
1
nn xd xxfb
nn xd xxfa
n
n
2。收敛定理（ Dirichlet充分条件）
f ( x ) 在一个周期内
① 连续或只有有限个第一类间断点
② 只有有限个极值点则 Fourier 级数收敛，且


1
0 )s inc os(
2 n nn nxbnxa
a

是间断点是连续点
xxfxf
xxf
2
)0()0(
)(
3。周期为 2L 的函数展开为
Fourier 级数
),2,1,0(,c o s)(1 ndxl xnxfla l ln
),2,1(,s i n)(1 ndxl xnxflb l ln
),s i nc o s(2)(
1
0
l
xnb
l
xnaaxf
n
n
n

若 f ( x ) 是奇函数或偶函数，则有简化的计算公式偶函数
l
n ndxl
xnxf
la 0 ),2,1,0(co s)(
2
),2,1(0 nb n
奇函数 ),2,1,0(0 na n

l
n ndxl
xnxf
lb 0 ),2,1(s i n)(
2
4。非周期函数的展开
),[ ll?在 上有定义的函数 f ( x )
先在整个数轴上作周期延拓，将延拓后的函数展开成 Fourier 级数，最后限制自变量的取值范围,即得 f ( x ) 的 Fourier 级数展开式
)0[ l，在 上有定义的函数 f ( x )
奇延拓 —— -展开成正弦级数
（收敛域一般不包含端点）
偶延拓 —— 展开成余弦级数
（收敛域一定包含端点）
5。强调几点这部分内容所涉及到的问题，类型不多，有求函数的 Fourier 级数展开式，讨论其和函数，
证明三角等式，求某些数项级数的和 。解法也比较固定首先是求出 Fourier 系数，写出 Fourier
级数，然后根据 Dirichlet 充分条件讨论其和函数
⑴ 记住 Fourier 系数公式。 Fourier 系数的计算须不止一次地使用分部积分公式，要小心
⑵ 掌握 Dirichlet 收敛定理的内容
⑶ 求函数的 Fourier 级数展开式，必须注明展开式的成立范围 —— 即连续区间，也即只要去掉间断点
⑷ 注意函数的奇偶性、周期性
⑸ 注意函数的定义域，是否需要延拓无论是奇延拓还是偶延拓，在计算展开式的系数时只用到 f ( x ) 在 [ 0,l ] 上的值，所以在解题过程中并不需要具体作出延拓函数 F ( x ),而只须指明采用哪一种延拓方式即可
Fourier
级数收敛定理
Fourier 系数其它展开正弦、余弦级数求和函数的表达式、常数项级数的和二、典型例题例 1
系数的为常数表示试用系数是其为周期的函数，是以设
Fo u r i e rhhxfba
Fo u r i e rbaxf
nn
nn
)()(,
,2)(
解?


dxhxfA )(10?

h
h
dttf

)(1

dttf )(1



2 2
0
))()()((
a
a
dttfdttfdttf


n x d xhxfA n co s)(1


h
h
dtnhnttf

)co s ()(1

h
h
n t d ttfnh

co s)(co s1?

h
h
n t d ttfnh

s i n)(s i n1




n t d ttfnhn t d ttfnh s i n)(1s i nco s)(1co s
nhbnha nn s i nco s
同理 nhanhbB nnn s i nco s
级数展开为将例 F our i e rxxf )ar c s i n( s i n)(2?
解 为周期的函数是以?2)( xf
关键是写出 f ( x ) 在一个周期内的表达式






xx
xx
xx
xf
2
22
2
)(
易见 f ( x ) 是奇函数 0?na

0 s i n)(
2 n x d xxfb
n

2
0
2
]s i n)(s i n[
2
n xd xxn xd xx



12
)12(
)1(4
20
1
kn
k
kn
k


1
1
)12s in (12 )1(4)ar c s i n ( s in
n
n
xnnx?
)( x
)4(),
4
(),3(),
2
(),(
2),0()(3 2

ssssxs
xxxf


求的和函数为为周期的正弦级数的以设例解 此题是定义在 ),0(? 的函数展开成正弦级数为此首先对 f ( x ) 作奇延拓在作正弦展开



0)(
0)()(
xxf
xxfxF

1
s in)(
n
n nxbxs
依收敛定理 当 x 是连续点时
s ( x ) = f ( x ) 当 x 是间断点时
2
)0()0()( xfxfxs
内连续在注意到 ),0()(?xf
只须注意端点处的情况
)2()2()2( fFs 4
2?

0)]()([21)3( FFs
16)4()4(
2
fs
0)0()4( Fs?
例 4 已知 f ( x ) 在 [ - 1,1 ] 上的 Fourier 级数为


1
22 c o s
)1(4
3
1
n
n
xnn 该级数的和函数为 s ( x )
则 A s ( 1 ) =1 s ( 2) = 4
B s ( 1 ) =0.5 s ( 2) = 4
C s ( 1 ) =0.5 s ( 2) = 0
D s ( 1 ) =1 s ( 2) = 0

1
4
3
1
)0()(5
n n
xxxf
并由此求展开成余弦级数将例?
解 对 f ( x ) 进行偶延拓 0?nb


0
3
3
0 2
2 dxxa

0
3 co s2 n x d xxa
n
0
2 s i n6 n x d x
n

02
2
2 c os
12
0c os
6 n xdxx
nnxxn

03
2
2 s i n
12co s6 n x d x
nnn
]1)1[(1126)1( 42 nn nn


1
2
3
3 c os)1(6
4 n
n
nxnx
]5co s513co s31[ co s24 44 xxx?
x0
令 x = 0 得
)4131211(640 222
3

)51311(24 44
)3 12 11(64)5 1311(24 22
3
44
1264
23?
4
3?
965
1
3
11 4
441

1
4
1
n n
4442 614121? )(161161 21
9615
1
15
1 4
12


1
4
1
n n
21 90
4?
上成立证明在例 ],0[6?


1
3
1
2
2
)12(
)12s i n (8
)()2(
2c o s
6
)()1(
n
n
n
xn
xx
n
nx
xx
证明 )()( xxxf记本例实则是将 函数 f ( x )展开成 Fourier 级数先展开成余弦级数，须进行偶延拓 0?nb



0
2
0 3)(
2 dxxxa


0
co s)(2 n x d xxxa n

0
s i n)(2 nxdxxn


0
s i n)2(2 n x d xxn

0
2 co s)2(
2 nxdx
n


022 c os
4
0c os)2(
2 n xdx
nnxxn
]1)1[(2 2 nn



kn
n
kn
24
120
2
且延拓后的函数也连续上连续，在因 ],0[)()( xxxf


1
2
2 c os
6)( n n
nxxx
x0
再展开成余弦级数,须进行奇延拓 0?na


0
s i n)(2 n x d xxxb n

0
co s)(2 nxdxxn


0
c os)2(20c os)( n xdxxnnxxx


0
2 s i n)2(
2 nxdx
n?
02 s i n
4 n x d x
n
])1(1[43 nn
为奇数为偶数
n
n
n
3
8
0
且延拓后的函数也连续上连续，在因 ],0[)()( xxxf



1
3)12(
)12s in (8)(
n n
xnxx
x0